fenomenos do transporte 1

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FENÔMENOS DE TRANSPORTEFENÔMENOS DE TRANSPORTE
CONCEITOS BÁSICOSCONCEITOS BÁSICOS
Autor: Me. Rafaela Guimarães
Revisor : Mar io Henr ique Bueno
IN IC IAR
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introdução
Introdução
Nesta unidade, será feito um estudo inicial das características e propriedades
dos �uidos, para que possamos compreender as principais diferenças entre o
comportamento de líquidos e gases, e de�niremos importantes conceitos
como massa especí�ca e densidade, por exemplo. Após isso, iniciaremos o
estudo da estática dos �uidos, também chamada de hidrostática, o ramo dos
fenômenos de transporte que estuda os �uidos em repouso. Esse campo da
engenharia é muito utilizado no transporte de grandes cargas, como no caso
dos elevadores hidráulicos, em que precisamos mover um peso do ponto A
para o ponto B. Depois serão estudados os conceitos de tensão super�cial e
tangencial e do comportamento de �uidos submetidos a essas forças.
Também iniciaremos o estudo da pressão que nos acompanhará em todo o
estudo de fenômenos de transporte, porque �uidos produzem pressão na
tubulação ou sofrem uma pressão para produzir o resultado que queremos.
Finalmente, introduziremos o conceito de pressão nos �uidos homogêneos e
heterogêneos e abordaremos a equação fundamental da estática dos �uidos.
Essa equação, como o próprio nome nos diz, será muito utilizada nesta
disciplina. Portanto, ao término desta unidade, o aluno será capaz de
entender os conceitos introdutórios de fenômenos de transporte de maneira
clara e precisa. Bons estudos.
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Os gregos já acreditavam que tudo �ui na natureza, ou seja, tudo se
movimenta. Essa teoria, chamada de panta rei, que pode ser traduzida por
“tudo �ui”, equivale ao que hoje chamamos de fenômenos de transporte ou o
estudo dos �uidos em movimento. Atualmente, uma das de�nições mais
comuns sobre fenômenos de transporte é “o estudo de fatos da natureza que
podem ser explicados cienti�camente, nos quais um �uido é transportado”, e
�uido é “uma substância que não tem forma própria, assume o formato do
recipiente”, sendo caracterizado por um líquido ou um gás (BRUNETTI, 2008,
p. 1). Sendo assim, um �uido tende a escoar quando manipulado ou a vazar
quando não contido, como no caso dos gases.
Diante disso, essa área da engenharia está presente em uma ampla gama de
aplicações que variam, desde o corpo humano, no qual as veias e artérias
transportam nosso sangue com os nutrientes que necessitamos; no projeto
de carros e espaçonaves, desde o transporte do combustível para o motor até
como podemos vencer o atrito do ar; e até no mais básico dos itens que
utilizamos para viver – a água, que é levada até nossa casa, por meio de um
intrincado sistema de bombas e tubulações.
Conceitos BásicosConceitos Básicos
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Os problemas causados devido aos fenômenos de transporte também serão
nosso objeto de estudo. Dentre eles, destacamos a cavitação e o golpe de
aríete ou até mesmo uma explosão em uma área classi�cada devido à
presença de gás natural, por exemplo, em um projeto fora das normas
técnicas.
Atualmente, temos áreas inovadoras em que as pesquisas se desenvolvem
muito rapidamente, como a biomecânica (corações e válvulas arti�ciais e
outros órgãos como o fígado) e o estudo de equipamentos para esportes
amadores e de alto rendimento, além do estudo de �uidos inteligentes, como
alguns que são utilizados na suspensão dos carros ou para ministrar doses
precisas de remédios dentro do nosso corpo.
Dimensões e Sistemas de Unidades
Em fenômenos de transporte, temos muitas características que devem ser
utilizadas na compreensão de como um �uido se comporta em um
escoamento. Essas características possuem uma simbologia especí�ca que as
representa e várias unidades que podem ser usadas para descrever sua
medida. Isso já era feito na física, por exemplo, com o comprimento, cuja
representação L podia ser feita em m, cm, mm e até mesmo polegadas.
Agora, temos de fazer o mesmo para os conceitos relacionados a �uidos,
como pressão, viscosidade etc.
Essas unidades se dividem em primárias, como o comprimento, tempo, massa
e temperatura, e secundárias, como a velocidade, vazão, aceleração, área etc.
Podemos escrever as unidades utilizando alguns sistemas de unidades
diferentes. Os mais utilizados são o:
SI: Sistema Internacional de Unidades, ele é utilizado no nosso país,
no qual comprimento é dado em m, o tempo em s, a massa é em kg,
a temperatura é em Kelvin e as unidades de força são 1 N = (1 kg) .
1 m
s2
.( )
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SBG: Sistema Britânico Gravitacional, em que o comprimento é dado
em pés (ft), a unidade de tempo é o segundo (s), a unidade de força é
a libra força (lbf) e a unidade de temperatura é o Fahrenheit (ºF).
