Introdução à Lógica Matemática

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Prof. Me. José Lorandi
UNIDADE I
Lógica
Definição de lógica matemática
 A lógica matemática estuda os conceitos de lógica do ponto de vista das ciências exatas. 
 Ela é, por definição, uma lógica formal. 
 Isso significa que o nosso objeto de estudo será a forma de sentenças e argumentos, não 
seu conteúdo ou contexto.
 Para exemplificar o que queremos dizer, analisemos os argumentos seguintes:
Introdução à Lógica Matemática 
Argumento 1: 
 Todo homem é mortal. 
 Sócrates é um homem. 
 Portanto, Sócrates é mortal. 
Argumento 2: 
 Todo gato é mamífero.
 Tommy é um gato. 
 Portanto, Tommy é mamífero.
Proposição
Proposição
 O conceito mais básico da lógica proposicional é, evidentemente, o significado 
de proposição. 
 Uma proposição é uma sentença declarativa que assume um e apenas UM entre dois 
valores lógicos, que podem ser classificados como verdadeiro (V) ou falso (F).
 Uma proposição deve expressar uma ideia completa, de forma a ser possível atribuir a ela 
um valor lógico.
 Vejamos alguns exemplos de proposições com seus respectivos valores lógicos. 
 A Terra é um planeta do Sistema Solar. (V) 
 Marte é o satélite natural da Terra. (F) 
 Luís de Camões escreveu Os Lusíadas. (V) 
 Machado de Assis escreveu O Cortiço. (F) 
 2 + 3 = 5 (V) 
 3 - 7 = 2 (F)
Proposição
 Quando nos referimos a proposições, falamos de uma estrutura dicotômica, ou seja, uma 
estrutura cujo valor lógico está restrito a apenas duas alternativas, que classificaremos nesse 
conteúdo como V ou F. 
 No entanto, é necessário nos atentarmos para o fato de que a ideia expressa precisa ser 
completa, de forma a conseguirmos atribuir um valor lógico a ela. 
Proposição
 Desse modo, as sentenças apresentadas a seguir não são consideradas proposições.
A Terra.
 No caso, não foi transmitida uma ideia completa. Assim, não é possível classificarmos 
a frase como verdadeira ou falsa. 
Qual é o seu nome? 
 Trata-se de uma sentença interrogativa, ou seja, de uma pergunta. Não é possível 
atribuir um valor lógico a perguntas. 
Proposições simples e compostas
 Em proposições simples, a sentença apresenta uma única ideia.
 É possível unirmos proposições simples utilizando conectivos lógicos. 
 Esses conectivos, também chamados de operadores, são palavras que empregamos na 
nossa linguagem cotidiana, que ganham destaque no estudo da lógica por serem capazes 
de formar proposições compostas.
Proposições simples e compostas
 A Terra é um planeta do Sistema Solar e Marte é uma estrela. 
 No caso, temos duas proposições simples formando uma proposição composta. 
 Podemos separá-las, conforme exposto a seguir, observando que cada uma delas assume 
seu próprio valor lógico,
Proposição simples 
1. A Terra é um planeta do Sistema Solar. (V) 
Proposição simples 
2. Marte é uma estrela. (F) 
Proposições simples e compostas
 Perceba que as proposições simples estão unidas por um conectivo, representado pela 
palavra e. 
 Esse conectivo indica uma operação entre as proposições simples.
 Dessa forma, a proposição composta será verdadeira apenas se ambas as proposições 
simples componentes forem também verdadeiras.
 Porém, como a 2ª proposição é falsa, temos uma proposição 
composta de valor lógico F.
 A Terra é um planeta do Sistema Solar e Marte é uma 
estrela. (F)
 Para entendermos esse conceito, precisamos fazer duas definições básicas, mas muito 
importantes. 
 Conjunto é uma coleção de elementos que possuem alguma característica em comum.
 Elemento é o nome dado a cada item que faz parte de um conjunto. 
 Geralmente, o nome de um conjunto é representado por uma letra maiúscula, mas isso pode 
variar dependendo da aplicação.
Teoria de conjuntos
Podemos citar os exemplos a seguir.
