MECANICA RESIST MATERIAIS LISTA 2

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MECÂNICA E RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS – LISTA 2 
ESTRUTURA DE CONCRETO ARMADO: UMA ANÁLISE DE MATERIAIS E 
DE CONCEPÇÃO ESTRUTURAL 
ETAPA 01 
A LC Engenharia é um escritório que atua a 5 anos no mercado, produzindo projetos 
arquitetônicos e complementares. Você foi contratado para ser o engenheiro responsável 
pelo cálculo e análise estrutural dos projetos desenvolvidos pelo escritório. 
A sua especialidade se concentra no cálculo de concreto armado e, portanto, faz 
parte do seu dia a dia a pesquisa de avanços nos materiais que envolvem este tipo de 
estrutura: o concreto e o aço. 
Para estes projetos, a escolha dos materiais é uma decisão que interfere diretamente 
na qualidade do projeto e da execução dos serviços contratados. Para melhorar a 
viabilidade econômica dos projetos, a equipe do escritório decidiu testar novos 
fornecedores de aço, com preços e prazos de entregas mais atrativos. Contudo, há uma 
especificação que te preocupou. Ao analisar a composição da liga metálica, você percebeu 
que há uma taxa de carbono um pouco menor do que o que é encontrando comumente no 
mercado e, teoricamente, isso reduz a resistência à traço do aço. Para garantia de que seu 
serviço continue com a qualidade que deseja, você foi até o laboratório da Unicesumar 
munido de amostras destes materiais, obtidos com o próprio fornecedor, para verificar as 
suas propriedades. 
Para o ensaio do aço, foi utilizado um corpo de prova de liga metálica, com diâmetro 
de 11,8 mm e comprimento útil de 50 mm, que foi submetido a um ensaio de tração até a 
ruptura. Os dados de carga e alongamento obtidos durante o ensaio estão na Tabela 1. 
Tabela 1: Dados de carga e alongamento obtidos no ensaio de tração 
Carga 
(kN) 
𝜹 (𝒎𝒎) 
0 0 
8,6 0,018 
18,8 0,0395 
28,2 0,0585 
38,2 0,079 
49 0,098 
55 0,111 
57 0,117 
61 0,133 
57 0,172 
66 0,2 
72 0,3 
78 0,4 
82 0,6 
84,5 0,8 
85,3 1,35 
84 2,8 
83 4,5 
79 6,5 
75 8,5 
65 10,5 
Fonte: O autor (2020) 
 
1. Construa o gráfico de tensão e deformação para verificar o limite de 
proporcionalidade, a tensão de escoamento, tensão última e a tensão de ruptura. 
Explique como chegou a esta conclusão. 
1º Passo: Análise preliminar 
Dados do corpo de prova: 
Diâmetro: 11,8 mm 
Comprimento: 50mm 
• O valor da deformação específica normal pode ser determinado pela equação 1 
(Eq.1) (Violin, p. 116, 2019), 
𝜀 =
𝛿
𝐿
 (Eq.1) 
Onde: 
ε = Deformação específica normal 
δ = Variação do comprimento em unidade de comprimento (m; cm; mm) 
L = Comprimento inicial, em unidade de comprimento (m; cm; mm) 
• A tensão é dada pela equação 5 (Eq.5) (Violin, p. 131, 2019), 
𝜎 =
𝑃
𝐴
 (Eq.5) 
Onde: 
δ = Tensão (Pa, MPa) 
P = Carga aplicada (N; KN) 
A = Área da seção transversal (m2) 
1º Passo: Cálculo da área 
𝐴 = π ∗ (
𝐷
2
)
2
= 𝜋 ∗ (
11,8 ∗ 10−3
2
)
2
= 109,35 ∗ 10−6𝑚2 
2º Passo: Cálculo da tensão e deformação 
A tabela 2 apresenta os dados obtidos após aplicação das equações acima. 
Tabela 2: Apresentação dos dados obtidos de Tensão, Deformação e Área 
Área 109,35 Lo 50 
Carga 
(KN) 
Carga 
(N) 
Along. 
(mm) 
Deformação 
(δ/Lo) 
(mm/mm) 
Tensão 
(P/A0) 
(MPa) 
0 0 0 0 0,000 
8,6 8600 0,018 0,00036 78,647 
18,8 18800 0,0395 0,00079 171,925 
28,2 28200 0,0585 0,00117 257,888 
38,2 38200 0,079 0,00158 349,337 
49 49000 0,098 0,00196 448,102 
Limite de 
Proporcionalidade 
55 55000 0,111 0,00222 502,972 
Tensão de 
Escoamento 
57 57000 0,117 0,00234 521,262 
61 61000 0,133 0,00266 557,842 
57 57000 0,172 0,00344 521,262 
66 66000 0,2 0,004 603,567 
72 72000 0,3 0,006 658,436 
78 78000 0,4 0,008 713,306 
82 82000 0,6 0,012 749,886 
84,5 84500 0,8 0,016 772,748 
85,3 85300 1,35 0,027 780,064 Tensão Última 
84 84000 2,8 0,056 768,176 
83 83000 4,5 0,09 759,031 
79 79000 6,5 0,13 722,451 
75 75000 8,5 0,17 685,871 
65 65000 10,5 0,21 594,422 Tensão de Ruptura 
 
De posse dos resultados, os dados obtidos foram plotados no gráfico 1, onde se pode 
visualizar o comportamento da curva da tensão x deformação. 
 
