Matemática Aula 02 - Cópia

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MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA MILITAR DO PIAUÍ 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヲ
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヱ
 
AULA 02: CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
SUMÁRIO PÁGINA 
1. Teoria 01 
2. Questões comentadas 59 
3. Lista de questões 142 
4. Gabarito 176 
5. Resumo teórico 161 
 
Olá! 
 
Nesta aula repassaremos diversos tópicos de matemática básica 
que você certamente já estudou em algum momento da vida, mas 
naturalmente não se lembra mais de vários deles! São tópicos que 
servem de base para o entendimento e a resolução de diversas questões 
sobre assuntos mais complexos. 
 
Veremos mais alguns aspectos de Matemática Básica que serão 
muito úteis para a resolução de questões de diversos pontos do seu 
edital. Tenha uma excelente aula. Permaneço à disposição no fórum, ok? 
 
 
1. TEORIA 
 
 Chamamos de conjuntos numéricos as principais classificações dos 
números conhecidos. Nos próximos tópicos conheceremos os principais 
conjuntos, suas propriedades e suas operações. 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA MILITAR DO PIAUÍ 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
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1.1 NÚMEROS NATURAIS 
 Os números naturais têm esse nome por serem aqueles mais 
intuitivos, de “contagem natural”. Isto é, são aqueles construídos com os 
algarismos de 0 a 9. O símbolo desse conjunto é a letra N, e podemos 
escrever os seus elementos entre chaves: 
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 
19, 20, 21, 22…} 
As reticências indicam que este conjunto não tem fim, ou seja, 
existem infinitos números naturais. 
 Apesar de incluído neste conjunto, o zero não é um número natural 
propriamente dito (pois não é um número de “contagem natural”). Por 
isso, utiliza-se o símbolo N* para designar os números naturais positivos, 
isto é, excluindo o zero. Vejam: N* = {1, 2, 3, 4…} 
 Alguns conceitos básicos relacionados aos números naturais: 
 
a) Sucessor: é o próximo número natural. Isto é, o sucessor de 2 é 3, 
e o sucessor de 21 é 22. E o sucessor do número “n” é o número 
“n+1”. 
 
b) Antecessor: é o número natural anterior. Isto é, o antecessor de 2 
é 1, e o antecessor de 21 é 20. E o antecessor do número “n” é o 
número “n-1”. Observe que o número natural zero não possui 
antecessor, pois é o primeiro número desse conjunto. 
 
c) Números consecutivos: são números em sequência. Assim, 
{2,3,4} são números consecutivos, porém {2, 5,4} não são. E {n-
1, n e n+1} são números consecutivos. 
 
d) Números naturais pares: {0, 2, 4...}. Número par é aquele que, ao 
ser dividido por 2, não deixa resto. Por isso o zero também é par. 
 
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TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
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e) Números naturais ímpares: {1, 3, 5...}. Ao serem divididos por 2, 
deixam resto 1. 
 
 
Sobre pares e ímpares, vale a pena perceber que: 
- a soma ou subtração de dois números pares tem resultado par. Ex.: 12 
+ 6 = 18; 12 – 6 = 6. 
- a soma ou subtração de dois números ímpares tem resultado par. Ex.: 
13 + 5 = 18; 13 – 5 = 8. 
- a soma ou subtração de um número par com outro ímpar tem resultado 
ímpar. Ex.: 12 + 5 = 17; 12 – 5 = 7. 
- a multiplicação de números pares tem resultado par: 4 x 6 = 24. 
- a multiplicação de números ímpares tem resultado ímpar: 3 x 5 = 15. 
- a multiplicação de um número par por um número ímpar tem resultado 
par: 2 x 3 = 6. 
 
1.2 NÚMEROS INTEIROS 
 Os números inteiros são os números naturais e seus respectivos 
opostos (negativos). Isto é, 
Z = {...-12, -11, -10, -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 
6, 7, 8, 9, 10, 11, 12...} 
Observem que todos os números Naturais são também Inteiros, 
mas nem todos os números inteiros são naturais. Assim, podemos dizer 
que o conjunto de números naturais está contido no conjunto de números 
inteiros, isto é, N Z, ou ainda que N é um subconjunto de Z. O diagrama 
abaixo explicita esta relação entre N e Z: 
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 Dentro deste conjunto, podemos destacar alguns subconjuntos de 
números. Vejam que os nomes dos subconjuntos são autoexplicativos: 
 
a) Números Inteiros não negativos = {0,1,2,3...}. Veja que são os 
números naturais. 
 
b) Números Inteiros não positivos = {… -3, -2, -1, 0}. Veja que o zero 
também faz parte deste conjunto, pois ele não é positivo nem negativo. 
 
c) Números inteiros negativos = { … -3, -2, -1}. O zero não faz parte. 
 
d) Números inteiros positivos = {1, 2, 3...}. Novamente, o zero não faz 
parte. 
 
1.3 NÚMEROS RACIONAIS 
 Os números racionais são aqueles que podem ser representados na 
forma da divisão de dois números inteiros. Isto é, são aqueles números 
que podem ser escritos na forma (A dividido por B), onde A e B são 
números inteiros. Exemplos: 
 
 é Racional, pois é a divisão do número inteiro 5 pelo número 
inteiro 4. 
 
 é Racional, pois é a divisão do número inteiro -15 pelo número 
inteiro 9, ou a divisão de 15 por -9. 
 
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73 e -195 são Racionais, pois são a divisão dos números 73 e -195 
pelo número 1. 
 
 Observe este último exemplo. Já tínhamos visto que qualquer 
número natural é também inteiro. E agora vemos que todo número inteiro 
é também racional! Isto porque qualquer número inteiro é o resultado da 
divisão dele mesmo por 1, podendo ser representado na forma (A 
dividido por 1, onde A é um número inteiro qualquer). Veja se este novo 
diagrama, contendo os números Naturais, Inteiros e Racionais, faz 
sentido para você: 
 
 O zero também faz parte dos Números Racionais (pode ser escrito 
na forma , concorda?). Porém, quando escrevemos um número racional 
na forma , o denominador (isto é, o número B) nunca é zero. Isto porque 
a divisão de um número por zero é impossível (exceto 0
0
, cujo valor é 
indeterminado). 
 
 No conjunto dos Números Racionais, temos basicamente 3 tipos de 
números: 
 
a) Frações. Ex.: , , etc. 
 
b) Números decimais. Ex.: 1,25 
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 Veja que este número decimal tem escrita finita, isto é, um 
número definido de casas após a vírgula. Por isso, ele também 
poderia ser escrito na forma . Neste caso, poderíamos representá-
lo como , ou mesmo simplificá-lo para . 
 
c) Dízimas periódicas. Ex.: 0,33333... ou simplesmente (a barra 
indica que o algarismo 3 repete-se indefinidamente). 
As dízimas periódicas são consideradas racionais porque 
também podem ser escritas na forma . O número deste exemplo 
poderia ser escrito na forma . Existem métodos que nos permitem 
encontrar qual fração é equivalente a uma determinada dízima 
periódica. Outro exemplo de dízima periódica: 1,352525252... ou 
. 
 
 Antes de prosseguirmos, vejamos como obter as frações que dão 
origem a dízimas periódicas. Divida 1 por 3 e você obterá 0,333... , ou 
simplesmente 0,3. Assim, dizemos que a “fração geratriz” da dízima 0,3 é 
igual a 1
3
. Existem métodos que nos permitem, a partir de uma dízima 
periódica, chegar até a fração que deu origem a ela. 
 
 Em alguns casos, a parte que se repete já começa logo após a 
vírgula. Isto é o caso em: 
0,333... 
0,353535... 
0,215215215... 
 
 Em outros casos, existem alguns números entre a vírgula e o início 
da repetição. Veja esses números sublinhados nas dízimas abaixo: 
0,1333... 
0,04353535... 
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0,327215215215... 
 
 Vamos começar trabalhando com os casos onde a repetição começa 
logo após a vírgula, para a seguir estender o método aos casos onde 
existem números entre a vírgula e o início da repetição. 
 ฀ Casos onde a repetição começa logo após a vírgula: 
Vamos trabalhar com a dízima 0,333... . Chamemos de X a fração 
que dá origem a esta dízima. Ou seja, 
X = 0,333... 
 
 Como a repetição é formada por um único número (3), se 
multiplicarmos esta dízima por 10 conseguimos passar, para o outro lado 
da vírgula, o primeiro número da repetição: 
10X = 10 x 0,333... = 3,333... 
 
 Observe que 10X = 3 + 0,333... . Veja ainda a seguinte subtração: 
10X – X = 3,333... – 0,333... 
 
 Os dois números à direita da igualdade acima possuem infinitas 
casas decimais idênticas. Portanto, o resultado desta subtração é: 
9X = 3 
3 1
9 3
X   
 Assim, descobrimos que a fração geratriz da dízima 0,333... é 
1
3
X  . 
 Vejamos um segundo exemplo: vamos buscar a fração geratriz da 
dízima 0,216216216... . Repare que temos a repetição de 216, e não há 
nenhuma casa separando a vírgula e o início da repetição. Chamando de 
X a fração geratriz da dízima, temos: 
X = 0,216216216... 
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 Para passar a primeira repetição (216) para a esquerda da vírgula, 
precisamos multiplicar X por 1000: 
1000X = 216,216216216... 
 
 Efetuando a subtração 1000X – X podemos obter a fração geratriz: 
1000X – X = 216,216216216... – 0,216216216... 
999X = 216 
216 24
999 111
X   
 
 Assim, a geratriz de 0,216 é a fração 24
111
. 
 ฀ Casos onde existem números entre a vírgula e o início da 
repetição: 
Vejamos como obter a fração geratriz da dízima 1,327215215215... 
. Veja que, neste caso, temos a repetição do termo 215. Entre a vírgula e 
o início da repetição temos 3 números (327). Deste modo, chamando de 
X a fração geratriz, temos: 
X = 1,327215215215... 
 
 Multiplicando X por 1000 conseguimos deixar, à direita da vírgula, 
apenas os termos que se repetem: 
1000X = 1327,215215215... 
 
 E multiplicando X por 1000000 conseguimos passar a primeira 
repetição “215” para o lado esquerdo da vírgula: 
1000000X = 1327215,215215215... 
 
 Assim, podemos efetuar a seguinte subtração: 
1000000X – 1000X = 1327215,215215215... - 1327,215215215... 
999000X = 1327215 – 1327 
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999000X = 1325888 
1325888
999000
X  
 Temos, portanto, a fração geratriz da dízima 1,327215215215... . 
Poderíamos ainda simplificá-la, se quiséssemos. 
 
1.3.1 OPERAÇÕES COM NÚMEROS RACIONAIS 
 As quatro operações básicas que podemos efetuar com estes 
números são: adição, subtração, multiplicação e divisão. Vejamos em 
detalhes cada uma delas. 
 
a) Adição: 
 A adição de dois números é dada pela soma destes dois números. 
Isto é, a adição de 15 e 6 é: 
15 + 6 = 21 
 
 Você se lembra do método para se efetuar a soma de dois 
números? Vamos exercitar efetuando a soma 728 + 46. Primeiramente, 
você deve posicionar estes números um abaixo do outro, alinhados pela 
direita (casa das unidades): 
 728 
 +46 
 
 A seguir devemos começar a efetuar a soma pela direita. Somando 
8 + 6 obtemos 14. Com isto, devemos colocar o algarismo das unidades 
(4) no resultado e transportar o algarismo das dezenas (1) para a 
próxima soma: 
 1 
 728 
 +46 
 4 
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 Agora, devemos somar os dois próximos números (2 + 4), e 
adicionar também o número que veio da soma anterior (1). Assim, 
obtemos 7. Devemos colocar este número no resultado: 
 728 
 +46 
 74 
 
 Temos ainda o algarismo 7 na casa das centenas do número 728. 
Como o segundo número (46) não possui casa das unidades, podemos 
simplesmente levar este 7 para o resultado, obtendo: 
 728 
 +46 
 774 
 
 Chegamos ao nosso resultado final. Antes de conhecermos a 
próxima operação, vejamos as principais propriedades da operação de 
adição. 
 
- propriedade comutativa: dizemos que a adição de números racionais 
possui a propriedade comutativa, pois a ordem dos números não altera a 
soma. Isto é, 728 + 46 é igual a 46 + 728. 
 
- propriedade associativa: ao adicionar 3 ou mais números racionais, 
podemos primeiramente somar 2 deles, e a seguir somar o outro, em 
qualquer ordem, que obteremos o mesmo resultado. Logo, esta 
propriedade está presente na adição. Ex.: 
2 + 5 + 7 = (2 + 5) + 7 = 2 + (5 + 7) = 14. 
 
- elemento neutro: dizemos que o zero é o elemento neutro da adição, 
pois qualquer número somado a zero é igual a ele mesmo. Ex.: 2 + 0 = 
2; 45 + 0 = 45. 
 
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- propriedade do fechamento: esta propriedade nos diz que a soma de 
dois números racionais SEMPRE gera outro número racionais. Ex: a soma 
dos números racionais 2 e 5 gera o número racional 7 (2 + 5 = 7). 
 
b) Subtração: efetuar a subtração de dois números significa diminuir, de 
um deles, o valor do outro. Isto é, subtrair 5 de 9 significa retirar 5 
unidades de 9, restando 4 unidades: 
9 – 5 = 4 
 
 Acompanhe a subtração abaixo para relembrar o método para a 
subtração de números racionais (veja que, por simplicidade, estamos 
usando números inteiros nos exemplos, que não deixam de ser também 
racionais). Vamos efetuar a operação 365 – 97: 
 
365 
- 97 
 
 Observe que o primeiro passo é posicionar um número abaixo do 
outro, alinhando as casas das unidades. Começamos a efetuar a 
subtração a partir da casa das unidades. Como 5 é menor do que 7, não 
podemos subtrair 5 – 7. Devemos, portanto, “pegar” uma unidade da 
casa das dezenas de 365. Levando este valor para a casa das unidades, 
temos 10 unidades, que somadas a 5 chegam a 15 unidades. Agora sim 
podemos subtrair 15 – 7 = 8, e anotar este resultado: 
365 
- 97 
 8 
 
 Devemos agora subtrair as casas das dezenas. Devemos subtrair 5 
– 9, e não 6 – 9, pois já utilizamos uma unidade na primeira subtração 
acima. Como 5 é menor que 9, devemos novamente “pegar” uma unidade 
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da casa das centenas de 365, e somar ao 5. Assim, teremos 15 – 9 = 6. 
Vamos anotar este resultado: 
365 
- 97 
 68 
 
 
 
 Agora devemos subtrair a casa das centenas. Veja que não temos 
mais um 3 na casa das centenas de 365, e sim 2, pois já usamos uma 
unidade na operação anterior. Como 97 não tem casa das centenas, basta 
levarmos este 2 para o resultado: 
365 
- 97 
268 
 
 E se quiséssemos efetuar a subtração 97 – 365? Neste caso, como 
97 é menor que 365, devemos: 
- subtrair o menor número do maior, isto é, efetuar a operação 365 – 97; 
- colocar o sinal negativo (-) no resultado. 
 
 Desta forma, 97 – 365 = -268. Vejamos as principais propriedades 
da operação de subtração. 
 
- propriedade comutativa: dizemos que a subtração de números racionais 
NÃO possui a propriedade comutativa, pois a ordem dos números ALTERA 
o resultado. Como vimos acima, 365 – 97 = 268, já 97 – 365 = -268. 
 
- propriedade associativa: a subtração NÃO possui essa propriedade, pois 
(A – B) – C pode ser diferentede (C – B) – A 
 
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- elemento neutro: o zero é o elemento neutro da subtração, pois, ao 
subtrair zero de qualquer número, este número permanecerá inalterado. 
Ex.: 2 – 0 = 2. 
 
- propriedade do fechamento: a subtração de números racionais possui 
essa propriedade, pois a subtração de dois números racionais SEMPRE 
gera outro número racional. 
 
- elemento oposto: para todo número racional A, existe também o seu 
oposto, com sinal contrário, isto é, -A. Exemplos de números opostos: 5 e 
-5, 29 e -29 etc. Também podemos dizer que o elemento oposto de A é 
aquele número que, somado a A, resulta em zero: 
A + (-A) = 0 
c) Multiplicação: a multiplicação nada mais é que uma repetição de 
adições. Por exemplo, a multiplicação 15 x 3 é igual à soma do número 
15 três vezes (15 + 15 + 15), ou à soma do número 3 quinze vezes (3 + 
3 + 3 + ... + 3). Vejamos como efetuar uma multiplicação: 
 57 
x 13 
 Novamente alinhamos os números pela direita. Começamos 
multiplicando os números das unidades: 3 x 7 = 21. Deixamos o 
algarismo das unidades (1) no resultado, e levamos o algarismo das 
dezenas (2) para a próxima operação: 
 
 2 
 57 
x 13 
 1 
 
 Agora devemos multiplicar os números das unidades do segundo 
número (3) pelo número das dezenas do primeiro número: 3 x 5 = 15. 
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Antes de colocar este valor no resultado, devemos adicionar o 2 que veio 
da operação anterior: 15 + 2 = 17. Assim, temos: 
 57 
x 13 
 171 
 
 Agora devemos multiplicar o algarismo das dezenas do segundo 
número (1) pelo algarismo das unidades do primeiro número (7): 1 x 7 = 
7. Devemos levar este número para o resultado, entretanto devemos 
colocá-lo logo abaixo do algarismo das dezenas do segundo número (1). 
Veja: 
 57 
x 13 
 171 
 7 
 
 
 A seguir, devemos multiplicar o algarismo das dezenas do segundo 
número (1) pelo algarismo das dezenas do primeiro número (5): 1 x 5 = 
5. Assim, temos: 
 57 
x 13 
 171 
 57 
 
 Por fim, devemos somar as duas linhas de resultado, obtendo: 
 57 
x 13 
 171 
 570 
 741 
 
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Veja que antes de efetuar a soma, colocamos um zero à direita do 
57, transformando-o em 570. Fazemos isto porque este resultado (57) 
surgiu da multiplicação do algarismo das dezenas do multiplicador (13). 
Se fosse do algarismo das centenas do multiplicador, colocaríamos 2 
zeros, e assim por diante. 
É importante relembrar as regras de sinais na multiplicação de 
números. Você deve se lembrar que: 
- a multiplicação de números de mesmo sinal tem resultado positivo. 
Ex.: 5 x 5 = 25, e (-5)x(-5) = 25. 
- a multiplicação de números de sinais diferentes tem resultado negativo. 
Ex.: 5x(-5) = -25. 
 
 Portanto, se tivéssemos multiplicado (-57) x 13, ou então 57 x (-
13), deveríamos obter -741. E se tivéssemos multiplicado (-57) x (-13) 
deveríamos obter 741. 
 
Vejamos as principais propriedades da operação de multiplicação: 
 
- propriedade comutativa: a multiplicação possui essa propriedade, pois A 
x B é igual a B x A, isto é, a ordem não altera o resultado (ex.: 3 x 5 = 5 
x 3 = 15). 
- propriedade associativa: a multiplicação possui essa propriedade, pois 
(A x B) x C é igual a (C x B) x A, que é igual a (A x C) x B etc. Ex.: (2 x 
3) x 4 = 2 x (3 x 4) = (4 x 3) x 2 = 24. 
 
- elemento neutro: a unidade (1) é o elemento neutro da multiplicação, 
pois ao multiplicar 1 por qualquer número, este número permanecerá 
inalterado. Ex.: 5 x 1 = 5. 
- propriedade do fechamento: a multiplicação possui essa propriedade, 
pois a multiplicação de números racionais SEMPRE gera um número 
racional (ex.: 5 x 7 = 35, que é racional). 
 
