Aula Exercícios (1)

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EXERCÍCIOS – CAP 8 – 1º PARTE
1
2
8.6 Um fluido incompressível escoa entre duas placas paralelas estacionárias infinitas. O perfil de velocidade é dado por umáx = (Ay 2 + By + C), na qual A, B e C são constantes e y é a distância medida para cima a partir da placa inferior. O espaçamento entre as placas é h. Use condições de contorno apropriadas para expressar o módulo e as unidades SI das constantes em termos de h. Desenvolva uma expressão para a vazão em volume por unidade de profundidade e avalie a razão. /umáx. 
3
4
5
8.7 O perfil de velocidade para escoamento completamente desenvolvido entre placas planas paralelas estacionadas é dado por u = a(h 2 /4 – y 2 ), na qual a é uma constante, h é o espaçamento entre as placas e y é a distância medida a partir da linha de centro da folga. Desenvolva a razão /umáx. 
RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 8.7
6
RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 8.7
7
RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 8.7
8
9
8.8 Um fluido escoa em regime permanente entre duas placas paralelas. O escoamento é completamente desenvolvido e laminar. A distância entre as placas é h. Para μ = 1,15 N·s/m2 , ∂p/∂x = 58 Pa/m e h = 1,3 mm, calcule a máxima tensão de cisalhamento em Pa. Considere o eixo no centro. (Resp: τmáx = 0,038 Pa)
10
11
8.9 Óleo está confinado em um cilindro de 100 mm diâmetro por um pistão que possui uma folga radial de 0,025 mm e um comprimento de 50 mm. Uma força constante de 20.000 N é aplicada ao pistão. Use as propriedades do óleo SAE 30 a 49°C. Estime a taxa à qual o óleo vaza pelo pistão. (Resp. = Q = 3,53 × 10−7 m3/s (353 mm3/s))
12
8.9 Óleo está confinado em um cilindro de 100 mm diâmetro por um pistão que possui uma folga radial de 0,025 mm e um comprimento de 50 mm. Uma força constante de 20.000 N é aplicada ao pistão. Use as propriedades do óleo SAE 30 a 49°C. Estime a taxa à qual o óleo vaza pelo pistão. (Resp. = Q = 3,53 × 10−7 m3/s (353 mm3/s))
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8.10 Um óleo viscoso escoa em regime permanente entre duas placas paralelas estacionárias. O escoamento é laminar e completamente desenvolvido. O espaçamento entre as placas é h = 5 mm. A viscosidade do óleo é 0,5 N · s/m2 e o gradiente de pressão é −1000 N/m2 /m. Determine o módulo e o sentido da tensão de cisalhamento sobre a placa superior e a vazão volumétrica através do canal por metro de largura. 
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8.10 Um óleo viscoso escoa em regime permanente entre duas placas paralelas estacionárias. O escoamento é laminar e completamente desenvolvido. O espaçamento entre as placas é h = 5 mm. A viscosidade do óleo é 0,5 N · s/m2 e o gradiente de pressão é −1000 N/m2 /m. Determine o módulo e o sentido da tensão de cisalhamento sobre a placa superior e a vazão volumétrica através do canal por metro de largura. 
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8.11 Um óleo viscoso escoa em regime permanente entre duas placas paralelas. O escoamento é laminar e completamente desenvolvido. O gradiente de pressão é 1,25 kPa/m e a meia­ altura do canal é h = 1,5 mm. Calcule o módulo e o sentido da tensão de cisalhamento na superfície da placa superior. Determine a vazão em volume através do canal (μ = 0,50 N · s/m2 ). (Resp: τyx = −1,88 Pa Q/b = −5,63 × 10−6 m2/s)
16
8.12 Uma grande massa é suportada por um pistão de diâmetro D = 100 mm e comprimento L = 100 mm. O pistão está assentado em um cilindro fechado no fundo. A folga a = 0,025 mm entre a parede do cilindro e o pistão é preenchida com óleo SAE 10 a 20°C. O pistão desliza lentamente devido ao peso da massa, e o óleo é forçado a sair à taxa de 6×10 −6 m3 /s. Qual é o valor da massa (em kg)? (resp: M = 117,43 × 103 kg)
17
8.13 Uma alta pressão em um sistema é criada por um pequeno conjunto pistão ­cilindro. O diâmetro do pistão é 6 mm e ele penetra 50 mm no cilindro. A folga radial entre o pistão e o cilindro é 0,002 mm. Despreze deformações elásticas do pistão e do cilindro causadas pela pressão. Considere que as propriedades do fluido são aquelas do óleo SAE 10W a 35°C. Estime a taxa de vazamento para uma pressão no cilindro de 600 MPa. (Resp: Q = 3,97 × 10−9 m3/s (3,97 × 10−6 L/s)
18
8.14 Um macaco hidráulico suporta uma carga de 9.000 kg. Os seguintes dados estão disponíveis:
Diâmetro do pistão 100 mm 
Folga radial entre o pistão e o cilindro 0,05 mm
Comprimento do pistão 120 mm
Estime a taxa de vazamento de fluido hidráulico pelo pistão, admitindo que o fluido seja óleo SAE 30 a 30ºC
19
8.16 O componente básico de um aparelho de teste de manômetros consiste de um dispositivo pistão­cilindro, conforme mostrado. O pistão, de 6 mm de diâmetro, é carregado de modo a desenvolver uma pressão de módulo conhecido. (O comprimento do pistão é 25 mm.) Calcule a massa, M, requerida para produzir 1,5 MPa (manométrica) no cilindro. Determine a taxa de vazamento como uma função da folga radial, a, para essa carga, se o líquido for óleo SAE 30 a 20°C. Especifique a máxima folga radial admissível de modo que o movimento vertical do pistão devido ao vazamento seja inferior a 1 mm/min
20
8.20 Um mancal de deslizamento selado é formado por cilindros concêntricos. O raio interno e o externo são 25 e 26 mm, respectivamente, o comprimento do mancal é 100 mm, e ele gira a 2800 rpm. A folga radial é preenchida com óleo em movimento laminar. O perfil de velocidade é linear através da folga. O torque necessário para girar o cilindro interno é 0,2 N · m. Calcule a viscosidade do óleo. 
21
8.22 Considere o escoamento laminar completamente desenvolvido entre placas paralelas infinitas espaçadas de d = 10 mm. A placa superior se move para a direita com velocidade U2 = 0,5 m/s; a placa inferior se move para a esquerda com velocidade U1 = 0,25 m/s. O gradiente de pressão no sentido do escoamento é zero. Desenvolva uma expressão para a distribuição de velocidade na folga. Determine a vazão volumétrica por unidade de largura (m³/s/m) que passa por uma dada seção transversal.
22
