Matemática Fundamental 7º Ano

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MATEMÁTICA
Fundamental anos finais
7° ANO
M
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TETM
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TIC
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7° A
N
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PROFESSOR
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–
–
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–
Uma produção
MATEMÁTICA | 7º ANO - PROFESSOR
Direção Editorial
Tiago Braga
Organização
Antonio Nicolau Youssef
Colaboradores 
Angel Honorato
Conceição Longo
Revisão
Ana Cristina Mendes Perfetti
Giovanna Petrólio
Miriam de Carvalho Abões
Victor Pugliese
Ilustrações
Dawidson França
Projeto Gráfico
Amplitude.PP
Diagramação
Fórmula Produções
Imagens
Adobe Stock
Shutterstock
Produção Executiva
Antonio Braga Filho
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MA
CATI
MÁTE
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Sumário
Números �������������������������������� 7
Contagem e numeração �������������������������� 8
Sistemas de numeração �������������������������� 8
Como contamos hoje ������������������������� 9
Números naturais ������������������������������ 11
Operações com números naturais ������������������ 14
Adição ����������������������������������� 14
Subtração ��������������������������������� 16
Multiplicação ������������������������������ 21
Divisão ����������������������������������� 24
Estimativas com adição e subtração ���������������� 29
Expressões numéricas �������������������������� 33
Videoaula ������������������������������������ 33
Potenciação ��������������������������������� 37
Videoaula ������������������������������������ 37
Multiplicação de potências de mesma base �������� 38
Divisão de potências de mesma base ������������� 38
Potência de potência ������������������������� 39
Potência de um produto ���������������������� 39
Múltiplos e divisores ��������������������������� 41
Videoaula ������������������������������������ 41
Critérios de divisibilidade ������������������������ 42
Divisibilidade por 2 �������������������������� 42
Divisibilidade por 3 �������������������������� 42
Divisibilidade por 4 �������������������������� 43
Divisibilidade por 5 �������������������������� 43
Divisibilidade por 10 ������������������������� 43
Números primos ������������������������������ 43
Decomposição em fatores primos ��������������� 44
Frações ������������������������������������� 47
Videoaula ������������������������������������ 47
Frações próprias e impróprias ������������������ 48
Operações com frações ������������������������� 48
Adição e subtração de frações ������������������ 48
Multiplicação de frações ���������������������� 48
Divisão de frações ��������������������������� 49
Números decimais ����������������������������� 52
Adição e subtração com decimais ������������������ 54
Videoaula ������������������������������������ 54
Operações com decimais ������������������������ 55
Multiplicação e divisão com decimais ��������������� 56
Videoaula ������������������������������������ 56
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5
Multiplicação ������������������������������ 57
Divisão ����������������������������������� 58
Porcentagem ��������������������������������� 62
Geometria ������������������������������ 65
Polígonos ������������������������������������ 66
Triângulos e quadriláteros ����������������������� 67
Videoaula ������������������������������������ 67
Triângulos ��������������������������������� 68
Classificação de acordo com seus lados ����������� 68
Classificação de acordo os ângulos internos �������� 68
Soma dos ângulos internos de um triângulo �������� 68
Quadriláteros ������������������������������ 69
Poliedros: prismas, pirâmides e planificações ��������� 71
Videoaula ������������������������������������ 71
Prismas ����������������������������������� 73
Pirâmides ��������������������������������� 74
Planificações ������������������������������� 75
Álgebra �������������������������������� 79
Relação de igualdade ��������������������������� 80
Razão �������������������������������������� 80
Propriedades da igualdade ����������������������� 81
Sequência de números proporcionais ������������� 81
Grandezas e medidas ���������������������� 85
Ângulos ������������������������������������� 86
Videoaula ������������������������������������ 86
Medida de um ângulo ��������������������������� 87
Tipos de ângulos ���������������������������� 87
Perímetro de um polígono ����������������������� 89
Área de uma figura plana ������������������������ 90
Grandezas ����������������������������������� 93
Medidas de comprimento, área e volume ������������ 94
Videoaula ������������������������������������ 94
Comprimento ������������������������������ 95
Volume e capacidade ������������������������ 95
Massa �������������������������������������� 96
Tempo �������������������������������������� 96
Probabilidade e estatística ����������������� 101
A estatística ��������������������������������� 102
Tabelas e gráficos �������������������������� 102
Gráfico de colunas e barras ������������������� 103
Gráfico de setores �������������������������� 104
Probabilidade de um evento aleatório �������������� 105
Noções de probabilidade ����������������������� 105
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Antes de iniciar o trabalho com a revisão de cada Unidade Temática, você encontrará um 
conjunto de páginas com orientações e atividades complementares, destinadas a tornar 
mais eficiente a aprendizagem e mais produtiva a recomposição dos pré-requisitos para 
seu melhor desenvolvimento. 
Professor
Este é um material cuidadosamente desenvolvido para auxiliá-lo na recomposição de 
aprendizagem dos alunos do 7º ano do Ensino Fundamental. Reconhecemos o desafio 
constante de proporcionar um ambiente educacional motivador, estimulando e criando 
oportunidade de aprendizagem eficaz numa sala de aula sempre muito heterogênea, 
principalmente quando nos reportamos ao ensino de conceitos e práticas matemáti-
cas, e é com esse propósito que este material foi concebido. Por isso, estamos felizes 
em estar com você nessa jornada de redescoberta e fortalecimento do conhecimento 
matemático dos seus alunos. Esperamos que o Rever e Aprender Matemática do 7º ano 
do Ensino Fundamental possa ser um aliado valioso para reforçar os alicerces da apren-
dizagem, fornecendo ferramentas práticas e estratégias pedagógicas para resgatar o 
interesse e a confiança dos alunos.
Sabemos que a Matemática, além de ser uma disciplina fundamental no currículo es-
colar, desempenha um papel essencial no desenvolvimento cognitivo e na formação 
integral das crianças. Ela não é apenas um conjunto de conceitos abstratos, mas uma 
linguagem que possibilita a compreensão e a relação diária com o mundo ao nosso 
redor. Ao dominar as habilidades matemáticas desde os primeiros anos escolares, os 
alunos não apenas adquirem competências técnicas, mas também desenvolvem o pen-
samento lógico, a resolução de problemas e a capacidade de raciocínio crítico.
O letramento matemático para alunos do 7º ano do Ensino Fundamental deve ser es-
truturado de acordo com as diretrizes estabelecidas pela Base Nacional Comum Cur-
ricular (BNCC). A BNCC propõe uma abordagem interdisciplinar, valorizando a contex-
tualização dos conteúdos e a aplicação prática dos conceitos. Nesse sentido, nosso 
material buscaalinhar-se com tais princípios, apresentando atividades e recursos que 
promovem a aprendizagem significativa e conectada ao cotidiano dos estudantes.
Em matemática, a BNCC propõe cinco unidades temáticas, correlacionadas, que orien-
tam a formulação de habilidades a serem desenvolvidas ao longo do Ensino Fundamen-
tal. São elas: Números, Álgebra, Geometria, Grandezas e Medidas e Probabilidade e 
Estatística.
Uma palavra inicial
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Números
O QUE VAMOS REVISAR 
Para ajudá-lo a melhor compreender os conceitos que serão es-
tudados e suplantar as dificuldades de aprendizagem no 7° ano, 
vamos revisar nesta unidade temática: 
• Números naturais
• Operações com números naturais
• Estimativas
• Expressões numéricas
• Potenciação
• Múltiplos e divisores
• Números primos
• Frações
• Números decimais
• Porcentagem
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PROFESSOR
UNIDADE 1
Para cada uma das unidades temáticas do conhecimento matemático, existem particularidades que 
enriquecem o processo de aprendizagem, tornando-o intenso e lúdico ao mesmo tempo, permitin-
do aos alunos alcançar o entendimento desejado e estabelecer conexões para além do ambiente 
escolar.
As habilidades a serem desenvolvidas nesta unidade temática sobre números estão relacionadas ao 
entendimento do sistema de numeração decimal, enfatizando a comparação e ordenação de nú-
meros naturais e racionais, bem como as operações matemáticas básicas, como adição, subtração, 
multiplicação, divisão e potenciação. Além disso, o entendimento sobre as relações entre múltiplos 
e divisores propicia o avanço e uma certa rapidez nas resoluções de problemas. Essa unidade temá-
tica promove o desenvolvimento das habilidades envolvidas com frações e as operações relaciona-
das a elas, como o cálculo de porcentagens que se destacam no cotidiano. 
1. Números naturais
2. Operações com números naturais
3. Estimativas com adição e subtração
4. Expressões numéricas
5. Potenciação de números naturais
6. Múltiplos e divisores
7. Critérios de divisibilidade
8. Frações e operações
9. Multiplicação e divisão com decimais
10. Porcentagem
Desenvolvimento 
em 10 temas
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Tema 1: Números naturais
Os números naturais são usados diariamente para realizar operações matemáticas e ordenações. 
Neste tema, o uso do ábaco valor/lugar para identificação dos números naturais e sua posição no 
sistema de numeração decimal será muito importante. Outra atividade que contribuirá com o tema 
números será o jogo do bingo adaptado. Materiais: bolinhas numeradas; ábaco ou quadro valor/lugar.
Organize grupos de até 3 alunos com o ábaco ou quadro valor/lugar. O professor sorteia 2 números 
de cada vez para formar um novo número, sendo o primeiro para unidade e dezena e o segundo 
para centena e unidade de milhar. Exemplo: foram sorteados 35 e 82, o número ficará 8235. Cada 
grupo deve marcar esse número corretamente no ábaco ou quadro valor lugar.
Tema 2: Operações com números naturais
O jogo dos problemas proporciona a utilização das quatro operações básicas. Materiais: situações-
problemas simples com operações matemáticas básicas e números naturais em cartões; caixinha 
ou sacola que não seja transparente; quadro ou ábaco valor lugar para cada grupo.
Organize grupos de até 5 alunos. O sorteio é realizado pelo professor, que sorteia e faz a leitura da 
situação-problema. Os alunos têm um tempo limite para resolver o problema e deixar o resultado 
no ábaco ou quadro. Ganha o grupo que acertar mais vezes. Perceba que durante esse processo de 
resolução existe a mediação e também a observação de quais dificuldades os alunos ainda podem 
apresentar nos processos de resolução dos problemas. 
Tema 3: Estimativas com adição e subtração
Inicie o trabalho deste tema com a vídeoaula “Expressões numéricas”. Após a videoaula proponha 
as duas atividades seguintes:
Estimativa de Distâncias:
Solicite aos alunos para estimarem a distância entre dois pontos na sala de aula ou no pátio da 
escola. Por exemplo, a distância entre duas mesas.
Em seguida, eles medirão com uma régua para verificar quem chegou mais perto do valor real desta 
distância.
Estimativa de Preços:
Faça uma lista de produtos com estimativa de preços e entregue aos alunos (ex: uma dúzia de ovos, 
um litro de leite, um pacote de lentilha).
Eles devem estimar o custo total desses itens e depois verificar em um supermercado local o preço 
real, comparando os valores.
Tema 4: Expressões numéricas
Para o desenvolvimento deste tema, as regras da resolução das expressões numéricas devem estar 
em uma cartolina ou em um cartão para cada aluno.
Desenvolvimento em 10 temasUNIDADE 1
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Jogo das regras nas expressões numéricas:
Materiais: expressões numéricas simples em cartões; caixinha ou sacola que não seja transparente; 
regras das expressões numéricas.
Organize grupos de até 5 alunos. Sorteie e mostre aos alunos a expressão numérica (pode deixar 
fixada no quadro). Os alunos têm 5 minutos para fazer a resolução da expressão numérica e deixar 
esse raciocínio registrado no papel. Ganha quem acertar a resolução da maior parte das expressões 
numéricas, respeitadas as regras.
Tema 5: Potenciação de números naturais
Inicie o tema trabalhando com a videoaula “Potenciação”. Após a videoaula, organize grupos de até 
5 alunos para colocarem em uma cartolina a regra da potenciação que foi destinada a eles. Após a 
confecção, cada grupo deve apresentar aos demais grupos da sala. O objetivo é que esta regra da 
potenciação fique na parede da sala no intuito de consulta durante as atividades quando necessário. 
Tema 6: Múltiplos e divisores
Inicie o trabalho do tema com a videoaula Múltiplos e divisores. Após a videoaula, oriente os alunos 
a construir uma tabela pitagórica individual para que cada um tenha acesso a ela quando necessário. 
Nesta tabela estão os múltiplos e os divisores das tabuadas do 1 ao 10. Com a tabela terminada, 
entregue uma lista de exercícios sobre múltiplos e divisores para que os alunos façam a resolução 
consultando sua tabela pitagórica quando houver necessidade.
X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
5 5 10 15 20 25 30 25 40 45 50
6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60
7 7 14 21 28 35 43 49 56 63 70
8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80
9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90
10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Tema 7: Critérios de divisibilidade
O trabalho com este tema é uma base bem organizada para que as divisões sejam realizadas de forma 
rápida e o desenvolvimento do pensamento lógico também seja um destaque. Em grupos de até 5 
alunos entregue a regra da divisibilidade para que cada grupo faça um cartaz mostrando como essa 
regra é composta, identificando o que é necessário para que um número seja divisível por outro. É 
relevante que cada grupo apresente a sua produção e estabeleça um exemplo de número divisível e 
outro exemplo de número que não é divisível para que todos possam revisar os critérios de divisibilidade. 
Desenvolvimento em 10 temasUNIDADE 1
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Tema 8: Frações e operações
Inicie este tema com a videoaula “Frações”. Pergunte aos alunos onde eles usam frações no dia a 
dia e faça uma lista dessas situações para mostrar a eles que a matemática referente às frações 
está diariamente conosco. Use o disco de frações ou construa-o com os alunospara que eles 
tenham uma maior percepção do todo e das partes. Proponha alguns exercícios com frações para 
serem representados com os discos. Entregue uma lista de exercícios com frases para que os alunos 
possam treinar e revisar o trabalho de identificação e relação de frações com suas representações.
Após este exercício, procure mostrar aos alunos o significado numérico de uma fração, no sentido 
de diferenciar a simples compreensão que têm da fração como parte de um inteiro.
Tema 9: Multiplicação e divisão com decimais
Inicie o tema com a videoaula “Multiplicação e divisão com decimais”. Faça o jogo da fila com 
situações-problemas envolvendo a multiplicação e divisão com decimais. Os alunos ficam em fila, 
um atrás do outro, e com o lápis para resolver os problemas. Ao sinal do professor o primeiro 
aluno resolve a primeira situação-problema e passa para o próximo, que também fará a resolução 
e assim sucessivamente até chegar ao último aluno, que devolve a folha para o primeiro aluno da 
fila. Enquanto o professor faz a correção dos problemas, os alunos vão conferindo e fazendo as 
anotações necessárias caso exista algum equívoco na resolução feita por eles. 
Tema 10: Porcentagem
Inicie este tema solicitando uma pesquisa sobre preços de combustível. Peça para os alunos 
realizarem a comparação das diferenças entre os preços pesquisados e também o cálculo da 
porcentagem sobre essa diferença. Por exemplo:
Fonte: https://menorpreco.notaparana.pr.gov.br/app/combustivel. Acesso em 13 out. 2023.
HABILIDADES TRABALHADAS NA UNIDADE TEMÁTICA
(EF06MA01) (EF06MA02) (EF06MA03) (EF06MA05) (EF06MA06) (EF06MA07) (EF06MA08) 
(EF06MA09) 
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8
Números naturais: 
contagem e numeração
Vivemos cercados pelos números, que correspondem a pequenas ou grandes quantidades: 
populações, horários, impostos, distâncias, recordes de jogos, número de acessos a sites e redes 
sociais, entre outros. Os números estão por toda parte e são usados para quantificar, codificar, 
medir, ordenar. 
Atividades
1. Escreva quatro situações do seu cotidiano em que você usa números. 
Resposta pessoal.
2. Para cada situação que você escreveu, indique o significado dos números que são utilizados.
Resposta pessoal.
3. Agora, escreva quatro números naturais. Você conhece alguma outra forma de representá-
-los? Escreva-as.
Sistemas de numeração
os números podem também estar presentes em situações diversas que não expressam quantidades, 
como no caso do código de barras e na manchete de um site esportivo.
A
d
o
b
e 
St
o
ck
Proponha aos alunos um exercício de memória e criação que lhes permita 
fazer uma retrospectiva de tudo o que aprenderam sobre o assunto. Ajude-
os a classificar os números pelo tipo de uso: números para contar, medir, 
ordenar, localizar, codificar, etc.; números “inteiros” e “quebrados”, em 
contexto de dinheiro ou medida, entre outros.
EF06MA01 e EF06MA02
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9
ARQUIVO 
Nº:  458533403
“RÚSSIA SEDIOU A COPA DO MUNDO DE 2018 E O CATAR A DE 2022” 
Observe que os números 8425323316 e 2018 e 2022, 
apresentados acima, servem, respectivamente, como código e 
como determinação de medida de tempo. Podemos nos deparar 
com números que têm outras funções, como denotar medidas de 
distância, por exemplo, a distância a ser percorrida numa corrida, 
e expressar ordem, por exemplo, a posição de cada piloto ao final 
de uma disputa. Desse modo, os participantes ficam ordenados 
ocupando um primeiro lugar, um segundo lugar, um terceiro lugar, 
e assim sucessivamente até chegar ao último.
Mas será que os números sempre foram usados do mesmo modo que usamos hoje?
Para contar, o ser humano primitivo fazia riscos em pedaços de madeira, em ossos de animais, ou 
organizava montinhos de pedras. Com isso, conseguia contar quantidades pequenas. Diversos 
sistemas foram criados, cada um deles utilizando uma determinada simbologia e um determinado 
conjunto de regras.
 À medida que a sociedade evoluiu, surgiu a necessidade de expressar quantidades cada vez maiores. 
Com as mudanças e o desenvolvimento, os símbolos que representavam os números também foram 
se transformando até chegar aos símbolos que conhecemos hoje.
Como contamos hoje
A distância da Terra ao Sol é de, aproximadamente, 149 504 201 quilômetros. 
A leitura de um número de muitos algarismos, como 149 504 201, torna-se mais fácil se separarmos 
o número em grupos de três ordens, começando pela direita:
milhões milhares unidades
149 504 201
Lemos: cento e quarenta e nove milhões, quinhentos e quatro mil duzentos e um. 
Algumas vezes utilizamos números de muitos algarismos, como ao informar que em 2023 a população 
da China é de 1 412 100 000 pessoas. 
Lemos este número assim: um bilhão, quatrocentos e doze milhões e cem mil.
Mercúrio
Júpiter Saturno
Urano Netuno
Sistema Solar
Vênus
Marte
Terra
Representação artística 
do Sistema Solar obtida da 
combinação de imagens 
e dados provenientes de 
diversas missões espaciais e 
observatórios astronômicos. A
d
o
b
e 
St
o
ck
D
aw
id
so
n
 F
ra
n
ça
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10
4. Escreva todos os números de quatro algarismos que podem ser formados com os seguintes 
algarismos: 6, 0, 6, 0. 
6 600; 6 060; 6 006
5. No setor de logística de uma transportadora, o responsável observa no tablet os dados do 
pedido de remessa de uma máquina de lavar roupa. 
Pedido nº 7782739
Data: 18/04/11 Horário: 11h 08min.
Destinatário: Jorge Luis Silva 
Endereço: Rua Abreu Guimarães, 47, 
3º andar, apto. 39
Bairro: Jardim Palmas 
Município: Palmas 
Estado: Tocantins CEP: 08377-090
Item(ns) entregues: 2 LAV LTE06 6kg 
Que número(s) do pedido indica(m):
a) quantidade?
2
b) ordem?
3o
c) medida? 
18/04/11 (data), 11 h 08 min (hora), 6 kg (massa).
d) código de identificação?
7782739 (número do pedido), 47 (número do prédio), 39 (número do apartamento), 
01377-090 (CEP).
Atividades
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Números naturais
O conjunto dos números naturais é formado pela ordenação infinita dos números 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 
... e é representado pela letra N.
Sua representação é:
N 5 { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, ...}
O conjunto dos números naturais também pode ser representado na reta numérica:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
O
Comparação de números naturais
Existem situações em que é necessário comparar dois números naturais. Para expressar as 
possibilidades de comparação “igual”, “diferente”, “maior que” ou “menor que”, utilizamos os 
símbolos:
5 Igual . Maior que
4 Diferente , Menor que
Em algumas situações, para representar conjuntos de números naturais associados respostas de 
problemas, por exemplo, utilizamos expressões como “maior ou igual a” ou “menor ou igual a”. Essas 
expressões são representadas pelos símbolos:
> Maior ou igual a
< Menor ou igual a
Atividades
6. A renda total da venda de publicidade em transmissões de TV dos jogos de um determinado 
campeonato nos últimos 6 anos está apresentada na tabela a seguir. 