 Conjunto A das faces de uma moeda: A = {cara, coroa} 
 Conjunto B das regiões do Brasil: B = {Norte, Nordeste, Centro-Oeste, Sudeste, Sul} 
 Conjunto das cores da bandeira brasileira: C = {verde, amarelo, azul, branco}
 O conjunto A tem 2 elementos (cara e coroa).
 O conjunto B tem 5 elementos, sendo que cada um deles 
representa uma região do Brasil. 
 O conjunto C tem 4 elementos, sendo que cada um representa 
uma cor da bandeira brasileira.
Teoria de conjuntos
 Existem diversas formas de representar um conjunto e seus elementos. 
Uma das maneiras mais utilizada é graficamente:
 S = {x | x é um estado da região Sudeste do Brasil}
 Graficamente, temos o que se mostra na figura a seguir:
Teoria de conjuntos
Figura 1 – Representação gráfica
dos estados da região sudeste do Brasil
S
Minas Gerais
Espírito Santo
Rio de Janeiro
São Paulo
Avalie as alternativas seguintes e assinale qual não é uma proposição lógica. 
a) Brasília é a capital do Brasil. 
b) Aracaju é a capital de Alagoas. 
c) A espécie Homo sapiens pertence à ordem carnívora. 
d) Ele descobriu o Brasil. 
e) 2 ∈ ℕ
Interatividade 
Avalie as alternativas seguintes e assinale qual não é uma proposição lógica. 
a) Brasília é a capital do Brasil. 
b) Aracaju é a capital de Alagoas. 
c) A espécie Homo sapiens pertence à ordem carnívora. 
d) Ele descobriu o Brasil. 
e) 2 ∈ ℕ
Resposta
Análise da resposta:
Temos, nesse caso, uma sentença aberta, pois não 
sabemos quem é “ele”. Desse modo, não temos uma 
proposição lógica. 
 A pertinência é um tipo de relação entre um elemento e um conjunto. 
 Ela indica a existência ou a ausência de um elemento dentro de um conjunto.
Para isso, são utilizados dois símbolos de operadores relacionais: 
 ∈, que significa “pertence”; 
 ∉, que significa “não pertence”.
 No caso das relações de pertinência, quando queremos 
afirmar que um elemento x pertence a um conjunto A qualquer, 
utilizamos o símbolo ∈, ou seja, x ∈ A. 
 Porém, se o elemento x não pertence ao conjunto A, utilizamos 
o símbolo ∉, ou seja, x ∉ A.
Pertinência
 No caso das relações de pertinência, quando queremos afirmar que um elemento x pertence 
a um conjunto A qualquer, utilizamos o símbolo ∈, ou seja, x ∈ A. 
 Porém, se o elemento x não pertence ao conjunto A, utilizamos o símbolo ∉, ou seja, x ∉ A.
Vejamos um exemplo: 
 Consideremos o conjunto V das vogais do nosso alfabeto. 
V = {a, e, i, o, u} 
 Dizemos que a vogal “a” pertence ao conjunto V formado pelas 
vogais do alfabeto, ou seja, a ∈ V.
Pertinência
 Um conjunto vazio.
 Representação é Ø ou { }. 
 É um conjunto que não tem elementos. 
 Conjunto A mostrado a seguir. A = {x ∈ ℕ | x < 0}
 Não existem números naturais menores do que 0.
 Logo, o conjunto A não tem elementos. 
 Nesse caso, o conjunto A é um conjunto vazio, ou seja, A = Ø.
Conjuntos vazio e universo
 Um subconjunto é um conjunto que integra outro. 
 O diagrama da figura seguinte mostra o relacionamento entre um conjunto universo 𝑈 com 
seus dois subconjuntos: A e B. 
Subconjuntos e relação de inclusão
A B
U
Figura 2 – Um conjunto 
universo U que tem dois subconjuntos (A e B)
 Nesse caso, costumamos dizer que “A está contido em 𝑈” assim como “B está 
contido em 𝑈”. 
 Essa relação entre os conjuntos é o que chamamos de relação de inclusão. 
Existem dois principais símbolos de operadores relacionais 
que podemos utilizar nesse contexto:
 ⊂, que significa “está 
contido em”. 
 ⊄, que significa “não está 
contido em”.
