16792278405528eLK4cunm - Física 3 (2)

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Para encontrar a capacitância por unidade de comprimento entre os dois condutores 
cilíndricos, podemos usar a fórmula da capacitância de um capacitor cilíndrico: 
𝐶 =
2𝜋𝜀0𝐿
𝑙𝑛 (
𝑏
𝑎
)
 
onde ε₀ é a constante elétrica no vácuo, L é o comprimento do capacitor, a é o raio 
interno (do condutor menor), b é o raio externo (do condutor maior) e ln é o logaritmo 
natural. 
Para encontrar a capacitância por unidade de comprimento, podemos dividir ambos os 
lados da equação pela L, resultando em: 
𝐶
𝐿
=
2𝜋𝜀0
𝑙𝑛 (
𝑏
𝑎)
 
Usando a média geométrica dos dois raios, podemos encontrar o valor de b/a: 
𝑏
𝑎
= √𝑎1 ∗ 𝑎2 
Substituindo este valor na equação anterior, temos: 
𝐶
𝐿
=
2𝜋𝜀0
𝑙𝑛(√(𝑎1 ∗ 𝑎2) ) 
 
Usando as propriedades dos logaritmos, podemos reescrever a equação acima como: 
𝐶
𝐿
=
2𝜋𝜀0
[0.5𝑙𝑛(𝑎1𝑎2) ]
 
E usando a propriedade de que 𝑙𝑛(𝑎𝑏) = 𝑙𝑛(𝑎) + 𝑙𝑛(𝑏), podemos reescrever a 
equação novamente como: 
𝐶
𝐿
=
𝜋𝜀0
𝑙𝑛(𝑎1)
+
𝜋𝜀0
𝑙𝑛(𝑎2)
) 
Usando a média geométrica novamente, podemos encontrar o valor de 
𝑙𝑛(𝑎1) 𝑒 𝑙𝑛(𝑎2) em termos de 𝑙𝑛(𝑎): 
𝑙𝑛(𝑎1) = 𝑙𝑛(𝑎) + 0.5𝑙𝑛 (
𝑎2
𝑎
) 
𝑙𝑛(𝑎2) = 𝑙𝑛(𝑎) + 0.5𝑙𝑛 (
𝑎1
𝑎
) 
Substituindo estes valores na equação anterior, temos: 
𝐶
𝐿
=
𝜋𝜀0
[𝑙𝑛(𝑎) + 0.5𝑙𝑛 (
𝑎2
𝑎 )]
+
𝜋𝜀0
[𝑙𝑛(𝑎) + 0.5𝑙𝑛 (
𝑎1
𝑎 )]
 
Simplificando, temos: 
𝐶
𝐿
=
𝜋𝜀0
𝑙𝑛(𝑎) [
1
1 + 0.5𝑙𝑛 (
𝑎2
𝑎 )
+
1
1 + 0.5𝑙𝑛 (
𝑎1
𝑎 )
]
 
Como a distância d é grande em comparação com os raios, podemos assumir que a 
média geométrica a é muito menor do que d. Isso implica que 𝑙𝑛 (
𝑎1
𝑎
) 𝑒 𝑙𝑛 (
𝑎2
𝑎
) são 
ambos negativos e muito pequenos em magnitude. Portanto, podemos aproximar 
1
1+0.5𝑙𝑛(
𝑎2
𝑎
)
 𝑒 
1
1+0.5𝑙𝑛(
𝑎1
𝑎
)
 como aproximadamente iguais a 1. 
Substituindo esta aproximação na equação anterior, temos: 
𝐶
𝐿
≈
𝜋𝜀0
𝑙𝑛(𝑎)[1 + 1]
=
2𝜋𝜀0
𝑙𝑛(𝑎)
 
Usando a definição de média geométrica, temos: 
𝑎 = √(𝑎1 ∗ 𝑎2) 
Substituindo este valor na equação anterior, temos: 
𝐶
𝐿
≈
2𝜋𝜀0
𝑙𝑛(√𝑎1𝑎2)
=
𝜋𝜀0
𝑙𝑛(𝑎1𝑎2)
 