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TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヲ
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヱヶ
- propriedade distributiva: apenas a multiplicação possui essa 
propriedade. Esta propriedade nos permite dizer que: 
Ax(B+C) = (AxB) + (AxC) 
 
Exemplificando: 
5x(3+7) = 5x(10) = 50 
ou, usando a propriedade: 
5x(3+7) = 5x3 + 5x7 = 15+35 = 50 
 
d) Divisão: quando dividimos A por B, queremos repartir a quantidade A 
em partes de mesmo valor, sendo um total de B partes. Ex.: Ao 
dividirmos 10 por 2, queremos dividir 10 em 2 partes de mesmo valor. No 
caso, 10 2 5  . Vamos relembrar como efetuar divisões com o caso 
abaixo, onde dividimos 715 por 18: 
715 |18 
 
 Neste caso, chamamos o 715 de dividendo (número a ser dividido) 
e o 18 de divisor (número que está dividindo o 715). Como o divisor 
possui 2 casas (18), devemos tentar dividir as primeiras duas casas da 
esquerda do dividendo (71). Veja que 18x4 = 72 (que já é mais que 71). 
Já 18x3 = 54. Assim, temos: 
715 |18 
 3 
 
 Devemos multiplicar 3 por 18 e anotar o resultado abaixo de 71, e a 
seguir efetuar a subtração: 
715 |18 
 -54 3 
 17 
 
 Agora devemos “pegar” o próximo algarismo do dividendo (5): 
715 |18 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA MILITAR DO PIAUÍ 
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 -54 3 
 175 
 
 Dividindo 175 por 18, temos o resultado 9. Devemos anotar o 9 no 
resultado, à direita, e anotar o resultado da multiplicação 9 x 18 abaixo 
do 175, para efetuarmos a subtração: 
715 |18 
 -54 39 
 175 
 -162 
 13 
 
 Agora temos o número 13, que é inferior ao divisor (18). Portanto, 
encerramos a divisão. Obtivemos o quociente (resultado) 39 e o resto 
igual a 13. Dizemos que esta divisão não foi exata, pois ela deixou um 
resto. 
 
 Observe que o dividendo (715) é igual à multiplicação do divisor 
(18) pelo quociente (39), adicionada do resto (13). Isto é: 
715 = 18 x 39 + 13 
 
 Como regra, podemos dizer que: 
Dividendo = Divisor x Quociente + Resto 
As regras de sinais na divisão de números racionais são as mesmas 
da multiplicação: 
- a divisão de números de mesmo sinal tem resultado positivo. 
- a divisão de números de sinais diferentes tem resultado negativo. 
 Portanto, se tivéssemos dividido (-10) por 2, ou então 10 por (-2), 
deveríamos obter -5. E se tivéssemos dividido (-10) por (-2) deveríamos 
obter 5. Vejamos as principais propriedades da operação de divisão: 
- propriedade comutativa: a divisão NÃO possui essa propriedade, pois A 
/ B pode ser diferente de B / A. Ex.: 2 / 5 = 0,4; e 5 / 2 = 2,5. 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA MILITAR DO PIAUÍ 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
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essencial lembrar como efetuamos cada operação com elas: soma, 
subtração, multiplicação e divisão. 
a) Para somar ou subtrair frações, é preciso antes escrevê-las com o 
mesmo denominador, isto é, com um denominador comum. Este 
denominador é, simplesmente, um múltiplo comum entre os 
denominadores das frações originais. Falaremos sobre múltiplos adiante, 
de modo que aqui veremos apenas o básico. Vamos entender isto com o 
exemplo abaixo: 
1 3
6 8
 
 Veja o número 24 é um múltiplo de 6 (pois 6x4 = 24) e de 8 (pois 
8x3 = 24). 
 Para trocar o denominador da fração 1
6
 para 24, é preciso 
multiplicar o denominador 6 por 4. Assim, também devemos multiplicar o 
numerador 1 por 4, para manter a fração. Portanto,1 4
6 24
 . 
Já para trocar o denominador da fração 3
8
 para 24, é preciso 
multiplicar o denominador 8 por 3. Assim, também devemos multiplicar o 
numerador 3 por 3, para manter a fração. Portanto, 3 9
8 24
 . 
Agora sim podemos efetuar a soma: 
1 3 4 9 4 9 13
6 8 24 24 24 24

     
 
b) Para multiplicar frações, basta multiplicar o numerador de uma pelo 
numerador da outra, e o denominador de uma pelo denominador da 
outra. Veja nosso exemplo: 
1 3 1 3 3
6 8 6 8 48

  

 
 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA MILITAR DO PIAUÍ 
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c) Para dividir frações, basta multiplicar a primeira pelo INVERSO da 
segunda. Veja isso em nosso exemplo: 
1
1 3 1 8 86
3 6 8 6 3 18
8
     
*** Dica importantíssima: trabalhando com frações, normalmente 
podemos substituir a expressão “de” pela multiplicação. Veja como: 
- quanto é um terço de 1000? Ora, simplesmente 1 1000
3
 ! 
- e quanto é dois sétimos de 25? A resposta é 2 25
7
 . 
- quanto vale um quarto da soma do número de homens (700) e de 
mulheres (600) presentes em um evento? Simplesmente 1 (700 600)
4
  . 
- por fim, quanto vale 5/9 da diferença entre os números X e Y? Aqui, a 
resposta é dada pela expressão 5 ( )
9
X Y  . 
 Certifique-se de que você entendeu isso. Usaremos bastante ao 
longo dos exercícios! 
 
1.3.3 OPERAÇÕES COM NÚMEROS DECIMAIS 
 Os números decimais são, em regra, aqueles que resultam da 
divisão não-exata de dois números inteiros. São os números que possuem 
“casas após a vírgula”. A manipulação deles é essencial para a resolução 
de diversas questões, motivo pelo qual você precisa saber somá-los, 
subtraí-los, multiplicá-los, dividi-los, elevá-los a potências e extrair raízes 
dos mesmos. Vejamos cada uma dessas operações em detalhes. 
 
a) Adição de números decimais: 
 A adição de dois números decimais segue a mesma lógica da adição 
comum. Isto é: 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA MILITAR DO PIAUÍ 
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- os números devem ser posicionados um embaixo do outro, com a 
vírgula logo abaixo da vírgula do outro, e as casas correspondentes uma 
embaixo da outra 
- as casas correspondentes devem ser somadas, começando da direita 
para a esquerda. 
- à medida que forem sendo formadas dezenas, estas devem ser 
transferidas para a próxima adição (das casas logo à esquerda). 
 Vamos aplicar estes passos na adição de 13,47 e 2,9. Colocando os 
números um embaixo do outro, com a vírgula uma embaixo da outra, 
temos todas as casas correspondentes em uma mesma vertical: 
 13,47 
+ 2,9 
 
 Veja que a casa das unidades do primeiro número (3) está logo 
acima da casa das unidades do segundo número (2). A primeira casa 
decimal do primeiro número (4) está logo acima da primeira casa decimal 
do segundo (1). E assim por diante. Como não há casa decimal abaixo do 
7, podemos considerá-la igual a 0. Agora, basta começar a somar as 
casas correspondentes, começando pelas da direita, anotando o 
resultado. Quando houver a formação de dezenas (ex.: 4 + 9 = 13), a 
dezena (1) deve ser transferida para a próxima operação (3 + 2). Com 
isso, temos: 
 13,47 
+ 2,9 
 16,37 
 
b) Subtração de números decimais: 
 Aqui também devemos posicionar os números um abaixo do outro, 
com a vírgula do primeiro na mesma vertical da vírgula do segundo 
número. A seguir devemos subtrair as casas correspondentes, da direita 
para a esquerda. Vejamos: 
 13,47 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA MILITAR DO PIAUÍ 
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- 2,9 
 10,57 
 
 Repare, neste exemplo, que no momento de efetuar a subtração 4 
– 9 foi preciso pegar uma unidade da casa à esquerda do 4 (no caso, o 3) 
e “transformá-la” em uma dezena, somando-a ao 4. Assim, subtraimos 14 
– 9, obtendo o resultado 5. A seguir, ao invés de subtrair 3 – 2, tivemos 
que subtrair 2 – 2 pois uma unidade do “3” já havia sido utilizada. 
 
c) Multiplicação de números decimais: 
 Aqui aplicamos o mesmo procedimento da multiplicação comum, 
com duas observações: 
- devemos posicionar os números assim como fizemos na adição e na 
subtração, isto é, com a vírgula de um logo abaixo da vírgula do outro. 
- o número de casas decimais do resultado será igual à soma do número 
de casas decimais dos dois números sendo multiplicados. Assim você 
saberá posicionar a vírgula. 
 Vejamos o nosso exemplo: 
 13,47 
x 2,9 
 12123 
+ 26940 
39,063 
 
 Repare que a primeira linha abaixo do 2,9 refere-se à multiplicação 
de 13,47 por 9. Já a segunda linha refere-se à multiplicação de 13,47 por 
2. Nesta linha há um 0 à direita porque o 2 está uma casa decimal à 
frente do 9. Efetuando a soma das duas linhas, obtém-se 39063. E, 
lembrando que existem 3 casas decimais nos números sendo 
multiplicados (duas em 13,47 e uma em 2,9), devemos ter 3 casas 
decimais no resultado, o que leva ao número 39,063. 
 
d) Divisão de números decimais: 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA MILITAR DO PIAUÍ 
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 Para efetuar a divisão de números decimais, devemos inicialmente 
multiplicar ambos os números (divisor e dividendo) por uma potência de 
10 (10, 100, 1000, 10000 etc.) de modo a retirar todas as casas decimais 
presentes. Após isso, é só efetuar a operação normalmente. 
 Para exemplificar, vamos dividir 3,5 por 0,25. Observe que o 
número que possui mais casas decimais é o divisor (0,25), possuindo 2 
casas decimais. Assim, devemos multiplicar ambos os números por 100, 
de modo a retirar ambas as casas decimais: 
3,5 x 100 = 350 
0,25 x 100 = 25 
 Agora, basta efetuar a divisão de 350 por 25, que você sabe fazer, 
tendo como resultado o número 14. 
 
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO – NÚMEROS DECIMAIS) Para fixar o que foi 
visto aqui, efetue as seguintes operações, cujo gabarito é fornecido em 
seguida. 
a) 2,25 + 1,7 
b) 2,25 – 1,7 
c) 2,25 x 1,7 
d) 2,25 / 1,5 
e) 0,898 + 1,12 
f) 0,898 – 1,12 
g) 0,898 x 1,12 
h) 0,898 / 0,01 
Respostas: 
a) 3,95 
b) 0,55 
c) 3,825 
d) 1,5 
e) 2,018 
f) -0,222 
g) 1,00576 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA MILITAR DO PIAUÍ 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
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h) 89,8 
 
1.3.4 REPRESENTAÇÃO NA RETA 
 Veja abaixo a reta numérica, onde podemos representar todos os 
números racionais. As setas nas extremidades denotam que a reta cresce 
infinitamente para ambos os lados: 
 
 
 É possível localizar a posição exata de um número racional na reta 
numérica, ainda que ele seja fracionário. Por exemplo, vamos localizar o 
número 3
4
, ou 0,75 (na forma decimal). Na reta numérica, basta 
dividirmos o espaço entre 0 e 1 em quatro partes, e colocar o número 
3
4
ao final da terceira delas: 
 
 
 Ainda observando a reta numérica acima, observe que a distância 
do 0 até o 1 é a mesma distância do 0 até o -1. Essa distância mede “1 
unidade”. Da mesma forma, a distância de 0 a 2 é a mesma distância de 
0 a -2. Aqui a distância é de “2 unidades”. 
Chamamos de módulo de um número a distância entre esse número 
e o zero. Utilizamos o símbolo |A| para representar o módulo do número 
A. Assim, como vimos acima, podemos dizer que: 
|1| = 1 
|-1| = 1 
|2| = |-2| = 2 
 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA MILITAR DO PIAUÍ 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
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 Repare que, se o número A é positivo (como no caso do 2), o 
módulo é ele mesmo. Se o número A é negativo (comono caso do -2), o 
módulo é o seu oposto (isto é, -(-2) = 2). De maneira mais formal, 
podemos dizer que: 
, se A 0
| |
, se A<0
A
A
A
 

 
 
1.4 NÚMEROS IRRACIONAIS 
 Os Números Irracionais são aqueles que, ao contrário dos 
Racionais, não podem ser obtidos da divisão de dois inteiros, ou seja, não 
podem ser escritos na forma (onde A e B são números inteiros). Isto 
porque esses números são formados por uma sequência infinita de 
algarismos. 
Exemplo: na obtenção da raiz quadrada do algarismo 2, nos 
deparamos com um número irracional: 
 
(as reticências indicam que este número é composto por infinitos 
algarismos) 
Da mesma forma, o conhecido número (“pi”), muito utilizado na 
trigonometria, possui infinitas casas decimais que não se repetem como 
em uma dízima periódica, o que faz dele um número irracional: 
 
Antes de avançarmos, deixo uma observação a respeito da 
representação dos números irracionais na reta numérica: 
- não é possível localizar precisamente um número irracional na reta 
numérica. Isto porque esses números tem infinitas casas decimais que 
não se repetem, não sendo possível escrevê-los na forma A
B
e usar o 
mesmo método que vimos para localizar os números racionais. 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA MILITAR DO PIAUÍ 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
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1.5.1 OPERAÇÕES COM NÚMEROS REAIS 
 As propriedades das operações com números reais são as mesmas 
já vistas para os racionais. 
 
1.5.2 REPRESENTAÇÃO DOS NÚMEROS REAIS NA RETA 
 Dado que os números reais são formados por 2 subconjuntos 
(racionais e irracionais), sabemos que alguns números reais podem ser 
posicionados precisamente na reta numérica (os racionais) e outros não 
podem ser localizados exatamente (os irracionais). 
 
1.6 NÚMEROS PRIMOS E FATORAÇÃO 
Dizemos que um número é primo quando ele só pode ser dividido, 
sem deixar resto, por 1 e por si mesmo. Veja, por exemplo, o número 7. 
Como qualquer número, ele pode ser dividido por um, tendo como 
resultado 7 e não deixando resto algum. Entretanto, experimente dividi-lo 
por 2, 3, 4, 5 ou 6, e verá que sempre há um resto diferente de zero. 
Apenas ao dividi-lo por 7 é que não encontraremos resto novamente. 
Portanto, 7 é um número primo, pois só é divisível por 1 e por ele 
mesmo. Diversos outros números possuem essa propriedade, como os 
listados abaixo: 
{2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31...} 
A título de curiosidade, repare que o 2 é o único número primo par. 
Todos os demais são ímpares. 
Qualquer número natural pode ser representado como uma 
multiplicação de números primos. Por exemplo, 6 pode ser representado 
por 2 x 3. Este processo de transformar um número qualquer em um 
produto de números primos é chamado de fatoração. 
Vamos fatorar o número 24. Devemos começar tentando dividi-lo 
por 2, que é o menor número primo (muitos autores não consideram que 
o 1 seja um número primo). Esta divisão é exata (não possui resto), e o 
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resultado é 12. Podemos dividir novamente por 2, tendo resultado 6, e 
dividir o 6 outra vez por 2, tendo resultado 3. Agora não é mais possível 
dividir por 2. Assim, devemos partir para o próximo número primo, que é 
o 3. Dividindo 3 por 3 temos resultado 1. Repare que para chegar no 
resultado 1 foi preciso dividir 24 por 2 em 3 etapas, e a seguir dividir por 
3 em uma etapa. Portanto, 24 = 2 x 2 x 2 x 3, ou simplesmente 24 = 23 
x 3. Visualize este processo abaixo: 
Número Fator primo 
24 2 
12 2 
6 2 
3 3 
1 Logo, 24 = 23 x 3 
 
 Para praticar, vejamos a fatoração do número 450: 
Número Fator primo 
450 2 
225 3 
75 3 
25 5 
5 5 
1 Logo, 450 = 2 x 32 x 52 
 
 
Vejamos ainda a fatoração do número 1001. Observe que ele não é 
divisível (ou seja, deixa resto) por 2, 3 ou 5. Apenas ao chegar o fator 
primo 7 é que conseguimos dividi-lo. Acompanhe abaixo: 
Número Fator primo 
1001 7 
143 11 
13 13 
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1 Logo, 1001 = 7 x 11 x 13 
 
A fatoração será muito útil na obtenção do Mínimo Múltiplo Comum 
e Máximo Divisor Comum entre dois números, como veremos a seguir. 
 
1.7 MÚLTIPLOS E DIVISORES 
Para a resolução de diversas questões que podem cair em sua 
prova, vale a pena você desenvolver a rapidez na obtenção de múltiplos 
e divisores de um dado número, calcular o mínimo múltiplo comum e 
máximo divisor comum entre dois números, e conhecer regras práticas 
para saber se um número é ou não divisível por outro (critérios de 
divisibilidade). 
Os múltiplos de um número X são aqueles números que podem ser 
obtidos multiplicando X por outro número natural. Por exemplo, os 
múltiplos de 3 são: 3, 6, 9, 12, 15 etc. Repare que esses números podem 
ser obtidos multiplicando 3 por 1, 2, 3, 4 e 5, respectivamente. Quando 
temos 2 números X e Y, e listamos os múltiplos de cada um deles, 
podemos ter múltiplos em comum entre os dois. Exemplificando, vamos 
listar alguns múltiplos de 8 e de 12: 
Múltiplos de 8: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72 etc. 
Múltiplos de 12: 12, 24, 36, 48, 60, 72 etc. 
 Observe que os seguintes números são múltiplos de 8 e também de 
12: 24, 48, 72. Isto é, são múltiplos em comum desses 2 números. O 
menor deles, neste caso o 24, é chamado de mínimo múltiplo comum 
(MMC) entre 8 e 12. O cálculo do MMC se mostra útil na resolução de 
diversos exercícios, como veremos adiante. 
 
 
 Um método simples de se calcular o MMC entre 2 números é dado 
pelos seguintes passos: 
1. Decompor cada número em uma multiplicação de fatores primos; 
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2. O MMC será formado pela multiplicação dos fatores comuns e não 
comuns dos dois números, de maior expoente. 
 Decompondo 8 em fatores primos, temos que 8 = 2x2x2 = 23. E 
decompondo 12 em fatores primos, temos que 12 = 2x2x3 = 22x3. 
 Assim, o MMC será formado pelos fatores comuns (2) e não comuns 
(3) de maior expoente (isto é, MMC = 23 x 3 = 24). 
 A título de exercício, vamos calcular o MMC entre 15 e 9. Veja que 
15 = 3x5, e 9 = 32. Portanto, MMC = 32x5 = 45. 
 Para você entender como o MMC pode ser útil na resolução de 
questões, imagine o seguinte caso: dois colegas de trabalho, João e José, 
gostam de realizar festas em suas casas periodicamente. João costuma 
realizar festas de 9 em 9 dias, enquanto José costuma realizar festas de 
15 em 15 dias. Sabendo que hoje houve festa na casa de ambos, daqui a 
quanto tempo as datas das festas de ambos coincidirão novamente? 
 Ora, se João dá festas de 9 em 9 dias, sua próxima festa será daqui 
a 9 dias, a seguinte daqui a 18, a outra daqui a 27, e assim por diante. Já 
a próxima festa de José será daqui a 15 dias, depois daqui a 30, depois 
45 etc. Observe que os dias em que ambos darão festas devem ser 
múltiplos de 9 e também de 15, isto é, múltiplos comuns de 9 e 15. A 
próxima festa ocorrerá no menor desses múltiplos, isto é, no mínimo 
múltiplo comum entre 9 e 15. Como calculamos acima, MMC (9, 15) = 45. 
Portanto, a próxima vez em que as festas coincidirão ocorrerá daqui a 45 
dias. 
Dizemos que um número é divisível por outro quando esta divisão é 
exata, não deixando resto nem casas decimais. Para saber se um número 
é divisível por outro, basta efetuar a divisão e verificar se existe resto. 
Ex.: 25 5 5  , portanto 25 é divisível por 5. O problema surge quando 
queremos julgar, por exemplo, se o número 1765830275 é divisível por 5. 
Efetuar estadivisão à mão consome muito tempo. Para identificarmos 
rapidamente essa divisibilidade, existem os critérios de divisibilidade. Os 
principais deles encontram-se na tabela abaixo: 
 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA MILITAR DO PIAUÍ 
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- Divisores comuns entre 32 e 40: 1, 2, 4, 8. 
 Vejam que 8 é o máximo divisor comum (MDC) entre 32 e 40. 
Para calcular o MDC sem precisar listar todos os divisores de cada 
número (como fizemos acima), basta seguir 2 passos: 
1. Decompor cada um dos números em fatores primos (ex.: 32 = 25; 
40 = 235) 
2. O MDC será formado pela multiplicação dos fatores comuns de 
menor expoente (neste caso, apenas o 2 é comum, e seu menor 
expoente é 3. Logo, MDC = 23 = 8); 
 
Para você visualizar uma aplicação prática do MDC, imagine o 
seguinte caso: temos um conjunto de 20 cães e 30 gatos. Queremos criar 
grupos de gatos e grupos de cães, sem misturá-los, porém todos os 
grupos devem ter o mesmo número de integrantes. Qual o menor número 
de grupos possível? 
Para obter o menor número de grupos possível, precisamos dividir 
20 e 30 pelo maior número possível. Este maior número que divide tanto 
20 quanto 30, sem deixar resto, é justamente o MDC entre 20 e 30. 
Decompondo 20 em fatores primos, temos que 20 = 22x5. Temos 
também que 30 = 2x3x5. Portanto, MDC(20,30) = 2x5 = 10. Portanto, 
devemos formar grupos de 10 elementos. Isto é, 2 grupos com 10 cães 
em cada, e 3 grupos com 10 gatos em cada. Assim, o menor número de 
grupos possível é 5. 
 