8.23 Água a 60°C escoa para a direita entre duas grandes placas planas. A placa inferior se move para a esquerda com velocidade de 0,3 m/s; a placa superior está parada. O espaçamento entre as placas é 3 mm e o escoamento é laminar. Determine o gradiente de pressão necessário para produzir vazão resultante zero em uma seção transversal.
23
24
8.25 Dois fluidos imiscíveis estão contidos entre placas paralelas infinitas. As placas estão separadas pela distância 2h, e as duas camadas de fluidos têm espessuras iguais, h; a viscosidade dinâmica do fluido superior é três vezes aquela do fluido inferior. Se a placa inferior é estacionária e a placa superior se move com velocidade constante U = 5 m/s, qual é a velocidade na interface? Admita escoamentos laminares e que o gradiente de pressão na direção do escoamento é zero.
25
26
27
8.26 A cabeça de leitura/gravação do disco rígido de um computador flutua acima do disco giratório sobre uma delgada camada de ar (a espessura do filme de ar é 0,5 μm). A cabeça está a 150 mm da linha de centro do disco; o disco gira a 3600 rpm. A cabeça de leitura/gravação é quadrada, com 5 mm de lado. Para ar­padrão no espaço entre a cabeça e o disco, determine (a) o número de Reynolds do escoamento, (b) a tensão de cisalhamento viscoso e (c) a potência requerida para superar o cisalhamento viscoso. 
28
8.31 A distribuição de velocidade em uma fina película de fluido escoando para baixo sobre uma superfície inclinada foi desenvolvida no Exemplo 5.9. Considere um filme de 7 mm de espessura de um líquido com SG = 1,2 e viscosidade dinâmica de 1,60 N · s/m2 . Deduza uma expressão para a distribuição da tensão de cisalhamento dentro da película. Calcule a máxima tensão cisalhamento dentro da película e indique seu sentido. Avalie a vazão volumétrica no filme, em mm3 /s por milímetro de largura da superfície. Calcule o número de Reynolds baseado na velocidade média
29
8.35
30
8.43 Um mancal de deslizamento consiste de um eixo de diâmetro D = 35 mm e comprimento L= 50 mm (momento de inércia I =
0,125 kg · m2) instalado simetricamente em um invólucro estacionário de modo que a folga anular é δ = 1 mm. O fluido na folga tem
viscosidade μ = 0,1 N · s/m2. Se é dada ao eixo uma velocidade angular inicial ω = 500 rpm, determine o tempo para que a velocidade do eixo abaixe para 100 rpm. Em outro dia, um fluido desconhecido foi testado da mesma forma, levando 10 minutos para a velocidade passar de 500 rpm para 100 rpm. Qual é a sua viscosidade?
31
8.45 Uma correia contínua, movendo com velocidade U0 para cima através de um banho químico, arrasta uma película de líquido de espessura h, massa específica ρ e viscosidade μ. A gravidade tende a fazer com que o líquido desça, mas o movimento da correia impede que ele retorne completamente. Admita que o escoamento seja laminar, completamente desenvolvido, com gradiente de pressão zero e que a atmosfera não produz tensão de cisalhamento na superfície externa da película. Enuncie claramente as condições de contorno a serem satisfeitas pela velocidade em y = 0 e y = h. Obtenha uma expressão para o perfil de velocidade.
32
8.31 A distribuição de velocidade em uma fina película de fluido escoando para baixo sobre uma superfície inclinada foi desenvolvida no Exemplo 5.9. Considere um filme de 7 mm de espessura de um líquido com SG = 1,2 e viscosidade dinâmica de 1,60 N · s/m2 . Deduza uma expressão para a distribuição da tensão de cisalhamento dentro da película. Calcule a máxima tensão cisalhamento dentro da película e indique seu sentido. Avalie a vazão volumétrica no filme, em mm3 /s por milímetro de largura da superfície. Calcule o número de Reynolds baseado na velocidade média8.31 A distribuição de velocidade em uma fina película de fluido escoando para baixo sobre uma superfície inclinada foi desenvolvida no Exemplo 5.9. Considere um filme de 7 mm de espessura de um líquido com SG = 1,2 e viscosidade dinâmica de 1,60 N · s/m2 . Deduza uma expressão para a distribuição da tensão de cisalhamento dentro da película. Calcule a máxima tensão cisalhamento dentro da película e indique seu sentido. Avalie a vazão volumétrica no filme, em mm3 /s por milímetro de largura da superfície. Calcule o número de Reynolds baseado na velocidade média
8.35 O perfil de velocidade para escoamento completamente desenvolvido de tetracloreto de carbono a 15°C entre placas paralelas (espaçamento a = 1,25 mm), com a placa superior em movimento, é dado pela Eq. 8.8. Considere uma vazão volumétrica por unidade de 3,15×10−4 m3 /s/m para gradiente de pressão zero. Encontre a velocidade U. Avalie a tensão de cisalhamento sobre a placa inferior. A vazão volumétrica aumentaria ou diminuiria com um ligeiro gradiente adverso de pressão? Calcule o gradiente de pressão que dará tensão de cisalhamento zero em y/a = 0,25. Esboce a distribuição de tensão de cisalhamento para este caso.
8.43 Um mancal de deslizamento consiste de um eixo de diâmetro D = 35 mm e comprimento L = 50 mm (momento de inércia I =
0,125 kg · m2) instalado simetricamente em um invólucro estacionário de modo que a folga anular é δ = 1 mm. O fluido na folga tem
viscosidade μ = 0,1 N · s/m2. Se é dada ao eixo uma velocidade angular inicial ω = 500 rpm, determine o tempo para que a velocidade do eixo abaixe para 100 rpm. Em outro dia, um fluido desconhecido foi testado da mesma forma, levando 10 minutos para a velocidade passar de 500 rpm para 100 rpm. Qual é a sua viscosidade?
8.45 Uma correia contínua, movendo com velocidade U0 para cima através de um banho químico, arrasta uma película de líquido de espessura h, massa específica ρ e viscosidade μ. A gravidade tende a fazer com que o líquido desça, mas o movimento da correia impede que ele retorne completamente. Admita que o escoamento seja laminar, completamente desenvolvido, com gradiente de pressão zero e que a atmosfera não produz tensão de cisalhamento na superfície externa da película. Enuncie claramente as condições de contorno a serem satisfeitas pela velocidade em y = 0 e y = h. Obtenha uma expressão para o perfil de velocidade.
SUGESTÃO DE EXERCÍCIOS
Fox, et. Al, 8º edição
8.48, 8.51, 8.53, 8.66, 8.67, 8.68, 8.69, 8.70
33
1) Condições de contorno: 
I) y = 0 