Usando a propriedade de que 𝑙𝑛(𝑎𝑏) = 𝑙𝑛(𝑎) + 𝑙𝑛(𝑏), podemos reescrever a equação 
acima como: 
𝐶
𝐿
≈
𝜋𝜀0
[𝑙𝑛(𝑎1) + 𝑙𝑛(𝑎2)]
 
Usando as expressões para 𝑙𝑛(𝑎1) e 𝑙𝑛(𝑎2) em termos de 𝑙𝑛(𝑎), temos: 
𝐶
𝐿
≈
𝜋𝜀0
[𝑙𝑛(𝑎) + 0.5𝑙𝑛 (
𝑎2
𝑎
) + 𝑙𝑛(𝑎) + 0.5𝑙𝑛 (
𝑎1
𝑎
)]
 
𝐶
𝐿
≈
𝜋𝜀0
[2𝑙𝑛(𝑎) + 0.5𝑙𝑛 (
𝑎1
𝑎
) + 0.5𝑙𝑛 (
𝑎2
𝑎
)]
 
Novamente, como a distância d é grande em comparação com os raios, podemos 
assumir que 𝑙𝑛 (
𝑎1
𝑎
) e 𝑙𝑛 (
𝑎2
𝑎
) são muito pequenos em magnitude. Portanto, podemos 
aproximar 0.5𝑙𝑛 (
𝑎1
𝑎
) + 0.5𝑙𝑛 (
𝑎2
𝑎
) como aproximadamente igual a 𝑙𝑛 (√(
𝑎1
𝑎2
)). Usando a 
definição de média geométrica, temos que 
𝑎1
𝑎2
= (
𝑎1
𝑎
)
2
, o que implica que 𝑙𝑛 (
𝑎1
𝑎2
) =
 2𝑙𝑛 (
𝑎1
𝑎
). Substituindo estas aproximações na equação acima, temos: 
𝐶
𝐿
≈
𝜋𝜀0
[2𝑙𝑛(𝑎) + 𝑙𝑛 (
𝑎1
𝑎2
)]
 
𝐶
𝐿
≈
𝜋𝜀0
[2𝑙𝑛(𝑎) + 2𝑙𝑛 (
𝑎1
𝑎 )]
 
𝐶
𝐿
≈
𝜋𝜀0
𝑙𝑛 (
𝑑
𝑎
)
 
Esta é a expressão desejada para a capacitância por unidade de comprimento entre 
dois condutores cilíndricos de raios 𝑎1 e 𝑎2, separados por uma distância d grande em 
comparação com seus raios. A média geométrica a é 𝑎 = √𝑎1 ∗ 𝑎2. 
 
 
 
Para calcular a força de atração entre as placas de um capacitor de placas paralelas de 
área A, podemos usar a equação: 
𝐹 =
𝜀0 ∗ 𝐴 ∗ 𝑉
2
2𝑑2
 
Onde: 
F é a força de atração entre as placas 
𝜀0 é a permissividade do vácuo (8,85 𝑥 10
−12 
𝐹
𝑚
) 
A é a área de cada placa 
V é a diferença de potencial entre as placas 
d é a distância entre as placas 
 
a) Se as cargas nas placas do capacitor forem fixas, a diferença de potencial entre as 
placas será diretamente proporcional à carga armazenada. Portanto, podemos escrever 
𝑉 =
𝑄
𝐶
, onde Q é a carga armazenada e C é a capacitância do capacitor. Substituindo 
isso na equação acima, temos: 
𝐹 =
𝜀0 ∗ 𝐴 ∗ 𝑄
2
2𝐶2 ∗ 𝑑2 
 
 
b) Se o potencial entre as placas for fixo, podemos escrever V = constante, e a carga 
armazenada será inversamente proporcional à distância entre as placas. Portanto, 
podemos escrever Q = CV, onde C é a capacitância do capacitor. Substituindo isso na 
equação acima, temos: 
𝐹 =
𝜀0 ∗ 𝐴 ∗ 𝐶 ∗ 𝑉
2
2𝑑2
 
Para o capacitor cilíndrico paralelo, podemos usar a equação: 
𝐹 =
2𝜋𝜀0 ∗ 𝐿1 ∗ 𝐿2 ∗ 𝑉
2
𝑙𝑛 (
𝐿2
𝐿1
 )
 
