Apostila - Geodésia

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AGRIMENSURA 
 
Módulo III
61 3082.1060
Geodésia
 
TÉCNICO EM
Quadra 101, Conjunto 2, Lote 01, Sobreloja
Recanto das Emas, Brasília/DF
ineprotec.com.br
 
GEODÉSIA - I 
Ficha Técnica
Tutor Responsável - Willen Wily 
Capa / Diagramação - Gabriel Araújo Galvão 
Elabroração - Brunna Francinete da Silva Cruz
Índice
Esboço Histórico .............................................................................................05
Introdução ........................................................................................................08
Conceitos e Definições ................................................................................10
Sistemas Geodésicos .....................................................................................15
Sistemas de Coordenadas em Geodésia ................................................17
Sistemas de Projeções Cartográficas .......................................................19
Referências Bibliográficas ............................................................................23
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Geodésia - I
 A curiosidade do homem primitivo levou-o a se inte-
ressar pelo planeta em que vivia. Fenômenos que observava 
em torno de si, com temor ou medo, originaram várias su-
perstições, ritos e cultos. Essas observações motivaram-no 
a uma melhor compreensão dos eventos e delas resultaram 
diversas culturas e civilizações, que por sua vez adquiriram 
profundidade admirável na compreensão de fenômenos 
naturais, esta deixada na forma de monumentos, templos 
e cidades. Esses fenômenos naturais estão frequentemente 
relacionados com a forma, as dimensões, o campo de gravi-
dade da terra e suas variações temporais e, para entendê-
-los eram evocados alguns conhecimentos geodésicos.
 Durante muitos séculos, os únicos meios disponí-
veis para o estudo da geometria da Terra foram observa-
ções ao Sol, à Lua, às estrelas e aos planetas, ou seja, ob-
servações astronômicas. Assim, as primeiras descobertas 
geodésicas basearam-se em conhecimentos astronômi-
cos. Embora haja poucos registros históricos sobre as re-
alizações geodésicas das civilizações antigas atualmente, 
há várias indicações de que elas realizaram observações 
muito precisas dos movimentos básicos da Terra.
1.1 AS PRIMEIRAS IDÉIAS SOBRE A FORMA DA TERRA
 A história da geodesia começa realmente pelos 
primeiros relatos documentados na era grega. Naquela 
época a Geodésia era uma ciência que desafiava os inte-
lectuais, fazendo com que alguns dos maiores nomes da 
história dedicassem a ela parte das suas energias.
 “As primeiras ideias sobre a forma da Terra sur-
giram na época de Tales de Mileto” (625 – 547 a.C.), re-
conhecido como o fundador da trigonometria. Para ele a 
Terra tinha a forma de um disco e flutuava num oceano 
infinito. Já para seu contemporâneo, Anaximander de Mi-
leto (611 – 545 a.C.) a terra tinha o formato de um cilin-
dro orientado na direção este- oeste. Este foi o primeiro a 
utilizar o conceito de Esfera Celeste, ideia que atravessou 
os séculos e ainda hoje utilizada em Astronomia de Posi-
ção. Anaximenes (601 – 532 a.C.), discípulo de Anaximan-
der discordava de tales dizendo que a terra flutuava num 
oceano finito, mantido no espaço por ar comprido.
A ERA DA FORMA ESFÉRICA
 A escola de Pitágoras (580 – 500 a.C.) foi a primei-
ra a acreditar na esfericidade da terra, ideia que prevale-
1. Esboço Histórico ceu por dois milênios e meio. As primeiras alusões sobre 
a atração gravitacional provavelmente são de Aristóteles 
(384 – 322 a.C.), que também apresentou os primeiros 
argumentos plausíveis da esfericidade terrestre, que são:
 • Contorno circular da sombra da Terra projetada 
durante os eclipses lunares.
 • Diferença de horário na observação do mesmo 
eclipse entre observadores em dois meridianos diferen-
tes.
 • Variação do aspecto do céu estrelado com a la-
titude.
 Com a aceitação da esfericidade terrestre, surgi-
ram as coordenas esféricas, usadas pela primeira vez por 
Dicaerchus (353 – 285 a.C.) no final do século III numa 
compilação atualizada do mapa-múndi que continha in-
formações sobre o sul da Ásia conquistada por uma ex-
pedição militar de Alexandre Magnus. Os progressos em 
Astronomia nessa época estavam relacionados aos traba-
lhos de Aristarco (310 – 250 a.C.) sobre a determinação 
das distâncias e dimensões da Lua e do Sol. Cerca de meio 
século mais tarde, Eratóstenes (276 – 194 a.C.), considera-
do o precursor da Geodésia, realizou o primeiro trabalho 
realmente científico na determinação das dimensões da 
Terra. O método utilizado por Eratóstenes, exemplificado 
na figura 1.1, consistiu em medir o arco de meridiano “s” 
por observações geométricas e medir o ângulo “α” nas ex-
tremidades desse arco através de observações astronômi-
cas. O cálculo do raio “R” terrestre a partir desses dados é 
obtido através de relações fundamentais da Geometria.
Onde :
α = ângulo corresponde ao arco de meridiano, em radia-
nos;
s = comprimento do arco de meridiano; e
R = raio da Terra.
Figura 1.1
- . R -
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Geodésia - I
 É fácil entender que quanto maior for o arco e 
mais precisa for à observação astronômica tanto mais 
preciso será o valor calculado para o raio terrestre. Era-
tóstenes sabia através de uma lenda que em Siena, atu-
al Assuam, no solistício de verão o sol iluminava o fundo 
de um poço e, assim, situava-se próximo ao trópico de 
Câncer. A sua medição mostrou que em Alexandria, no 
mesmo horário, a direção da sombra de uma haste for-
mava com a vertical um ângulo de 7°12’. Supondo Siena 
e Alexandria no mesmo meridiano, este correspondente 
ao ângulo central formado pelas duas verticais. A distân-
cia entre as duas cidades, conhecida na época de Eratós-
tenes, era 5000 estádias. Não se sabe ao certo se essa 
distância foi medida ou resultou da agrimensura reali-
zada no Vale do Nilo. A distância zenital do Sol em Ale-
xandria foi obtida por Eratóstenes com o auxílio de um 
gnômon e representa 1/50 da circunferência. Admitindo-
-se para a estádia o comprimento de 157,5m, como lhe 
atribuem alguns autores (Fischer, 1975), obtêm-se para 
o comprimento da circunferência 39.375.000m e para o 
raio 6.266.726m. Considerando que Alexandria e Siena 
não estão no mesmo meridiano, que o sol naquela época 
não poderia iluminar exatamente o fundo de um poço na 
direção vertical em Siena e que o comprimento do arco 
foi medido por processos rudimentares, é surpreendente 
que o valor encontrado por Eratóstenes para o compri-
mento da circunferência seja muito próximo do que se 
conhece atualmente. O mérito de Eratóstenes está, so-
bretudo na metodologia utilizada, combinando observa-
ções astronômicas e geométricas para medir o raio ter-
restre. Hoje em dia os geodesistas continuam utilizando 
o princípio idealizado por Eratóstenes, obviamente com 
instrumentos modernos para as medições de ângulos e 
distâncias, no posicionamento de alta precisão através da 
triangulação geodésica.
 A triangulação foi utilizada pela primeira vez pelo 
astrônomo dinamarquês Tycho Brhae (1546 – 1601) para 
estabelecer a ligação geodésica entre a ilha de Vem e as 
principais ilhas da Dinamarca. Como método de posicio-
namento, entretanto, a triangulação foi desenvolvida por 
Snélius (1591 – 1626), que também a usou na determi-
nação do raio terrestre. Snélius desenvolveu uma cadeia 
formada por 33 triângulos com a qual obteve o compri-
mento de 9.660km para o comprimento de meridiano de 
um quadrante. Em 1660, surgiu a Academia de Ciências 
de Paris, tendo como um de seu objetivos principais a 
determinação do raio terrestre. A tarefa foi confiada a Pi-
card (1620 – 1682) que, com base na triangulação desen-
volvida entre paris e Amiens, utilizando pela primeira vez 
lunetas munidas de retículos, encontrou 10.009km para o 
comprimento de meridiano num quadrante. Este é o pri-
meiro resultado realmente comparável com as medidas 
atuais tanto pela metodologia quanto pela precisão.
A ERA DA FORMA
ELIPSOIDAL
 O período decorrido entre Eratóstenes e Picard 
constitui a era esférica da geodésia, pois a Terra era con-
siderada uma esfera e a determinação de suas dimensões 
consistia na determinação do raio a partir das observações.
 A nova era se iniciou com as investigações teóri-
cas de Newton (1642– 1727) e de seu contemporâneo 
Huygens (1629 – 1695) sobre a forma de equilíbrio hidros-
tático de um fluído em rotação. Ambos estavam convictos 
do achatamento polar da terra devido a sua rotação. Um 
dos argumentos experimentais de Newton, em favor de 
suas conclusões teóricas, foi o aumento do período nos 
relógios pendulares com o decréscimo da latitude, ob-
servado por Richter (1630 – 1696) e outros astrônomos 
na época. O achatamento polar, preconizado na teoria 
por Newtow, estava em contradição com os trabalhos de 
Cassini (1625 – 1712) na medição de um arco de meri-
diano, que indicavam alongamento polar. Nesse trabalho 
Cassini prosseguiu com a triangulação de picar ao norte, 
até Dunquerque, e ao sul, até os Pirineus. Os resultados 
mostravam que o comprimento de um arco de meridiano 
decrescia junto com o aumento da latitude, o que indi-
cava uma Terra alongada nos pólos. A contradição entre 
a teoria de Newton e as conclusões de Cassini originou a 
histórica polêmica entre as escolas que se formaram na 
Europa: os adeptos de uma Terra achatada e os adeptos 
de uma Terra alongada, vide figura 1.2. Para esclarecer 
essa contradição a Academia patrocinou a medição de 
dois arcos de meridianos: um próximo do equador, outro 
próximo ao ártico.
Figura 1.2
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Geodésia - I
 A expedição equatorial (1735 – 1744), formada 
por Bouguer, Godin, La Condamine e dois jovens oficias 
espanhóis, foi enviada para o Peru, latitude 1°30’ S. Este 
grupo mediu dois arcos de meridiano com aproximada-
mente 3° de amplitude e obteve num deles, para o arco 
de 1° o comprimento de 110.614m.
 A expedição polar (1736 – 1737), formada inicial-
mente por Maupertuis, Camus, Célsius e depois Clairaut, 
foi enviada para a Lapônia, latitude 66°20’ N. Ao concluí-
rem os trabalhos, essa equipe obteve para o arco de 1° o 
comprimento de 111.948m o que confirmou a teoria de 
Newton sobre uma Terra achatada.
A ERA DA FORMA GEOIDAL
 No início do século XIX vários cientistas de re-
nome, tais quais Clairaut (1713 – 1765), Laplace (1749 
– 1827), Gauss (1777 – 1855) e Bessel (1784 – 1846) 
lançaram as bases da nova teoria que atribui à Terra 
uma forma mais irregular e complexa do que aquela 
adotada pelo modelo elipsoidal. Inicialmente, surgiu 
a noção de superfícies equipotenciais e nos trabalhos 
de Clairaut e Laplace, depois surgiu a superfície equi-
potencial de nível zero (origem das altitudes) denomi-
nada superfície geoidal, proposta por Listing (1872). 
Os fundamentos teóricos para a apresentação do ge-
óide foram desenvolvidos por Stokes (1819 – 1903) no 
seu famoso trabalho “On the Variation of Gravity and 
the Surface of the Earth”, no qual apresenta a fórmula 
para o cálculo das alturas geoidais a partir de anoma-
lias gravimétricas, figura 1.3.
Figura 1.3.
 O trabalho de Bruns (1878) denominado “The 
Earth’s Figure” representa o primeiro esforço direcionado 
na integração de medidas geodésicas visando o posicio-
namento e a representação do campo de gravidade. Nes-
sa época, Helmert (1843 - 1917) ocupava-se com a repre-
sentação formal dos fundamentos matemáticos e físicos 
da Geodésia publicadas em seu livro “Mathematical and 
Physical Theory of Geodesy”. Em 1927, Vening Meinesz 
publicou as fórmulas para o cálculo das componentes do 
desvio vertical a partir de anomalias gravimétricas. Em 
1945, surgiu o trabalho notável do geodesista soviético 
Molodenskii denominado “Basic Problems of Geodetic 
Gravimetry”, estabelecendo um novo meio de referência 
denominado quase-geóide.
 Com o advento da era espacial em 1957 a geodé-
sia passou a explorar as observações resultantes do ras-
treio de satélites artificiais colocados em órbita da Terra 
tanto para o posicionamento quanto para o representa-
ção do campo de gravidade. A Geodésia por satélite, ori-
ginada nessa época, pode ser dividida em três fases:
 1) Desenvolvimento dos métodos Básicos: carac-
terizou-se basicamente pelo rastreio ótico dos satélite e 
observação de direções através de câmaras fotográficas. 
Os resultados principais obtidos nessa fase foram a deter-
minação dos coeficientes de baixo grau do geopotencial 
e os modelos terrestres obtidos pelo Smithsonian Astro-
physical Observatory (SAO SE I e SAO SE II), e pelo Go-
ddard Space Flight Center da NASA (Goddard Earth Mo-
dels GEM). A Única rede global puramente geométrica foi 
implantada a partir de observações do satélite PAGEOS 
com câmara BC4.
 2) Fase dos Projetos Científicos (1970 – 1980): 
várias técnicas de observação foram desenvolvidas 
e refinadas, particularmente no rastreio de satélites 
através de raio laser e na altimetria por satélite. O 
sistema TRANSIT foi utilizado no posicionamento por 
geodesistas explorando o efeito Doppler. Essa fase 
melhorou o posicionamento e proporcionou novos 
modelos terrestres (GEM10 e GRIM) mais precisos 
que os da fase anterior. As precisões das observações 
nessa fase possibilitaram a monitoração para estudos 
geodinâmica (rotação da Terra, movimentos dos po-
los, deformação crustal). O posicionamento através do 