Campeonato Valores (R$)
2017 8 150 000
2018 10 200 000
2019 18 700 000
2020 34 000 000
2021 54 400 000
2022 103 500 000
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12
Preencha o quadro abaixo, separando cada valor de renda apresentado acima em milhões, milhares 
e unidades.
milhões milhares unidades
 8 150 000
 10 200 000
 18 700 000)
 34 000 000
 54 400 000
103 500 000
b) Leia-os silenciosamentee responda: qual é o valor do algarismo 1 em cada vez que é utilizado nos 
números do quadro? 
100 000; 10 000 000; 10 000 000; 100 000 000
7. Observe a marcação deste hodômetro, instrumento que mede a distância em quilômetros já 
percorrida pelo um veículo.
8. Escreva o número antecessor e o sucessor de 135696. Depois, leia-os silenciosamente. 
110 998; 111 000; cento e dez mil, novecentos e noventa e oito; cento e onze mil.
9. Escreva os próximos quatro números da sequência: 177, 180, 186, 189...
195, 198, 204, 207.
10. Observe a reta numérica a seguir:
1 000 000 2 000 000 3 000 000 4 000 000 5 000 000 6 000 000 7 000 000 8 000 000 9 000 000 10 000 000
Escreva: 
a) três números entre 1 000 000 e 2 000 000 que esteja mais próximos de 2 000 000 do que de 
1 000 000; 
Respostas pessoais.
b) três números entre 9 000 000 e 10 000 000 que sejam mais próximos de 9 000 000 do que de 
10 000 000;
Respostas pessoais.
c) três números pares entre 5 000 000 e 6 000 000 mais próximos de 6 000 000 do que de 5 000 000;
Respostas pessoais.
A
d
o
b
e 
St
o
ck
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13
d) o número imediatamente anterior e o seguinte a 1 000 000;
999 999 a 1 000 001
e) o número imediatamente anterior e o seguinte a 10 000 000.
9 999 999 a 10 000 001
11. Marque na reta os números naturais menores que 7.
0 1 2 3 4 5 6 12
12. Uma rodovia tem, a cada quilômetro, marcos que indicam a quilometragem. Seu José saiu de 
seu sítio dirigindo um caminhão e entrou na rodovia 100 metros depois do marco do quilô-
metro 14. Dez minutos depois ele chegou ao quilômetro 23. Por quais marcos ele passou até 
chegar ao marco 23?
15, 16, 17, 18, 19, 20, 21 e 22.
13. Escreva a sequência dos números naturais maiores que 999 997 e menores que 1 000 007.
999 998, 999 999, 1 000 000, 1 000 001, 1 000 002, 1 000 003, 1 000 004, 1 000 005, 1 000 006.
14. Preencha o que se pede no quadro a seguir.
número centena mais próxima milhar mais próximo
2 178 2 200 2 000
3 569 3 600 4 000
5 892 5 900 6 000
8 125 8 100 8 000
9 479 9 500 9 000
15. Procure em um jornal um número que seja maior que 100 milhões. Escreva abaixo como se 
lê esse número. 
Resposta pessoal.
16. Escreva em ordem decrescente todos os números de três algarismos que podemos formar 
com os algarismos 3, 6 e 9, sem repetir algarismo. 
963, 936, 693, 639, 396 e 369.
17. Escreva:
a) três números entre 250 milhões e 260 milhões mais próximos de 260 milhões do que de 
250 milhões. 
Resposta pessoal.
b) três números pares entre 890 milhões e 900 milhões mais próximos de 890 milhões do que de 
900 milhões.
Resposta pessoal.
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14
Operações com números naturais
Adição 
Como já foi estudado, as operações matemáticas são maneiras de contar aplicadas em situações 
mais complexas. Para facilitar a execução das operações precisamos conhecer certas propriedades 
que permitem tornar os cálculos mais simples e rápidos. 
Em 1950, como país-sede pela primeira vez, o Brasil foi derrotado na final pelo Uruguai. Em 1954, 
na Suíça, o Brasil foi eliminado nas quartas de final. Já na Suécia, em 1958, a seleção brasileira foi 
campeã da Copa do Mundo pela primeira vez e no Chile, em 1962, venceu novamente, conquistando 
o bicampeonato mundial. Não conquistou o título na Inglaterra em 1966, e sagrou-se tricampeã na 
edição seguinte, realizada no México.
Selo comemorativo da conquista do tricampeonato, com a 
imagem de Pelé comemorando seu gol na final contra a Itália. 
Como fazemos para saber em que ano ocorreu a Copa em que o Brasil ganhou seu terceiro título 
de campeão? 
Quantos anos se passaram desde a derrota na final de 1950 até a primeira Copa do Mundo vencida 
pela seleção brasileira?
Para saber em que ano a seleção brasileira sagrou-se tricampeã, deve-se observar a sequência: 
1950, 1954, 1958, 1962 e 1966 e perceber que ela é formada acrescentando 4 anos ao ano 
anterior. Então, depois de 1966, teremos:
 1966 ← ← parcela
 1 4 ← ← parcela
 1970 ← ← soma ou total
Ou seja, o Brasil chegou a seu terceiro título em 1970.
A compreensão das principais propriedades da adição facilitam a realização de cálculos de forma 
mais segura.
Ad
ob
e 
St
oc
k
Explore o selo 
comemorativo da 
conquista da Copa de 
1970 mostrando seu 
valor de 
Cr$ 3,00 (três 
cruzeiros) e 
explicando que 
o Cruzeiro era a 
unidade monetária da 
época, justificando 
para eles que o Real 
foi adotado bem 
depois, em 1994.
EF06MA03
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15
Propriedade associativa
Pedro vai cercar os três lados deste terreno. De quantos metros de arame ele vai precisar?
15 m
20 m
25 m
Para efetuar uma adição de três números naturais, podemos adicionar os dois primeiros números, e 
o resultado ao terceiro. Ou então adicionar ao primeiro número a soma dos outros dois. 
Essa é a propriedade associativa da adição. Observe o exemplo:
(15 20) 25 15 (20 25)
35 45
� �� �� � �� ��1 1 5 1 1
35 25 15 451 5 1
60 605
Pedro vai precisar de 60 metros de arame.
Para três números naturais quaisquer a, b e c temos:
(a 1 b) 1 c 5 a 1 (b 1 c)
Propriedade comutativa
Em uma gincana da escola, há duas equipes: azul, com 40 integrantes, e amarela, com 35. Quantos 
alunos estão participando da gincana?
Por qual equipe a professora Silvia deve começar a contar para saber o total de alunos que estão 
participando da gincana?
A resposta é: por qualquer uma delas.
Para efetuar uma adição de dois números naturais, não importa a ordem em que escrevemos as 
parcelas: as somas são iguais. 
40 1 35 5 35 1 40
75 5 75
Para dois números naturais quaisquer a e b temos:
a 1 b 5 b 1 a
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16
Elemento neutro da adição
A nutricionista Juliana precisa saber quantos pacientes estão internados no hospital para encomendar 
os ingredientes para o almoço. Para isso, perguntou a um funcionário da recepção se havia novos 
pacientes e este respondeu que não.
Ao ouvir essa resposta, Juliana anotou na sua ficha de encomenda de refeições a quantidade de 
pacientes que as receberiam: 37. Isso significa que neste dia havia 37 pacientes internados e não 
entrou nenhum paciente. 
Observe as adições:
0 1 20 5 20
450 1 0 5 450
1 200 1 0 5 1 200
A soma de qualquer número natural a com o zero resulta nesse mesmo número natural a. 
a 1 0 5 a
Dizemos que o zero é o elemento neutro da adição.
Subtração
As ações de juntar, somar ou reunir representam a operação de adição, que acabamos de estudar. 
As ações de tirar ou retirar representam a operação de subtração.
Suponha, por exemplo, que um carro saia de um posto de gasolina situado no quilômetro 280 de 
uma rodovia e, ao passar pelo quilômetro 395, vê uma placa que indica que faltam 56 quilômetros 
para a entrada da cidade onde pretende chegar. Veja como calculamos quantos quilômetros o carro 
terá percorrido desde o posto de gasolina de onde partiu até a entrada da cidade. 
395 km – 280 km 5 115 km → 115 km 1 56 km 5 176 km
Para calcular o intervalo entre duas datas, usamos a operação de subtração. Acompanhe o exemplo 
e conheça o nome dos números que compõem uma subtração. 
Ano em que o Brasil sediou a Copa pela primeira vez: 1950.
Ano em que o Brasil venceu a Copa pela primeira vez: 1958.
 1958 ← minuendo
2 1950 ←subtraendo
 8 ← diferença
Dessa forma, sabemos que os brasileiros aguardaram 8 anos para poder comemorar o campeonato 
mundial, depois da derrota de 1950.
Propriedade fundamental da subtração
Adicionando-se a diferença ao subtraendo, obtemos o minuendo. 
minuendo – subtraendo 5 diferença ↔ diferença 1 subtraendo 5 minuendo
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17
O símbolo ↔ significa “equivale”. Veja a propriedade fundamental no exemplo:
34 – 4 5 30 ↔ 30 1 4 5 34
Outra propriedade importante da subtração, mostra que a diferença entre dois números naturais 
não se altera se adicionarmos ou subtrairmos um mesmo número do minuendo e do subtraendo. 
Fica mais fácil compreendê-la acompanhando-a o exemplo.
724 769
2 
458
2 503
266 266
145
145
Note que adicionamos 45 ao minuendo e ao subtraendo e a diferença continuo a mesma. O mesmo 
ocorreria se subtraíssemos 45 do minuendo e do subtraendo. Veja:
724 679
2 
458
2 413
266 266
245
245
Veja agora um exemplo que utiliza expressões numéricas que contêm de forma combinada as 
operações de adição e subtração. 
No dia 6 de maio, Dona Paula tinha R$ 256,00 em sua conta bancária. Observe a movimentação de 
sua conta nos quatro dias seguintes:
Dia Depósito Retirada Saldo
6 de maio R$ - R$ - R$ 2560,00 
7 de maio R$ 1440,00 R$ - //
8 de maio R$ - R$ 1500,00 //
9 de maio R$ 800,00 R$ 480,00 //
Vamos calcular qual era o saldo de Dona Paula no final do dia 9 de maio. Para isso, precisamos 
calcular o saldo nos dias 7 e 8 de maio:
7 de maio → R$ 2560,00 1 R$ 1440,00 5 R$ 4000,00
8 de maio → R$ 4000,00 – R$ 1500,00 5 R$ 2500,00
9 de maio → R$ 2500,00 1 R$ 800,00 – R$ 480,00 5 R$ 2880,00
Veja que, para saber a situação da conta bancária de Dona Paula no final do dia 9 de maio, efetuamos 
outra adição e outra subtração (além das operações que já tínhamos feito para saber seu saldo nos 
dias 7 e 8).
saldo (dia 8) depósito (dia 9) retirada (dia 9)
2500 1 800 – 480
2500 800 480
3300 480 2820
� �� ��
↓
1 2
2 5
Como calculamos, no final do dia 9 de maio, Dona Paula tinha R$ 2820,00 na sua conta bancária. 
Observe que, para calcular uma sequência de adições e subtrações, efetuamos as operações na 
ordem em que elas aparecem, da esquerda para a direita.
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18
18. Observe esta estrela:
87
12
1110
6
1
4
35
29
A soma dos quatro números de uma linha reta resulta sempre 26; observe alguns exemplos:
1 1 9 1 10 1 6 5 26
1 1 2 1 11 1 12 5 26
7 1 9 1 2 1 8 5 26
Escreva as outras três adições nas linhas retas de modo que a soma seja 26.
6 1 5 1 3 1 12 5 26
7 1 10 1 5 1 4 5 26
8 1 11 1 3 1 4 5 26
19. Na estrela a seguir, a soma dos quatro números de cada linha é 44. Quais são os números A, 
B, C, D e E? 
1120
10
8E
2
25
C
19D
BA
A512; B51; C56; D 5 13 e E 5 5
20. Resolva:
a) 48 – 15 1 23 
56 (33 1 23 5 56)
b) 75 – 17 1 21 
79 (58 1 21 5 79)
Atividades
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19
21. Observe os veículos usados e seus preços.
R$ 24.695,00 R$ 12.500,00
R$ 6.580,00
Quanto a loja vai receber se vender:
a) a caminhonete e a moto? 
R$ 31 275,00 (24 695 1 6 580 5 31 275)
b) a moto e o carro? 
R$ 19 080,00 (6 580 1 12 500 5 19 080)
c) os três veículos?
R$ 43 775,00 (31 275 1 12 500 5 43 775)
22. Um motorista recebeu uma nota fiscal com os valores do pedido a seguir, discriminando os 
serviços e preços da revisão do seu veículo. Além das peças, foram cobrados R$ 40,00 de 
mão de obra. Ele pagou com dez notas de R$ 200,00. Quanto recebeu de troco? 
PEDIDO
Peça Quantidade Valor por unidade
Bateria 1 R$ 486,00 
Correia 1 R$ 124,00 
Válvula 4 R$ 60,00 
Vela 4 R$ 42,00 
Filtro de combustível 1 R$ 81,00 
R$ 51,00
(486 1 124 1 240 1 168 1 81 5 1099; 
1099 1 40 5 1949; 
2000- 1949 5 51
D
aw
id
so
n 
Fr
an
ça
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20
23. Estima-se que existam mais de 4 000 línguas diferentes no mundo. Supõe-se ainda que mais 
da metade das pessoas do mundo falam uma das dez línguas da tabela.
Dez línguas mais faladas
Posição Idioma Quantas pessoas falam no mundo
1 Inglês 1 200 000 000
2 Mandarim 1 100 000 000
3 Hindi 637 000 000
4 Espanhol 538 000 000
5 Francês 277 000 000
6 Árabe 274 000 900
7 Bengali 265 000 000
8 Russo 258 000 000
9 Português 252 000 000
10 Indonésio 199 000 000
Fonte: <https://guiadeidiomas.com.br/idiomas-mais-falados-no-mundo/>. Acesso em: 15 abr 2023.
De acordo com a tabela, responda:
a) Entre as dez línguas mais faladas no mundo, qual tem mais falantes? E qual tem menos falantes?
Mandarim. Indonésio.
b) Qual é a diferença entre o número de falantes da língua mais falada e o da menos falada?
1 001 000 000
c) Se a população mundial é de aproximadamente 7 900 000 000 de habitantes, quantas pessoas 
falam outras línguas? 
2 900 000 000
Oriente os alunos a 
trabalhar com milhões 
ou bilhões por meio 
de aproximações e 
estimativas. Nesta 
atividade, os alunos 
trabalham com 
números exatos, 
o que facilitará o 
cálculo. Eles poderão 
usar calculadora para 
verificar e confirmar 
os resultados.
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21
Multiplicação e divisão 
Multiplicação
A multiplicação pode ser usada em situações em que ocorrem adições de parcelas iguais. Por isso, é 
possível dizer que multiplicar é uma forma abreviada de efetuar a adição de parcelas iguais. Existem 
outros significados da multiplicação; vejamos.
Disposição retangular
Para entender a disposição retangular, tomemos como exemplo a caixa de miniaturas de automóveis.
As miniaturas estão organizadas em uma disposição retangular, ou seja, na forma de um retângulo. 
Se quisermos saber quantas miniaturas a caixa tem no total, podemos resolver o problema de dois 
modos diferentes. Podemos pensar assim:
Cada linha tem 6 miniaturas. Como são ao todo 8 linhas, temos a seguinte adição:
6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 5 48
Temos uma adição de 8 parcelas de 6, que podemos expressar da seguinte forma: 8 3 6.
Quando efetuamos a multiplicação 8 3 6 5 48, os números naturais 8 e 6 são chamados de fatores 
e o resultado 48 é chamado de produto.
Poderíamos pensar de outro modo.
Cada coluna tem 8 miniaturas. São 6 colunas:
8 1 8 1 8 1 8 1 8 1 8 5 48
6 3 8 5 48
Também podemos indicar uma multiplicação com o sinal chamado ponto de multiplicação (·) em vez 
de 3. A partir de agora, você passará a encontrar essas duas formas neste livro. 
D
aw
id
so
n 
Fr
an
ça
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22
Propriedades da multiplicação
Propriedade comutativa
Observe como Ana e Ângelo calcularam de dois modos diferentes quantos carros há no total:
Ana
8
8
8 + 8 2 � 8 = 16
Ângelo
8
8
2 2 2 2 2 2 2 2
2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 8 � 2 = 16
Os dois chegaram à mesma quantidade: 16 carros, pois 2 · 8 5 8 · 2
Essa é a propriedade comutativa da multiplicação. Trocando a ordem dos fatores obtemos produtos 
iguais.
Para dois números naturais quaisquer a e b, temos:
a ? b 5 b ? a
Propriedade do elemento neutro
O 1 é um fator especial para a multiplicação:
10 · 1 5 10 1 · 10 5 10
O produto de dois fatores, sendo um deles o número 1, é igual ao outro fator.
D
aw
id
so
n 
Fr
an
ça
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23
Multiplicar qualquer número natural a por 1 resulta nele mesmo:
a · 1 5 a
O 1 é o elemento neutro da multiplicação.
Propriedade associativa
Uma universidade tem 3 anfiteatros. Em cada um deles há 8 fileiras com 12 lugares em cada uma. 
Qual é a capacidade dos 3 anfiteatros?
Existem vários modos de calcular a capacidade dos 3 anfiteatros juntos:
• São 3 anfiteatros. Em cada um deles há 8 fileiras. São 3 · 8 524 fileiras.
• Em cada fileira há 12 lugares. Há 24 · 12 5 288 lugares.
A capacidade é de 288 lugares.
• Podemos indicar a ordem em que efetuamos as operações por meio dos parênteses: (3 · 8) · 12.
• Em cada um dos anfiteatros, cada fileira tem 12 lugares. São 8 fileiras. Há 8 · 12 5 96 lugares em 
cada anfiteatro.
A capacidade dos 3 anfiteatros juntos é de 3 · 96 5 288 lugares.
Indicamos assim:
3 · (8 · 12)
A multiplicação tem a propriedade associativa:
(3 · 8) · 12 5 3 · (8 · 12)
Multiplicar um número por outro e o resultado por um terceiro é o mesmo que multiplicar o primeiro 
número pelo produto dos outros dois.
Costuma-se escrever 3 · 8 · 12 sem parênteses para indicar qualquer um dos produtos (3 · 8) · 12 
ou 3 · (8 · 12).
Para três números naturais quaisquer a, b e c, temos:
(a · b) ? c 5 a · (b · c)
Ao escrever 3 · (5 · 6) ou (4 · 3) · 2, é costume omitir o sinal · antes ou depois dos parênteses e 
escrever simplesmente 3 (5 · 6) ou (4 · 3) 2.
Assim, simplificamos essas duas expressões numéricas:
3 · 30 5 90
 12 · 2 5 24
Propriedade distributiva
Às vezes uma mesma propriedade combina duas operações. Vejamos como elas podem nos ajudar 
na situação a seguir:
Em um zoológico vivem 9 onças. Cada uma come 6 kg de dianteiro de boi e 3 kg de fígado por dia. 
Quantos quilogramas de carne são necessários por dia para alimentar as onças? 
Podemos pensar de dois modos diferentes:
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24
• Por dia, quanto come 
cada onça?
6 1 3 5 9 kg
Cada onça come 9 kg de 
carne por dia.
• São 9 onças: 
9 ? 9 5 81 kg
Portanto, são necessários 
81 kg de carne por dia.
• Cada uma das 9 onças come 6 kg de dianteiro de boi por dia. 
Então:
9 ? 6 5 54 kg
São 54 kg de dianteiro de boi por dia.
• Cada uma das 9 onças come 3 kg de fígado por dia. Então:
9 ? 3 5 27 kg
São 27 kg de fígado por dia.
• Quantos quilogramas de carne são necessários por dia?
54 1 27 5 81 kg
São necessários 81 kg de carne por dia.