A Tabela 1.1, a seguir, apresenta alguns fatores de conversão do Sistema
Britânico de Unidade para o SI:
Tabela 1.1 - Fatores de conversão dos Sistemas Britânicos de Unidades para o SI
Fonte: Munson, Young e Okiishi (2004, p. 6-7).
Propriedade dos Fluidos
Utilizamos no estudo de fenômenos de transporte leis fundamentais que
relacionam as diversas grandezas da física com as propriedades dos �uidos.
Os �uidos apresentam características diferentes dos sólidos, e as
características dos líquidos podem diferir também das dos gases. Por
exemplo, o petróleo cru vai escoar bem mais lentamente em uma tubulação
do que se essa tubulação transportasse água. Agora, vamos começar a
estudar essas características.
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Massa Especí�ica (ρ)
A massa especí�ca de um �uido representada pelo símbolo ρ (lemos rô) é a
massa do �uido por unidade de volume, e a equação é dada por:
ρ = 
m
V (Equação 1.1)
Em que sua unidade no SI (Sistema Internacional) é kg/m³.
A massa especí�ca (ρ) dos líquidos é pouco sensível às variações de
temperatura e pressão, enquanto a massa especí�ca (ρ) dos gases é bastante
in�uenciada tanto pela pressão quanto pela temperatura.
Peso Especí�ico (γ)
O peso especí�co de um �uido representado pelo símbolo γ (lemos gama) é o
peso do �uido contido em uma unidade de volume, e a equação é dada por:
γ = 
G
V (Equação 1.2)
Onde G é o peso.
Como G = m . g, a relação entre peso e massa especí�ca é deduzida de:
γ = 
G
V = 
m . g
V ⇒ γ = ρ. g (Equação 1.3)
Em que a unidade no SI (Sistema Internacional) é N/m³. Por exemplo, o peso
especí�co da água a 15,6 ºC, considerando g = 9,807 m/s² é igual a 9,8 kN/m³
(MUNSON; YOUNG; OKIISHI, 2004, p. 11).
Muitas vezes, é dado o peso relativo para líquidos, simbolizado por γr e
de�nido por:
γr = 
γ
γágua
 (Equação 1.4)
Densidade
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A densidade de um �uido, representada por SG (do inglês speci�c gravity, ou
gravidade especí�ca), é de�nida como a razão entre a massa especí�ca do
�uido e a massa da água a 4 ºC, adotada porque nessa temperatura ρ = 1.000
kg/m³.
SG = 
ρ
ρágua
. (Equação 1.5)
Muitos problemas fornecem o SG de um �uido e não sua massa especí�ca.
Assim, para um �uido com SG = 0,8, sua massa especí�ca será igual a ρ = ρ
água . SG= 1.000 x 0,8 = 800 kg/m³.
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Tabela 1.2 - Tabela de propriedades dos �uidos
Fonte: Hibbeler (2016, p. 759).
Na Tabela 1.2, temos a massa especí�ca, o peso especí�co e o peso relativo
para diferentes tipos de �uidos.
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praticar
Vamos Praticar
Um reservatório está cheio de óleo para alimentar o sistema pneumático de uma
indústria, cuja densidade é ρ = 850 kg/m³. Se o volume do reservatório é V = 2 m³,
podemos determinar a quantidade de massa m nesse reservatório. A quantidade de
massa m nesse reservatório será um número entre:
ÇENGEL, Y.; CIMBALA, J. M. Mecânica dos �uidos: fundamentos e
aplicações. Tradução de K. A. Roque e M. M. Fecchio. Revisão técnica F.
Saltara, J. L. Baliño e K. P. Burr. Consultoria Técnica H. M. Castro. São
Paulo: McGraw-Hill, 2007. p. 18.
a) 0 e 500 kg.
b) 501 e 1.000 kg.
c) 1.001 e 1.500 kg.
d) 1.501 e 2.000 kg.
e) 2.001 e 2.500 kg.
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Já conhecemos as propriedades que indicam o peso do �uido, como a massa
especí�ca e a densidade. Essas propriedades não são su�cientes para
caracterizarmos o comportamento dos �uidos porque, por exemplo, a água e
o óleo podem apresentar massas especí�cas aproximadamente iguais e
apresentarem comportamento muito diferente quando escoam. Para isso,
precisamos estudar as características de �uidez dos �uidos.
Viscosidade (μ)
Quando aplicamos uma força de cisalhamento a um �uido, representado pela
força P, na Figura 1.1, esse �uido irá se movimentar de maneira contínua com
uma velocidade U, ou seja, o líquido irá se mover com uma velocidade que
será função somente de u representada pelo gradiente de velocidade na
Figura 1.1:
Propriedades dosPropriedades dos
FluidosFluidos
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Em um pequeno intervalo de tempo, δt, uma linha vertical AB no �uido
rotaciona um ângulo δβque será calculado pela equação:
tan δβ = δβ = 
δa
b (Equação 1.6)
Como δa = U δt, temos que
δβ = 
U δt
b (Equação 1.7)
Podemos observar que, como δβé função da força P e do tempo, essa taxa de
variação com o tempo é de�nida como deformação de cisalhamento e
representada pelo símbolo τ.