Gráfico 1 – Tensão x Deformação. 
O gráfico 1 apresenta a representação dos dados obtidos na tabela 1. O eixo vertical é a 
tensão e, o eixo horizontal é a deformação, onde a curva resultante é chamada de tensão-
deformação. Contudo, a visualização das regiões diferentes, fica prejudicada. 
O gráfico 2 foi feito de forma expandida para melhor visualizar as quatros diferentes regiões 
nas quais o material se comporta. 
 
Gráfico 2 – Tensão x Deformação. 
0,000
100,000
200,000
300,000
400,000
500,000
600,000
700,000
800,000
900,000
0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25
Tensão (MPa) X Deformação
0
0
,0
0
0
3
6
0
,0
0
0
7
9
0
,0
0
1
1
7
0
,0
0
1
5
8
0
,0
0
1
9
6
0
,0
0
2
2
2
0
,0
0
2
3
4
0
,0
0
2
6
6
0
,0
0
3
4
4
0
,0
0
4
0
,0
0
6
0
,0
0
8
0
,0
1
2
0
,0
1
6
0
,0
2
7
0
,0
5
6
0
,0
9
0
,1
3
0
,1
7
0
,2
1
0
,0
0
0
7
8
,6
4
7 1
7
1
,9
2
5
2
5
7
,8
8
8
3
4
9
,3
3
7
4
4
8
,1
0
2
5
0
2
,9
7
2
5
2
1
,2
6
2
5
5
7
,8
4
2
5
2
1
,2
6
2
6
0
3
,5
6
7
6
5
8
,4
3
6
7
1
3
,3
0
6
7
4
9
,8
8
6
7
7
2
,7
4
8
7
8
0
,0
6
4
7
6
8
,1
7
6
7
5
9
,0
3
1
7
2
2
,4
5
1
6
8
5
,8
7
1
5
9
4
,4
2
2
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
TENSÃO X DEFORMAÇÃO 
Tensão de Escoamento
Tensão Última
Tensão de Ruptura
Limite de
Proporcionalidade
Pela curva do gráfico 2, se pode identificar as quatros regiões diferentes. 
O comportamento elástico se dá na região inicial da curva indo até ao ponto de limite de 
proporcionalidade no valor de tensão de 448,102 N/m2. A partir deste momento, a tensão 
excedeu um pouco desse valor e houve uma ligeira inclinação. Para Hibbeler (2018), 
quando há esta inclinação e até que a tensão atinja seu limite elástico, se pode verificar 
que a curva é uma linha reta e, qualquer aumento proporcional poderá causará deformação. 
Neste sentido, a constante de proporcionalidade foi descoberta por Robert Hooke, usando 
molas, o que originou a lei de Hooke (HIBBELER, 2018). 
A tensão de escoamento aparece no ponto 502,972 N/m2, onde a deformação começa 
ocorrer, sendo denominada de deformação plástica, de acordo com Hibbeler (2018). 
Após passar o escoamento, o material começa a apresentar uma recuperação em relação 
ao suporte de tensão, onde, segundo Violin (2021), ocorre um aumento da deformação que 
é proporcional ao aumento do carregamento aplicado, onde a tensão irá atingir o seu valor 
máximo, conhecida como a tensão última. Dentro do problema aqui estudado, a tensão 
última foi registrada no ponto 780,064 N/m2. 
A tensão de ruptura, que ocorre após o material atingir a tensão última e apresenta uma 
diminuição de seu diâmetro de corpo, diminuindo a seção transversal e, com o 
carregamento aplico, o material irá manter a deformação até a sua ruptura (Violin, 2021), 
ocorreu no ponto 594,422 N/m2. 
2. Com o diagrama tensão-deformação em mãos, calcule o módulo de elasticidade 
deste material. Pesquise ABNT NBR 8800 - 2008 qual é o módulo de elasticidade e 
compare com o obtido. Além disso, determine a diferença percentual entre esses 
valores, de acordo com a fórmula abaixo. Não se esqueça de citar as fontes 
utilizadas na pesquisa. 
Variação percentual = (
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙
− 1) × 100 
A força elástica é calculada pela Lei de Hooke (Hibbeler, 2018) pela seguinte equação: 
𝜎 = 𝐸𝜀 
Para determinar a constante (E), a equação será 
𝐸 =
𝜎
𝜀
 
O ponto escolhido para o cálculo foi o do Limite de Proporcionalidade, ficando 
𝐸 =
448,102 ∙ 106
0,00196
 
𝐸 = 228623,46 ∙ 106 
𝐸 = 228,623 ∙ 109 
𝐸 = 228,623 𝐺𝑃𝑎 
De acordo com a Associação Brasileira de Normas Técnicas – ABNT (2008), para efeito de 
cálculo, o módulo elasticidade para o aço é de 𝐸𝑎 = 200000 𝑀𝑃𝑎 ou, 200 GPa. Desta forma 
podemos obter a diferença percentual entre o valor obtido com a norma da seguinte forma: 
Variaçãopercentual = (
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙
− 1) × 100 
∆% = (
228,623 𝐺𝑃𝑎
200 𝐺𝑃𝑎
− 1) × 100 
∆% = 14,31% 
Resp.: o módulo elasticidade (E) deste material foi de 228,623 GPa e, a diferença 
percentual destes valores foi de 14,31%. 
 
ETAPA 02 
Na sua jornada dentro do escritório, um cliente contratou o escritório para o 
desenvolvimento dos projetos arquitetônico e complementares de sua residência. A 
edificação terá 167,00 m² e foi apresentado ao cliente, conforme as Figuras 1 e 2. 
Este projeto será construído em um condomínio fechado e, por isso, há exigência de 
todos os projetos complementares, inclusive o estrutural. 
 