A multiplicação possui a propriedade distributiva em relação à adição:
9 (6 1 3) 5 9 ? 6 1 9 ? 3
Observe que, como a multiplicação possui também a propriedade comutativa, podemos escrever:
(6 1 3) 9 5 9 (6 1 3)
Como 9 (6 1 3) 5 9 ? 6 1 9 ? 3, podemos escrever:
(6 1 3) 9 5 9 ? 6 1 9 ? 3
Usando novamente a propriedade comutativa da multiplicação:
(6 1 3) 9 5 6 ? 9 1 3 ? 9
Podemos representar a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição com três 
números naturais quaisquer a, b e c:
a (b 1 c) 5 ab 1 ac
Divisão
Uma agência de turismo anunciou um pacote turístico que incluía a participação em na maratona 
anual realizada em uma cidade da Europa.
Duração Descrição do pacote Preço por pessoa US$ (R$)
7 dias
Passagens, hotel 4 estrelas, city tour e participação na 
maratona anual para aqueles que já praticam esse tipo 
atividade. 
US$ 6 800
(R$ 35 020,00)
Quanto gastará por dia uma pessoa que comprar o programa?
Podemos responder essa pergunta dividindo o valor total do programa em dólares (US$ 6 800) pela 
quantidade de dias do programa (8). 
6 8 0 0 8
2 6 4 850
0 4 0
2 4 0
0
dividendo divisor
quociente
resto
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25
Então, uma pessoa que escolher o pacote gastará US$ 850 por dia.
Para ter conhecimento de algumas outras informações sobre o pacote, como por exemplo o valor do 
dólar usado para a conversão, também podemos recorrer à operação de divisão: 35 020 : 6 800 5 
5 5,15 reais por dólar. 
Se US$ 1 equivale a R$ 5,15, para converter o valor gasto por dia no passeio, basta multiplicar o 
valor em dólar por 5,15. Ou seja, 5,15 3 850 = 4 335, portanto, serão gastos R$ 4 335,00 por dia no 
programa.
Os significados da divisão
Descobrir “quanto cabe” é um dos significados da divisão. Acompanhe.
Um professor cobra R$ 80,00 por aula particular.
Em uma semana, recebeu R$ 560,00. Quantas aulas particulares foram dadas?
Uma das forma de saber quantas aulas ele deu, é descobrir quantas vezes o valor de uma aula 
(R$80,00) “cabe” em R$ 560,00:
4 ? 80,00 5 320,00
5 ? 80,00 5 400,00
6 ? 80,00 5 480,00
7 ? 80,00 5 560,00
Veja que, nessa semana, o professor deu 7 aulas particulares. Podemos tamb[ém expressar essa 
ideia por meio de uma divisão:
5 6 0 80
2 5 6 0 7
0
dividendo divisor
quociente
resto
Uma divisão em que o resto é 0 é chamada divisão exata. 
Em uma divisão, dividendo 5 quociente × divisor 1 resto.
Na divisão exata, dividendo 5 quociente × divisor, pois o resto é 0.
Podemos verificar se uma divisão exata está correta multiplicando o quociente pelo divisor. O 
produto tem de ser igual ao dividendo:
7 3 80 5 560
divisorquociente dividendo
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26
Repartir em quantidades iguais é outro significado da divisão. Veja o exemplo:
Suponha que um ônibus com 42 turistas sofra uma avaria no caminho do aeroporto. Como não 
há tempo para consertá-lo, o responsável decide acomodar os passageiros em táxis de 4 lugares. 
Quantos táxis serão necessários?
1 2 1
4 0 10
2
Completam-se 10 táxis e sobram 2 passageiros. Na realidade, serão necessários 11 táxis. Essa 
divisão não é exata, pois o resto é diferente de 0.
O dividendo é igual ao quociente multiplicado pelo divisor mais o resto:
42 5 10 · 4 1 2
Atividades
24. Três trabalhadores foram contratados para plantar mudas de laranjeira, abacateiro e pesse-
gueiro. Observe como foi distribuída a tarefa:
1o trabalhador 2o trabalhador 3o trabalhador
número de mudas por dia 102 145 196
número de dias trabalhados 4 5 6
a) Quantas mudas foram plantadas? 
2 309 mudas (4 · 102 1 5 · 145 1 6 · 196 5 2 309)
b) Se cada um vai receber R$ 29,00 por dia, que quantia será necessária para pagar os três 
trabalhadores? 
R$ 435,00 (4 1 5 1 6 5 15
15 · 29 5 435)
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27
25. Uma impressora está imprimindo um trabalho de 571 páginas há 12 minutos. Sabendo que 
ela imprime 22 páginas por minuto, quantas páginas ainda faltam para terminar a impressão 
do trabalho?
Faltam 307 páginas
26. Cecília faz palhaços de pano. Para cada palhaço, ela usa 5 botões. Complete o quadro a seguir 
com a quantidade de botões que Cecília vai usar para fazer a quantidade de bonecos indicada 
em cada linha.
Quantidade de palhaços 1 3 5 10 20 50
Quantidade de botões 5 15 25 50 100 250
27. O pai de Rafael vende laranjas. Ele pretende armazenar 1 448 laranjas em pacotes com 12 
unidades cada um.
a) Quantos pacotes Rafael irá precisar? Quantas laranjas não serão empacotadas?
Rafael irá precisar de 120 pacotes. Do total, 8 laranjas não seriam empacotadas.
b) Se Rafael armazenar as laranjas em pacotes com 6 unidades cada uma, quantos pacotes seriam 
necessários? Quantas laranjas não seriam empacotadas? 
Seriam necessários 241 pacotes e 2 laranjas não seriam empacotadas.
28. Uma empresa provedora de acesso à internet oferece 360 horas grátis por 1 mês para os in-
ternautas. Se o internauta dividir igualmente a quantidade de horas grátis por 30 dias, quan-
tas horas ele poderá usar por dia? 
12 horas por dia.
29. Aplique a propriedade associativa como está na lousa e, em seguida, calcule:
a) (3 ? 6) 8 
(3 ? 6) 8 5 3(6 ? 8) 
18 ? 8 5 3 ? 48
 144 5 144
b) 6 (2 ? 5) 
6(2 ? 5) 5 2 (6 ? 5) 
6 ? 10 5 2 ? 30
 60 5 60
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28
30. Aplique e verifique a propriedade distributiva da multiplicação, como a professora fez na 
lousa.
a) 2 (9 1 6) 
2 (9 1 6) 5 2 ?9 1 2 ? 6 
2 ?15 518 1 12
30 5 30
b) 3 (5 1 8) 
3 (5 1 8) 5 3 ?5 1 3 ? 8
3 ?13 5 15 1 24
39 5 39
31. Os 198 passageiros de um trem serão distribuídos igualmente em seus 9 vagões. Quantos 
passageiros irão no último vagão?
22 passageiros (198 : 9 5 22).
32. Em uma cidade de 8 148 habitantes, a metade dos habitantes tem menos de 18 anos. Quan-
tas pessoas têm menos de 18 anos? 
4 074 pessoas (8 148 : 2 5 4 074).
33. Quantos carros podemos montar com 186 pneus? Sobra algum pneu?
46 carros; sobram 2 pneus.
34. Vai ser realizado um Censo em uma cidade. Serão entrevistadas 15 288 famílias. Se forem 
entrevistadas 98 famílias por dia, quantos dias vai durar o Censo? 
156 dias 
15 228 : 98 5 156
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29
35. No início das aulas, o dono da papelaria Lápis Fino resolveu fazer a seguinte promoção:
4 Borrachas
12 Lápis de cor
15 Cadernos
CADA CAIXA
POR R$ 46,00
4 Borrachas
12 Lápis de cor
15 Cadernos
CADA CAIXA
POR R$ 46,00
A papelaria tem no estoque 340 borrachas, 1 068 lápis de cor e 1 365 cadernos.
Quantos kits a papelaria conseguirá montar? 
a) 89
b) 85
c) 91
d) 86
340 : 4 5 85; 1 068: 12 5 89: 1 365: 15 5 91
Estimativas com 
adição e subtração 
Você sabe o que significa fazer estimativas? Muitas vezes, quando efetuamos um cálculo, não é tão 
importante chegarmos a uma solução exata; nesses casos é suficiente termos uma ideia aproximada 
e rápida da resposta. Acompanhe a situação a seguir: 
Em uma segunda-feira de junho, seu João foi ao banco para pagar duas contas: uma de R$ 46,00 e 
outra de R$ 148,00. Ele queria pagar com cartão e no extrato que ele imprimiu no caixa eletrônico 
apontava que a sua conta tinha um saldo de R$ 215,00.
CAIXA 1
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30
O saldo bancário de seu João era suficiente para pagar as duas contas? 
É fácil perceber que sim, pois, avaliando os valores das contas, podemos perceber, sem fazer o cál-
culo, que a soma das duas não ultrapassa R$ 200,00, valor menor que o saldo.
A estimativa é um resultado aproximado, porém, muitas vezes é mais útil que o valor exato porque 
é calculado mais rapidamente.
No nosso exemplo, seu João está apenas preocupado em saber se o dinheiro que possui no banco 
será suficiente, sem se importar com o saldo final exato da conta. 
Podemos fazer mentalmente uma estimativa da soma para saber se há saldo suficiente para pagar 
as duas contas.
Primeiro, aproximamos os valores das contas à dezena mais próxima:
Número Está entre Mais próximo de
46 40 e 50 50
148 140 e 150 150
Adicionamos os valores aproximados para obter a estimativa:
1 5 0
1 5 0
2 0 0
Sendo o valor encontrado (R$ 200,00) inferior ao saldo que tem na conta bancária (R$ 215,00), o 
seu João poderá pagar as duas contas.
Se ele quiser saber quanto vai sobrar na sua conta, aí sim precisará calcular o valor exato:
1 4 8 2 1 5
1 4 6 → 2 1 9 4
1 9 4 → 2 1
R$ 21,00 ← novo saldo
E se ocorrer que a dezena que queremos aproximar terminar em 5, como, por exemplo, no nú-
mero 75? 
Podemos aproximá-lo de 70 ou de 80, que estão igualmente próximos de 75. A opção mais comum 
é aproximá-lo “para cima”, ou seja, 80. 
Quando temos que efetuar uma adição como 578 1 47, é útil estimar mentalmente o resultado e 
depois efetuar o cálculo exato.
Assim, aproximamos 578 a 580 e 47 a 50.
 Estimativa Cálculo exato
 580 1 50 5 630 5 7 8
1 4 7
6 2 5
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31
36. Responda:
a) Quanto tempo você leva para vir de sua casa à escola? 
Resposta pessoal.
b) Qual é a sua estimativa para o número de alunos que estão em sua escola na escola no mesmo 
horário em que você tem aulas? 
Resposta pessoal.
37. Preencha o quadro a seguir aproximando cada número da dezena mais próxima.
Número Está entre Mais próximo de
68 60 e 70 70
82 80 e 90 80
129 120 e 130 130
418 410 e 420 420
38. Paulo tem R$ 100,00. Ele quer comprar um shorts que custa R$ 38,00 e uma camisa que cus-
ta R$ 49,00. Será que ele tem dinheiro suficiente para comprar as duas peças? 
Sim: 40 1 50 5 90 e R$ 90,00 < R$ 100,00.
39. A funcionária de uma loja recebeu R$ 400,00 em dinheiro e pagou uma conta de R$ 182,00. 
Mentalmente ela calculou que sobrou R$ 118,00.
a) Ela fez o cálculo certo? 
Não: 180 1 120 5 300 e 300 Þ 400.
b) Se ela não fez o cálculo certo, quanto sobrou exatamente? 
R$ 218,00 
(400 – 182 5 218)
Atividades
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32
40. Um teatro tem 186 lugares. Em certo dia, para assistir a uma peça, havia nas três bilheterias 
filas com 68 pessoas, 67 pessoas e 69 pessoas para comprar ingresso.
a) Comprove que a capacidade do teatro não seria suficiente para atender a todas as pessoas que 
estavam na fila. 
70 1 70 1 70 5 210; nem todas as pessoas conseguiram ingresso.
b) O dono do teatro resolveu pôr cadeiras extras para que todas as pessoas das filas assistissem à 
peça. Quantas cadeiras exatamente foram necessárias? 
18 cadeiras.
(68 1 67 1 69 5 204; 204 – 186 5 18)
41. Para estimar mentalmente o resultado desta operação: 483 · 103, aproximamos os fatores à 
centena mais próxima:
483 → 500    Estimativa: 500 ? 100 5 50 000
103 → 100   Cálculo exato: 483 ? 103 5 49 749
a) Simplifique estas expressões numéricas estimando o resultado e, depois, calculando o resultado 
exato:
b) 275 ? 3 – 112 ; 2 
850 e 769
Estimativa: 
300 · 3 – 100 ; 2 5 900 – 50 5 850
Cálculo exato: 825 – 56 5 769
c) 393 1 518 – 296 ? 2
300 e 319
Estimativa: 
400 1 500 – 300 · 2 5 900 2 600 5 300
Cálculo exato: 393 1 518 2 592 5 319
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33
Expressões numéricas
VIDEOAULA
PARA AJUDÁ-LO A COMPREENDER MELHOR ESSE CONTEÚDO, ASSISTA À VIDEOAULA. 
DEPOIS, UTILIZE O QUE APRENDEU PARA RESOLVER AS ATIVIDADES PROPOSTAS PELO 
PROFESSOR E SIGA AS ORIENTAÇÕES PARA A REALIZAÇÃO DAS ATIVIDADES.
(EF06MA03)
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34
Às vezes temos necessidade de calcular o resultado de uma expressão numérica com várias 
operações. 
Para simplificar uma expressão numérica que contém adições, subtrações e multiplicações, 
efetuamos em primeiro lugar, obrigatoriamente, as multiplicações. 
Em seguida, calculamos as somas e as diferenças na ordem em que aparecem, da esquerda para a 
direita. Acompanhe os dois exemplo a seguir.
Neste exemplo, primeiro realizamos a multiplicação.
5 3 2�1 ? 5
5 1 6 5 11
Neste segundo exemplo, as multiplicações foram feitas antes e, depois a subtração e a adição.
4 2 5 1 4��? 2 ? 1 5
8 5 4�2 1 5
 3 1 4 5 7
Para simplificar expressões numéricas que contêm multiplicações e divisões, efetuamos essas 
operações na ordem em que aparecem da esquerda para a direita. Observe: 
36 ; 2 ; 2 · 3
18 ; 2 · 3
9 · 3 5 27
Para simplificar expressões numéricas que contêm adições, subtrações, multiplicações e divisões, 
efetuamos em primeiro lugar as multiplicações e divisões na ordem em que aparecem, da esquerda 
para a direita. Depois, as adições e subtrações na ordem em que aparecem, da esquerda para a 
direita:
45 2 3 · 2 1 16 ; 8
45 2 6 1 2
 39 1 2 5 41
Expressões com sinais de associação 
Em expressões matemáticas é muito comum utilizarmos os sinais de associação, parênteses ( ), 
colchetes [ ] e chaves { } para organizar a ordem da expressão.
Veja como a posição de um desses sinais, os parênteses, pode determinar resultadosdiferentes 
numa simples expressão: 
• (4 · 2) 1 3 representa o número 1; 
• se escrevermos 4 (2 1 3) temos o número 20.
Para simplificar uma expressão numérica, simplificamos em primeiro lugar as expressões dentro de 
cada símbolo de associação. Quando temos um sinal de associação dentro de outro, simplificamos 
em primeiro lugar a expressão dentro do símbolo de associação mais interno. Acompanhe:
Expressões numéricas
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35
15 2 3 4�














1 1
15 2 7�








1 ?
15 14 29{ }1 5
Para simplificar uma expressão numérica com vários números e operações, convencionou-se seguir 
esta ordem:
a) efetuamos as operações indicadas dentro de cada 
símbolo de associação 2 parênteses, colchetes e 
chaves, nessa ordem;
b) efetuamos as multiplicações e divisões na ordem 
em que aparecem, da esquerda para a direita;
c) efetuamos as adições e subtrações na ordem em 
que aparecem, da esquerda para a direita.
Atividades
42. Simplifique cada expressão numérica.
a) 9 1 3 · 2 
15 (9 1 6 5 15)
b) 8 ? 7 2 18 
38 (56 2 18 5 38)
c) 8 ? 3 2 20 1 4 ? 2 
12 (24 2 20 1 8 5 4 1 8 5 12)
d) 100 2 3 ? 24 
28 (100 2 72 5 28)
43. Calcule o valor das expressões numéricas.
a) 40 · 8 : 2 
320 : 2 5 160
b) 45 : 5 2 45 : 9 
9 2 5 5 4
c) 27 : 3 : 3 : 3 · 10 
9 : 3 : 3 · 10 5 3 : 3 · 10 5 1 · 10 5 10
d) 45 – 15 : 5 · 3 
45 2 3 · 3 5 45 2 9 5 36
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36
44. Simplifique as expressões a seguir.
a) 3 (8 2 3) 1 9 (7 2 3) 
3 · 5 1 9 · 4 5 15 1 36 5 51
b) 8 (9 1 6) 2 15 
8 · 15 2 15 5 120 2 15 5 105)
c) 21 2 3 (4 · 2 · 5 2 38) 2 3 · 5 
21 2 3 (40 2 38) 2 15 5 21 2 6 2 15 5 0
d) 100 2 [64 2 (36 2 2) : 2] 
100 2 [64 2 34 : 2] 5 100 2 [64 2 17] 5 100 2 47 5 53
45. Observe estas expressões numéricas:
a) 48 : 8 : (3 · 1) 2 1
6 : 3 2 1 5 2 2 1 5 1
b) 80 2 2 [96 : (3 · 6 2 2) 1 10] 
80 2 2 [96 : (18 2 2) 1 10] 5 
80 2 2 [96 : 16 1 10] 5 
80 2 2 [6 1 10] 5
80 2 2 . 16 5 
80 2 32 5 48
c) {54 1 [72 : 2 1 (7 · 9 2 6 : 2)] 1 3} : 9
17
{54 1 [361 (63 - 3)] 1 3} : 9 5 
{54 1 [36 1 60] 1 3} : 9 5 
{54 1 96 13} : 9 5 
153 : 9 5 17
d) A seguir estão os resultados que os alunos obtiveram para as expressões (a), (b) e (c). Quem 
acertou a simplificação das três expressões?
a b c
Amanda 1 96 18
Miguel 3 48 10
Ana 1 48 17
Martim 3 45 24
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37
Potenciação de números naturais
VIDEOAULA
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PROFESSOR E SIGA AS ORIENTAÇÕES PARA A REALIZAÇÃO DAS ATIVIDADES.
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38
O cálculo de potências de números naturais, se faz da seguinte forma:
Para quaisquer números a e n, com n > 1, a 
potência an , de base a e expoente n será igual 
ao produto de n fatores iguais a a. Ou seja:
an 5 a.a.a.a....a (n fatores)
No caso dos números naturais, devemos levar em consideração o sinal da base e respeitar as regras 
de sinais que estudamos na multiplicação. Veja os exemplos:
• (4)3 5 (4) ? (4) ? (4) 5 − 64
• (6)2 5 (6) ? (6) 5 36
As potências de números naturais com expoentes 1 serão sempre iguais à base:
Para qualquer número inteiro a, teremos a1 5 a
Por definição, uma com expoente zero é sempre igual a 1.
Para todo número natural, a, com a Þ 0, define-se a0 5 1
Multiplicação de potências de mesma base
Para multiplicar potências de mesma base, mantemos a base e somamos os expoentes. Assim, se a 
é um número natural diferente de zero e m e n dois números naturais, tem-se:
am ? an 5 am1n
Observe o exemplo:
3 3 3
3 3 3 3
2
3



5 ?
? ? ?
 32 ? 33 5 (3 3)
2 fatores
� ��� ���? ? (3 3 3)
3 fatores
� ���� ����? ? 5 3 3 3 3 3
2 3 fatores
� ������� �������? ? ? ?
1
 5 35
Divisão de potências de mesma base
Para dividir potências de mesma base, mantemos a base e subtraímos os expoentes. Assim, para 
um número inteiro a diferente de zero, e dois números naturais m e n , com m > n, teremos:
a
a
a
m
n
m n5 2
Potenciação de números naturais
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39
Observe os exemplos:
• 65 4 63 5 65-3 5 62
• 29 4 24 5 29-5 5 24
Potência de potência
Para elevar uma potência a um expoente, mantemos a base e multiplicamos os expoentes. Sendo a 
um número diferente de zero e m e n dois números naturais, temos:
(am)n 5 am ? n
Veja no exemplo, que esta regra nada mais é que a aplicação da multiplicação de potências de 
mesma base.
