Compiladão - Fichário1

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PERGU TA 1 
uí o,s co portame tos são descritos . nções. como o cr,esdmento de plantas em uma ·taze ela a ropagação de 1ctoe ,,ças 
em urna locardade geográ1ca ,o o cresci en o de áivo ,es em uma ,ár,ea de H!' cresta 1ento. Contudo é ne essário eri tear se, 
em de erminado pon o da tunção e11a é crescente ou decrescen ·e. 
Assinate a alterna · a q e aprese ta, co r,eta en e o ,cii 0010 111e1ar ado para e · car cre cimento ou decresoimen o de uma 
tu.· ção,. 
_ Con: ·n ida.de. 
i....,, . Imagem. 
_ .Integra . 
. Domínio. 
_oerivacla. 
PERGU I 
Co (. Ca'lc . . ) 
. -
--
(. = - 1 
R u 
. 
10 d 
.. 
e o ç o 
t li - I 
/ co o . d ai P r 
do a'10 
o 
r. 
PERGU ill'A 1 
No. casos em q . a inf . ral é apl[cada em uma função, com raíz é impo:11ante lransiormar em potência ·rracio11ária 1 pois as.sim~ taomlara 
.ap ioo.r a regra de p:nlmUivação para potência, corno 110, ,causo da calcurar a intlegra1 de, função f(x) !!!!! xJ; ,onde temos a lnteg ai ind.efinlda 
Reso va e ntegral , cí:me. e se e iene a antemafiva correta. 
PERGU - TA 2 
O ·teorema do valor méd~o é uma ·mportante proposjç,ão, no cá culo que diz r,espeito ao alo da deri ada de funções 
que sejam derivá eis em um ntervalo (a b 1e ,que sejam con ,ínuas em (a,b]. lJma dias interpretações que · emos. 
quanto a esse i,eorema é geométrica e diz que exís e um pon o e no in erval!o (a. ) em que are a tangente é parale a 
à re!ta secante determinada por (a) e f b _ 
SeJa uma função denvá el ,em [a,b]. Se f(a -f(b)1, uti rzando o , eorema. do a,lor médio, podemos afim1ar ,que existe um 
ponto e ( _,,) ta l que: 
'J •·f (e = b) 
· --(e)= - a) 
(,e) = O 
-- (,e = f'(a) 
PERGU IA 2 
_. . = -1 é- po .o d mínimo ' oca , mas não oba . 
• 1 • x - - é ponto de "nimo gl · all 
= ... · e pc1n 'o d . m • imo oc mas não ,globa . 
= -1 é ponto de • ·mo g obal . 
. ·. = 1 é pa ,to de mín· o g · 
imín" o da fun ão (z) " oonre· o a rmar q 
p u 2 
e s s regr o e o e · e de en 
e d 
o 
PE _GU _ 11. 2 
a matemá ·ca o "deall é semp:re encon rar respostas e atas. o, entan ,o, em alguns probl1em:i 
poss1íve l trabalhar com os e atos alores das funoões. esse Sientido. e comum usa ap oximaçõ 
das fu -ções em questão. Uma das · ormas de ·s,e apro imar o ator de uma unção e u i iza -do o e<i 
Assinale .a a ema· a que apres,en a o erro ob ·do quando u i'lizamos o teorema de Ta o de· order 
a função · x)=rn(x) no p nto" -1.01 , u ilizando como referémt"a o ponto a=t 
o 
• 
ã . • \ 3 
i' 0,001) ruuu l_l • ,m .l e, [l; .01] Ó r· 
- .. (0, 00 ) / ,-, , ui 111111 .\ e 
' l . 
--- (0. 001 / 11 'J, / um . E l ; 1.01] 
6 
l 
-~ (0 .00 ) t 
1 \ ~ 
- ,._ l ( 0 00 ) / 'li l iJI" m .\ E [ " , , 01 
1 \ 
P1E GUI 1 3 
Co ·de e a 'fl .. ã · •. (x) = 3 ... 3x. C . respe· ,o ao oomp rta - _:n 01 d , u pão 
.. 
. . · :r I e crescen e para 1 - é, dA#!<ll",.-ceriie par :r O . 
C1 - - "81'1' ,,-, para X - 1. , ~ ) • d -re - --1 1) 
-um dar 10 as - a , - s 
ê ,cresce e para x e (- · é ,d rie en e p ra x 1e - G0 , -1 ( .e 
nt, ll li!I p X O. 
E 
-(-- 2 ): .· - . .......... 
b. / (.x dx = hco (x -- ~sin x e 
) 
d/ _· .. (. ) ~-= 
PERGU lA 3 
-----_ -_ -_-_-_- Determine a in egra indefi ida de J2 - os ,.· 
@ ·1 . . f . · d · = 2✓ , - o (.· e 
o ·1 
. . , • J d = sin . ✓ 
X -
PERGUNTA ,4 
As primitivas imediatas são aquelas que são ob idas de funções simples, ou seja, não há a presença de funções compostas. 
Lembrando que funções co postas sã.o aquelas em que uma função ,está no lug1ar da ariável independente de outra 
função. Por isso, a representação de uma função den ro da outra. 
Considerando as informações apresentadas e o s,eu conhecimento sobre as técnicas de primltlvação, identifique se são (V) 
verdadeiras ou (F) falsas as a irmai ·vasa seguir. 