 u = 0 
II) y = h 

 u = 0 
III) y = h/2 

 
max
uu
 
 
2) Substituindo a condição de contorno (I) na eq. dada na questão: 
))0()²0((0
max
CBAu 

C = 0 
3) Substituindo a condição de contorno (II) e depois a condição (III) na Eq. dada na 
questão, para, através de um sistema, encontrar os valores de A e B, já sabendo que 
C foi encontrado acima. 
)0)()²((0
max
 hBhAu

)²()( hAhB 

AhB
 






















 0
22
2
maxmax
h
B
h
Auu

1
24
2









Bhh
A

42
2
BhAh
 
Acima, encontrou-se o valor B em função de A, então vamos substituir agora, para encontrar A. 
4)(2
2
 hAhAh

42
22
AhAh

4
2
Ah

2
4
h
A
 
Voltando para saber o valor de B.
 
h
h
h
AhB
44
2








 
Substituindo na Eq. dada na questão, tem-se: 






 y
h
y
h
uu
4
²
4
2
max
 
b) Vazão em Volume 
h
hh
y
h
y
h
udyy
h
y
h
udyu
l
Q
0
23
2
max
0
2
2
max
0
2
4
3
444
.





























 






















 hhu
h
h
h
h
u
l
Q
2
3
4
0
2
4
3
4
3
max
23
2
max
 







3
2
max
h
u
l
Q

max
.
3
2
uh
l
Q

 
a) 
hlVAVQ ..

hV
l
Q

 
 
Substituindo Q/l visto no item anterior, tem-se: 
hV
l
Q


hVuh 
max
.
3
2

max
3
2
uV

3
2
max

u
V
 
1) Encontrar 
dy
du
 















2
2
4
y
h
a
dy
d
dy
du

ay
dy
du
2
 
Para se ter
max
u
, a primeira derivada 
dy
du
tem de ser igual a zero. Logo: 
02ay
dy
du

0y
 
Isto é, 
max
u
quando y = 0, logo, substitui -se o valor de y = 0 na Eq dada na questão:
²)4/²( yhau 
 
²)04/²(
max
hau

)4/²(
max
hau
 
1) Velocidade Média (
AQV /
) 
)1(.hlhA 

dydyldydA  )1(.
 

 dAu
AA
Q
V .
1
 Substituindo A e dA pelas expressões deduzidas acima, tem-se: 



2/
2/
.
1
h
h
dyu
h
V
Substituindo u pela expressão dada na questão, tem -se: 
2/
2/
32
2/
2/
2
2
344
1
h
h
h
h
yyh
h
a
dyy
h
a
h
V





















 

























