Figura 1: Projeto da fachada 3D 
 
Fonte: @espaco_projetar (2020) 
 
O cliente aprovou o projeto e você ficou responsável pelo dimensionamento 
da estrutura. Seu desafio será na área onde ficará o reservatório de água desta 
residência, logo acima dos banheiros. Os elementos estruturais da área afetada estão 
detalhados na figura abaixo (Figura 2 e 3). 
 
Figura 2: Planta baixa com detalhamento das vigas da área que será alterada 
 
Fonte: O autor (2020) 
Figura 3: Projeção 3D da área que sofreu alterações no projeto estrutural 
Fonte: O autor (2021) 
 
Ao verificar o memorial de cálculo, você corrigiu rapidamente as cargas 
externas, considerando que seriam construídos alguns cômodos no pavimento 
superior. As cargas externas que foram consideradas são: 
• Peso próprio das vigas; 
• Paredes acima das vigas; 
• Peso das lajes: 
o Sobrecarga; 
o Peso próprio; 
o Reservatório de água. 
Considerando as novas condições a que esta estrutura será submetida, os 
esquemas estruturais das vigas mais afetadas foram as vigas V101, V102 e V105. O 
detalhamento destas cargas está na Figura 4. 
 
Figura 4: Detalhamento dos esforços externos nas vigas mais afetadas (unidade de 
medida em cm) 
 
Fonte: O autor (2021) 
 
A partir disto, foram determinados os diagramas de esforços cortante e 
momento fletor, por meio do software Ftool. Os diagramas estão detalhados nas 
Figuras 5 a 10. 
 
Figura 5: Diagrama de Força Cortante (kN) da viga V101 
 
Fonte: O autor (2020) 
 
Figura 6: Diagrama de Momento Fletor (kN.m) da viga V101 
 
Fonte: O autor (2020) 
 
Figura 7: Diagrama de Força Cortante (kN) da viga V103 
 
Fonte: O autor (2020) 
 
Figura 8: Diagrama de Momento Fletor (kN.m) da viga V103 
 
Fonte: O autor (2020) 
 
 
Figura 9: Diagrama de Força Cortante (kN) da viga V105 
2
2
2 
 
Fonte: O autor (2020) 
 
Figura 10: Diagrama de Momento Fletor (kN.m) da viga V105 
 
Fonte: O autor (2020) 
 
Diante disso, como a estrutura havia sido dimensionada com um fator de 
segurança maior do que o usual é possível que a estrutura dimensionada suporte as 
tensões provocadas pelos novos esforços. Além disso, o projeto foi elaborado com 
duas sugestões de vigas (A) e (B). Ambas são seções retangulares, com 
detalhamento na Figura 11. 
 
Figura 11: Detalhamento das seções transversais (unidade em metros) 
 
(A) (B) 
Fonte: O autor (2021) 
 
Na seção retangular (a) foram considerados 3 vergalhões com 12 mm de 
diâmetro e na seção retangular (b) foram utilizados 2 vergalhões com diâmetro de 16 
mm de diâmetro. O concreto é o C30 e o aço CA-50, cuja tensão de ruptura à 
compressão do concreto é 30 MPa e a tensão de escoamento do aço é de 500 Mpa. 
O módulo de elasticidade do concreto é de 25 GPa e o do aço 200 GPa. O Fator de 
Segurança (FS) utilizado no dimensionamento do concreto é de 1,75 e do aço é de 
1,35. 
Considere, em ambas as seções, que acima da linha neutra o concreto 
absorverá as cargas de compressão e abaixo absorverá as cargas de tração. 
 
1. Verifique se a viga pré-dimensionada suportará os momentos fletores que estão 
sendo solicitados. 
Passo 1: Análise Preliminar da figura 11(A) 
• Momentos fletores das vigas: foram considerados os momentos mais críticos de 
cada viga, onde se aponta: 
o V101: 4,9 KNm 
o V103: 22,8 KNm 
o V105: 24,8 KNm 
• Fator de Segurança (FS): 
o FSc: 1,75 
o FSa: 1,35 
• Tensão de ruptura à compressão do concreto: 30 MPa. 
• Tensão de escoamento do aço: 500MPa 
• Módulo elasticidade 
o c: 25 GPa 
o a: 200 GPa 
• Cálculos da tensão admissível do concreto (C) e do aço (A): 
𝐹𝑆 =
𝑇𝑒𝑛𝑠ã𝑜 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 (𝜎𝑈)
𝑇𝑒𝑛𝑠ã𝑜 𝑎𝑑𝑚𝑖𝑠𝑠í𝑣𝑒𝑙 (𝜎𝑎𝑑𝑚)
 
𝜎𝑎𝑑𝑚 =
𝜎𝑈
𝐹𝑆
 
𝜎𝑎𝑑𝑚𝐶 =
𝜎𝑈
𝐹𝑆
=
30 𝑀𝑃𝑎
1,75
= 17,14 𝑀𝑃𝑎 
𝜎𝑎𝑑𝑚𝐴 =
𝜎𝑈
𝐹𝑆
=
500 𝑀𝑃𝑎
1,35
= 370,37 𝑀𝑃𝑎 
 