Na maioria dos �uidos, a tensão de cisalhamento é proporcional ao
coe�ciente de velocidade, representada por U na Figura 1.1, de onde temos a
lei de Newton da viscosidade dada por
τ α
du
dy (Equação 1.8)
Em que α é um símbolo de proporcionalidade. Os �uidos que apresentam a
tensão de cisalhamento proporcional ao coe�ciente de velocidade são
Figura 1.1 - Comportamento de um �uido localizado entre duas placas
Fonte: Munson; Young e Okiishi (2004. p. 13).
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chamados de �uidos newtonianos, por obedecerem à lei descoberta por
Newton. Esses �uidos apresentam uma relação linear, ou seja, a relação entre
a tensão de cisalhamento e o coe�ciente de velocidade é representada por
uma reta. Esse coe�ciente de proporcionalidade �cou conhecido como
viscosidade, representado pelo símbolo μ (lemos mi). A unidade da
viscosidade no SI é N.s/m².
A viscosidade, representada pelo símbolo μ (lemos mi), é a propriedade que
indica se o �uido tem uma maior ou menor di�culdade de escoar, e ela varia,
por exemplo, com a pressão e a temperatura.
Alguns exemplos de �uidos newtonianos são a água, o ar, os óleos etc. Já o
sangue, as pastas de dentes, as tintas etc. não são classi�cados como �uidos
newtonianos por apresentarem uma relação não linear, por exemplo, nos
polímeros a viscosidade diminui enquanto a tensão de cisalhamento
aumenta.
Ainda temos que, nos líquidos, a viscosidade diminui com o aumento da
temperatura, enquanto, nos gases, a viscosidade aumenta com o aumento da
temperatura.
Nesse contexto, a viscosidade dinâmica pode ser considerada como uma
medida da resistência do �uido de se movimentar, correspondendo ao atrito
interno gerado nos �uidos – devido às interações moleculares –, que, em
geral, é uma função da temperatura.
Viscosidade Cinemática (υ)
A viscosidade cinemática representada pelo símbolo υ(upsilon) é o quociente
entre a viscosidade dinâmica e a massa especí�ca, e pode ser expressa por:
υ = 
μ
ρ (Equação 1.9)
A unidade da viscosidade cinemática no SI é dada por m² /s. Além disso,
destacamos que o nome cinemática vem das unidades comprimento e tempo,
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duas das grandezas fundamentais da cinemática.
Tensões Sofridas por um Fluido
Durante o escoamento, um �uido pode sofrer uma pressão de vapor e uma
tensão super�cial. Essas tensões são importantes para explicarmos os
diferentes comportamentos de um líquido e um gás quando estão
submetidos a um deslocamento.
Pressão de Vapor
A água e a gasolina evaporam quando colocados em um ambiente ao ar livre.
Essa evaporação ocorre porque algumas moléculas do líquido, localizadas
perto da superfície livre do �uido, apresentam quantidade de movimento
su�ciente para superar as forças intermoleculares coesivas (forças que fazem
com que essas moléculas se mantenham unidas) e escapem para a
atmosfera.
Para projetarmos tubulações de uma maneira técnica e economicamente
e�caz, temos de conhecer a pressão de vapor de um líquido, ou seja, qual o
valor da mínima pressão que podemos ter na nossa tubulação antes que um
líquido comece a evaporar. É claro que nunca impediremos essa evaporação
totalmente, mas precisamos reduzi-la para evitar desperdícios.
Durante essa evaporação, aparecem bolhas de ar que se rompem quando
entram em contato com uma tubulação metálica onde a pressão é maior.
Esse efeito malé�co ao sistema pode atingir também bombas e turbinas
hidráulicas. Ele é chamado de cavitação e pode causar grandes transtornos no
funcionamento de um sistema hidráulico. A pá de uma turbina submetida à
cavitação pode perder e�ciência devido à redução da sua superfície de
contato com o �uido, porque esse fenômeno vai desgastando o metal, sendo
que o material dani�cado deve ser reposto por meio de uma manutenção.
Tensão Super�icial
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Entre um líquido e um gás, conforme está mostrado na Figura 1.2, ou entre
líquidos que não se misturam, aparece como que uma membrana na
superfície de contato, chamada tensão super�cial.
Por isso, são formadas gotas em uma superfície gordurosa, como ocorre
quando a nossa pele é oleosa, por exemplo. Esse fenômeno ocorre porque
um líquido é submetido a uma força diferente na superfície e no fundo do
recipiente que o contém. Essa tensão é importante quando formos calcular
como a água vai escoar no interior do solo em períodos chuvosos, por
exemplo.
praticar
Vamos Praticar
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A viscosidade cinemática de um óleo é 0,028 m²/s, e a massa especí�ca é 850 kg/m³.
