Semana14_Fatorial_2021_Manha (1)

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Pontifícia Universidade Católica 
de Minas Gerais - IPUC – Instituto Politécnico
Disciplina: 
Ferramentas Aplicadas à Engenharia de Produção II
Unidade 3: Planejamento e melhoria do processo com 
experimentos planejados (cap: 13 Montgomery)
Professora: Valéria de Aquino
Aquino, valéria
•MONTGOMERY, Douglas C.; RUNGER, George C. 
Estatística aplicada e probabilidade para engenheiros. Rio de 
Janeiro: LTC - Livros Técnicos e Científicos, 2018. 
•MONTGOMERY, Douglas C.; RUNGER, George C. Applied
Statistics and Probability for engineers, 6th edition.
MONTGOMERY, Douglas C. Introdução ao controle estatístico 
da qualidade. Rio de Janeiro: LTC - Livros Técnicos e 
Científicos, 2016. 
2
REFERÊNCIAS:
3
Experimento Fatorial 2k 
Para k ≥ 3 fatores
Fonte: Introduction to Statistical Quality Control, 7th Edition 
by Douglas C. Montgomery. 2012 John Wiley & Sons, Inc.
Apresentação geométrica de contrastes correspondendo aos efeitos principais e as 
interações de 2ª e 3ª ordem no planejamento 23
5
A
B
C
bc
b
ac
abc
ab
a(1)
c
𝟏
𝟒𝒏
ሾ
ሿ
𝒂 + 𝒂𝒃 + 𝒂𝒄 + 𝒂𝒃𝒄
− (𝟏) − 𝒃 − 𝒄 − 𝒃𝒄
Efeito principal do Fator A
Planejamento 23 
6
Efeito principal do Fator A
1
4𝑛
𝑎 + 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 + 𝑎𝑏𝑐 − (1) − 𝑏 − 𝑐 − 𝑏𝑐
Efeito principal do Fator B
1
4𝑛
𝑏 + 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑎𝑏𝑐 − 1 − 𝑎 − 𝑐 − 𝑎𝑐)
Planejamento 23 
Efeito principal do Fator C
1
4𝑛
𝑐 + 𝑎𝑐 + 𝑏𝑐 + 𝑎𝑏𝑐 − 1 − 𝑎 − 𝑏 − 𝑎𝑏)
7
Efeito interação de segunda ordem AB
1
4𝑛
𝑎𝑏𝑐 − 𝑏𝑐 + 𝑎𝑏 − 𝑏 − 𝑎𝑐 + 𝑐 − 𝑎 + (1)
Planejamento 23 
1
4𝑛
1 − 𝑎 + 𝑏 − 𝑎𝑏 − 𝑐 + 𝑎𝑐 − 𝑏𝑐 + 𝑎𝑏𝑐
Efeito interação de segunda ordem AC
Efeito interação de segunda ordem BC
1
4𝑛
1 + 𝑎 − 𝑏 − 𝑎𝑏 − 𝑐 − 𝑎𝑐 + 𝑏𝑐 + 𝑎𝑏𝑐
Efeito interação de terceira ordem ABC
1
4𝑛
𝑎𝑏𝑐 − 𝑏𝑐 − 𝑎𝑐 + 𝑐 − 𝑎𝑏 + 𝑏 + 𝑎 − 1
8
EXEMPLO 1
Um engenheiro está estudando a rugosidade da superfície de uma peça usinada. 
Fatores de interesse: 
Taxa de alimentação (A) 
profundidade do corte (B) 
ângulo da ferramenta (C)
Planejamento Fatorial foi feito conforme dados da tabela.
9
20 polegadas por min.
30 polegadas por min.
Ângulo da ferramenta (C) Ângulo da ferramenta (C)
0,025 polegada 0,040 polegada
Profundidade do corte (B)
Taxa de 
Alimentação (A)
10
Rugosidade da 
superfície
TotaisRodadas
Fatores do planejamento
A B C
11
A
B
C
bc
b
ac
abc
ab
a(1)
c
1
4𝑛
𝑎 + 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 + 𝑎𝑏𝑐 − (1) − 𝑏 − 𝑐 − 𝑏𝑐
12
Termo Efeito Coef EP de
Coef T Valor-P
Constante 11,063 0,39 28,34 0
A 3,375 1,688 0,39 4,32 0,003
B 1,625 0,813 0,39 2,08 0,071
C 0,875 0,438 0,39 1,12 0,295
A*B 1,375 0,687 0,39 1,76 0,116
A*C 0,125 0,063 0,39 0,16 0,877
B*C -0,625 -0,313 0,39 -0,8 0,446
A*B*C 1,125 0,562 0,39 1,44 0,188
13
14
15
16
Propriedades interessantes
• Cada coluna tem um número igual de sinais mais e menos;
• A soma dos produtos dos sinais de quaisquer duas colunas é zero. Colunas na tabela são
ortogonais
• A multiplicação de qualquer coluna pela coluna I deixa a coluna inalterada.
