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01/11/2022 17:52 Ead.br https://ambienteacademico.com.br/course/view.php?id=23657 1/30 LABORATÓRIO DE MATEMÁTICA ELABORATÓRIO DE MATEMÁTICA E FÍSICAFÍSICA NOÇÕES INTRODUTÓRIAS,NOÇÕES INTRODUTÓRIAS, FUNÇÕES AFINS EFUNÇÕES AFINS E MOVIMENTO RETILÍNEOMOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORMEUNIFORME Autores: Dr. Renato Aparecido Negrão de Oliveira e Me.Talita Druziani Revisor : Rosa lvo Miranda IN IC IAR 01/11/2022 17:52 Ead.br https://ambienteacademico.com.br/course/view.php?id=23657 2/30 introdução Introdução Nesta unidade, o leitor inicialmente irá aprender a trabalhar com o sistema de coordenadas cartesianas de modo a localizar espacialmente pontos no plano, e por conseguinte irá aprender a calcular a distância entre dois pontos pertencentes a este plano. Essas noções geométricas serão importantes para o leitor compreender como utilizar essas ferramentas em representações grá�cas de funções matemáticas bem como em representações de problemas físicos do nosso cotidiano, tais como o movimento retilíneo uniforme. Em seguida, o leitor será introduzido a conceito de funções matemáticas e suas representações grá�cas, onde ferramentas grá�cas, discutidas previamente, serão utilizadas para representar funções matemáticas com o objetivo de familiarizar o leitor com a representação grá�ca de funções. Finalmente, com os conhecimentos previamente acumulados sobre funções e representações grá�cas, e com a introdução dos conceitos de distância percorrida, deslocamento, velocidade média e aceleração média, o leitor passará a estudar o movimento retilíneo uniforme de corpos físicos. Vale lembrar que, ao �nal de cada seção desta unidade o leitor terá uma atividade para ser respondida relacionada com o conteúdo apresentado. 01/11/2022 17:52 Ead.br https://ambienteacademico.com.br/course/view.php?id=23657 3/30 O sistema de coordenadas são importantes para determinar a posição de um ponto no espaço em relação a um dado referencial. O caso mais simples de um sistema de coordenadas é identi�car um ponto sobre uma linha real utilizando o eixo dos números reais. Nesta construção, dado um ponto arbitrário O posicionado sobre a reta real, o qual constitui a origem do eixo coordenado, a posição de qualquer ponto P desta reta é de�nida por sua coordenada. A �gura 1.1 mostra a reta coordenada, onde a distância ao ponto P pode ser positiva ou negativa dependendo de qual lado o ponto se encontra com relação a posição da origem - pontos localizados à esquerda do ponto de origem O são, por construção, considerados negativos, e a direita positivos. Outro aspecto importante desse sistema de coordenadas é o de que cada ponto na reta é identi�cado unicamente por uma coordenada. Plano CartesianoPlano Cartesiano OrtogonalOrtogonal 01/11/2022 17:52 Ead.br https://ambienteacademico.com.br/course/view.php?id=23657 4/30 De forma análoga a reta coordenada em uma dimensão, para se determinar a posição de um ponto sobre uma superfície plana em duas dimensões, utiliza- se o plano cartesiano ortogonal. Esse sistema de coordenadas é de�nido por dois eixos coordenados ortogonais, como mostra a �gura 1.2, os quais se cruzam no ponto de origem. Os dois eixos dividem o plano em quatro regiões denominadas quadrantes como mostrado na �gura 1.2. Assim, uma vez estabelecido o sistema de coordenadas cartesianas, a posição de um ponto pertencente a este plano será de�nida por um único par de coordenadas (x, y) , onde x pertence ao eixo da abscissa, e y ao eixo da ordenada. Figura 1.1: Linha graduada representando a reta coordenada de -5 a 5. Fonte: Adaptado de LEITHOLD (1990). 