Subconjuntos e relação de inclusão
A B
U
Figura 2 – Um conjunto 
universo U que tem dois subconjuntos (A e B)
 As operações entre conjuntos são operações capazes de resultar em um novo conjunto
a partir de outros já existentes. 
 Estudaremos as seguintes operações: união, interseção, diferença e complementar.
Operações entre conjuntos
União
 Se A e B são conjuntos, a união de A com B é denotada AՍB que representa o conjunto 
formado por todos os elementos de A e por todos os elementos de B. 
 Graficamente, AՍB será composto pelos elementos que pertencem às regiões destacadas 
no diagrama da figura 3, a seguir:Operações entre conjuntos
A
Figura 3 – União entre os conjuntos A e B
B
U
A U B
União
Vejamos os exemplos a seguir. 
 Seja A = {2, 4, 6, 8} e B = {1,3}; então, AUB = {1, 3, 2, 4, 6, 8}. 
 {1, 2, 3} U {4, 5, 6} = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
 {1, 2, 3} U {3, 4, 5} = {1, 2, 3, 4, 5} 
Operações entre conjuntos
Interseção
 A interseção de dois conjuntos A e B é descrita por A∩B, e é formada pelos elementos que 
pertencem tanto a A quanto a B, simultaneamente.
Operações entre conjuntos
A
Figura 4 – Interseção entre os conjuntos A e B
B
U
A ∩ B
Interseção
 Seja A = {2, 4, 6, 8} e B = {2,4}; então, A∩B = {2, 4}. 
 {1, 2, 3} ∩ {4, 5, 6} = Ø
 {1, 2, 3} ∩ {3, 4, 5} = {3}
Operações entre conjuntos
A
Figura 4 – Interseção entre os conjuntos A e B
B
U
A ∩ B
Ana Laura têm 5 tios e, de um deles, ganhou 4 presentes; do outro, 2 presentes; e dois tios 
juntaram-se e compraram juntos 1 presente. Assinale a alternativa que representa a expressão 
que mostra todos os presentes que Ana Laura ganhou e indique quantos foram.
a) 1
b) 2
c) 4
d) 5
e) 7
Interatividade 
Ana Laura têm 5 tios e, de um deles, ganhou 4 presentes; do outro, 2 presentes; e dois tios 
juntaram-se e compraram juntos 1 presente. Assinale a alternativa que representa a expressão 
que mostra todos os presentes que Ana Laura ganhou e indique quantos foram.
a) 1
b) 2
c) 4
d) 5
e) 7
Resposta
Presentes que Ana Laura ganhou:
 4 presente de um tio;
 2 presentes de outro tio;
 1 presente que dois tios deram juntos.
A quantidade total de presentes é dado por:
4 + 2 + 1 = 7.
Ana Laura ganhou de seus tios, no total, 
7 presentes.
Diferença entre dois conjuntos
 Se A e B são dois conjuntos, então a diferença entre A e B expressa como A – B (lê-se: 
“A menos B”) é o conjunto de elementos que estão em A, mas não em B. 
 Vejamos os exemplos a seguir. Graficamente, A – B será composto pelos elementos que 
pertencem à região destacada no diagrama da figura 5, a seguir:
Operações entre conjuntos
A
Figura 5 –
Diferença entre A e B
B
U
A - B
Diferença entre dois conjuntos
 Sejam os conjuntos A = {2, 4, 6, 8} e B = {2,4}; então, A – B = {6, 8}. 
 {1, 2, 3} – {4, 5, 6} = {1, 2, 3} 
 {1, 2, 3} – {3, 4, 5} = {1, 2} 
Operações entre conjuntos
A B
U
A - B
Figura 5 –
Diferença entre A e B
Complementar de B em A
 Para a operação complementar ocorrer, é necessário que haja uma relação de inclusão
entre dois conjuntos. 
 Se tivermos B como subconjunto de A, ou seja, B⊂A, podemos achar o complementar de B 
em relação a A.
 Nesse caso, será o conjunto de elementos de A que não pertencem a B.
Operações entre conjuntos
Complementar de B em A
 Trata-se de uma diferença entre conjuntos 
(A – B), mas com a restrição da 
necessidade de inclusão entre eles. 
 Podemos pensar na operação 
complementar como um caso particular da 
operação de diferença. 