A viscosidade dinâmica no Sistema Internacional de Unidades (SI) será um número
compreendido entre:
BRUNETTI, F. Mecânica dos �uidos. 2. ed. rev. São Paulo, Pearson
Prentice Hall, 2008. p. 11.
a) 0 e 10 m²/s.
b) 11 e 20 m²/s.
c) 21 e 30 m²/s.
d) 31 e 40 m²/s.
e) Entre 41 e 50 m²/s.
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O ramo da mecânica dos �uidos que trata dos corpos em repouso é
denominado estática, sendo que a dinâmica estuda os corpos em movimento.
Na estática, a tensão, representada pela letra 𝜎 (lemos sigma), é de�nida
como força por unidade de área, e pode ser dividida em dois tipos de tensão
(normal e tangencial), conforme apresentado na Figura 1.3:
Estática dosEstática dos
FluidosFluidos
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Tensão Normal
A tensão normal pode ser expressa por:
𝜎 = 
Fn
A (N/m2 = Pa) (Equação 1.10)
Em que a unidade é dada em N/m2, que equivale à unidade Pascal. Quando
essa tensão é aplicada em um �uido em repouso, a tensão normal também
pode ser denominada  por pressão.
Fn = P (unidade Pascal) (Equação 1.11)
Tensão Tangencial
A força tangencial é também chamada tensão de cisalhamento 𝜏(lemos tau), e
é dada por
τ =
Ft
A (N/m2 = Pa) (Equação 1.12)
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Os princípios da estática dos �uidos são utilizados no cálculo de forças sobre
objetos submersos, como na análise da estabilidade de embarcações, no
projeto de submarinos, na medição de pressão etc.
Com a de�nição da tensão de cisalhamento, podemos rede�nir o �uido “como
uma substância que não pode sustentar uma tensão de cisalhamento quando
em repouso” (FOX et al., 2010, p. 27).
Para estudarmos os fenômenos de transportes, precisamos, na maioria das
vezes, de�nir um volume no espaço por meio do qual o �uido escoa, e para
fazer isso utilizamos o conceito de volume de controle. Desse modo, podemos
estudar as turbinas, os compressores, as tubulações, os bocais etc. que
constituem um sistema de transporte do �uido. Um volume de controle é um
volume arbitrário no espaço através do qual o �uido escoa, e sua fronteira
geométrica é denominada de superfície de controle, podendo ser real (no
caso de tubulações) ou imaginária (como em rios). Já um sistema de controle
pode ser aberto ou fechado.
Na Figura 1.4, temos um exemplo de um sistema de tubulação que apresenta
exemplos físicos (como as tubulações e derivações) e exemplos imaginários
(as entradas e saídas do �uido).
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As cores das tubulações nos processos industriais nos indicam o �uido que
estão  transportando. As mais comuns são:
Vermelho – sistema de combate a incêndio.
Amarelo – gases não liquefeitos (como o gás natural).
Azul segurança – sistema de ar comprimido.
Branco – tubulação de vapor (normalmente com temperaturas na
faixa de 200 ºC).
Laranja – ácido (como a soda cáustica, usada para limpeza química).
Além disso, é importante destacar que, nos edifícios, as tubulações em verde
e em vermelho representam, respectivamente, os sistemas de abastecimento
de água e os sistemas de combate a incêndio, as em amarelo, o sistema de
gás, e as em cor-de-alumínio, o sistema de gás liquefeito.
Fluido Ideal
Um �uido ideal é utilizado para simular um escoamento sem perdas por
atrito, um escoamento com viscosidade zero. Esse �uido é utilizado para
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entendermos a equação de Bernoulli, que trata da conservação de energia em
um escoamento �uido.
Fluido ou Escoamento
Incompressível
Dizemos que um �uido é incompressível quando “seu volume não varia ao
modi�carmos a pressão sobre ele”, ou seja, sua massa especí�ca não varia
com a pressão” (BRUNETTI, 2008, p. 10).
Sendo assim, esse comportamento pode ser aplicado para líquidos e gases no
estudo da ventilação.
praticar
Vamos Praticar
Uma pressão de 88 Pa deve ser aplicada à válvula de uma comporta, conforme a
�gura a seguir, para que ela permaneça na posição fechada. A força normal
exercida por essa pressão está situada no intervalo entre:
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Assinale a alternativa correta:
a) 0 e 10 kN.
b) 11 e 20 kN.
c) 21 e 30 kN.
d) 31 e 40 kN.
e) 41 e 50 kN.
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A pressão é uma força exercida sobre uma unidade de área que pode realizar
um trabalho no transporte de cargas pesadas, como no caso dos elevadores
hidráulicos.