Onde: 
F é a força de atração entre os condutores 
𝜀0 é a permissividade do vácuo (8,85 𝑥 10
−12 
𝐹
𝑚
) 
𝐿1 e 𝐿2 são os comprimentos dos condutores 
V é a diferença de potencial entre os condutores 
 
a) Se as cargas nos condutores forem fixas, podemos usar a mesma abordagem que 
no capacitor de placas paralelas: 
𝐹 =
2𝜋𝜀0 ∗ 𝐿1 ∗ 𝐿2 ∗ 𝑄
2
𝐶 ∗ 𝑙𝑛 (
𝐿2
𝐿1
)
 
 
b) Se o potencial entre os condutores for fixo, podemos escrever V = constante, e a 
carga armazenada será inversamente proporcional ao comprimento dos condutores. 
Portanto, podemos escrever Q = CV, onde C é a capacitância do capacitor. Substituindo 
isso na equação acima, temos: 
𝐹 =
2𝜋𝜀0 ∗ 𝐿1 ∗ 𝐿2 ∗ 𝐶 ∗ 𝑉
2
𝑙𝑛 (
𝐿2
𝐿1
)
 
 
 
Essa aparente violação da terceira lei de Newton pode ser explicada através da Lei de 
Gauss, que é uma das quatro equações de Maxwell que descrevem o comportamento 
dos campos elétricos e magnéticos. 
A Lei de Gauss afirma que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é 
proporcional à carga elétrica contida dentro dessa superfície. Em outras palavras, se 
uma carga elétrica está localizada dentro de uma superfície fechada, ela produz um 
campo elétrico que atravessa a superfície. Esse campo elétrico é uma medida da 
quantidade de carga elétrica contida dentro da superfície. 
No caso descrito, a carga 𝑞1 está localizada dentro de um buraco condutor, o que 
significa que o campo elétrico gerado por essa carga é totalmente contido dentro do 
buraco. Por outro lado, a carga 𝑞2 está localizada fora do buraco, de modo que o campo 
elétrico gerado por essa carga se estende além do buraco. 
De acordo com a Lei de Gauss, o fluxo elétrico através da superfície do buraco condutor 
é zero, já que não há carga elétrica dentro do buraco. Isso significa que o campo elétrico 
gerado por 𝑞2 não pode atravessar a superfície do buraco e exercer uma força sobre 𝑞1. 
Por outro lado, o campo elétrico gerado por 𝑞1 pode atravessar a superfície do buraco 
e exercer uma força sobre 𝑞2. Isso explica por que 𝑞2 é submetida a uma força devida 
a 𝑞1, mas não vice-versa. 
Em resumo, a aparente violação da terceira lei de Newton pode ser explicada pela Lei 
de Gauss, que leva em conta a distribuição de cargas elétricas e a extensão do campo 
elétrico gerado por essas cargas. 
 
Para encontrar a energia armazenada em uma esfera sólida uniformemente carregada 
de raio R e carga q, podemos usar dois métodos diferentes: 
 
a) Usando a equação 𝑈 = (
1
2
) ∫ 𝜌(𝑥)𝜑(𝑥)(𝑑3)𝑥𝑣 , onde U é a energia armazenada, ρ é 
a densidade de carga, φ é o potencial elétrico e (𝑑3)𝑥 é um elemento de volume 
infinitesimal. 
Começando com a densidade de carga ρ, podemos encontrar seu valor dividindo a 
carga total pelo volume da esfera: 
𝜌 =
𝑞
4
3𝜋𝑅3
 
Em seguida, podemos encontrar o potencial elétrico φ a uma distância r do centro da 
esfera usando a equação para o potencial elétrico de uma esfera carregada: 
𝜑 = (
1
4𝜋𝜀0
) (
𝑞
𝑅
) (
1
𝑟
) 
Onde ε0 é a constante elétrica do vácuo. 
Agora podemos integrar a expressão 𝑈 = (
1
2
) ∫ 𝜌(𝑥)𝜑(𝑥)(𝑑3)𝑥 𝑣 sobre todo o volume da 
esfera: 
𝑈 = (
1
2
) ∫ ∫ ∫ [(
𝑞
4
3𝜋𝑅3
) ((
1
4𝜋𝜀0
) (
𝑞
𝑅
) (𝑟−1))] 𝑟2 𝑠𝑖𝑛(𝜃) 𝑑𝑟 𝑑𝜃 𝑑𝜙 
2𝜋
0
𝜋
0
𝑅
0
 
