Metodos de Euler

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SERVIÇO PÚBLICO FEDERAL 
 Ministério da Educação 
 Instituto Federal de Alagoas – IFAL 
 Campus Piranhas 
 
 
 
 
 
 
 
 MÉTODO DE EULER 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Piranhas – AL 
 2023 
 
 SERVIÇO PÚBLICO FEDERAL 
 Ministério da Educação 
 Instituto Federal de Alagoas – IFAL 
 Campus Piranhas 
 
 JORGE DA CONCEIÇÃO DOS SANTOS 
 
 
 
 
Trabalho apresentado à disciplina de 
Séries e EDO, como requisito parcial de 
avaliação da disciplina, referente ao 
semestre de 2023, sob orientação do 
Profº. Me. Micael Dantas Macena 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Piranhas – AL 
 2023 
 
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 Campus Piranhas 
 
Sumário 
RESUMO .................................................................................... 4 
INTRODUÇÃO ........................................................................... 4 
MÉTODO DE EULER E EXEMPLOS ...................................... 6 
CONCLUSÃO .......................................................................... 9 
REFERÊNCIAS: .................................................................. 10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 RESUMO 
 
Este trabalho tem o objetivo de trazer uma leve introdução de um método usado 
no cálculo diferencia a integral e também na computação para soluções aproximadas, 
onde, Leonhard Euler (1707 – 1783) foi um matemático e físico suíço, considerado um 
dos grandes estudiosos de sua época, suas contribuições para calculo e aplicações 
são de extrema importância para os dias atuais. Contudo, não só sendo aplicadas na 
matemática, mais também na física e até em sistemas computacionais para a 
resolução de uma série de problemas e aplicações em algoritmos computacionais 
para gerar comando a códigos, nos vários desenvolvimentos de software. 
Problemas como equações ordinárias, problemas do valor inicial, linguagem de 
programação, aproximações numéricas, introdução da função gama, analogia entre o 
cálculo infinitesimal e o cálculo das diferenças finitas, entre outros. São as algumas 
das particularidades em que são aplicadas o método de Euler. 
 
Palavras – chave: aplicações, método, Euler, equações ordinárias. 
 
INTRODUÇÃO 
 
Tendo como objetivo de forma simples explicar o método de Euler e trazer 
exemplos de suas aplicações, um método cuja a sua utilidade tem uma relevância 
importante no sentido de conseguir soluções para as equações ordinárias, além disso, 
usando métodos do problema do valor inicial (PVI) para campos de forma que 
introduzindo a sua direção é mostrada. Sobretudo, a ideia principal de Euler era 
aproximação seguindo para uma pequena distância ao longo da reta tangente, 
fazendo uma correção e mudando a direção, como uma indicação da mudança de 
direção. De maneira geral o método de Euler diz para diz para que o inicio seja no 
ponto dado pelo valor inicial e olhando para a inclinação na nova localização naquele 
e seguindo na nova direção. 
Assim seguindo parando e mudando de direção de acordo com o campo de 
direções. Uma coisa importante é ter em mente que o método de Euler não nos dar 
uma solução exata para os problemas do valor inicial. E sim, pela diminuição de 
passos, aumentando o número de correções no caminho, dessa forma se obtém 
soluções com uma precisão maior onde se aproximam da solução exata. É importante 
a gente falar do método de Runge-Kutta, não iremos aborda nesse trabalho esse 
método porem, em alguns casos é normal aparecer sempre que de maneira direta e 
indireta, onde existe comparação com método de Euler em relação a sua eficiência. 
Antes é importante sabermos que Carl David Runge (1856-1927), foi um 
matemático e físico alemão, trabalhou muitos anos em espectroscopia. Sua análise 
de dados o levou a considerar problemas em computação numérica e o método de 
Runge-Kutta tem origem em seu artigo sobre soluções em 1901 por M. Wilhelm Kutta 
(1867-1944). Kutta era um matemático alemão que trabalhava com aerodinâmica e é, 
também, muito conhecido por suas contribuições importantes à teoria clássica de 
aerofólio. 
O método de Euler também tem uma ligação com campos de direção, onde o 
campo ou os campos de direção nos permite visualizar as soluções de uma única vez, 
algo semelhante acontece em relação a estimativa do tempo e clima, quando é 
possível visualizar as ondas de vendo e a formação das passagens de chuva. Bom, 
não vamos fazer essa relação do método de Euler com campos de direção. 
 imagem I 
 
A imagem um retrata a curva analítica em preto e as outras duas curvas, Euler 
e Runge-Kutta, onde mostra que ambos os métodos se aproximam da curva, sendo o 
método de Euler um pouco menos significativo se a gente for olhar apenas o lado dos 
resultados. 
 