Podemos ainda calcular o MMC e o MDC mais rapidamente, 
fatorando os números simultaneamente. Vejamos como fazer isso com 
exemplos: 
 
a) Cálculo do MMC entre 30 e 40: 
 Inicialmente escrevemos os dois números, um em cada coluna. Na 
terceira coluna vamos escrever os fatores primos que dividem os 
números. Devemos começar pelos menores fatores primos (2, 3, 5...), 
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TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヲ
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ンン
em ordem crescente. Nosso objetivo é dividir os números até ambos 
ficarem iguais a 1. Veja: 
 
30 40 Fator primo 
30/2 = 15 40/2 = 20 2 
15 (não dá p/ dividir por 
2) 
20 / 2 = 10 2 
15 (não dá p/ dividir por 
2) 
10 / 2 = 5 2 
15 / 3 = 5 5 (não dá p/ dividir por 3) 3 
5 / 5 = 1 5 / 5 = 1 5 
 MMC = 23 x 3 x 5 = 
120 
 
b) Cálculo do MDC entre 30 e 40: 
 Inicialmente escrevemos os dois números, um em cada coluna. Na 
terceira coluna vamos escrever os fatores primos que dividem os 
números. Devemos começar pelos menores fatores primos (2, 3, 5...), 
em ordem crescente. Aqui o nosso objetivo é dividir os números apenas 
pelos fatores que sejam capazes de dividir ambos os números 
simultaneamente: 
 
30 40 Fator primo 
15 20 2 
3 4 5 
 MDC = 2 x 5 = 10 
 
 Outro ponto interessante é saber calcular rapidamente a 
quantidade de divisores de um determinado número. Para você 
entender como fazer isso, vamos retomar aqui os divisores de 32 e de 40: 
- 32 pode ser dividido por: 1, 2, 4, 8, 16, 32. 
- 40 pode ser dividido por: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40. 
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 Note que 32 tem 6 divisores, e o 40 possui 8 divisores. Como 
poderíamos obter esta quantidade de divisores sem precisar listar todos? 
É simples: basta seguir os passos abaixo. 
 
1º passo) fatore o número. Ex.: 32 = 1x25; 40 = 1x23x5 
 
2º passo) some 1 unidade a cada expoente dos fatores primos, e então 
multiplique esses valores. 
Ex.: veja que 32 é representado por 1x25, ou melhor, 11 x 25. 
Somando 1 unidade em cada expoente, e então multiplicando esses 
valores, ficamos com (1+1) x (5+1) = 1x6 = 6. Este é o número 
de divisores de 32. 
Ex.2: como 40 é igual a 11x23x51, podemos fazer 
(1+1)x(3+1)x(1+1) = 2x4x2 = 8. Portanto, 40 possui 8 divisores. 
 
 
1.8 POTÊNCIAS 
Já tivemos que trabalhar com potências nesta aula, ao abordar a 
fatoração, mas nesta seção veremos mais detalhes sobre esta operação 
matemática. Observe o exemplo abaixo: 
35 5 5 5 125    
(lê-se: “cinco elevado à terceira potência é igual a cinco vezes cinco vezes 
cinco”) 
 Pelo exemplo dado, você pode perceber que elevar um número X a 
uma determinada potência “n” é simplesmente multiplicar X por ele 
mesmo, “n” vezes. Outro exemplo, para não deixar dúvida: 
42 2 2 2 2 16     
(“dois elevado à quarta potência é igual ao dois multiplicado por ele mesmo 4 
vezes”) 
 Resumindo, quando tratamos sobre potências temos sempre uma 
base (número X) elevada a um expoente (“n”). Entendido o conceito 
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básico, podemos analisar algumas propriedades das potências. Essas 
propriedades facilitarão bastante o manuseio de equações que envolvam 
potências: 
a) Qualquer número elevado a zero é igual a 1. 
Trata-se de uma convenção, isto é, uma definição. Assim, podemos 
dizer que: 
0
0
0
5 1
( 25) 1
0,3 1

 

 
b) Zero elevado a qualquer número é igual a zero. 
Isso é bem lógico, pois zero elevado a “n” significa zero multiplicado 
por ele mesmo, “n” vezes. Ex.: 
30 0 0 0 0    
 
c) Multiplicação de potências de mesma base (X): 
A questão aqui é como multiplicar 2 34 4 . Normalmente você faria 
assim: 
      2 34 4 (4 4) (4 4 4) 1024 
Veja que basta somar os expoentes (“n”), uma vez que as duas 
potências têm a mesma base 4: 
   2 3 2 3 54 4 4 4 1024 
 
d) Divisão de potências de mesma base (X): 
Como você faria a divisão 
5
3
4
4
? Provavelmente seria assim: 
5
3
4 4 4 4 4 4 4 4 16
4 4 4 4
   
   
 
 
Entretanto, observe que basta subtrair os expoentes (“n”), pois o 
numerador e denominador da divisão tem a base 4. Veja: 
5
5 3 2
3
4 4 4 16
4
   
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 Analogamente, observe que 33
1 4
4
 . Isto porque: 
0
0 3 3
3 3
1 4 4 4
4 4
    
 O que vimos acima nos permitirá levar uma potência do numerador 
para o denominador de uma divisão, ou vice-versa, simplesmente 
trocando o sinal da potência. Exemplificando, vamos resolver a expressão 
3 54 4  . Temos duas formas: ฀ Usar a propriedade de multiplicação de potências de mesma base, 
somando os expoentes: 
3 5 ( 3) 5 24 4 4 4 16      ฀ Usar a propriedade que acabamos de ver, levando 34 para o 
denominador e, a seguir, fazendo a divisão de potências de mesma 
base: 
5
3 5 5 3 2
3
44 4 4 4 16
4
      
 
e) Potência de potência: 
A questão agora é resolver 2 3(2 ) . Você poderia inicialmente elevar 2 
à segunda potência (isto é, ao quadrado), e a seguir elevar o resultado à 
terceira potência (ao cubo): 
2 3 3(2 ) (4) 64  
Entretanto, veja que basta você elevar 2 ao resultado da 
multiplicação entre os dois expoentes: 
2 3 2 3 6(2 ) 2 2 64   
 
f) Raiz de potência: 
 Quando estudarmos radiciação (próximo tópico), veremos que 
trata-se de uma operação inversa à potenciação. Assim, obter a raiz 
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 42 7 4   
 Em seguida resolvemos a subtração dentro das chaves: 
35 4  
 Por fim, resolvemos a divisão que se encontrava fora das chaves, 
obtendo: 
35 4 8,75  
Vale a pena lembrar aqui que uma fração é uma operação de 
divisão como outra qualquer, e se houver uma fraçãoem sua expressão 
numérica, basta resolvê-la no momento que você resolveria aquela 
operação de divisão. 
 
1.11 EXPRESSÕES ALGÉBRICAS 
 As expressões algébricas são expressões matemáticas que possuem 
variáveis, também chamadas de incógnitas, que normalmente são 
representadas por letras. Estas variáveis representam, em realidade, 
números que não sabemos. Para descobri-los, precisamos saber 
manipular a expressão (que normalmente é composta por letras e 
números). Exemplos de expressões algébricas: 
2
5
2 3 0
10 0
1 5
a b
x
y y
p
 
 
  
 
 
 É fundamental saber “ler” estas expressões. Veja alguns exemplos: 
- “a soma de dois números é igual a 5” ฀ a + b = 5 
- “o dobro de um número, adicionado de 3 unidades, é igual a zero” ฀ 2x 
+ 3 = 0 
- “o quadrado de um número, subtraído deste mesmo número e 
adicionado de 10 unidades é igual a zero” ฀ y2 – y + 10 = 0 
 
A maioria das questões não fornecerá uma expressão algébrica 
como as que vimos acima. Normalmente, o enunciado apresenta 
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informações que permitirão que você mesmo construa a(s) 
expressão(ões) algébrica(s) para resolver a questão. 
 As expressões algébricas são constituídas de um 1º termo (à 
esquerda), o sinal de igualdade e o 2º termo (à direita). Veja: 
2 3 5x x   
 É possível somar, subtrair, multiplicar ou dividir um dos termos da 
expressão por qualquer número, desde que façamos a mesma coisa com 
o outro termo. Caso contrário, não mais teremos uma igualdade. 
Exemplificando, podemos somar 1 unidade em cada membro da equação 
acima, obtendo o seguinte: 
2 3 (1) 5 (1)
2 4 6
x x
x x
    
  
 
 Note o que acontece se somamos -4 (isto é, subtraímos 4) nos dois 
membros dessa última expressão: 
2 4 ( 4) 6 4
2 6 4
x x
x x
      
  
 
 Você percebe que somar (-4) nos dois membros é equivalente a 
“passar” o 4, que estava somando no primeiro termo (2x + 4) para o 
outro lado da igualdade, porém invertendo o sinal? Em resumo: sempre 
que você quiser passar um número ou variável que está somando ou 
subtraindo de um lado para o outro da igualdade, basta trocar o seu sinal. 
 Agora, veja a seguinte expressão: 
2( 2) 6x x   
 Note que no primeiro membro temos o número 2 multiplicando o 
termo (x+2). Se dividirmos ambos os lados da igualdade por 2, teremos: 
2( 2) 6
2 2
62
2
x x
xx
 


 
 
 Veja que o 2 que estava multiplicando o primeiro membro agora 
está dividindo o segundo membro. Assim, sempre que um número ou 
variável estiver multiplicando ou dividindo um dos termos da igualdade, 
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ele pode passar para o outro lado, bastando para isso inverter a 
operação. 
 Muito cuidado para não cometer o seguinte erro: 
3 1 6
61
3
x x
xx
  

 
 
 Neste caso acima, o número 3 estava multiplicando x e foi 
transferido para o outro lado da igualdade, dividindo o segundo termo. 
Porém, o 3 não estava multiplicando todo o primeiro termo, por isso não 
podia passar para o outro lado dividindo o segundo termo. Neste caso, o 
correto seria passar, primeiramente, o número 1 (que estava somando) 
para o outro lado (subtraindo). Feito isso, teríamos: 
3 6 1x x   
 Agora sim o 3 está multiplicando todo o primeiro termo da 
igualdade, e pode passar para o outro lado dividindo: 
6 1
3
xx   
 Quando estamos diante de uma expressão algébrica e queremos 
descobrir o valor de uma variável, basta passar todos os termos que 
contém a variável para um lado da igualdade, e todos os que não a 
contém para o outro lado da igualdade. Utilizando a equação3 3 7x x   , 
vamos descobrir o valor de x. Inicialmente, passamos para o lado 
esquerdo os termos que contém x, e para o lado direito os que não 
contém, fazendo as trocas de sinal ou inversão de operação necessárias: 
3 3 7
3 7 3
2 4
x x
x x
x
  
  

 
 A seguir, podemos isolar a variável x, passando para o outro lado 
da igualdade o 2 que a multiplica: 
2 4
4
2
2
x
x
x



 
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 Assim como vimos nas expressões numéricas, devemos resolver 
primeiro o que está entre parênteses (), depois o que está entre colchetes 
[ ], e por fim o que está entre chaves { }. 
 Da mesma forma, devemos resolver primeiro as operações de 
potenciação ou radiciação, a seguir as de multiplicação ou divisão, e por 
fim as de soma ou subtração. Preste atenção nesses aspectos ao estudar 
a resolução dos exercícios. 
 
1.12 PRODUTOS NOTÁVEIS 
 Existem algumas expressões que costumam aparecer com 
frequência em nossos cálculos. Essas expressões são chamadas de 
“produtos notáveis”, e o conhecimento delas pode permitir que você 
agilize os seus cálculos e obtenha resultados mais rapidamente. Vejamos 
os principais casos: 
 
Quadrado da soma de dois termos 
 Imagine que tenhamos duas variáveis em uma equação, “a” e “b”. 
O quadrado da soma desses dois termos é simplesmente (a + b)2. Repare 
que: 
(a + b)2 = (a + b) . (a + b) 
 
 Desenvolvendo essa expressão da direita da igualdade acima, 
utilizando a propriedade distributiva da multiplicação, temos: 
(a + b)2 = a.a + a.b + b.a + b.b 
(a + b)2 = a2 + a.b + a.b + b2 
(a + b)2 = a2 + 2.a.b + b2 
 
 A expressão acima é o nosso “produto notável”. Ela nos diz que o 
quadrado da soma de dois termos é IGUAL ao quadrado do primeiro 
termo (a2) somado a duas vezes a multiplicação entre os termos (2.a.b) e 
somado ao quadrado do segundo termo (b2). 
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 Vejamos um exemplo prático. Suponha que você precise fazer o 
cálculo de 572. Isso é o mesmo que: 
(50 + 7)2 
 
 Temos o quadrado de uma soma, que pode ser resolvido através do 
produto notável que já conhecemos acima: 
(a + b)2 = a2 + 2.a.b + b2 
(50 + 7)2 = 502 + 2.50.7 + 72 
(50 + 7)2 = 2500 + 100.7 + 49 
(50 + 7)2 = 2500 + 700 + 49 
(50 + 7)2 = 3249 
 
Quadrado da diferença entre dois termos 
 Imagine que tenhamos duas variáveis em uma equação, “a” e “b”. 
O quadrado da diferença entre esses dois termos é simplesmente (a – 
b)2. Repare que: 
(a – b)2 = (a – b) . (a – b) 
(a – b)2 = a.a – a.b – b.a + b.b 
(a – b)2 = a2 – 2.a.b + b2 
 
 Temos na linha acima mais um produto notável. Ele poderia ter 
sido usado para fazer também o cálculo de 572, lembrando que isto é 
equivalente a (60 – 3)2. Veja: 
572 = 
(60 – 3)2 = 
602 – 2x60x3 + 32 = 
3600 – 360 + 9 = 
3249 
 Veja como utilizar um produto notável como este em uma questão 
de prova: 
1. FCC – TRT/4ª – 2011) Dos números que aparecem nas alternativas, 
o que mais se aproxima do valor da expressão 2 2(0,619 0,599 ) 0,75  é: 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA MILITAR DO PIAUÍ 
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a) 0,0018 
b) 0,015 
c) 0,018 
d) 0,15 
e) 0,18 
RESOLUÇÃO: 
 Veja que elevar 0,619 e 0,599 ao quadrado seria bem trabalhoso. 
Entretanto, lembrando que 2 2( ) ( )a b a b a b     , onde a = 0,619 e b = 
0,599, temos que: 
2 2
2 2
2 2
2 2
( ) ( )
0,619 0,599 (0,619 0,599) (0,619 0,599)
0,619 0,599 (1,218) (0,02)
0,619 0,599 0,0243
a b a b a b    
    
  
 
 
 Assim, 
2 2(0,619 0,599 ) 0,75 0,0243 0,75 0,0182     
Resposta: C 
 
Diferença entre dois quadrados 
 Observe que: 
(a + b) x (a – b) = 
a.a + a.b – b.a – b.b = 
a2 + a.b – a.b – b2= 
a2 – b2 
 
 
 Ou seja, 
(a + b) x (a – b) = a2 – b2 
 
 Este é o nosso produto notável. Ele nos diz que a diferença entre 
dois números elevados ao quadrado (a2 – b2) é igual à multiplicação entre 
a soma deles (a + b) e a diferença entre eles (a – b). Portanto, caso você 
precise fazer, por exemplo, (82 – 72), basta calcular assim: 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA MILITAR DO PIAUÍ 
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a2 – b2 = (a + b) x (a – b) 
82 – 72 = (8 + 7) x (8 – 7) 
82 – 72 = (15) x (1) 
82 – 72 = 15 
 
 Fácil, não? Vejamos mais produtos notáveis. 
 
Cubo da soma de dois números e Cubo da diferença entre dois 
números 
 A lógica desses produtos notáveis é similar à lógica que já vimos 
nos demais casos. Assim, para não perdermos tempo, vou disponibilizar 
para você diretamente as fórmulas desses dois casos: 
 
3 3 2 2 3( ) 3 3        a b a a b a b b 
 
3 3 2 2 3( ) 3 3        a b a a b a b b 
 
 Exemplificando o uso desses produtos notáveis, vamos resolver a 
questão abaixo: 
 
2. CEPERJ – DEGASE/RJ – 2012) Uma quantidade X é dada pela 
expressão: 
 
Desse modo, X é igual a: 
A) 25,2527456 
B) 26,3939392 
C) 27,0000000 
D) 36,0000000 
E) 36,3020293 
RESOLUÇÃO: 
 Veja que temos termos elevados ao cubo nessa expressão do 
enunciado, o que nos faz lembrar do seguinte produto notável: 
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3 3 2 2 3( ) 3 3        a b a a b a b b 
 Observe que se trocarmos 0,023 por “a” e 2,977 por “b”, a 
expressão do enunciado seria exatamente 3 2 2 33 3a a b a b b       . 
 Observando os produtos notáveis, vemos que: 
3 2 2 3 33 3 ( )a a b a b b a b         
 Portanto, ao invés de efetuar toda a conta, basta calcularmos: 
X = (0,023 + 2,977)3 = 33 = 27. 
Resposta: C 
 
 Estes não são os únicos produtos notáveis existentes, mas são os 
mais importantes. Resumindo-os, temos: 
1. 2 2 2( ) 2a b a a b b      
2. 2 2 2( ) 2a b a a b b      
3. 2 2( ) ( )a b a b a b     
4. 3 3 2 2 3( ) 3 3        a b a a b a b b 
5. 3 3 2 2 3( ) 3 3        a b a a b a b b 
 
1.13 SISTEMAS DE NUMERAÇÃO 
O sistema de numeração decimal é o que usamos no nosso dia-a-
dia. Ele tem como base o número 10. Ao utilizá-lo contamos de 10 em 10, 
formando grupos a cada 10 unidades, os quais convencionou-se chamar 
de dezenas, centenas, milhares e assim por diante. Nesse sistema, 
utilizamos os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 para formar qualquer 
número. 
No sistema decimal, se temos um número como 5734, dizemos que 
o 4 é o algarismo das Unidades, o 3 é o algarismo das Dezenas, o 7 é o 
algarismo das centenas, e o 5 é o algarismo dos Milhares. Podemos 
reescrever este número em função das potências de 10. Para isso basta 
multiplicar o algarismo das unidades por 1, o das dezenas por 10, o das 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA MILITAR DO PIAUÍ 
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Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヵヱ
centenas por 100, o dos milhares por 1000, e assim por diante. 
Exemplificando: 
5734 = 5x1000 + 7x100 + 3x10 + 4x1 
ou 
5734 = 5000 + 700 + 30 + 4 
ou 
5734 = 5x103 + 7x102 + 3x101 + 4x100 
 
De maneira geral, se temos um número do tipo ABCD, onde cada 
letra representa uma casa decimal, podemos dizer que: 
ABCD = Ax1000 + Bx100 + Cx10 + D 
 
Vamos observar como aplicar esses conceitos na prática, 
trabalhando o seguinte problema: 
“Imagine que João é pai de Alberto. João tem XY anos de idade e Alberto 
tem YX anos, onde X e Y são algarismos do sistema decimal. Sabendo 
que a diferença de idade entre eles é de 27 anos, apresente um possível 
valor para a idade de João.” 
 
 Sendo XY e YX as idades, podemos dizer que: 
Idade de João – Idade de Alberto = 27 
XY – YX = 27 
(10X + Y) – (10Y + X) = 27 
10X + Y – 10Y – X = 27 
9X – 9Y = 27 
9X = 27 + 9Y 
X = 27/9 + 9Y/9 
X = 3 + Y 
 
 A partir desta última expressão, que relaciona X e Y, podemos 
encontrar possíveis soluções para o problema. Por exemplo, se Y for igual 
a 1, então X = 3 + Y = 3 + 1 = 4. Deste modo, a idade de João é XY = 
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TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
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Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヵヲ
41, e a de Alberto é YX = 14. Note que, de fato, a diferença de idades é 
41 – 14 = 27. Portanto, esta é uma possível solução, mas não a única. 
Poderíamos ter Y = 2 e X = 3+2 = 5, por exemplo, ficando João com 52 
anos e Alberto com 25. E assim por diante... 
 
No entanto, nem todos os sistemas de numeração são decimais. Um 
sistema muito comum no meio digital é o sistema binário, que conta de 2 
em 2 (ou seja, base 2) e se utiliza apenas dos algarismos 0 e 1 para 
representar as quantidades. 
 
 
 
Suponha que queiramos transformar o número decimal 37 em 
binário. O primeiro passo é escrever esse número como a soma de 
potências de 2. Veja que 37 é igual a 32 + 4 + 1 que, por sua vez, são 
iguais a 2^5 + 2^2 + 2^0. Portanto, podemos dizer que: 
37 = 
32 + 4 + 1 = 
25 + 22 + 20 = 
1x25 + 0x24 + 0x23 + 1x22 + 0x21 + 1x20 
 
A partir dos números em negrito na última expressão, podemos 
escrever 37 em binário como 100101. 
 
Vamos agora transformar o número decimal 173 em binário. Para 
isso, vamos recorrer às potências de 2 que vimos anteriormente. 
Podemos dizer que 173 = 128 + 32 + 8 + 4 + 1. Assim, temos: 
173 = 
128 + 32 + 8 + 4 + 1 = 
27 + 25 + 23 + 22 + 20 = 
1x27 + 0x26 + 1x25 + 0x24+ 1x23 + 1x22 + 0x21 + 1x20 
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TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヲ
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヵヴ
5 4 1i i i i i     
 Observe que a partir de i5 voltamos a repetir o ciclo. Veja que i6 = -
1, i7 = -i, i8 = 1, e assim por diante. 
 Um número complexo é formado por duas partes: uma parte real e 
uma parte imaginária. Costumamos designar um número complexo pela 
letra z, e os escrevemos na forma z a b i   , ou simplesmente z = a + 
bi. Neste caso, “a” representa a parte real do número complexo e “b” 
representa a parte imaginária. 
 Exemplificando, veja os números complexos abaixo: 
z = 3 + 5i ฀ 3 é a parte real e 5 é a parte imaginária 
w = 2 – 3i ฀ 2 é a parte real e -3 é a parte imaginária 
 
 Assim como representamos os números reais na reta numérica, os 
números complexos são representados no Plano de Argand-Gauss, que 
nada mais é que um plano com um eixo real e um eixo imaginário, como 
vemos abaixo: 
 
 A título de exemplo, vamos representar os números z e w definidos 
acima no plano de Argand-Gauss: 
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TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
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Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヵヶ
Positiva Negativa 4º 3 -5i 
Nula (a = 0) Positiva ou 
negativa 
Número sobre o 
eixo imaginário 
-5i ou 5i 
Positiva ou 
negativa 
Nula (b = 0) Número sobre o 
eixo real 
-3 ou 3 
 
 Para somar dois números complexos, basta somar a parte real de 
um com a parte real do outro, e a parte imaginária de um com a parte 
imaginária do outro. O mesmo vale para a subtração. Ex.: 
(3 + 5i) + (2 – 4i) = (3 + 2) + (5 – 4)i = 5 + i 
 
 Para multiplicar dois números complexos, basta lembrar da 
propriedade distributiva da multiplicação: 
(3 + 5i) x (2 – 4i) = 
3x2 + 3x(-4i) + 5i x 2 + 5i x (-4i) = 
6 – 12i + 10i -20i2 = 
6 – 2i – 20x(-1) = 
26 – 2i 
 Antes de ver a divisão de números complexos, precisamos lembrar 
que, dados dois números A e B, então: 
(A + B) x (A – B) = A2 – AB + BA – B2 = A2 – B2 
 
 Ou seja, se temosum número do tipo A + B, se o multiplicarmos 
por A – B teremos como resultado A2 – B2 . Essa propriedade é muito útil 
para a divisão de números complexos. Vamos efetuar a seguinte divisão: 
3 5
2 4
i
i


 
 
 Ao invés de efetuar uma operação de divisão propriamente dita, 
vamos utilizar a propriedade que acabamos de ver acima e multiplicar 
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TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヲ
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3. FGV – DPE/RO – 2015) Em uma cozinha há dois potes vazios 
diferentes A e B, sendo que o primeiro pesa 400g e o segundo pesa 540g. 
A cozinheira Elisa distribuiu 1kg de farinha, uma parte em cada pote, de 
forma que os potes com farinha ficaram com o mesmo peso. A 
quantidade de farinha que o pote A contém é de: 
(A) 140g; 
(B) 370g; 
(C) 430g; 
(D) 570g; 
(E) 620g. 
RESOLUÇÃO: 
Veja que 1kg corresponde a 1000g de farinha. Se colocarmos “A” 
gramas no pote A, a quantia colocada no pote B será o restante, ou seja, 
1000 – A gramas. Com isso, os dois potes devem ficar com o mesmo 
peso: 
pote A + farinha do pote A = pote B + farinha do pote B 
400g + A = 540g + (1000g – A) 
400g + A = 540g + 1000g – A 
A + A = 540g + 1000g – 400g 
2A = 1140g 
A = 570g 
Resposta: D 
 
4. FGV – DPE/RO – 2015) O avô de João fará 90 anos e no dia do 
aniversário, como presente, João dará ao seu avô exatamente 90 
bombons. Os bombons preferidos do avô de João são vendidos em caixas 
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TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
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Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヶヰ
com 6 bombons e em caixas com 8 bombons. O menor número possível 
de caixas de bombons que João poderá comprar é: 
(A) 10; 
(B) 11; 
(C) 12; 
(D) 13; 
(E) 14. 
RESOLUÇÃO: 
Para dar o menor número possível de caixas, devemos usar o 
máximo de caixas de 8 bombons que pudermos. Dividindo 90 por 8, 
temos o resultado 11 e o resto 2. Assim, caso usemos 11 caixas de 8 
bombons, restarão 2 (que não é múltiplo de 6, portanto não forma caixas 
de 6 bombons). Se usarmos 10 caixas de 8 bombons, temos 10×8 = 80, 
sobrando 10 bombons (que também não é múltiplo de 6). Se usarmos 9 
caixas de 8 bombons, temos 9×8 = 72, sobrando 18 bombons, que 
podem ser acomodados em 3 caixas de 6 cada. 
Assim, o menor número de caixas é 9 + 3 = 12. 
Resposta: C 
 
5. FGV – IBGE – 2016) Um segmento de reta de comprimento C é dividido em 
cinco partes iguais, e a segunda e a quarta partes são retiradas. A seguir, cada 
uma das partes restantes é também dividida em cinco partes iguais, e as 
segundas e as quartas partes são retiradas. A soma dos comprimentos das 
partes restantes é: 
(A) 9
25
C 
(B) 8
25
C 
(C) 6
25
C 
(D) 4
5
C 
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Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヶヱ
(E) 3
5
C 
RESOLUÇÃO: 
 Na primeira divisão em 5 partes, cada pedaço fica com tamanho 
C/5. Tirando 2 dessas partes, ficamos com apenas 3, ou seja, com 3C/5. 
 
 Dividindo cada uma das partes restantes (que medem C/5 cada) 
em 5 pedaços, ficamos com C/5/5 = C/25 em cada parte pequena. Ao 
todo nós tiraremos 6 pedaços de comprimento C/25 (as segundas e 
quartas partes dos 3 segmentos de C/5 que haviam sobrado). 
 Assim, ficamos com: 
Comprimento final = 3C/5 – 6.C/25 
Comprimento final = 15C/25 – 6C/25 
Comprimento final = 9C/25 
Resposta: A 
 
6. FGV – IBGE – 2016) Lucas foi a uma feira de jogos levando 45 cartas 
vermelhas e 45 cartas azuis. Em um quiosque ele pode trocar duas cartas 
vermelhas por uma carta dourada e uma carta azul. Em outro quiosque ele pode 
trocar três cartas azuis por uma carta dourada e uma carta vermelha. Lucas fez 
todas as trocas possíveis para conseguir o máximo de cartas douradas. O 
número de cartas douradas que Lucas conseguiu com as trocas foi: 
(A) 59; 
(B) 60; 
(C) 61; 
(D) 62; 
(E) 63. 
RESOLUÇÃO: 
Quiosque 1: 
2V = D + A 
Quiosque 2: 
3A = D + V 
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Temos 45 cartas vermelhas e 45 azuis. Como 2 cartas vermelhas 
que dão 1 dourada e 1 azul, com 44 cartas vermelhas consigo 22 
douradas e 22 azuis. Veja que assim sobra 1 carta vermelha, mas ficamos 
com 22 douradas e 22 azuis. Unindo essas 22 azuis com as 45 azuis que 
já tínhamos, ficamos com 67 azuis. Como 3 azuis nos dão uma dourada e 
uma vermelha, com 66 azuis conseguimos 22 douradas e 22 vermelhas. 
Ficamos, portanto, com 22 douradas e 1 vermelha da primeira 
troca, e mais 22 douradas, 22 vermelhas e 1 carta azul da segunda. 
Somando tudo, temos 44 douradas, 23 vermelhas e 1 azul. 
Das 23 vermelhas, podemos levar 22 no primeiro quiosque e trocar 
por 11 douradas e 11 azuis, ficando com: 1 vermelha, 55 douradas e 12 
azuis. 
As 12 azuis podem ser trocadas no segundo quiosque por 4 
douradas e 4 vermelhas, ficando: 5 vermelhas, 59 douradas. 
4 das 5 vermelhas podem ser levadas no primeiro quiosque e 
trocadas por 2 douradas e 2 azuis, ficando: 61 douradas, 1 vermelha, 2 
azuis. 
Note que essas 2 azuis não podem mais ser trocadas no quiosque 2. 
Ficamos, portanto, com 61 moedas douradas. 
Resposta: C 
 
7. FGV – IBGE – 2016) A distância da Terra ao Sol é de 150 milhões de 
quilômetros e esse valor é chamado de “1 unidade astronômica” (1UA). A estrela 
Sírius, a mais brilhante do céu, está a 81 trilhões de quilômetros do Sol. A 
distância de Sírius ao Sol em UA é: 
(A) 5.400; 
(B) 54.000; 
(C) 540.000; 
(D) 5.400.000; 
(E) 54.000.000. 
RESOLUÇÃO: 
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Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヶン
Escrevendo 81 trilhões, temos 81.000.000.000.000 de quilômetros. 
Veja que 150 milhões de quilômetros são 150.000.000. Assim, o número 
de UA que representa a distância do Sol à estrela Sirius é: 
N = 81.000.000.000.000 / 150.000.000 
N = 81.000.000 / 150 
N = 8.100.000 / 15 
N = 2.700.000 / 5 
N = 540.000 quilômetros 
Resposta: C 
 
 
8. FGV – IBGE – 2016) Sobre os números inteiros w, x, y e z, sabe-se que w > 
x > 2y > 3z Se z  2, o valor mínimo de w é: 
(A) 6; 
(B) 7; 
(C) 8; 
(D) 9; 
(E) 10. 
RESOLUÇÃO: 
 Temos que w > x > 2y > 3z. Se z = 2, sabemos que: 
2y > 3z 
2y > 3.2 
2y > 6 
y > 3 
 
 Como y é maior que 3, ele deve ser no mínimo igual a 4, pois são 
números inteiros. Se tivermos y = 4, vemos que: 
x > 2y 
x > 2.4 
x > 8 
 
 Como x é inteiro, deve ser no mínimo 9. Assim, assumindo x = 9, 
temos: 
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w > x 
w > 9 
 
 Portanto, w deve ser no mínimo igual a 10. 
Resposta: E 
 
9. FCC – TRF/3ª – 2016) A diferença entre o menor número natural 
ímpar com cinco divisores positivos distintos e o menor número natural 
par, também com cinco divisores positivos distintos, é igual a 
(A) 39. 
(B) 27. 
(C) 83. 
(D) 65. 
(E) 41. 
RESOLUÇÃO: 
 O menor número natural ímpar com cinco divisores positivos 
distintos é 1x34 = 1x3x3x3x3 = 81. Os divisores são 1, 3, 9, 27, 81. 
Vale lembrar que a quantidade de divisores pode ser obtida a partir 
da forma fatorada, que é 11x34, fazendo a multiplicação de um expoente 
pelo outro, porém somando 1 unidade em cada: (1+1)x(4+1) = 5. 
Já o menor número natural par com 5 divisores positivos distintos é 
1x24 = 16, cujos divisores são 1, 2, 4, 8 e 16. 
A diferença entre eles é 81 – 16 = 65. 
Resposta: D 
 
10. FCC – TRF/3ª – 2016) Seja A oquociente da divisão de 8 por 3. 
Seja B o quociente da divisão de 15 por 7. Seja C o quociente da divisão 
de 14 por 22. 
O produto A . B . C é igual a 
(A) 3,072072072 . . . 
(B) 3,636363 . . . 
(C) 3,121212 . . . 
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(D) 3,252525 . . . 
(E) 3,111 . . . 
RESOLUÇÃO: 
 Vamos multiplicar as divisões 8/3, 15/7 e 14/22: 
8 15 14
3 7 22
8 15 2
3 1 22
8 5 1
1 1 11
40
11
3,63...
  
  
  

 
Resposta: B 
 
 
 
 
11. FCC – TRF/3ª – 2016) 23. As letras da expressão x − (w − y) − 
(z − h), representam números diferentes e serão substituídas, uma a 
uma e para efeito de cálculo, pelos números naturais 9; 12; 13; 15 e 17, 
não necessariamente nessa ordem. Opere apenas no conjunto dos 
números naturais. Para que o resultado da expressão seja 8, as letras w e 
h devem ser substituídas, respectivamente, por 
(A) 15 e 13. 
(B) 17 e 12. 
(C) 13 e 9. 
(D) 15 e 12. 
(E) 17 e 9. 
RESOLUÇÃO: 
 Queremos obter: 
x − (w − y) − (z − h) = 8 
 
 Uma possibilidade que temos é fazer: 
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x − (w − y) − (z − h) = 8 
15 – (17 – 13) – (12 – 9) = 
15 – 4 – 3 = 
8 
 
 Portanto, veja que w = 17 e h = 9, o que leva ao gabarito E. Vale 
notar que também poderíamos fazer: 
15 – (12 – 9) – (17 – 13) 
 
 Neste caso também obteríamos 8, mas ficaríamos com w = 12 e h 
= 13. Não temos, entretanto, esta opção de resposta. 
Resposta: E 
 
12. FCC – TRF/3ª – 2016) Em uma empresa, um funcionário deve 
cumprir exatas 8 horas de trabalho em um dia. Certo dia, um funcionário 
trabalhou 2 horas e 14 minutos; em seguida trabalhou outras 3 horas e 
38 minutos. A fração da carga diária de tempo de trabalho que esse 
funcionário ainda deve cumprir nesse dia é igual a 
(A) 4
15
 
(B) 1
4
 
(C) 3
5
 
(D) 3
8
 
(E) 7
20
 
RESOLUÇÃO: 
 Somando 2 horas e 14 min. com 3 horas e 38 min., temos 5 horas 
e 52 minutos. Para chegar a 8 horas, faltam 8 minutos (para chegar a 6h) 
e mais 2 horas, ou seja, faltam 2h e 8 min. 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA MILITAR DO PIAUÍ 
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 Portanto, note que a carga horária total era de 8 x 60 = 480 
minutos, e a carga restante é de 2x60 + 8 = 128 minutos. A fração que 
ainda deve ser cumprida é de: 
F = 128 / 480 = 64 / 240 = 32 / 120 = 16 / 60 = 8 / 30 = 4 / 15 
Resposta: A 
 
13. VUNESP – MP/SP – 2016) No aeroporto de uma pequena cidade 
chegam aviões de três companhias aéreas. Os aviões da companhia A 
chegam a cada 20 minutos, da companhia B a cada 30 minutos e da 
companhia C a cada 44 minutos. Em um domingo, às 7 horas, chegaram 
aviões das três companhias ao mesmo tempo, situação que voltará a se 
repetir, nesse mesmo dia, às 
(A) 18h 30min. 
(B) 17 horas. 
(C) 18 horas. 
(D) 17h 30min. 
(E) 16h 30min. 
RESOLUÇÃO: 
 O mínimo múltiplo comum entre 20, 30 e 44 pode ser obtido assim: 
20 = 2x2x5 
30 = 2x3x5 
44 = 2x2x11 
MMC = 2x2x3x5x11 
MMC = 660 
 
 Assim, as 3 companhias se encontram a cada 660 minutos, ou seja, 
a cada 660 / 60 = 11 horas. Isto ocorrerá novamente às 7 + 11 = 18h. 
Resposta: C 
 
14. VUNESP – MP/SP – 2016) João e Maria fizeram uma viagem de 
carro e percorreram um total de 1 304 km. Para cada quilômetro que 
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Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヲ
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João dirigiu, Maria dirigiu três quilômetros. Nessa viagem, Maria dirigiu a 
mais do que João, em quilômetros, 
(A) 638. 
(B) 660. 
(C) 676. 
(D) 644. 
(E) 652. 
RESOLUÇÃO: 
 Se João dirigiu J quilômetros, Maria dirigiu 3J. O total é de 1304km, 
ou seja, 
J + 3J = 1304 
4J = 1304 
J = 1304 / 4 
J = 326km 
 
 Maria dirigiu a mais do que João 3J – J = 2J = 2 x 326 = 652km. 
Resposta: E 
 
15. VUNESP – MP/SP – 2016) Alfredo irá doar seus livros para três 
bibliotecas da universidade na qual estudou. Para a biblioteca de 
matemática, ele doará três quartos dos livros, para a biblioteca de física, 
um terço dos livros restantes, e para a biblioteca de química, 36 livros. O 
número de livros doados para a biblioteca de física será 
(A) 22. 
(B) 20. 
(C) 18. 
(D) 16. 
(E) 24 
RESOLUÇÃO: 
 Sendo L o total de livros, para a biblioteca de matemática serão 
doados ¾ deles, sobrando 1/4 dos livros, ou L/4 livros. Deste restante, 
1/3 vai para a biblioteca de física, sobrando 2/3 de L/4, ou seja, 2/3 x L/4 
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= 2L/12 = L/6. Este restante corresponde aos 36 que vão para a 
biblioteca de química, portanto: 
36 = L/6 
L = 36 x 6 
L = 216 livros 
 
