6_IntegNumCrica

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Integração Numérica 
 
Introdução 
Fórmulas de Newton-Cotes 
Regra dos trapézios simples 
Regra dos trapézios composta 
Regra de Simpson simples 
Regra de Simpson composta 
Regras de Newton-Cotes de intervalo aberto 
Introdução 
Neste capítulo estudam-se métodos de integração numérica que 
permitem obter valores aproximados do integral definido de uma 
função num certo intervalo: 
 
 
 
A necessidade de estimar o valor dum integral pode surgir quando o 
processo analítico de cálculo do valor do integral é difícil ou quando 
a função é conhecida em apenas alguns pontos do intervalo. 
 
.)(
b
a
dxxfI
 
 
A solução do problema consiste essencialmente em 
aproximar a função integranda f, nesse intervalo, por outra função 
cujo integral é fácil de calcular. Isto é conseguido recorrendo, 
por exemplo, a polinómios interpoladores de f. 
Seja f uma função contínua que admite derivadas contínuas até à ordem 
n+1 no intervalo [a,b] e pn o polinómio interpolador de Lagrange de 
grau da função f nos nós distintos do intervalo [a,b]. 
 
 
n nxxx ,...,, 10
 
Então 
 
 
onde 
 
 
e 
 



n
k
kkn xfxxp
0
)()(L)(
      ,xexpxf nn 
 
 
)!1(
)(
)()()(
)1(
10



n
xf
xxxxxxxe
n
nn

     . ,, n0 xxx 
 e o erro da aproximação é dado por: 
 
 
       .,,
)!1(
)(
)()( 0
)1(
0 

b
a
n
n
nI xxxdx
n
xf
xxxxe 


Portanto o integral aproximado é dado por: 
 
 
ou seja, 
    
b
a
n
b
a
dxxpdxxfI
)()(L )()(L 
00
i
b
a
i
n
i
b
a
n
i
ii xfdxxdxxfxI 







  

 
 
 
 
 Assim, 
 
 
 
 onde 
 
 
 Esta expressão costuma designar-se por regra de integração ou 
 fórmula de quadratura, e os ai por coeficientes ou pesos dessa regra. 
 
 Consoante o valor de n e a localização dos nós no intervalo, assim se 
 obtêm diferentes regras de integração. 
 
 
  .
b
a
ii dxxLa
  ,
0



n
i
ii xfaI
)()(L 
0
i
b
a
i
n
i
xfdxxI








 

 
 Formulas de Newton-Cotes 
Regras de integração que têm a característica comum de recorrerem 
a polinómios interpoladores da função integranda em nós 
equidistantes no intervalo de integração constituem a família de 
regras de Newton-Cotes. 
Vamos estudar as seguintes fórmulas de Newton-Cotes: 
 
 
 
 
 
Estas fórmulas de Newton-Cotes estão incluídas nas fórmulas de 
intervalo fechado, pois os extremos do intervalo são nós de 
interpolação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Regra dos trapézios simples 
• Regra dos trapézios composta 
• Regra de Simpson simples 
• Regra de Simpson composta 
Regra dos trapézios simples 
Na regra dos trapézios consideremos o polinómio interpolador 
de Lagrange p1(x) nos pontos (a, f(a)), (b, f(b)) : 
 











b
a
T dx
ab
ax
bf
ba
bx
afI )()( 
 )()(
2
bfaf
ab
IT 


 
 
 
  dxax
ab
bf
dxbx
ba
af
b
a
b
a
 



 )()(
2
bfaf
h
IT 
f(b) 
f(a) 
 a b 
f 
p1 
Esta equação representa a área do 
trapézio de base h = b - a e alturas 
 f(a) e f(b). 
Seja f uma função contínua que admite derivadas contínuas até à 
segunda ordem no intervalo [a,b]. 
 
Sabemos que 
 
 
onde 

b
a
T dxxee )(1
 
 
,
!2
)(''
)()(1
xf
bxaxxe


 
Substituindo na equação anterior e aplicando o teorema do valor 
médio pesado para integrais: 
 
 
b
a
T dx
xf
bxaxe
!2
)(''
))((

    . , bax 
 .,,
12
)('')( 3
ba
fab
eT 

 

 .,,))((
!2
)(''
badxbxax
f
b
a
  

Erro de truncatura na regra dos trapézios simples 
 
Um limite superior do erro absoluto: 
.)(''max
12 ],[
3
xf
h
e
bax
T


 .,,
12
)(''3
ba
fh
eT  

Regra dos trapézios composta 
Com a finalidade de minimizar o erro cometido, aplicamos 
a regra dos trapézios repetidamente. 
Consideremos 
 
e dividimos o intervalo [a,b] em n subintervalos: 
 
 
com 
 y 
x 
f 
x0 x1 x2 x3 xn-2 xn-1 xn ... 
n
ab
h


 ,,1 ii xx 
ni ,...,1
ni ,...,1
,1 hxx ii  
Segundo a propriedade das integrais: 
     dxxfdxxfdxxf
n
n
x
x
x
x
x
x