Seção Transversal da figura 11 (A) 
• Cálculo do aço na seção 
 
d = 12 mm 
quantidade de vergalhões: 3 
𝐴 = 3𝜋 (
𝑑
2
)
2
= 3𝜋 (
12
2
)
2
 
𝐴 = 339,3 𝑚𝑚2 
Como a superfície não é homogênea, pois há concreto e aço, se deve transformar o aço 
em concreto (área transformada) para prosseguimento dos cálculos. A figura 12 apresenta 
a representação da área transformada. 
LN
C
Compressão
Tração
Aço Transformado
Concreto
 
Figura 12 – Diagrama da área transformada. 
Segundo Hibbeler (2018), a análise da tensão requer localizar o eixo neutro e determinar a 
tensão máxima no aço e no concreto. Para que isso ocorra, a área do aço da figura 11 (A) 
é transformada em uma área equivalente de concreto usando o fator de conversão: 
𝑛 =
𝐸𝑎
𝐸𝑐
 
Para encontrar a Linha Neutra (LN), Violin (2021) diz que quando a barra é submetida à 
flexão pura, e a linha neutra passa no centroide da seção, as tensões permanecem em 
regime elástico. 
 
 
• Transformando a seção do aço em concreto 
O primeiro passo é encontrar o fator de transformação (n) que é dado pela razão do 
coeficiente de elasticidade do aço pelo concreto: 
𝑛 =
𝐸𝑎
𝐸𝑐
 
𝑛 =
200 𝑀𝑃𝑎
25 𝑀𝑃𝑎
= 8 
Para calcular a área transformada, pega-se o fator de transformação (n) e multiplica-se pela 
área do aço. Segue o cálculo: 
𝐴𝑎ç𝑜 𝑇 = 8 ∙ 339,3 𝑚𝑚
2 
𝐴𝑎ç𝑜 𝑇 = 2714,4 𝑚𝑚
2 
A figura 13 apresenta uma análise para obtenção de valores, para cálculos posteriores. 
LN
C
X 
0,259 - X 
0,15 m 
0
,2
5
9
 m
 
2714,4 mm
2
C’
x/2
 
Figura 13 – Análise da seção retangular da viga. 
Sabe-se que, no detalhamento das seções transversais, se tem 0,15 m de largura por 
0,259m de comprimento, a partir dos vergalhões. Para se chegar aos valores a fim de 
auxiliar nos cálculos futuros, foi traçado uma linha neutra (LN) no centroide da figura (C). 
Posteriormente foi definido o centroide da nova figura (C’) na área do concreto, e, a 
distância entre C e C’ equivale a x/2. Da LN até o final da figura, equivale a x, valor este 
que terá que ser determinado. Abaixo se encontra a área do aço transformado que tem o 
valor de 2714, 4 mm2. Da LN para a borda inferior, se em a diferença entre a altura da seção 
transversal menos o valor de x (0,259-x). Como a figura é simétrica, foi localizado o 
centroide do retângulo superior (C’). 
Passo 2: Momento de Primeira Ordem (Estático) 
Equação do momento estático: 
∑ 𝑄𝑋 = 0 
O momento Q é dado pela área que multiplica a distância (d), do eixo de simetria. 
Logo, para a parte do concreto temos: 
0,15 ∙ 𝑥 ∙
𝑥
2
− 2714,4 ∙ 106 ∙ (0,259 − 𝑥) = 0 
0,075𝑥2 − 703,03 ∙ 10−6 + 2714,4𝑥 = 0 
Arrumando a equação, se obtém: 
0,075𝑥2 + 2714,4𝑥 − 703,03 ∙ 10−6 = 0 
Aplicando Bhaskara 
𝑥 =
−𝑏±√Δ
2∙𝑎
 onde ∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐 
Resolvendo, 
∆= (2714,4 ∙ 10−6)2 − 4 ∙ 0,075 ∙ (−703,03 ∙ 10−6) 
∆= 218,2657 ∙ 10−6 
𝑥 =
−2714,4 ∙ 10−6 ± √218,2657 ∙ 10−6
2 ∙ 0,075
= 0,08 𝑚 
𝑥 = 0,08 𝑚, que é o x positivo, pois é uma distância. 
O outro valor, que vai da LN até a parte inferior, ficou: 
0,259 𝑚 − 𝑥 
0,259 𝑚 − 0,08 𝑚 = 0,179 𝑚 
Assim, cos valores obtidos ficaram (figura 14): 
LN
C
0
,0
8
0
,1
7
9
0,15 m 
0
,2
5
9
 m
 
2714,4 mm
2
C’
0
,0
4
 
Figura 14 – Valores da seção retangular obtidos. 
O próximo cálculo a fazer é calcular a pressão real em cima da viga, por intermédio de 
𝜎 =
𝑀 ∙ 𝑦
𝐼
 
Como o problemanão fornece o momento de inércia (I), ele terá que ser calculado. 
• Cálculo do momento de inércia 
Há dois momentos de inércia a ser calculado da figura 1 (F1) e da figura 2 (F2). A figura 15 
apresenta as figuras onde terá que ser calculado I, 
LN
C
Aço Transformado
Concreto
F1
F2 
Figura 14 – Figuras que terão que ser calculado I. 
Desta forma, o momento de inércia será 
𝐼 = 𝐼𝐹1 + 𝐼𝐹2 
Aplicando o teorema dos eixos paralelos (Violin,2021), temos 
𝐼 =
1
12
𝑏ℎ3 + 𝑦2 ∙ (𝑏 ∙ ℎ) 
𝐼𝐹1 =
1
12
∙ 0,15 ∙ 0,083 + (0,04)2 ∙ 0,15 ∙ 0,08 
𝐼𝐹1 = 25,6 ∙ 10
−6 𝑚4 
𝐼 =
1
12
𝑏ℎ3 + 𝑦2 ∙ (𝑏 ∙ ℎ) 
O primeiro termo da equação foi cortado pois h é desprezível. Logo, 
𝐼𝐹2 = (0,179)
2 ∙ 2714,4 ∙ 10−6 
𝐼𝐹2 = 86,97 ∙ 10
−6 𝑚4 
𝐼 = 𝐼𝐹1 + 𝐼𝐹2 
𝐼𝑇 = 25,6 ∙ 10
−6 𝑚4 + 86,97 ∙ 10−6 𝑚4 
𝐼𝑇 = 112,57 ∙ 10
−6 𝑚4 
De posse dessas informações, pode-se calcular 
𝜎 =
𝑀 ∙ 𝑦
𝐼
 
Cálculo das tensões das vigas 
Viga V101 (M = 4,9.10-3 Nm) 
• Cálculo da compressão no concreto 
𝜎 =
𝑀 ∙ 𝑦
𝐼
 
𝜎 =
−4,9 ∙ 103 ∙ 0,08 𝑚
112,57 ∙ 10−6 𝑚4
 
𝜎 = −3,48 𝑀𝑃𝑎 
• Cálculo da tração do aço e no concreto 
𝜎𝐶 =
4,9 ∙ 103𝑁𝑚 ∙ 0,179 𝑚
112,57 ∙ 10−6 𝑚4
 
𝜎𝐶 = 7,79 𝑀𝑃𝑎 
𝜎𝐴 =
8 ∙ 4,9 ∙ 103𝑁𝑚 ∙ 0,179 𝑚
112,57 ∙ 10−6 𝑚4
 
𝜎𝐴 = 62,33 𝑀𝑃𝑎 
Para a análise se a viga pré-dimenssionada suportará os momentos fletores que 
estão sendo solicitados, será considerado somente as tensões de tração. Como as 
forças encontradas estão abaixo das máximas (7,79 MPa, 62,33 MPa) tensões 
admissíveis, a V101 suportará o momento fletor que está sendo solicitado. 
𝐼𝐹2 = (0,179)
2 ∙ 2714,4 ∙ 10−6 
𝐼𝐹2 = 86,97 ∙ 10
−6 𝑚4 
𝐼 = 𝐼𝐹1 + 𝐼𝐹2 
𝐼𝑇 = 25,6 ∙ 10
−6 𝑚4 + 86,97 ∙ 10−6 𝑚4 
𝐼𝑇 = 112,57 ∙ 10
−6 𝑚4 
De posse dessas informações, pode-se calcular 
𝜎 =
𝑀 ∙ 𝑦
𝐼
 
Viga V103 (M = 22,8.10-3 Nm) 
• Cálculo da compressão no concreto 
𝜎 =
−𝑀 ∙ 𝑥
𝐼
 
𝜎 =
−22,8 ∙ 103 ∙ 0,04 𝑚
112,57 ∙ 10−6 𝑚4
 
𝜎 = −16,2 𝑀𝑃𝑎 
• Cálculo da tração no aço e no concreto 
𝜎𝐶 =
22,8 ∙ 103𝑁𝑚 ∙ 0,179 𝑚
112,57 ∙ 10−6 𝑚4
 
𝜎𝐶 = 36,25 𝑀𝑃𝑎 
𝜎𝐴 = 𝑛 ∙ 36,25 𝑀𝑃𝑎 
𝜎𝐴 = 290,03 𝑀𝑃𝑎 
A V103 não suportará o momento fletor, tendo que ser redimensionada. 
Viga V105 (M = 24,8.10-3 Nm) 
• Cálculo da compressão no concreto 
𝜎 =
−𝑀 ∙ 𝑥
𝐼
 
𝜎 =
−24,8 ∙ 103 ∙ 0,08 𝑚
112,57 ∙ 10−6 𝑚4
 
𝜎 = −17,62 𝑀𝑃𝑎 
• Cálculo da tração no concreto e no aço 
𝜎𝐶 =
24,8 ∙ 103𝑁𝑚 ∙ 0,179 𝑚
112,57 ∙ 10−6 𝑚4
 
𝜎𝐶 = 39,43 𝑀𝑃𝑎 
𝜎𝐴 = 𝑛 ∙ 39,43 𝑀𝑃𝑎 
𝜎𝐴 = 8. 39,43 
𝜎𝐴 = 315,48 𝑀𝑃𝑎 
A V105 não suportará o momento fletor, tendo que ser redimensionada. 
Seção Transversal da figura 11 (B) 
• Cálculo do aço na seção 
 
d = 16 mm 
Quantidade de vergalhões: 2 
𝐴 = 2𝜋 (
𝑑
2
)
2
 
𝐴 = 402,12 𝑚𝑚2 
• Transformando a seção do aço em concreto 
O fator de transformação é n = 8 
O cálculo da área do aço transformado é: 
𝐴𝑎ç𝑜 𝑇 = 8 ∙ 402,12 𝑚𝑚
2 
𝐴𝑎ç𝑜 𝑇 = 3217 𝑚𝑚
2 
A figura 15 apresenta uma análise para obtenção de valores, para cálculos posteriores. E 
cálculo da linha neutra (LN). 
LN
C
x
0,307 - x
0,14 m 
0
,3
0
7
 m
 