 Graficamente, BC = CU
B = U – B será 
composto pelos elementos que pertencem 
à região destacada no diagrama da 
figura 6.
Operações entre conjuntos
A
B
U
BC = CU
B = U – B = A – B 
Figura 6 –
Complementar do 
conjunto B em relação 
ao conjunto A
Complementar de B em A
 A operação complementar costuma ser 
utilizada em relação ao próprio universo 
do contexto.
 Utilizando a mesma disposição de conjuntos 
da figura seguinte, temos que o 
complementar de B em relação ao universo 𝑈
é dado por BC = CU
B = U – B
 A notação BC é uma forma reduzida de 
expressar o complementar de B em relação 
ao seu universo. A expressão gráfica dessa 
operação pode ser vista na figura seguinte.
Operações entre conjuntos
Figura 7 –
Complementar do 
conjunto B em relação 
ao seu universo
BC = CU
B = U – B
A
B
U
Complementar de B em A
 Nesse mesmo contexto, podemos encontrar também o complementar de A em relação ao 
universo 𝑈, afinal, A⊂𝑈. 
 Podemos expressar essa operação como AC, que resulta nos elementos existentes na 
região destacada na figura seguinte. 
Operações entre conjuntos
Figura 7 – Complementar 
do conjunto B em relação 
ao seu universo
BC = CU
B = U – B
A
B
U
Complementar de B em A
 A operação complementar costuma ser utilizada em relação 
ao próprio universo do contexto. 
 Utilizando a mesma disposição de conjuntos da figura 
seguinte, temos que o complementar de B em relação ao 
universo 𝑈 é dado por: BC = CU
B = U – B
Operações entre conjuntos
Figura 8 – Complementar 
do conjunto A em relação 
ao seu universo
AC = CU
A = U – A
A
B
U
Operações lógicas
 Assim como os conjuntos matemáticos podem realizar operações entre si, as proposições 
lógicas também. 
 É por meio dessas operações que conseguimos construir proposições compostas. 
 Vamos conhecer as principais operações da lógica proposicional, estabelecendo 
associações com as operações entre conjuntos. 
Operações lógicas sobre proposições
Operações lógicas
 As operações da lógica proposicional que aprenderemos a seguir são:
 Negação; 
 Conjunção; 
 Disjunção inclusiva; 
 Disjunção exclusiva; 
 Condicional;
 Bicondicional. 
Operações lógicas sobre proposições
Operações lógicas - Negação (conectivo “não” “~”)
 A operação de negação é aquela realizada sobre uma proposição simples por meio do 
conectivo “não”, e o símbolo é til: ~.
 𝑎: Luís de Camões escreveu Os Lusíadas. (V) 
 Realizar uma operação de negação sobre a proposição 𝑎 seria incluir em sua sentença o 
conectivo “não”, de forma a trocar o seu valor lógico. Observe: 
 ~𝑎: Luís de Camões não escreveu Os Lusíadas. (F)
Operações lógicas sobre proposições
a ~a
V F
F V
Tabela 1 – Verdade 
da negação
Fonte: adaptado de: 
livro-texto.
Operações lógicas - Conjunção (conectivo “e” “∧”)
 A operação de conjunção é aquela capaz de unir duas (ou mais) proposições simples por 
meio do conectivo “e” cujo símbolo é ∧.
 Considere as duas proposições simples a seguir.
 𝑎: Luís de Camões escreveu Os Lusíadas. (V)
 𝑏: Machado de Assis escreveu O Cortiço. (F)
 Se realizarmos uma conjunção entre 𝑎 e 𝑏, teremos a 
proposição composta a seguir:
 𝑎 ∧ 𝑏: Luís de Camões escreveu Os Lusíadas, e Machado de 
Assis escreveu O Cortiço. (F)
Operações lógicas sobre proposições
 A operação de conjunção entre duas proposições simples exige que ambas sejam 
verdadeiras para que o resultado seja uma proposição composta verdadeira. 
 Desse modo, a proposição composta será verdadeira somente se ambas as proposições 
simples componentes também o forem.
Operações lógicas sobre proposições
a b a ∧ b
V V V
V F F
F V F
F F FFonte: adaptado de: 
livro-texto.
