Semana 4 - Atividade Avaliativa com correção

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01/06/2022 09:43 Revisar envio do teste: Semana 4 - Atividade Avaliativa &ndash...
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 Revisar envio do teste: Semana 4 - Atividade AvaliativaCálculo I - MCA501 - Turma 001 Atividades
Revisar envio do teste: Semana 4 - Atividade Avaliativa 
Usuário ROGERIO DE MORAES MAGALHAES
Curso Cálculo I - MCA501 - Turma 001
Teste Semana 4 - Atividade Avaliativa
Iniciado 01/06/22 08:51
Enviado 01/06/22 09:42
Data de
vencimento
30/06/22 23:59
Status Completada
Resultado da
tentativa
10 em 10 pontos  
Tempo
decorrido
51 minutos
Instruções
Resultados
exibidos
Todas as respostas, Respostas enviadas, Respostas corretas, Comentários, Perguntas respondidas
incorretamente
1. Para responder a esta atividade, selecione a(s) alternativa(s) que você considerar correta(s);
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tente alcançar melhores resultados.
Olá, estudante!
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Pergunta 1
Resposta Selecionada:
a. 
Respostas:
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
Comentário
da
resposta:
Considere a função 
RESPOSTA CORRETA:
JUSTIFICATIVA 
Denote . Note que podemos escrever . Uma vez
que , pois ambas as funções são crescentes e ilimitadas, temos
uma indeterminação do tipo . Aplicando a Regra de L’Hospital, temos que 
1,25 em 1,25 pontos
https://ava.univesp.br/webapps/blackboard/execute/courseMain?course_id=_5891_1
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. Uma vez que 
concluímos que
.
Pergunta 2
Resposta Selecionada:
e. 
Respostas:
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
Comentário
da resposta:
Considere a função 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑖𝑛(𝑥)𝑐𝑜𝑠(𝑥). Com respeito a concavidade da função 𝑓(𝑥), podemos afirmar que:
𝑓 ( 𝑥 ) tem concavidade para baixo no intervalo 
𝑓 ( 𝑥 ) tem concavidade para cima no intervalo (0, 𝜋).
Nenhuma das outras alternativas.
𝑓 ( 𝑥 ) tem concavidade para baixo no intervalo 
RESPOSTA CORRETA:
𝑓(𝑥) tem concavidade para baixo no intervalo 
JUSTIFICATIVA:
Para identificar a concavidade da função, devemos calcular sua segunda derivada. Assim 𝑓 ′
(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠2(𝑥) − 𝑠𝑖𝑛2 (𝑥) e 𝑓 ′′(𝑥) = −2𝑐𝑜𝑠(𝑥)𝑠𝑖𝑛(𝑥) − 2𝑠𝑖𝑛(𝑥)𝑐𝑜𝑠(𝑥) = −4𝑠𝑖𝑛(𝑥)𝑐𝑜𝑠(𝑥).
Uma vez que 𝑓(𝑥) < 0 para 𝑥 ∈ , concluímos que 𝑓(𝑥) tem concavidade para baixo no
intervalo 
Pergunta 3
Resposta Selecionada: b. 
Respostas: a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
Comentário
da
resposta:
Considere a função 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 3𝑥. Com respeito ao comportamento da função 𝑓(𝑥), é correto afirmar que:
𝑓(𝑥) é crescente para 𝑥 ∈ (−∞, −1) ∪ (1, ∞); 𝑓(𝑥) é decrescente para 𝑥 ∈ (−1,1).
𝑓(𝑥) é crescente para 𝑥 > 0; 𝑓(𝑥) é decrescente para 𝑥 < 0.
𝑓(𝑥) é crescente para 𝑥 ∈ (−∞, −1) ∪ (1, ∞); 𝑓(𝑥) é decrescente para 𝑥 ∈ (−1,1).
Nenhuma das outras alternativas.
𝑓(𝑥) é crescente para 𝑥 ∈ (−1,1); 𝑓(𝑥) é decrescente para 𝑥 ∈ (−∞, −1) ∪ (1, ∞).
𝑓(𝑥) é crescente para 𝑥 < 0; 𝑓(𝑥) é decrescente para 𝑥 > 0.
RESPOSTA CORRETA:
𝑓(𝑥) é crescente para 𝑥 ∈ (−∞, −1) ∪ (1, ∞); 𝑓(𝑥) é decrescente para 𝑥 ∈ (−1,1).
JUSTIFICATIVA:
1,25 em 1,25 pontos
1,25 em 1,25 pontos
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De fato, derivando a função 𝑓(𝑥) temos: 𝑓 ′ (𝑥) = 3𝑥3 − 3 = 3(𝑥2 − 1) = 3(𝑥 − 1)(𝑥 + 1). Sendo
assim, 𝑓(𝑥) > 0 para 𝑥 ∈ (−∞, −1) ∪ (1, ∞) e, portanto crescente; e 𝑓(𝑥) < 0 para 𝑥 ∈ (−1,1) e,
portanto, decrescente.
Pergunta 4
Resposta Selecionada:
a. 
Respostas:
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
Comentário
da resposta:
Considere a função . Calcule 
RESPOSTA CORRETA:
JUSTIFICATIVA:
Primeiramente, observe que o limite em questão fornece uma indeterminação do tipo .
Assim, podemos aplicar a Regra de L’Hospital para calcular esse limite:
Pergunta 5
Resposta Selecionada: e. 
Respostas: a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
Comentário
da
resposta:
Considere a função 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 2𝑥 − 3. Com respeito a pontos de máximo e mínimo da função 𝑓(𝑥), é correto
afirmar que:
𝑥 = −1 é ponto de mínimo global.
𝑥 = −1 é ponto de máximo global.
𝑥 = −1 é ponto de máximo local, mas não global.
𝑥 = −1 é ponto de mínimo local, mas não global.
𝑥 = 1 é ponto de mínimo global.
𝑥 = −1 é ponto de mínimo global.
RESPOSTA CORRETA:
𝑥 = −1 é ponto de mínimo global.
JUSTIFICATIVA:
Para identificar máximos e mínimos, devemos primeiramente encontrar os zeros de 𝑓 ′ (𝑥).
Note que 𝑓 ′ (𝑥) = 2𝑥 + 2 possui somente um zero, dado por 𝑥 = −1. Agora, aplicamos o critério
da segunda derivada. Uma vez que 𝑓 ′ (−1) = 2 > 0, concluímos, a princípio, que 𝑥 = −1 é
mínimo local. No entanto, dado que 𝑓(𝑥) é função polinomial de grau 2 o qual tem o gráfico
dado por uma parábola, concluímos que 𝑥 = −1 é mínimo global.
1,25 em 1,25 pontos
1,25 em 1,25 pontos
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Pergunta 6
Resposta Selecionada: c. 
Respostas: a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
Comentário da
resposta:
Considere a função 𝑓(𝑥) = 𝑥2 (𝑙𝑛(𝑥 + 𝑒) − 1). Com respeito as características do ponto 𝑥 = 0, é correto afirmar
que:
𝑥 = 0 é um ponto de inflexão da função 𝑓(𝑥).
𝑥 = 0 não é um ponto crítico da função 𝑓(𝑥).
𝑥 = 0 é um ponto de máximo da função 𝑓(𝑥).
𝑥 = 0 é um ponto de inflexão da função 𝑓(𝑥).
𝑥 = 0 é um ponto de mínimo local da função 𝑓(𝑥).
𝑥 = 0 é um ponto de máximo local da função 𝑓(𝑥).
RESPOSTA CORRETA:
𝑥 = 0 é um ponto de inflexão da função 𝑓(𝑥).
JUSTIFICATIVA:
Note que:
Assim, . Portanto, 𝑥 = 0 é um ponto de inflexão da
função 𝑓(𝑥).
Pergunta 7
Resposta Selecionada:
a. 
Respostas:
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
Comentário
da
resposta:
Considere a função 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑖𝑛(𝑥). Seja 𝑃(𝑥) o Polinômio de Taylor de ordem 4 de 𝑓(𝑥) em volta de 0. Qual das
seguintes expressões corresponde ao 𝑃(𝑥)?
RESPOSTA CORRETA:
1,25 em 1,25 pontos
1,25 em 1,25 pontos
01/06/2022 09:43 Revisar envio do teste: Semana 4 - Atividade Avaliativa &ndash...
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Quarta-feira, 1 de Junho de 2022 09h43min00s BRT
JUSTIFICATIVA:
Pelo Teorema de Taylor: 
. Assim, necessitamos das derivadas até ordem 4 de 𝑓(𝑥) no ponto 1:
𝑓(0) = 𝑠𝑖𝑛(0) = 0,
𝑓 ′ (0) = 𝑐𝑜𝑠(0) = 1,
𝑓 ′′(0) = −𝑠𝑖𝑛(0) = 0,
𝑓 ′′′ (0) = −𝑐𝑜𝑠(0) = −1 e
𝑓 (4) (0) = 𝑠𝑖𝑛(0) = 0.
Portanto, .
Pergunta 8
Resposta
Selecionada:
d. 
Respostas: a. 
b.
c. 
d. 
e. 
Comentário da
resposta:
Seja 𝑓(𝑥) uma função derivável. Com relação ao comportamento da função 𝑓(𝑥), é correto afirmar que:
Se 𝑓 ′ (𝑥) < 0 para todo 𝑥 em um intervalo 𝐼, então 𝑓(𝑥) é decrescente em 𝐼.
Se 𝑓 ′ (𝑥0) = 0, então 𝑥0 é um mínimo local ou máximo local da 𝑓(𝑥).
Se 𝑓 ′ (𝑥0) = 𝑓 ′′(𝑥0) = 0, então 𝑥0 não é nem mínimo local e nem máximo local da 𝑓(𝑥).
Se 𝑓 ′ (𝑥0) = 0 e 𝑓 ′′(𝑥0) > 0, então 𝑥0 é um mínimo global da 𝑓(𝑥).
Se 𝑓 ′ (𝑥) < 0 para todo 𝑥 em um intervalo 𝐼, então 𝑓(𝑥) é decrescente em 𝐼.
Se 𝑓 ′ (𝑥) < 0 para todo 𝑥 em um intervalo 𝐼, então 𝑓(𝑥) é crescente em 𝐼.
RESPOSTA CORRETA:
 Se 𝑓 ′ (𝑥) < 0 para todo 𝑥 em um intervalo 𝐼, então𝑓(𝑥) é decrescente em 𝐼.
JUSTIFICATIVA
De fato, se 𝑓 ′ (𝑥) < 0 para todo 𝑥 em um intervalo 𝐼, então 𝑓(𝑥) é decrescente em
𝐼.
← OK
1,25 em 1,25 pontos