24
2
24
2
24
2
2482483)8(24
333333332
hh
h
ahhh
h
ahhhhh
h
a
V
 









6
3
h
h
a
V

6
2
ah
V
 
Encontrando a expressão que a questão pedi, tem-se: 
)4/²(
6
/
2
max
ha
ah
uV










3
24
6
/
2
2
max
















ah
ah
uV
 
a) 
a) 𝜏=𝑎ቀ
𝑑𝑝
𝑑𝑥
ቁ
ቂ
𝑦
𝑎
−
1
2
ቃ
=1,3𝑥10
−3
𝑥
ሺ
58
ሻሺ
1−0,5
ሻ
=0,038𝑃𝑎 
Primeiramente, vamos encontrar a variação de pressão através da equação:
Agora, vamos encontrar a vazão através da equação:
, onde a é a folga, L é o comprimento, l é o comprimento do arco()
s
m
x
x
x
x
Q
/
³
10
53
,
3
)
10
50
)(
10
9
,
5
(
12
)
1416
,
3
)(
1
,
0
)(
2546473
(
)
10
025
,
0
(
7
3
2
3
3
-
-
-
-
=
=
MPa
Pa
x
D
F
A
F
P
55
,
2
473
.
546
.
2
031416
,
0
000
.
80
)
1
,
0
(
)
10
20
(
4
4
2
3
2
@
=
=
=
=
=
D
p
p
L
p
a
l
Q
m
12
3
D
=
D
R
l
p
p
=
=
2
Primeiramente, vamos encontrar a variação de pressão através da equação: 
 
MPaPa
x
D
F
A
F
P 55,2473.546.2
031416,0
000.80
)1,0(
)1020(44
2
3
2


 
 
Agora, vamos encontrar a vazão através da equação: 
 
L
pa
l
Q
12
3


, onde a é a folga, L é o comprimento, l é o comprimento do arco(
DRl 2
) 
smx
xx
x
Q /³1053,3
)1050)(109,5(12
)1416,3)(1,0)(2546473()10025,0(
7
32
33




 
Considerando: , , 
A Eq. da Tensão de Cisalhamento, onde a é distância entre as placas, e y é a distância do eixo a placa superior (a=y=h), é dada por:
a)
Substituindo os valores, tem-se:
 (para a direita, porque deu negativo)
b) A vazão em volume, conforme visto em aula, é dada por:
ú
û
ù
ê
ë
é
-
÷
ø
ö
ç
è
æ
¶
¶
=
2
1
a
y
x
p
a
yx
t
(
)
²
/
5
,
2
2
1
10
5
10
5
1000
10
5
3
3
3
m
N
x
x
x
yx
=
ú
û
ù
ê
ë
é
-
-
=
-
-
-
t
3
12
1
a
x
p
l
Q
÷
ø
ö
ç
è
æ
¶
¶
-
=
m
Þ
(
)
m
s
m
x
x
l
Q
/
/
³
10
8
,
20
)
105
(
1000
)
5
,
0
(
12
1
6
3
3
-
-
=
-
-
=
mm
a
5
=
m
m
N
dx
dp
/
²
/
1000
-
=
²
/
.
5
,
0
m
s
N
=
m
Considerando: 
mma5
, 
mmN
dx
dp
/²/1000
, 
²/.5,0 msN
 
A Eq. da Tensão de Cisalhamento, onde a é distância entre as placas, e y é a distância do 
eixo a placa superior (a=y=h), é dada por: 
a) 
















2
1
a
y
x
p
a
yx

 
 
Substituindo os valores, tem-se: 
 
 
²/5,2
2
1
105
105
1000105
3
3
3
mN
x
x
x
yx












 (para a direita, porque deu 
negativo) 
 
b) A vazão em volume, conforme visto em aula, é dada por: 
 
3
12
1
a
x
p
l
Q











 
msmxx
l
Q
//³108,20)105(1000
)5,0(12
1
633 

 
a) 
a) 𝜏=𝑎ቀ
𝑑𝑝
𝑑𝑥
ቁ
ቂ
𝑦
𝑎
−
1
2
ቃ
=(2)(1,5𝑥10
−3
)𝑥
ሺ
1,25𝑥10
−3
ሻ
ቀ
𝑦
𝑎
−0,5ቁ 
𝑦=𝑎 𝑒 𝑎=2ℎ 
 
𝜏=
ሺ
2
ሻሺ
1,5𝑥10
−3
ሻ
𝑥
ሺ
1,25𝑥10
−3
ሻሺ
1−0,5
ሻ
=3,75
ሺ
0,5
ሻ
=1,88𝑃𝑎 
=0,05625
𝑄
𝑙
=
1
12𝜇
ቀ
𝑑𝑝
𝑑𝑥
ቁ𝑎
3
=
1
12
ሺ
50
ሻ
ሺ
1,25𝑥10
3
ሻ
((2𝑥1,5𝑥10^(−3))
3
=
1
600
(1,25𝑥10
3
)(27𝑥10
−9
)=0,05625 
s
m
x
x
x
x
x
x
L
D
p
a
l
Q
/
³
10
97
,
3
)
10
50
)(
10
8
,
3
(
12
)
10
0
,
6
)(
1416
,
3
)(
10
600
(
)
10
002
,
0
(
12
.
.
9
3
2
3
6
3
3
3
-
-
-
-
-
=
=
D
=
m
p
²
/
.
10
0
,
3
1
m
s
N
x
-
=
m
Primeiro, vamos calcular o peso do pistão e depois encontrar a diferença de pressão.
MPa
Pa
D
W
A
W
A
F
P
2
,
11
65
,
405
.
241
.
11
)
1
,
0
(
)
81
,
9
)(
9000
(
4
4
2
2
@
=
=
=
=
=
D
p
p
s
m
x
x
x
L
D
p
a
L
l
p
a
l
Q
/
³
10
01
,
1
)
12
,
0
)(
10
3
(
12
)
1
,
0
)(
1416
,
3
)(
65
.
405
.
241
.
11
(
)
10
05
,
0
(
12
.
.
12
.
6
1
3
3
3
3
-
-
-
=
=
D
=
D
=
m
p
m
Primeiro, vamos calcular o peso do pistão e depois encontrar a diferença de pressão.
 