L ) / ·d = e. . +!.. 
11 ( ) / \ ª dt = X l + k 
1111 . ( ) f ex dt = ,/· " 1( 
li) a. V-F -V. 
0 b.V-V-V 
n r. i:_\f_V 
P RGU 'A 
de câ u o para alg · s ·pos de n~ões. s regras de L Hosp" a' se d" e dois cas s coo orme 0 1 r,esu tado 
cre as 
C<>m r,e,a. ão ao uso das regras de l csp, . a e as, a , ações a seg ir. 
s regras de L os · ai ao apl cadas em casos de ·ooeterm acão no cãlcu o de · í e. 
li · 11eg,asd osp· ai ·nalisamcas s mque e· o· res ,tadoOou _ «-
m. Para ealtul r · -·o a ·liear a egunoa regr d 
IV. · ap cação de L Ho p a au Ilia na cre erm nafio do p 
'Es á coJTeto que s,e• a 1rma em: 
li e 1. s 
d. s. 
' .11 
PERGU 1TA4 
Seja f (x) função inversível ai que ambas f (x) 1 - 1 (x) são derivãveis e inte ráveis. Assuma que F(x) é uma primitiva de f (x). Com respeito 1 
indefinida de f - 1 ( x) , ê correto afirmar que: 
)+e 
dx.=xf x - (x +e 
PERGU , TA 4 
Computadores são bastan e úteis. em situações. da nossa vida e isso não é difer,ente q ando falamos de, ma emá ,·ca. 
IEm d'versas situações, u·ieamos computadores p,ara rea izar cálo ros, que seri1am muito extensos para serem feito,s à 
mão. o entanto, nesses casos. , rabalhamos com aproximações de funções. 
Assinale a a, ema iva que apresenta o erro obtido quando uti izamos o teorema de Ta lo de ordem 2 para aproximar 
a função x =eX no ponto x=2,02. utilizando ,como referência o pOR 'O a=2 
( 1 :. 
i d. , , 
6 
' 
- ( O 00000") pam l 1, x E .. O ] 
6 
PERGU - TA4 
Po inõmíos são considerados funcões bastante simples mas possuem propriedades bas· ante in eressantes. São bem 
de.fin"dos, oontínuos e deri à eis em oda a re a. e exístem séries de polinõmio,s que podem apro;tmar a maior parte 
d as ·íunçôes reais. 
Assinale a a'll,emati a que ap esenta o pornômio de Ta tor de ordem 2 u ilizado para apro,ximar a 'função )=e parai 
algum x, utilizando c-0mo referência ai pomo a_ 
"'·ª· 1'(~ = e 
'[' {. - ' {I = tJ, -,.. llt' - , 
• 1 
T(. ,· '" li X- rJ) -= , IJ x - a u - e 
Aprox.imacõ,es de funções :sao muito úte sem matemática oomputac:·onaL P.ar,a certas funções, é muito mais s·mples 
trabalha1r com um olmômio do que com outras funções ,cuja regra de co,mpos·ção sej.a mais complicada_ Isso é 
,especia'lmen e ú I para b'abaliharr com Gomputadores pois eles podem cakula · po11inomiios com e rema agi idade. 
Assina e .a altarna· · a que apresenta o IPº inômio de Ta, for de ,ordem n utilizado, 1para aproooim.ar a, full1111çâo (...1. _ ,_. no 
p on ·O X, ui iza e do, como, referência o ponto a. 
;;i_ " 
J '(.\ 
1 -- - , , 
e " 
=2: . 
,. _ 
'J' (.l - Lt: - ª· L , _ 
e 
e: . 
~ 
IL L T '( . . - . - d 
= 
• I'! ' , 
T(.l -
'/ '(_\_ -
PERGUNTA 5 
Há diversas funções e, consequentemente, diversas écnicas de primitivação. Por isso, e istem tabelas para consul a, contudo é fundamen ai dominar as 
técnicas de primítivação das principais funções, ínciusive para entender o funcionamento das técn icas e aprimorar as habilidades relacionadas à resolução de 
proble as. 
Considerando as in formações apresentadas e o seu conhecimento sobre as técnicas de primitivação, idenf que se são (V) verdadeiras ou (F) falsas as 
afirmativas a segu ir 
1. f rgxdr = ln I os xl ' 
li. ( ) f .-fi:-x. dr = tg x = k 
Ili. ( ) / . ec x · I x dr = .·cc x k 
O a.v-v-v 
0 ,F-V-F 
Q c.v- F -V 
0 d.V-V-f 
• e. F - V - V 
PERGUNTAS 
Há allgumas regras sobre o cálculo de ·11tegral como integração por parles. É importante reconheoor qual regra u izar para calcular a primitiva. 
Para isso, • importante reconhecer as característic s da função para a qual deseja calcular a primitiva e, ssrm, aplicar regra mais apro,priada. 
Observe os grupos de informações sobre regras que seguem abai~o: 
f -x2 3 . e dx = 
1. Pr;ecisa aplicar a mudança de varriáve para, emtão. aprcar a p "mitiva 1imediala. 
li . Não existe prímitiva Imediata, logo é necessário aplicar a mudança de variável e a regra de, p ·mmvação. 
Ili . l=xista primitiiva im cliat- p. -- ,essa função, sem neo -ssic1 - c:1 - d'- mud -nça d v -n'v -1. 