rastreio de satélites explorando o efeito Doppler foi 
intensamente utilizado em todo o mundo para a im-
plantação e manutenção de redes geodésicas.
 3) Fase Operacional (1980 em diante): as técnicas 
de posicionamento por satélite tornaram-se operacionais 
em Geodésia, Geodinâmica e nas aplicações rotineiras 
como levantamento de apoio básico para mapeamentos, 
navegação e etc. Os aspectos que mais se destacaram 
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Geodésia - I
nessa ase foram:
 • O uso intensivo do posicionamento por satélite 
para e a substituição das técnicas convencionais, que co-
meçou com os primeiros resultados obtidos com o NAVS-
TAR Global Position System (GPS), proporcionando novas 
perspectivas para as mais diversas aplicações do posicio-
namento por satélite;
 • A alta precisão obtida no posicionamento por 
satélite substituiu as técnicas astrométricas na monitora-
ção da rotação da Terra, do polo e da crosta terrestre.
 Na segunda metade do século XX, a definição 
de Geodésia passou por três alterações que refletem a 
evolução científica e tecnológica do mundo moderno. 
Até a década de 1950, ela manteve-se na terminologia de 
Helmert (1880), que definiu a Geodésia como a ciência 
que estuda a forma e as dimensões da Terra. Mas, com 
o advento da era espacial, que se iniciou com o lança-
mento do primeiro satélite artificial em 1957, proporcio-
nando informações globais do campo de gravidade até 
então desconhecidas dos geodesistas, marcou uma nova 
fase da Geodésia que inclui na sua definição o estudo do 
campo de gravidade. Assim, na década de sessenta a Ge-
odésia passou a ser definida como a ciência que estuda 
a forma, as dimensões e o campo de gravidade da Ter-
ra. Mas essa definição ainda não mensurava as variações 
temporais do posicionamento e do campo de gravidade 
que a instrumentação moderna podia detectar e a meto-
dologia geodésica poderia estudar a partir da década de 
1970. Isso levou os geodesistas a uma nova modificação 
na qual a Geodésia recebeu a definição atual:
 Geodésia é a ciência que estuda a forma, as di-
mensões, o campo de gravidade da Terra e suas varia-
ções temporais. Tal como ocorre com outras ciências, a 
Geodésia tem algumas subdivisões. A Geodésia clássica, 
por exemplo, pode, pode ser dividida em: Geodésia geo-
métrica, Geodésia física, Geodésia matemática e Geodé-
sia dinâmica. Mas, nos últimos tempos, surgiram novas 
aplicações e novas metodologias, originando várias es-
pecificações de Geodesias como, por exemplo, Geodésia 
Satélite, Geodésia inercial, Geodésia marinha, Geodésia 
espacial e até mesmo Geodésia vertical e Geodésia ho-
rizontal. Ainda que algumas
designações pareçam razo-
áveis, a especificidade excessiva pode tornar-se inconve-
niente. Poderíamos chamar, por exemplo, o levantamento 
geodésico feito com teodolito de Geodésia teodolito? Por 
outro lado, se aceitar- mos a denominação Geodésia ver-
tical, por que não a Geodésia oblíqua? Nessa diversidade 
de Geodesias, não é surpreendente que muitos usuários 
e até mesmo geodesistas estejam perdidos e confusos. 
Para alguns geodesistas (Vanícek & Krakiwsky, 1986), a 
síndrome de tantas Geodesias tem reflexos na falta de in-
teresse pela própria ciência. Além disso, não se pode ne-
gar que são os geodesistas os maiores responsáveis por 
este estado de confusão conceitual. Seja como for, o fato 
é que em algumas partes do mundo a Geodésia está sen-
do mistificada, enquanto que em outras partes ela vem 
sendo considerada irrelevante. Nenhum destes extremos 
é salutar para uma ciência.
 A solução para esses problemas pode ser alcança-
da atribuindo-se à Geodésia as suas funções primordiais. 
Isso pode ser feito ao mesmo tempo através de uma defi-
nição de Geodésia que seja ao mesmo tempo geral e con-
cisa. Essa ideia (Vanícek & Krakiwsky, 1986) conduz a uma 
subdivisão em três disciplinas fundamentais, contidas na 
própria definição de Geodésia:
 • O posicionamento;
 • O campo de gravidade;
 • As variações temporais de ambos.
 Com essa divisão conceitual da Geodésia evita-se 
o aparecimento de subdivisões artificiais inúteis no con-
texto primordial da Geodésia como ciência.
 O posicionamento de pontos na superfície terres-
tre constitui o objetivo principal da Geodésia, tal como a 
entende uma grande parte da comunidade. Os pontos 
podem ser posicionados individualmente ou como parte 
de redes constituídas por grandes quantidades de pon-
tos. Estas alternativas conduzem ao posicionamento ab-
soluto (onde a posição é definida a partir de um sistema 
de coordenadas) ou ao posicionamento relativo (onde 
a posição é definida a partir de outros pontos da rede). 
Mas, o posicionamento pressupõe o conhecimento da 
geometria do campo de gravidade para a redução das ob-
servações geodésicas, obtidas na superfície física da Terra 
(espaço físico), ao sistema de referência sobre o qual as 
posições são definidas (espaço geométrico). Isso significa 
que o conhecimento do campo de gravidade é imprescin-
dível para a Geodésia.
 As variações temporais que ocorreram no posi-
cionamento de campos no campo de gravidade da Terra 
resultam das deformações relacionadas com as marés 
terrestres, as cargas crustais, as forças tectônicas, e ou-
tras forças que constituem fenômenos ainda desconhe-
cidos. Enquanto a Geodésia estuda a geometria dessas 
deformações, a geofísica estuda suas causas e as impli-
cações no conhecimento da estrutura e das propriedades 
físicas da Terra.
2. Introdução
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2.1 APLICAÇÕES DA GEODÉSIA
 Durante séculos, o papel da Geodésia foi basi-
camente servir ao mapeamento, o que muitas pessoas 
ainda consideram como o seu objetivo principal. Mas, 
atualmente a restrição da Geodésia ao posicionamento 
de pontos para o controle do mapeamento é incorreta. 
Ainda que uma parte considerável dos dados fornecidos 
pela Geodésia esteja associada ao apoio cartográfico, 
uma parte igualmente considerável não está. Algumas 
aplicações geodésicas importantes são:
MAPEAMENTO
 A implantação do apoio básico através de pontos 
de controle horizontais e verticais para a produção de 
mapas nacionais (pequenas escalas) ou municipais (gran-
des escalas) constituiu uma atividade geodésica impres-
cindível.
PROJETOS DE ENGENHARIA
 A construção de grandes estruturas tais como 
barragens, pontes e fábricas envolvem o assentamento 
de componentes estruturais em locais pré- determina-
dos. Para isso, são utilizadas as coordenadas vinculadas 
a pontos de controle. Muitas vezes são necessários es-
tudos do movimento do solo e do nível da água antes e 
durante os trabalhos. A construção de barragens, túneis 
de água, projetos, entre outros envolve o conhecimento 
da forma das superfícies equipotenciais do campo de gra-
vidade. A monitoração de estruturas e a determinação de 
superfícies são também trabalhos geodésicos.
ADMINISTRACÃO URBANA
 Nas áreas urbanas, as obras realizadas pelo ho-
mem tais como serviços de utilidade pública devem ser 
definidos e documentados através de pontos de controle 
para futuras referências.
DEMARCACÃO DE FRONTEIRAS
 A definição de fronteiras internacionais e nacio-
nais é realizada através do posicionamento geodésico. 
Atualmente, tornou-se importante a rapidez e a precisão 
com que esses trabalhos são realizados nas demarcações 
de áreas para arrendamento mesmo nas regiões remo-
tas e inóspitas como, por exemplo: na Região Ártica, no 
Mar do Norte e selvas continentais. O posicionamento e 
a demarcação dessas fronteiras são mais econômicas 
através das redes de pontos, que constituem redes geo-
désicas
ECOLOGIA
 Nas últimas décadas, vem sendo reconhecida a 
necessidade de estudos sobre os efeitos da ação do ho-
mem no meio em que vivemos. Um desses efeitos é a 
movimentação do solo causada pela remoção de recur-
sos minerais (água, óleo, minério) ou depósitos subterrâ-
neos de lixo. A monitoração desses movimentos de maté-
ria também é uma aplicação geodésica importante.
ADMINISTRAÇÃO AMBIENTAL
 A implantação de bancos de dados ambientais, 
visando um sistema integrado de informações para trans-
porte, uso da Terra, serviços comunitários e sociais, 
cobranças de impostos, estatística populacional, entre 
outros, devem ter suas posições vinculadas a redes geo-
désicas.
GEOGRAFIA
 Todas as informações posicionais usadas em Ge-
ografia são fornecidas pela Geodésia. Ainda que não seja 
necessário a alta precisão nas informações geométricas e 
posicionais, elas têm escalas global e por isso são forneci-
das pela Geodésia.
2.2 RELAÇÃO DA GEODÉSIA COM OUTRAS CIÊNCIAS
 As aplicações geodésicas atualmente transcen-
dem o posicionamento de pontos para o apoio cartográ-
fico e diversificam-se através de novas metodologias. A 
Geodésia se entrelaça com outras ciências na troca recí-
proca de informações. Por exemplo:
GEOFÍSICA
 Historicamente, é a ciência que tem maior afi-
nidade com a Geodésia. Em muitos temas, não há uma 
linha divisória perfeitamente nítida que separa uma da 
outra. Os estudos geofísicos relacionados com a defor-
mação terrestre envolvem posicionamento e parâmetros 
geométricos de alta precisão, fornecidos pela Geodésia. 
As técnicas geodésicas vêm sendo usadas com sucesso 
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Geodésia - I
há mais de uma década na monitoração dos movimentos 
tectônicos (Savage e Burford, 1973) e nos estudos da Ge-
odinâmica contemporânea (Vanicek, 1977).
 O campo de gravidade é uma fonte de infor-
mações usadas tanto em Geodésia teórica como apli-
cada. Em Geofísica, os dados gravimétricos são impor-
tantes para estudar a distribuição da massa terrestre 
sobretudo na crosta e no manto. Em Geodésia, eles 
são usados no estudo da geometria do campo. Isto 
significa que ambas as ciências estão igualmente inte-
ressadas na medição e no processamento de dados do 
campo de gravidade (Gravimetria). As variações tem-
porais do campo de gravidade fornecem informações 
sobre os movimentos verticais da crosta, atualmente 
estudados no contexto da Geodinâmica. A Geofísica, 
por sua vez, explica a reação física da Terra sob a ação 
de forças, as variações de densidade no seu interior e 
os efeitos da estrutura interna nos seus movimentos. 
Essas informações são necessárias na escolha de mo-
delos matemáticos de interesse geodésico.
CIÊNCIAS ESPACIAIS
 A interação da Geodésia com as Ciências Espa-
ciais ocorre de várias maneiras. Há interesse comum no 
conhecimento da geometria do campo gravitacional para 
a descrição do movimento orbital de veículos espaciais. O 
posicionamento das estações rastreadoras permanentes, 
por requerer alta precisão, é fornecido pela Geodésia. 
Por outro lado, as Ciências
Espaciais vêm desenvolvendo 
poderosos sistemas de posicionamento através de satéli-
tes artificiais que ampliam as potencialidades da metodo-
logia geodésica tradicional. A análise dos elementos orbi-
tais dos satélites próximos da Terra fornecem atualmente 
a melhor representação global do campo de gravidade, 
incluindo o achatamento, e o rastreio de sondas distantes 
constitui a técnica mais apropriada para a determinação 
da massa terrestre.
ASTRONOMIA
 É a ciência com a qual a Geodésia interage des-
de o seu nascimento. Ainda que a independência tenha 
diminuído nos últimos tempos ,a Astronomia de posição 
ainda é uma aliada importante da Geodésia. No futuro 
certamente haverá maior interação através da Radio As-
tronomia e da monitoração da rotação da Terra.
OCEONOGRAFIA
 É outra ciência com a qual a Geodésia compartilha 
interesses. Ambas estando envolvidas com o movimento 
da linha costeira. A Geodésia fornece aos oceanógra-
fos a altitude relativa nos marégrafos e seus movimentos 
verticais, o posicionamento de objetos marinhos incluin-
do navios e blocos de gelo. Entre os dados oceanográficos 
de interesse geodésico estão a dinâmica da superfície 
oceânica, as variações do nível médio do mar em relação 
à equipotencial do campo de gravidade, necessária na 
definição do DATUM vertical.
GEOLOGIA
 O mapeamento geológico envolve tanto o apoio 
horizontal como o vertical, fornecidos pela Geodésia. En-
tre as informações de interesse para os geodesistas, for-
necidas pela Geologia, estão a morfologia e a estabilidade 
locais de diferentes formações geológicas. A estabilidade 
é um requisito imprescindível tanto na monumentacão 
do apoio geodésico básico para o mapeamento como na 
instalação de observatórios.
 A Geodésia tem como objetivos principais o po-
sicionamento de pontos e a representação do campo de 
gravidade da Terra, incluindo as suas variações tempo-
rais. A complexidade da geometria e da distribuição da 
massa terrestre conduzem a utilização de dois modelos: 
o elipsoidal e o geoidal, vide figura 3.1.
Figura 3.1
3. Conceitos e Definições
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Geodésia - I
 Isto significa que a determinação das coor-
denadas de pontos na superfície terrestre e a des-
crição do campo de gravidade externo envolvem 
três superfícies: a superfície física da Terra, a su-
perfície geoidal e a superfície elipsoidal, exemplifi-
cadas na figura 3.2.
Figura 3.2
SUPERFÍCIE FÍSICA DA TERRA (SF)
 É a superfície limitante do relevo topográfico 
continental ou oceânico. É sobre ela que são realizadas 
as medições geodésicas de distâncias, de ângulos, entre 
outras.
SUPERFÍCIE GEOIDAL (SG)
 É a equipotencial que coincide com o nível médio 
dos mares não perturbados. Esta é a superfície que teori-
camente passa pelos pontos de altitude nula, determina-
dos pelos marégrafos.
 