 
MPaPa
D
W
A
W
A
F
P 2,1165,405.241.11
)1,0(
)81,9)(9000(44
22


 
 
smx
x
x
L
Dpa
L
lpa
l
Q
/³1001,1
)12,0)(103(12
)1,0)(1416,3)(65.405.241.11()1005,0(
12
..
12
.
6
1
3333











 
RESOLUÇÃO
O fluido está entre 2 cilindros e o de dentro está girando, então a área de contato do cilindro com o fluido é a superfície do cilindro 2. E para calcular é como se abrisse o cilindro, ficando . A folga é dada pela diferença entre os raios 
Torque = Força x Raio (como é o cilindro interno, é a força vezes o raio interno.
A questão diz que o perfil de velocidade é linear, logo, porque é um sistema girando em cima de outro, não tem perturbação, com isso, 
Como já dito: , mas (força é tensão de cisalhamento vezes a área), logo:
Lembrando que: , onde f é dado em rpm
r
r
r
U
dy
du
i
yx
D
=
D
=
=
w
m
m
m
t
r
F
T
.
=
A
F
.
t
=
i
i
i
i
r
l
r
r
r
r
A
r
r
r
A
r
F
T
.
2
.
.
.
p
w
m
w
m
t
D
=
D
=
=
=
Þ
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
60
2
)
025
,
0
)(
1
,
0
)(
025
,
0
(
2
)
001
,
0
(
)
025
,
0
)(
2800
(
2
,
0
p
p
m
²
/
.
0695
,
0
m
s
N
=
m
60
2
p
w
f
=
rh
A
p
2
=
i
r
r
r
a
-
=
D
=
0
0
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
¶
¶
x
p
RESOLUÇÃO 
 
O fluido está entre 2 cilindros e o de dentro está girando, então a área de contato do cilindro com 
o fluido é a superfície do cilindro 2. E para calcular é como se abrisse o cilindro, ficando 
rhA2
. A folga é dada pela diferença entre os raios 
i
rrra 
0
 
 
Torque = Força x Raio (como é o cilindro interno, é a força vezes o raio interno. 
A questão diz que o perfil de velocidade é linear, logo
0








x
p
, porque é um sistema girando 
em cima de outro, não tem perturbação, com isso, 
r
r
r
U
dy
du
i
yx






 
Como já dito: 
rFT.
, mas 
AF.
(força é tensão de cisalhamento vezes a área), logo: 
ii
ii
rlr
r
r
rA
r
r
rArFT .2... 
















60
2
)025,0)(1,0)(025,0(2
)001,0(
)025,0)(2800(
2,0



²/.0695,0 msN
 
Lembrando que: 
60
2
f
, onde f é dado em rpm 
Como a questão diz que “o gradiente de pressão no sentido do escoamento é zero”, então.
Fazendo o balanço de massa: logo , pois , , assim:
ComoChamando de uma função , , assim , logo é uma constante ()
Mas , integrando: 
 (a)
As condições de contorno são:
(I) 
y = 0 
(II) 
y = d 
Aplicando estas condições na equação (a) encontrada anteriormente, tem-se:
Assim, a expressão geral ficará:
Substituindo pelos valores: (Esta é uma expressão para a distribuição de velocidade)
A vazão em volume é dada por:
0
=
dy
d
t
0
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
dy
du
dy
d
m
0
2
2
=
dy
u
d
m
0
2
2
=
dy
u
d
Þ
0
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
dy
du
dy
d
j
j
=
dy
du
0
=
dy
d
j
j
1
tan
C
te
cons
=
=
j
1
C
dy
du
=
=
j
1
C
dy
du
=
dy
C
du
1
=
2
1
C
y
C
u
+
=
1
U
u
-
=
2
U
u
=
0
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
¶
¶
x
p
2
1
1
)
0
(
C
C
U
+
=
-
2
1
C
U
=
-
1
1
2
)
(
U
d
C
U
-
=
d
U
U
C
1
2
1
+
=
1
1
2
U
y
d
U
U
u
-
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
=
(
)
1
3
1
1
2
-
=
-
+
=
d
y
d
y
u
d
d
d
y
U
y
d
U
U
dy
U
y
d
U
U
dy
u
l
Q
0
1
2
1
2
0
1
1
2
0
2
.
ú
û
ù
ê
ë
é
-
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
=
ú
û
ù
ê
ë
é
-
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
=
=
ò
ò
0
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
¶
¶
=
x
p
dy
d
t
d
U
d
U
d
U
d
U
d
U
d
U
d
U
U
d
U
d
d
U
U
l
Q
2
2
2
2
2
2
1
2
1
1
2
1
1
2
1
2
1
2
-
=
-
+
=
-
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
=
-
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
=
0
2
2
=
dy
u
d
m
Como a questão diz que “o gradiente de pressão no sentido do escoamento é zero ”, então
0








x
p
. 
Fazendo o balanço de massa: 
0









x
p
dy
d
logo 
0
2
2

dy
ud

, pois 
0
dy
d
, 
0








dy
du
dy
d

, assim:
0
2
2

dy
ud

 
 
