Corpos e subcorpo

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1. Referencias Bibliográficas Dança. Superintendência de Educação a Distância. 
1. Joseph Nee Anyah Yartey. 2017, II\Álgebra II : UFBA, Instituto de Matemática e 
Estatística; Superintendência de Educação a Distância. 
2.Gustavo,2021. Instituto Federal do Norte de Minas (site:youtube.com) 
 
FICHA DE APOIO 
Cd: Edson Samuel Manhoso 
1. Corpo 
Definição: se (A, +, .) é um anel comutativo com identidade e u(A)=A* (ou seja, todo 
elemento não nulo em A, possui inverso multiplicativo) dizemos que A é um corpo. 
Exemplo: 
 são corpos. , não é um corpo pois por exemplo 2 0 tem não 
inverso multiplicativo. 
 ,√ - não é um corpo, pois ,√ - 
2.1. Proposição 1 
Todo corpo é um anel de integridade 
 Demonstração 
Seja A um corpo, logo A é um anel comutativo com identidade 1 onde todo elemento 
não-nulo possui inverso multiplicativo. Sendo assim, tome com 
 Assim ( ) ( ) 
2.2. Proposição 2 
Todo anel de integridade finito com mais de um elemento é um corpo 
 Demonstração 
Prova: Seja A um domínio de integridade finito com mais de um elemento. Logo, existe 
a tal que . Vamos mostrar que a possui inverso multiplicativo. Considere 
todas as potências de : 
 
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1. Joseph Nee Anyah Yartey. 2017, II\Álgebra II : UFBA, Instituto de Matemática e 
Estatística; Superintendência de Educação a Distância. 
2.Gustavo,2021. Instituto Federal do Norte de Minas (site:youtube.com) 
 
Como A é finito essas potências não podem ser destintas, ou seja, existem inteiros 
positivos ( ) tais que ( ) por hipótese, é um 
domínio, logo ou , mas portanto 
 e é o inverso multiplicativo de ( ) 
2.3.Proposição 3 
 é um corpo se, e somente se, é primo 
 Demonstração 
( ) se é um corpo, então ( ) para todo * +. Logo 
 ( ) é primo. 
( ) sabemos que se é primo, então é um domínio de integridade. 
2.4. Propriedades dos corpos (Forma simplificada das proposições) (A, +, .) : 
i. Associatividade da adição 
( ) ( ) 
ii. Existência de elemento neutro na adição 
 tal que 
iii. Existência de inverso aditivo 
 tal que 
iv. Comutatividade na adição 
 
Obs. chegado até esse ponto das propriedades concluímos que o corpo, primeiro deve 
ser grupo abeliano, não se esquecendo da ‘operação fechada’ que deve ser satisfeita 
também. 
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v. Associativa em relação a multiplicação 
 ( ) ( ) 
vi. Distributiva na Multiplicação em relação a adição (A direita e esquerda ) 
( ) 
 ( ) 
Obs. Se essas todas propriedades forem satisfeitas, teremos um anel. 
vii. Comutatividade em relação a multiplicação 
 
viii. Existência de elemento neutro (elemento unidade) 
 tal 
ix. Existência de inverso Multiplicativo 
 * + tal que 
Obs. Finalmente teremos um ‘’corpo’’, caso essas todas operações forem 
completamente satisfeitas. 
Exemplo: Considere as operações ( *, ) definidas por : 
 e 
 
 
, Mostre que é um corpo 
Operação fechada, seja: 
 e 
 
 
 , logo é fechada porque qualquer operação 
que ser feita vai pertencer ao conjunto. 
Associatividade em relação adição 
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( ) ( )=( ) ( ) 
 
Logo é associativa 
Elemento neutro 
 
 e 
 
 
Elementos simetrizáveis 
 
 
 
Comutatividade 
 
 
Associativa em relação a multiplicação 
 
 
 
 ( ) ( ) 
 . 
 
 
/ . 
 
 
/ 
 
 
 
 
 . 
 
 /
 
 
 
 
 
 ( 
 
 )
 
 
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Então: ( ) ( ) 
Distribuitividade em relação a soma , 
 
 
 
( ) ( ) 
( ) 
( ) . 
 
 
/ . 
 
 
/ 
 
 ( )
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 ( )
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Comutativa em relação a multiplicação 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Elemento neutro em relação a multiplicação 
 
 
 
 
 
 
i. Existência de inverso Multiplicativo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo é um corpo. 
2. Subcorpo 
Definição: seja ( ) um corpo, um subconjunto não vazio de é chamado 
subcorpo de se é fechado para adição e multiplicação de , se também é uma 
estrutura de corpo. 
Exemplo: 
 é subcorpo de que por sua vez é subcorpo de . 
3.1. Proposição 
Seja A um corpo e L um subconjunto não vazio de A. Para que seja um subcorpo de L é 
necessário e suficiente que: 
i. 
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ii. Se então (logo, L é fechado para a subtracção dos para ) 
iii. Se e , então 
Exemplo: 
Provar que * √ + é um subcorpo dos números reias. 
i. 
Solução: 
 √ e √ logo 
ii. Se então (logo, L é fechado para a subtracção dos para ) 
Solução: 
Se então esses elementos podem ser postos assim √ e 
 √ * + 
Logo: 
 ( √ ) ( √ ) 
 √ √ 
 √ √ 
 ( )√ 
Como: 
( ) ( ) 
 
iii. Se e , então 
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Se e , então esses elementos podem ser representados assim: 
 √ e √ * + 
Solução: 
 
 √ 
 √ 
 
 √ 
 √ 
 
( √ 
( √ 
)( √ )
)( √ )
 
 
 √ √ (√ ) 
 √(√ ) 
 
 
 ( )√ 
 √ 
 
 
 
 
 
 
 
√ 
Como , pois caso contrario 
 
 
 √ que é impossível, já que 
então 
 
 
 e 
 
 
 são números racionais, e portanto 
Logo se verificou as três propriedades provou-se que é subcorpo de A. 
 Exercícios de consolidação 
1. Mostre que ( ) é um corpo. 
2. Mostre que ( ) é um corpo.