𝑈 = (
3
10
) (
𝑞2
4𝜋𝜀0𝑅
) 
Portanto, a energiaarmazenada na esfera é (
3
10
) (
𝑞2
4𝜋𝜀0𝑅
). 
 
b) Usando a equação 𝑈 = (
1
2
) ∫ (𝐸2)(𝑑3)𝑥𝑒𝑠𝑝𝑎ç𝑜 , onde E é o campo elétrico e (𝑑
3)𝑥 é 
um elemento de volume infinitesimal. 
O campo elétrico de uma esfera carregada é dado por: 
𝐸 = (
1
4𝜋𝜀0
) (
𝑞
𝑅2
) 𝑟 
Podemos encontrar a energia armazenada integrando a expressão 𝑈 =
 (
1
2
) ∫ (𝐸2)(𝑑3)𝑥𝑒𝑠𝑝𝑎ç𝑜 sobre todo o espaço: 
𝑈 = (
1
2
) ∫ ∫ ∫ [(
1
4𝜋𝜀0
) (
𝑞
𝑅2
) 𝑟]
2
 𝑟2 𝑠𝑖𝑛(𝜃) 𝑑𝑟 𝑑𝜃 𝑑𝜙
2𝜋
0
 
𝜋
0
 
𝑅
0
 
𝑈 = (
3
5
) (
𝑞2
4𝜋𝜀0𝑅
) 
Portanto, a energia armazenada na esfera é (
3
5
) (
𝑞2
4𝜋𝜀0𝑅
). 
 
 
a) O campo elétrico gerado por uma distribuição de carga ρ pode ser obtido a partir da 
lei de Coulomb modificada usando o princípio da superposição. Assim, para uma 
distribuição de carga com densidade ρ(x), o campo elétrico em um ponto x é dado por: 
 
𝐸(𝑥) =
1
4𝜋𝜖0
 ∫ (
𝜌(𝑥′)
𝑟2
) (1 +
𝑟
𝜆
) 𝑒
−
𝑟
𝜆𝑟
̂
𝑑3𝑥 ′ 
 
onde 𝑟 = |𝑥 − 𝑥′| e 𝑟 ̂ é o vetor unitário radial. Esta expressão pode ser um pouco difícil 
de resolver analiticamente, mas pode ser calculada numericamente para diferentes 
distribuições de carga. 
 
b) Para verificar se o campo elétrico admite um potencial, podemos verificar se o 
rotacional do campo elétrico é zero. Se o rotacional do campo elétrico for zero, o campo 
elétrico pode ser expresso como o gradiente de um potencial escalar, ou seja, 𝐸 =
 −𝛻𝜑. O rotacional do campo elétrico pode ser calculado como: 
 
𝛻 𝑥 𝐸 = 𝛻 𝑥 (
1
4𝜋𝜖0
 (
𝑞1𝑞2
𝑟2
) (1 +
𝑟
𝜆
) 𝑒
−
𝑟
𝜆
 �̂�
 ) 
 
=
1
4𝜋𝜖0
 𝛻 𝑥 [
𝑞1𝑞2
𝑟2
] (1 +
𝑟
𝜆
) 𝑒
−
𝑟
𝜆
 �̂�
 +
1
4𝜋𝜖0
(𝑞1𝑞2)
𝑟2
𝑒
−
𝑟
𝜆
 �̂�
 𝛻 𝑥 (1 +
𝑟
𝜆
) 
 