• O produto de quaisquer duas colunas resulta em uma coluna da tabela, por exemplo:
A x B= AB AB x ABC= A2 B2 C= C
uma vez que uma coluna multiplicada por si mesma é a coluna identidade.
Combinações
tratamentos
Efeitos dos 
fatores
I A B AB C AC BC ABC
(1) + − − + − + + −
a + + − − − − + +
b + − + − − + − +
ab + + + + − − − −
c + − − + + − − +
ac + + − − + + − −
bc + − + − + − + −
abc + + + + + + + +
Tabela de sinais para Planejamento 23
17
Efeito= 
𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑠𝑡𝑒
𝑛2𝑘−1
SQ= 
(𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑠𝑡𝑒)2
𝑛2𝑘
Propriedades interessantes
A estimativa de qualquer efeito principal ou interação é determinada:
1
4𝑛
𝑎 + 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 + 𝑎𝑏𝑐 − (1) − 𝑏 − 𝑐 − 𝑏𝑐
18
Uma indústria química estava interessada em avaliar qual a melhor condição de produção
de um tipo especial de carvão ativo granulado a ser utilizado para adsorção de vapores
não polares. Principais variáveis que podiam afetar a qualidade do carvão ativo
produzido eram:
Matéria prima (A): casca de côco (nível baixo) e um tipo especial de serragem (nível
alto)
Temperatura de carbonização (B): temperatura de 500o C e 7000 C
Substância ativante ( C): Cloreto de Zinco (nível baixo) Ácido Fosfórico (nível alto)
Tempo de Carbonização (D): 2 horas e 4 horas
Uma das principais variáveis capazes de medir a qualidade do carvão ativo produzido era
a razão entre a massa dos vapores adsorvidos (V) e a massa de carvão ativo utilizado em
cada ensaio (M). Experimento realizado com 2 réplicas.
EXEMPLO 2
19
Tabela de sinais para Planejamento 24
20
21
22
Modelo de Regressão
𝑌 = 𝛽𝑜+ 𝛽1𝑥1 + 𝛽2 𝑥2 +⋯… . 𝛽𝑘𝑥𝑘 + 𝜀𝑖
23
Ordem ensaio A B C D Y Ajustado Resíduo
31 -1 -1 -1 -1 94 95,5 -1,5
23 -1 -1 -1 -1 97 95,5 1,5
21 1 -1 -1 -1 80 78,5 1,5
13 1 -1 -1 -1 77 78,5 -1,5
6 -1 1 -1 -1 117 116,5 0,5
30 -1 1 -1 -1 116 116,5 -0,5
4 1 1 -1 -1 106 107,5 -1,5
12 1 1 -1 -1 109 107,5 1,5
1 -1 -1 1 -1 93 90,5 2,5
27 -1 -1 1 -1 88 90,5 -2,5
17 1 -1 1 -1 80 80,5 -0,5
28 1 -1 1 -1 81 80,5 0,5
11 -1 1 1 -1 116 114 2,0
3 -1 1 1 -1 112 114 -2,0
5 1 1 1 -1 109 106,5 2,5
22 1 1 1 -1 104 106,5 -2,5
15 -1 -1 -1 1 84 81 3,0
24 -1 -1 -1 1 78 81 -3,0
14 1 -1 -1 1 67 67 0,0
10 1 -1 -1 1 67 67 0,0
25 -1 1 -1 1 116 116,5 -0,5
8 -1 1 -1 1 117 116,5 0,5
29 1 1 -1 1 110 109 1,0
18 1 1 -1 1 108 109 -1,0
7 -1 -1 1 1 77 79 -2,0
26 -1 -1 1 1 81 79 2,0
32 1 -1 1 1 64 65,5 -1,5
20 1 -1 1 1 67 65,5 1,5
19 -1 1 1 1 109 109 0,0
2 -1 1 1 1 109 109 0,0
9 1 1 1 1 106 105 1,0
16 1 1 1 1 104 105 -1,0
24
Outros métodos para avaliar a significância 
dos efeitos no planejamento 2K
através do Intervalo de confiança
EP (efeito) = 
𝜎2
𝑛2𝑘−2
Um intervalo aproximado de 95% de confiança para um efeito principal ou 
para um efeito de interação é dado por:
Efeito principal ± 2 EP (efeito)
25
Efeitos Estimativa LI LS
A -10,3125 -11,91 -8,71
B 30,8125 29,21 32,41
C -2,6875 -4,29 -1,09
D -7,1875 -8,79 -5,59
AB 3,3125 1,71 4,91
AC 1,5625 -0,04 3,16
AD 0,5625 -1,04 2,16
BC -1,0625 -2,66 0,54
BD 5,9375 4,34 7,54
CD -1,0625 -2,66 0,54
ABC -0,3125 -1,91 1,29
ABD 0,6875 -0,91 2,29
ACD -0,5625 -2,16 1,04
BCD -0,9375 -2,54 0,66
ABCD 1,0625 -0,54 2,66
26
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28
29
30
31
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