01/11/2022 17:52 Ead.br https://ambienteacademico.com.br/course/view.php?id=23657 5/30 Figura 1.2: Plano cartesiano ortogonal, a localização dos 4 quadrantes são indicado na �gura. Fonte: Adaptado de LEITHOLD (1990). A �gura mostra as coordenadas de 4 pontos no plano: (2,3), (-3,1), (-4,2) e (2,-2) localizados no 1o, 2o, 3o e 4oquadrante respectivamente. Quando conhecemos as coordenadas de dois pontos A e B no plano cartesiano, é possível calcular a distância d(A, B) entre os dois pontos. Desse modo, sejam as coordenadas do ponto A dadas por (x1, y1) e B por (x2, y2), a distância entre os pontos é dada pela hipotenusa do triângulo retângulo formado como mostra a �gura 1.3, e pode ser calculada através do teorema de pitágoras da seguinte forma: d(A, B) = √(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 01/11/2022 17:52 Ead.br https://ambienteacademico.com.br/course/view.php?id=23657 6/30 A distância entre os pontos d(A, B) é dado pelo valor da hipotenusa formado pelo triângulo retângulo no grá�co. Fig. 1.3: Plano cartesiano ortogonal. Fonte: Adaptado de LEITHOLD (1990). 01/11/2022 17:52 Ead.br https://ambienteacademico.com.br/course/view.php?id=23657 7/30 Como �cará claro nas seções seguintes, sistemas de coordenadas como o plano cartesiano estão presentes em diversas aplicações em física e matemática, tornando se também um instrumento importantes para diversas aplicações em computação grá�ca. praticar Vamos Praticar saiba mais Saiba mais Além do plano cartesiano ortogonal, podemos representar um ponto sobre uma superfície de duas dimensões através das coordenadas polares. Ou seja, as coordenadas polares são um sistema de coordenadas bidimensional com coordenadas r e θ. Podemos relacionar as coordenadas cartesianas xe y com as coordenadas polares r e θ, com auxílio das funções trigonométricas seno e cosseno, através das fórmulas: x = r cos θ e y = r sen θ. Fonte: Elaborado pela autora. ACESSAR http://matematicartedastrevas.blogspot.com/2010/01/coordenadas-polares-o-que-sao.html 01/11/2022 17:52 Ead.br https://ambienteacademico.com.br/course/view.php?id=23657 8/30 Imagine um espectador assistindo ao lançamento do ônibus espacial Discovery a uma distância de 1200m da plataforma de lançamento. Supondo que o ônibus espacial se desloca verticalmente, e que após um certo tempo atinge a altitude x como mostra a �gura abaixo: Qual será a distância entre o espectador e o ônibus espacial quando o foguete atingir a altitude de x = 6000 m? Assinale a alternativa correta: a) √37, 44 km. b) √37, 44 m c) 20 000 m d) 37, 44 km e) 23 km Figura: Diagrama ilustrando o lançamento de um ônibus espacial. Fonte: Adaptado de Halliday; Resnick; Walker (2012) 01/11/2022 17:52 Ead.br https://ambienteacademico.com.br/course/view.php?id=23657 9/30 Muitas vezes, ocorre que o valor de uma quantidade depende do valor de outra quantidade. A relação entre tais quantidades é dada por uma função. Assim, uma variável y é uma função de outra variável x, [y = f(x)], se a cada valor do domínio de x corresponde a um único valor no conjunto da variável x. Desse modo, considera-se que o número real y no conjunto Y como uma função do número real x no conjunto X se houver uma regra pela qual um valor especí�co de y seja atribuído a um valor de x como ilustra a �gura 1.4. Conceito de Funções eConceito de Funções e Representação Grá�caRepresentação Grá�ca 01/11/2022 17:52 Ead.br