~ a. 1 • 111; 2 • I; 3 - 111. 
b. 1 - Ili ; 2 - li ; 3 - 1. 
e. 1 - 1; 2 - li; 3 - Ili. 
O ct 1 - 11; 2 -111 ; 3. 1. 
e. 1 - 1111: 2 - 1: 3 - 11 . 
PERGUNTA6Uma das. interpretações pocssíveis da integral é a de que é uma "antiderivada·, ,ou seja, uma operação, i versa da derivada (considerando 
integirais e derivadas como operações no conjunto das funções reais). No entanto nem sempre é fáciil determinar a primitiva de uma 
função de fo:rma diiiieta. Nesse sentido, temos várias técnicas que podem ajudar a encontrar o valor dessas integrais. 
Utilizando as técnicas de integração, assinale a alternativa que apresenta /x 2 
Oa . .rl 
e 
- + 
2 
,~ e .. l 3 
X .~ 
--+e 
6 
PER.GUNTA7 
Podemos calcular a integrral de uma funçao diretamente se conhecemos a [primitiva da fiunção. No e.ntanto nem sempre a funçao a ser 
integrada é uma função elementar ou uma combinação de funções elementares. Nesse caso, é prec·so lançar mão de estra ég·as 
a'lte,mativas. como ,o uso, de técnicas de integrração. 
Utilizandlo as técnicas de integração,, assinale a altemativa Q1ue apresenta / ln~x dx. 
a. ln2(x2) 
2 
+ 
O b. In2(x 
---+ C 
2 
' e. ln(x 2 · 
---+e 
2 
~ d.ln( ) +e 
e. ln( h) _ 
---+e 
2 
02/11/2023, 21 :30 Conteúdo 
PERGUNTA 1 
Aplicamos os conceitos relacionados às primitivas imedi 
resolver as integrais de funções compostas. Lembrando qL 
compostas são aquelas em que uma função está dentro da 
isso, é fundamental dominar as técnicas de primitivação e ~ 
os estudos realizando muitos exercícios. 
Considerando as informações apresentadas e o seu conhecimento 
sobre as técnicas de primitivação, identifique se são (V) verdadeiras 
ou (F) falsas as afirmativas a seguir. 
li. ( ) / cos x dx = - sen x + k 
Ili. ( ) / sen x dx = cos x + k 
Ü a. F -V- F. 
@ b.V- F- F 
Ü c.v _ F-V. 
Ü d.V-V-V. 
n e. i= - \/ - \/ 
PERGUNTA 2 
Uma das interpretações possíveis da integral é a de que é uma 
"antiderivada". ou seja. uma operação inversa da derivada 
1,43 pontos 
1,43 pontos 
(considerando integrais e derivadas como operj 
conjunto das funções reais). No entanto nem semi 1,425 pontos 
determinar a primitiva de uma função de forma dire 
sentido, temos várias técnicas que podem ajudar a encontrar o 
valor dessas integrais. 
Utilizando as técnicas de integração, assinale a alternativa que 
apresenta J x2. 
xe 
º ª· 2 ex +e 
Ü b. 3 
ex +e 
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Salv 
lv~ 
alv 
1/4 
02/11/2023, 21 :30 
@ e. 2 
X 
e 
-+e 
2 
Q d. X 
2xe +e 
O e. 2 x3 
X e 
--+e 
6 
PERGUNTA 3 
Conteúdo 
Há algumas regras sobre o cálculo de integral, como integração por 
partes. É importante reconhecer qual regra utilizar para calcular a 
primitiva. Para isso, é importante reconhecer as caracte 
função para a qual deseja calcular a primitiva e, assim, apl 1,425 pontos 
mais apropriada. l 
Observe os grupos de informações sobre regras que seguem abaixo: 
f sen 2 x 1. 4sen 3x- - 3-dx= 
/
1 
2. --dx= 
l+x 2 
1. Precisa aplicar a mudança de variável para, então, aplicar a 
primitiva imediata. 
li . Não existe primitiva imediata, logo é necessário aplicar a mudança 
de variável e a regra de primitivação. 
Ili . Existe primitiva imediata para essa função, sem necessidade de 
mudança de variável. 
@ 8 · 1 - li; 2 - Ili; 3 - 1. 
Ü b. 1 - Ili; 2 - I; 3 - li. 
Ü e. 1 - 1; 2 - 11; 3 - 111. 
Ü d. 1 - li; 2 - I; 3 - Ili. 
(") e. 1 _ 111· ? _ 11· ~ _ 1 
PERGUNTA 4 
Em alguns casos, temos que calcular a integral de funções 
compostas, como y = sen (x 2 ) , onde temos a mistura da função 
f(x)=senx e g(x)=x 2 , que ao descrever e 
fºg=f(g(x)) =sen (x 2 ). Há outros casos onde te 
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1,43 pontos 
2/4 
02/11/2023, 21 :30 Conteúdo 
função dentro da outra, a questão é como calcular a prin 
esse tipo de função. 
Após análise do problema apresentado, avalie as asserções a seguir 
e a relação proposta entre elas. 
1 
1. Para calcular a integral de cosseno é necessário fazer a 
3 
X 
mudança de variável u = - e substituir dx por du. 