Tabela 2 – Verdade da conjunção
Um paciente é diagnosticado com uma determinada doença se, e somente se, apresentar os 
sintomas A e B. Entre 324 pessoas examinadas, verificou-se que:
 157 pessoas apresentaram o sintoma A;
 201 apresentaram o sintoma B;
 49 não apresentaram nenhum desses dois sintomas.
O número de pessoas examinadas que efetivamente contraíram 
a doença foi igual a:
a) 83
b) 85
c) 87
d) 89
e) 49
Interatividade 
Um paciente é diagnosticado com uma determinada doença se, e somente se, apresentar os 
sintomas A e B. Entre 324 pessoas examinadas, verificou-se que:
 157 pessoas apresentaram o sintoma A;
 201 apresentaram o sintoma B;
 49 não apresentaram nenhum desses dois sintomas.
O número de pessoas examinadas que efetivamente contraíram 
a doença foi igual a:
a) 83
b) 85
c) 87
d) 89
e) 49
Resposta
Solução:
 Inicialmente vamos calcular o total de pessoas que 
apresentaram o sintoma A ou o B: A + B = 157 + 201 = 358.
 Vamos agora fazer a diferença entre o total de pessoas 
examinadas e as pessoas que não apresentaram 
sintomas → 324 – 49 = 275.
 A diferença entre o total de pessoas que apresentaram o 
sintoma A ou B e o total de pessoas examinadas que 
apresentaram algum sintoma resultará no total de pessoas 
que estão doentes, ou seja, que apresentam os sintomasA e B → 358 – 275 = 83.
 Como 83 pessoas apresentam os sintomas A e B, a 
alternativa correta para essa questão é a letra a).
Resposta 
74 118
49
83
Operações lógicas - Disjunção inclusiva (conectivo “ou” “v”)
 A operação de disjunção inclusiva é aquela capaz de unir proposições simples por meio do 
conectivo “ou” cujo símbolo é ∨. 
Considere as duas proposições simples a seguir. 
 𝑎: Luís de Camões escreveu Os Lusíadas. (V) 
 𝑏: Machado de Assis escreveu O Cortiço. (F)
 𝑎 ∨ 𝑏: Luís de Camões escreveu Os Lusíadas, ou Machado de 
Assis escreveu O Cortiço. (V)
 A operação de disjunção inclusiva entre duas proposições 
simples pede que pelo menos uma delas seja verdadeira para 
que o resultado seja uma proposição composta verdadeira.
Operações lógicas sobre proposições
 Desse modo, a proposição composta será falsa somente quando ambas as componentes 
também forem. 
 A tabela-verdade que expressa esse comportamento pode ser vista a seguir. 
 No caso, temos duas entradas quaisquer, 𝑎 e 𝑏, e a saída é justamente a operação de 
disjunção inclusiva entre elas, 𝑎 ∨ 𝑏.
Operações lógicas sobre proposições
a b a V b
V V V
V F V
F V V
F F FFonte: adaptado de: 
livro-texto.
Tabela 3 – Verdade da disjunção inclusiva
Operações lógicas - Disjunção exclusiva (conectivo “ou...ou” “ ”)
 Existe um outro tipo de operação de disjunção, chamada de exclusiva. 
 A operação de disjunção exclusiva é aquela capaz de unir proposições simples por meio do 
conectivo “ou...ou”, e o símbolo é ⊻.
Considere as duas proposições simples a seguir.
 𝑎: Luís de Camões escreveu Os Lusíadas. (V) 
 𝑏: Machado de Assis escreveu Dom Casmurro. (V) 
Se realizarmos uma disjunção exclusiva entre 𝑎 e 𝑏, teremos a 
proposição composta a seguir: 
 𝑎 ⊻ 𝑏: Ou Luís de Camões escreveu Os Lusíadas, ou
Machado de Assis escreveu Dom Casmurro. (F)
Operações lógicas sobre proposições
⊻
 A tabela-verdade que expressa esse comportamento pode ser vista a seguir. 
 No caso, temos duas entradas quaisquer, 𝑎 e 𝑏, e a saída é a operação de disjunção 
exclusiva entre elas, a ⊻ b
Operações lógicas sobre proposições
a b a ⊻ b
V V F
V F V
F V V
F F FFonte: adaptado de: 
livro-texto
Tabela 4 – Verdade da disjunção exclusiva
Operações lógicas - Condicional (conectivo “se...então” “”)
 A operação condicional é aquela capaz de unir proposições simples por meio do conectivo 
“se... então”, e o símbolo é “→”. 