(35)3 5 3 3 35 5 5
3 vezes
� ����� �����? ? 5 351515 5 315 ou então (35)3 5 35 ? 3 5 315
Potência de um produto 
Quando temos um produto elevado a um expoente, esse expoente deve ser atribuído a cada um 
dos fatores. Assim, sendo a e b números naturais diferentes de zero e n um número natural, temos:
(a ? b)n 5 an ? bn
(5 ? 7)3 5 (5 7) (5 7) (5 7)
3 vezes
� ���������� ����������? ? ? ? ? 5 (5 5 5)
53
��� ��? ? ? (7 7 7)
73
��� ��? ?
Podemos fazer diretamente (5 ? 7)3 5 53 ? 73
Para efetuar expressões numéricas envolvendo adições, subtrações, multiplicações, divisões e 
potências, devemos respeitar a seguinte ordem: 
• as potências e raízes quadradas são efetuadas antes das multiplicações e divisões;
• as multiplicações e divisões devem ser realizadas antes das adições e subtrações. 
Além disso, devem ser respeitados os parênteses, colchetes e chaves, nessa ordem.
Acompanhe os exemplos:
a) 5 1 3 ? (2)3
8
� 1 5 ? 42
16
� 5 5 1 3 (8)
24
�? 1 5 16
80
�? 5 51 24 1 80 5 119
b) [13 1 18 4 (52 1 5)] 4 6 5 [13 118 1 30 4 6] 4 9 5 [13 118 1 5] 4 9 5 4
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40
46. Calcule:
a) 23
23 5 2?2?2 5 8
b) 33 
33 5 3?3 ? 3 5 27
c) 14 
14 5 1 ? 1 ? 1 5 1
d) 40 
40 5 1
e) 42 
425 4 ? 4 5 16
47. Efetue:
a) 5 1 2 ? 32 1 2 ? 32
5 1 2 ? 3 ? 3 1 2 ? 3 ? 3 5 41
b) 6 1 2 ? (2)3 1 5 ? 70
6 1 2 ? 815 ? 1 5 27
c) [213 1 13 ? (21 2 3 ? 22)] 4 14
[213 1 13 ? (2123 ? 2 ? 2)] 4 14 5 [213 2 13 ? 13] 4 14 5 2 169 4 14 5 2 13
48. Escreva cada expressão abaixo utilizando apenas uma potência
a) (3)10 ? (3)20
330
b) 210 ? 220 ? 230
260
c) (5)50 4 (5)20
570
d) 240 ? 250 4 270
220
49. Aplique as propriedades das potências e dê os resultados das expressões:
a) (710)5 4 748
72 5 49
b) (2 ? 3)8 4 68
60 5 1
c) [(7)3]7 4 [(7)10 ? (7)9]
72 5 49
d) (52 ? 2)3 ? 23
56 ? 23 ? 23 5 56 ? 26 5106 5 1000000
e) (2 ? 3)7 4 (23 ? 33)
(2 ? 3)7 4 (2 ? 3)3 5 64 5 1296
Atividades
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41
Múltiplos e divisores
VIDEOAULA
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DEPOIS, UTILIZE O QUE APRENDEU PARA RESOLVER AS ATIVIDADES PROPOSTAS PELO 
PROFESSOR E SIGA AS ORIENTAÇÕES PARA A REALIZAÇÃO DAS ATIVIDADES.
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42
Existem números que são obtidos multiplicando-se um número natural por outro. Esses são 
chamados de múltiplos dos números que foram multiplicados para obtê-los. O mesmo acontece 
com a divisão. Podemos dividir um número natural por um outro diferente de zero e obter um 
terceiro número também natural. O número pelo qual dividimos o primeiro para encontrar o terceiro 
é um divisor daquele primeiro.Critérios de divisibilidade
É possível verificar se alguns números são divisíveis por outros sem fazer a divisão. Para isso, basta 
que determinados padrões sejam conhecidos por você. Esses padrões são denominados de critérios 
de divisibilidade Vamos estudar esses critérios para os números 2, 3, 4, 5 e 10.
Divisibilidade por 2
O padrão ou regra que um número deve atender para ser divisível por 2 é bastante simples: 
Um número natural é divisível por 
2 quando termina em 0, 2, 4, 6 ou 
8, ou seja, quando é par.
Por exemplo:
• 38 é divisível por 2, porque é par.
• 77 não é divisível por 2, porque não é par.
Divisibilidade por 3
É possível provar que, se a soma dos algarismos de um número é divisível por 3, o número também 
será. Veja os seguintes casos:
• 27 é divisível por 3, pois 2 1 7 5 9 também é;
• 6600 é divisível por 3, pois 6 1 6 1 0 1 0 5 12 também é;
• 32118 é divisível por 3, pois 3 1 2 1 1 1 1 1 8 5 15 também é.
Como você pode ver, é mais fácil verificar se a soma dos algarismos de um número é divisível por 
3 do que fazer a divisão, principalmente quando o número é muito grande como o último exemplo, 
32118. A regra de divisibilidade por três é:
Um número natural é divisível por 3 
quando a soma dos seus algarismos 
também for divisível por 3.
Veja mais alguns exemplos:
• 624 é divisível por 3, porque a soma de seus algarismos (6 1 2 1 4 5 12) é divisível por 3.
• 725 não é divisível por 3, porque a soma de seus algarismos (7 1 2 1 5 5 14) não é divisível por 3.
Múltiplos e divisores
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43
Divisibilidade por 4
Existe um critério de divisibilidade por 4 apenas para números que sejam maiores ou iguais a 100:
Um número natural maior ou igual a 100 é divisível por 4 quando o 
número formado pelos dois últimos algarismos for divisível por 4.
Observe alguns exemplos:
• 8924 é divisível por 4, pois 24 é divisível por 4;
• 51608 é divisível por 4, pois 24 é divisível por 4;
• 7 600 é divisível por 4, porque termina em 00 e 0 é divisível por 4;
• 5 426 não é divisível por 4, porque 26 não é divisível por 4;
• 3 554 não é divisível por 4, porque 54 não é divisível por 4.
Divisibilidade por 5
observe as características dos números divisíveis por 5:
0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35...
Note que os números naturais divisíveis por 5 terminam sempre em 0 ou 5. Logo, esse é o critério 
de divisibilidade por 5.
Um número natural é divisível por 5 quando termina em 0 ou 5.
Observe outros exemplos:
• 737 15 é divisível por 5, pois termina em 5;
• 44220 é divisível por 5, pois termina em 0;
• 428667 não é divisível por 5, porque não termina em 0 nem em 5.
Divisibilidade por 10
Este é o mais simples critério de divisibilidade.
Um número natural é divisível por 10 quando terminar em 0.
Por exemplo:
• 2 670 é divisível por 10, porque termina em 0.
• 53 301 não é divisível por 10, porque não termina em 0.
Números primos
É muito simples entender que qualquer número natural é divisível por 1 e por ele mesmo. Por 
exemplo:
• 7 é divisível por 1, e 7
• 8 é divisível por 1, 2, 4 e 8
• 11 é divisível por 1 e 11
• 12 é divisível por 1, 2, 3, 4, 6 e 12
• 13 é divisível por 1 e 13
• 14 é divisível por 1, 2, 7 e 14
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44
Note que, nos exemplos, os números 7, 11 e 13 têm apenas dois divisores, o 1 e o próprio número. 
Os números 7, 11 e 13 são números primos.
Um número é chamado número primo quando tem dois divisores: o 1 e o próprio número.
Podemos verificar se um número é primo fazendo, sucessivamente, a divisão deste número por 
2, 3, 4, 5, 6 etc. Quando atingimos o valor do antecessor do número e não observamos nenhuma 
divisibilidade, podemos dizer que ele é primo.
Decomposição em fatores primos
Decompor um número é, basicamente, encontrar um conjunto de fatores cujo produto é igual ao 
número. Veja, por exemplo o número 210. Como 210 é divisível por 2, podemos escrever:
210 5 2 ? 105
Ocorre que o número 105 também pode ser decomposto, pois é divisível por 3. Assim, o número 
210 pode ser escrito como:
210 5 2 ? 3 ? 35
Como 35 é divisível por 5, o número 210 fica decomposto nos fatores 2,3,5 e 7:
210 5 2 ? 3 ? 5 ? 7
Observe que, agora, todos os fatores da decomposição do número 210 são números primos e não 
é mais possível decompô-los.
Assim, 2 ? 3 ? 5 ? 7 é a decomposição do número 210 em fatores primos.
Para decompor um número natural em fatores primos, escrevemos o 
número como uma multiplicação onde os fatores são números primos.
Essa decomposição é feita pela pesquisa da divisibilidade do número pela sequência de números 
primos, e fazendo-se as divisões possíveis até obtermos o quociente 1. Observe, por exemplo, a 
decomposição em fatores primos do número 770:
770 2 770 dividido por 2 resulta 385
385 5 385 não é divisivel por 3, mas é por 5 e resulta 77
77 7 77 dividido por 7 resulta 11
11 11 11 dividido por 11 resulta 1
1
Logo, a decomposição de 770 em fatores primos resulta:
770 5 2 ? 5 ? 7 ? 11
Pode ocorrer, também, que um mesmo fator primo ocorra várias vezes. Veja a decomposição do 
número 336:
336 2
168 2
84 2
42 2
21 3
7 7
1 → 336 5 24 ? 3 ? 7
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45
50. Escreva os números naturais divisíveis por 2, maiores que 1 e menores que 19.
2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 e 18
51. Indique quais dos números a seguir são divisíveis por 3? 
a) 428
b) 33100
c) 409 
d) 6813 
e) 71256
f) 788
52. Verifique se cada afirmação feita é falsa ou verdadeira.
a) (  ) Todos os números naturais terminados em 4 são divisíveis por 2.
b) (  ) Todos os números naturais terminados em 6 são divisíveis por 3.
c) (  ) Todos os números naturais terminados em 2 não são divisíveis por 3. 
d) (  ) Um número natural pode ser divisível por 2, mesmo que a soma dos seus algarismos não o 
seja. 
53. Explique por que todos os números de três algarismos iguais, como 555, 777, 444, por 
exemplo são divisíveis por 3.
Números com 3 algarismos iguais são divisíveis por 3 pois a soma de seus algarismos será sempre um múltiplo de 3.
54. O número 2 472 é divisível por 12. Qual é o próximo número natural depois de 2 472 que é 
divisível por 12?
2472 1 12 5 2484
55. Assinale V (verdadeira) ou F (falsa) a cada uma das afirmações a seguir.
a) (  ) Qualquer número natural diferente de zero é divisível por si mesmo.
b) (  ) O número 1 é divisível por qualquer número natural.
c) (  ) Qualquer número natural é divisível por 1.
d) (  ) O zero é divisível por qualquer número natural diferente de zero
e) (  ) Qualquer número natural diferente de zero é divisível por zero.
Atividades
(d) 6813, (e) 71256
V
V
F
F
V
F
V
V
F
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46
56. Calcule o maior número natural divisível por 12 e menor que 600.
Como 600 é divisível por 12, o maior número natural divisível por 12 será:
600 2 12 5 588
57. Escreva a sequência de todos os números naturais divisíveis por 5 e menores que 45.
0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.
58. Diga se 3370 é ou não divisível pelos números a seguir. Justifique suas respostas. 
a) 2
Sim, pois é par.
b) 3
Não, pois a soma dos algarismos não é um múltiplo de 3.
c) 4
Não, pois 70 não é múltiplo de 4.
d) 5
Sim, pois o último algarismo é 5.
59. Decomponha em fatores primos:
a) 225
32 ? 52
b) 264
2323 ? 11
c) 588
2 ? 3 ? 72
d) 1184
27 ? 32
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Frações
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(EF06MA03)
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48
As frações são utilizadas para representar partes iguais de algo inteiro. Além disso, elas são as 
representantes dos números racionais, que também podem ser escritos na forma de números 
decimais e porcentagem.
Dois números naturais escritos na forma , com b Þ 0 formam uma fração, onde:
• O número b é chamado de denominador e indica em quantas partes iguais o todo deve ser 
dividido;
• O número a chama-se numerador e indica quantas dessas partes devem ser consideradas.
O numerador e o denominador são os termos da fração.
Frações próprias e impróprias
As frações cujo numerador é menor que o denominador são chamadas de próprias. As frações 
representadas na forma mista, são também chamadas de frações impróprias, pois, nelas, o 
numerador é maior que o denominador.
Operações com frações 
Vamos estudar agora os processos utilizados para fazermos cálculos com números fracionários. 
Adição e subtração de frações
Inicialmente, vamos trabalhar apenas os casos em que as frações têm mesmo denominador. 
Para a adição de frações com mesmo denominador, basta conservá-lo e somar os numeradores. 
Veja o exemplo a seguir
5
7
1
7
5 1
7
6
7
1 5
1
5
O mesmo ocorre com a subtração quando os denominadores são iguais. Observe:
7
11
2
11
7 2
11
5
11
2 5
2
5
Multiplicação de frações
A multiplicação de frações não depende da igualdade dos denominadores. Basta multiplicar os 
numeradores e os denominadores das duas frações para obter a fração produto. Observe o exemplo:
2
3
5
7
2 5
3 7
10
21
? 5
?
?
?
Neste caso, a fração produto obtida é 10
21
, que é uma fração irredutível. Existem, porém, casos em 
que a fração obtida pode ser simplificada. Analise o exemplo a seguir.
5
3
3
7
15
21
15 3
21 3
5
7
? 5 5
4
4
5
Frações
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49
Neste caso, simplificamos 
15
21
 depois de realizar a multiplicação. No entanto, podemos simplificar 
o cálculo utilizando a técnica do cancelamento, que permite a simplificação antes de efetuar a 
multiplicação:
5
3
3
7
5
3
3
7
5 1
1 7
5
7
1
1
/
/
? 5 ? 5
?
?
5
Note que utilizamos a propriedade fundamental das frações ao dividirmos o numerador e o 
denominador do produto por 3. Veja, agora, outro exemplo:
25
7
8
15
25
7
8
15
40
21
5
3
? 5 5 5
Observe que dividimos o numerador e o denominador do produto por 5.
Divisão de frações
Para compreendermos o que ocorre numa divisão de frações, vamos, como exemplo, fazer a divisão 
de 2 inteiros pela fração 
1
5
. Observe na figura, que dividimos cada unidade em 5 partes, de tal 
maneira que 2 tem 10 vezes a fração 1
5
 .
1 1
2
1
5
1
5
1
5
1
5
1
5
1
5
1
5
1
5
1
5
1
5
Assim, podemos dizer que 1
5
 cabe 10 vezes em 2. Essa constatação é o mesmo que fazermos a 
seguinte divisão:
2 4 1
5
 5 10
Veja que a divisão por 1
5
 tem o mesmo resultado que a multiplicação pelo seu inverso:
2 4 1
5
 5 10 e 2 ? 
5
1
 5 10
O mesmo procedimento vale para uma divisão como a do próximo exemplo.
Vamos fazer, agora a operação 2
3
1
6
4 .
Fazendo-se a multiplicação de 
2
3
 pelo inverso de 1
6
, teremos:
2
3
1
6
4 5 4 e 2
3
6
1
1
2
/
/
? 5 4
A partir do que observamos nos exemplos anteriores, podemos enunciar uma regra geral para a 
divisão de frações da seguinte forma: 
Para fazer a divisão de uma fração por outra, multiplicamos a primeira pela fração 
que se obtém invertendo-se numerador e denominador da segunda fração.
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50
60. Efetue as operações e apresente a resposta na forma simplificada. Nos casos de 
denominadores diferentes, transforme uma da frações em uma outra fração equivalente, para 
que os denominadores sejam iguais.
a) 3
13
5
13
1
8
13
b) 9
10
7
20
2
18
20
7
20
11
20
2 5
c) 2
9
6
9
1
8
9 
d) 9
3
5
12
2
36
12
5
12
31
12
2 5
e) 5
16
3
16
1
1
2
61. Faça as operações indicadas a seguir
a) 3 1
3
 1 2 1
3
 
10
3
7
3
17
3
5
2
3
1 5 5
b) 7 1
4
 - 3 1
3
29
4
10
3
87
12
40
12
3
11
12
2 5 2 5
c) 5 1
8
 1 1 1
2
 
40
8
3
2
40
8
12
8
52
8
13
4
3
1
4
1 5 1 5 5 5
d) 6 2
5
 - 4 2
5
32
5
22
5
10
5
2 5
62. Um estudante tinha 3 dias para ler um livro. No primeiro dia, leu 1
6
 do livro; no segundo, 18 ; 
no terceiro, leu 91 páginas e, assim, terminou a leitura. Quantas páginas tem o livro?
Foram lidos 
1
6
1
8
4
24
3
24
7
24
1 5 1 5 do livro. Logo, se P é o número total de páginas, teremos 
7
24
P 915
 P 5 312 páginas.
Atividades
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51
63. Use o cancelamento para efetuar os seguintes produtos:
a) 5
7
3
5
?
3
7
b) 3
5
1
9
?
1
15
c) 5
14
21
8
?
15
16
d) 3
10
5
8
?
3
16
e) 2
15
9
20
?
3
10
f) 22
35
28
33
?
8
15
64. Lembrando que um número inteiro n pode ser escrito na forma de fração como n
1
 e 
utilizando o cancelamento sempre que necessário, efetue:
a) 2 ? 
3
8
3
4
b) 3 ? 
5
21
5
7
c) 1
5
 ? 30
6
d) 1
12
 ? 21
7
4
e) 7
5
10
14
?
1
f) 10
8
16
5
? 
10
65. Três times de futebol A, B e C encontram-se na tabela do campeonato com a seguinte 
situação de pontos: A tem 23 dos pontos de B, que tem 34 dos pontos de C. Quem tem mais 
pontos? Sabendo que B tem 42 pontos, quanto tem os outros dois?
O time C, pois, chamando de A,B e C o número de pontos dos times, temos:
A 5 2
3
B e B 5 3
4
 C. Como B 5 42, temos A 5 28 e C 5 56 pontos.
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52
66. Uma pesquisa com 1 200 pessoas apontou que 34 das pessoas praticam esportes e que 25 
dos que praticam esportes fazem atletismo.
a) Que fração das pessoas pesquisadas pratica atletismo?
Chamando de P o número de pessoas pesquisadas e A o das que praticam atletismo, temos:
A 5 
2
5
3
4
? PA 5 3
10
 P
b) Quantas são as pessoas que não praticam nenhum esporte?
Se 3
4
 praticam esportes, 1
4
 não praticam.52
67. Calcule a divisão indicada em cada item apresentando como resultado uma fração 
irredutível.
a) 
3
5
2
3
4
3
5
3
2
9
10
? 5
b) 1
10
10
3
4
1
10
3
10
3
100
? 5
c) 2
5
1
2
4
2
5
2
4
5
? 5
d) 7
8
14
9
4
7
8
3
14
16? 5
Números decimais
Números decimais, são frações cujos denominadores são potências de 10. Para a equivalência 
do decimal com uma fração, a quantidade de algarismos que fica à direita da vírgula determina a 
quantidade de zeros com que o denominador termina.
A forma de escrever um número decimal baseia-se no sistema de representação posicional. Cada 
posição vale 10 vezes a posição que está à sua direita, ou seja: a dezena vale 10 unidades; a unidade 
vale 10 décimos; o décimo vale 10 centésimos e assim por diante.
Vamos ver como trabalharmos com números resultantes da divisão de um inteiro por 10, 100, 1 000 etc.
Veja a seguir que a notação de números decimais depende do posicionamento da vírgula, pois esta 
separa a parte inteira da parte fracionária. Veja, por exemplo:
• em 3,4, temos 3 inteiros e 4 décimos;
• em 0,9, temos 0 inteiro e 9 décimos ou simplesmente 9 décimos;
• em 2,35 temos dois inteiros e trinta e cinco centésimos
• em 72,348 temos 72 inteiros e 348 milésimos
EF06MA11
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53
Quando expressamos a parte não inteira por décimos, centésimos ou milésimos estamos fazendo a 
correspondência com a divisãopor 10, 1 000 ou 1 000. Assim, a quantidade de algarismos que fica à 
direita da vírgula determina a quantidade de zeros com que o denominador termina. Observe a seguir:
235
100
¯
�
dois zeros
↓
⇒ 
235
100
 5 2,35
¯
�
dois algarismos
depois da vírgula
↓
um zero
↓
⇒ 
28
10
 5 2,8
¯
�
um algarismo
depois da vírgula
↓
28
10
¯
�
Quando necessário, acrescentam-se zeros à esquerda do número que está no numerador:
9
100
0,09
¯
�
5
dois zeros
↓
Vimos como se converte uma fração com denominador 10, 100, 1 000 etc. para a grafia em número 
decimal. Vamos ver agora de que forma deve ser feita a passagem dos números com vírgula para as 
frações com denominadores 10, 100, 1 000 etc.