3217 mm
2
C’
x
/2
F1
F2
 
Figura 15 – Análise da seção retangular da viga. 
Sabe-se que, no detalhamento das seções transversais, se tem 0,14 m de largura por 
0,307m de comprimento, a partir dos vergalhões. Para se chegar aos valores a fim de 
auxiliar nos cálculos futuros, foi traçado uma linha neutra (LN) no centroide da figura (C). 
Posteriormente foi definido o centroide da nova figura (C’) na área do concreto, e, a 
distância entre C e C’ equivale a x/2. Da LN até o final da figura, equivale a x, valor este 
que terá que ser determinado. Abaixo se encontra a área do aço transformado que tem o 
valor de 3217 mm2. Da LN para a borda inferior, se em a diferença entre a altura da seção 
transversal menos o valor de x (0,307-x). Como a figura é simétrica, foi localizado o 
centroide do retângulo superior (C’). 
Passo 2: Momento de Primeira Ordem (Estático) 
Equação do momento estático: 
∑ 𝑄𝑋 = 0 
O momento Q é dado pela área que multiplica a distância (d), do eixo de simetria. 
Logo, para a parte do concreto temos: 
0,14 ∙ 𝑥 ∙
𝑥
2
− 3217 ∙ 106 ∙ (0,307 − 𝑥) = 0 
0,7𝑥2 − 987,62 ∙ 10−6 + 3217𝑥 = 0 
Arrumando a equação, se obtém: 
0,7𝑥2 + 3217𝑥 − 987,62 ∙ 10−6 = 0 
Aplicando Bhaskara 
𝑥 =
−𝑏±√Δ
2∙𝑎
 onde ∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐 
Resolvendo, 
∆= (3217 ∙ 10−6)2 − 4 ∙ 0,7 ∙ (−987,62 ∙ 10−6) 
∆= 286,88 ∙ 10−6 
𝑥 =
−3217 ∙ 10−6 ± √286,88 ∙ 10−6
2 ∙ 0,7
= 0,098 𝑚 
𝑥 = 0,098 𝑚, que é o x positivo. 
O outro valor, que vai da LN até a parte inferior, ficou: 
0,259 𝑚 − 𝑥 
0,259 𝑚 − 0,08 𝑚 = 0,179 𝑚 
Assim, cos valores obtidos ficaram (figura 16): 
LN
C
0
,0
9
8
0
,2
0
9
0,14 m 
0
,3
0
7
 m
 
3217 mm
2
C’
0
,0
4
9
 
Figura 16 – Valores da seção retangular obtidos. 
O próximo cálculo a fazer é calcular a pressão real em cima da viga, por intermédio de 
𝜎 =
𝑀 ∙ 𝑦
𝐼
 
Como o problema não fornece o momento de inércia (I), ele terá que ser calculado. 
• Cálculo do momento de inércia 
Há dois momentos de inércia a ser calculado da figura 1 (F1) e da figura 2 (F2). A figura 17 
apresenta as figuras onde terá que ser calculado I, 
LN
C
Aço Transformado
Concreto
F1
F2 
Figura 17 – Figuras que terão que ser calculado I. 
Desta forma, o momento de inércia será 
𝐼 = 𝐼𝐹1 + 𝐼𝐹2 
Aplicando o teorema dos eixos paralelos (Violin,2021), temos 
𝐼 =
1
12
𝑏ℎ3 + 𝑦2 ∙ (𝑏 ∙ ℎ) 
𝐼𝐹1 =
1
12
∙ 0,14 ∙ 0,0983 + (
0,098
2
)
2
∙ (0,14 ∙ 0,098) 
𝐼𝐹1 = 43,92 ∙ 10
−6 𝑚4 
𝐼𝐹2 =
1
12
𝑏ℎ3 + 𝑦2 ∙ (𝑏 ∙ ℎ) 
O primeiro termo da equação foi cortado pois h é desprezível. Logo, 
𝐼𝐹2 = (0,209)
2 ∙ 3217 ∙ 10−6 
𝐼𝐹2 = 140,52 ∙ 10
−6 𝑚4 
𝐼 = 𝐼𝐹1 + 𝐼𝐹2 
𝐼𝑇 = 43,92 ∙ 10
−6 𝑚4 + 140,52 ∙ 10−6 𝑚4 
𝐼𝑇 = 184,44 ∙ 10
−6 𝑚4 
De posse dessas informações, pode-se calcular 
𝜎 =
𝑀 ∙ 𝑦
𝐼
 
Cálculo das tensões das vigas 
Viga V101 (M = 4,9.10-3 Nm) 
• Cálculo da compressão no concreto 
𝜎 =
𝑀 ∙ 𝑦
𝐼
 
𝜎 =
−4,9 ∙ 103 ∙ 0,098 𝑚
184,44 ∙ 10−6 𝑚4
 
𝜎 = −2,60 𝑀𝑃𝑎 
• Cálculo da tração no concreto e no aço 
𝜎𝐶 =
4,9 ∙ 103𝑁𝑚 ∙ 0,209 𝑚
184,44 ∙ 10−6 𝑚4
 
𝜎𝐶 = 5,45 𝑀𝑃𝑎 
𝜎𝐴 = 𝑛 ∙ 𝜎𝑐 
𝜎𝐴 = 8 ∙ 5,45 𝑀𝑃𝑎 
𝜎𝐴 = 43,6 𝑀𝑃𝑎 
A V101 suportará o momento fletor aplicado. 
Viga V103 (M = 22,8.10-3 Nm) 
• Cálculo da compressão no concreto 
𝜎 =
−𝑀 ∙ 𝑥
𝐼
 
𝜎 =
−22,8 ∙ 103 ∙ 0,098 𝑚
184,44 ∙ 10−6 𝑚4
 
𝜎 = −12,11 𝑀𝑃𝑎 
• Cálculo da tração no concreto e no aço 
𝜎𝐶 =
22,8 ∙ 103𝑁𝑚 ∙ 0,209 𝑚
184,44 ∙ 10−6 𝑚4
 
𝜎𝐶 = 25,58 𝑀𝑃𝑎 
𝜎𝐴 = 𝑛 ∙ 25,28 𝑀𝑃𝑎 
𝜎𝐴 = 204,64 𝑀𝑃𝑎 
A V103 não suportará o momento fletor pois, embora no aço tenha ficado abaixo, no 
concreto foi maior que a tensão admissível, tendo que ser redimensionada. 
Viga V105 (M = 24,8.10-3 Nm) 
• Cálculo da compressão no concreto 
𝜎 =
−𝑀 ∙ 𝑥
𝐼
 
𝜎 =
−24,8 ∙ 103 ∙ 0,098 𝑚
184,44 ∙ 10−6 𝑚4
 
𝜎 = −13,17 𝑀𝑃𝑎 
• Cálculo da tração do concreto e do aço 
𝜎𝐶 =
24,8 ∙ 103𝑁𝑚 ∙ 0,209 𝑚
184,44 ∙ 10−6 𝑚4
 
𝜎𝐶 = 28,1 𝑀𝑃𝑎 
𝜎𝐴 = 𝑛 ∙ 28,1 𝑀𝑃𝑎 
𝜎𝐴 = 8. 28,1 𝑀𝑃𝑎 
𝜎𝐴 = 224,8𝑀𝑃𝑎 
A V105 não suportará o momento fletor, tendo que ser redimensionada. 
2. Verifique qual o valor percentual da tensão admissível do concreto e do aço foi 
utilizado em cada uma das vigas (V101, V103, V105) e seções. Considerar sempre 
os momentos positivos da viga. 
O valor percentual (VP) será calculado pela seguinte equação: 
𝑉𝑃 =
𝑇𝑒𝑛𝑠ã𝑜 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑎 (𝑇𝐶)
𝑇𝑒𝑛𝑠ã𝑜 𝑎𝑑𝑚𝑖𝑠𝑠í𝑣𝑒𝑙 (𝑇𝐴)
× 100 
As tabelas 3 e 4 apresentam os valores percentuais da tensão admissível do concreto e do 
aço das seções transversais (a) e (b). 
Tabela 3 - Valores percentuais da tensão admissível do concreto e do aço da seção 
transversal A. 
 Tensão Calculada 
(MPa) 
Tensão Admissível 
(MPa) 
𝑽𝑷 =
𝑻𝑪
𝑻𝑨
× 𝟏𝟎𝟎 (%) 
 Concreto Aço ConcretoAço Concreto Aço 
V101 7,79 62,33 17,14 370,37 45,45 16,83 
V103 36,25 290,03 17,14 370,37 211,49 78,3 
V105 39,43 315,44 17,14 370,37 230,04 85,17 
 
Tabela 4 - Valores percentuais da tensão admissível do concreto e do aço da seção 
transversal B. 
 Tensão Calculada 
(MPa) 
Tensão Admissível 
(MPa) 
𝑽𝑷 =
𝑻𝑪
𝑻𝑨
× 𝟏𝟎𝟎 (%) 
 Concreto Aço Concreto Aço Concreto Aço 
V101 5,45 43,6 17,14 370,37 31,79 11,87 
V103 25,58 204,64 17,14 370,37 149,24 55,25 
V105 28,1 224,8 17,14 370,37 163,94 60,69 
3. Escolha qual das duas seções é mais eficiente para este caso. 
Segundo Boffoni (2021), em se tratando da resistência, a viga mais eficiente é aquela em 
que o material está localizado tão longe quanto possível da linha neutra, maior será o 
módulo da seção, maior será a resistência ao momento fletor. A autora também coloca que 
a seção transversal de retangular de uma dada área torna-se mais eficiente quando a altura 
h é aumentada (e b é diminuída para se manter a área constante). 
Tomando com base a afirmação acima, a seção mais eficiente para este caso, é o da figura 
(B), com as devidas correções (redimensionamentos). 
 
ETAPA 03 
 Nos pontos A e B da V103(Figura 12), sujeito a tensões planas, há tensões sobre 
os planos horizontal e vertical nos pontos. 
 
Figura 12: Vista longitudinal da V103 com a posição dos pontos A e B 
 
Fonte: O autor (2021) 
 
Identificou-se que nos pontos A e B, as tensões são: 
Ponto A: 
𝜎𝑦 = 0 𝑀𝑃𝑎 
𝜎𝑥 = 8,9 𝑀𝑃𝑎 
𝜏𝑥𝑦 = −5,4 𝑀𝑃𝑎 
Ponto B: 
𝜎𝑦 = 0 𝑀𝑃𝑎 
𝜎𝑥 = 9,7 𝑀𝑃𝑎 
𝜏𝑥𝑦 = 7,25 𝑀𝑃𝑎 
 
A fim de averiguar o plano em que poderão ocorrer fissuras no concreto, localize 
os planos sobre os quais atuam nos pontos A e B e faça o que se pede: 
 
1. Faça um esboço do estado plano de tensões nos pontos A e B. 
PONTO A PONTO B
σy = 0 MPa
σx = 8,9 MPa
tx,y = - 5,4 MPa
tx,y = 7,25 MPa
σx = 9,7 MPa
σy = 0 MPa
 
 
 
2. Determine os planos principais de ambos os planos. 
 
𝑡𝑔 2Θ𝑝 =
2 ∙ 𝜏𝑥,𝑦
𝜎𝑥 − 𝜎𝑦
 
𝑡𝑔 2Θ𝑝 =
2 ∙ (−5,4)
8,9 − 0
 
𝑡𝑔 2Θ𝑝 = −1,2134 
2Θ𝑝 = 𝑡𝑔
−1(−1,2134) 
2Θ𝑝 = −50,50° 
Θ𝑝 =
−50,50°
2
 
Θ𝑝 = −25,25° 
 
PONTO A PONTO B 
𝑡𝑔 2Θ𝑝 =
2 ∙ 𝜏𝑥,𝑦
𝜎𝑥 − 𝜎𝑦
 
𝑡𝑔 2Θ𝑝 =
2 ∙ (−5,4)
8,9 − 0
 
𝑡𝑔 2Θ𝑝 = −1,2134 
2Θ𝑝 = 𝑡𝑔
−1(−1,2134) 
2Θ𝑝 = −50,50° 
Θ𝑝 =
−50,50°
2
 
Θ𝑝 = −25,25° 
Θ𝑝1 = −25,25° 
Θ𝑝2 = 90° − 25,25° 
Θ𝑝2 = 64,75° 
 
𝑡𝑔 2Θ𝑝 =
2 ∙ 𝜏𝑥,𝑦
𝜎𝑥 − 𝜎𝑦
 
𝑡𝑔 2Θ𝑝 =
2 ∙ (7,25)
9,7 − 0
 
𝑡𝑔 2Θ𝑝 = 1,495 
2Θ𝑝 = 𝑡𝑔
−1(1,495) 
2Θ𝑝 = 56,22° 
Θ𝑝 =
56,22°
2
 
Θ𝑝 = −28,11° 
Θ𝑝1 = 28,11° 
Θ𝑝2 = 90° + 28,11° 
Θ𝑝2 = 118,11° 
 
 
 
 
3. Calcule as tensões principais. 
PONTO A PONTO B 
𝜎𝑚𝑎𝑥,𝑚𝑖𝑛 =
𝜎𝑥 + 𝜎𝑦
2
± √(
𝜎𝑥 − 𝜎𝑦
2
)
2
+ 𝜏𝑥,𝑦
2 
𝜎𝑚𝑎𝑥,𝑚𝑖𝑛 =
8,9 + 0
2
± √(
8,9 − 0
2
)
2
+ (−5,4)𝑥,𝑦
2 
𝜎𝑚𝑎𝑥,𝑚𝑖𝑛 = 4,45 ± 6,99 
𝜎𝑚𝑎𝑥 = 4,45 + 6,99 
𝜎𝑚𝑎𝑥 = 11,44 𝑀𝑃𝑎 
𝜎𝑚𝑖𝑛 = 4,45 − 6,99 
𝜎𝑚𝑖𝑛 = −2,54 𝑀𝑃𝑎 
𝜎𝑚𝑎𝑥,𝑚𝑖𝑛 =
𝜎𝑥 + 𝜎𝑦
2
± √(
𝜎𝑥 − 𝜎𝑦
2
)
2
+ 𝜏𝑥,𝑦
2 
𝜎𝑚𝑎𝑥,𝑚𝑖𝑛 =
9,7 + 0
2
± √(
9,7 − 0
2
)
2
+ (7,25)𝑥,𝑦
2 
𝜎𝑚𝑎𝑥,𝑚𝑖𝑛 = 4,85 ± 8,72 
𝜎𝑚𝑎𝑥 = 4,85 + 8,72 
𝜎𝑚𝑎𝑥 = 13,57 𝑀𝑃𝑎 
𝜎𝑚𝑖𝑛 = 4,85 − 8,72 
𝜎𝑚𝑖𝑛 = −3,67 𝑀𝑃𝑎 
 
4. Calcule a tensão de cisalhamento máxima atuante nestes pontos. 
𝜏𝑚𝑎𝑥 = √(
𝜎𝑥 − 𝜎𝑦
2
)
2
+ 𝜏𝑥,𝑦
2 
PONTO A 
𝜏𝑚𝑎𝑥 = √(
8,9 − 0
2
)
2
+ (−5,4)𝑥,𝑦
2 
𝜏𝑚𝑎𝑥 = 6,99 𝑀𝑃𝑎 
PONTO B 
𝜏𝑚𝑎𝑥 = √(
9,7 − 0
2
)
2
+ (7,25)𝑥,𝑦
2 
𝜏𝑚𝑎𝑥 = 8,72 𝑀𝑃𝑎 
 
 
REFERENCIAS 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 8800: Projeto de estruturas 
de aço e de estruturas mistas de aço e concreto de edifícios. Rio de Janeiro, p.13. 
2008. 
BUFFONI, Salete Souza de Oliveira. Tensões de flexão nas vigas. Disponível em: 
https://www.professores.uff.br/salete/wp-content/uploads/sites/111/2017/08/aula11.pdf, 
acesso em 12/07/2021. 
HIBELLER, R. C.. Resistência dos materiais. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 
10 ed., 2018. 
VIOLIN, Ronan Yuzo Takeda. Mecânica e resistência dos materiais. Maringá-PR: 
Unicesumar, 2021. 
https://www.professores.uff.br/salete/wp-content/uploads/sites/111/2017/08/aula11.pdf