SUPERFÍCIE ELIPSOIDAL (SE)
 É a equipotencial limitante do elipsóide adotado. 
As observações geodésicas, obtidas na superfície física da 
Terra, são reduzidas à superfície elipsoidal para todos os 
cálculos geodésicos. A superfície geoidal proporciona a 
definição do geóide, que é um elemento importante em 
Geodésia.
GEÓIDE
 É a forma geométrica limitada pela superfície 
geoidal.
VERTICAL DE PONTO (v)
 É a linha de força do campo de gravidade da Terra 
real que passa pelo ponto. Na prática, a vertical é a tan-
gente à linha de força no ponto considerado.
NORMAL DE UM PONTO(n)
 É a linha de força do campo de gravidade da Ter-
ra normal ou teórica que passa pelo ponto. Na prática, a 
vertical é a tangente à linha de força no ponto considera-
do
3.1 COORDANADAS CARTESIANAS GEOCÊNTRICAS
 O sistema cartesiano geocêntrico (X,Y,Z), também 
conhecido como sistema terrestre convencional é repre-
sentado na figura 3.3, e definido do seguinte modo:
 • Origem O coincide com o centro de massa da 
Terra;
 • Eixo Z orientado para o Conventional Interna-
tional Origin (CIO), conforme definição do International 
Service of Polar Motion (ISPM);
 • Eixo X contido no plano do meridiano médio de 
Greenwich; e
 • Eixo Y orientado a 90º do eixo X.
 