Como
0
2
2

dy
ud

0








dy
du
dy
d

Chamando de uma função 

, 

dy
du
, assim 
0
dy
d
, 
logo 

 é uma constante (
1
tan Ctecons 
) 
 
Mas 
1
C
dy
du


1
C
dy
du

, integrando: 
dyCdu
1


 
 
21
CyCu 
 (a) 
 
As condições de contorno são: 
(I) y = 0 

1
Uu
 
(II) y = d 

2
Uu
 
Aplicando estas condições na equação (a) encontrada anteriormente, tem -se: 
 
21
CyCu 

211
)0(CCU 

21
CU
 
21
CyCu 

112
)(UdCU 

d
UU
C
12
1


 
Assim, a expressão geral ficará:
1
12
Uy
d
UU
u 








 
Substituindo pelos valores:

13112 
d
y
d
y
u
 (Esta é uma expressão para a distribuição 
de velocidade) 
 
A vazão em volume é dada por: 
d
dd
yU
y
d
UU
dyUy
d
UU
dyu
l
Q
0
1
2
12
0
1
12
0
2
.































 
d
U
d
U
dUd
U
d
U
dUd
UU
dU
d
d
UU
l
Q
222222
12
1
12
1
12
1
2
12

















 
𝑄
𝑙
=൬
𝑈
2
−𝑈
1
2
൰𝑑=൬
0,5−0,25
2
൰10𝑥10
−3
=1,25𝑥10
−3
 
 (a)
As C.C. são:
(I) 
y = 0 
(II) 
y = h 
Substituindo na Eq. (a), encontra-se o valor de:
Þ
dy
du
yx
m
t
=
1
C
y
x
p
dy
du
+
¶
¶
=
m
2
1
2
2
C
y
C
y
x
p
U
+
+
¶
¶
=
m
2
1
2
2
C
y
C
y
x
p
u
+
+
¶
¶
=
m
U
-
=
m
0
=
m
2
1
2
)
0
(
2
)
0
(
C
C
x
p
U
+
+
¶
¶
=
-
m
2
C
U
=
-
÷
ø
ö
ç
è
æ
¶
¶
=
x
p
dy
d
t
Þ
1
C
y
x
p
yx
+
¶
¶
=
t









x
p
dy
d

1
Cy
x
p
yx





dy
du
yx


1
Cy
x
p
dy
du





21
2
2
CyC
y
x
p
U 




 
21
2
2
CyC
y
x
p
u 




 (a) 
As C.C. são: 
(I) y = 0 

U
 
(II) y = h 

0
 
Substituindo na Eq. (a), encontra-se o valor de: 
21
2
)0(
2
)0(
CC
x
p
U 





2
CU
 
Logo, substituindo os valores de e na equação original, tem-se:
Arrumando:
Encontrar a Eq. da vazão:
Determinar o gradiente de pressão quando Q = 0.
Substituindo os valores, tem-se:
h
x
p
h
U
C
÷
ø
ö
ç
è
æ
¶
¶
-
=
m
2
1
1
1
C
2
C
U
y
h
x
p
h
U
y
x
p
u
-
ú
û
ù
ê
ë
é
÷
ø
ö
ç
è
æ
¶
¶
-
+
÷
ø
ö
ç
è
æ
¶
¶
=
m
m
2
1
2
1
2
(
)
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
+
-
÷
ø
ö
ç
è
æ
¶
¶
=
1
2
1
2
h
y
U
hy
y
x
p
u
m
ò
ò
-
÷
ø
ö
ç
è
æ
¶
¶
-
=
ú
û
ù
ê
ë
é
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
+
-
÷
ø
ö
ç
è
æ
¶
¶
=
=
2
12
1
1
)
(
2
1
.
3
2
0
Uh
h
x
p
dy
h
y
U
hy
y
x
p
dy
u
l
Q
d
m
m
2
12
1
0
3
Uh
h
x
p
-
÷
ø
ö
ç
è
æ
¶
¶
-
=
m
2
12
1
3
Uh
h
x
p
-
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
¶
¶
m
2
3
6
2
12
h
U
h
Uh
x
p
m
m
-
=
-
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
¶
¶
m
m
N
x
x
h
U
x
p
/
²
/
6
,
92
)
10
3
(
)
10
63
,
4
)(
3
,
0
(
6
6
2
3
4
2
=
-
=
-
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
¶
¶
-
-
m
U
h
C
h
x
p
-
+
¶
¶
=
1
2
2
0
m
Þ
m
2
2
1
h
x
p
U
h
C
¶
¶
-
=
UhC
h
x
p




1
2
2
0


2
2
1
h
x
p
UhC




h
x
p
h
U
C









2
1
1
 
 
Logo, substituindo os valores de 
1
C
 e 
2
C
 na equação original, tem-se: 
Uyh
x
p
h
U
y
x
p
u 
























 2
1
2
1
2
 
Arrumando: 















 1
2
1
2
h
y
Uhyy
x
p
u

 
 
Encontrar a Eq. da vazão: 

































212
1
1)(
2
1
.
32
0
Uh
h
x
p
dy
h
y
Uhyy
x
p
dyu
l
Q
d

 
Determinar o gradiente de pressão quando Q = 0. 
 
