Questão resolvida - Resolva a equação diferencial ordinária de segunda ordem y'' y sen(x) x - Cálculo II - Universidade Federal de São Paulo

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Resolva a equação diferencial ordinaria de segunda ordem y'' + y = sen x + x .( ) 3
 
Resolução:
 
A solução geral de uma EDO de 2° ordem é a soma da solução homogênea com a particular;
 
y = y + yG H P
 
Primeiro vamos achar a solução homogênea , nessa EDO, a equação homogênea yH
associada é dada por;
 
y'' + y = 0
Vamos fazer a seguinte substituição;
 
y'' = 𝜆 e y = 𝜆 = 12 0
 
y'' + y = 0 𝜆 + 1 = 0→ 2
 
Resolvendo essa equação para ;𝜆
 
𝜆 + 1 = 0 𝜆 = - 1 𝜆 = ±2 → 2 → -1
 
𝜆 = ±1i = 0 ± 1i
 
A solução da equação homogênea égenericamente dada por;
 
y = C ⋅ e cos bx + C ⋅ e sen bxH 1
a⋅x ( ) 2
a⋅x ( )ax
 
 
(1)
Onde: é a parte real e é a parte imaginária do número comprexo obtido na solução em 1, a b
(considerando em módulo) e substituindo;b
 
y = C ⋅ e cos 1 ⋅ x + C ⋅ e sen 1 ⋅ x y = C ⋅ e cos x + C ⋅ e sen xH 1
0⋅x ( ) 2
0⋅x ( ) → H 1
0 ( ) 2
0 ( )
 
y = C ⋅ 1 ⋅ cos x + C ⋅ 1 ⋅ sen xH 1 ( ) 2 ( )
 
y = C cos x + C sen xH 1 ( ) 2 ( )
 
Agora, devemos encontrar a solução particular da EDO, perceba que o segundo membo yP
da EDO é composto por 2 funções, uma função trigonômetrica e outra função poliminial de 
grau , com isso, a estrutura da solução que queremos é:3
 
y = Ax + Bx + Cx + D + Excos x + Fxsen xp
3 2 ( ) ( )
 
Precisamos derivar essa função 2 vezes, como feito a seguir;
 
y = Ax + Bx + Cx + D + Excos x + Fxsen xp
3 2 ( ) ( )
 
y' = 3Ax + 2Bx + C + Ecos x + E -sen x x + Fsen x + Fcos x xp
2 ( ) ( ( )) ( ) ( )
 
y' = 3Ax + 2Bx + C + Ecos x - Exsen x + Fsen x + Fxcos xp
2 ( ) ( ) ( ) ( )
 
y" = 2 ⋅ 3Ax + 2B - Esen x + -Esen x + cos x -Ex + Fcos x + Fcos x + -sen x Fxp ( ) ( ( )) ( ( ))( ) ( ) ( ) ( ( ))
 
y" = 6Ax + 2B - Esen x - Esen x - Excos x + Fcos x + Fcos x - Fxsen xp ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
 
y" = 6Ax + 2B - 2Esen x + 2Fcos x - Excos x - Fxsen xp ( ) ( ) ( ) ( )
 
Agora, substituimos as expressões e na EDO;3 4
 
Ax + Bx + 6A + C x + 2B + D - 2Esen x + 2Fcos x = sen x + x3 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 3
 
 
6Ax + 2B - 2Esen x + 2Fcos x - Excos x + Fxsen x + Ax + Bx + Cx + D + Excos x + Fxsen x = sen x( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 ( ) ( ) ( )
 
(2)
(3)
(4)
Da igualdade obtida, podemos formar o seguinte sistema;
 
A = 1 
B = 0 
6A + C = 0 
2B + D = 0 
-2E = 1
2F = 0
Temos que:
 A = 1 
Então:
 
6 ⋅ 1 + C = 0 C = -6 →
 
B = 0, então : 2 ⋅ 0 + D = 0 D = 0→
 
-2E = 1 E = -→
1
2
 
2F = 0 F = F = 0→
0
2
→
 
Achadas as contantes, temos que a solução particular (expressão ) é;yP 3
 
y = 1x + 0x + -6 x + 0 + - xcos x + 0 ⋅ xsen xp
3 2 ( )
1
2
( ) ( )
 
y = x + 0 - 6x - + 0 y = x - 6x -p
3
xcos x
2
( )
→ p
3
xcos x
2
( )
 
Encontradas as soluções homogênea e particular , temos que a solução geral da EDO yH yP
é dada por:
 
y = C cos x + C sen x - + x - 6xG 1 ( ) 2 ( )
xcos x
2
( ) 3
 
 
(Resposta )