3 
PORQUE 
li. Ao mudar a variável da função, é necessário mudar toda a 
representação da integral, pois assim,facilita a aplicação das regras 
de primitivação e o cálculo da integral. 
O ª· as duas asserções são falsas. 
@ b. a primeira asserção é falsa, e a segunda é verdadeira. 
O e. a primeira asserção é verdadeira, e a segunda é falsa. 
O d. as duas asserções são verdadeiras, e a segunda justifica a primeira. 
Q e. 
!:IIC: rl1 l!:IIC: !:IIC:C:Orrru:u:~ e:5in \/Orrl!::arl.o.ir!:IIC: Q !:li C:.0.1"111nn!:II n!ln i11cfifir!:II !:li nrim.oir!:11 
PERGUNTA 5 
A melhor técnica de integração depende da complexidade da 
função que está sendo integrada e das ferramentas disooníveis. 
Reconhecendo padrões nas funções, usando sut 
integração por partes, decomposição de frações 
simplificando a integral e usando softwares matem 
possível escolher a melhor técnica para determinado problema. 
Utilizando as técnicas de integração, assinale a alternativa que 
apresenta f sen(ln('2:x)) dx. 
@ a. 1 
- -x(cos(ln(2x)) - sen(In('2:x))) + C 
2 
O b.cos(ln(2x)) - sen(In('2:x)) + C 
O e. sen 2(x) - cos 2(x) + C 
O d. x ( cos (ln(x 2)) - sen (ln(x 2))) + C 
O e. x 2 (cos(ln(x 2)) - sen(In(x 2))) + C 
PERGUNTA 6 
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1,43 pontos 
3/4 
02/11/2023, 21 :30 Conteúdo 
1 r 1 1 1 
Sejaf (x) = ----;:=====-,X E l---, --J- Determine a intE 
J1-2x 2 fi fi 
1,43 pontos indefinidadef(x). 1 
@ a. -
/J(x)dx=-1-arcsin(fix) +e ~------------
fi 
Q b. 
jJ(x) dx= - 1-arcsin(x) + e 
fi 
Q c. 
/J(x) dx=arcsin(2x) + e 
Q d./ 2x 
f (X) dx = ----;:::======- + C 
)(1-2x2)3 
Q e. 
{J (x) dx = arcsin( fix) + e 
PERGUNTA 7 
Seja f (x) =x 2cos(x) . Determine a integral indefinida de f (x). 
®ª·1 f (x) dx = (x 2 - 2) sin(x) + 2xcos(x) + e 
Q b. J f ( x) dx = 2xcos ( x) - x 2sin ( x) + e 
o c.1 f ( x) dx = ~ x 3sin ( x) + e 
Q d. 
/J(x)dx= -2xsin(x) +e 
Q e. 
jJ (x) dx = ( 2-x 2) sin(x) + 2xcos(x) + e 
https://ava.univesp.br/ultra/courses/_ 10809_ 1 /cl/outline 4/4 
PERGUNTAS 
Aproximações de funções são muito úteis em matemática computacional. Para certas funções, é muito mais simples 
trabalhar com um polinômio do que com outras funções cuja regra de composição seja mais complicada. Isso é 
especialmente útil para trabalhar com con1putadores, pois eles poden1 calcular polinômios com extrema agilidade. 
Assinale a alternativa que apresenta o polinômio de Taylor de ordem n utilizado para aproximar a função f (.\) =e' no 
ponto x, utilizando corno referência o ponto a. 
O a. n \ 
e .• 
'/' (.\) = >'. _ (.\ - 11)1 .. 1 
~ ! ! 
Q b. n , 
1 
" "' · At l T(.\) = ~ - (.l - a) 
• l = Ô C 
O e. ,, , 
"\"
11
• t• J 
T(x) = ~ -:;- (.t - a) " 
t =O e 
@ d. ,., " 
" e l T(.\) = ~ - (., - 11) 
t =ô k! 
o ê . • u 
T (x) = L e• (.\ - a) Ã + 1 
t =O e 
PERGUNTA 1 
Considera-se D (J) con10 domínio <la função / . Uma função / tem um ____ relativo ,. se ____ _ 
um intervalo aberto / contendo e. tal que / (e) > .f ( .1) para lodo valor de .1 E / n D (l) . E uma função / tem um 
____ relativo em <' se existir um intervalo ____ / contendo e , de tal forma que / (e) < /(.r) para 
todo valor de ., E/ n D (( ) . 
Preencha as lacunas escolhendo a alternativa CORRETA. 
0 a. mínimo, existir. máximo, fechado. 
O b.mínimo, existir, máxin10. aberto. 
O e. mínimo, nã.o existir, máximo. aberto. 
@ d.máximo. existir, mínimo. aberto. 
O e. máximo, não existir, mínimo. fechado. 
PERGUNTA2 
É verdade que as regras de L'Hospital são aplicadas em casos de cálculo de limite, en1 que lemos resultados 
Q -'- 00 
como - ou - . Nesses casos, aplicamos as regras de L'Hospital, relacionando com o cálculo <le derivada e 
Q ::: 00 
Q ::: 00 
obtendo resullados diferentes de: - ou --
0 ::: 00 
Defina os casos descritos acima e assinale a alternativa correspondente. 
@ a. Indeterminação. 
O b. Inflexão. 
0 e. Continuidade. 
O d. Diferenciável. 