Figura 3.3
 Neste sistema, as coordenadas (x, y, z) de um 
ponto da superfície terrestre são invariáveis para a Terra 
rígida e sem movimentos da crosta.
3.2 COORDANADAS ASTRONÔMICAS
 O posicionamento geodésico convencional não 
pode ser dissociado das observações astronômicas. A 
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Geodésia - I
orientação de uma triangulação se faz através dos pontos 
nos quais se determinam as coordenadas astronômicas e 
o azimute de uma direção. A definição das coordenadas 
astronômicas envolve os conceitos de esfera celeste, pa-
ralelos e meridianos.
ESFERA CELESTE
 É a esfera ideal de raio infinito centrada no geo-
centro, sobre a superfície da qual se projetam todos os 
astros, com girando aparentemente (devido à rotação da 
Terra) de leste para oeste, arrastando consigo todos os 
corpos celestes, figura 3.4.
 Nas noites estreladas, temos dela uma impressão 
quase real quando assistimos ao espetáculo deslumbran-
te de uma abóbada negra, salpicada de pontos brilhan-
tes, deslocando-se do nascente para o poente.
 Os problemas nos quais se usa Astronomia de 
campo não envolvem a distância dos astros ao centro da 
esfera, envolvem apenas as direções segundo as quais 
eles são vistos, o que permite considerá-los a igual dis-
tância da Terra.
Figura 3.4
EIXO DO MUNDO
 É a reta imaginária PnPs (figura 3.4) resultante do 
prolongamento do eixo de rotação da Terra, entorno do 
qual se processa o movimento aparente de rotação da 
esfera celeste.
POLOS CELESTES
 São os dois pontos da esfera celeste (figura 3.4) 
diametralmente opostos definidos pelo eixo do mundo. 
Um é o polo norte Pn, boreal ou ártico, outro é o polo sul 
Ps, austral ou antártico.
 Nenhum dos astros conhecidos materializa exa-
tamente os polos. A estrela Umi (Polaris) é a que está 
mais próxima (1º) do polo norte e a estrela 6 Oct (6ª gran-
deza) é a que está mais próxima (55’)do polo sul.
 