Considere as duas proposições simples a seguir. 
 𝑎: Machado de Assis nasceu no Rio de Janeiro. (V) 
 𝑏: Machado de Assis é brasileiro. (V)
Se realizarmos uma operação condicional entre 𝑎 e 𝑏, teremos a 
proposição composta que segue. 
 𝑎 → 𝑏: Se Machado de Assis nasceu no Rio de Janeiro, então 
ele é brasileiro. (V)
Operações lógicas sobre proposições
 A tabela-verdade que expressa esse comportamento pode ser vista a seguir. 
 No caso, temos duas entradas quaisquer, 𝑎 e 𝑏, e a saída é a operação condicional entre 
elas, 𝑎 → 𝑏. 
Operações lógicas sobre proposições
a b a → b
V V V
V F F
F V V
F F V
Fonte: adaptado de: 
livro-texto.
Tabela 5 – Verdade da operação condicional
Operações lógicas - Bicondicional (conectivo “se e somente se” “<-->”)
 A operação bicondicional é capaz de unir proposições simples por meio do conectivo “se e 
somente se”, e o símbolo é ↔.
Considere as duas proposições simples a seguir. 
 𝑎: O número 11 é par. (F)
 𝑏: O número 11 é divisível por 2. (F) 
Se realizarmos uma operação bicondicional entre 𝑎 e 𝑏, teremos a 
proposição composta que segue. 
 𝑎 ↔ 𝑏: O número 11 é par se e somente se ele for divisível por 2. 
(V)
Operações lógicas sobre proposições
 A tabela-verdade que expressa esse comportamento pode ser vista a seguir. 
 No caso, temos duas entradas quaisquer, 𝑎 e 𝑏, e a saída é a operação bicondicional entre 
elas, 𝑎 ↔ 𝑏.
Operações lógicas sobre proposições
a b a ↔ b
V V V
V F F
F V F
F F VFonte: adaptado de: 
livro-texto.
Tabela 6 – Verdade da operação bicondicional
Operações lógicas - Resumo dos operações lógicas
 Vamos, agora, trazer todas as operações lógicas que vimos em uma única tabela. 
 Esta tabela resume os nomes dos operadores, das operações e o comportamento de suas 
saídas, considerando duas entradas, 𝑎 e 𝑏.
Operações lógicas sobre proposições
Conectivo “Não” “E” “Ou” “Ou...ou” “Se...então”
“Se e 
somente se”
Operação Negação Conjunção
Disjunção 
inclusiva
Disjunção 
exclusiva
Condicional Bicondicional
a b ~a a ∧ b a V b a ⊻ b a → b a ↔ b
V V F V V F V V
V F F F V V F F
F V V F V V V F
F F V F F F V V
Considere as seguintes proposições simples. 
𝑝: Ana é dentista. 
𝑞: Ana joga vôlei. 
Sendo a proposição composta: Ana é dentista e joga vôlei 
Qual das alternativas abaixo apresenta em linguagem corrente a união das duas proposições 
simples?
a) 𝑝 ∨ ~𝑞
b) ~𝑝 →𝑞
c) 𝑝 ↔ ~𝑞
d) ~𝑝 ∧ ~ 𝑞
e) 𝑝 ∧ 𝑞
Interatividade 
Considere as seguintes proposições simples. 
𝑝: Ana é dentista. 
𝑞: Ana joga vôlei. 
Sendo a proposição composta: Ana é dentista e joga vôlei 
Qual das alternativas abaixo apresenta em linguagem corrente a união das duas proposições 
simples?
a) 𝑝 ∨ ~𝑞
b) ~𝑝 →𝑞
c) 𝑝 ↔ ~𝑞
d) ~𝑝 ∧ ~ 𝑞
e) 𝑝 ∧ 𝑞
Resposta
Analisando:
 Proposição composta:
Ana é dentista e joga vôlei 
 As duas preposições simples estão 
unidas pela conjunção 
(conectivo “e” “^”)
ATÉ A PRÓXIMA!