- . • - ' - . • • • 
PERGUNTA 1 
Muitos comportamentos são descritos por funções. como o crescimento de plantasem uma fazenda, a propagação de doenças 
em uma localidade geográfica ou o crescimento de árvores em uma área de r·eflorestamento. Contudo é necessário verificar se, 
em determinado ponto da função, ela é crescente ou decrescente. 
Assinale a alternativa que apresenta, corretamente, o cálculo realiZado para verificar crescim.ento ou decrescimento de uma 
função. 
O a. Continuidade. 
O b. Imagem. 
O e. Integral. 
O d . Domínio. 
@ " · Derivada. 
PERGUNTA4 
. f(x) . .f ' (.\ ) 
Analisando as regras de L'Hospilal, encontramos a indicação de utilizar lim --= lim , , como estratégia 
, - p ,1: ( .t) , - p t: ( .\ ) 
de cá lculo. para alguns tipos de funcões. As regras de L"Hospttal se dividem ,em dois casos. conforme o resultado 
. f (x) _ 
de hm -- para essas duas funcoes. 
• - p :.;(.t) • 
Com relacão ao uso das regras de L'Hospilal , avalie as afirmacões a seguir. . . 
1. As regras de L'Hospital são aplicadas en1 casos de indeterminação no cálculo de limite. 
l i. As regras de l 'Hospital analisam casos em que lemos resultado O ou = oo . 
' e 
Il i. Para calcular lim - , é necessário aplicar a segunda regra de L'Hospital. 
, -- oo ~' 
IV. A aplicação de L'Hospttal auxi lia na determinação dos pontos de inflexão. 
Está correto que se afirma em: 
O a, li e Ili . apenas. 
O b. 1 e li . apenas. 
O c.1 e IV. apenas . 
@ d . 1 ,e Ili. apenas. 
O e. Ili e IV. apenas. 
PERGUNTA 3 
Considere a função f (x) = x3 - 3x. Con1 respeito ao comportamento da função f (x), é correto afirmar que: 
O a.f (x) é crescente para x < O; f (x) é decrescente para x > O. 
@ b. f (x) é crescente para x E (- oo, - 1) u ( 1. oc ); / (x) é decrescente para x E (- 1.1) 
O e. Nenhuma das outras alternativas. 
0 d. f (x) é crescente para x E (- 1.1); f (x) é decrescente para x E (-«>, - 1) u (1, 00) . 
O e.f (x) é crescente para x > O; f (x) é decrescente para x < O. 
PERGUNTA4 
Computadores são bastante úteis en1 situações da nossa vida, e isso não é diferente quando falamos de matemática. 
Em diversas situações, utilizamos computadores para realizar cálculos que seriam muito extensos para serem feitos à 
mão. No entanto, nesses casos, trabalhamos com aproximações de funções. 
Assinale a alternativa que apresenta o erro obtido quando utilizamos o teorema de Taylor de ordem 2 para aproximar 
a função f(x)=eX no ponto x=2,02, utilizando como referência o ponto a=2 
0 •. 1 
- (0,000008) para algum ., E [2 . 2.02] 
6e .t 
@ t,. ,,, 
- (0 .000008) para algum J. E [2. 2.02] 
6 
O e.,, , (0 ,000008) J!"ra algum ., E [2,2.02] 
Ô d. e' 
6 (0 ,000008) para algum.\ E [2, oo J 
O e . e 3.' 
6 ( 0,000008) l>ara al~u . X E [2,2.02] 
PERGUNTA2 
O teorema do valor médio é uma importante proposição no cálculo que diz respeito ao valor da derivada de funções 
que sejam deriváveis em um intervalo (a,b) e que sejam contínuas em (a,b). Uma das interpretações que temos 
quanto a esse teorema é geométrica e diz que existe um ponto c no intervalo (a,b), em que a reta tangente é paralela 
à reta secante determinada por f(a) e f(b). 
Seja unia função derivável em [a,b]. Se f(a)=f(b), utilizando o teorema do valor n1édio, podemos afirmar que existe um 
ponto r e ( a , //) tal que: 
O ª ·f (c) = f(b) 
O b. f (c) = f(a) 
O <- f (c) = 1 
(ti d . f'(c) = 0 
O e.f'(c) = f'(a) 
PERGUNTA 2 
Considere a função f (x) = x2 + 2x - 3. Com respeito a pontos de máximo e mínimo da função f (x ), é correto afirmar que: 
O a. x = - 1 é ponto de mínimo local, mas não global. 
@ b.x = - 1 é ponto de mínimo global. 
O c.x = - 1 é ponto de máximo local, mas não global. 
O d. x = - 1 é ponto de máximo global. 
O e. x = 1 é ponto de mínimo global. 
PERGUNTA 3 
Na n1atemática, o ideal é sempre encontrar respostas exatas. No entanto, em alguns problemas, nem sen1pre é 
possível trabalhar com os exatos valores das funções. Nesse sentido, é comum usar aproximações para os valores 
das funções em questão. Uma das formas de se aproximar o valor de uma função é utilizando o teorema de Taylor. 
Assinale a alternativa que apresenta o erro obtido quando utilizamos o teorema de Taylor de ordem 2 para aproximar 
a função f(x)=ln(x) no ponto x=1,01, utilizando como referência o ponto a=1. 
O a . x 3 
6 ( 0 ,001) para ll/~11111 x e [ l ; 1,01) 
0 b. 2 
~ ( 0 ,001) paro t1lg11m ., e {1,01; oo] 
6., , 
O e. ln(., ") 
6 
Ü d. l 
( 0.001) (lllra lll{(IIIII .\ e [ l ; 1,01] 
~ ( 0,001) para alg11111 ,\ E (1, oo ] 
6.,, 
@ e. 2 
- . ( 0,001) 1,a1c1 alg,1111., e [1;1,0 1] 
6.,, 
PERGUNTA 1 
' ., -- l 
Considere a função / (.\ ) = . . Calcule lim / (.,) . ~ 
O a. lim f (.,) = oo 
, - - 1 
Q b. lim .f(.\) =0 
2 
lim .f (.,) = - -:;-
:, 
() d. lim f(.\) =l 
, - - t 
0 e. lim / (~ ) = - l 
, - - 1 
., - l , - - 1 
PERGUNTA4 
Polinômios são considerados funções bastante sin1ples, n1as possuem propriedades bastante interessantes. São be.m 
definidos, contínuos e deriváveis em toda a reta, e existem séries de polinômios que podem aproximar a maior parte 
das funções reais. 
Assinale a alternativa que apresenta o polinômio de Taylor de ordem 2 utilizado para aproximar a função f(x)=ekx para 
algum x, utilizando como referência o ponto a. 
0 a. l 
T(.t) =e"' + 11e'"(.\ - a) +-11 2e"'(,t - a) 2 
2 
0 b. l , , 
T(x) =e" +ne" (.1 - a) + 2 11 ·e" (,\ - a) · 
@ c.T() nu ""( ) l 2""( )' x =e + 11e x - a -.- -11 e x - a • 
2 
Q d . l 
T(.t) = 11e" (.l - a) + - 11 2eu (.1 - 11) 2 
2 
O e. • l 
T(.1) =n 'en" + 11 2e""(x - 11) + - 11 2e"(.\ - a) 2 
2 
PERGUNTA 1 
Nos casos em que a integral é aplicada em uma função com raiz, é importante transformar em potência fracionária, pois, assim, facilitará 
aplicar a regra de primitivação para potência, como no caso da calcular a integral da função f ( x) = x ._{; , onde temos a integral indefinida 
Resolva a integral acima e selecione a alternativa correta. 
º ª· 2 - x+k 
5 
Ü b. p +k 
O c. s es 
- yx 5 + k 
2 
O d. 2 G 
- yx5 + k 
5 
O e. 2 sG 
- ~x2 + k 
5 
PERGUNTA2 
Seja f(x) = ex cos( 2x) Determine a integral indefinida de f(x). 
Oa. / ex(cos(2x) + 2sin(2x)) 
f (x) dx = --------+e 
5 
Ü b./ 
f(x) dx =excos(2x) -2exsin(2x) +e 
O c. / f(x)dx = -2exsin (2x) +e 
Ü d./ exsin(2x) 
f(x)dx= ---+c 
2 
O e. f ex(cos(2x) -2sin(2x) ) 
f(x)dx = 
5 
+e 
1,43 pontos df@F 
1,43 pontos df@F 
PERGUNTA3 
Seja f (x) = x 2cos (x) . Determine a integral indefinida de f (x) . 
0a. / 
/(x)dx = (x 2 -2)sin(x) +2xcos(x) +e 
Ob./ 
f(x)dx = 2xcos(x) -x2sin(x) +e 
Oc. / 1 
f(x)dx = 3x
3sin(x) +e 
Qd./ 
f(x)dx = -2xsin(x) +e 
ºª· J /(x)dx = (2-x2)sin(x) +2xcos(x) +e 
PERGUNTA4 
Seja f ( x) função inversível tal que ambas f (x) e 1 - 1 (x) são deriváveis e integráveis. Assuma que F( x) é uma primitiva de f ( x). Com respeito a integral 
indefinida de f - I ( x) , é correto afirmar que: 
Üd. / 
f - 1(x)dx =xf - 1(x) -x+c 
O e. /1-1(x)dx =f(x)f(f(x)) -F(f(x)) +e 
1,43 pontos ff¼@I 
1,425 pontos ff¼@I 
PERGUNTAS 
Há algumas regras sobre o cálculo de integral, como integração por partes. É importante reconhecer qual regra utilizar para calcular a primitiva. 
Para isso, é importante reconhecer as características da função para a qual deseja calcular a primitiva e, assim, aplicar a regra mais apropriada. 
Observe os grupos de infonnações sobre regras que seguem abaixo: 
f S<n'x 1 . 4sen 3x - 3 dx = 
/
1 
2. --dx= 
l+x2 
1. Precisa aplicar a mudança de variável para, então, aplicar a primitiva imediata. 
li . Não existe primitiva imediata, logo é necessário aplicar a mudança de variável e a regra de primitivação. 
Ili . Existe primitiva imediata para essa função, sem necessidade de mudança de variável. 
Ü a. 1 - li; 2 - I; 3 - Ili. 
Ü b. 1 - Ili; 2 - li; 3 - 1. 
Ü e. 1 - I; 2 - li; 3 - Ili. 
0 d. 1 - li; 2 - Ili; 3 -1. 
n e. 1 - Ili; 2 - I; 3 - li. 
PERGUNTA6 
Uma das interpretações possíveis da integral é a de que é uma "antiderivada", ou seja, uma operação inversa da derivada (considerando 
integrais e derivadas como operações no conjunto das funçõesreais). No entanto nem sempre é fácil determinar a primitiva de uma 
função de forma direta. Nesse sentido, temos várias técnicas que podem ajudar a encontrar o valor dessas integrais. 
Utilizando as técnicas de integração, assinale a alternativa que apresenta / xex
2
• 
O a. x2 
e 
- +e 
2 
Ü b·2xex+C 
O c.ex2 +e 
n d 3 
~- 'ex +e 
1,425 pontos ffjfff 
1,43 pontos Salvar resposta 
PERGUNTA6 
Uma das interpretações possíveis da integral é a de que é uma "antiderivada", ou seja, uma operação inversa da derivada (considerando 
integrais e derivadas como operações no conjunto das funções reais). No entanto nem sempre é fácil determinar a primitiva de uma 
função de forma direta. Nesse sentido, temos várias técnicas que podem ajudar a encontrar o valor dessas integrais. 
Utilizando as técnicas de integração, assinale a alternativa que apresenta / xe x
2
• 
Oa. x2 
e 
-+e 
2 
O b.2xex+c 
O c.e x2 +e 
Ü d.exl+C 
PERGUNTA 7 
Podemos calcular a integral de uma função diretamente se conhecemos a primitiva da função. No entanto nem sempre a função a ser 
integrada é uma função elementar ou uma combinação de funções elementares. Nesse caso, é preciso lançar mão de estratégias 
alternativas, como o uso de técnicas de integração. 
f ln(x) Utilizando as técnicas de integração, assinale a alternativa que apresenta --dx. X 
+C 
O b. tn2(x) 
2 
+e 
O c. ln(x2) 
---+e 
2 
Ü d.tn(x) +C 
O e. ln(2x) 
---+e 
2 
1 ,43 pontos Hi\@h 
1,43 pontos h§@h 
 
 
 
PERGUNTA 1 
Sejam f (x ) e g (x ) funções deriváveis tais que o produto f (x) g ' (x ) é integrável. Com respeito a integral indefinida desse produto f (x ) g ' (x ) , é correto afirmar que: 
®•·1 1 f (.r ) g (.r ) dr = f (.r) g (.r) - f (.r) g (.r) dr 
Qb.f f 
f (x )g' (., ) dr = f (x)g(x ) + /(x)g (x ) ,fr 
Oc.f f f (x )g' (x)dr = g (x ) f (x ) dr 
O d. Nenhuma das outras alternativas. 
0 ··1 f f (x)g' (x) d, =/ (x )g' (x ) - / (x )g(x) d, 
PERGUNTA 2 
Podemos calcular a integral de uma função diretamente se conhecemos a primitiva da função No entanto nem sempre a função a ser integrada é uma função 
elementar ou uma combinação de funções elementares. Nesse caso, é preciso lançar mão de estratégias alternativas, como o uso de técnicas de integração. 
Utilizando as técnicas de integração, assinale a alternativa que apresenta J ln~x) dr . 
O ª· tn2(.r2) 
---+ C 
2 
0 b. 1n( 2.r ) 
---+ C 
2 
o c. [n (x) + e 
0 d. ln(x2) 
--+ C 
2 
® e. Ín2(r) 
--+ C 
2 
PERGUNTA3 
A integração tem uma ampla gama de aplicações práticas, desde o cálculo de áreas e de volumes até de probabilidades, processamento de sinais e problemas de 
otimização. Escolher a melhor técnica de integração requer alguma familiaridade com os métodos disponíveis e com o próprio integrando. Quanto mais você 
praticar, melhor reconhecerá qual técnica usar. Com a experiência, você desenvolverá uma noção de quais métodos são mais eficazes para diferentes tipos de 
integrais . 
Utilizando as técnicas de integração, assinale a alternativa que apresenta / e·' sen (x ) dr . 
Ü a . e.r(sen (x 2 ) +cos (x 2 )) + C 
@ b. e·' 
2 
( se11 (.1) - cos(.r)) + C 
O d.e"( sen (x 2) + cos(x 2) + C 
O e. sen (x 2) + cos(x2) + C 
PERGUNTA4 
A melhor técnica de integração depende da complexidade da função que está sendo integrada e das ferramentas disponíveis. Reconhecendo padrões nas funções, 
usando substituição, integração por partes, decomposição de frações parciais, simplificando a integral e usando softwares matemáticos, é possível escolher a 
melhor técnica para determinado problema. 
Utilizando as técnicas de integração, assinale a alternaltva que apresenta f .-.en ( 1n(2.r)) dr. 
O • -x (cos( ln(.r2)) -sen(ln( x 2))) +C 
O b,cos(ln(2.r)) - .l'en(ln(2.r)) + C 
O C..,en2(.r) - cos2(x) + C 
O d-.r 2(cos(ln(.r2)) - .-.en( ln (x 2))) + C 
• e. 1 
- 2.r(cos(ln(2r)) - 1c11(1n( 2r)) ) + e 
 
 
 
 
PERG UNTA 5 
O processo de integração envolve encontrar uma antiderivada da função que está sendo integrada Uma antiderivada é uma função que, quando diferenciada, dá a 
função original. Isso significa que o processo de integração é essencialmente o inverso da diferenciação Para realizar a integração, existem várias técnicas 
disponíveis, como substituição, integração por partes e frações parciais. A escolha da técnica depende da complexidade da função a ser integrada e das 
ferramentas disponíveis. 