https://ambienteacademico.com.br/course/view.php?id=23657 10/30 De�nição: Uma função é um conjunto de pontos (x, y) onde ao se comparar quaisquer pares ordenados distintos de f, nenhum terá o mesmo valor para o primeiro número x. O conjunto dos valores de x é chamado de domínio da função, e o conjunto dos valores de y é chamado de imagem da função. Essa de�nição assegura que y seja único para valores especí�cos de x, o que garante que y seja uma função unívoca ou univalente de x. Os números x e y são variáveis, onde x é denominado variável independente e y, a variável dependente a qual depende x. O conceito de função como um conjunto de pares ordenado permite construir a seguinte de�nição para o grá�co de uma função. De�nição: Se f for uma função, então o grá�co de f será o conjunto dos pontos (x, y) no plano R2 para os quais (x, y) é um par ordenado de f. Lembre-se de que para uma função é preciso existir exatamente um valor da variável dependentepara cada valor da variável independente. Em termos geométricos isso signi�ca que ao se traçar uma reta vertical, o grá�co de uma função pode ser interceptado em no máximo um ponto. Observe que essa situação é veri�cada no grá�co da função na Fig. 1.5. Fig.1.4: Visualização grá�ca da correspondência entre os conjuntos X e Y Fonte: Adaptado de LEITHOLD (1990) 01/11/2022 17:52 Ead.br https://ambienteacademico.com.br/course/view.php?id=23657 11/30 Fig. 1.5: Ilustração do grá�co de uma função y=f(x). Fonte: Adaptado de LEITHOLD (1990). Observe que a linha vertical no grá�co intercepta o grá�co da função em um único ponto marcado em vermelho. Quando uma função é de�nida, o domínio da função deve ser dado explicitamente. Por exemplo se f(x) é uma função de�nida por: f(x) = 5x − 2 x + 4 isso implica que o conjunto x ≠ − 4, pois o quociente não está de�nido para x = − 4, logo o domínio de f(x) é o conjunto de todos os números reais exceto -4. Subsequentemente, é possível de�nir operações com funções. Neste processo novas funções são formadas a partir de funções conhecidas através das quatro operações; soma, subtração, multiplicação e divisão. De�nição: Dadas duas funções f(x) e g(x): 01/11/2022 17:52 Ead.br https://ambienteacademico.com.br/course/view.php?id=23657 12/30 Para cada caso, o domínio da função resultante consiste nos valores de x comuns aos domínios de f(x) e g(x). Para o caso (iv) os valores de x onde g(x) = 0 são excluídos. Outra operação importante consiste em obter a função composta de duas funções dadas. Essa operação é de�nida como: De�nição: Dadas duas funçõe s f(x) e g(x), a função composta denotada por f ∘ g, é de�nida por (f ∘ g)(x) = f(g(x)) onde o domínio de f ∘ g é o conjunto de todos os números x no domínio de g tal que g(x) esteja no domínio de f . Como indica a de�nição, para calcular f ∘ g, primeiro aplica-se a função g a x e em seguida a função f a g(x). (i) (i) a sua soma , denotada por f + g, é a função de�nida por (f + g) (x) = f(x) + g(x) f + g 01/11/2022 17:52 Ead.br https://ambienteacademico.com.br/course/view.php?id=23657 13/30 praticar Vamos Praticar Um caça bombardeiro voa horizontalmente a A = 500m de altitude, com uma velocidade constante de 100m /s, quando seu piloto recebe a ordem de seu radar para bombardear alvos que se encontram no nível do solo e a frente do avião como mostra a �gura a seguir. O piloto executa a ordem imediatamente atinge o alvo. Sabendo que dessa altitude a bomba leva 10s para atingir o solo, e que a distância horizontal percorrida pela bomba obedece a função D(t) = vt = 100t, a qual está programada em seu radar, qual a distância horizontal D, em metros, entre o avião e os alvos no instante que a bomba foi liberada? a) 10 metros. b) 100 metros Figura: Avião em vôo horizontal a 500m de altura lança uma bomba sobre um alvo móvel. Fonte: Adaptado de Halliday; Resnick; Walker (2012). 