EQUADOR CELESTE
 É o círculo máximo QQ’, determinado pelo plano 
perpendicular ao eixo do mundo (figura 3.4), dividindo a 
esfera celeste em dois hemisférios que recebem o nome 
do polo que contêm.
PARALELOS CELESTES
 São círculos menores, determinados pelos planos 
perpendiculares ao eixo do mundo.
MERIDIANOS CELESTES
 São círculos máximos determinados pelos planos 
que contêm o eixo do mundo (figura 3.4), PnAPsB e Pn-
QPsQ’.
MERIDIANO LOCAL
 É um caso particular do meridiano celeste, já que 
contêm a vertical do lugar.
MERIDIANO MÉDIO DE GREENWICH (MG)
 É o meridiano cuja direção é a média das dire-
ções de 77 (paralelos à direção da CIO) e forma ângulos 
fixos com os meridianos (plano paralelos à CIO e à vertical 
do ponto) de 77 observatórios (Bomfort, 1980).
 As coordenadas astronômicas são definidas na 
esfera celeste termos dos elementos fundamentais, figu-
ra 3.5.
Figura 3.5.
13
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Geodésia - I
LATITUDE ASTRONÔMICA DE UM PONTO (F)
 
 É o ângulo que a vertical desse ponto forma com 
a sua projeção sobre o plano do equador (origem). Por 
convençam, a latitude astronômica é positiva no hemis-
fério norte e negativa no hemisfério sul.
LONGITTDE ASTRONÔMICADE UM PONTO (L)
 
 É o ângulo do diedro formado pelo meridiano 
médio de Greenwich (origem) e pelo meridiano local (do 
ponto). Por convenção, a longitude astronômica é posi-
tiva contada por este e negativa se contada por oeste de 
Greenwich. 
3.3 COORDANADAS GEODÉSICAS
 As coordenadas geodésicas são definidas sobre 
um elipsoide de revolução, adotado como modelo ma-
temático da Terra. Como não se conhece a posição do 
centro de massa da Terra, não é possível estabelecer a 
coincidência dos eixos de rotação. Mas, é necessário im-
por a condição de paralelismo entre o eixo de rotação 
do modelo e o eixo de rotação médio da Terra. Tem-se, 
então, a latitude e a longitude geodésicas (figura 3.6) de-
finidas do seguinte modo:
Figura 3.6
LATITUDE GEODÉSICA DE UM PONTO (j)
 É ângulo formado
pela normal que passa pelo 
ponto e a projeção sobre o plano do equador. Por con-
venção, a latitude geodésica é positivo no hemisfério 
norte e negativa no hemisfério Sul.
LONGITUDE GEODÉSICA DE UM PONTO( l)
 É o ângulo do diedro formado pelo meridiano 
médio de Greenwich e o meridiano do ponto. Por con-
venção, a longitude é positiva contada por leste e negati-
va contada por oeste de Greenwich.
DIFERENÇA ENTRE AS COORDENADAS ASTRONÔMICAS 
E GEODÉSICAS DE UM PONTO
 As coordenadas astronômicas definem posições 
de ponto sobre o geoide enquanto que as coordenadas 
geodésicas definem posições de ponto sobre o elipsoide. 
Para o posicionamento de pontos sobre a superfície física 
da Terra, são necessárias ainda a altitude ortométrica (H), 
a altitude geométrica (h) e a altura geoidal (N).
Figura 3.7
ALTITUDE ORTOMÉTRICA DE PONTO (H) 
 É à distância, contada sobre a vertical entre o 
ponto considerado e o geóide. Por convenção, a altitude 
ortométrica é positiva acima da superfície geoidal e nega-
tiva abaixo dela.
ALTITUDE GEOMÉTRICADE UM PONTO (h)
 É à distância, contada sobre a normal entre o 
ponto considerado e o elipsóide.
ALTURA GEOIDAL DE UM PONTO (N) 
 É à distância, contada sobre a normal, entre as 
superfícies geoidal e elipsoidal. Por convenção a altura 
geoidal é positiva acima da superfície elipsoidal e negati-
va abaixo dela.
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Geodésia - I
AZIMUTE DA DIRECÃO ENTRE DOIS PONTOS (A)
 É o ângulo que o meridiano do ponto forma com 
a direção convencionada entre esses pontos. Na figura 
3.7, A12 representa o azimute da direção 1.2, contada do 
norte por leste, A21 representa o azimute da direção 2.1, 
ou contra-azimute da direção 1.2. Convém observar que 
não há uma convenção plenamente adotada na origem 
do azimute. O usuário ao consultar a literatura deve iden-
tificar a convenção adotada pelo autor.
 Figura 3.8
3.4 RELACÕES ENTRE COORDENADAS ASTRONÔMICAS 
E GEODÉSICAS
 
 Como a deformação do geóide em relação ao 
elipsóide é relativamente pequena, (a altura geoidal, em 
valor absoluto, não ultrapassa 100m), e a inclinação entre 
as superfícies geoidal e elipsoidal é moderada (em todos 
os pontos a superfície geoidal é convexa), pode-se espe-
rar que as diferenças entre as coordenadas astronômicas 
e a geodésicas sejam também pequenas. Isso realmen-
te ocorre e pode ser facilmente verificado. A inclinação 
entre as superfícies geoidal e elipsoidal num ponto, de-
nominado desvio da vertical, é representado através das 
componentes meridianos e primeiro vertical, figura 3.9.
 