Pressão
A pressão nada mais é do que a tensão normal dividida pela área de aplicação
dessa força. Matematicamente, temos:
p = 
Fn
A (N/cm2) (Equação 1.13)
Devemos ter em mente que pressão e força são conceitos diferentes. Por
exemplo, podemos ter uma força de 1 N aplicada em uma área de 10 ou 5
cm². A força será a mesma, mas a pressão, não. As pressões serão iguais a 0,1
EquaçãoEquação
Fundamental daFundamental da
Estática dosEstática dos
FluidosFluidos
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e 0,2 N/cm², respectivamente, ou seja, quanto maior a área em que a força é
exercida, menor é a pressão.
Teorema de Stevin ou Equação
Fundamental da Estática dos Fluidos
A diferença de pressão entre dois pontos de um �uido em repouso é igual ao
produto do peso especí�co do �uido pela diferença de cotas dos dois pontos.
Esse teorema é a explicação para o aumento de pressão conforme
mergulhamos. A pressão na superfície, ao nível do mar, é menor do que a
uma profundidade de 20 m, por exemplo. Matematicamente, essa lei pode
ser escrita como:
dP
dz = - ρ g (Equação 1.14)
Essa equação também é conhecida como a equação fundamental da
estática dos �uidos.
Podemos realizar um experimento simples para demonstrar o teorema de
Stevin. Para isso, basta fazermos perfurações perto da tampa e embaixo,
perto do fundo, em uma garrafa de refrigerante cheia de água, que está
ilustrada na Figura 1.5, para constatarmos que os furos inferiores escoam a
água com jatos mais potentes do que os furos superiores.
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Devemos ressaltar que a diferença de pressão entre dois pontos quaisquer é
igual ao produto do peso especí�co do �uido, multiplicado pela diferença de
cotas entre esses pontos, não importando:
a distância entre esses pontos;
o formato do recipiente.
Lei de Pascal
A pressão aplicada em um ponto de um �uido em repouso é transmitida
integralmente a todos os pontos do �uido. Se a pressão aplicada é distribuída
integralmente em todos os pontos do �uido, podemos ampli�car ou reduzir a
força aplicada, diminuindo ou aumentando a área de aplicação dessa força,
respectivamente. Portanto, esse é o princípio do elevador hidráulico, que está
ilustrado na Figura 1.6:
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Pressão em um Ponto
Utilizamos a pressão para indicar a força normal atuando sobre um ponto por
unidade de área atuando sobre um �uido em um dado plano. Considerando o
diagrama de corpo livre mostrado na Figura 1.7, construímos essa �gura
removendo um pequeno elemento do �uido, com a forma de uma cunha
triangular. Para facilitar a visualização, não mostramos as forças na direção x
e o eixo z foi referenciado como vertical (por causa da atuação do peso).
Analisaremos primeiro o �uido em movimentoacelerado para chegarmos à
sua análise em repouso.
Figura 1.6 - Ilustração da lei de Pascal
Fonte: udaix / 123RF.
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As equações do movimento (2ª Lei de Newton) nas direções y e z serão dadas
por:
∑Fy = py δxδz − ps δxδs senθ = ρ
δxδyδz
2 ay                                 (Equação 1.15)
∑Fz = pz δxδy − ps δxδs cosθ − γ
δxδyδz
2 = ρ
δxδyδz
2 az                                 (Equação
1.16)
∑ Fz= pz δxδz - ps δxδs cos θ - γ 
δx δy δz
2 = ρ 
δx δy δz
2 az (Equação 1.16)
onde:
a pressão ps, py e pz são as pressões médias nas superfícies da cunha;
γ e ρsão o peso especí�co e a massa especí�ca do �uido;
ay e az representam as acelerações.
A pressão necessita ser multiplicada por uma área para obtermos a força
gerada por ela. Ao analisarmos a geometria da cunha, constatamos que:
Podemos estender este raciocínio para a equação (1.15), onde:
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∑Fy = py δxδz– psδxδs senθ = ρ
δxδyδz
2 ay
Como δz = δs senθ
pyδxδz– psδxδs = ρ ay
δxδyδz
2
Cancelando δxδz e sabendo que  
δz
2 → 0
py = ps
Para a equação (1.16) temos que
∑Fy = pz δxδy– psδxδs cosθ − γ
δxδyδz
2
Como δy = δscosθ e γ = ρ az
Então ∑Fy = pzδxδy– psδxδy − ρ az
δxδyδz
2 .
Então
pz δxδy– psδxδy − ρ az
δxδyδz
2 =
p z dx dy − p s dx dy = ρ az
δxδyδz
2
Cancelando dx dy
P z − p s = ρ az
δz
2
E como 
δz
2 → 0
pz − ps = 0
Logo pz = ps
Ou seja, como δy = δs cosθ e δz = δs senθ (Equação 1.17)
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Então, podemos escrever as equações do movimento como sendo:
py − ps = ρay
δy
2 (Equação 1.18)
pz − ps = (ρaz + γ)
δz
2 (Equação 1.19)
Para um ponto, vamos analisar o limite onde x, y e z tendem a zero e vamos
manter constante. Logo,
py = psepz = ps (Equação 1.20)
Então, ps = py = pz. Podemos concluir que a pressão em um ponto de um
�uido em repouso, ou em um movimento no qual as tensões de cisalhamento
não existem, é independente da direção, ou seja, essa é a demonstração do
teorema de Pascal.