1
2
1
1
...
0
 
Pela regra dos trapézios: 
 
 
Logo 
 
 
ou, abreviadamente, 
  nnnTC fffffff
h
I   123210 2
2

       nixfxf
h
dxxf ii
x
x
i
i
,...,1,
2
1
1
 

               nnnTC xfxfxfxfxfxfxf
h
I   123210 2
2

   dxxfdxxf
n
i
x
x
b
a
i
i
 



1
1
Interpretação geométrica 
ITC = A1 + A2 + A3 + A4 + ... + An 
 y 
x 
A1 
A2 
A3 
A4 
 Erro de truncatura na regra dos trapézios composta 
 
 
n
f
f
n
i
i


1
)("
)("


 ba,




n
i
iTC f
h
e
1
3
)(''
12
  iii
n
i
i xxf
h
,,)(''
12
1
1
3




  
Então 
 
 
   
)(")(")(" maxmin
,1,
xffxf nn
bax
n
i
i
bax 
 
   
n,1,2,i ,)(")(")(" maxmin
,,


xffxf
bax
i
bax

   
)("
)("
)(" maxmin
,
1
,
xf
n
f
xf
bax
n
i
i
bax 



 
Considerando que f admite derivadas contínuas até à segunda ordem no intervalo 
[a, b], 
Pelo teorema dos valores extremos 
Pelo teorema do valor intermédio, existe tal que 
 
Assim, o erro cometido na aplicação da regra dos trapézios 
composta é dado por: 
 ba
fnh
eTC ,
12
)(''
,
3
 

Um limite superior do erro absoluto : 
 
 .)(''max12 ],[
3
xf
nh
e
bax
TC


Exemplo 1: Seja 



8.0
2
12 dxexI x
(i) Aproximar I, usando a regra dos trapézios composta, sobre 
 7 pontos. 
(ii) Estime o erro cometido. 
2.0
6
28.0


h
lossubinterva 6
71


n
n
 xi -2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0 -0.8 
 fi 0.1991 0.1970 0.1901 0.1778 0.1596 0.1353 0.1050 
12)(  xexxf)(i
  1050.01353.01596.01778.01901.01970.021991.0
2
2.0
I
2025.0I
(ii) 
 
)(''
12
max
8.0,2
3
xf
nh
e
x
TC


 
 
)(''
12
2.06
max
8.0,2
3
xfe
x
TC


 
)('' 004.0 max
8.0,2
xfe
x
TC


;)( 12  xexxf   ;2)(' 21 xxexf x    ; 24)('' 21   xxexf x
 
 
 
 
8.0,0.27380.4
,8.0,0.22679.1
 066)(''' 21





 
x
x
xxexf x
 
:)('' max
8.0,2
xf
x 




      0996.02242)2('' 23  ef
     0926.028.048.0)8.0('' 28.1  ef
      22679.142679.1)2679.1('' 22679.2ef 1516.0
.15160 004.0 TCe
310 606.0 TCe
Regra de Simpson simples 
Este é dado por: 
Consideremos o polinómio interpolador de f nos nós 
x0 = a , , x2 = b. 



2
0
2 )()(L)(
k
kk xfxxp
 y 
x 
a=x0 b=x2 
2
1
ba
x


2
1
ba
x


O integral aproximado é dada por: 
 
 
ou seja 
 
 
donde obtemos 
 
 
isto é 
 








2
0
b
a
2
0
 )()(L )()(L
k
kk
b
a k
kk dxxfxdxxfxI
  ,)()(4)(
6
210
02 xfxfxf
xx
IS 












 )()
2
(4)(
6
bf
ab
faf
ab
IS
Uma vez que podemos escrever ,
2
ab
h










 )()
2
(4)(
3
bf
ab
faf
h
IS
,)(L)()(L)()(L)( 
2
0
2
0
2
0
221100  
x
x
x
x
x
x
S dxxxfdxxxfdxxxfI
Erro de truncatura na regra de Simpson simples 
 
 
Se f admite derivadas contínuas até à 4ª ordem em [a, b], então 
 
 
 
 
 
Como 
 
 
podemos escrever 
 
 .,,
2880
)()4(
5
ba
fab
eS 

 

,
2
ab
h


  .,,
90
)()4(5
ba
fh
eS  

 
 