Figura 3.9
COMPONENTE MERIDIANA DO DESVIO DA VERTICAL (x)
 É a diferença entre a latitude astronômica e a la-
titude geodésica desse ponto.
x = F- j
 ( 3.1 )
Onde :
 x = componente meridiana do desvio da vertical 
no ponto;
 F= latitude astronômica do ponto; e
 j= latitude geodésica do mesmo ponto.
COMPONENTE PRIMEIRO VERTICAL DO DESVIO DA VER-
TICAL (η)
 É a diferença entre a longitude astronômica e a 
longitude geodésica, multiplicada pelo cosseno da latitu-
de geodésica.
η = (L - l)cos 
 (3.2)
Onde :
η = componente meridiana do desvido da vertical no ponto;
L = longitude astronômica do ponto;
l = longitude geodésica do ponto; e
j = latitude geodésica do mesmo ponto; 
 A componente do primeiro vertical pode tam-
bém ser expressa a partir dos azimutes astronômico e 
geodésico da mesma direção.
η = (Aa - Ag)cos j
 ( 3.3 )
Onde :
η = componente meridiana do desvido da vertical no ponto;
Aa = Azimute astronômico do ponto;
Ag = Azimute geodésico do ponto; e
j = latitude geodésica do mesmo ponto; 
Comparando as equações 3.2 e 3.3 obtém-se a equação 
de Laplace (3.4) para azimute:
 Ag = Aa-(L-l)cos j 
 ( 3.4 )
Onde :
Ag = Azimute geodésico do ponto; 
Aa = Azimute astronômico do ponto;
j = latitude geodésica do mesmo ponto; 
L = longitude astronômica do ponto;
l = longitude geodésica do ponto; e
j = latitude geodésica do mesmo ponto; 
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Geodésia - I
 Esta expressão permite transformar um azimute 
astronômico em azimute e longitude independente das 
componentes do desvio da vertical.
 Os vértices de uma triangulação onde se realiza 
a medições de azimute e longitude são chamados Pontos 
de Laplace e proporcionam a orientação da rede
3.5 RELACÃO ENTRE COORDENADAS CARTESIANAS E 
GEODÉSICAS
 Além das coordenadas geográficas (astronômi-
cas e elipsoidais) a Geodésia usa as coordenadas geocên-
tricas e locais. As coordenadas cartesianas geocêntricas 
do ponto P sobre o elipsóide de referência, figura 3.10, 
em função das elipsoidais são expressas por:
Figura 3.10
x = v cos j cos l
y = v cos j sen l
z = v (1 -e2)sen j 
Onde:
v = grande normal: e
e = primeira excentricidade
onde 
a e b são parâmetros do elipsóide
 As coordenadas de um ponto sobre a superfície 
física da Terra são obtidas diretamente através da altitu-
de geométrica (figura 3.7)
x = (v + h) cos j cos l
y = (v+ h) cos j sen l
z = [v (1 -e2)+h] senj
 A (3.8) as coordenadas cartesianas de um ponto 
(x, y, z) da superfície física a partir das suas coordenadas 
geodésicas j ,l ,h ). A transformação inversa, isto é, a 
determinação das coordenadas geodésicas a partir das 
cartesianas não admite uma representação analítica sim-
ples. Mas, as coordenadas geodésicas podem ser obtidas 
facilmente pelo método iterativo.
 A latitude aproximada (j) é obtida inicialmente 
pela expressão (Heiskanen & Moritz, 1967) 
 
 Com (j0) obtem-se a altitude geométrica aproxi-
mada (h0)
onde:
 Na segunda iteração, calcula-se (j1):
e:
 
 Repetindo este procedimento até que a diferença 
entre os valores obtidos entre duas iterações sucessivas 
torne-se desprezível, obtêm-se Φ e h. A longitude λ pode 
ser expressa analiticamente em função das coordenadas 
cartesianas. Isso completa as fórmulas para a transforma-
ção entre coordenadas cartesianas e geodésicas.
 Um Sistema Geodésico se caracteriza pela defi-
nição de um elipsóide de referência, de um datum e do 
desvio da vertical do lugar. O Datum é fica determinado 
pelos parâmetros iniciais: coordenadas geodésicas de um 
( 3.14 )
( 3.5 )
( 3.6 )
( 3.7 )
( 3.8 )
( 3.9 )
( 3.10 )
( 3.11 )
( 3.12 )
-v1 ( 3.13 )
4. Sistemas Geodésicos
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Geodésia - I
ponto georeferenciado (que pode ser um vértice de um 
triângulo), uma base geodésica (lado do triangulo) e azi-
mute desta base. As coordenadas fixam o ponto no elip-
sóide de referência. A base, por sua vez, fornece a escala, 
enquanto que o azimute orienta o sistema. A vertical, de-
terminada pela direção do fio de prumo sobre a super-
fície física da Terra, pode não coincidir com a normal ao 
elipsóide. Haverá um desvio, denominado de desvio da 
vertical, conforme ilustra a Figura 5.1. Ressalta-se tam-
bém, que o centro do elipsóide de referência pode não 
coincidir com o centro de massa da Terra.
 Um elipsóide de referência pode ser definido ou 
arbitrado. Observando-se a Figura 5.1 poder-se-á iden-
tificar as superfícies de referência a ser adotada pelos 
geodesistas, podendo ser o Esferóide ou o Elipsóide de 
Revolução para realizar os cálculos geodésicos. A for-
ma geométrica do elipsóide de revolução é a que mais 
se aproxima do Geóide, sendo a que oferece resultados 
mais exatos. Na América do Norte e Central se usa o Elip-
sóide de Clark, enquanto que na América do Sul o Elip-
sóide de Hayford ainda é usado. No Brasil, ainda existem 
mapas com base neste elipsóide. 
Figura 5.1
4.1 SISTEMA GEODÉSICO BRASILEIRO - SGB
Caracterização do Sistema.
 