01/11/2022 17:52 Ead.br https://ambienteacademico.com.br/course/view.php?id=23657 14/30 c) 500 metros d) 1000 metros e) 5000 metros 01/11/2022 17:52 Ead.br https://ambienteacademico.com.br/course/view.php?id=23657 15/30 A análise do movimento de um corpo físico é um problema fundamental em física. Das nossas experiências diárias, nos reconhecemos que o movimento é a mudança continua na posição de um objeto. Desse modo, se uma partícula está se movendo de uma posição inicial x0 para uma posição �nal x1, é possível determinar a distância percorrida por um objeto através da diferença entre a posição �nal e a posição inicial na forma, Δx = x1 − x0 dessa de�nição, quando é atribuído os valores às posições x0 e x1, o deslocamento será positivo quando seu sentido for para a direita onde x1 > x0 , como ilustra a Fig. 1.8. Da mesma forma um deslocamento no sentido oposto, para a esquerda, onde x1 < x0 resultará em um deslocamento negativo. Para exempli�car, imagine uma partícula que se move de x0 = 2m para =x1 = 10m, seu deslocamento será Δx = 10 − 2 = + 8m, o resultado positivo indica que o deslocamento e no sentido positivo. Do mesmo modo, se a partícula se move de x0 = 15m para x1 = − 3m, Δx = − 3 − 15 = − 18m, onde o resultado negativo indica que o movimento é para a esquerda. Distância Percorrida,Distância Percorrida, Deslocamento, VelocidadeDeslocamento, Velocidade Média e Aceleração MédiaMédia e Aceleração Média 01/11/2022 17:52 Ead.br https://ambienteacademico.com.br/course/view.php?id=23657 16/30 Além da distância percorrida por um objeto, outra quantidade importante para o estudo do movimento é uma quantidade chamada deslocamento. Essa grandeza envolve apenas as posições inicial e �nal do objeto. Assim, por exemplo, imagine que um atleta de corrida que se move da posição x = 10m para x = 210m e , em seguida, volta para a posição x = 10m, o deslocamento desse atleta é D = 10m − 10m = 0m mesmo tendo percorrido um percurso total de 400m. Nesta seção, para simpli�car a discussão, será considerado apenas o movimento em uma dimensão, como por exemplo o movimento de um automóvel em uma linha reta como ilustra a �gura 1.6. Para descrever o movimento é necessário adotar um referencial a partir do qual o movimento é descrito em relação a esse referencial. No caso do movimento unidimensional, o referencial é simplesmente uma reta orientada onde uma origem é escolhida. Neste referencial a posição de um corpo em movimento no instante t é descrita pelo valor da coordenada abscissa correspondente x(t). De forma exempli�cada, se considerarmos um carro em movimento em linha reta ao longo de uma estrada, x(t) é a posição ocupada pelo parachoque dianteiro do veículo no instante t, é possível determinar a função x(t) através Figura 1.6: Movimento retilíneo de um veículo com velocidade constante. Fonte: Adaptado de Halliday; Resnick; Walker (2012) 01/11/2022 17:52 Ead.br https://ambienteacademico.com.br/course/view.php?id=23657 17/30 da medida da posição do automóvel em intervalos de tempo de�nidos Δt. Pode-se assim obter o valor de x nos instantes 0, Δt, 2Δt, . . . , de modo construir a tabela horária do movimento do tipo. t(s) 0 t1 t2 t3 ... x(m) x0 x1 x2 x3 ... Tabela 1.1: Tabela