 
 
 
 
 
 
Um limite superior do erro absoluto: 
.)(max
90
)4(
],[
5
xf
h
e
bax
S


Regra de Simpson compostaConsideremos n +1 pontos igualmente espaçados, de modo que 
o intervalo [a, b] seja subdividido em n intervalos, onde n é par. 
Segundo a propriedade das integrais, temos: 
Utilizando a equação da regra de Simpson para estimar cada um 
destes integrais e , resulta: 
      nnnSC fffffffff
h
I   12432210 444
3

    nnnSC ffffffff
h
I   2421310 24
3

n
ab
h


   dxxfdxxf
nx
x
b
a   0
     dxxfdxxfdxxf
n
n
x
x
x
x
x
x  

2
4
2
2
0
...
Erro de truncatura na regra de Simpson composta 
     .
9090
4
2/
1
5
4
2/
1
5
i
n
i
i
n
i
SC f
h
f
h
e  




 
donde 
 
 
e logo 
 
   
,)()()( )4(
,
)4()4(
,
maxmin xffxf
bax
i
bax 
 
   
)("
2
)()(
2
maxmin
,1
)4()4(
,
2
xf
n
fxf
n
baxi
i
bax
n

 
   
)()(
2
)( )4(
,
2
1
)4()4(
,
maxmin xffn
xf
bax
n
i
i
bax 
  
Considerando que f admite derivadas contínuas até à 4ª ordem no intervalo [a, b], 
Pelo teorema dos valores extremos 
 
2
,...,1,, 222
n
ixx iii  
Pelo teorema do valor intermédio, existe tal que 
 
 
ou seja 
 
 
Assim 
 
 
 
 
 .,,)(
180
)4(
5
baf
hn
eSC  
 ba,
,)(
2
)(
2
1
)4()4( 


n
i
if
n
f 
.)()(
2
2
1
)4()4( 


n
i
iff
n

Um limite superior para o erro absoluto: 
 
 
 
 
 
Uma vez que tem-se: 
.)(max
180
)4(
],[
5
xf
hn
e
bax
SC


 
.)(max
180
)4(
],[
4
xf
hab
e
bax
SC



,
h
ab
n


Exemplo 2: Seja 



8.0
2
12 dxexI x
(i) Aproxime I, usando a regra de Simpson composta sobre 
7 pontos. 
(ii) Estime o erro cometido. 
2.0
6
28.0


h
 i
 xi -2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0 -0.8 
 fi 0.1991 0.1970 0.1901 0.1778 0.1596 0.1353 0.1050 
lossubinterva 6
71


n
n
12)(  xexxf
    1050.01596.01901.021353.01778.01970.041991.0
3
2.0
I
    nnnSC ffffffff
h
I   2421310 24
3

2029.0I
(ii) 
 
)(
180
)4(
8.0,2
5
max xf
hn
e
x
SC


 
 
)(
180
2.06 )4(
8.0,2
5
max xfe
x
SC


 
)(100667.1 )4(
8.0,2
5
max xfe
x
SC


   128)( 214   xxexf x
:)(maxobter Para )4( xf





       012282)2( 234  ef
 66)(''' 21   xxexf xDo Exemplo 1 temos que 
0315.1
        128.088.0)8.0( 28.14 ef
0315.101 0667.1 -5 SCe
510 100.1 SCe
 
 
 
 
8.0,0.22361.755
,8.0,0.27639.255
0 (5)







x
x
xf
   2010)( 215   xxexf x
 Regras de Newton-Cotes de intervalo aberto 
 
 Fórmulas de Newton-Cotes em que os pontos extremos do 
intervalo não são tomados como nós de interpolação, 
chamam-se fórmulas de intervalo aberto. 
 
 
      
         
4
,
45
14
2
3
4
3
,''
4
3
2
3
4
5
321
3
21
ab
hf
h
xfxfxf
h
I
ab
hf
h
xfxf
h
I






 
Anexo 
 
Teorema do valor médio pesado para integrais. 
 Se f é uma função contínua em [a,b] e g é uma função integrável em 
[a,b] que não muda de sinal em [a,b], então existe tal que 
 
 
 
Teorema dos valores extremos. 
Seja f uma função contínua em [a,b] . Então existem números m e M 
tais que f (m) é o valor mínimo e f (M) é o valor máximo de f em 
[a,b] . 
 
Teorema do valor intermédio. 
Seja f uma função contínua em [a,b] e v um número entre f (a) e 
f(b). Então existe um número [a,b] tal que v=f(c). 
 
 
    .)()(  
b
a
b
a
dxxgfdxxgxf 
 ba ,
c
 -23/7