Equação Básica do Campo de
Pressão
Consideremos um elemento do �uido como o mostrado na Figura 1.8. Nesse
elemento, atuam dois tipos de forças: as super�ciais devidas à pressão, e as
de campo que, nesse caso, é igual ao peso do elemento. Se chamarmos a
pressão no centro geométrico por p, as pressões médias nas várias faces do
elemento podem ser expressas em função de p e de suas derivadas
(conforme está retratado na Figura 1.8). A força resultante na direção y é dada
por:
δFy = p − 
dp
dy 
δy
2 δx δz - p + 
dp
dy 
δy
2 δx δz (Equação 1.21)( ) ( )
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Reescrevendo a Equação 1.21, temos que:
δFy = - 
dp
dyδx δy δz (Equação 1.22)
Da mesma forma, as forças resultantes nas direções x e z serão obtidas das
equações:
δFx = - 
dp
dxδx δy δz e δFz = - 
dp
dz δx δy δz (Equação 1.23)
A força vetorial da força super�cial resultante que atua no elemento é:
δFs = δFx î + δFy ĵ + δFz k̂ (Equação 1.24)
Reescrevendo novamente, temos que:
δFs = - 
dp
dx 
^
i + 
dp
dy ĵ + 
dp
dz k̂ δx δy δz (Equação 1.25)
onde 
^
i , 
^
j e 
^
k são vetores unitários do sistema de coordenadas da Figura 1.89.
Figura 1.8 - Forças super�ciais e de campo atuando num elemento de �uido
Fonte: Munson, Young e Okiishi (2004, p. 36).
( )
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O grupo entre parênteses da Equação 1.25 representa a forma vetorial do
gradiente de pressão e pode ser reescrito como:
dp
dx 
^
i + 
dp
dy ĵ + 
dp
dz k̂ = ᐁp (Equação 1.26)
sendo que:
ᐁ(  ) = 
d ( )
dx 
^
i + 
d ( )
dy ĵ + 
d ( )
dz k̂ (Equação 1.27)
e o símbolo ᐁ representa o operador gradiente. Assim, a força super�cial por
unidade de volume pode ser expressa por
δFs
δx δy δz= - ᐁp (Equação 1.28)
Como o eixo z é vertical, o peso do elemento de �uido que estamos
analisando é dado por
- δW k̂ = - γδx δy δz k̂ (Equação 1.29)
O sinal negativo indica que a força devida ao peso aponta para baixo (sentido
negativo do eixo z).
Agora, vamos aplicar a 2ª Lei de Newton no �uido:
∑ δF= δm a (Equação 1.30)
onde ∑ δFrepresenta a força resultante que atua no elemento, a é a
aceleração do elemento e δm é a massa do elemento (que pode ser escrita
como ργδx δy δz). Desse modo, a Equação 1.30 resulta em:
∑ δF= δFs - δW k̂ = δm a (Equação 1.31)
ou
- ᐁp δx δy δz - γ δx δy δz k̂ = ρ δx δy δz  a (Equação 1.32)
Dividindo a Equação 1.21 por δx δy δz, obtemos:
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- ᐁp - γk̂ = ρa (Equação 1.33)
A Equação 1.33 é chamada equação geral do movimento. Ela é válida para
os casos em que as tensões de cisalhamento no �uido são nulas. Ela será
muito utilizada para calcularmos a pressão nos �uidos em movimento.
Variação da Pressão em um Fluido
em Repouso
Quando um �uido está em repouso, a aceleração é nula (a = 0 m/s²). O
gradiente de pressão se reduz a
Sistema
típico de
abastecimento
de água de
uma
cidade
Geralmente o sistema de
abastecimento de uma cidade capta a
água de um rio, riacho ou córrego
perto da cidade onde é realizado o
tratamento desta água dentro dos
padrões estabelecidos por normas,
como o valor do �úor que deve ser
injetado na água para que a mesma
possa ser então distribuída.
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- ᐁp - γk̂ = 0 (Equação 1.34)
Os componentes da Equação 1.34 são:
dp
dx= 0 
dp
dy= 0 
dp
dz = - γ (Equação 1.35)
Essas equações mostram que a pressão não é função de x ou de y. Assim, não
detectamos qualquer variação no valor da pressão quando mudamos de um
ponto para outro situado no mesmo plano horizontal. Logo, a equação de p
se torna:
dp
dz = − γ (Equação 1.36)
A Equação 1.36 é de fundamental importância para o cálculo da distribuição
de pressão nos casos em que o �uido está em repouso e pode ser utilizada
para determinar como a pressão varia com a elevação. Essa equação indica
que o gradiente de pressão na direção vertical é negativo, ou seja, a pressão
decresce quando nos movemos para cima em um �uido em repouso. Essa
equação é uma comprovação do teorema de Stevin.