horária do movimento. Fonte: Elaborado pelo autor. Da tabela horária é possível determinar a velocidade média do movimento que é de�nida por: v = Δx Δt = x(t2) − x(t1) t2 − t1 ou seja, é a razão entre a distância percorrida Δx pelo veículo e o intervalo de tempo que o leva para essa distância percorrida ser produzida. A velocidade média é medida em unidades de m /s, no sistema internacional, ou km /h$ conforme o problema em questão. Perceba que v pode ter valores positivos ou negativos. Avaliando a equação da velocidade média v < 0 quando Δx < 0 ou seja quando o movimento se dá no sentido dos x decrescentes (o veículo está em marcha à ré). Em seguida, para as situações onde a velocidade do automóvel varia aumentando ou diminuindo o seu valor durante um intervalo de tempo Δt, esse movimento é tido como um movimento acelerado, e a aceleração média é de�nida como: a = v(t2) − v(t1) t2 − t1 = Δv Δt 01/11/2022 17:52 Ead.br https://ambienteacademico.com.br/course/view.php?id=23657 18/30 essa fórmula indica que a aceleração é medida em unidades de m /s2 e mede a rapidez com que a velocidade varia em um dado intervalo de tempo. Assim é comum dizer por exemplo que um veículo tem boa aceleração se ele é capaz de acelerar de 0 a 30m /s em 3 segundos como ilustra a �gura 1.7. Conforme esse experimento a aceleração média do veículo é de 10m /s2, o que signi�ca que a variação da velocidade do carro entre 0 e 3s é de 10m /s a cada 1 segundo. Figura 1.7 Movimento retilíneo acelerado de um veículo. A velocidade varia com o decorrer do tempo. Fonte: Adaptado de Halliday; Resnick; Walker (2012) Através da equação da aceleração é possível observar que a aceleração é positiva quando a velocidade cresce no intervalo de tempo (carro acelerando), e negativaquando decresce (frenagem do carro). praticar Vamos Praticar 01/11/2022 17:52 Ead.br https://ambienteacademico.com.br/course/view.php?id=23657 19/30 Imagine um experimento onde um veiculo percorre uma trajetória retilínea e fotogra�as estroboscópicas, que permitem fotografar a posição do carro em intervalos de tempo iguais e constantes, são retiradas para o conjunto de três tipos de movimentos como ilustra os diagramas da �gura a seguir: No diagrama A, as imagens do veículo estão igualmente espaçadas, mostrando que a distância percorrida pelo carro é a mesma para intervalos de tempos iguais. Neste caso a velocidade do veículo é constante? No diagrama B, as imagens do veículo tornam-se mais distantes umas das outras com a progressão do tempo, mostrando que a cada intervalo de tempo adjacente o carro percorre uma distância maior. Neste caso a velocidade do veículo é constante? neste caso qual é o sinal da aceleração do veículo? o veículo está sendo acelerado ou desacelerado? No diagrama C, a distância entre imagens adjacentes diminui com a progressão do tempo. Neste caso a velocidade do veículo está aumentando ou diminuindo? o veículo está sendo acelerado ou desacelerado? Figura: Diagrama do movimento para um carro para três situações distintas. Fonte: Adaptado de Halliday; Resnick; Walker (2012) 01/11/2022 17:52 Ead.br https://ambienteacademico.com.br/course/view.php?id=23657 20/30 a) No diagrama A, as imagens do veículo estão igualmente espaçadas, mostrando que a distância percorrida pelo carro é a mesma para intervalos de tempos iguais. Neste caso a velocidade do veículo é decrescente. b) No diagrama B, as imagens do veículo tornam-se mais distantes umas das outras com a progressão do tempo, mostrando que a cada intervalo de tempo adjacente o carro percorre uma distância menor. c) No diagrama B, a velocidade do veículo permanece constante. d) No diagrama C, a distância entre imagens adjacentes aumenta com a progressão do tempo, ou seja, a velocidade cresce. e) No diagrama C, o sinal de aceleração do veículo é negativo. 