MÉTODO DE EULER E EXEMPLOS 
 
 A equação formulada e usada para o método de Euler para o problema de valor 
inicial de primeira ordem é relacionada por meio de uma questão para encontrar 
valores aproximados para a solução numérica no espaço pedido. Dessa forma, 
problema de primeira ordem de valor inicial geral 𝑦𝑦′ = 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦),𝑦𝑦(𝑥𝑥0) = 𝑦𝑦0, aqui o 
objetivo é encontrar valores aproximados para a solução em números igualmente 
espaçados em x0, x1= x0+ h, x2= x1 + h, ..., onde h é o passo, com inclinação em x0, 
y0, y’= f(x0, y0) como mostra a imagem abaixo. 
 imagem II 
 
𝑦𝑦1 = 𝑦𝑦0 + ℎ𝑓𝑓(𝑥𝑥0,𝑦𝑦0) 
𝑦𝑦2 = 𝑦𝑦1 + ℎ𝑓𝑓(𝑥𝑥1,𝑦𝑦1) 
𝑦𝑦𝑦𝑦 = 𝑦𝑦 𝑦𝑦 − 1 + ℎ𝑓𝑓(𝑥𝑥 𝑦𝑦 − 1,𝑦𝑦 𝑦𝑦 − 1) 
Sendo esse um exemplo geral. 
 
EXEMPLO 3 (Stewart): Use o método de Euler com o passo 0,1 para construir 
uma tabela de valores aproximados para a solução do problema de valor inicial. 
𝑦𝑦′ = 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦, 𝑦𝑦(0) = 1 
SOLUÇÃO: Sabemos que h 0,1, x0 = 0, y0 1e F(x, y) x y. Desse modo, temos 
𝑌𝑌1 = 𝑌𝑌0 + 𝐻𝐻𝐻𝐻(𝑋𝑋0,𝑌𝑌0) = 1 + 0,1 (0 + 1) = 1,1 
𝑌𝑌2 = 𝑌𝑌1 + 𝐻𝐻𝐻𝐻(𝑋𝑋1,𝑌𝑌1) = 1,1 + 0,1 (0,1 + 1,1) = 1,22 
𝑌𝑌3 = 𝑌𝑌2 + 𝐻𝐻𝐻𝐻(𝑋𝑋2,𝑌𝑌2) = 1,22 + 0,1 (0,2 + 1,22) = 1,362 
 
Esse mesmo método possui erros como: aproximação, arredondamento e 
truncamento, onde as arredomaneto e truncamento são como se fosse uma 
semelhança de subtópicos da aproximação. 
 
Aproximação 
 
A aproximação de erro que sempre vai existir uma quantidade de erros e que 
essas pequenas quantidades tendem a se acumular. Onde os mesmos podem 
dificultar e torna uma pesquisa depressível uma vez que tais erros se acumulam a 
ponto de que uma pesquisa ou cálculos devido a quantidade de erros acabam se 
tornando inúteis. Nesse ponto de vista, os erros são de duas naturezas: 
Erros de arredondamentos: quando a gente usa uma calculadora ou algum 
programa semelhante de computador para fazer um cálculo de arredondamento, parauma equação diferencial em que apresenta casas decimais finitas, dizemos que 
trabalhos com erro de arredondamento. 
Por outro lado, truncamento é as causas das técnicas que usamos para o valor 
de y. a formula de Euler carrega um erro a cada passo, onde para analisar esse erro 
usamos a equação de Taylor, 
 𝑦𝑦(𝑥𝑥) = 𝑦𝑦(𝑎𝑎) + 𝑦𝑦′(𝑎𝑎) 𝑥𝑥 − 𝑎𝑎
1!
+ ⋯+ 𝑦𝑦
𝑘𝑘(𝑎𝑎)(𝑥𝑥−𝑘𝑘)𝑘𝑘
𝑘𝑘!
+ 𝑦𝑦𝑘𝑘+1 (𝑐𝑐)((𝑥𝑥−𝑎𝑎)
𝑘𝑘+1
𝑘𝑘+1!
) 
Onde C é algum ponto entre x e a. Para estudar o erro no Método de Euler, 
basta analisar o polinômio de Taylor de ordem 1 com resto. Sendo essa uma 
demonstração longa e de um grau considerável de complexidade. 
Também pode inscrito para solução de problemas algoritmos computacionais, 
antes de tudo, é importante saber que um algoritmo computacional é em tese, tudo 
aquilo que a gente faz no dia a dia, desde a hora em que acordamos até a hora em 
vamos dormir. Desse modo, para os programas que são executados em software não 
é diferente, o algoritmo é uma sequência de instruções e comandos que o sistema vai 
desenvolver e realizar. Abaixo estar um sistema de um algoritmo computacional com 
a solução por meio do método de Euler. 
Importante lembrar que o mesmo exemplo foi tirado de um artigo citado nas 
referências. 
Exemplo: Vemos que o erro de truncamento de f no método do ponto médio é 
da ordem de h 2 , melhor que Euler e sem envolver derivadas de f . Essa diferença de 
ordem pode fazer com que o método do ponto médio possa atingir às vezes uma 
precisão boa com passos muito maiores. Vamos ver isso acontecendo na prática. 
 