212
1
0
3
Uh
h
x
p












212
1
3
Uh
h
x
p











23
6
2
12
h
U
h
Uh
x
p 









 
Substituindo os valores, tem-se: 
 
mmN
x
x
h
U
x
p
/²/6,92
)103(
)1063,4)(3,0(66
23
4
2












 
Pela questão: , , , logo , pois , , assim:
ComoChamando de uma função , , assim , logo é uma constante ()
Mas , integrando: 
 (a)
E para a interfase tem-se:,integrando 
 (b)
0
2
2
=
dy
u
d
m
0
=
dy
d
t
0
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
dy
du
dy
d
m
0
2
2
=
dy
u
d
m
0
2
2
=
dy
u
d
Þ
0
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
dy
du
dy
d
j
j
=
dy
du
0
=
dy
d
j
j
1
tan
C
te
cons
=
=
j
1
1
C
dy
du
=
=
j
1
1
C
dy
du
=
dy
C
du
1
1
=
2
1
1
C
y
C
u
+
=
2
2
C
dy
du
=
dy
C
du
3
2
=
0
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
¶
¶
x
p
4
3
2
C
y
C
u
+
=
2
1
3
m
m
=
0
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
¶
¶
=
x
p
dy
d
t
Pela questão: 
0








x
p
, 
21
3
, 
0









x
p
dy
d
, logo 
0
2
2

dy
ud

, pois 
0
dy
d
, 
0








dy
du
dy
d

, assim:
0
2
2

dy
ud

 
 
Como
0
2
2

dy
ud

0








dy
du
dy
d

Chamando de uma função 

, 

dy
du
, assim 
0
dy
d
, 
logo 

 é uma constante (
1
tan Ctecons 
) 
 
Mas 
1
1
C
dy
du


1
1
C
dy
du

, integrando: 
dyCdu
11


 
 
211
CyCu 
 (a) 
E para a interfase tem-se:
2
2
C
dy
du

,integrando 
dyCdu
32


 
 
432
CyCu 
 (b) 
As três condições de contorno são:
(I) 
y = 0 
(II) 
y = h 
(III) 
y = 2h 
(IV) 
pela condição da interfase: . Observe que no inicio chamou-se e , então podemos fazer esta substituição aqui, tornando: 
Usando a C.C. (I) tem-se:
Usando a C.C. (II)
e y = hcomo 
Usando a C.C. (III)
e y = 2h
2
1
u
u
=
U
u
=
2
2
1
t
t
=
Þ
2
1
t
t
=
dy
du
dy
du
2
2
1
1
m
m
=
1
1
C
dy
du
=
3
2
C
dy
du
=
3
2
1
1
C
C
m
m
=
2
1
1
C
y
C
u
+
=
2
1
)
0
(
0
C
C
+
=
2
0
C
=
4
3
2
1
C
y
C
C
y
C
+
=
+
4
3
1
C
h
C
h
C
+
=
U
C
y
C
=
+
4
3
Þ
U
C
h
C
=
+
4
3
)
2
(
0
1
=
u
As três condições de contorno são: 
(I) y = 0 

0
1
u
 
(II) y = h 

21
uu
 
(III) y = 2h 

Uu
2
 
(IV) pela condição da interfase: 
21


21


dy
du
dy
du
2
2
1
1
 
. Observe que 
no inicio chamou-se 
1
1
C
dy
du

 e 
3
2
C
dy
du

, então podemos fazer esta 
substituição aqui, tornando: 
3211
CC
 
 
Usando a C.C. (I) tem-se: 
 
211
CyCu 

21
)0(0 CC

2
0C
 
 
Usando a C.C. (II) 
21
uu
e y = h

4321
CyCCyC 

como 
2
0C

431
ChChC 
 
 
Usando a C.C. (III) 
Uu
2
e y = 2h

UCyC 
43

UChC 
43
)2(
 
Usando a C.C. da interfase: , e substituindo e pelas suas respectivas expressões.
e
Para o fluido 1: fazendo y = h, onde 
h
C
U
h
C
3
1
-
=
-
Þ
1
2
1
3
1
.
C
h
h
C
U
h
C
m
m
-
=
-
=
-
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+
=
2
1
1
1
m
m
h
U
C
y
h
U
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+
=
2
1
1
1
m
m
m
erfase
int
1
m
m
=
s
m
y
h
U
erfase
/
75
,
3
3
1
1
5
1
2
1
int
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+
=
m
m
m
3
2
1
1
C
C
m
m
=
1
m
2
m
Usando a C.C. da interfase: 
3211
CC
, e substituindo 
1

 e 
2

 pelas suas respectivas 
expressões. 
 