O primeiro termo é zero porque o campo elétrico gerado por uma carga pontual é zero. 
Para o segundo termo, temos: 
𝛻 𝑥 (1 +
𝑟
𝜆
) = 𝛻 (
1
𝜆
) 𝑥 𝑟 
= (
1
𝜆2
) 𝛻𝑟 𝑥 𝑟 
= 0 
Portanto, o rotacional do campo elétrico é zero, o que significa que o campo elétrico 
admite um potencial escalar. 
c) Para determinar o potencial elétrico gerado por uma carga pontual q, podemos usar 
a definição do potencial elétrico: 
𝜑(𝑥) =
1
4𝜋𝜖0
 ∫ (
𝑞
𝑟2
) (1 +
𝑟
𝜆
) 𝑒
−
𝑟
𝜆𝑟
̂
𝑑3𝑥′ 
Onde 𝑟 = |𝑥 − 𝑥′| 𝑒 𝑟 ̂ é o vetor unitário radial. Usando a expansão em série de Taylor 
de (1 +
𝑟
𝜆
) 𝑒−
𝑟
𝜆 em torno de r = 0, podemos escrever: 
(1 +
𝑟
𝜆
) 𝑒
−
𝑟
𝜆 = 1 −
𝑟
𝜆
 + (
1
2
) (
𝑟
𝜆
)
2
 − (
1
6
) (
𝑟
𝜆
)
3
 + . .. 
Substituindo essa expressão na equação acima e integrando em relação a 𝑑3𝑥′, 
obtemos: 
𝜑(𝑥) =
1
4𝜋𝜖0
 ∫ (
𝑞
|𝑥 − 𝑥′|
) [1 −
𝑥 − 𝑥′
𝜆
 + (
1
2
)
(𝑥 − 𝑥′)2
𝜆2 
 − . . . ] 𝑑3𝑥′ 
Podemos simplificar essa expressão usando a identidade: 
1
|𝑥 − 𝑥′|
 = ∫ 𝛻2 (
1
|𝑥 − 𝑥′′|
) 𝑑3𝑥′′ = −4𝜋∫ 𝛿(𝑥 − 𝑥′′)𝑑3𝑥′′ 
Substituindo essa expressão na equação acima, obtemos: 
𝜑(𝑥) =
1
4𝜋𝜖0
 𝑞 ∫ [1 −
𝑥 − 𝑥′
𝜆
 +
(
1
2)
(𝑥 − 𝑥′)2
𝜆2
 − . . . ] ∫ 𝛿(𝑥 − 𝑥′′)𝑑3𝑥′′𝑑3𝑥′ 
=
1
4𝜋𝜖0
 𝑞 ∫ [1 −
𝑥 − 𝑥′
𝜆
 +
(
1
2)
(𝑥 − 𝑥′)2
𝜆2
 − . . . ] 𝑑3𝑥′ 
=
1
4𝜋𝜖0
 𝑞 [
1
|𝑥|
− (
1
𝜆
) |𝑥| + (
1
2
) (
1
𝜆2
) |𝑥|2 − . . . ] 
Esta é a expressão para o potencial elétrico gerado por uma carga pontual q, em função 
da distância r = |x| entre a carga e o ponto x. 
 
d) Para uma carga pontual q na origem, o potencial elétrico é dado por: 
𝜑(𝑥) =
1
4𝜋𝜖0
 𝑞 [1 − (
1
𝜆
) |𝑥| + (
1
2
) (
1
𝜆2
) |𝑥|2 − . . . ] 
O campo elétrico correspondente pode ser calculado como: 
𝐸(𝑥) = −𝛻𝜑(𝑥) 
=
1
4𝜋𝜖0
 𝑞 [(
1
𝜆
) 𝑥 − (
1
𝜆2
) 𝑥2 + . . . ] 
A integral de superfície do campo elétrico ao longo de uma superfície S que envolve a 
origem pode ser calculada como: 
 
∮ 𝐸. 𝑛𝑑2 𝑥 =
1
4𝜋𝜖0
 𝑞 ∮ [(
1
𝜆
) 𝑥 − (
1
𝜆2
) 𝑥2 + . . . ] 𝑛𝑑2 𝑥
𝑆𝑆
 
Onde n é o vetor unitário normal à superfície. Usando o teorema da divergência, 
podemos escrever essa integral como: 
∮ 𝐸. 𝑛𝑑2 𝑥 =
1
4𝜋𝜖0
 𝑞 ∫ 𝛻. (
1
𝜆
) 𝑥 𝑑3𝑥 − ∫ 𝛻. (
1
𝜆2
) 𝑥2 𝑑3𝑥 + . . .
𝑉𝑉𝑆
 