In [4]: # Teste com equação boba y= y, y(0) = 1 em [0, 2]. 
f(t, y) = y 
n = 1000 
# Resolve primeiro com o método de Euler 
 y = Euler(0, 2, f, 1, n) 
@show exp(2) 
@show y[end] 
@show abs(y[end] - exp(2))/exp(2) 
# Método de Ponto médio para PVI y = f(t, y), y(a) = y0, usando n pontos. 
function PontoMedio(a, b, f, y0, n) 
n = round(Int, n) 
h = (b - a) / n 
y = Array(Float64, n + 1) y[1] = y0 
t = a 
for i = 2:n+1 
y05 = y[i - 1] + (h/2)*f(t, y[i - 1]) 
t += h/2 
y[i] = y[i - 1] + h*f(t, y05) 
 t += h/2 
end 
return y 
end 
y = PontoMedio(0, 2, f, 1, n / 10) 
@show y[end] 
@show abs(y[end] - exp(2))/exp(2); 
exp(2) = 7.38905609893065 
y[end] = 7.374312390354604 
abs(y[end] - exp(2)) / exp(2) = 0.0019953439760972626 
y[end] = 7.388085615092282 
abs(y[end] - exp(2)) / exp(2) = 0.00013134070514211196 
 
Também existe métodos por parte da integração, algo que não iremos abordar 
aqui, uma vez que o objetivo do trabalho era mostrar o método de Euler, ainda sim, o 
método Runge-Kutta tem as mesmas finalidade que as aplicações nas EDO, 
programação e outras. 
 
CONCLUSÃO 
 
Dessa forma, foi possível abordados um pouco do que seria o método de Euler 
e sua aplicações, ainda que seja um assunto relativamente curto em alguns livros de 
cálculo, acaba sendo extenso por suas varias aplicações em integrais, linguagem de 
programação ao qual sabemos que é mais amplo ainda, Linux, Java, Python, entre 
outras, onde o método de Euler tem como solução executar um resultado mais 
aproximado para problemas solucionados por sistemas de computação, conhecidos 
como software. 
Outro detalhe foi a relação pouco discutida sobre o método de Runge-Kutta que 
faz o processo similar ao de Euler e com uma aproximação mais exata, onde foi 
mostrado de forma gráfica usando a linha da curva analítica e as linhas traçadas por 
ambos os métodos de aproximação para soluções das equações. Como já sabemos 
vivemos em um mundo dito por muitos, que é um mundo digital e o processo de 
evolução é algo evidente diante dos nossos olhos, sobretudo o avanço da tecnologia 
tem uma grande ação nesse sentido e com isso a programação e o desenvolvimento 
de sistemas junto a algoritmos fazem essa evolução estar ligado a programação. 
Logo sabemos da relevância em estudar métodos que faz uso do cálculo e é 
aplicado em linguagens de programação. Sendo essa a profissão do futuro, mas não 
só por esse motivo, é importante que tenhamos a interpretação das coisas que 
acontece ao nosso redor, uma vez que a nossa vida é um longo ou curto algoritmo. 
 
REFERÊNCIAS: 
 
Harbra, 2002. STEWART, James. Cálculo. Volume 2, 6. ed. São Paulo: 
Cengage Learning, 2009. 
DO VALLE, Karine Nayara Faria et al. Métodos numéricos de Euler e Runge-
Kutta. 2012. 
SILVA, Paulo. Problemas de valor inicial. Página (1 a 11), 12 de Setembro de 
2017. 
	RESUMO
	INTRODUÇÃO
	MÉTODO DE EULER E EXEMPLOS
	CONCLUSÃO
	REFERÊNCIAS: