Semana13_Fatorial_2021_Manha (1)

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Pontifícia Universidade Católica 
de Minas Gerais - IPUC – Instituto Politécnico
Disciplina: 
Ferramentas Aplicadas à Engenharia de Produção II
Unidade 3: Planejamento e melhoria do processo com 
experimentos planejados (cap: 13 Montgomery)
Professora: Valéria de Aquino
Aquino, valéria
•MONTGOMERY, Douglas C.; RUNGER, George C. 
Estatística aplicada e probabilidade para engenheiros. Rio de 
Janeiro: LTC - Livros Técnicos e Científicos, 2018. 
•MONTGOMERY, Douglas C.; RUNGER, George C. Applied
Statistics and Probability for engineers, 6th edition.
MONTGOMERY, Douglas C. Introdução ao controle estatístico 
da qualidade. Rio de Janeiro: LTC - Livros Técnicos e 
Científicos, 2016. 
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REFERÊNCIAS:
3
Características:
Dois fatores como A ( a níveis) e B (com b níveis);
Experimento com n réplicas;
Cada réplica contém ab combinações de tratamentos;
Na realização do experimento as abn observações seriam corridas em uma
ordem aleatória – Planejamento completamente aleatorizado.
Experimento Fatorial 22
Modelo Estatístico Linear:
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Onde:
µ efeito médio global
𝝉𝒊 efeito do i-ésimo nível do fator A 
𝜷𝒋 efeito do i-ésimo nível do fator B
(𝝉𝜷)𝒊𝒋 efeito da interação entre A e B
𝝐𝒊𝒋𝒌 Componente do erro aleatório ~ N(0, 𝜎
2)
Modelo Estatístico Linear
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Arranjo dos dados para um Planejamento Fatorial com dois fatores
Fonte: Montgomery, D. c. Runger, G. C
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7
SQT= SQA + SQB+ SQAB+SQR
8
SQT
SQA
SQB
SQAB
SQR= SQT – SQA – SQB - SQAB
SQA – SQB
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Hipóteses
Para testar Análise estatística do modelo
Anova com 2 fatores: two way analysis of variance
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1) Analisar a tabela ANOVA
2) Ajustar modelo de Regressão aos dados
3) Fazer Análise de Resíduo
Etapas de análise:
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Método: Valor p ou p-valor 
Vp Rejeito Ho
Qual é a conclusão?
Regra de decisão:
Estatística F
Se Fo > Fα (G.L; ab (n-1)) Rejeito Ho
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Fonte de Soma de Grau de Quadrado F0 
Variação Quadrados liberdade Médio 
Tabela da ANOVA para um modelo Fatorial com dois fatores, modelo 
de Efeitos Fixos
SQA
SQB
SQAB
QMA
QMB
QMR
SQA
SQB
SQAB
SQE
QMAB
QMA
QMB
QMAB
QMR
SQR
SQT
QMR
QMR
Exemplo: 
As tintas de base ou zarcões (primer) em aviões são aplicadas a superfícies de alumínio por 
dois métodos – imersão e por spray.
O propósito da pintura de base é melhorar a aderência da tinta. Algumas partes podem ter a 
pintura de base feita por qualquer dos métodos de aplicação. O grupo de Engenharia de 
Processos responsável por essa operação identificou três zarcões diferentes que podem ser 
usados com ambos os métodos de aplicação e deseja saber se eles diferem nas suas 
propriedades de aderência. 
Um experimento fatorial foi realizado para investigar o efeito do tipo de zarcão e do método 
de aplicação na aderência da tinta. Três espécimes foram pintados com cada um dos zarcões, 
usando cada um dos métodos de aplicação. Aplicou-se uma camada de tinta e a força de 
aderência foi medida.
As 18 rodadas desse experimento foram feitas em ordem aleatória. 
Qual combinação de tinta de base e método de aplicação produz a mais alta força de 
aderência? 
AQUINO, V. 14
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Dados
Variável resposta: 
Fator (es):
Quantidade de níveis:
Número de réplicas:
Quantas combinações de tratamentos:
Tipo de zarcão IMERSÃO Spray Yi.
MÉTODO DE APLICAÇÃO
Fontes de Variação G.L. Soma dos 
Quadrados
Quadrado Médio Fo Valor p
Tipo zarcão 2 4,5811 2,2956 27,86 0,000
Método aplicação 1 4,9089 4,90889 59,70 0,000
Interação entre 2 
fatores
2 0,2411 0,12056 1,47 0,269
Erro (residual) 12 0,9867 0,08222
Total 17 10,7178
TABELA ANOVA
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Regra de decisão:
Se Fo > Fα (G.L; ab (n-1)) rejeito 
Ho.
Qual é a conclusão pelo Fo?
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Regra de decisão:
Se Fo > Fα (G.L; ab (n-1)) rejeito 
Ho.
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Os efeitos tipo de zarcão e método de aplicação afetam a força de adesão? Utilize o nível de
significância α igual a 5%.
Método: Valor p ou p-valor 
Vp Rejeito Ho
Qual é a conclusão pelo valor p?
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Força média de adesão vs tipo de zarcão 
para ambos os métodos de aplicação 
Quando ambos os fatores são fixos pode-se fazer comparações entre as médias individuais de
cada fator usando qualquer técnica de comparação múltipla (MDS de Fisher).
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Verificação da adequação do modelo –
Análise de Resíduos
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Relação entre os coeficientes de Regressão e efeitos dos fatores
2
ˆ Efeito= =0̂ Médias globais
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Verificação da adequação do modelo –
Análise de Resíduos E= Y- ෡𝒀
Objetivos:
✓ Validar as conclusões obtidas pela ANOVA.
✓ Fornecer um modelo a ser utilizado na fase de otimização da variável resposta.
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Ordem tipo zarcao método aplicação Força de aderência AJUSTES1 RESÍ1
1 1 1 4 4,2667 -0,2667
2 1 2 5,4 5,3000 0,1000
3 2 1 5,6 5,3000 0,3000
4 2 2 5,8 6,0667 -0,2667
5 3 1 3,8 3,8333 -0,0333
6 3 2 5,5 5,1667 0,3333
7 1 1 4,5 4,2667 0,2333
8 1 2 4,9 5,3000 -0,4000
9 2 1 4,9 5,3000 -0,4000
10 2 2 6,1 6,0667 0,0333
11 3 1 3,7 3,8333 -0,1333
12 3 2 5 5,1667 -0,1667
13 1 1 4,3 4,2667 0,0333
14 1 2 5,6 5,3000 0,3000
15 2 1 5,4 5,3000 0,1000
16 2 2 6,3 6,0667 0,2333
17 3 1 4 3,8333 0,1667
18 3 2 5 5,1667 -0,1667
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1) Analisar a tabela ANOVA
2) Ajustar modelo de Regressão aos dados
3) Fazer Análise de Resíduo
Etapas de análise:
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Gráfico do resíduo vs ajustado
Verificação da adequação do modelo –
Análise de Resíduos
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Resíduo vs tipo de zarcão 
Tipo de zarcão
30
Verificação da adequação do modelo –
Análise de Resíduos
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Resíduo vs método de aplicação
Método de 
aplicação
31
Verificação da adequação do modelo –
Análise de Resíduos
32Gráfico de Probabilidade Normal
Verificação da adequação do modelo –
Análise de Resíduos
33Gráfico de Probabilidade Normal
Verificação da adequação do modelo –
Análise de Resíduos
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Verificação da adequação do modelo –
Análise de Resíduos
Gráfico de Resíduo em ordem temporal
AQUINO, Valéria, 2020 35
Modelo de Regressão Linear Simples
Modelo de Regressão Linear Múltipla
Regressão Linear
X
Y
Q
P
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Y
X
b1= 
inclinação
Reta de Regressão 
b0= intercepto
b1X b0 Y +=
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• O modelo é composto de:
• Uma variável dependente (Y)
Variável objeto das previsões
• Uma ou mais variáveis independentes numéricas (X).
Usado basicamente para fazer previsões quando existir relação entre as variáveis.
Modelo de Regressão Linear
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• Inclinação – b1: Mudança esperada em Y para 1 unidade de variação em X;
• Intercepto – b0: Valor médio de Y quando X=0
Interpretação dos coeficientes
Cálculo dos coeficientes
221
1ˆ
Xnx
YXnxy
b
i −
−
==



Sxx
Sxy
XYb 10
ˆ0ˆ  −==
40
4141
70,069,569,068,568,0
20
15
10
5
0
temp.
P
e
rc
.q
u
e
b
ra
Fitted Line Plot
Perc.quebra = - 618,4 + 9,045 temp.
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Resultados da regressão
Regression Analysis: Perc.quebra versus temp. 
The regression equation is
Perc.quebra = - 618 + 9,05 temp.
Predictor Coef SE Coef T P
Constant -618,41 69,50 -8,90 0,000
temp. 9,045 1,007 8,98 0,000
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• Examinar as estatísticas do modelo;
• Testar a significância dos parâmetros (TH);
• Análise de resíduos
Presença de “outliers”
Violação das suposições
Avaliação do Modelo