7256
100
¯
�
72,56
¯
�
dois algarismos
depois da vírgula
dois zeros
↓ ↓
6 0,8
¯
�
8
10
¯
�
dois algarismos
depois da vírgula
um zero
↓ ↓
6
A forma de escrever um número decimal baseia-se no sistema de representação posicional. Sendo 
assim:
• Cada posição vale 10 vezes a posição que está à sua direita, ou seja: a dezena vale 10 unidades; a 
unidade vale 10 décimos; o décimo vale 10 centésimos e assim por diante. Podemos dizer também 
que cada posição vale 1
10
 da que está à sua esquerda: a unidade equivale 1
10
 da dezena; o décimo 
equivale 1
10
 da unidade; o centésimo equivale 1
10
 do décimo e assim por diante.
Leitura dos números decimais
A leitura de um número decimal baseia-se na posição da vírgula. Antes da vírgula, temos as unidades, 
dezenas, centenas, etc. e, depois da vírgula, os décimos, centésimos, milésimos etc. 
Veja os exemplos a seguir:
• 0,7 são sete décimos e lemos zero vírgula sete;
• 0,45 são quarenta e cinco centésimos e lemos zero vírgula quarenta e cinco;
• 0,319 são trezentos e dezenove milésimos e lemos zero vírgula trezentos e dezenove;
• 15,6 são quinze inteiros e seis décimos e lemos quinze vírgula seis.
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VIDEOAULA
PARA AJUDÁ-LO A COMPREENDER MELHOR ESSE CONTEÚDO, ASSISTA À VIDEOAULA. 
DEPOIS, UTILIZE O QUE APRENDEU PARA RESOLVER AS ATIVIDADES PROPOSTAS PELO 
PROFESSOR E SIGA AS ORIENTAÇÕES PARA A REALIZAÇÃO DAS ATIVIDADES.
54
Adição e subtração com decimais
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55
Operações com decimais 
Na adição e na subtração de números decimais, somamos ou diminuímos ordenadamente centésimos 
com centésimos, décimos com décimos, unidades com unidades, dezenas com dezenas, centenas 
com centenas etc. Para fazer isso, escrevemos esses números de modo que as vírgulas dos números 
decimais da operação estejam alinhadas (uma sobre a outra), fazendo com que centésimos, décimos 
e outras casas estejam também alinhadas.
• Vamos efetuar 12,37 1 5,287:
1 2, 3 7
1 5, 2 8 7
1 7, 6 5 7
1
Na casa dos centésimos, efetuamos: 7 1 8 5 15. Isso equivale a 15 centésimos, que valem 1 décimo 
(10 centésimos) mais 5 centésimos. Escrevemos 5 na casa dos centésimos e acrescentamos 1 na 
casa dos décimos. Isso explica o “vai um” da casa dos centésimos para a dos décimos.
• Vamos efetuar 9 2 4,3:
Inicialmente, escrevemos 9,0 ao invés de 9, para alinhar a vírgula:
7, 0
2 4, 3
Como não é possível subtrair 3 décimos de 0 décimos, pedimos 10 décimos “emprestados” das 
9 unidades, trocando essas 9 unidades por 8 unidades e 10 décimos.
9, 0
2 4, 3
4 7
18
9,0 2 4,3 5 4,7
Adição e subtração com decimais
EF06MA11
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VIDEOAULA
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DEPOIS, UTILIZE O QUE APRENDEU PARA RESOLVER AS ATIVIDADES PROPOSTAS PELO 
PROFESSOR E SIGA AS ORIENTAÇÕES PARA A REALIZAÇÃO DAS ATIVIDADES.
56
Multiplicação e divisão com decimais
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57
Multiplicação
Antes de estabelecermos uma regra para a multiplicação de dois números decimais, vamos observar 
o que ocorre quando realizamos a multiplicação transformando-os em frações. Seja, por exemplo 
a multiplicação de 3,4 por 2,7:
3,4 5 34
10
 2,7 5 27
10
3,4 2,7 34
10
27
10
34 27
100
918
100
9,18? 5 ? 5
?
5 5
Observe que no numerador obtivemos 34.27 e no denominador 10.10, ou seja o 100 que representa 
os centésimos. O resultado 9,18 então terá então duas casas decimais.
Se fizermos, agora, a multiplicação de 2,12 por 3,302, podemos já estabelecer que o numerador 
será 212.3302 e o denominador 100000, pois 2,12 tem duas casas decimais e 3,302 tem 3. Logo 
o resultado será 7,00024.
A partir desses exemplos, podemos estabelecer a regra a seguir para multiplicação de números 
decimais:
Para multiplicar dois números decimais, multiplicamos normalmente 
os números desconsiderando as vírgulas. O resultado terá tantas casas 
decimais quanto a soma dos números das casas decimais dos fatores.
Uma consequência prática desta regra de multiplicação ocorre quando multiplicamos um decimal 
por 10, 100, 1 000, 10000 etc. Veja o que ocorre neste tipo de multiplicação com o a multiplicação 
de 2,367 por 10, 100 e 1000:
Antes, transformamos 2,367 em fração: 2,367 5 2367
1000
2,367 ? 10 5 2367
1000
10 2367
100
100
1
/ / / /
/ /? 5 5 23,67
2,367 ? 100 5 2367
1000
100 2367
10
10
1
/ / / /
/ / /? 5 5 236,7
2,367 ? 1000 5 2367
1000
1000
1
1
/ / / /
/ / / /? 5 2367
Podemos, então, estabelecer a seguinte regra:
Multiplicando um número decimal por 10, a vírgula avança uma 
posição para a direita; por 100, a vírgula avança duas posições 
para a direita; por 1 000, avança três; e assim sucessivamente.
Multiplicação e divisão 
com decimais
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58
Se, por outro lado, multiplicarmos um decimal ou mesmo um número inteiro por 0,1, 0,01, 0,001 
etc., a vírgula irá retroceder para a esquerda uma casa, duas, três casas, respectivamente.
Veja os exemplos:
• 0,07 ? 10 5 0,7
• 0,07 ? 100 5 7
• 33,21 ? 1 000 5 33210
• 192,333 ? 100 5 19233,3
• 134,5 ? 0,1 5 13,45
• 18 ? 0,001 5 0,018
Divisão 
Para compreender o que ocorre na divisão de dois decimais, vamos utilizar dois exemplos. 
1o exemplo: 0,54 4 0,36.
Sabemos que multiplicando-se o dividendo e o divisor por um mesmo número, o quociente não 
se altera. Esta é uma propriedade da divisão. Pois bem, neste caso, vamos multiplicar o dividendo 
e o divisor por 100. Fazendo isso, as vírgulas vão avançar duas casas para a direita e teremos uma 
divisão de dois números naturais:
5 4 36 6 0,54 4 0,36 5 1,5
1 8 0 1,5
0
2o exemplo: 8,72 4 3,2.
Igualamos o número de casas decimais do dividendo e do divisor, escrevendo 3,20 no lugar de 3,2. 
Com isso, podemos eliminar a virgula e proceder a divisão.
8, 7 2 3,20 6
8,72 4 3,2 5 
2,725
2 3 2 0 2,725
8 0 0
1 6 0 0
0
Para dividir dois números decimais devemos 
igualar o número de casas decimais desses 
números para, em seguida, eliminar as 
vírgulas e efetuar a divisão.
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59
68. Escreva na forma de um número decimal:
a) 7
100
 0,07
b) 7
1000
 0,007
c) 776
10
 77,6
d) 776
100
 7,76
69. Usando algarismos, escreva na forma decimal:
a) quatro décimos
0,4
b) vinte e oito centésimos
028
c) trinta e oito milésimos
0,038
d) cinco inteiros e cinco décimos
5,5
e) três inteiros e vinte e seis centésimos
3,26
70. Um determinado alimento industrializado apresenta em sua embalagem as seguintes 
informações nutricionais:
Composição nutricional
Média em 100 g de produto
Carboidratos 68,80 g
Lipídios 16,90 g
Proteínas 8,28 g
Calorias 460,4 kcal
a)Escreva como se lê cada número da tabela.
Sessenta e oito gramas e oitenta centésimos, dezesseis gramas e noventa centésimos, oito gramas e vinte e oito centésimos,
quatrocentos e sessenta quilocalorias e quatro décimos.
b) Escreva, na forma de fração decimal, os números decimais que expressam, em gramas, a 
composição nutricional 
Carboidratos 
Lipídios 
Proteínas 
Carboidratos
688
10
g5 , Lipídios 5 
169
10
g , Proteínas 5 
828
100
g
Atividades
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60
71. Efetue as seguintes contas em seu caderno:
a) 24,5 1 9,2 
24,5 1 9,2 5 33,7
b) 301,2 1 9,96 
301,2 1 9,96 5 311,16
c) 14,55 2 3,2 
14,55 2 3,2 5 11,35
d) 1,289 2 0,987 
1,289 2 0,987 5 0,302
72. Efetue a soma 210
37
1000
1 :
a) Reduzindo ao mesmo denominador e somando os numeradores;
200
1000
37
1000
237
1000
1 5
b) Transformando cada fração em número decimal;
0,2 1 0,037 5 0,237
c) Compare os resultados
237
1000
0,2375
 
73. Calcule as expressões a seguir em seu caderno:
a) 56,1 2 (9,78 1 11,23 2 0,13)
56,1 2 20,88 5 35,22
b) 57,022 2 (5,13 2 1,065) 
57,022 2 4,065 5 59,957
c) (38,02 2 5,1) 2 1,06
32,92 2 1,06 5 31,86
d) (0,6 – 0,44) – (10 – 9,88)
0,16 – 0,12 5 0,04
74. Um bebê nasceu saudável com 2,840 kg. Ao sair do hospital tinha emagrecido 0,184 kg, 
como ocorre com todos os bebês. Um mês depois de sair do hospital, engordou 0,292g e no 
segundo mês mais 0,43 kg. Que peso tinha o bebê no início do terceiro mês? 
Chamando de P o peso do bebê no início do 3o mês, temos:
P 5 2,840 – 0,184 1 0,292 1 0,43 5 3,378
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61
75. No lugar de ||||||||, que número decimal devemos escrever?
a) |||||||| 1 4,1 1 5,07 5 11,1
|||||| 5 11,1 – 5,07 -4,1 5 1,93
b) 6,57 1 33,6 – |||||||| 5 9,02
|||||| 5 6,57 1 33,6 – 9,02 5 31,15
c) 21,87 – 15 – |||||||| 5 1,23
|||||| 5 21,87 – 15 – 1,23 5 5,64
d) (19,67 1 ||||||||) – 3,2 5 26,44
|||||| 5 26,44 1 3,2 – 19,67 5 9,97
76. Calcule mentalmente os produtos a seguir e anote o resultado em seu caderno. Para isso, 
basta deslocar a vírgula.
a) 0,015 ? 10
0,15
b) 0,015 ? 100
1,5
c) 0,015 ? 1 000
15
d) 2,358 ? 10
23,58   51,3
e) 5,13 ? 100
513
f) 7,84 ? 1 000
7840
g) 26,78 ? 10
267,8
h) 26,78 ? 100
2678
i) 26,78 ? 1 000
26780
77. Faça mentalmente os produtos e anote os resultados em seu caderno:
a) 255,8 ? 0,1
25,58
b) 255,8 ? 0,01
2,558
c) 255,8 ? 0,001
0,2558
d) 69 ? 0,1
6,9 
78. Na região metropolitana de São Paulo, formada pelo município de São Paulo e por mais 38 
municípios, moram, aproximadamente, 22 milhões de habitantes. Se no município de São Paulo 
residem 55% desta população, quantos são os habitantes dos outros 38 municípios?
55
100
22000000 1210000 22000000 12100000 9900000→3 5 2 5
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62
79. Quatro amigos foram a um restaurante e dividiram igualmente uma conta de 
R$ 223,60. Quanto coube a cada um?
223,60
2
111,805
80. Efetue:
a) 38,5 4 5,5 
7
b) 7,5 4 0,2
37,5
c) 12 4 2,5
5
d) 7,37 4 1,34
5,5
e) 10,2 4 3,4
3
Porcentagem 
A porcentagem é uma fração de denominador 100. É comumente indicada pelo numerador da 
razão, seguido do símbolo % (lê-se: por cento). Além da forma percentual, a porcentagem também 
pode ser representada na forma fracionária ou na forma decimal.
Por exemplo:
20% 20
100
0,205 5
onde, 
20
100
20%
0,20
representação percentual
representação decimal
representação fracionária
Para calcular uma porcentagem, basta utilizarmos a representação fracionária ou decimal da 
porcentagem, multiplicando-a pela quantidade que deseja calcular, vejamos: 20%de R$ 320,00 .
20
100
320 0,20 320 R$ 64,003 5 3 5
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63
81. A baleia-azul é o maior animal do planeta terra. Quando adulta, seu comprimento pode 
chegar a 30 m e sua massa a 120 toneladas. Durante os 7 meses em que a baleia amamenta o 
seu filhote, ela perde cerca de 25% de sua massa. Com base nessa informação, quantos quilos 
de massa a baleia perde durante a amamentação? 
A baleia perde cerca de 30.000 quilogramas.
82. Veja a seguir a porcentagem de votos obtidos pelos candidatos a diretor de uma escola.
Candidato Porcentagem
Joaquim 42%
Celso 28%
Lúcia 30%
Sabendo que 300 pessoas votaram nessa eleição. Quantos votos recebeu Joaquim? 
126 votos.
83. Um aluno acertou em um exame 12 das 15 questões apresentadas. Qual foi sua 
porcentagem de acerto?
A razão entre o número de questões acertadas e o número total de questões apresentadas é:
12
15
4
5
8
10
80
100
5 5 5
Logo, 80% foi a porcentagem de acerto. Isso significa que se a prova tivesse 100 questões, o aluno teria acertado 80
questões.
84. Um vendedor tem 3% de comissão nos negócios que realiza. Qual foi a sua comissão em 
uma venda de R$ 36 000,00?
 
 
Atividades
A comissão do vendedor é 3% da venda, ou seja:
comissão 5 3% de 36 000 5 3% × 36 000 5 3
100
 ? 36 000 5 1 080
A comissão do vendedor foi de R$ 1 080,00. Calculamos o desconto a partir da porcentagem oferecida:
8% de 44700 5 8
100
 ? 44700 5 3576
Portanto o preço à vista será: R$ 44700,00 – R$ 3176,00 5 R$ 41124,00.
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64
Antes de iniciar o trabalho com a revisão de cada Unidade Temática, você encontrará um 
conjunto de páginas com orientações e atividades complementares, destinadas a tornar 
mais eficiente a aprendizagem e mais produtiva a recomposição dos pré-requisitos para 
seu melhor desenvolvimento. 
Professor
REVER E APRENDER_Unidade_2_064a112_REV8_NOVO 64REVER E APRENDER_Unidade_2_064a112_REV8_NOVO 64 08/01/24 15:0908/01/24 15:09
65
Geometria
O QUE VAMOS REVISAR 
Para ajudá-lo a melhor compreender os conceitos que serão es-
tudados e suplantar as dificuldades de aprendizagem no 7° ano, 
vamos revisar nesta unidade temática: 
• Polígonos
• Triângulos e quadriláteros 
• Poliedros
• Prismas e Pirâmides
• Planificações
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PROFESSOR
UNIDADE 2
Nesta unidade temática, o desenvolvimento das habilidades espaciais e identificação de figuras ge-
ométricas em objetos trata da percepção e observação que são necessárias a essas habilidades. O 
plano cartesiano é necessário e relevante para localizar pontos em coordenadas de polígonos, per-
mitindo a formação destes a partir de seus vértices. Os prismas e as pirâmides merecem destaque 
especial, permitindo o estudo de suas diferenças, a classificação dos polígonos de suas faces e a 
contagem do número de vértices que apresentam. 
1. Polígonos
2. Triângulos e quadriláteros
3. Poliedros: prismas e pirâmides
Desenvolvimento 
em 3 temas
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Desenvolvimento em 3 temasUNIDADE 2
Tema 1: Polígonos
Esta unidade temática é ótima para desenvolver a percepção dos alunos. Mostre como usar o 
geoplano para a construção de polígonos, evidenciando cada elemento que os compõem, como 
por exemplo lados e ângulos, suas quantidades e os tipos de ângulos formados. Use o Tangram, 
mostrando em primeiro lugar os polígonos existentes no próprio tangram para depois utilizar as 
peças para construir outras figuras que também formam polígonos. Aproveite para desenvolver a 
imaginação dos alunos nessa atividade, utilizando formas como as da imagem abaixo, que apresenta 
várias montagens com o tangram.Sh
utt
er
st
oc
k
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Desenvolvimento em 3 temasUNIDADE 2
Tema 2: Triângulos e quadriláteros
Inicie esse tema com o Tangram, como na imagem. Faça a comparação entre os triângulos e entre 
os quadriláteros ali existentes. Desta forma, os alunos perceberão que os formatos diferentes 
resultam em ângulos e lados diferentes. Após essa atividade, desafie os alunos a encontrarem em 
sala de aula triângulos e quadriláteros, fazendo o registro dessas figuras no caderno.
Sh
utt
er
st
oc
k
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Tema 3: Poliedros: prismas e pirâmides
Inicie esse tema com a videoaula “Poliedros: prismas e pirâmides”. Use sólidos geométricos para 
classificação entre prismas e pirâmides, como na imagem. Com os alunos em grupos de até 4 alunos, 
forneça blocos lógicos para que eles façam a classificação dos sólidos, percebendo a quantidade de 
arestas, vértices e faces em cada um deles. Oriente os alunos a fazer a comparação entre prismas e 
pirâmides e verificar suas diferenças, registrando-as no caderno. 
HABILIDADES TRABALHADAS NA UNIDADE TEMÁTICA
(EF06MA16) (EF06MA17) (EF06MA18) 
Sh
utt
er
st
oc
k
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Polígonos
Num plano, considere três pontos A, B e C, que não pertençam a uma mesma reta.
A
BC
Os segmentos AB , BC e AC , reunidos, formam uma linha fechada. Essa linha, mais os pontos do 
plano que são interiores a ela, forma o polígono denominado triângulo.
Os lados do triângulo ABC são os segmentos AB , BC e AC .
Observe, agora, exemplos de polígonos de quatro lados. Eles são chamados de quadriláteros.
Trapézio Paralelogramo Retângulo Quadrado Losango
O contorno dos polígonos é fechado e formado por segmentos de reta consecutivos, que são seus 
lados. Os polígonos também podem ter 5, 6 ou mais lados.
Pentágono Hexágono Heptágono Octógono Decágono
Veja, a seguir, a nomenclatura que usamos para dar nome ao polígonos.
Números de lados Nome do polígono
3 triângulo
4 quadrilátero
5 pentágono
6 hexágono
7 heptágono
8 octógono
9 eneágono
10 decágono
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Triângulos e quadriláteros
VIDEOAULA
PARA AJUDÁ-LO A COMPREENDER MELHOR ESSE CONTEÚDO, ASSISTA À VIDEOAULA. 
DEPOIS, UTILIZE O QUE APRENDEU PARA RESOLVER AS ATIVIDADES PROPOSTAS PELO 
PROFESSOR E SIGA AS ORIENTAÇÕES PARA A REALIZAÇÃO DAS ATIVIDADES.
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Triângulos
Triângulos são polígonos que têm três lados e três ângulos internos. Podemos classificá-los de 
acordo com seus lados ou com seus ângulos internos. 
Classificação de acordo com seus lados
Equilátero Isósceles Escaleno
Três lados iguais Dois lados iguais Três lados diferentes
Observe os traços nos lados dos triângulos. Esses traços indicam as igualdades ou diferenças entre 
os lados dos triângulos.
Classificação de acordo os ângulos internos
x < 90º y < 90º z < 90º x = 90º x > 90º
Acutângulo ObtusânguloRetângulo
x
y
z
x x
Soma dos ângulos internos de um triângulo
Em qualquer triângulo, a soma dos }ângulos internos é sempre igual a 180o
x + y + z = 180º x + y + z = 180º x + y + z = 180º
Acutângulo ObtusânguloRetângulo
x x
yy
x
zzz
y
Triângulos e quadriláteros
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Quadriláteros
Quadriláteros são polígonos de quatro lados. Alguns quadriláteros têm nomes e propriedades 
especiais.
Trapézio é todo quadrilátero que tem apenas dois lados paralelos.
Num quadrilátero, lados opostos são os dois lados que não têm pontos comuns. 
Os trapézios podem ser classificados de acordo com as características de seus lados ou de seus 
ângulos. Observe:
Trapézio retângulo Isósceles Escaleno
Um ângulo interno é reto Possui dois lados iguais Quatro lados diferentes
Paralelogramo é todo quadrilátero que tem lados opostos paralelos.
Observe a seguir alguns exemplos de paralelogramos.
Paralelogramo Retângulo Quadrado Losango
Paralelogramo Retângulo Quadrado Losango
Note que alguns paralelogramos, em função de suas características, recebem nomes especiais. 
• Losango é todo paralelogramo que tem os quatro lados com a mesma medida.
• Retângulo é todo paralelogramo que tem os quatro ângulos internos retos.
• Quadrado é todo paralelogramo que tem os quatro ângulos retos e os quatro lados com a mesma 
medida.
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54. Nos triângulos a seguir, colocamos as medidas de dois ângulos. Classifique-os em relação a 
essas medidas e calcule o valor do terceiro ângulo de cada um.
a) 
80°
70°
b) 
45°
90°
c) 
60°
60°
d) 
80°
20°
e) 
40°
120°
55. Considerando que em um triângulo os lados opostos a ângulos iguais são iguais, classifique 
quanto aos lados os triângulos da atividade anterior.
(a) e (e) escalenos; (b) e (d) isósceles; (c) equilátero.
56. Assinale (V) para as afirmações verdadeiras e (F) para as falsas:
a) Todo quadrado é um quadrilátero. (V)
b) Todo quadrilátero é um quadrado. (F)
c) Todo quadrado é um losango.  (V)
d) Todo losango é um quadrado. (F)
Acutângulo, 30o
Retângulo, 45o
Acutângulo, 60o
Acutângulo, 80o
obtusângulo, 20o
Atividades
53. Usando um transferidor, meça os ângulos de cada triângulo e classifique-os em retângulo, 
acutângulo ou obtusângulo.
retângulo
retângulo acutângulo obtusângulo
acutângulo
retângulo acutângulo obtusângulo
obtusângulo
retângulo acutângulo obtusângulo
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Poliedros: prismas, pirâmides e planificações
VIDEOAULA
PARA AJUDÁ-LO A COMPREENDER MELHOR ESSE CONTEÚDO, ASSISTA À VIDEOAULA. 
DEPOIS, UTILIZE O QUE APRENDEU PARA RESOLVER AS ATIVIDADES PROPOSTAS PELO 
PROFESSOR E SIGA AS ORIENTAÇÕES PARA A REALIZAÇÃO DAS ATIVIDADES.
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Poliedros são sólidos cujas faces são polígonos. O termo poliedro origina-se no grego e significa 
“muitas faces”. Por terem faces poligonais, o encontro de duas faces determina uma aresta, as ex-
tremidades de uma aresta são os vértices do poliedro.
Os elementos principais de um poliedro são:
• Face de um poliedro são os polígonos que determinam e limitam sua superfície. 
• Vértice de um poliedro é o ponto comum de 3 ou mais arestas.
• Os vértices coincidem com os vértices dos polígonos de delimitam as faces.
• Aresta de um poliedro é o lado comum de duas faces.
As arestas coincidem com os lados dos polígonos que delimitam as faces.
vértice
aresta
face
vértice
aresta
face
V
A C
B
vértice
aresta
face
Vamos estudar algumas características dos poliedros convexos. Dizemos que um poliedro é convexo 
se qualquer reta (não paralela a nenhuma de suas faces) o corta em, no máximo, dois pontos.
poliedro convexo poliedro não convexo
Veja alguns exemplos de poliedros convexos.
Um poliedro convexo é denominado poliedro regular quando todas as faces são polígonos regulares 
iguais e em todos os vértices, concorrem o mesmo número de arestas. Existem somente cinco tipos 
de poliedros regulares:
Tetraedro Hexaedro Octaedro Dodecaedro Icosaedro
Poliedros: prismas, pirâmides 
e planificações
Neste capítulo objetivamos introduzir de forma 
sistemática os conceitos de poliedros, prismas e 
pirâmides,para que os alunos percebam suas principais 
características, calculem medidas de áreas laterais a 
partir da aplicação do que aprenderam nas figuras 
planas. Sobretudo, é muito importante que o professor 
insista em fazer com que os alunos treinem o desenho 
de prismas e pirâmides vistos 
em perspectivas, como forma 
de traduzir a interpretação das 
proposições dos problemas. 
Isto será extremamente 
importante em situações 
futuras no Ensino Médio.
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O nome de um poliedro é dado pelo número de faces que ele tem. Veja nas figuras que o tetraedro 
tem quatro faces, o hexaedro tem seis e o octaedro tem oito. 
Observe a tabela:
Nome Número de faces (F) Número de Vértices (V) Número de Arestas (A)
Tetraedro 4 4 6
Hexaedro 6 8 12
Octaedro 8 6 12
Dodecaedro 12 20 30
Icosaedro 20 12 30
Existe uma relação entre o número de faces de um poliedro e o número de vértices e de arestas. 
Note que a soma do número de faces F com o número de vértices V é igual ao número de arestas 
acrescido de duas unidades. Representamos essa relação da seguinte maneira: 
F 1 V 5 A 1 2
Confira na última coluna da tabela a seguir.
Poliedro F V A F 1 V 5 A12 
Tetraedro 4 4 6 4 1 4 5 6 1 2 5 8
Hexaedro 6 8 12 6 1 8 5 12 1 2 5 14
Octaedro 8 6 12 8 1 6 5 12 1 2 5 14
Dodecaedro 12 20 30 12 1 20 5 30 1 2 5 32
Icosaedro 20 12 30 201 12 5 30 1 2 5 32
Esta relação vale também para outros poliedros, em especial para os prismas e as pirâmides. 
Prismas
O prisma é um poliedro que possui duas faces poligonais opostas, paralelas e iguais, denominadas 
bases. A distância entre as duas bases do prisma recebe o nome de altura. As demais faces de um 
prisma serão sempre paralelogramos cujos lados são segmentos que com extremidades nos vértices 
dos polígonos das bases. Todos os segmentos que têm extremidades nos vértices do prisma são 
denominados arestas. O prisma é regular quando suas bases forem polígonos regulares.
h = altura h = alturaface
lateral
base
base
aresta
vértice
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Além de ser especificado pelo polígono da base, um prisma pode ser classificado como reto, quando 
as arestas laterais são perpendiculares às bases ou oblíquo: quando não é reto;
h
h
prisma reto
pentagonal
prisma oblíquo
pentagonal
prisma reto
hexagonal regular
prisma reto
triangular
prisma reto
quadrangular
prisma reto
pentagonal
Pirâmides
Pirâmides são poliedros que possuem uma base poligonal e um vértice que 
é extremidade de todas as arestas traçadas a partir dos vértices da base. A 
distância entre o vértice o plano da base da pirâmide é a altura. As faces 
de uma pirâmide são sempre triângulos e os lados desses triângulos são 
as arestas da pirâmide. Da mesma maneira como ocorre nos prismas, a 
pirâmide é regular quando sua base for um polígono regular.
As pirâmides são também classificadas quanto ao número de lados da base. 
Uma pirâmide é reta quando as arestas laterais forem congruentes e é 
regular, quando sua base é um polígono regular e a projeção do vértice V 
sobre o plano da base coincide com o centro da base.
V
h
O
h
V
O
V
O
h
pirâmide regular
triamgular
pirâmide regular
hexagonal
pirâmide regular
quadrangular
V
h
vértice
aresta
base
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Planificações
A planificação de um sólido como um prisma, uma pirâmide, um cilindro ou um cone mostra a 
superfície lateral e as bases desse sólido. Observe os seguintes exemplos de planificações de 
sólidos e tente imaginar como seria montá-los a partir da planificação.
• Cubo
• Prisma pentagonal
• Pirâmide pentagonal
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• Cilindro
• Cone
Atividades
57. Verifique se a relação V 1 F 5 A 1 2, onde A é o número de arestas, V é o número de 
vértices e F o número de faces, é válida para:
a) Um prisma triangular
b) Uma pirâmide pentagonal
58. Considere os poliedros A, B, C, D e E.
A B C D E
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a) Preencha a tabela e verifique, na última coluna a relação V 1 F 5 A 1 2, onde V é o número de 
vértices, F o número de faces e A o número de arestas.
Poliedro V F A Verificação
A 12 8 18 12 1 8 5 18 1 2
B 6 5 9 6 1 5 5 9 1 2
C 8 6 12 8 1 6 5 12 1 2
D 10 7 15 10 1 7 5 15 1 2
E 12 8 18 12 1 8 5 18 1 2
b) Qual o número de arestas e o número de vértices de um poliedro com 6 faces quadrangulares e 
4 faces triangulares?
c) Em um poliedro convexo, o número de vértices é 8 e o número de arestas é 12. Determine o 
número de faces.
Para determinar o número de faces utilizamos a relação A 1 2 5 V 1 F
A 5 1128
V 5 8
V - A 1 F 5 2 → V 5 18 - 10 1 2 → V 5 10
Vamos inicialmente determinar o número de arestas: 6 faces quadrangulares tem 24 arestas; 4 faces triangulares tem 12 
arestas.
No total teríamos 24112 5 36 arestas. No entanto, cada aresta e contada duas vezes pois sempre e comum
a duas faces. Logo, o número de arestas será A 5 18.
Para determinar o número de vertices utilizamos a relação 
A 1 2 5 V 1 F
A 5 18
F 5 10 (6 faces quadrangulares 1 4 faces triangulares)
V - A 1 F 5 2 → V 5 18 - 10 1 2 →V 5 10
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Antes de iniciar o trabalho com a revisão de cada Unidade Temática, você encontrará um 
conjunto de páginas com orientações e atividades complementares, destinadas a tornar 
mais eficiente a aprendizagem e mais produtiva a recomposição dos pré-requisitos para 
seu melhor desenvolvimento. 
Professor
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Álgebra
O QUE VAMOS REVISAR 
Para ajudá-lo a melhor compreender os conceitos que serão es-
tudados e suplantar as dificuldades de aprendizagem no 7° ano, 
vamos revisar nesta unidade temática: 
• Relação de igualdade
• Razão
• Números proporcionais
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PROFESSOR
UNIDADE 3
A unidade temática de álgebra tem como objetivo principal consolidar o conceito de variável, bem 
como a interpretação das expressões algébricas e seu significado em linguagem matemática. Além 
disso, a unidade oferece uma introdução às equações polinomiais de primeiro grau, com ênfase na 
resolução de problemas que podem ser abordados por meio de representações dessas equações. 
Dessa forma, busca-se a ampliação e aprofundamento do conhecimento dos estudantes em temas 
algébricos, sempre mantendo o conteúdo relevante para a realidade deles. Apresentamos diversas 
situações do cotidiano para que o estudante compreenda como lidar com a resolução de problemas 
que envolvem proporcionalidade direta e inversa entre duas grandezas, aplicando razões e propor-
ções. A unidade é desenvolvida por meio de 2 temas: 
1. Relação de igualdade
2. Propriedades da igualdade
Desenvolvimento 
em 2 temas
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Desenvolvimento em 2 temasUNIDADE 5UNIDADE 3
Tema 1: Relação de igualdade
Para este tema é interessante levar uma balança para que os alunos tenham a possibilidade de 
estudar colocando objetos que podem ser, por exemplo, os blocos lógicos, que são coloridos e 
auxiliam na identificação dos elementos na igualdade. 
Outra atividade para complementar a ideia de equilíbrio é um simulador disponível no link:https://
linkja.net/simuladorigualdade. Os simuladores são bons aliados na compreensão e fixação dos 
conceitos deste tema. 
Acesso em 13 out. 2023.
Tema 2: Propriedades da igualdade
Para satisfazer a igualdade é necessário que o primeiro e o segundo membro tenham a mesma 
quantidade, como, por exemplo: 34 + 15 = 25 + 24. Assim, uma atividade a ser realizada em grupos 
com os alunos pode ser a das caixas surpresas. Serão duas caixas, uma contendo números variados 
e outra com sinais gráficos, sendo que o sinal de igual já estará presente em todas as rodadas. O 
primeiro grupo sorteia os números e os sinais gráficos, como no exemplo:
51 + 7 = 65 - 23
O grupo tem 30 segundos para dizer se a sentença é verdadeira ou falsa.
Em cada rodada, os registros são feitos no caderno para que a atividade lúdica seja de fixação e 
treino, assim como para os alunos já esclarecerem as suas dúvidas com a mediação do professor.
HABILIDADES TRABALHADAS NA UNIDADE TEMÁTICA
(EF06MA14) (EF06MA15) 
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Relação de igualdade
Em toda igualdade, podemos fazer interpretações usando operações inversas, mantendo verdadeira 
a igualdade.
Isso ocorre por causa das propriedades da igualdade, a saber: 
• Toda igualdade se mantém, ao adicionarmos ou subtrairmos uma mesma quantidade de ambos 
os lados da igualdade;
• Toda igualdade se mantém, ao multiplicarmos ou dividirmos uma mesma quantidade de ambos 
os lados da igualdade. Exceto para o número zero, pois não existe divisão por zero.
Razão
Suponha que você esteja diante de um edifício de 48 m de altura e, em frente a esse edifício exista 
uma árvore de 3 m de altura. Se desejarmos comparar a altura do edifício com a da árvore, fazemos 
uma divisão: 48 m : 3 m 5 16. 
Veja que obtivemos um número sem unidade de medida. Esse número traduz “quantas vezes” o 
edifício é mais alto que a árvore: 16 vezes. 
Poderíamos, também, fazer a divisão inversa: 3 m : 48 m 5 1
16
. Nesse caso, estamos fazendo a 
mesma comparação e podemos dizer que a altura da árvore é 16 vezes menor que a do edifício.
Quando comparamos duas grandezas através de uma divisão, estamos determinando a razão entre 
elas. 
Em linguagem matemática, podemos dizer:
Para dois racionais a e b, com b Þ 0, a razão de a para b é o quociente da divisão 
a
b
Sendo assim, podemos indicar uma razão de três maneiras diferentes:
• Pela fração a
b
• Pela indicação da divisão a:b
• Pelo quociente da divisão
• Exemplos:
• a razão de 3 para 48 pode ser indicada por 3:48 ou 3
48
1
16
5 , ou por 0,0625 a razão de 25 para 
2 pode ser indicada por 25:2 ou 25
2
, ou por 12,5
(EF06MA14) 
(EF06MA15)
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Propriedades da igualdade
Uma igualdade entre duas ou mais operações são equivalentes quando os dois resultados possuem 
o mesmo valor. Observe as duas igualdades:
100 1 60 5 160
90 1 70 5 160
Podemos dizer, então que 100 1 60 5 90 1 70 5 150
Acompanhe agora duas importantes propriedades das igualdades: 
• Se adicionarmos o mesmo número aos dois lados de uma igualdade, obtemos uma nova igualdade 
verdadeira.
100 1 60 1 10 5 170
e
90 1 70 1 10 5 170 
Logo, 100 1 60 1 10 5 90 1 70 1 10 5 170
• Se subtrairmos o mesmo número aos dois lados de uma igualdade, obtemos uma nova igualdade 
verdadeira.
100 1 60 2 10 5 150
90 1 70 2 10 5 150 
Logo, 100 1 60 2 10 5 90 1 70 2 10 5 150
Sequência de números proporcionais 
Sabrina adora fazer caminhadas pela manhã. A cada minuto de caminhada, ela perde 5 calorias. Veja 
ao final de 6 minutos de caminhada quantas calorias ela perdeu.
Tempo (minutos) Calorias perdidas
1 5
2 10
3 15
4 20
5 25
A sequência 5, 10, 15, 20, 25 é uma sequência de números proporcionais.
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59. Determine o valor de ▼ para que as igualdades sejam verdadeiras.
a) ▼ 1 18 5 20
▼ 5 2
b) 44 1 ▼ 5 52
▼ 5 2
c) 68 2 ▼5 50
▼ 5 2
d) 25 5 15 1 ▼
▼ 5 2
e) ▼ 2 12 5 18
▼ 5 2
60. A tabela indica a quantidade de quilômetros percorridos por um ônibus a cada hora de 
viagem. Complete a tabela de modo que o tempo em horas mantenha-se proporcional às 
distâncias em quilômetros percorridas nas três primeiras horas da viagem.
Tempo (horas) Calorias perdidas
1 80
2 160
3 240
4 320
5 400
6 480
7 560
8 640
Atividades
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3. Substitua os símbolos ▼ pelos sinais 1, c, × ou : para tornar verdadeiras as igualdades 
abaixo.
a) 50 ▼ 3 5 41 ▼ 6
50 – 3 5 41 1 6
b) 48 ▼ 6 5 4 ▼2
48 : 6 5 4×2
4. Resolva o seguinte desafio, calculando a soma final.
A soma final é igual a 14.
5. Escreva na forma de uma fração irredutível a razão entre:
a) 28 e 35
4
5
b) 2,5 e 7,5
1
3
6. Escreva na forma decimal a razão entre:
a) 1 e 2 b) 3 e 2
7. Qual a população de uma cidade, sabendo-se que a razão entre esta população e a do Brasil 
é 2
191
 e o último censo indicou que temos 191 milhões de habitantes em nosso país?
8. Dê a razão inversa de:
a) 5
7
b) 13
5
9. Na minha conta de poupança deposito mensalmente uma quantia cuja razão para meu 
salário é de 2 para 15. Se este mês depositei R$ 800,00, quanto é meu salário? 
800 15
2
6000
3
5
0,5 1,5
7
5
5
13
A
d
o
b
e 
St
o
ck
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84
Antes de iniciar o trabalho com a revisão de cada Unidade Temática, você encontrará um 
conjunto de páginas com orientações e atividades complementares, destinadas a tornar 
mais eficiente a aprendizagem e mais produtiva a recomposição dos pré-requisitos para 
seu melhor desenvolvimento. 
Professor
REVER E APRENDER_Unidade_2_064a112_REV8_NOVO 84REVER E APRENDER_Unidade_2_064a112_REV8_NOVO 84 08/01/24 15:0908/01/24 15:09
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Grandezas 
e medidas
O QUE VAMOS REVISAR 
Para ajudá-lo a melhor compreender os conceitos que serão es-
tudados e suplantar as dificuldades de aprendizagem no 5° ano, 
vamos revisar nesta unidade temática: 
• Ângulos
• Perímetro
• Área de figura plana
• Medidas de comprimento, área e volume
• Medidas de Massa
• Medidas de tempo
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PROFESSOR
UNIDADE 4
Nesta unidade temática, além de conhecer as unidades de medida, é importante que os alunos vi-
venciem situações e discussões que os levem a entender o conceito fundamental de medida, que 
é o de comparação com uma unidade tomada como padrão. Nas atividades constantes do livro, há 
várias situações em que os alunos são levados a comparar medidas realizadas utilizando-se padrões 
distintos, produzindo valores numéricos diferentes. Esta é uma ótima oportunidade para se introdu-
zir o conceito de unidade de medida padrão e informar os alunos sobre a importância de um sistema 
de medidas que seja comum a diversos países, pois, assim, estimula-se e regulariza-se transações co-
merciais. É importante também mostrar aos alunos que existem outras medidas, como as de compri-
mento, que são utilizadas para medir segmentos circulares. Para esta unidade, destacamos 4 temas. 
1. Ângulos
2. Medida de um ângulo
3. Perímetro de um polígono
4. Área de uma figura plana
Desenvolvimento 
em 2 temas
REVER E APRENDER_Unidade_2_064a112_REV8_NOVO 86REVER E APRENDER_Unidade_2_064a112_REV8_NOVO 86 08/01/24 15:0908/01/24 15:09
Desenvolvimento em 2 temasUNIDADE 5UNIDADE 4
Tema 1: Ângulos
Inicie este tema com a videoaula “Ângulos”. Após a videoaula, promova um desafio para os alunos: 
encontrar na sala de aula 5 objetos que apresentamângulos diferentes. Com os objetos encontrados, 
os alunos devem desenhar cada objeto, buscando os nomes desses ângulos correspondentes no 
livro do aluno.
Tema 2: Medida de um ângulo
Este tema é bem específico e necessita de material manipulável para ser realizado: esquadros 
e transferidor. Com os esquadros e o transferidor oriente os alunos a fazerem as medições dos 
ângulos dos objetos entregues em uma folha e, na sequência, ir classificando em tipos de ângulos: 
agudo, reto ou obtuso.
Tema 3: Perímetro de um polígono
O perímetro de um polígono é um tema que possibilita 
o trabalho com material manipulável, portanto, use o 
Tangram, disponível no link: https://linkja.net/Tangram 
Acesso em: 12 out 2023. A atividade realizada estará 
relacionando os polígonos com papel quadriculado. Cada 
grupo de alunos deve ter um Tangram para realizar essa 
atividade. Os alunos irão desenhar cada polígono no papel 
quadriculado para poder verificar desta forma o perímetro 
de cada um deles. Perceba que existem triângulos, um 
quadrado e um paralelogramo, permitindo uma revisão das 
diferenças entre triângulos e quadriláteros.
Tema 4: Área de uma figura plana
Neste tema podem ser usados ao menos dois materiais: blocos lógicos e Tangram. Deixe o grupo 
de alunos escolher qual material quer usar para a atividade. Fazer a medida do contorno das faces 
das figuras para calcular a área da face do sólido geométrico, mostrando aos alunos que o cálculo 
das áreas não está somente em papel, mas estão no cotidiano, como por exemplo em mosaicos de 
azulejos ou em pisos, e que estas figuras podem ser registradas no papel para possíveis cálculos.
HABILIDADES TRABALHADAS NA UNIDADE TEMÁTICA
(EF06MA24) (EF06MA25) (EF06MA26) (EF06MA27)
REVER E APRENDER_Unidade_2_064a112_REV8_NOVO 87REVER E APRENDER_Unidade_2_064a112_REV8_NOVO 87 08/01/24 15:0908/01/24 15:09
VIDEOAULA
PARA AJUDÁ-LO A COMPREENDER MELHOR ESSE CONTEÚDO, ASSISTA À VIDEOAULA. 
DEPOIS, UTILIZE O QUE APRENDEU PARA RESOLVER AS ATIVIDADES PROPOSTAS PELO 
PROFESSOR E SIGA AS ORIENTAÇÕES PARA A REALIZAÇÃO DAS ATIVIDADES.
86
Ângulos
REVER E APRENDER_Unidade_2_064a112_REV8_NOVO 86REVER E APRENDER_Unidade_2_064a112_REV8_NOVO 86 08/01/24 15:1008/01/24 15:10
87
Você, com certeza, conhece um esquadro como o da figura. Observe bem cada um dos cantos do 
esquadro. esquadro. 
C B
A
Note que o canto A é mais aberto que o canto B, e este é mais fechado que o canto C.
C B
A
Qualquer um dos cantos do esquadro nos fornece a noção de um ângulo. De forma geral, duas semir-
retas de mesma origem determinam um ângulo e essa origem comum é chamada de vértice do ângulo.
N
M
V
a
Um ângulo é uma região do plano, limitada por duas semirretas de mesma origem.
Os lados do ângulo representado na figura são e e seu vértice é V. 
Indicamos esse ângulo por N, M ou simplesmente 
Medida de um ângulo
Quando procuramos medir um ângulo, procuramos, na realidade, medir sua abertura. Compare, por 
exemplo, as aberturas dos ângulos e, do esquadro que estudamos.
A B
Ângulos
REVER E APRENDER_Unidade_2_064a112_REV8_NOVO 87REVER E APRENDER_Unidade_2_064a112_REV8_NOVO 87 08/01/24 15:1008/01/24 15:10
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A medida do ângulo A é maior que a do ângulo B, pois a abertura de A é claramente maior que a de B. 
Essa medida é dada em graus, como, por exemplo: 90° (noventa graus) e B 30° (trinta graus). Veja a 
medida dos ângulos dos esquadros que você vai utilizar daqui em diante.
60°
90°
30° 45° 45°
90°
Os ângulos desses esquadros permitem realizar construções utilizando os dois esquadros. Veja, por 
exemplo, que podemos obter o ângulo de 135° fazendo pela justaposição dos dois esquadros nos 
ângulos de 45° e 90°:
90°
45°
Existem vários instrumentos que podem ser utilizados para medir ângulos. Entre eles, o que você 
mais vai utilizar em seus estudos é o transferidor. O que apresentamos aqui mede ângulos entre 0° 
e 180°. Porém, existem outros que medem ângulos entre 0° e 360°.
E
D C
B
A
Confira a medida dos ângulos indicados:
BOA 5 27°
COA 5 70°
DOA 5 120° 
EOA 5 180°
REVER E APRENDER_Unidade_2_064a112_REV8_NOVO 88REVER E APRENDER_Unidade_2_064a112_REV8_NOVO 88 08/01/24 15:1008/01/24 15:10
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Tipos de ângulos
Os ângulos são classificados utilizando-se como referência o ângulo de 90°, que é chamado de 
ângulo reto. 
O ângulo reto pode ser observado por você ao seu redor. Ele está, por exemplo, em cada um dos 
cantos de uma sala ou nas 6 faces de um cubo, que possuem 4 ângulos retos cada uma.
E
F A
BG
D
C
H
Os ângulos menores que o ângulo reto são chamados de ângulos agudos, e os ângulos maiores que 
o reto, de ângulos obtusos. Observe as representações de ângulos a seguir:
A
O B
30º
Ângulo agudo Ângulo reto
SINAL INDICATIVO DE
ÂNGULO RETO
135º
Ângulo obtuso
Perímetro de um polígono
O perímetro de um polígono qualquer é a soma das medidas de seus lados. Esta definição vale para 
qualquer tipo de polígono. 
B
C
D
E
A
O perímetro do polígono ABCDE é simbolizado por 2p e dado por:
2p 5 AB 1 BC 1 CD 1 DE 1 EA
REVER E APRENDER_Unidade_2_064a112_REV8_NOVO 89REVER E APRENDER_Unidade_2_064a112_REV8_NOVO 89 08/01/24 15:1008/01/24 15:10
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Observe os exemplos :
• O triângulo retângulo ABC da figura tem lados que medem 3cm, 4cm e 5cm.
Seu perímetro é 2p 5 3 1 4 1 5 → 2p 5 12 cm.
• Um quadrado tem lado de medida < 5 3 cm.
3 cm
3 cm
O perímetro de um quadrado será sempre 2p 5 4 ? <, onde é seu lado. Assim, o perímetro do 
quadrado da figura é 2p 5 4 ? 3 5 12 cm.
De forma geral, se um polígono de n lados for regular e tiver lado seu < perímetro será 2p 5 n ? <
Como você pode observar, utilizamos o símbolo 2p para representar o perímetro. Dessa forma, o 
símbolo p representa a metade do perímetro ou o semiperímetro.
Área de uma figura plana
Para medirmos a área de uma figura plana 
precisamos estabelecer uma unidade de área 
para compará-la com a área que desejamos medir, 
descobrindo, assim, quantas vezes a unidade cabe 
na superfície que queremos medir.
Considere o retângulo:
Se dividirmos o comprimento e a altura em medidas 
de 1 unidade, teremos um pequeno quadrado que 
terá como área 1 unidade quadrada. Se a unidade 
for o metro, a área unitária será 1 m2, se for o centímetro, a área unitária será 1 cm2 . 
O importante é perceber que esta unidade de área será utilizada para estabelecer a área total da 
figura. 
1 unidade
1 unidade
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68. A medida do lado de cada quadradinho é 1 cm, portanto a unidade de área é 1 cm2. Observe 
a superfície ocupada pelas figuras desenhadas nesse quadriculado e calcule suas áreas.
1
2
3
69. Neste quadriculado, a medida do lado de cada quadradinho é 1 cm. Desenhe, nesse 
quadriculado, dois quadriláteros diferentes cujas áreas sejam de 24 cm2. Depois, calcule os 
perímetros iguais.
70. Com o auxílio de esquadros, construa em seu caderno os ângulos de medidas:
a) 75°
b) 120°
c) 105°
d) 15°
71. Nos dois tipos de esquadros apresentados, a soma das medidas dos três ângulos é a mesma. 
Qual o seu valor?
180o
72. Com o auxílio de um transferidor, construa em seu caderno os ângulos de medidas:
a) 70°
b) 125°
c) 100°
d) 20°
Resposta pessoal.
Resposta pessoal.
Resposta pessoal.
Atividades
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73. Calcule o valor das medidas x, y e z dos ângulos medidos no transferidor da figura a seguir.
O
y
x
z
90 80 70 60
50
40
30
20
10
0
100
110
120
130
14
0
15
0
16
0
17
0
18
0
74. Quanto medem os ângulos menores que 180° formados pelos ponteiros de um relógio 
quando este marcar:
a) 14h
60o
b) 17h
150o
c) 20h
120o
d) 7h
150o
75. Determine o perímetro de cada um dos seguintes polígonos regulares:
a) triângulo equilátero de lado 5 cm.
15 cm
b) quadrado de lado12 cm.
48 cm
c) hexágono de lado 7 cm.
42 cm
76. Resolva os seguintes problemas, fazendo um esboço da situação proposta.
a) Calcule o perímetro de uma moldura de forma retangular cuja base mede 47 cm e a altura 28 cm.
2 ? (47 1 28) 5 150 cm
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b) Um terreno retangular foi cercado totalmente com dois fios de arame paralelos em todo o 
perímetro. Para isso, foram gastos 400 metros de arame. Se a frente do terreno mede 35 m, quanto 
mede a lateral do terreno. 
Chamamos a lateral de x 
2p 5 400 : 2 → 2p 5 100
100 5 35 1 35 1 2 ? x → x 5 15 m
77. Considere cada quadradinho como unidade de medida de área. Calcule a área de cada 
figura a seguir. 
78. Cada quadrado das figuras a seguir tem área de 1 cm2. Determine a área de cada figura.
4 cm2
10 cm2 6 cm2
6 cm2
3 cm2
6 cm2
Grandezas
Grandeza é tudo o que pode ser medido: comprimento, massa, tempo, temperatura, área, volume 
e capacidade. Para medir uma grandeza de mesma natureza comparamos e verificamos quantas 
vezes uma contém a outra, observando os seguintes cuidados:
• escolher uma unidade de medida;
• comparar a grandeza com a unidade;
• expressar o resultado por números.
Os registros das medições são formados por uma parte numérica e pela unidade de medida. As 
unidades de medida são siglas utilizadas para representar quantidades específicas de determinadas 
grandezas físicas.
Todas as unidades de medida padrão são definidas pelo Sistema Métrico Internacional (SI), mas 
podemos utilizar partes do corpo para realizar algumas medições.
EF06MA24
REVER E APRENDER_Unidade_2_064a112_REV8_NOVO 93REVER E APRENDER_Unidade_2_064a112_REV8_NOVO 93 08/01/24 15:1008/01/24 15:10
VIDEOAULA
PARA AJUDÁ-LO A COMPREENDER MELHOR ESSE CONTEÚDO, ASSISTA À VIDEOAULA. 
DEPOIS, UTILIZE O QUE APRENDEU PARA RESOLVER AS ATIVIDADES PROPOSTAS PELO 
PROFESSOR E SIGA AS ORIENTAÇÕES PARA A REALIZAÇÃO DAS ATIVIDADES.
94
Medidas de comprimento, área e volume
REVER E APRENDER_Unidade_2_064a112_REV8_NOVO 94REVER E APRENDER_Unidade_2_064a112_REV8_NOVO 94 08/01/24 15:1008/01/24 15:10
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Comprimento
Trata-se da grandeza física que expressa a distância percorrida entre dois pontos. A unidade de 
medida de comprimento é o metro (SI) e seu símbolo é m.
Área é a medida de uma superfície plana, relacionando duas dimensões, por isso sua unidade de 
medida é o metro quadrado (SI), m².
Múltiplos Unidade 
fundamental Submúltiplos
quilômetro
km
1 000 m
hectômetro
hm
100 m
decâmetro
dam
10 m
metro
m
1 m
decímetro
dm
0,1 m
centímetro
cm
0,01 m
milímetro 
mm 
0,001 m
10 10 10 10 10 10
km hm dam m dm cm mm
Para as medidas de área, os múltiplos e submúltiplos de m² têm relação em 100 vezes.
100 100 100 100 100 100
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2
Volume e capacidade
Volume é o espaço ocupado por um corpo ou a capacidade que ele tem de comportar alguma 
substância. Está associado a três dimensões, a destacar: metro cúbico – m³ – e litro – L.
10 cm
10 cm
10 cm 1 litro
Múltiplos Unidade 
fundamental Submúltiplos
quilômetro hectômetro decâmetro metro decímetro centímetro milímetro
cúbico cúbico cúbico cúbico cúbico cúbico cúbico
km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3
1 000 000 000 
m3
1 000 000 
m3
1 000 m3 1 m3 0,001 m3 0,000001 m3 0,000000001 m3
1 cm³ 5 1 L
1 m³ 5 1 000 L 
1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000
km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3
Medidas de comprimento, 
área e volume
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Massa
A massa de um corpo é a medida da quantidade de matéria que ele contém, tenho como unidade 
de medida o quilograma – kg (SI).
Múltiplos Unidade 
fundamental Submúltiplos
quilograma
kg
1000 g
hectograma
hg
100 g
decagrama
dag
10 g
grama
g
1 g
decigrama
dg
0,1 g
centigrama
cg
0,01 g
miligrama
mg
0,001 g
Tempo
Para medir o tempo, os antigos utilizavam algum fenômeno periódico, isto é, algo que se repetia em 
determinados intervalos de tempo. Assim, esse intervalo era utilizado como unidade de medida. 
Atualmente, medimos o tempo utilizando horas, minutos, segundos, dias, semanas, meses, anos, 
séculos etc.
Assim:
• 1 minuto tem 60 segundos;
• 1 hora tem 60 minutos;
• 1 dia tem 24 horas;
• 1 ano tem 12 meses;
• Os meses de abril, junho, setembro e novembro têm 30 dias;
• Os meses de janeiro, março, maio, julho, agosto, outubro e dezembro têm 31 dias;
• Fevereiro tem 28 dias em anos não bissextos e 29 dias nos anos bissextos;
• Uma década tem 10 anos;
• Um século tem 100 anos;
• Um milênio tem 1 000 anos.
Atividades
79. A cordilheira do Himalaia localiza-se entre a Índia e o Paquistão, passando pela região do 
Tibete, na China. Nela estão localizadas as dez montanhas mais altas do nosso planeta, das 
REVER E APRENDER_Unidade_2_064a112_REV8_NOVO 96REVER E APRENDER_Unidade_2_064a112_REV8_NOVO 96 08/01/24 15:1008/01/24 15:10
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quais a mais alta é o monte Everest. Na tabela a seguir, estão as alturas das dez montanhas 
mais altas da Terra em metros e em pés.
Monte Everest
K2
Kangchenjunga
Lhotse
Makalu
8 848
8 611
8 586
8 516
8 485
Montanha
Altitude
(m)
Cho Oyu
Dhaulagiri
8 188
8 167
1
2
3
4
5
Ordem
6
7
Manaslu 8 163
Nanga Parbat
Annapurna I
8 125
8 091
29 028
28 251
28 169
27 940
27 838
Altitude
(pés)
26 864
26 795
26 781
26 657
26 545
8
9
10
A partir dos dados da tabela, responda com valores aproximados:
a) Quanto mede em metros e em centímetros 1 pé?
0,305 m ou 30,5 cm
b) Qual a diferença, em metros, entre as altitudes do Monte Everest e do pico K2, o segundo mais 
alto do mundo?
237 m
80. Um campo de futebol tem 105 m de comprimento e 70 m de largura. Quantos campos de 
futebol cabem em um terreno plano de 22 050 m2?
3 campos de futebol.
REVER E APRENDER_Unidade_2_064a112_REV8_NOVO 97REVER E APRENDER_Unidade_2_064a112_REV8_NOVO 97 08/01/24 15:1008/01/24 15:10
98
81. Para produzir 3 000 livros de 32 páginas cada um, foram utilizados 384 kg de papel. Qual é, 
aproximadamente, a massa, em gramas, de cada página do livro?
4 g
82. Dados de uma empresa responsável pelo tratamento da água em uma grande cidade 
indicam que uma torneira desregulada e gotejando desperdiça, em média, 45 litros de água 
por dia. Responda:
a) Quantos litros de água são desperdiçados por mês por uma torneira gotejando?
1 350 L
b) Quantos metros cúbicos são perdidos em um mês por essa torneira gotejando?
1,35 m3
83. No setor agropecuário, é muito comum se utilizar como unidade de massa a arroba, que 
equivale a 15 kg. Responda:
a) Quantas arrobas pesa uma vaca de 450 kg?
30 arrobas
b) Quantos quilogramas pesa um bezerro de 12 arrobas?
180 kg.
REVER E APRENDER_Unidade_2_064a112_REV8_NOVO 98REVER E APRENDER_Unidade_2_064a112_REV8_NOVO 98 08/01/24 15:1008/01/24 15:10
99
84. Luanda é a capital de Angola, país africano cuja língua oficial é o português. Quando em 
Brasília é meio-dia, em Luanda são 16h, ou 4h da tarde. O dia 31 de dezembro do ano de 
2022, às 23h 40min, em Brasília, correspondeu a que dia, mês, ano e hora em Luanda?
1 de janeiro de 2023, às 3 h 40 min
85. O texto a seguir é um trecho de uma notícia publicada na versão eletrônica da revista Veja. 
Leia com atenção. 
Temperatura da Terra em 2018 foi a quarta 
mais alta em 140 anos
A temperatura média da superfície da Terra em 2018 
foi a quarta mais alta em quase 140 anos, segundo 
estudos feitos pela Nasa e pela Administração Oceânica 
e Atmosférica Nacional (Noaa, na sigla em inglês), dos 
Estados Unidos. No ano passado, houve aumento de 0,83 
°C em relação à média da temperatura entre 1951 e 1980. 
Quando as pessoas leem somente esse trecho da notícia, 
o aumento de 0,83 °C não desperta atenção ou estado de 
alerta, uma vez que representa menos do que 1 °C, e isso 
não parece ser um aumento significativo, se comparado 
comas variações de temperatura em um mesmo dia nas 
nossas cidades. Entretanto uma variação de mais do que 
1,5 °C, na temperatura média da superfície da Terra, pode 
produzir tsunamis capazes de fazer desaparecer cidades 
litorâneas, provocar ondas de calor capazes de derreter 
geleiras e mudar drasticamente os ecossistemas, causando 
a extinção de várias espécies de animais e plantas. 
A partir da leitura, assinale a alternativa certa.
a) O aumento da temperatura média da Terra aconteceu ao longo de 140 anos. 
b) O intervalo de tempo, entre os anos 1951 e 1980, foi de 39 anos. 
c) A variação de temperatura entre 0,83 °C e 1,5 °C é igual a 0,67 °C. 
d) Os estudos da Nasa e da Noaa começaram por volta do ano 1880.
REVER E APRENDER_Unidade_2_064a112_REV8_NOVO 99REVER E APRENDER_Unidade_2_064a112_REV8_NOVO 99 08/01/24 15:1008/01/24 15:10
100
Antes de iniciar o trabalho com a revisão de cada Unidade Temática, você encontrará um 
conjunto de páginas com orientações e atividades complementares, destinadas a tornar 
mais eficiente a aprendizagem e mais produtiva a recomposição dos pré-requisitos para 
seu melhor desenvolvimento. 
Professor
REVER E APRENDER_Unidade_2_064a112_REV8_NOVO 100REVER E APRENDER_Unidade_2_064a112_REV8_NOVO 100 08/01/24 15:1008/01/24 15:10
101
Probabilidade 
e estatística
O QUE VAMOS REVISAR 
Para ajudá-lo a melhor compreender os conceitos que serão es-
tudados e suplantar as dificuldades de aprendizagem no 6° ano, 
vamos revisar nesta unidade temática: 
• Conceitos básicos de Estatística
• Tabelas e gráficos
• Gráficos de barras e de colunas
• Probabilidade de evento aleatório
REVER E APRENDER_Unidade_2_064a112_REV8_NOVO 101REVER E APRENDER_Unidade_2_064a112_REV8_NOVO 101 08/01/24 15:1008/01/24 15:10
UNIDADE 5
PROFESSOR
A probabilidade e a estatística fazem parte da vida das pessoas, manifestando-se por meio de grá-
ficos, pesquisas, informações, jogos e, principalmente, na mídia. Sendo assim, o trabalho com esses 
temas colabora no sentido de capacitar os alunos para a observação de notícias veiculadas e acon-
tecimentos relatados. Essa unidade temática enfatiza a leitura e a interpretação de gráficos, possibi-
litando uma interação com esses elementos não somente de decodificação, mas também de atuação 
no contexto em que o indivíduo está inserido. Ao trabalhar os conteúdos de probabilidade, mostre 
aos alunos que o cálculo de probabilidades em eventos aleatórios disponibiliza dados organizados 
em tabelas e que é possível, a partir dessas tabelas, construir gráficos que espelham a situação que 
produziu os dados. 
1. A estatística
2. Probabilidade de um evento aleatório
3. Noções de probabilidade
Desenvolvimento 
em 3 temas
REVER E APRENDER_Unidade_2_064a112_REV8_NOVO 102REVER E APRENDER_Unidade_2_064a112_REV8_NOVO 102 08/01/24 15:1008/01/24 15:10
Desenvolvimento em 3 temasUNIDADE 5
Tema 1: A estatística
Este tema necessita muito do senso investigativo. Sendo assim, para representar bem a estatística, 
é necessário fazer uma coleta de dados para organização e posterior representação em forma de 
gráfico.
Peça aos alunos para entrevistarem 3 pessoas sobre brincadeiras de infância.
Com esses dados de todos os alunos, organizar as informações tal qual a tabela a seguir:
Nome Brincadeira 1 Brincadeira 2 Brincadeira 3 Brincadeira 4
As colunas das brincadeiras podem aumentar ou diminuir dependendo dos dados coletados.
Com a tabela pronta, é só usar os dados para construção, por exemplo, de um gráfico de colunas.
Tema 2: Probabilidade de um evento aleatório
Para desenvolver o cálculo de probabilidade, tendo vários números é possível usar alguns critérios 
em cada evento. Uma sugestão é preparar cartões numerados e realizar exercícios com os alunos.
Exemplo: números de 1 a 20. 
Qual a probabilidade de sair no sorteio um cartão que seja par?
Total: 20.
Pares: 10.
Então 10 de 20 = 10/20.
Qual a probabilidade de sair no sorteio um cartão que seja número primo?
Total: 20.
Primos: 8 (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, e 19).
Então 8 de 20 = 8/20.
Para este tema, pode também ser feito um experimento de probabilidade com bolinhas ou cartões 
coloridos para serem retirados da caixa. É necessário saber quantas bolinhas ou cartões há na caixa 
no total, assim como a quantidade de bolinhas ou cartões de cada cor.
Tema 3: Noções de probabilidade
Oriente os alunos a pesquisar gráficos das últimas eleições realizadas na cidade ou no estado e 
assim fazer a comparação das informações ali expostas, percebendo, dessa forma, a evolução dos 
votos e mudança de opinião das pessoas.
HABILIDADES TRABALHADAS NA UNIDADE TEMÁTICA
(EF06MA30) (EF06MA31) (EF06MA32) (EF06MA33) (EF06MA34)
REVER E APRENDER_Unidade_2_064a112_REV8_NOVO 103REVER E APRENDER_Unidade_2_064a112_REV8_NOVO 103 08/01/24 15:1008/01/24 15:10
102
A estatística
A estatística é o campo da Matemática que relaciona fatos e números em que há um conjunto de 
métodos que nos possibilita coletar dados e analisá-los, tornando possível realizar interpretações 
e compreender muitos aspectos e situações da vida cotidiana, intervir nelas, tomar decisões diante 
de muitos problemas do dia a dia, calcular, medir, raciocinar, argumentar ou lidar com informações. 
As variáveis de um estudo estatístico são os valores que assumem características. Estas podem ser 
qualitativas ou quantitativas.
• As variáveis qualitativas não podem ser expressas numericamente, pois relacionam situações 
como a cor da pele, cor dos olhos, marca de refrigerante, marca de automóvel, preferência musical, 
entre outras.
• As variáveis quantitativas são representadas numericamente: número de revistas vendidas, 
consultas médicas, número de filhos de um casal, peso de um produto, altura dos estudantes de 
uma escola, velocidade de objetos, entre outras.
Tabelas e gráficos
As tabelas são produzidas dispondo-se os dados em linhas e colunas, de tal maneira que se possa 
observar a relação entre eles. Além das informações, uma tabela deve ter o título e a nomenclatura 
das informações.
As tabelas são práticas, mas nem sempre são eficazes, principalmente quando a quantidade de 
dados é grande. Vamos fazer um exercício analisando os dados de vendas mensais de determinada 
mercadoria ao longo de um ano.
Meses J F M A M J J A S O N D
Vendas 24 30 50 16 60 20 32 18 40 30 40 40
Os gráficos são elaborados a partir de tabelas, pois elas facilitam a inserção dos dados. Os gráficos 
devem ter título, legenda, rótulos dos eixos e de dados.
São úteis para mostrar alterações de dados durante um período ou para ilustrar a comparação entre 
itens. As categorias são geralmente organizadas ao longo do eixo horizontal e os valores ao longo 
do eixo vertical. No caso da tabela de vendas mensais acima, podemos, a partir dela, construir um 
gráfico de colunas em que, independentemente de sabermos o tipo de mercadoria, se observa que:
• houve queda nas vendas: de março para abril, de maio para junho, de julho para agosto e de 
setembro para outubro;
• não houve variação nas vendas no período dos meses de novembro e dezembro;
• o “pico” de vendas correu no mês de maio;
• no mês de abril as vendas tiveram resultado mais baixo.
EF06MA31, EF06MA32 e EF06MA33
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103
Não foi difícil chegar a estas conclusões analisando a tabela, mas, se os mesmos dados fossem 
representados graficamente, a informação seria obtida visualmente e quase que imediatamente.
Grá�co de colunas associado à tabela de vendas
Vendas Mensais
1
0
10
20
30
40
50
60
70
Imagine um período mais longo, de 5 anos, por exemplo. Fica mais trabalhoso obter dados de 
uma tabela com 60 linhas ou colunas. Os gráficos são mais eficazes para transmitir informações 
visualmente.
Gráfico de colunas e barras
São úteis para mostrar alterações de dados durante um período ou para ilustrar a comparação entre 
itens. As categorias são geralmenteorganizadas ao longo do eixo horizontal e os valores ao longo 
do eixo vertical.
Disciplina Favorita
Alunos de 6º ano
Legenda
0
3
6
9
12
15
18
21
Educação física
Matemática
Português
Ciências
História
Geogra�a
Inglês
Consumo de energia no últimos 7 meses
0 50 100
240
120
180
110
80
40
80
150 200 250 300
Março
Abril
Maio
Junho
Julho
Agosto
Setembro
Consumo em kWh
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104
Gráfico de setores
Esse tipo de gráfico é representado por setores circulares e seus dados devem ser dados em 
porcentagem. É indicado para analisar e comparar categorias de dados em relação ao todo. Observe 
o exemplo.
INVESTIMENTOS EM SECRETARIAS ESTADUAIS - 2022
8,847,57
4,43
3,89
3,28
11,02
Educação
Saúde
Saneamento
Segurança
Transportes
Justiça
Valores em R$ bilhões
O gráfico de setores é bastante utilizado pelos meios de comunicação para comparar visualmente 
categorias distintas. Os ângulos centrais de cada setor devem ser proporcionais às frequências, e 
a soma dos ângulos deve ser 360º. Veja como podemos representar os dados da tabela de vendas 
dada anteriormente por meio de um gráfico de setores, em que cada “fatia” ocupa uma porção do 
círculo, proporcional à sua participação no todo.
Gráfico de setores associado à tabela de vendas.
Vendas Mensais
J F M A M J J A S O N D
Nesse caso, a maior fatia corresponde ao mês de maio, pois nele ocorreu a venda de 60 das 400 
mercadorias vendidas anualmente. Observe que 60 representa 15% de 400. O ângulo de cada 
setor é definido por uma regra de três: 60 está para 400 assim como 15 está para 100; 15% da volta 
completa de 360° equivale a 54°.
Fonte: Secretaria de 
parcerias em investimentos - 
Governo de São Paulo, 2022
REVER E APRENDER_Unidade_2_064a112_REV8_NOVO 104REVER E APRENDER_Unidade_2_064a112_REV8_NOVO 104 08/01/24 15:1008/01/24 15:10
105
Probabilidade de um evento 
aleatório
Um evento aleatório pode ser entendido como um fenômeno que, ao ser repetido várias vezes de 
forma semelhante, apresenta resultados imprevisíveis. Quando falamos da chance de ocorrer um 
evento aleatório, estamos determinando a probabilidade de que ele ocorra, mas isso não implica 
que certamente ocorrerá.
São exemplos de eventos aleatórios: lançamento de dados, lançamentos de moedas, carta de um 
baralho, escolha de uma pessoa ou objeto específico, entre outros.
Noções de probabilidade
Carol está brincando de retirar bolinhas coloridas de um pote. Ela quer adivinhar a cor da bolinha 
ao retirá-la sem olhar.
Não é possível saber, com certeza, qual a cor da bolinha que Carol vai retirar. Para medir uma 
chance, utilizamos a probabilidade, que pode ser indicada assim:
• A chance de sair uma bolinha vermelha é de 2 em 6 ou 2
6
 .
• A chance de sair uma bolinha verde é de 2 em 6 ou 2
6 .
• A chance de sair uma bolinha amarela é de 1 em 6 ou 1
6
 .
• A chance de sair uma bolinha azul é de 1 em 6 ou 1
6
.
Como a chance de sair uma bolinha vermelha é a mesma de sair uma bolinha verde, dizemos que 
essas chances são equiprováveis. O mesmo acontece com a chance de sair uma bolinha amarela ou 
azul.
EF06MA30
EF05MA22 e EF05MA23
REVER E APRENDER_Unidade_2_064a112_REV8_NOVO 105REVER E APRENDER_Unidade_2_064a112_REV8_NOVO 105 08/01/24 15:1008/01/24 15:10
106
86. Na escola Mundo Mágico foi feita uma eleição para escolher o representante de classe. Veja 
na tabela quais estudantes receberam votos e a quantidade de votos de cada um.
Pedro
Luísa
Carlos
Carolina
Antônio
Candidato
Pedro
Luísa
Carlos
Carolina
Antônio
VOTO
Pedro
Luísa
Carlos
Carolina
Antônio
VOTO
Pedro
Luísa
Carlos
Carolina
Antônio
VOTO
Pedro
Luísa
Carlos
Carolina
Antônio
VOTO
Pedro
Luísa
Carlos
Carolina
Antônio
VOTO
Pedro
Luísa
Carlos
Carolina
Antônio
VOTO
Pedro
Luísa
Carlos
Carolina
Antônio
VOTO
Pedro
Luísa
Carlos
Carolina
Antônio
VOTO
Pedro
Luísa
Carlos
Carolina
Antônio
VOTO
Pedro
Luísa
Carlos
Carolina
Antônio
VOTO
Pedro
Luísa
Carlos
Carolina
Antônio
VOTO
Pedro
Luísa
Carlos
Carolina
Antônio
VOTO
Pedro
Luísa
Carlos
Carolina
Antônio
VOTO
Pedro
Luísa
Carlos
Carolina
Antônio
VOTO
Pedro
Luísa
Carlos
Carolina
Antônio
VOTO
Pedro
Luísa
Carlos
Carolina
Antônio
VOTO
Pedro
Luísa
Carlos
Carolina
Antônio
VOTO
Pedro
Luísa
Carlos
Carolina
Antônio
VOTO
Pedro
Luísa
Carlos
Carolina
Antônio
VOTO
Pedro
Luísa
Carlos
Carolina
Antônio
VOTO
Pedro
Luísa
Carlos
Carolina
Antônio
VOTO
Pedro
Luísa
Carlos
Carolina
Antônio
VOTO
Número de votos
a) Quantos votos recebeu cada candidato a representante de sala?
Pedro: 5 votos; Luísa: 6 votos; Carlos: 4 votos; Carolina: 3 votos; Antônio: 4 votos.
b) Quem ganhou a eleição para representante de sala? 
Luísa.
c) A turma toda tem 25 estudantes. Quantos não votaram? 
3 estudantes.
Atividades
REVER E APRENDER_Unidade_2_064a112_REV8_NOVO 106REVER E APRENDER_Unidade_2_064a112_REV8_NOVO 106 08/01/24 15:1008/01/24 15:10
107
87. Uma campanha para arrecadação de leite foi realizada na escola de Carol. Veja a quantidade 
de leite arrecadada nesta semana. Uma representa 10 litros de leite.
2a-feira
3a-feira
4a-feira
5a-feira
6a-feira
Dias da Semana Quantidade de litros de leite
Sábado
Domingo
a) Quantos litros de leite foram arrecadados na segunda-feira?
50 litros.
b) Em que dia da semana houve mais arrecadações?
Quarta-feira.
c) Qual o total de litros de leite arrecadado?
430 litros.
88. A professora de Lucas fez uma pesquisa sobre o esporte preferido da turma. O resultado 
está representado na tabela a seguir.
Futebol
Basquete
Vôlei
Ginástica artística
Handebol
10
7
8
5
6
Esporte Número de alunos
REVER E APRENDER_Unidade_2_064a112_REV8_NOVO 107REVER E APRENDER_Unidade_2_064a112_REV8_NOVO 107 08/01/24 15:1008/01/24 15:10
108
E um gráfico com esse resultado foi apresentado à turma.
Futebol
Basquete
Vôlei
Ginástica artística
Handebol
Esporte
Quantidade
de alunos0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
a) Qual o esporte favorito da turma?
Futebol.
b) Quantos votos teve o vôlei?
8 votos.
c) Quantos estudantes foram entrevistados?
36 estudantes.
89. Pedro e Raul brincam de retirar bolinhas da caixa 
com os olhos vendados.
a) Qual cor de bolinhas tem mais chance de ser sorteada? 
Vermelha.
b) Qual a probabilidade de sair uma bolinha preta? 
2 em 19 ou 
2
9 .
c) Quais cores de bolinha tem a mesma probabilidade de 
sair? 
Amarela e verde.
d) Quais cores de bolinha são equiprováveis? 
Verde e amarela.
D
aw
id
so
n 
Fr
an
ça
REVER E APRENDER_Unidade_2_064a112_REV8_NOVO 108REVER E APRENDER_Unidade_2_064a112_REV8_NOVO 108 08/01/24 15:1008/01/24 15:10
109
90. Observe a roleta. 
1
2
3 4
1 1
5 5
4 4
Calcule a probabilidade de:
a) Sair o número 1. 
3 em 10 ou 
3
10 .
b) Sair o número 5? 
2 em 10 ou 
2
10 .
c) Sair o número 3? 
1 em 10 ou 
1
10 .
d) Quais números têm a mesma chance de sair? 
1 e 4; 2 e 3.
91. Dentro de uma caixa foram colocadas 4 bolinhas amarelas, uma bolinha vermelha e uma 
bolinha azul. 
a) Qual a probabilidade de sair uma bolinha amarela?
4 em 6 ou 
4
6 .
b) Quais cores de bolinha são equiprováveis? Qual é a probabilidade?
Azul e vermelha. 1 em 6 ou 
1
6 .
D
aw
id
so
n 
Fr
an
ça
D
aw
id
so
n 
Fr
an
ça
REVER E APRENDER_Unidade_2_064a112_REV8_NOVO 109REVER E APRENDER_Unidade_2_064a112_REV8_NOVO 109 08/01/24 15:1008/01/24 15:10
110
92. A tabela a seguir indica a quantidade de clientes que visitam um shopping center em um dia 
em que ele fica aberto até as 24 horas.
Da abertura até 12h
Após as 12h até 14h
Após as 14h até 16h
Após as 16h até 18h
Após as 18h até 20h
700
950
1 350
1 450
1 250
Horários de funcionamento Clientes
Total 7 050
Após as 20h até 22h
Após as 22h até 24h
900
450
Analise os dados da tabela e responda:
a) Qual o horário em que mais clientes entraram no shopping?
Entre 16 h e 18 h.
b) Sabendo que cada cliente gastou em médiaR$ 80,00 em sua visita ao shopping, qual o 
faturamento médio do estabelecimento ao final do dia?
R$ 564 000
93. A prefeitura de uma pequena cidade apresentou um gráfico com a distribuição da 
população organizada por faixa etária. Os critérios usados foram: crianças (até 12 anos), 
jovens (de 12 anos a 21 anos), adultos (de 21 anos até 60 anos) e idosos (mais de 60 anos). 
Observe o gráfico.
Distribuição da população
Faixa etáriacrianças jovens adultos idosos
0
10
20
30
40
50
a) Quantos habitantes na faixa etária de jovens e de adultos há nessa cidade?
Cerca de 53 mil habitantes.
REVER E APRENDER_Unidade_2_064a112_REV8_NOVO 110REVER E APRENDER_Unidade_2_064a112_REV8_NOVO 110 08/01/24 15:1008/01/24 15:10
111
b) Qual a diferença entre a população de adultos e idosos?
27 mil habitantes
94. Uma pesquisa realizada em uma turma de 6° ano de uma escola municipal pedia que cada 
estudantes respondesse a uma pergunta sobre a fruta de que mais gosta. O resultado 
obtido está representado no gráfico a seguir.
N
º 
d
e 
al
u
n
o
s
Fruta preferida
Morango Maçã Laranja Uva
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Outras
Analise o gráfico e responda:
a) Qual a fruta mais indicada?
Maçã.
b) Quantos estudantes preferem a fruta mais indicada?
10.
c) Quantos estudantes tem a turma que respondeu a pesquisa?
24 estudantes.
95. O gráfico a seguir mostra o Produto Interno Bruto (PIB) de cada um dos 5 países que 
participavam da organização em 2012. 
PIB dos países do Mercosul (PPP) - 2012
(US$ bilhões e % no total)
Argentina
Brasil
Paraguai
Uruguai
Venezuela
2.333,9
65,5%
40,4
1,1%
53,6
1,5%
397,9
11,2%
735,1
20,6%
Observe que o gráfico indica a participação percentual e o valor em bilhões de dólares que cada 
participação representa. Sendo assim, responda:
Fonte: FMIL e Cepal - Austin 
Rating Report - 2013
REVER E APRENDER_Unidade_2_064a112_REV8_NOVO 111REVER E APRENDER_Unidade_2_064a112_REV8_NOVO 111 08/01/24 15:1008/01/24 15:10
112
a) Qual o país de maior participação?
Brasil, com 65,5%.
b) Quais os países com menor participação?
Paraguai e Uruguai.
c) Qual é o valor total do PIB do Mercosul nesta ocasião?
US$ 3 569,9 bilhões ou US$ 3,6 trilhões.
96. Retirando-se uma carta ao acaso de um baralho comum com 52 cartas, qual a probabilidade 
de essa carta ser:
a) uma dama? b) uma dama ou um rei?
97. Qual é a probabilidade de, no lançamento de duas moedas, obtermos resultados iguais? 
Faça uma tabela para facilitar a resolução. 
50% ou 1
2
98. Qual é a probabilidade de se sortear uma bola que não seja branca ao se retirar esta bola de 
uma urna que contém 6 bolas brancas, 2 azuis 4 amarelas?
99. Um restaurante oferece refeições que são servidas com uma entrada, um prato principal e 
uma sobremesa. Observe o quadro a seguir com as opções do restaurante e responda qual a 
probabilidade de escolher uma refeição e comer feijoada como prato principal.
• canja
• salada
• feijoada
• mocotó
• carne com batatas
Entrada Prato principal
• sorvete
• bolo
Sobremesa
1
3
2
13
1
2
P(A) = 1
3
REVER E APRENDER_Unidade_2_064a112_REV8_NOVO 112REVER E APRENDER_Unidade_2_064a112_REV8_NOVO 112 08/01/24 15:1008/01/24 15:10
MATEMÁTICA
Fundamental anos finais
7° ANO
M
A
TETM
Á
TIC
A
7° A
N
O
PROFESSOR
CAPAS_LOMBADA_MATEMATICA_PROFESSOR.indd 6CAPAS_LOMBADA_MATEMATICA_PROFESSOR.indd 6 27/12/23 15:3327/12/23 15:33
	REVER E APRENDER_MAT_7ANO_INICIAIS_PROFESSOR_001_005_REV8
	REVER E APRENDER_Unidade_1_006a063_REV8_NOVO
	REVER E APRENDER_Unidade_2_064a112_REV8_NOVO