01/11/2022 17:52 Ead.br https://ambienteacademico.com.br/course/view.php?id=23657 21/30 Nosso objetivo neste tópico é estudar o movimento retilíneo uniforme. Para isto, primeiro vamos trabalhar com os conceitos sobre funções a�ns e suas propriedades. Funções A�im A função a�m, também denominada de função polinomial de 1º grau, é uma função f a qual é de�nida como: De�nição : É chamada função a�m toda toda função polinomial de 1º grau na forma. f) f(x) = ax + b sendo a e b números reais . Funções A�ns eFunções A�ns e Movimento RetilíneoMovimento Retilíneo UniformeUniforme 01/11/2022 17:52 Ead.br https://ambienteacademico.com.br/course/view.php?id=23657 22/30 Neste tipo de função, o número a é denominado coe�ciente angular, e representa a inclinação da reta ou a taxa de crescimento ou variação da função. E b é chamado coe�ciente linear e representa o ponto onde a reta intercepta o eixo y sendo também denominado por intercepto y da reta. A Fig. 1.8 trás gra�camente a função de uma reta com o signi�cado dos coe�ciente a e b. Figura 1.8: Ilustração grá�ca de uma função a�m. Fonte: Adaptado de Kaplan (1972) O signi�cado geométrico do coe�ciente angular a e do coe�ciente linear b são mostrado na �gura. Agora será ilustrado alguns casos particulares da função a�m com respeito aos valores adotados para as constantes a e b. Para o caso onde a ≠ 0 e b = 0 tem-se a chamada função linear. Seu grá�co intercepta a origem do plano cartesiano como ilustra a Fig. 1.9-A, onde temos o grá�co da função f(x) = 2x 01/11/2022 17:52 Ead.br https://ambienteacademico.com.br/course/view.php?id=23657 23/30 Para o caso onde a = 0 e b ≠ 0 tem-se a chamada função constante. Seu grá�co será sempre uma reta paralela ao eixo x e que intercepta o eixo y num ponto b. A Fig. 1.9-B- mostra o grá�co da função f(x) = 2. Observe o grá�co de uma função a�m f: Sabemos que toda função a�m é escrita na forma y = ax + b. Então, através do grá�co ( Figura 1.10), podemos determinar os valores dos coe�cientes a e b e Figura 1.9: Para (A) tem-se a representação grá�ca da função f(x) = 2x, e para (B) a representação da função constante f(x) = 2. Fonte: Adaptado de LEITHOLD (1990) Figura 1.10: Grá�co de uma função a�m. Fonte:Adaptado de LEITHOLD (1990) 01/11/2022 17:52 Ead.br https://ambienteacademico.com.br/course/view.php?id=23657 24/30 a lei de formação da função f. Com efeito, conseguimos identi�car os pontos (2, 0) e (0, 2) na Figura 1.13. Substituindo esses valores na fórmula geral f(x) = y, temos: 1. 0 = f(2) = a.2 + b ⇒ 2a + b = 0 ; 2. 2 = f(0) = a.0 + b ⇒ b = 2. Substituindo 2. em 1., obtemos a = − 1. Logo, a lei de formação da função a�m descrita gra�camente pela Figura 1.13 é dada por f(x) = − x + 2. reflita Re�ita Como já podemos perceber durante nossos estudos até aqui, matemática e física são duas áreas de conhecimento que caminham lado a lado. Muitas fórmulas e conceitos matemáticos são utilizados para explicar fenômenos físicos. Por exemplo, o campo da física que estuda os movimentos dos corpos, denominado cinemática utiliza as funções a�ns para relacionar a posição de um movél com velocidade constante. Neste caso, o móvel possui aceleração? Fonte: Elaborado pela autora. O movimento mais simples é o movimento retilíneo uniforme onde a velocidade do corpo em movimento é constante. Esse movimento se caracteriza pelo fato de que percurso ou caminho percorrido iguais Δx = x4 − x3 = x2 − x1 são descritos em intervalo de tempos iguais Δt = t4 − t3 = t2 − t1. Isso implica que a função horária da posição é descrita por uma função a�m na forma. 