Fluido Incompressível
A variação do peso especí�co de um �uido é provocada pelas variações de
sua massa especí�ca e da aceleração da gravidade. Isso ocorre porque γ é
igual ao produto da massa especí�ca do �uido pela aceleração da gravidade (γ
= ρ g, peso especí�co N/m³). Como a variação de g não será considerada neste
estudo, vamos analisar somente as variações de ρ (massa especí�ca, kg/m³). A
variação de massa especí�ca dos líquidos normalmente pode ser desprezada.
Nos casos em que a hipótese de peso especí�co é constante, a Equação 1.36
pode ser integrada diretamente, resultando em:
p2
∫
p1
dp = − γ
z2
∫
z1
dz             (Equação 1.37)
onde p1 e p2 são as pressões nos planos com cota z1 e z2, conforme é
mostrado na Figura 1.9:
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A Equação 1.37 pode ser reescrita como:
p1 − p2 = 𝛾(z2 − z1) = 𝛾h
(Equação 1.38)
onde h é igual a distância z2 - z1 (profundidade medida a partir do plano que
apresenta p2). A Equação 1.38 mostra que a pressão em um �uidoincompressível em repouso varia linearmente com a profundidade. Essa
distribuição de pressão é chamada de pressão hidrostática. Essa equação
também comprova o teorema de Stevin.
Da Equação 1.38 temos que a diferença de pressão entre dois pontos pode
ser especi�cada pela distância h, ou seja:
h =
p1 − p2
γ (Equação 1.39)
Sendo que h é chamada de carga e é interpretada como a altura da coluna de
�uido com peso especí�co γ necessário para provocar uma diferença de
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pressão p1 -   p2. A pressão p0 é utilizada para nos referirmos à pressão
atmosférica e, muitas vezes, é representada por uma superfície livre.
A distribuição de pressão em um �uido homogêneo, incompressível e em
repouso é função apenas da profundidade (em relação a um plano de
referência), e ela não é in�uenciada pelo tamanho ou forma do tanque ou
recipiente que contém o �uido. Pela aplicação da Equação 1.39, temos que a
pressão será a mesma em todos os pontos da linha AB da Figura 1.10. O valor
real da pressão ao longo da linha AB depende apenas da profundidade, h, da
pressão na superfície livre, p0 e do peso especí�co do �uido contido no
reservatório.
O fato de a pressão ser constante em um plano com mesma elevação é
fundamental para a operação de dispositivos hidráulicos, como macacos,
prensas, controles de aviões e de máquinas pesadas.
Figura 1.10 - Variação de pressão em um �uido em repouso e superfície livre
Fonte: Munson, Young e Okiishi (2004, p. 39)
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Fluido Compressível
Os gases, como o oxigênio e o nitrogênio, são modelados como �uidos
compressíveis porque suas massas especí�cas variam de modo signi�cativo
com as alterações de temperatura e pressão. Por isso, temos de considerar a
possibilidade da variação do peso especí�co do �uido antes de integrarmos a
Equação 1.31. Na maioria das vezes, essa aproximação não precisa ser feita
porque o gradiente de pressão do ar é muito pequeno quando comparado
com o dos líquidos. Só a título de ilustração, o peso especí�co do ar ao nível
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do mar a 15 ºC é 1,2 x 10¹ N/m³, enquanto que o da água, nas mesmas
condições, é de 9,8 x 10³ N/m³.
Se tivermos de considerar a variação do peso especí�co devido a uma grande
diferença de altura, da ordem de milhares de metros, devemos considerar a
variação do peso especí�co do �uido nos cálculos das variações de pressão
por meio da fórmula:
p = ρ R T (Equação 1.40)
onde R é a constante do gás e T é a temperatura absoluta (em Kelvin).
Combinando as Equações 1.40 com a Equação 1.37, temos que
dp
dz = - 
g p
R T (Equação 1.41)
Separando as variáveis, �camos com
∫ p2p1
dp = ln 
p1
p2
 = - 
g 
R ∫
z2
z1
dz
T (Equação 1.42)
onde g e R foram admitidos constantes no intervalo de integração.
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Também podemos utilizar a expressão
p2 = p1 exp − 
g z2 − z1 
R T0
 (Equação 1.43)
A Equação 1.43 fornece a relação entre a pressão e a altura numa camada
isotérmica de um gás perfeito. Para tubulações de gases, como a de gás
natural, esse efeito não precisa ser considerado, porque as distâncias verticais
envolvidas no projeto são pequenas.
praticar
[ ( ) ]
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praticar
Vamos Praticar
A �gura a seguir apresenta esquematicamente uma prensa hidráulica, em que os
dois êmbolos têm, respectivamente, as áreas A1 = 10 cm² e A2 = 100 cm².