 Os livros doados para a biblioteca de física são 1/3 x L/4 = L/12 = 
216/12 = 18 livros. 
Resposta: C 
 
16. FCC – TRT/14ª – 2016) Em um curso de informática, 2/3 dos 
alunos matriculados são mulheres. Em certo dia de aula, 2/5 das 
mulheres matriculadas no curso estavam presentes e todos os homens 
matriculados estavam presentes, o que totalizou 27 alunos (homens e 
mulheres) presentes na aula. Nas condições dadas, o total de alunos 
homens matriculados nesse curso é igual a 
(A) 18. 
(B) 10. 
(C) 15. 
(D) 12. 
(E) 21. 
RESOLUÇÃO: 
 Seja N o número total de alunos matriculados. Como 2/3 são 
mulheres, o restante (1/3) são homens. Ou seja: 
Mulheres = 2N/3 
Homens = N/3 
 
 No dia em que apenas 2/5 das mulheres compareceram, a 
quantidade de mulheres presentes foi de 2/5 x (2N/3) = 4N/15. Todos os 
homens estavam presentes, e ao todo tínhamos 27 pessoas, o que nos 
permite escrever: 
Total de presentes = homens presentes + mulheres presentes 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA MILITAR DO PIAUÍ 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヲ
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ Αヰ
27 = N/3 + 4N/15 
27 = 5N/15 + 4N/15 
27 = 9N/15 
3 = N/15 
N = 3 x 15 
N = 45 alunos 
 
 O total de homens matriculados é de N/3 = 45/3 = 15. 
Resposta: C 
 
17. FCC – TRT/14ª – 2016) Carlos presta serviço de assistência 
técnica de computadores em empresas. Ele cobra R$ 12,00 para ir até o 
local, mais R$ 25,00 por hora de trabalho até resolver o problema 
(também são cobradas as frações de horas trabalhadas). Em um desses 
serviços, Carlos resolveu o problema e cobrou do cliente R$ 168,25, o que 
permite concluir que ele trabalhou nesse serviço 
(A) 5 horas e 45 minutos. 
(B) 6 horas e 15 minutos. 
(C) 6 horas e 25 minutos. 
(D) 5 horas e 25 minutos. 
(E) 5 horas e 15 minutos. 
RESOLUÇÃO: 
 Vamos chamar de H a quantidade de horas que Carlos ficou no local 
de trabalho. Ele cobra 12 reais e mais 25 reais para cada uma das H 
horas, totalizando uma cobrança de 12 + 25H. Igualando esta cobrança a 
168,25 reais, temos: 
168,25 = 12 + 25H 
168,25 – 12 = 25H 
156,25 = 25H 
H = 156,25 / 25 
H = 6,25 horas 
H = 6 horas + 0,25 horas 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA MILITAR DO PIAUÍ 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヲ
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ Αヱ
H = 6 horas + 0,25x60 minutos 
H = 6 horas + 15 minutos 
Resposta: B 
 
 
18. CESGRANRIO – ANP – 2016) Um grupo de jovens participou de 
uma pesquisa sobre tabagismo. Cinco em cada 7 jovens entrevistados 
declararam-se não fumantes. Dentre os jovens restantes, 3 em cada 4 
afirmaram que fumam diariamente. Se 84 jovens entrevistados 
afirmaram fumar todos os dias, quantos jovens participaram da pesquisa? 
(A) 112 
(B) 280 
(C)294 
(D) 392 
(E) 420 
RESOLUÇÃO: 
 Seja N o total de jovens. Como 5/7 se declararam não fumantes, o 
restante é de 2/7 de N, ou 2N/7. Destes, sabemos que 3/4 afirmaram 
fumar diariamente, ou seja, fumam diariamente ¾ de 2N/7, o que 
corresponde a 84 pessoas: 
84 = ¾ de 2N/7 
84 = (¾) x (2N/7) 
84 x 4 x 7 = 3 x 2N 
84 x 2 x 7 = 3N 
28 x 2 x 7 = N 
N = 56 x 7 
N = 392 jovens 
Resposta: D 
 
19. CESGRANRIO – ANP – 2016) Uma determinada solução é a 
mistura de 3 substâncias, representadas pelas letras P, Q e R. Uma certa 
quantidade dessa solução foi produzida, e sua massa é igual à soma das 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA MILITAR DO PIAUÍ 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヲ
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ Αヲ
massas das três substâncias P, Q e R, usadas para compô-la. As massas 
das substâncias P, Q e R dividem a massa da solução em partes 
diretamente proporcionais a 3, 5 e 7, respectivamente. A que fração da 
massa da solução produzida corresponde a soma das massas das 
substâncias P e Q utilizadas na produção? 
(A) 1
2
 
(B) 2
3
 
(C) 12
35
 
(D) 8
15
 
(E) 10
21
 
RESOLUÇÃO: 
 As massas das substâncias P, Q e R dividem a massa da solução em 
partes diretamente proporcionais a 3, 5 e 7, respectivamente, ou seja, 
P/3 = Q/5 = R/7 
 
 Assim, 
P/3 = R/7 
P = 3R/7 
 
Q/5 = R/7 
Q = 5R/7 
 
 A massa total é: 
Total = P + Q + R = 3R/7 + 5R/7 + R = 8R/7 + 7R/7 = 15R/7 
 
 A soma das massas de P e Q é: 
P + Q = 3R/7 + 5R/7 = 8R/7 
 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA MILITAR DO PIAUÍ 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヲ
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ Αン
A fração da massa da solução produzida que corresponde a soma 
das massas das substâncias P e Q é: 
Fração = Massa de P e Q / Total 
Fração = (8R/7) / (15R/7) 
Fração = (8R) / (15R) 
Fração = (8) / (15) 
Fração = 8 / 15 
Resposta: D 
 
20. FGV – PREFEITURA DE NITERÓI – 2015) Uma máquina é capaz 
de imprimir e encadernar cada exemplar de um determinado livro em 
2min45s. Trabalhando continuamente, o tempo que essa máquina levará 
para imprimir e encadernar 100 livros é: 
(A) 3h45min; 
(B) 3h55min; 
(C) 4h15min; 
(D) 4h25min; 
(E) 4h35min. 
RESOLUÇÃO: 
Veja que 2 minutos correspondem a 2 x 60 = 120 segundos. Assim, 
2 minutos e 45 segundos são 120 + 45 = 165 segundos. Para encadernar 
100 livros são necessários 100 x 165 = 16500 segundos. 
Para transformar em minutos, basta dividirmos por 60, ficando com 
16500 / 60 = 275 minutos. Veja que 275 minutos correspondem a 240 + 
35 minutos, ou seja, 4x60 + 35 minutos, que são 4 horas e 35 minutos. 
Resposta: E 
 
 
 
21. FCC - TRT/PR – 2015) Para um evento promovido por uma 
determinada empresa, uma equipe de funcionários preparou uma 
apresentação de slides que deveria transcorrer durante um momento de 
confraternização. Tal apresentação é composta por 63 slides e cada um 
será projetado num telão por exatos 10 segundos. Foi ainda escolhida 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA MILITAR DO PIAUÍ 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヲ
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ Αヵ
 O mínimo múltiplo comum é 8 x 9 x 5 x 7 = 2520. Portanto, a 
música e a apresentação vão terminar juntas após 2520 segundos. Até 
este momento, a música terá tocado 2520 / 280 = 9 vezes. 
Resposta: B 
 
22. FGV – TJSC – 2015) Natália e Fernando colecionam selos. Natália 
tinha o dobro do número de selos de Fernando e deu a ele tantos selos 
que ele ficou com o triplo do número de selos que ela ficou. Fernando 
tinha, inicialmente, 48 selos. No final, o número de selos com que Natália 
ficou é: 
(A) 48; 
(B) 44; 
(C) 40; 
(D) 36; 
(E) 32. 
RESOLUÇÃO: 
 Inicialmente Fernando tinha 48 selos, e Natália tinha o dobro, ou 
seja, 96. Ela deu X selos para ele, ficando com 96 – X, e deixando 
Fernando com 48 + X selos. 
 Ocorre que este número final de selos de Fernando é o triplo do 
número de Natália, ou seja: 
48 + X = 3.(96 – X) 
48 + X = 3.96 – 3X 
3X + X = 288 – 48 
4X = 240 
X = 240/4 
X = 60 selos 
 Portanto, Natália ficou com 96 – X = 96 – 60 = 36 selos no final. 
Resposta: D 
 
23. VUNESP – TJ/SP – 2015) Para a montagem de molduras, três 
barras de alumínio deverão ser cortadas em pedaços de comprimento 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA MILITAR DO PIAUÍ 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヲ
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ Αヶ
igual, sendo este o maior possível, de modo que não reste nenhum 
pedaço nas barras. Se as barras medem 1,5 m, 2,4 m e 3 m, então o 
número máximo de molduras quadradas que podem ser montadas com os 
pedaços obtidos é 
(A) 3. 
(B) 6. 
(C) 4. 
(D) 5. 
(E) 7. 
RESOLUÇÃO: 
 Devemos encontrar um tamanho de barra que seja divisor de 
1,5m, 2,4m e 3m. Para isso, é mais interessante trabalharmos com 
decimetros, ficando com 15dm, 24dm e 30dm respectivamente. O maior 
divisor comum entre esses três números é 3, ou seja, 3dm. Portanto, 
esse é o maior comprimento possível para cada uma das barras. A 
quantidade de barras que vamos conseguir é dada pela divisão dos 
comprimentos de cada uma das barras originais (15dm, 24dm e 30dm) 
pelo comprimento das barras menores (3dm). Respectivamente, teremos 
5, 8 e 10 barras menores, totalizando 23 barras menores. Para formar 
cada moldura quadrada, devemos utilizar 4 dessas 23 barras menores. A 
partir de 23 barras menores conseguimos formar 5 conjuntos com quatro 
barras menores, isto é, 5 molduras, sobrando exatamente três barras 
menores. 
Resposta: D 
24. FCC – CNMP – 2015) Renato recebeu um lote de 6.325 peças 
idênticas que devem ser organizadas em grupos de 73 peças. O menor 
número de peças que ele terá que descartar do lote para que consiga 
fazer o maior número possível de grupos é igual a 
(A) 47. 
(B) 38. 
(C) 33. 
(D) 26. 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA MILITAR DO PIAUÍ 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヲ
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ΑΑ
(E) 13. 
RESOLUÇÃO: 
 Dividindo 6.325 por 73, você encontrará o resultado 86 e o resto 
47. Isto significa que, se descartarmos este resto (47), será possível 
dividir o restante em 86 grupos de 73 peças. 
Resposta: A 
 
25. FCC – CNMP – 2015) Um livro foi impresso de modo que seu texto 
ocupou 420 páginas. Cada página foi impressa com 30 linhas. Para uma 
versão mais compacta foi planejado que em cada página seriam 
impressas 35 linhas. Desta maneira, a diferença entre o número de 
páginas da primeira versão e o número de páginas da versão compacta é 
igual a 
(A) 60. 
(B) 80. 
(C) 50. 
(D) 90. 
(E) 30. 
RESOLUÇÃO: 
 O total de linhas do livro é: 
Total de linhas = 420 páginas x 30 linhas por página 
Total de linhas = 420 x 30 = 12.600 linhas 
 Caso cada página tenha 35 linhas, o total de páginas para acomodar 
as 12.600 linhas será igual a: 
Novo total de páginas = 12.600 / 35 = 360 páginas 
 
 A diferença entre o número de páginas da primeira versão (420) e 
da versão compacta (360) é igual a 420 - 360 = 60 páginas. 
Resposta: A 
 
26. FCC – CNMP – 2015) O resultado da expressão numérica 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA MILITAR DO PIAUÍ 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヲ
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ΑΒ
     1 2 1 3 11 10 3 9 4 5. 6 13 . . 4 2 . . 1 11 . .
3 3 5 5 4 4 7 7 9 9
                             
         
 
é igual a 
(A) - 4. 
(B) 8. 
(C) - 6. 
(D) 9. 
(E) - 12. 
RESOLUÇÃO: 
1 2 1 3 11 10 3 9 4 5.( 6 13). .( 4 2). .( 1 11). .
3 3 5 5 4 4 7 7 9 9
                              
         
 
1 2 1 6 9.7. .( 6). .10. .
3 5 4 7 9
                       
        
 
 1 2 1 6.7. .( 6). .10. . 1
3 5 4 7
                   
       
 
 1 2 1 6.7. .(6). .10. . 1
3 5 4 7
                
       
 
 1 2 1 6.1. .(2). .10. . 1
1 5 4 1
                
       
 
 1 1 1 6.1. .(1). .10. . 1
1 5 1 1
                
       
 
 60 1
5
    
 
 
   12 . 1  
12 
Resposta: E 
 
27. FCC – CNMP – 2015) Quanto tempo faz que você não vê ou usa 
uma moeda de um centavo? Embora não sejam fabricadas desde 2004, 
elas permanecem em circulação e, conforme apurou o Jornal do Comércio 
junto ao Banco Central, não há previsão de que sejam retiradas do 
mercado. São 1,2 bilhão de unidades em circulação. 
(Adaptado de: Jornal do Comércio, Porto Alegre, 28/02/2014) 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA MILITAR DO PIAUÍ 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヲ
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ΑΓ
De acordo com o dado fornecido no texto, se o Banco Central decidisse 
substituir o total de moedas de um centavo em circulação por moedas de 
cinco centavos perfazendo o mesmo valor, em reais, das atuais moedas 
de um centavo em circulação, seria necessário um total de moedas de 
cinco centavos igual a 
(A) 24 milhões. 
(B) 24 bilhões. 
(C) 2,4 bilhões. 
(D) 60 milhões. 
(E) 240 milhões. 
RESOLUÇÃO: 
 Cada 5 moedas de um centavo devem ser substituídas por 1 moeda 
de cinco centavos. Assim, temos a regra de três 
5 moedas de um centavo ------------- 1 moeda de cinco centavos 
1.200.000.000 moedas de um centavo ---- N moedas de cinco centavos 
 
5 x N = 1.200.000.000 x 1 
N = 1.200.000.000 / 5 
N = 240.000.000 moedas de cinco centavos 
Resposta: E 
 
28. FGV – DPE/MT – 2015) Sabe-se que o número 3 2
4 3
x x
 é um 
número inteiro. Sobre o número x conclui-se que 
(A) é um número par mas não necessariamente múltiplo de 3. 
(B) é um múltiplo de 3 mas não necessariamente um número par. 
(C) é negativo. 
(D) é um múltiplo de 6. 
(E) é um múltiplo de 4 mas não necessariamente um múltiplo de 6. 
RESOLUÇÃO: 
 Observe que: 
3x/4 – 2x/3 = 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA MILITAR DO PIAUÍ 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヲ
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ Βヰ
9x/12 – 8x/12 = 
x/12 
 
 Note que 12 = 2x2x3. Assim, como x/12 é um número inteiro, 
então x deve ser um múltiplo de 12. Como 12 é 2x2x3, podemos dizer 
que x deve ser também múltiplo de 2, de 3, de 4 e de 6 (que são 
divisores de 12). 
Resposta: D 
 
29. FGV – DPE/MT – 2015) Em um canil há 42 cães adultos, dos 
quais metade são fêmeas. Um terço das fêmeas teve filhotes e, em 
média, cada uma destas fêmeas teve cinco filhotes. O número total de 
cães, adultos e filhotes, nesse canil é 
(A) 70. 
(B) 77. 
(C) 84. 
(D) 91. 
(E) 98. 
RESOLUÇÃO: 
 Sabemos que metade dos 42 cães adultos são fêmeas, portanto 
podemos dizer que temos 21 fêmeas adultas. Um terço dessas fêmeas, ou 
21x(1/3) = 7 fêmeas, possuem 5 filhotes em média cada uma, 
totalizando 7x5 = 35 filhotes. O total de cães nesse canil é igual a 42 + 
35 = 77. 
Resposta: B 
 
30. FCC – TRT/4ª – 2011) Considere o número inteiro X1Y, em que X 
e Y representam os algarismos das centenas e das unidades, 
respectivamente. Sabendo que 31692 : (X1Y) = 76, a soma X+Y é um 
número: 
a) Quadrado perfeito 
b) Menor que 10 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA MILITAR DO PIAUÍ 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヲ
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ Βヱ
c) Primo 
d) Divisível por 6 
e) Múltiplo de 4 
RESOLUÇÃO: 
 Ora, se 31692 76
1X Y
 , então 31692 1
76
X Y . Fazendo a divisão, temos: 
417 1X Y 
 Portanto, X = 4 e Y = 7. Assim, X+Y = 11, que é um número primo. 
Resposta: C. 
 
31. FCC – TRT/22ª – 2010) Seja P o produto de um número inteiro e 
positivo N por 9. Se N tem apenas três dígitos e P tem os algarismos das 
unidades, dezenas e centenas iguais a 4, 6 e 3, respectivamente, então P 
+ N é igual a: 
a) 6480 
b) 6686 
c) 6840 
d) 5584 
e) 5960 
RESOLUÇÃO: 
Quero mostrar-lhes 3 formas de resolver essa questão, todas 
relativamente simples. Recomendo entender as 3, pois pode ser que em 
outra questão parecida seja possível usar apenas 1 dos métodos. Vamos 
começar entendendo a questão e estruturando o problema. 
Sabemos que N possui três dígitos, portanto vamos representá-lo 
como sendo o número xyz, onde x, y e z são os dígitos que representam 
as centenas, dezenas e unidades, respectivamente. Sabemos ainda que o 
número P termina com 364. 
Assim, temos que 
N*9 = P, 
ou seja, 
xyz * 9 = w364 
(w representa o algarismo da casa dos milhares do número P) 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA MILITAR DO PIAUÍ 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヲ
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ Βヲ
 Você reparou que eu assumi que P possui 4 dígitos? Fiz isso porque 
um número de 3 dígitos multiplicado por 9 não pode dar um número 
maior que 4 dígitos. Afinal, mesmo o maior número de 3 dígitos (999) 
multiplicado por 9 tem 4 digítos. Ah, e pode ser que a gente descubra que 
w é igual a zero, isto é, que P tem apenas 3 dígitos. ฀ Primeira forma de resolver: 
Sabemos que N*9 = P, portanto podemos dizer que N = P/9. Se N é 
igual a P dividido por 9, isso significa que P deve ser divisível por 9 (caso 
contrário N não seria um número inteiro, ou seja, teria casas decimais). 
Qual o critério de divisibilidade por 9? Um número é divisível por 9 se a 
soma dos seus algarismos também é divisível por 9. A soma dos 
algarismos de P é w + 3 + 6 + 4 = w + 13. Qual o único algarismo que, 
somado a 13, chega a um número divisível por 9? Ora, w = 5, pois 
sabemos que 18 é divisível por 9, e 5 + 13 = 18. Portanto, P = 5364. 
Basta dividir 5364/9 que chegaremos no valor de N, neste caso, 596. 
Logo, N + P = 5960. 
 ฀ Segunda forma de resolver: (“solução braçal”) 
Digamos que você entendeu que P deve ser divisível por 9, mas não se 
recordou de critério de divisibilidade algum. Ora, não existem muitas 
opções para w (ele só pode ir de 0 a 9). Logo, você pode substituir w por 
cada algarismo e tentar dividir P por 9. Quando conseguir, terá 
encontrado P e N (ex.: ao substituir w por 5, verá que 5364/9 = 596, 
encontrando simultaneamente P = 5364 e N = 596). 
 