 O Elipsóide de Referência Internacional de 1967 
define a forma geométrico-matemática do planeta Ter-
ra, adotado no Brasil desde 1969 (SAD 69). A altimetria 
encontra-se referenciada à superfície equipotencial que 
contem o nível médio do mar na Baia de Imbituba, em 
Santa Catarina (a superfície média do mar é definida a 
partir de observações da variação do nível do mar no ma-
régrafo ali instalado).
 É da responsabilidade do Instituto Brasileiro de 
Geografia
e Estatística – IBGE fixar as diretrizes e bases 
da Cartografia Brasileira e dar outras providências e, para 
tal, estabelecer um sistema planialtimétrico único de 
pontos geodésicos de controle, materializados no terreno 
para servir de base ao desenvolvimento de trabalhos de 
natureza geodésica e cartográfica.
 A Figura 4.1 ilustra a placa de bronze que é colo-
cada numa base de concreto, identificando o denomina-
do marco geodésico, implantado no território brasileiro.
Figura 4.1 Referência de nível do marco geodésico pertencente ao SGB
4.2 REDES DE REFERÊNCIA
 Uma Rede de Referência Geodésica consiste 
em um conjunto de pontos materializados através de 
marcos, com coordenadas planimétricas e/ou altimé-
tricas, referenciadas a uma única origem, o Sistema 
Geodésico Brasileiro – SGB, implementado, adminis-
trado e mantido pelo Instituto Brasileiro de Geogra-
fia e Estatística (IBGE), possibilitando a amarração de 
plantas e mapas e suas atualizações a uma mesma re-
ferência. É a materialização de um sistema geodésico 
de referência.
 O IBGE trata as redes de referência indepen-
dentes: planimétrica, altimétrica e gravimétrica. Isso 
se deu pelas dificuldades em sua implantação origi-
nal, onde a planimétrica de forma geral era executa-
da através de triangulação e a altimétrica por nivela-
mento. As triangulações exigiam visadas longas (de 5 
a 30km) e para isso os vértices eram implantados nos 
topos dos morros sem urbanização. Já o nivelamento 
exigia visadas curtas (máximo de 50m) e buscava-se 
implantar RNs próximos das vilas, povoados e cidades, 
onde a necessidade era mais emergente. Hoje com o 
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Geodésia - I
posicionamento via satélite a situação mudou e no fu-
turo deveremos ter estas redes totalmente integradas.
Figura 4. 1 Rede de Triangulação implantada entre os anos 1940 e 1980
4.3 ESPECIFICAÇÕES GERAIS DO SGB
 • Parâmetros do Elipsóide – Forma Geométrica 
da Terra 
 Semi-eixo maior (a) = 6.378.160,000m
 Achatamento (f) = 1/298,25
 • Orientação:
 Geocêntrica - Eixo de rotação paralelo ao eixo de 
rotação da Terra. Plano meridiano de Greenwich como 
inicio das longitudes.
 Topocêntrica - Vértice Chuá, da cadeia de trian-
gulação do paralelo 20º Sul. 
 Sendo: j = 19º 45´ 41,6527” Sul (Latitude)
 l = 48º 06´04,0639” WGr. (Longitude)
 Azimute (a) = 271º 30´04,05” SWNE, para o 
Vértice UBERABA.
 Desvio da vertical (η) = 3,59”
 Um sistema geodésico, assim definido, é denomi-
nado de regional, tendo em vista que o centro do elipsói-
de de referência não coincide com o centro de massa da 
Terra, sendo o elipsóide ajustado a uma rede geodésica 
de pontos, tendo no Vértice Chuá seu vínculo básico (da-
tum planimétrico).
 As posições dos pontos na superfície terrestre 
são definidas por meio de linhas de referência, denomi-
nadas de coordenadas, que ao se cruzarem em ângulos 
estabelecidos, os definem naquele lugar.
Os principais sistemas de coordenadas são três: coorde-
nadas esféricas, coordenadas retangulares e coordena-
das polares.
Em Cartografia trabalha-se com os seguintes sistemas de 
coordenadas:
 • Coordenadas Geodésicas,
 • Coordenadas Cartesianas,
 • Coordenadas Plano-retangulares - UTM
5.1 SISTEMA ELIPSOIDAL DE COORDENADAS (GEODÉSICO)
 Para que o posicionamento de um ponto sobre 
o Elipsóide de Referência seja determinado de maneira 
única, foram estabelecidas linhas de referência que per-
mitem que isto possa ser efetivado. As Figuras 5.1 e 5.2 
mostram a superfície de referência elipsoidal, as linhas 
de referência desenhadas sobre ela e a identificação da 
posição de um ponto situado sobre a superfície terrestre 
mediante suas coordenadas geodésicas.
 As linhas desenhadas no sentido Norte/Sul são 
denominadas de meridianos enquanto que as linhas de-
senhadas no sentido Leste/Oeste são denominadas de 
paralelos Estas linhas formam um sistema denominado 
de Sistema de Coordenadas Geodésico, cuja origem é um 
ponto situado sobre o meridiano que passa por Greenwi-
ch (na Inglaterra) e sobre a linha do Equador. As coorde-
nadas definidas do sistema são denominadas de latitudes 
e longitudes geodésicas.
 •Projeção de um ponto sobre a superfície de refe-
rência elipsoidal
 Considera-se, simultaneamente, a latitude e a 
longitude de um ponto na superfície terrestre. A cada la-
titude corresponde um paralelo e a cada longitude, um 
meridiano. O ponto de encontro dos dois determina a po-
sição do ponto P1 sobre a superfície de referência. Porém, 
o ponto P1 é na verdade a projeção do ponto P sobre a 
superfície de referência, isto porque o ponto P encontra-
-se sobre a superfície real (topográfica). A normal PP1 é 
denominada de altitude elipsoidal do ponto (H). Os três 
parâmetros são, portanto, as coordenadas geodésicas do 
5. Sistemas de Coordenadas em Geodésia
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Geodésia - I
ponto P (Latitude, Longitude, Altura elipsoidal).
 
Figura 5.1 - Superfície de referência geodésica
 
Figura 5.2 - Apresenta a longitude de um ponto P situado sobre a 
superfície de referencia (Longitude Oeste )
5.2 SISTEMA GEODÉSICO DE REFERÊNCIA - DATUM HO-
RIZONTAL
 Para um bom ajuste, cada país ou região ado-
tou um elipsoide de referência diferente e que melhor 
ajustou às suas dimensões. Ao utilizar um elipsoide 
numa determinada posição, cria-se uma nova superfí-
cie, ou seja, um novo Datum.
Figura 5.3 Sistemas geodésicos
 
Para a definição de um Datum é necessário conter 3 ele-
mentos:
 • Contém a forma e tamanho de um Elipsoide
 • Contém a posição do elipsoide relativa ao geoi-
de
 Topocêntrico: vértice na superfície terrestre que 
serve para a amarração do elipsoide ao geoide
 Geocêntrico: amarrado ao centro de massa da 
terra (recomendado pela UGGI)
 • Contém os parâmetros de conversão para o 
Datum Internacional WGS-84 (World Geodetic System of 
1984)
 Delta X, Delta Y, Delta Z
 Rotação e escala
Figura 5.4 Ilustração do Datum X em relação o WGS84
 
 O referencial planimétrico ou Datum Horizontal 
Oficial no Brasil é o SIRGAS-2000 (Sistema de Referência 
Geocêntrico para as Américas de 2000) desde 25/02/2005. 
Nos 10 anos seguintes, ou seja, até 25/02/2015 os usu-
ários poderiam utilizar concomitantemente o SAD-69 
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Geodésia - I
(South American Datum of 1969), mas deveriam adequar e ajustar suas bases de dados, métodos e procedimentos ao 
novo sistema.
Tabela 1: Parâmetros de transformação de sistema geodésico
6.1 TIPOS DE PROJEÇÃO
 Projeção Cartográfica é a técnica de projetar a superfície da Terra, admitida como esférica ou elipsóidica, em 
um plano. A projeção cartográfica é definida por um Modelo da Superfície Terrestre (Datum) e pelo plano de projeção. 
O problema da cartografia consiste na tentativa de representar a superfície terrestre, modelada como esfera ou elip-
soide, no plano. Esses modelos são superfícies não-desenvolvíveis, ou seja, não é possível sua perfeita planificação.
 Portanto, qualquer sistema projetivo apresenta distorções de formas, de áreas, de ângulos ou de distâncias. O 
tipo de projeção adotado em um mapa deve ser aquele que melhor conservar propriedades de interesse do usuário.
Projeção Plana Projeção Cônica Projeção Cilíndrica
Figura 6.1. Projeções cartográficas De acordo com o tipo de projeção
 Classificamos elas em:
 • Equidistante: sem deformações lineares em uma ou algumas direções
 • Equivalente (equiárea): sem deformações de área (dentro de certos limites)
 • Conforme (ortomórfica): sem deformações de ângulos (dentro de certos limites)
 • Afilática: não conserva propriedades, mas minimiza as deformações em conjunto.
Datum Elipsoide Tipo
Raio Equa-
torial semi
-eixo
maior a
Raio Polar 
semi-eixo 
menor b f ΔX ΔY ΔZ
Córrego Alegre Hayford Topocêntrico 6378388 6356912,00000 1/297 -205,57 +168,77 -4,12
SAD69/1996 UGGI-67 Topocêntrico 6378160 6356774,71920 1/298,25 -66,87 +4,37 -38,52
SAD69/2005 UGGI-67 Topocêntrico 6378160 6356774,71920 1/298,25 -67,35 +3,88 -38,22
WGS84(G1150) WGS84 Geocêntrico 6378137 6356752,31425
1/298,257223563 0,00 0,00 0,00
SIRGAS2000 GRS80 Geocêntrico 6378137 6356752,31414 1/298,257222101 0,00 0,00 0.00
Astro Chuá Hayford Topocêntrico 6378388 6356912,00000 1/297 -143,87 243,37 -33,52
6. Sistemas de Projeções Cartográficas
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Geodésia - I
 Vamos analisar a projeção plana. Imaginemos 
então um retângulo em campo já projetado sobre o 
elipsoide, conforme a figura a seguir. Observe que em 
campo, quem estiver sobre os pontos A, B, C ou D, irá 
ver em campo um retângulo, pois as direções serão 
uma reta aparente (acompanhando a curvatura ter-
restre) e os ângulos internos são 90°. Ao ser projetado 
este retângulo sobre a projeção plana, os ângulos e as 
distâncias se deformam, sendo apresentado um tra-
pézio. Esta mudança de forma geométrica pode tra-
zer grandes problemas se a base for utilizada para um 
projeto, por exemplo.
 Analisando o mesmo retângulo na projeção 
cônica, teremos outras deformações, tanto na distân-
cia com em ângulos também. Observe que direções 
aparentemente retas ficam bem curvas na projeção 
cônica. Este efeito também é prejudicial quando tra-
balhamos com topografia.
 Na projeção Cilíndrica, não temos a deforma-
ção angular, o que mantem a forma geométrica. O re-
tângulo em campo continua sendo um retângulo na 
projeção. A deformação ocorre nas distâncias e con-
sequentemente nas áreas. Mas observe que a forma 
geométrica é mantida. Isso permite que esta projeção 
seja utilizada para projetos, pois o elemento projeta-
do manterá suas características em campo.
6.2. SISTEMAS DE PROJEÇÃO TM (TRANSVERSA DE MER-
CATOR)
TM (Transversa de Mercator)
 
 Gerhard Kremer Mercátor (1512-1594) ma-
temático e cartógrafo belga, é o autor das projeções 
TM, atualmente considerado o pai da Cartografia Mo-
derna. Foi o introdutor do uso de projeção cilíndrica e 
também da confecção de mapas para navegação. So-
mente em 1950 foi adotado a formatação do sistema 
como é hoje.
 Vários sistemas de projeções, como o Gauss 
(1822), Gauss Krüger (1920) e Gauss Tardi foram de-
senvolvidos com base em estudos de Mercator. Reco-
mendado pela União Geodésica e Geofísica Interna-
cional.
 O sistema de projeção UTM é o sistema mais 
utilizado para a confecção de mapas. É o recomenda-
do pela UGGI (União de Geodésia e Geofísica Interna-
cional). Sua amplitude é de 6º de longitude, formando 
um conjunto de 60 fusos UTM no recobrimento ter-
restre total. Os Fusos são numerados a partir do Anti-
-meridiano de Greenwich (longitude -180º) e de oeste 
para leste.
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Geodésia - I
 No Brasil temos o fuso 18 passando pela ponta do Acre até o fuso 25 passando por Fernando de Noronha.
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Geodésia - I
RTM (Regional Transversa de Mercator)
 O Sistema RTM possui amplitude de 2º, formando 
um conjunto de 180 fusos RTM no recobrimento terrestre 
total. Cada Fuso é mapeado separadamente no Hemisfé-
rio Sul e no Hemisfério Norte. Os Fusos são numerados a 
partir do Anti-meridiano de Greenwich (longitude -180º) 
e de oeste para leste.
 Em Santa Catarina temos o fuso 64 passando 
pelo Extremo Oeste até o fuso 66 passando pelo
Litoral.
 Em casos de áreas abrangidas por 2 fusos tem-se 
2 soluções:
 1) trabalhar como 2 mapeamentos distintos, caso 
a área seja muito grande, pois os fusos mapeados não são 
contíguos
 2) extrapolar o fuso em até 10’ na tentativa de 
abranger toda a área, que no Equador 10’ equivalem a 
aproximadamente 18km;
 Os limites de atuação dos fusos na latitude são 
80ºS e 80ºN. Além destes limites a RTM não é indicada.
LTM (Local Transversa de Mercator)
 Sistema utilizado no Brasil para projetos, mas 
esta definição não tem sustentação técnica. Sua ampli-
tude é de 1º, formando um conjunto de 360 fusos LTM 
no recobrimento terrestre total. Cada Fuso é mapeado 
separadamente no Hemisfério Sul e no Hemisfério Norte. 
Os Fusos são numerados a partir do Anti-meridiano de 
Greenwich (longitude -180º) e de oeste para leste.
 Em Santa Catarina temos o fuso 127 passando 
pelo Extremo Oeste até o fuso 132 passando pelo Litoral
 Em casos de áreas abrangidas por 2 fusos tem-se 
2 soluções:
 1) trabalhar como 2 mapeamentos distintos, caso 
a área seja muito grande, pois os fusos mapeados não são 
contíguos
 2) extrapolar o fuso em até 5’ na tentativa de 
abranger toda a área, que no Equador 5’ equivalem a 
aproximadamente 9km;
 Os limites de atuação dos fusos na latitude são 
80ºS e 80ºN. Além destes limites a LTM não é indicada.
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Geodésia - I
NELSI, Cogô de Sá. Departamento de Geofísica. Instituto de Astronomia, Geofísica e Ciências atmosféricas. Universi-
dade de São Paulo. Elementos de Geodésia. Disponível em < https://social.stoa.usp.br/geografia/apostila-elementos-
-da-geodesia-1.pdf >.
ROVANE, Marcos de França; Adolfo Lino de Araújo; Flavio Boscatto. Apostila de Geodésia. Instituto Federal de San-
ta Catarina. Disponível em < http://sites.florianopolis.ifsc.edu.br/agrimensura/files/2018/03/GEODESIA_APOSTI-
LA_2018_01_mar-1.pdf>
FONTES, Luiz Carlos. Universidade Federal da Bahia, UFBA. Apostila de Fundamentos de Geodésia. Disponível em < 
http://www.topografia.ufba.br/fundamentos%20de%20geodesia.pdf >
 
 
7. Referências Bibliograficas
	capa geodésia
	PAGINA EM BRANCO
	Geodésia diagramado
	capa GEODÉSIA I
	Página 1
	geodésia diagramado