BRUNETTI, F. Mecânica dos �uidos. 2. ed. rev. São Paulo: Pearson
Prentice Hall, 2008.
Considerando que uma força de 200 N seja aplicada no êmbolo (1), assinale a
alternativa que indica qual será a força transmitida ao (2).
a) Entre 0 e 500 N.
b) Entre 501 e 1.000 N.
c) Entre 1.001 e 1.500 N.
d) Entre 1.501 e 2.000 N.
e) Entre 2.001 e 2.500 N.
Figura 1.11 - Esquema de uma prensa hidráulica
Fonte: Brunetti (2008, p. 22).
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indicações
Material
Complementar
FILME
Horizonte profundo (Deepwater horizon)
Ano: 2016
Comentário: essa é a história da plataforma de
extração de petróleo no Golfo do México que, por
vários motivos, explodiu e foi responsável pelo maior
desastre ambiental daquela região. A reconstrução da
plataforma, a tubulação de extração do petróleo e a
pressão com que o acidente ocorre são aspectos
imperdíveis.
TRA ILER
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LIVRO
Mecânica dos �uidos: fundamentos e
aplicações
Yunus A. Çengel e John M. Cimbala
Editora: McGraw-Hill
Comentário: o livro indicado traz muitas aplicações
novas para a área de mecânica dos �uidos. Cada
capítulo apresenta um estudo de caso relacionado a
uma preocupação ambiental como a geração de
energia eólica, os transplantes de órgãos e a
aerodinâmica dos carros.
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conclusão
Conclusão
Chegamos ao �nal do estudo dos conceitos fundamentais para o
entendimento dos fenômenos de transporte. Nesta unidade, estudamos as
propriedades dos �uidos, como a massa especí�ca e, inclusive, os vários
sistemas de unidades que podemos utilizar.
Depois iniciamos o estudo da estática dos �uidos, em que aprendemos que
�uidos são líquidos e gases e que a estática é a parte da ciência que estuda os
líquidos em repouso.
Vimos, também, que a viscosidade é uma propriedade fundamental dos
�uidos. Cada �uido tem uma determinada viscosidade que apresenta
importância fundamental no projeto de tubulações e de equipamentos como
os elevadores hidráulicos.
Também estudamos o conceito de pressão e a variação da pressão com a
posição em líquidos homogêneo e heterogêneo.
E, �nalmente, aprendemos a equação fundamental da estática dos �uidos,
com um exemplo ilustrativo.
referências
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Referências
Bibliográ�cas
BRAGA FILHO, W. Fenômenos de transporte para engenharia. 2. ed. São
Paulo: LTC, 2012.
BRUNETTI, F. Mecânica dos �uidos. 2. ed. rev. São Paulo: Pearson Prentice
Hall, 2008.
CIRILO, J. A. Crise hídrica: desa�os e Superação. Revista USP, São Paulo, n.
106, p. 45-58, jul./ago./set. 2015. Disponível em:
https://www.revistas.usp.br/revusp/article/download/110102/108685/. Acesso
em: 20 dez. 2019.
ÇENGEL, Y.; CIMBALA, J. M. Mecânica dos �uidos: fundamentos e aplicações.
Tradução de K. A. Roque e M. M. Fecchio. Revisão técnica F. Saltara, J. L. Baliño
e K. P. Burr. Consultoria Técnica H. M. Castro. São Paulo: McGraw-Hill, 2007.
FOX. R. W. et al. Introdução à mecânica dos �uidos. 8. ed. Tradução e
revisão técnica R. N. Koury. São Paulo: LTC, 2010.
HIBBELER, R. C. Mecânica dos �uidos. Tradução de D. Vieira. São Paulo:
Pearson Education do Brasil, 2016.
MUNSON, B. R.; YOUNG, D. F.; OKIISHI, T. H. Fundamentos da mecânica dos
�uidos. Tradução da quarta edição americana de Euryale de Jesus Zerbini.
São Paulo: Edgard Blucher, 2004.
NASCIMENTO, B. M.; MORATTI, D. G.; OLIVEIRA JR., J. L.; SCOTÁ, N. M.,
BROETTO, R. B.; SAGRILO, R. G.; FERREIRA, W. G. Abordagem didáticae prática
da ação do vento em edi�cações. In: CONGRESSO LATINO-AMERICANO DA
CONSTRUÇÃO METÁLICA, 7., 2016, São Paulo. Anais [...]. São Paulo: ABCEM,
2016. Disponível em:
https://www.revistas.usp.br/revusp/article/download/110102/108685/
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https://www.abcem.org.br/construmetal/downloads/Anais-do-7-
Construmetal2016-EBook.pdf. Acesso em: 23 dez. 2019.
https://www.abcem.org.br/construmetal/downloads/Anais-do-7-Construmetal2016-EBook.pdf
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