hCUhC
31

e
3211
CC

1
2
1
31
.ChhCUhC














2
1
1
1


h
U
C
 
Para o fluido 1: 
yh
U










2
1
1
1



 fazendo y = h, onde 
erfaseint1

 
sm
yh
U
erfase
/75,3
3
1
1
5
1
2
1
int






















 
a) 
como é para calcular no espaço D = a, logo: 
b) 
c) 
Assim: 
94
,
1
10
46
,
1
)
10
5
,
0
)(
55
,
56
(
Re
5
6
=
=
=
-
-
x
x
v
Va
²
/
02
,
2
10
5
,
0
5
,
56
10
79
,
1
6
5
m
kN
x
x
a
V
dy
du
yx
=
=
=
=
-
-
m
m
t
2
l
A
Força
yx
yx
t
t
=
=
R
l
R
F
T
Torque
yx
2
.
)
(
t
=
=
w
t
w
R
l
T
P
Potencia
yx
2
)
(
=
=
W
x
x
R
l
P
Potencia
yx
4
,
11
60
2
)
3600
)(
15
,
0
(
)
10
10
(
10
02
,
2
)
(
2
3
3
2
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
=
-
p
w
t
s
m
R
V
/
55
,
56
)
15
,
0
(
60
2
)
3600
(
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
=
p
w
m
r
VD
=
Re
v
Va
Va
=
=
m
r
Re
smRV /55,56)15,0(
60
2
)3600( 









 
a) 

VD
Re
como é para calcular no espaço D = a, logo: 
v
VaVa



Re
 
94,1
1046,1
)105,0)(55,56(
Re
5
6



x
x
v
Va
 
 
b) 
²/02,2
105,0
5,56
1079,1
6
5
mkN
x
x
a
V
dy
du
yx




 
c) 
2
lAForça
yxyx

 
RlRFTTorque
yx
2
.)( 
 
 RlTPPotencia
yx
2
)( 
 
Assim: 
WxxRlPPotencia
yx
4,11
60
2
)3600)(15,0()1010(1002,2)(
2332











 
O perfil de velocidade para escoamento de água completamente desenvolvido entre placas paralelas, com a placa superior em movimento, é dado pela Eq. 8.8. Considere U = 2 mlse a = 2,5 mm. Determine a vazão em volume por unidade de profundidade para gradiente de pressão zero. Avalie a tensão cisalhante sobre a placa inferior e esboce a distribuição de tensão de cisalhamento através do canal. A vazão em volume aumentaria ou diminuiria com um ligeiro gradiente adverso de pressão? Calcule o gradiente de pressão que dará tensão cisalhante zero em y/a = 0,25. Esboce a distribuição de tensão de cisalhamento para este caso. Dados: ,
²
/
.
10
14
,
1
3
m
s
N
x
-
=
m
O perfil de velocidade para escoamento de água completamente desenvolvido entre 
placas paralelas, com a placa superior em movimento, é dado pela Eq. 8.8. Considere U 
= 2 mlse a = 2,5 mm. Determine a vazão em volume por unidade de profundidade para 
gradiente de pressão zero. Avalie a tensão cisalhante sobre a placa inferior e esboce a 
distribuição de tensão de cisalhamento através do canal. A vazão em volume aumentaria 
ou diminuiria com um ligeiro gradiente adverso de pressão? Calcule o gradiente de 
pressão que dará tensão cisalhante zero em y/a = 0,25. Esboce a distribuição de tensão de 
cisalhamento para este caso. Dados: 
²/.1014,1
3
msNx


, 
a) 
, como 
b) 
como
c) 
Se , a vazão diminui ( é adverso porque normalmente é negativo)
d) 
, ,
m
s
m
x
x
Ua
l
Q
/
/
³
10
5
,
2
2
)
10
5
,
2
(
2
2
3
3
-
-
=
=
=
ú
û
ù
ê
ë
é
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
÷
ø
ö
ç
è
æ
÷
ø
ö
ç
è
æ
¶
¶
+
=
2
1
a
y
x
p
a
a
U
yx
m
t
²
/
912
,
0
10
5
,
2
)
2
(
10
14
,
1
3
3
m
N
x
x
a
U
yx
=
=
=
-
-
m
t
0
>
÷
ø
ö
ç
è
æ
¶
¶
x
p
÷
ø
ö
ç
è
æ
¶
¶
x
p
0
=
yx
t
25
,
0
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
a
y
?
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
¶
¶
x
p
ú
û
ù
ê
ë
é
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
÷
ø
ö
ç
è
æ
÷
ø
ö
ç
è
æ
¶
¶
+
=
2
1
a
y
x
p
a
a
U
yx
m
t
ú
û
ù
ê
ë
é
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
÷
ø
ö
ç
è
æ
¶
¶
+
=
-
-
-
2
1
25
,
0
10
5
,
2
10
5
,
2
2
)
10
14
,
1
(
0
3
3
3
x
p
x
x
x
÷
ø
ö
ç
è
æ
¶
¶
-
=
-
x
p
000625
,
0
912
,
0
m
m
N
x
p
/
²
/
1459
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
¶
¶
3
12
1
2
a
x
p
Ua
l
Q
÷
ø
ö
ç
è
æ
¶
¶
-
=
m
0
=
¶
¶
x
p
Þ
a) 
3
12
1
2
a
x
pUa
l
Q










, como 
0


x
p

 
msmx
xUa
l
Q
//³105,2
2
)105,2(2
2
3
3



 
b) 




























2
1
a
y
x
p
a
a
U
yx

como
0


x
p

 
²/912,0
105,2
)2(1014,1
3
3
mN
x
x
a
U
yx




 
c) Se 
0








x
p
, a vazão diminui ( é adverso porque normalmente 








x
p
 é negativo) 
d) 
0
yx

, 
25,0






a
y
,
?








x
p
 




























2
1
a
y
x
p
a
a
U
yx


 

























2
1
25,0105,2
105,2
2
)1014,1(0
3
3
3
x
p
x
x
x










x
p
000625,0912,0
 
mmN
x
p
/²/1459