฀ Terceira forma de resolver: 
Nesta resolução vamos detalhar cada passo da multiplicação de 
xyz*9=w364. Você sabe que nós devemos começar multiplicando a casa 
das unidades de xyz por 9. Fazendo isso, vemos que z multiplicado por 9 
resulta em um número terminado em 4. Ou seja, só há uma possibilidade 
para z: ele deve ser o algarismo 6, pois sabemos que 6 x 9 = 54. 
Nenhum outro algarismo, quando multiplicado por 9, resulta em um 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA MILITAR DO PIAUÍ 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヲ
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ Βン
número terminado em 4. Substituindo o valor de z na equação acima, 
temos: 
xy6 * 9 = w364 
 Vamos agora analisar o número y. Veja que y multiplicado por 9, e 
somado 5 (que vieram da multiplicação vista no parágrafo acima), resulta 
em um número terminado em 6. Subtraindo os 5 que vieram da 
multiplicação anterior, temos um número terminado em 1. O único 
algarismo que, multiplicado por 9, resulta em um número terminado em 
1, é próprio 9 (9*9 = 81). Logo, y é 9. Até aqui, temos: 
 x96 * 9 = w364 
 Por fim, temos que o algarismo x multiplicado por 9 resulta em um 
número com final tal que, somado com os 8 que vieram da multiplicação 
anterior, resulta em um número terminado em 3. Portanto, x deve ser 5, 
pois 5*9 = 45, e 45 + 8 = 53: 
596 * 9 = w364 
 Assim, vemos que w deve ser o algarismo 5, que veio da 
multiplicação mostrada no parágrafo anterior. De fato, é verdade que:596 * 9 = 5364 
 Assim, N é 596 e P é 5364, e a soma N+P = 5960 
Resposta: E. 
 
32. FCC – TRT/24ª – 2011) Nicanor deveria efetuar a divisão de um 
número inteiro e positivo N, de três algarismos, por 63; entretanto, ao 
copiar N, ele enganou-se, invertendo as posições dos dígitos extremos e 
mantendo o seu dígito central. Assim, ao efetuar a divisão do número 
obtido por 63, obteve quociente 14 e resto 24. Nessas condições, se q e r 
são, respectivamente, o quociente e o resto da divisão de N por 63, 
então: 
a) q + r = 50. 
b) r < 40. 
c) q < 9. 
d) r é múltiplo de 4. 
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TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヲ
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ Βヵ
21 14 6 42
42 42 42 42
21 14 6 42
42
41 42
42
x x xE
x x x x
x x xE
x
xE
x
   
  



 
 Feito isso, podemos manipular a equação acima para isolar a 
variável x: 
42 41 42
(42 41) 42
42
42 41
E x x
x E
x
E
  
 


 
 Lembra que tanto x quanto E devem ser números inteiros? Veja que 
se E for igual a 1, x também será inteiro: 
42 42 42
42 1 41 1
x   
 
 
 Veja ainda que se E for maior que 1, o denominador será maior que 
o numerador (portanto não obteremos nenhum número inteiro). Por 
exemplo, se E = 2, temos: 
42 42
42 2 41 43
x  
 
 
 Ou seja, se E > 1, não é possível que x seja um número inteiro. 
Ainda, se E=0, x também não será inteiro: 
42 42
42 0 41 41
x  
  
 
 E também sabemos que E não pode ser menor que zero, pois o 
enunciado disse que ele é inteiro positivo. Dessa forma, a única 
possibilidade é E = 1 e x = 42. 
Como 42 tem 8 divisores (1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 e 42), a alternativa correta 
é a letra D. 
Resposta: D. 
 
34. FCC – TRT/1ª – 2011) Em uma campanha de doação de livros, x 
pessoas receberam 4 livros, e y pessoas receberam 3 livros, sendo x e y 
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Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヲ
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ΒΑ
6 19 8 27 
3 22 4 26 
0 25 0 26 
 
 Veja, na coluna da direita da tabela acima, que temos 9 
possibilidades para x+y. Entretanto, devemos excluir a última (x = 25 e y 
= 0), pois o enunciado disse que tanto x quanto y devem ser números 
inteiros positivos (e o zero não é considerado um número natural positivo, 
lembra-se?). 
 Assim, ficam 8 possibilidades válidas. 
Resposta: C. 
 
35. FCC – TRT/22ª – 2010) Em julho de 2010, dois Analistas 
Judiciários receberam um lote com X licitações para emitir pareceres. No 
mês seguinte, indagados sobre quantos pareceres de tal lote haviam 
emitido em julho, eles responderam: 
Anabela: “6/11 do total das licitações receberam meu parecer” 
Benivaldo: “A quantidade de licitações em que dei meu parecer 
corresponde a 3/5 do número de pareceres emitidos por Anabela”. 
Sabendo que cada licitação recebeu o parecer de apenas um desses 
Analistas e que a soma das quantidades que cada um emitiu era um 
número compreendido entre 100 e 150, então: 
a) X < 50 
b) 50 < X < 100 
c) 100 < X < 150 
d) 150 < X < 200 
e) X > 200 
RESOLUÇÃO: 
 Sabemos que Anabela deu parecer em 6/11 do total de licitações 
(X), ou seja, o número de licitações em que ela deu parecer é 6 X
11
. Já a 
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Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヲ
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ΒΒ
quantidade de licitações com parecer de Benivaldo é 3/5 do total de 
Anabela, ou seja, 3 6 18X X
5 11 55
   
 
. 
 Sabemos que tanto o número de licitações com parecer de Anabela 
quanto de Benivaldo devem ser números inteiros. Isto é, 6 X
11
 e 
18 X
55
devem ser números inteiros. 
Somando os pareceres dados por Anabela e por Benivaldo, temos: 
6 18X X
11 55
30 18X+ X=
55 55
48 X
55
 
 
 Sabemos que a soma dos pareceres dados por ambos deve ser um 
número inteiro. E este número deve estar entre 100 e 150. Ou seja, 
48100 X<150
55
 
 Repare que não há como simplificar a fração 48
55
, ou seja, 48 e 55 
são primos entre si (não possuem um divisor em comum, além do 
número 1). Assim, não existem muitas opções de X que atendem a 
condição acima. X deve necessariamente ser divisível por 55, pois 48 não 
o é. Logo, devemos testar para X valores que sejam múltiplos de 55. Veja 
que, se X = 55, então 48 48X 55 = 48
55 55
  (inferior a 100). Já, caso X = 
255 = 110, então 48 X 96
55
 (ainda inferior a 100). Porém, se X = 355 
= 165, então 48 X 144
55
 , que está dentro do intervalo procurado. Veja que 
caso X seja maior (por ex., X = 210), 48 X
55
 será maior que 150. 
 Portanto, como X = 165 é o total de licitações a serem analisadas, a 
letra D é a correta. 
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Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ΒΓ
Resposta: D. 
 
36. FCC – TRT/9ª – 2010) Para estabelecer uma relação entre os 
números de funcionários de uma unidade do Tribunal Regional do 
Trabalho, que participaram de um curso sobre Controle e Prevenção de 
Doenças, foi usada a expressão: 
 
em que h e m representam as quantidades de homens e de mulheres, 
respectivamente. Sabendo que o total de participantes do curso era um 
número compreendido entre 100 e 200, é correto afirmar que: 
a) h+m = 158 
b) h-m = 68 
c) 70 < h < 100 
d) 50 < m < 70 
e) m.h < 4000 
RESOLUÇÃO: 
 Devemos começar simplificando a expressão dada. Acompanhe os 
passos abaixo: 
13 13 13
3
1 1 13 3 31 1 33 3 3 19 1 8 8
3 3
1 1 13 3 33 24 3 213
8 8 8
8 8 63 8 553 1 3
21 21 21 21
h
m
h
m
h
m
h
m
 


     
   

     


      
 
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TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヲ
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ Γヰ
Como 55
21
h
m
 , podemos escrever que 55
21
h m . E como o exercício 
diz que o total de participantes está entre 100 e 200 pessoas, temos que: 
100 200
55100 200
21
76100 200
21
h m
m m
m
  
  
 
 
Veja que não é possível simplificar a fração 76/21. Assim, para que 
76
21
m seja um número inteiro, m deve ser um múltiplo de 21 (ex.: 21, 42, 
63 etc.). Veja que se m = 21, então 76 76
21
m  (abaixo de 100). Já se m = 
2x21 = 42, então 76 152
21
m  (que está entre 100 e 200). Observe que se 
m = 63, 76
21
m será maior que 200. Portanto, m = 42 e h = 152 – 42 = 
110. 
Assim, h – m = 68, sendo B a alternativa correta. 
Resposta: B. 
 
37. FCC – TRT/15ª – 2009) Do total de projetos que estavam em um 
arquivo, sabe-se que: 2
5
deveriam ser analisados e 4
7
referiam-se ao 
atendimento ao público interno. Com essa informação, é correto concluir 
que o total de projetos existentes nesse arquivo NUNCA poderia ser um 
número compreendido entre 
a) 10 e 50 
b) 60 e 100 
c) 110 e 160 
d) 150 e 170 
e) 180 e 220 
RESOLUÇÃO: 
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Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヲ
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ Γヱ
Observe que se o total de projetos for um número divisível por 5 e por 
7 ao mesmo tempo, será possível calcular 2
5
 e 4
7
dos projetos, isto é, eles 
serão números inteiros. Quais números são divisíveis por 5 e 7 ao mesmo 
tempo? Os múltiplos comuns entre 5 e 7. O mínimo múltiplo comum 
entre eles é 35. Portanto, se o número de projetos for múltiplo de 35, 
será um número divisível por 5 e 7. As outras possibilidades para o 
número de projetos são os demais múltiplos comuns entre 5 e 7. Você 
pode encontrá-los simplesmente buscando os múltiplos de 35, que é o 
MMC (5,7). Portanto: 
Nº de projetos = 35, 70, 105, 140, 175, 210, 245... 
 
Dado que em todos os intervalos existe um múltiplo comum entre 5 e 
7, exceto naquele entre150 e 170 (letra D), somente nesse intervalo é 
que o número de projetos NUNCA poderia estar. 
Resposta: D 
 
38. FCC – TRT/6ª – 2012) Quando o usuário digita na tela um 
número positivo n, um programa de computador executa a seguinte 
sequência de operações: 
 I. Soma 0,71 ao número n. 
 II. Extrai a raiz quadrada do resultado obtido em (I). 
 III. Multiplica o resultado obtido em (II) por 7,2. 
 IV. Escreve na tela o resultado obtido em (III). 
Após digitar na tela o número positivo, um usuário observou que esse 
programa escreveu na tela o número 15,12. O número digitado por esse 
usuário foi 
(A) 3,3. 
(B) 3,4. 
(C) 3,5. 
(D) 3,6. 
(E) 3,7. 
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Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヲ
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ Γン
2 2
2 2
2 2
( ) ( )
12,25 10,25 (12,25 10,25) (12,25 10,25)
12,25 10,25 22,5 2 45
a b a b a b    
    
   
 
 Portanto, o técnico arquivou 45 processos, ou seja, mais de 42 
processos (letra E). 
Resposta: E 
 
 
 
 
 
 
40. FCC – TRF/2ª – 2012) Considere as seguintes afirmações: 
 
Relativamente a essas afirmações, é certo que 
(A) I, II e III são verdadeiras. 
(B) apenas I e II são verdadeiras. 
(C) apenas II e III são verdadeiras. 
(D) apenas uma é verdadeira. 
(E) I, II e III são falsas. 
RESOLUÇÃO: 
 Vamos trabalhar com a expressão 
1 1
2 1
4 4 4 16,8
4 4
x x x
x x
 
 
 


: 
 
1 1
2 1
4 4 4
4 4
x x x
x x
 
 
 


 
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Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヲ
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ Γヴ
1
2 1
4 4 4 4 4
4 4 4 4
x x x
x x

 
   

  
 
 
 Veja que todos os termos do numerador e do denominador 
possuem o fator 4x. Portanto, podemos dividir todos os termos por esta 
fator, ficando com: 
1
2 1
4 1 4
4 4

 
 


 
1 1 4
4
1 1
16 4
 


 
1 4 16
4 4 4
1 4
16 16
 


 
21
4
5
16
 
21 16
4 5
  
21 4
1 5
  
16,8 
 
 Vejamos agora a expressão 
1
3 118 0,4444... : 30
135
 
  
 
. Devemos 
começar encontrando a fração geratriz da dízima 0,4444... Chamando 
esta fração de X, temos: 
X = 0,4444... 
10X = 4,444... 
Logo, 
10X – X = 4,444... – 0,4444... 
9X = 4 
X = 4/9 
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Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヲ
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ Γヶ
observou que: 5/8 do total das pessoas que lá estiveram ao longo de 
certa semana eram do sexo masculino e que, destas, 2/7 tinham menos 
de 35 anos de idade. Com base nessas informações, pode-se concluir 
corretamente que o total de pessoas que visitaram tal empresa naquela 
semana NÃO poderia ser igual a 
(A) 56. 
(B) 112. 
(C) 144. 
(D) 168. 
(E) 280. 
RESOLUÇÃO: 
 Seja P o número de pessoas que visitaram a empresa. Como 5/8 
eram do sexo masculino, então é preciso que 5
8
P seja um número inteiro. 
E como 2/7 tinham menos de 35 anos de idade, então é preciso também 
que 2
7
P seja inteiro. 
 Assim, é preciso que o número de pessoas seja divisível por 8 e por 
7. O MMC(8,7) é 56. Também são múltiplos comuns de 8 e 7 os múltiplos 
de 56, ou seja: 112, 168, 224, 280 etc. 
 Repare que apenas o número 144 (letra C) não é múltiplo de 56. 
Resposta: C 
 
42. FCC – TRF/2ª – 2012) Ao conferir o livro de registro da entrada e 
saída das pessoas q visitaram uma Unidade do Tribunal Regional Federal, 
ao longo dos cinco dias úteis de certa semana, um Técnico Judiciário 
observou que: 
- o número de pessoas que lá estiveram na segunda-feira correspondia a 
terça parte do total de visitantes da semana inteira; 
- em cada um dos três dias subsequentes, o número de pessoas 
registradas correspondia a ¾ do número daquelas registradas no dia 
anterior. 
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Considerando que na sexta-feira foi registrada a presença de 68 
visitantes, é correto afirmar que o número de pessoas que visitaram essa 
Unidade. 
a) na segunda-feira foi 250. 
b) na terça-feira foi 190. 
c) na quarta-feira foi 140. 
d) na quinta-feira foi 108. 
e) ao longo dos cinco dias foi 798. 
RESOLUÇÃO: 
 Seja V o número total de visitantes da semana. Na segunda-feira, 
um terço do total compareceu, ou seja, V/3. Na terça-feira, ¾ do total 
presente na segunda compareceu, isto é, ¾ x (V/3) = V/4. Na quarta-
feira, ¾ do total presente na terça compareceu, ou seja, 3V/16. Na 
quinta-feira, ¾ do total presente na quarta compareceu, totalizando 
9V/64. Por fim, 68 estiveram presentes na sexta. Assim, o total V pode 
ser dado pela soma dos presentes em cada dia: 
V = segunda + terça + quarta + quinta + sexta 
V = V/3 + V/4 + 3V/16 + 9V/64 + 68 
 Para colocar as frações em um denominador comum, podemos usar 
o denominador 192. Assim, temos: 
192 64 48 36 27 68
192 192 192 192 192
V V V V V     
192 64 48 36 27 68
192 192 192 192 192
V V V V V     
17 68
192
V  
19268 768
17
V    
 Assim, o total de presentes na segunda foi V/3 = 256, na terça foi 
V/4 = 192, na quarta foi 3V/16 = 144 e na quinta foi 9V/64 = 108. 
Temos essa última informação na alternativa D. 
Resposta: D 
 
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43. FCC – TRF/3ª – 2014) Um tabuleiro de xadrez possui 64 casas. 
Se fosse possível colocar 1 grão de arroz na primeira casa, 4 grãos na 
segunda, 16 grãos na terceira, 64 grãos na quarta, 256 na quinta, e 
assim sucessivamente, o total de grãos de arroz que deveria ser colocado 
na 64a casa desse tabuleiro seria igual a 
(A) 2256. 
(B) 264. 
(C) 2126. 
(D) 266. 
(E) 2128. 
RESOLUÇÃO: 
 Veja que na primeira casa colocamos 40 grãos (ou seja, 1), na 
segunda casa colocamos 41 grãos (isto é, 4), na terceira 42 grãos (ou 16), 
na quarta 43 grãos (ou 64), e assim por diante. Na 64ª casa colocaremos, 
portanto, 463 grãos, ou: 
463 = (22)63 = 22 x 63 = 2126 
Resposta: C 
 
 
 
44. FCC – TRF/3ª – 2014) Um funcionário tem que executar 500 
tarefas do tipo A, 150 do tipo B e 300 do tipo C no prazo de alguns dias, 
sendo necessário finalizar as tarefas dos tipos A, B, e C simultaneamente 
ao final do último dia. De acordo com as instruções que recebeu, ele tem 
que realizar, por dia, sempre o mesmo número de tarefas A, o mesmo 
número de tarefas B e o mesmo número de tarefas C, sendo que a soma 
diária da quantidade de tarefas A, B e C realizadas seja a maior possível. 
Em tais condições, esse funcionário terá que realizar um total de tarefas 
diárias igual a 
(A) 19. 
(B) 25. 
(C) 10. 
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(D) 21. 
(E) 15. 
RESOLUÇÃO: 
 Veja que é preciso realizar a cada dia o mesmo número de tarefas 
A, o mesmo de B, e o mesmo de C, e devem ser realizadas o máximo de 
tarefas possíveis por dia. Como temos números diferentes de tarefas 
(500, 150 e 300), devemos buscar o máximo divisor comum (MDC) entre 
esses números, que é 50. Assim, a cada dia realizaremos 500/50 = 10 
tarefas A, 150/50 = 3 tarefas B, e 300/50 = 6 tarefas C, totalizando 10 + 
3 + 6 = 19 tarefas por dia. 
Resposta: A 
 
45. FCC – TJ/PE – 2012) Eram 22 horas e em uma festa estavam 243 
mulheres e 448 homens. Verificou-se que, continuadamente a cada nove 
minutos, metade dos homens ainda presentes na festa ia embora. 
Também se verificou que, continuadamente a cada 15 minutos, a terça 
parte das mulheres ainda presentes na festa ia embora. Desta forma, 
apósa debandada das 22 horas e 45 minutos, a diferença entre o número 
de mulheres e do número de homens é 
(A) 14. 
(B) 28. 
(C) 36. 
(D) 44. 
(E) 58. 
RESOLUÇÃO: 
 Entre 22h e 22:45h temos 5 intervalos de 9 minutos. Como a cada 
intervalo o número de homens cai pela metade – ou seja, é multiplicado 
por ½ – temos que o número de homens ao final passou a ser de: 
5
1 1 1 1 1 448 448448 14
2 2 2 2 2 2 32
        homens 
 
 Neste mesmo período, temos 3 intervalos de 15 minutos. Como a 
cada intervalo 1/3 das mulheres saem, sobram 2/3 das mulheres, ou 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA MILITAR DO PIAUÍ 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヲ
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヱヰヰ
seja, o número de mulheres é multiplicado por 2/3. Assim, o número de 
mulheres passou a ser: 
3
3
2 2 2 243 2 243 8243 72
3 3 3 3 27
 
      mulheres 
 
 A diferença entre homens e mulheres passou a ser 72 – 14 = 58. 
Resposta: E 
 
46. VUNESP – TJ/MT – 2008) Uma pequena doceira bem sucedida 
comprou 1 800 embalagens para seus docinhos. Do total de embalagens, 
inicialmente 1/6 foi utilizado para embalar brigadeiros e 2/5 para os 
beijinhos. Sabendo que para os cajuzinhos seriam necessárias ½ do total 
das embalagens compradas, a doceira observou que iriam faltar ___ 
embalagens. Assinale a alternativa que completa corretamente a lacuna 
do texto. 
(A) 120 
(B) 110 
(C) 100 
(D) 90 
(E) 80 
RESOLUÇÃO: 
 Para embalar os brigadeiros foram utilizadas: 
Embalagens p/ brigadeiros = (1/6) x 1800 = 300 
 
 Para embalar os beijinhos foram utilizadas: 
Embalagens p/ beijinhos = (2/5) x 1800 = 720 
 
 Para embalar os cajuzinhos seriam necessárias: 
Embalagens p/ cajuzinhos = (1/2) x 1800 = 900 
 
 Portanto, ao todo seriam necessárias 300 + 720 + 900 = 1920 
embalagens. Como foram compradas apenas 1800, faltaram 120 
embalagens. 
Resposta: A 
47. VUNESP – TJ/MT – 2008) Uma pessoa quer trocar duas notas de 
dez reais por moedas de 5, 10, 25 e 50 centavos de real. Se ela deseja 
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TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヲ
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヱヰヱ
receber moedas de todos esses valores, então o número mínimo de 
moedas a receber em troca será de 
(A) 40. 
(B) 41. 
(C) 42. 
(D) 43. 
(E) 44. 
RESOLUÇÃO: 
 Para ter o menor número possível de moedas, devemos pegar o 
máximo possível de moedas de maior valor, e o mínimo possível de 
moedas de baixo valor. 
Pegando R$19,50 em moedas de 50 centavos, são necessárias 39 
moedas deste valor. 
 Para chegar aos 20 reais (duas notas de 10), são necessárias ainda 
1 moeda de 25 centavos, 2 de 10 centavos e 1 de 5 centavos. Ao todo, 
são necessárias pelo menos: 
39 + 1 + 2 + 1 = 43 moedas 
Resposta: D 
 
48. CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2011) Sendo i a unidade 
imaginária e escrevendo o complexo 
2(3 )
1
iz
i



 na forma z = a + bi tem-
se que a + b é igual a: 
a) -1 
b) 1 
c) 2 
d) 6 
e) 8 
RESOLUÇÃO: 
 Para “tirar” o 1 + i do denominador, basta multiplicar, tanto o 
numerador como o denominador, por (1 – i): 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA MILITAR DO PIAUÍ 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヲ
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヱヰヲ
2 2
2 2
2
2
(3 ) (3 ) (1 ) (3 )(3 )(1 )
1 (1 )(1 ) 1
(9 6 )(1 ) (9 6 1)(1 )
1 ( 1) 2
(8 6 )(1 ) 8 8 6 6 8 2 6 ( 1)
2 2 2
8 2 6 7
2
i i i i i iz
i i i i
i i i i iz
i i i i i iz
iz i
     
  
   
     
 
 
        
  
 
  
 
 Se z = a + bi = 7 – i, então a = 7 e b = -1. Portanto, a + b = 6. 
Resposta: D 
 
49. FCC – TCE/SP – 2010) Sabe-se que se i é unidade imaginária do 
conjunto dos números complexos, então, para cada número natural n, a 
potência in é igual a 1, i, -1 ou –i. Usando essa informação, é correto 
afirmar que a soma 
50
1
n
n
i

 é igual a: 
a) 0 
b) -1 – i 
c) 1 + i 
d) 1 – i 
e) i – 1 
RESOLUÇÃO: 
 Sabemos que i1 = i; i2 = -1; i3 = -i e i4 = 1. A partir de i5 a 
sequência se repete novamente. 
 Repare que i1 + i2 + i3 + i4 = i – 1 – i + 1 = 0. Isto é, a soma de 
quatro potências de i consecutivas é igual a zero. Veja, por exemplo, que: 
i5 + i6 + i7 + i8 = i – 1 – i + 1 = 0 
 Assim, ao efetuar o somatório de in, para n = 1 a 50, teremos 12 
conjuntos de 4 potências consecutivas de i (totalizando 48 números) e 
mais i49 e i50. Portanto, 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA MILITAR DO PIAUÍ 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヲ
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヱヰン
50
49 50
1
n
n
i i i

  
 Para saber o valor de i49, você deve calcular o resto da divisão de 
49 por 4. Neste caso, o resto é igual a 1. Assim, i49 = i1 = i. 
 Da mesma forma, o resto de 50 dividido por 4 é igual a 2. Portanto: 
i50 = i2 = -1 
 Assim, 
50
49 50 1 2
1
1n
n
i i i i i i

      
Resposta: E 
 
50. CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2010) Sejam w = 3 - 2i e y = m 
+pi dois números complexos, tais que m e p são números reais e i, a 
unidade imaginária. Se w + y = -1 + 3i, conclui-se que m e p são, 
respectivamente, iguais a 
a) -4 e +1 
b) -4 e +5 
c) +2 e +1 
d) +2 e +5 
e) +4 e -1 
RESOLUÇÃO: 
 Veja que: 
w + y = 3 – 2i + m + pi 
 Ao efetuar a soma de números complexos, devemos somar a parte 
real de um com a parte real do outro, e a parte imaginária de um com a 
parte imaginária do outro. Isto é, 
w + y = (3 + m) + (-2 + p)i 
 Como o enunciado disse que w + y = -1 + 3i, então: 
w + y = (3 + m) + (-2 + p)i = -1 + 3i 
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TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヲ
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヱヰヴ
 Se dois números complexos são iguais, isso significa que suas 
partes reais são iguais, e suas partes imaginárias também são iguais. Ou 
seja: 
3 + m = -1 ฀ m = -4 
-2 + p = 3 ฀ p = 5 
Resposta: B 
51. CONESUL – CMR/RQ – 2008) Assinale a alternativa que 
corresponde ao inverso do número complexo z = 3 + 2i: 
a) (3 + 2i) / 13 
b) (2 – 3i) / 13 
c) (2 + 3i) / 13 
d) (-2 + 3i) / 13 
e) (3 – 2i) / 13 
RESOLUÇÃO: 
 O inverso de 3 + 2i é: 
1 1
3 2z i


 
 Entretanto, para obter uma das respostas do enunciado, devemos 
“tirar” a unidade imaginária i do denominador. Para isto, basta multiplicar 
tanto numerador quanto denominador por 3 – 2i: 
 22
1 1 3 2
3 2 3 2
1 3 2 3 2
9 ( 4)3 2
1 3 2
13
i
z i i
i i
z i
i
z

 
 
 
 
 


 
Resposta: E 
 
52. FCC – TRF/2ª – 2012) Considere a igualdade x + (4 + y) . i = (6 
− x) + 2yi , em que x e y são números reais e i é a unidade imaginária. O 
módulo do número complexo z = x + yi, é um número 
(A) maior que 10. 
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TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヲ
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヱヰヶ
3. O número cuja expansão decimal infinita é dada por 0,33333333… é 
um número racional. 
Assinale a alternativa que indica todas as afirmativas corretas. 
a) É correta apenas a afirmativa 3. 
b) São corretas apenas as afirmativas 1 e 2. 
c) São corretas apenas as afirmativas 1 e 3. 
d) São corretas apenas as afirmativas 2 e 3. 
e) São corretas as afirmativas 1, 2 e 3. 
RESOLUÇÃO: 
 Vejamos cada afirmativa: 
1. Se (a+bi)(c+di) é um número real, então ou a = c = 0 ou b = d = 0. 
 Veja que: 
(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = ac – bd + (ad + bc)i 
 
 Assim, para este número ser real, é preciso que a parte imaginária 
seja nula, ou seja, ad + bc = 0. Não é preciso que a, c, b ou d sejam 
iguais a zero. FALSO. 
 
2. Se z = 2 + i e w é tal que zw = 1, então w = 2 1
5 5
i . 
 Vamos usar a simbologia a + bi para representar o número w. 
Assim, 
z.w = 1 
(2 + i).(a + bi) = 1 
2a + 2bi + ai + bi2 = 1 
2a – b + (2b + a)i= 1 
 
 Para que esta igualdade seja verdadeira, é preciso que a parte real 
do número da esquerda da igualdade seja igual à parte real do número da 
direita, e que a parte imaginária do número da esquerda seja igual à 
parte imaginária do número da direita. Isto é, 
2a – b = 1 
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TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヲ
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヱヰΑ
2b + a = 0 
 
 Na primeira equação acima, podemos escrever que: 
b = 2a – 1 
 
 Substituindo na segunda equação, temos: 
2.(2a – 1) + a = 0 
4a – 2 + a = 0 
5a = 2 
a = 2/5 
 
b = 2a – 1 
b = 2.(2/5) – 1 
b = -1/5 
 Logo, w = 2/5 – (1/5)i. VERDADEIRO. 
 
3. O número cuja expansão decimal infinita é dada por 0,33333333… é 
um número racional. 
 VERDADEIRO, pois sabemos que dízimas periódicas são números 
racionais. Neste caso, a fração geratriz é 1/3. 
Resposta: D 
 
54. FGV – TJRJ – 2014) Mario fez uma viagem de ônibus que durou 
três horas e meia. Assim que o ônibus partiu, Mario dormiu. Quando 
acordou, dois quintos do tempo da viagem haviam passado. O tempo que 
Mario passou dormindo nessa viagem foi de: 
(A) 1h 10min; 
(B) 1h 24min; 
(C) 1h 32min; 
(D) 1h 48min; 
(E) 2h 12min. 
RESOLUÇÃO: 
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Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヲ
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヱヰΒ
Mario dormiu 2/5 de 3,5 horas (três horas e meia), ou seja: 
Tempo dormindo = (2/5) x 3,5 
Tempo dormindo = 2 x 0,7 
Tempo dormindo = 1,4 horas 
Tempo dormindo = 1 hora + 0,4 x 60 minutos 
Tempo dormindo = 1 hora + 24 minutos 
Resposta: B 
 
55. VUNESP – TJ/SP – 2004) Em uma loja, o metro de corda é 
vendido por R$3,00, e o rolo com 60 metros de corda, por R$ 150,00. 
Três amigos compraram juntos um rolo de corda, ficando o primeiro com 
1/4 do rolo, o segundo com 1/12 e o terceiro com o restante. Se a divisão 
dos gastos foi proporcional à quantidade de corda que cada um recebeu, 
aquele que comprou a maior quantidade de corda economizou, em 
relação à compra da mesma quantidade de corda por metro, o total de 
(A) R$ 18,00. 
(B) R$ 19,00. 
(C) R$ 20,00. 
(D) R$ 21,00. 
(E) R$ 22,00. 
RESOLUÇÃO: 
 Se um amigo ficou com 1/4 do rolo e o outro com 1/12, o terceiro 
amigo ficou com o restante para completar 1 unidade do rolo. Chamando 
de X a proporção do rolo que ficou para o terceiro amigo, temos: 
1/4 + 1/12 + X = 1 
 
 Multiplicando todos os membros desta equação por 12, temos: 
3 + 1 + 12X = 12 
12X = 12 – 3 – 1 
X = 8 / 12 = 2/3 
 
 Observe que o terceiro amigo ficou com a maior proporção do rolo: 
2/3 (que é maior que 1/4 e também que 1/12). Como o rolo tem 60 
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TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヲ
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヱヰΓ
metros de corda, e ele ficou com 2/3, a quantidade de corda que ele ficou 
é: 
2/3 x 60 = 40 metros 
 
 E como o rolo custou 150 reais, ele pagou 2/3 deste valor: 
2/3 x 150 = 100 reais 
 
 Portanto, o terceiro amigo adquiriu 40 metros de rolo por 100 reais. 
Se ele tivesse comprado os mesmos 40 metros de rolo isoladamente, 
pagando 3 reais por metro, ele teria gasto: 
40 x 3 = 120 reais 
 Portanto, ao comprar junto com os demais amigos, o terceiro amigo 
economizou 120 – 100 = 20 reais. 
Resposta: C 
 
Fim de aula. Até o próximo encontro! Abraço, 
Prof. Arthur Lima 
Instagram: @ProfArthurLima 
Facebook: ProfArthurLima 
 
 
 
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TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
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Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヱヱヰ
 
1. FCC – TRT/4ª – 2011) Dos números que aparecem nas alternativas, 
o que mais se aproxima do valor da expressão 2 2(0,619 0,599 ) 0,75  é: 
a) 0,0018 
b) 0,015 
c) 0,018 
d) 0,15 
e) 0,18 
 
2. CEPERJ – DEGASE/RJ – 2012) Uma quantidade X é dada pela 
expressão: 
 
Desse modo, X é igual a: 
A) 25,2527456 
B) 26,3939392 
C) 27,0000000 
D) 36,0000000 
E) 36,3020293 
 
3. FGV – DPE/RO – 2015) Em uma cozinha há dois potes vazios 
diferentes A e B, sendo que o primeiro pesa 400g e o segundo pesa 540g. 
A cozinheira Elisa distribuiu 1kg de farinha, uma parte em cada pote, de 
forma que os potes com farinha ficaram com o mesmo peso. A 
quantidade de farinha que o pote A contém é de: 
(A) 140g; 
(B) 370g; 
(C) 430g; 
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TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヲ
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヱヱヱ
(D) 570g; 
(E) 620g. 
4. FGV – DPE/RO – 2015) O avô de João fará 90 anos e no dia do 
aniversário, como presente, João dará ao seu avô exatamente 90 
bombons. Os bombons preferidos do avô de João são vendidos em caixas 
com 6 bombons e em caixas com 8 bombons. O menor número possível 
de caixas de bombons que João poderá comprar é: 
(A) 10; 
(B) 11; 
(C) 12; 
(D) 13; 
(E) 14. 
 
5. FGV – IBGE – 2016) Um segmento de reta de comprimento C é dividido em 
cinco partes iguais, e a segunda e a quarta partes são retiradas. A seguir, cada 
uma das partes restantes é também dividida em cinco partes iguais, e as 
segundas e as quartas partes são retiradas. A soma dos comprimentos das 
partes restantes é: 
(A) 9
25
C 
(B) 8
25
C 
(C) 6
25
C 
(D) 4
5
C 
(E) 3
5
C 
 
6. FGV – IBGE – 2016) Lucas foi a uma feira de jogos levando 45 cartas 
vermelhas e 45 cartas azuis. Em um quiosque ele pode trocar duas cartas 
vermelhas por uma carta dourada e uma carta azul. Em outro quiosque ele pode 
trocar três cartas azuis por uma carta dourada e uma carta vermelha. Lucas fez 
todas as trocas possíveis para conseguir o máximo de cartas douradas. O 
número de cartas douradas que Lucas conseguiu com as trocas foi: 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA MILITAR DO PIAUÍ 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヲ
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヱヱヲ
(A) 59; 
(B) 60; 
(C) 61; 
(D) 62; 
(E) 63. 
 
7. FGV – IBGE – 2016) A distância da Terra ao Sol é de 150 milhões de 
quilômetros e esse valor é chamado de “1 unidade astronômica” (1UA). A estrela 
Sírius, a mais brilhante do céu, está a 81 trilhões de quilômetros do Sol. A 
distância de Sírius ao Sol em UA é: 
(A) 5.400; 
(B) 54.000; 
(C) 540.000; 
(D) 5.400.000; 
(E) 54.000.000. 
 
8. FGV – IBGE – 2016) Sobre os números inteiros w, x, y e z, sabe-se que w > 
x > 2y > 3z Se z  2, o valor mínimo de w é: 
(A) 6; 
(B) 7; 
(C) 8; 
(D) 9; 
(E) 10. 
 
9. FCC – TRF/3ª – 2016) A diferença entre o menor número natural 
ímpar com cinco divisores positivos distintos e o menor número natural 
par, também com cinco divisores positivos distintos, é igual a 
(A) 39. 
(B) 27. 
(C) 83. 
(D) 65. 
(E) 41. 
 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA MILITAR DO PIAUÍ 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヲ
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヱヱン
10. FCC – TRF/3ª – 2016) Seja A o quociente da divisão de 8 por 3. 
Seja B o quociente da divisão de 15 por 7. Seja C o quociente da divisão 
de 14 por 22. 
O produto A . B . C é igual a 
(A) 3,072072072 . . . 
(B) 3,636363 . . . 
(C) 3,121212 . . . 
(D) 3,252525 . . . 
(E) 3,111 . . . 
11. FCC – TRF/3ª – 2016) 23. As letras da expressão x − (w − y) − 
(z − h), representam números diferentes e serão substituídas, uma a 
uma e para efeito de cálculo, pelos números naturais 9; 12; 13; 15 e 17, 
não necessariamente nessa ordem. Opere apenas no conjunto dos 
números naturais. Para que o resultado da expressão seja 8, as letras w e 
h devem ser substituídas, respectivamente, por 
(A) 15 e 13. 
(B) 17 e 12. 
(C) 13 e 9. 
(D) 15 e 12. 
(E) 17 e 9. 
 
12. FCC – TRF/3ª – 2016) Em uma empresa, um funcionário deve 
cumprir exatas 8 horas de trabalhoem um dia. Certo dia, um funcionário 
trabalhou 2 horas e 14 minutos; em seguida trabalhou outras 3 horas e 
38 minutos. A fração da carga diária de tempo de trabalho que esse 
funcionário ainda deve cumprir nesse dia é igual a 
(A) 4
15
 
(B) 1
4
 
(C) 3
5
 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA MILITAR DO PIAUÍ 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヲ
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヱヱヴ
(D) 3
8
 
(E) 7
20
 
 
13. VUNESP – MP/SP – 2016) No aeroporto de uma pequena cidade 
chegam aviões de três companhias aéreas. Os aviões da companhia A 
chegam a cada 20 minutos, da companhia B a cada 30 minutos e da 
companhia C a cada 44 minutos. Em um domingo, às 7 horas, chegaram 
aviões das três companhias ao mesmo tempo, situação que voltará a se 
repetir, nesse mesmo dia, às 
(A) 18h 30min. 
(B) 17 horas. 
(C) 18 horas. 
(D) 17h 30min. 
(E) 16h 30min. 
14. VUNESP – MP/SP – 2016) João e Maria fizeram uma viagem de 
carro e percorreram um total de 1 304 km. Para cada quilômetro que 
João dirigiu, Maria dirigiu três quilômetros. Nessa viagem, Maria dirigiu a 
mais do que João, em quilômetros, 
(A) 638. 
(B) 660. 
(C) 676. 
(D) 644. 
(E) 652. 
 
15. VUNESP – MP/SP – 2016) Alfredo irá doar seus livros para três 
bibliotecas da universidade na qual estudou. Para a biblioteca de 
matemática, ele doará três quartos dos livros, para a biblioteca de física, 
um terço dos livros restantes, e para a biblioteca de química, 36 livros. O 
número de livros doados para a biblioteca de física será 
(A) 22. 
(B) 20. 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA MILITAR DO PIAUÍ 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヲ
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヱヱヵ
(C) 18. 
(D) 16. 
(E) 24 
 
16. FCC – TRT/14ª – 2016) Em um curso de informática, 2/3 dos 
alunos matriculados são mulheres. Em certo dia de aula, 2/5 das 
mulheres matriculadas no curso estavam presentes e todos os homens 
matriculados estavam presentes, o que totalizou 27 alunos (homens e 
mulheres) presentes na aula. Nas condições dadas, o total de alunos 
homens matriculados nesse curso é igual a 
(A) 18. 
(B) 10. 
(C) 15. 
(D) 12. 
(E) 21. 
 
 
17. FCC – TRT/14ª – 2016) Carlos presta serviço de assistência 
técnica de computadores em empresas. Ele cobra R$ 12,00 para ir até o 
local, mais R$ 25,00 por hora de trabalho até resolver o problema 
(também são cobradas as frações de horas trabalhadas). Em um desses 
serviços, Carlos resolveu o problema e cobrou do cliente R$ 168,25, o que 
permite concluir que ele trabalhou nesse serviço 
(A) 5 horas e 45 minutos. 
(B) 6 horas e 15 minutos. 
(C) 6 horas e 25 minutos. 
(D) 5 horas e 25 minutos. 
(E) 5 horas e 15 minutos. 
 
18. CESGRANRIO – ANP – 2016) Um grupo de jovens participou de 
uma pesquisa sobre tabagismo. Cinco em cada 7 jovens entrevistados 
declararam-se não fumantes. Dentre os jovens restantes, 3 em cada 4 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA MILITAR DO PIAUÍ 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヲ
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヱヱヶ
afirmaram que fumam diariamente. Se 84 jovens entrevistados 
afirmaram fumar todos os dias, quantos jovens participaram da pesquisa? 
(A) 112 
(B) 280 
(C) 294 
(D) 392 
(E) 420 
 
19. CESGRANRIO – ANP – 2016) Uma determinada solução é a 
mistura de 3 substâncias, representadas pelas letras P, Q e R. Uma certa 
quantidade dessa solução foi produzida, e sua massa é igual à soma das 
massas das três substâncias P, Q e R, usadas para compô-la. As massas 
das substâncias P, Q e R dividem a massa da solução em partes 
diretamente proporcionais a 3, 5 e 7, respectivamente. A que fração da 
massa da solução produzida corresponde a soma das massas das 
substâncias P e Q utilizadas na produção? 
(A) 1
2
 
(B) 2
3
 
(C) 12
35
 
(D) 8
15
 
(E) 10
21
 
 
20. FGV – PREFEITURA DE NITERÓI – 2015) Uma máquina é capaz 
de imprimir e encadernar cada exemplar de um determinado livro em 
2min45s. Trabalhando continuamente, o tempo que essa máquina levará 
para imprimir e encadernar 100 livros é: 
(A) 3h45min; 
(B) 3h55min; 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA MILITAR DO PIAUÍ 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヲ
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヱヱΑ
(C) 4h15min; 
(D) 4h25min; 
(E) 4h35min. 
 
 
 
21. FCC - TRT/PR – 2015) Para um evento promovido por uma 
determinada empresa, uma equipe de funcionários preparou uma 
apresentação de slides que deveria transcorrer durante um momento de 
confraternização. Tal apresentação é composta por 63 slides e cada um 
será projetado num telão por exatos 10 segundos. Foi ainda escolhida 
uma música de fundo, com duração de 4min40s para acompanhar a 
apresentação dos slides. Eles planejam que a música e a apresentação 
dos slides comecem simultaneamente e “rodem” ciclicamente, sem 
intervalos, até que ambas finalizem juntas. A fim de estudar a viabilidade 
desse plano, eles calcularam que a quantidade de vezes que a música 
teria de tocar até que seu final coincidisse, pela primeira vez depois do 
início, com final da apresentação seria 
(A) 35. 
(B) 9. 
(C) 5. 
(D) 42. 
(E) 12. 
 
22. FGV – TJSC – 2015) Natália e Fernando colecionam selos. Natália 
tinha o dobro do número de selos de Fernando e deu a ele tantos selos 
que ele ficou com o triplo do número de selos que ela ficou. Fernando 
tinha, inicialmente, 48 selos. No final, o número de selos com que Natália 
ficou é: 
(A) 48; 
(B) 44; 
(C) 40; 
(D) 36; 
(E) 32. 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA MILITAR DO PIAUÍ 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
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Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヱヱΒ
 
23. VUNESP – TJ/SP – 2015) Para a montagem de molduras, três 
barras de alumínio deverão ser cortadas em pedaços de comprimento 
igual, sendo este o maior possível, de modo que não reste nenhum 
pedaço nas barras. Se as barras medem 1,5 m, 2,4 m e 3 m, então o 
número máximo de molduras quadradas que podem ser montadas com os 
pedaços obtidos é 
(A) 3. 
(B) 6. 
(C) 4. 
(D) 5. 
(E) 7. 
 
24. FCC – CNMP – 2015) Renato recebeu um lote de 6.325 peças 
idênticas que devem ser organizadas em grupos de 73 peças. O menor 
número de peças que ele terá que descartar do lote para que consiga 
fazer o maior número possível de grupos é igual a 
(A) 47. 
(B) 38. 
(C) 33. 
(D) 26. 
(E) 13. 
 
 
 
25. FCC – CNMP – 2015) Um livro foi impresso de modo que seu texto 
ocupou 420 páginas. Cada página foi impressa com 30 linhas. Para uma 
versão mais compacta foi planejado que em cada página seriam 
impressas 35 linhas. Desta maneira, a diferença entre o número de 
páginas da primeira versão e o número de páginas da versão compacta é 
igual a 
(A) 60. 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA MILITAR DO PIAUÍ 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヲ
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヱヱΓ
(B) 80. 
(C) 50. 
(D) 90. 
(E) 30. 
 
26. FCC – CNMP – 2015) O resultado da expressão numérica 
     1 2 1 3 11 10 3 9 4 5. 6 13 . . 4 2 . . 1 11 . .
3 3 5 5 4 4 7 7 9 9
                             
         
 
é igual a 
(A) - 4. 
(B) 8. 
(C) - 6. 
(D) 9. 
(E) - 12. 
 
27. FCC – CNMP – 2015) Quanto tempo faz que você não vê ou usa 
uma moeda de um centavo? Embora não sejam fabricadas desde 2004, 
elas permanecem em circulação e, conforme apurou o Jornal do Comércio 
junto ao Banco Central, não há previsão de que sejam retiradas do 
mercado. São 1,2 bilhão de unidades em circulação. 
(Adaptado de: Jornal do Comércio, Porto Alegre, 28/02/2014) 
De acordo com o dado fornecido no texto, se o Banco Central decidisse 
substituir o total de moedas de um centavo em circulação por moedas de 
cinco centavos perfazendo o mesmo valor, em reais, das atuais moedasde um centavo em circulação, seria necessário um total de moedas de 
cinco centavos igual a 
(A) 24 milhões. 
(B) 24 bilhões. 
(C) 2,4 bilhões. 
(D) 60 milhões. 
(E) 240 milhões. 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA MILITAR DO PIAUÍ 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヲ
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヱヲヰ
28. FGV – DPE/MT – 2015) Sabe-se que o número 3 2
4 3
x x
 é um 
número inteiro. Sobre o número x conclui-se que 
(A) é um número par mas não necessariamente múltiplo de 3. 
(B) é um múltiplo de 3 mas não necessariamente um número par. 
(C) é negativo. 
(D) é um múltiplo de 6. 
(E) é um múltiplo de 4 mas não necessariamente um múltiplo de 6. 
 
29. FGV – DPE/MT – 2015) Em um canil há 42 cães adultos, dos 
quais metade são fêmeas. Um terço das fêmeas teve filhotes e, em 
média, cada uma destas fêmeas teve cinco filhotes. O número total de 
cães, adultos e filhotes, nesse canil é 
(A) 70. 
(B) 77. 
(C) 84. 
(D) 91. 
(E) 98. 
 
30. FCC – TRT/4ª – 2011) Considere o número inteiro X1Y, em que X 
e Y representam os algarismos das centenas e das unidades, 
respectivamente. Sabendo que 31692 : (X1Y) = 76, a soma X+Y é um 
número: 
a) Quadrado perfeito 
b) Menor que 10 
c) Primo 
d) Divisível por 6 
e) Múltiplo de 4 
 
31. FCC – TRT/22ª – 2010) Seja P o produto de um número inteiro e 
positivo N por 9. Se N tem apenas três dígitos e P tem os algarismos das 
unidades, dezenas e centenas iguais a 4, 6 e 3, respectivamente, então P 
+ N é igual a: 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA MILITAR DO PIAUÍ 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヲ
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヱヲヱ
a) 6480 
b) 6686 
c) 6840 
d) 5584 
e) 5960 
 
32. FCC – TRT/24ª – 2011) Nicanor deveria efetuar a divisão de um 
número inteiro e positivo N, de três algarismos, por 63; entretanto, ao 
copiar N, ele enganou-se, invertendo as posições dos dígitos extremos e 
mantendo o seu dígito central. Assim, ao efetuar a divisão do número 
obtido por 63, obteve quociente 14 e resto 24. Nessas condições, se q e r 
são, respectivamente, o quociente e o resto da divisão de N por 63, 
então: 
a) q + r = 50. 
b) r < 40. 
c) q < 9. 
d) r é múltiplo de 4. 
e) q é um quadrado perfeito. 
 
33. FCC – TRT/01ª – 2011) Se X é um número inteiro positivo tal que 
1 1 1 1
2 3 7
E
x
    seja um número inteiro, então: 
a) Existem infinitas possibilidades distintas para x 
b) X é múltiplo de 12 
c) X é maior que 84 
d) X tem oito divisores 
e) E pode ser maior que 2 
 
34. FCC – TRT/1ª – 2011) Em uma campanha de doação de livros, x 
pessoas receberam 4 livros, e y pessoas receberam 3 livros, sendo x e y 
números inteiros e positivos. Se foram distribuídos 100 livros, então, as 
possibilidades diferentes para x + y são em número de: 
a) 6 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA MILITAR DO PIAUÍ 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
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b) 7 
c) 8 
d) 9 
e) 10 
 
35. FCC – TRT/22ª – 2010) Em julho de 2010, dois Analistas 
Judiciários receberam um lote com X licitações para emitir pareceres. No 
mês seguinte, indagados sobre quantos pareceres de tal lote haviam 
emitido em julho, eles responderam: 
Anabela: “6/11 do total das licitações receberam meu parecer” 
Benivaldo: “A quantidade de licitações em que dei meu parecer 
corresponde a 3/5 do número de pareceres emitidos por Anabela”. 
Sabendo que cada licitação recebeu o parecer de apenas um desses 
Analistas e que a soma das quantidades que cada um emitiu era um 
número compreendido entre 100 e 150, então: 
a) X < 50 
b) 50 < X < 100 
c) 100 < X < 150 
d) 150 < X < 200 
e) X > 200 
 
36. FCC – TRT/9ª – 2010) Para estabelecer uma relação entre os 
números de funcionários de uma unidade do Tribunal Regional do 
Trabalho, que participaram de um curso sobre Controle e Prevenção de 
Doenças, foi usada a expressão: 
 
em que h e m representam as quantidades de homens e de mulheres, 
respectivamente. Sabendo que o total de participantes do curso era um 
número compreendido entre 100 e 200, é correto afirmar que: 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA MILITAR DO PIAUÍ 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヲ
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヱヲン
a) h+m = 158 
b) h-m = 68 
c) 70 < h < 100 
d) 50 < m < 70 
e) m.h < 4000 
 
 
37. FCC – TRT/15ª – 2009) Do total de projetos que estavam em um 
arquivo, sabe-se que: 2
5
deveriam ser analisados e 4
7
referiam-se ao 
atendimento ao público interno. Com essa informação, é correto concluir 
que o total de projetos existentes nesse arquivo NUNCA poderia ser um 
número compreendido entre 
a) 10 e 50 
b) 60 e 100 
c) 110 e 160 
d) 150 e 170 
e) 180 e 220 
 
38. FCC – TRT/6ª – 2012) Quando o usuário digita na tela um 
número positivo n, um programa de computador executa a seguinte 
sequência de operações: 
 I. Soma 0,71 ao número n. 
 II. Extrai a raiz quadrada do resultado obtido em (I). 
 III. Multiplica o resultado obtido em (II) por 7,2. 
 IV. Escreve na tela o resultado obtido em (III). 
Após digitar na tela o número positivo, um usuário observou que esse 
programa escreveu na tela o número 15,12. O número digitado por esse 
usuário foi 
(A) 3,3. 
(B) 3,4. 
(C) 3,5. 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA MILITAR DO PIAUÍ 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヲ
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヱヲヴ
(D) 3,6. 
(E) 3,7. 
 
39. FCC – TRT/24ª – 2011) Indagado sobre o número de processos 
que havia arquivado certo dia, um Técnico Judiciário, que gostava muito 
de Matemática, respondeu: 
− O número de processos que arquivei é igual a 12,252 − 10,252. 
Chamando X o total de processos que ele arquivou, então é correto 
afirmar que: 
(A) X < 20. 
(B) 20 < X < 30. 
(C) 30 < X < 38. 
(D) 38 < X < 42. 
(E) X > 42. 
 
40. FCC – TRF/2ª – 2012) Considere as seguintes afirmações: 
 
Relativamente a essas afirmações, é certo que 
(A) I, II e III são verdadeiras. 
(B) apenas I e II são verdadeiras. 
(C) apenas II e III são verdadeiras. 
(D) apenas uma é verdadeira. 
(E) I, II e III são falsas. 
 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA MILITAR DO PIAUÍ 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
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41. FCC – TRF/2ª – 2012) Ao consultar o livro de registro de entrada 
e saída de pessoas às dependências de uma empresa, um funcionário 
observou que: 5/8 do total das pessoas que lá estiveram ao longo de 
certa semana eram do sexo masculino e que, destas, 2/7 tinham menos 
de 35 anos de idade. Com base nessas informações, pode-se concluir 
corretamente que o total de pessoas que visitaram tal empresa naquela 
semana NÃO poderia ser igual a 
(A) 56. 
(B) 112. 
(C) 144. 
(D) 168. 
(E) 280. 
 
42. FCC – TRF/2ª – 2012) Ao conferir o livro de registro da entrada e 
saída das pessoas q visitaram uma Unidade do Tribunal Regional Federal, 
ao longo dos cinco dias úteis de certa semana, um Técnico Judiciário 
observou que: 
- o número de pessoas que lá estiveram na segunda-feira correspondia a 
terça parte do total de visitantes da semana inteira; 
- em cada um dos três dias subsequentes, o número de pessoas 
registradas correspondia a ¾ do número daquelas registradas no dia 
anterior. 
Considerando que na sexta-feira foi registrada a presença de 68 
visitantes, é correto afirmar que o número de pessoas que visitaram essa 
Unidade. 
a) na segunda-feira foi 250. 
b) na terça-feira foi 190. 
c) na quarta-feira foi 140. 
d) na quinta-feira foi 108. 
e) ao longo dos cinco dias foi 798. 
 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA MILITAR DO PIAUÍ 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
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43.FCC – TRF/3ª – 2014) Um tabuleiro de xadrez possui 64 casas. 
Se fosse possível colocar 1 grão de arroz na primeira casa, 4 grãos na 
segunda, 16 grãos na terceira, 64 grãos na quarta, 256 na quinta, e 
assim sucessivamente, o total de grãos de arroz que deveria ser colocado 
na 64a casa desse tabuleiro seria igual a 
(A) 2256. 
(B) 264. 
(C) 2126. 
(D) 266. 
(E) 2128. 
 
44. FCC – TRF/3ª – 2014) Um funcionário tem que executar 500 
tarefas do tipo A, 150 do tipo B e 300 do tipo C no prazo de alguns dias, 
sendo necessário finalizar as tarefas dos tipos A, B, e C simultaneamente 
ao final do último dia. De acordo com as instruções que recebeu, ele tem 
que realizar, por dia, sempre o mesmo número de tarefas A, o mesmo 
número de tarefas B e o mesmo número de tarefas C, sendo que a soma 
diária da quantidade de tarefas A, B e C realizadas seja a maior possível. 
Em tais condições, esse funcionário terá que realizar um total de tarefas 
diárias igual a 
(A) 19. 
(B) 25. 
(C) 10. 
(D) 21. 
(E) 15. 
 
45. FCC – TJ/PE – 2012) Eram 22 horas e em uma festa estavam 243 
mulheres e 448 homens. Verificou-se que, continuadamente a cada nove 
minutos, metade dos homens ainda presentes na festa ia embora. 
Também se verificou que, continuadamente a cada 15 minutos, a terça 
parte das mulheres ainda presentes na festa ia embora. Desta forma, 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA MILITAR DO PIAUÍ 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヲ
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヱヲΑ
após a debandada das 22 horas e 45 minutos, a diferença entre o número 
de mulheres e do número de homens é 
(A) 14. 
(B) 28. 
(C) 36. 
(D) 44. 
(E) 58. 
 
46. VUNESP – TJ/MT – 2008) Uma pequena doceira bem sucedida 
comprou 1 800 embalagens para seus docinhos. Do total de embalagens, 
inicialmente 1/6 foi utilizado para embalar brigadeiros e 2/5 para os 
beijinhos. Sabendo que para os cajuzinhos seriam necessárias ½ do total 
das embalagens compradas, a doceira observou que iriam faltar ___ 
embalagens. Assinale a alternativa que completa corretamente a lacuna 
do texto. 
(A) 120 
(B) 110 
(C) 100 
(D) 90 
(E) 80 
 
47. VUNESP – TJ/MT – 2008) Uma pessoa quer trocar duas notas de 
dez reais por moedas de 5, 10, 25 e 50 centavos de real. Se ela deseja 
receber moedas de todos esses valores, então o número mínimo de 
moedas a receber em troca será de 
(A) 40. 
(B) 41. 
(C) 42. 
(D) 43. 
(E) 44. 
 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA MILITAR DO PIAUÍ 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヲ
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48. CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2011) Sendo i a unidade 
imaginária e escrevendo o complexo 
2(3 )
1
iz
i



 na forma z = a + bi tem-
se que a + b é igual a: 
a) -1 
b) 1 
c) 2 
d) 6 
e) 8 
 
49. FCC – TCE/SP – 2010) Sabe-se que se i é unidade imaginária do 
conjunto dos números complexos, então, para cada número natural n, a 
potência in é igual a 1, i, -1 ou –i. Usando essa informação, é correto 
afirmar que a soma 
50
1
n
n
i

 é igual a: 
a) 0 
b) -1 – i 
c) 1 + i 
d) 1 – i 
e) i – 1 
 
50. CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2010) Sejam w = 3 - 2i e y = m 
+pi dois números complexos, tais que m e p são números reais e i, a 
unidade imaginária. Se w + y = -1 + 3i, conclui-se que m e p são, 
respectivamente, iguais a 
a) -4 e +1 
b) -4 e +5 
c) +2 e +1 
d) +2 e +5 
e) +4 e -1 
 
 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA MILITAR DO PIAUÍ 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
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54. FGV – TJRJ – 2014) Mario fez uma viagem de ônibus que durou 
três horas e meia. Assim que o ônibus partiu, Mario dormiu. Quando 
acordou, dois quintos do tempo da viagem haviam passado. O tempo que 
Mario passou dormindo nessa viagem foi de: 
(A) 1h 10min; 
(B) 1h 24min; 
(C) 1h 32min; 
(D) 1h 48min; 
(E) 2h 12min. 
 
55. VUNESP – TJ/SP – 2004) Em uma loja, o metro de corda é 
vendido por R$3,00, e o rolo com 60 metros de corda, por R$ 150,00. 
Três amigos compraram juntos um rolo de corda, ficando o primeiro com 
1/4 do rolo, o segundo com 1/12 e o terceiro com o restante. Se a divisão 
dos gastos foi proporcional à quantidade de corda que cada um recebeu, 
aquele que comprou a maior quantidade de corda economizou, em 
relação à compra da mesma quantidade de corda por metro, o total de 
(A) R$ 18,00. 
(B) R$ 19,00. 
(C) R$ 20,00. 
(D) R$ 21,00. 
(E) R$ 22,00. 
 
 
 
 
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TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
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1 C 2 C 3 D 4 C 5 A 6 C 
7 C 8 E 9 D 10 B 11 E 12 A 
13 C 14 E 15 C 16 C 17 B 18 D 
19 D 20 E 21 B 22 D 23 D 24 A 
25 A 26 E 27 E 28 D 29 B 30 C 
31 E 32 E 33 D 34 C 35 D 36 B 
37 D 38 E 39 E 40 B 41 C 42 D 
43 C 44 A 45 E 46 A 47 D 48 D 
49 E 50 B 51 E 52 E 53 D 54 B 
55 C 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
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- MMC (mínimo múltiplo comum) entre dois números é o menor número que é 
múltiplo de ambos os números. Para obtê-lo, basta fatorar os números, usando 
todos os divisores necessários até tornar os dois números iguais a 1. 
 
- MDC (máximo divisor comum) é o maior número capaz de dividir, de maneira 
exata, dois números distintos. Para obtê-lo, basta fatorar os números, usando 
apenas os divisores capazes de dividir os DOIS números.