Questão resolvida - Uma primitiva para f(x) 5x4sen(2x)1 é Alternativas ... - Cálculo II - Universidade Norte do Paraná

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• Uma primitiva para éf x = + 4sen 2x + 1( )
5
x2
( )
Alternativas:
 
 a) □ F x = + 8sen 2x + 1( )
5
x3
( )
 b) □ F x = - + 4sen 2x + x( )
5
x3
( )
 c) ⬛ F x = - - 2cos 2x + x( )
5
x
( )
 d) □ F x = - + 2sen 2x + x( )
5
x
( )
 e) □ F x = - 2sen 2x + x( )
5
x
( )
 
Resolução:
 
A integral de uma função gera uma família de primitivas, assim, vamos integrar e f x( )
encontrar a expressão que fornece uma família de suas primitivas;
 
+ 4sen 2x + 1 dx = 5x + 4sen 2x + 1 dx = 5x dx + 4sen 2x dx + 1dx∫ 5
x2
( ) ∫ -2 ( ) ∫ -2 ∫ ( ) ∫
Resolvendo cada integral separadamente, temos;
 
1 5x dx = + c = + c = - 5x + c = + c = - + c)∫ -2 5x
-2 + 1
-2+1( )
1
5x
-1
-1
1
-1
1
-5
x
1
5
x
1
 
2 4sen 2x dx = 4 sen 2x dx; u = 2x du = 2dx 2dx = du dx =)∫ ( ) ∫ ( ) → → → du
2
4 sen 2x dx = 4 sen u = sen u du = 2 sen u du = - 2cos u + c∫ ( ) ∫ ( )du
2
4
2
∫ ( ) ∫ ( ) ( ) 2
4sen 2x dx = - 2cos 2x + c∫ ( ) ( ) 2
 
 
 
3 1dx = x + c)∫ 3
 
Fazendo: e juntando os resultados das integrais, temos que a expressão c + c + c = c1 2 3
que fornece as primitivas de é;f x( )
 
F x = - - 2sen 2x + x + c( )
5
x
( )
 
Se c = 0, temos que uma das primitivas f x é;( )
 
F x = - - 2cos 2x + x( )
5
x
( )
 
 
(Resolução)