Utilizando as técnicas de integração, assinale a alternativa que apresenta f m.(2r ) d, . 
0 a. ln ( 2r ) + C 
@ b . .r(m.C:N - 1) + e 
O e. ln (2r) 
---+ C 
X 
0 d. m.(x2) 
--+ C 
X 
Ü • · tn (x 2) + C 
PE RGUNTA 5 
O processo de integração envolve encontrar uma antiderivada da função que está sendo integrada. Uma antiderivada é uma função que, quando diferenciada, dá a 
função original. Isso significa que o processo de integração é essencialmente o inverso da diferenciação. Para realizar a integração, existem várias técnicas 
disponíveis, como substituição, integração por partes e frações parciais. A escolha da técnica depende da complexidade da função a ser integrada e das 
ferramentas disponíveis. 
Utilizando as técnicas de integração, assinale a alternativa que apresenta f m.(2r)dr. 
O a. m.( 2r)+ C 
@ b._r(m.(2r ) - 1) + (' 
O e. m.(2r) 
--+C 
X 
0 d. m.(x2) 
--+C 
.\' 
PERGUNTA6 
Em alguns casos, temos que calcular a integral de funções compostas, como y = .,,m (x 2 ) , onde temos a mistura da função f (x ) = sen x e g(x) = x 2 , que ao descrever a 
função / 0 g = J (g (x) ) = .<e11 ( x 2 ) _ Há outros casos onde temos uma função dentro da outra, a questão é como calcular a primitiva para esse tipo de função. 
Após análise do problema apresentado, avalie as asserções a seguir e a relação proposta entre e las. 
1. Para calcular a integral de cos.<e110 ¾ é necessário fazer a mudança de variável u = ~ e substituir d, por d11 . 
PORQUE 
li. Ao mudar a variável da função é necessário mudar toda a representação da integral, pois assim,facilita a aplicação das regras de primitivação e o cálculo da integral. 
@ a. a primeira asser ão é falsa, e a segunda é verdadeira. 
O b. as duas asserções são verdadeiras, e a segunda justifica a primeira. 
O e. a primeira asserção é verdadeira, e a segunda é falsa. 
O d. as duas asserções são falsas. 
O e.as duas asserções são verdadeiras, e a segunda não justifica a primeira. 
P ERGU NTA 7 
O mólut.Ju lk.tLl í r .:1(,,:ÜüLl ,.m.1 ci.:.1it; lv111 u ir 1tt 10 111!,F;i liiLllúri.:1 v íui llc ~unvulv it.Ju µur rriuilut,; 1m:.1lc 111ijlicu~ .:10 luriyu cJu:; ~óculo:;. Nu v 11l.:111lu .:t íoi 111a 1r1u t.Ju 111tt tio 111óluUo 
c1fls frflÇÕP.~ r,Arr.ifli; P. gP.rnlmP.ntP. Atrih uldfl fl I P.ihni7 P. RP.rno11lli. (llle dP.sP.nvolv P.rflm indP.pP.nc1P.ntP.m entP., P.m 170?, 1im mP.to<1o pflrfl enc:ontrflr fl dP.c:omr,osiçiio 
em traçóe s parc Ia Is de uma tunçao racional. Uesde e ntao, o m étodo das traçóes parcIa Is tornou- se uma técnica -padrao em calculo, à lq ebra e enqenhana e 
amp lamen1e utilizado em muitas áreas da matemática e suas aplicações. 
U tIlIz ando o m é todo das trações parcIa Is e ncontre / x-:-~) d l . 
@.: .3, -; 
5 
ln(x + 5 1 + 
5
1n(5 ., '1 + C 
C b . 1 -'2 
- l n ( x - 5 ) 1 - l n ( x 1 5 ) 1 C 
5 5 
("; C, x 2ln( 5 - x ) + 2 ,- ln(.:r + 5) + C 
C d . 2-w (.t? - 25) + ~lu ( .l - .5) + C 
5 5 
e '='- 1 5 ( x ln( 5 - .\') + ln( .,· + 5)) + e 
	01 - Avaliações Cálculo I - Semana 6
	Número do slide 1
	Número do slide 2
	Número do slide 3
	Número do slide 4
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	Número do slide 20
	Número do slide 21
	Número do slide 22
	Cálculo_Sem-06
	photo_2023-11-01_13-01-35
	photo_2023-11-01_13-01-49
	photo_2023-11-01_13-01-56
	photo_2023-11-01_13-01-58
	photo_2023-11-01_13-02-01
	photo_2023-11-01_13-02-05photo_2023-11-01_13-02-08
	photo_2023-11-01_13-02-11
	photo_2023-11-01_13-02-14
	photo_2023-11-01_13-02-18
	photo_2023-11-01_13-02-23
	Semana 6 - Calculo 1 - Ex. 1 e 2
	Semana 6 - Calculo 1 - Ex. 3 e 4
	Semana 6 - Calculo 1 - Ex. 5
	Semana 6 - Calculo 1 - Ex. 6 e 7
	Semana 6 - Nota 10