01/11/2022 17:52 Ead.br https://ambienteacademico.com.br/course/view.php?id=23657 25/30 x(t) = at + b onde como mostra a Figura 1.11, o coe�ciente angular da reta a no grá�co x(t) versu t é idêntico a velocidade média v = Δx /Δt. Em seguida considerando que no instante inicial do movimento, t0, o veículo ocupa a posição x0 chegaremos a conclusão que o coe�ciente linear b = x0 resultando na seguinte função horária para o movimento retilíneo uniforme. x(t) = x0 + v(t − t0) Com essa função é possível calcular a posição que veículo irá ocupar em instantes de tempo futuros, e desse modo determinar a sua trajetória. praticar Vamos Praticar Figura 1.11: Grá�co com função horária do movimento retilíneo uniforme. Fonte: Adaptado de Nussenzveig (1997) 01/11/2022 17:52 Ead.br https://ambienteacademico.com.br/course/view.php?id=23657 26/30 Em uma tacada de um jogo de bilhar a bola branca é impulsionada com velocidade v em direção a bola amarela de acordo com a �gura abaixo. Assumindo que a bola branca se move com velocidade constante v = 4m /s, e que a distância entre as bolas é de D = 12m. O tempo que a bola branca leva até colidir com a bola amarela é de? a) 10 segundos. b) 15 segundos. c) 9 segundos. d) 3 segundos. e) 1 segundo. Figura: Representação esquemática do movimento de uma bola de bilhar. Fonte: Adaptado de Halliday; Resnick; Walker (2012) 01/11/2022 17:52 Ead.br https://ambienteacademico.com.br/course/view.php?id=23657 27/30 indicações Material Complementar LIVRO Fundamentos de Física, Volume 1, 9th edição. David Halliday, Robert Resnick e Jearl Walker Editora: LTC-Livros Técnicos e Cientí�cos Editora Ltda. ISBN: 978-85-216-1903-l Comentário: No capítulo II o leitor irá encontrar diversos exemplos relacionados com o estudo do movimento retilíneo uniforme. 01/11/2022 17:52 Ead.br https://ambienteacademico.com.br/course/view.php?id=23657 28/30 LIVRO O Cálculo com Geometria Analitica, Volume 1, 3th edição. Louis Leithold Editora: Harbra. ISBN: 85-294-0094-1 Comentário: Neste livro, no capítulo I o leitor encontrará maiores detalhes sobre o plano cartesiano e funções. WEB Movimento Uniformemente Variado I (MUV) - Cinemática Tipo: Canal do YouTube Comentário: Neste vídeo, o professor Marcelo Boaro discute o MovimentoUniformemente Variado, apresentando a equação da velocidade para este movimento. ACESSAR f ê i https://www.youtube.com/watch?v=HvmshToybB4 01/11/2022 17:52 Ead.br https://ambienteacademico.com.br/course/view.php?id=23657 29/30 referências Referências Bibliográ�cas CARVALHO, J. R. (Tradução). Coleção Schaum Cálculo diferencial integral: São Paulo: McGRAW-HILL do brasil Ltda. 1976. HALLIDAY, D; RESNICK, R; WALKER, J. Fundamentos de Física, Volume 1, 9th edição: Rio de Janeiro: LTC-Livros Técnicos e Cientí�cos Editora Ltda, 2012. KAPLAN, W. Cálculo Avançado, Volume 1, 1st edição: São Paulo: Edgard Bluncher Ltda, 1972. LEITHOLD, L. O Cálculo com Geometria Analitica Volume 1, 3th edição: São Paulo: Harbra, 1990. NUSSENZVEIG, M. H. Curso de Física Básica Volume 1, 3th edição: São Paulo: Edgard Bluncher Ltda, 1997. 01/11/2022 17:52 Ead.br https://ambienteacademico.com.br/course/view.php?id=23657 30/30
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