Onde V é o volume limitado pela superfície S. Como a divergência do primeiro termo é 
zero, podemos simplificar a expressão para: 
∮ 𝐸. 𝑛𝑑2 𝑥 = −
1
4𝜋𝜖0
 𝑞 ∫ (
1
𝜆2
) 𝑥2 𝑑3𝑥 + . . .
𝑉𝑆
 
Usando a definição do potencial elétrico, podemos escrever: 
∫ (
1
𝜆2
) 𝑥2 𝑑3𝑥 + . . . = ∫ 𝛻2𝜑(𝑥)𝑑3𝑥 + . . .
𝑉𝑉
 
Usando o princípio da superposição, podemos escrever o potencial elétrico gerado por 
uma distribuição de carga ρ como: 
𝜑(𝑥) =
1
4𝜋𝜖0
 ∫ (
𝜌
|𝑥 − 𝑥′|
) (1 +
𝑟
𝜆
) 𝑒
−
𝑟
𝜆𝑟
̂
𝑑3𝑥′ 
Portanto, a integral de volume acima pode ser escrita como: 
∫ 𝛻2𝜑(𝑥)𝑑3𝑥+ . . . =
1
4𝜋𝜖0
 ∫ 𝛻2 (∫ (
𝜌
|𝑥 − 𝑥′|
) (1 +
𝑟
𝜆
) 𝑒
−
𝑟
𝜆𝑟
̂
𝑑3𝑥′) 𝑑3𝑥 + . . .
𝑉𝑉
 
Usando a identidade: 
𝛻2 (
1
|𝑥 − 𝑥′|
) = −4𝜋𝛿(𝑥 − 𝑥′) 
Podemos escrever a expressão acima como: 
∫ 𝛻2 (∫ (
𝜌
|𝑥 − 𝑥′|
) (1 +
𝑟
𝜆
) 𝑒
−
𝑟
𝜆𝑟
̂
𝑑3𝑥′) 𝑑3𝑥 + . . .
𝑉
= −
1
4𝜋𝜖0
 ∫ 𝜌(𝑥)𝑑3𝑥 + . . .
𝑉
 
Portanto, podemos escrever a equação original como: 
∮𝐸. 𝑛𝑑2 𝑥
𝑆
=
1
𝜖0
 ∫ 𝜌(𝑥)𝑑3𝑥 +
1
𝜆2
 ∫ 𝜑(𝑑^3 )𝑥
𝑉𝑉
=
1
𝜖0
 𝑞 
 
e) Esta é a lei de Gauss generalizada, que relaciona a integral de superfície do campo 
elétrico ao longo de uma superfície S com a carga total contida dentro do volume limitado 
por essa superfície, acrescida de um termo adicional que depende do potencial elétrico 
φ(x) e da constante λ. 
 
 
 
O teorema do valor médio afirma que, para uma função contínua f(x) em um intervalo 
fechado [a, b], existe um número c no intervalo aberto (a, b) tal que: 
𝑓(𝑐) = (
1
𝑏 − 𝑎
) ∗ ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
Para demonstrar que o potencial eletrostático em qualquer ponto no espaço é igual à 
média do potencial sobre a superfície de qualquer esfera centrada naquele ponto, 
vamos aplicar o teorema do valor médio. 
Considere uma carga pontual q localizada em um ponto P qualquer no espaço. O 
potencial eletrostático V(P) em um ponto P é dado pela equação: 
𝑉(𝑃) = 𝑘 ∗
𝑞
𝑟
 , 
onde k é a constante eletrostática e r é a distância entre a carga e o ponto P. 
Considere agora uma esfera de raio R centrada em P. Podemos calcular a média do 
potencial sobre a superfície da esfera usando a seguinte equação: 
𝑉𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 = (
1
4𝜋𝑅2
) ∗ ∫ (𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑎 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓í𝑐𝑖𝑒 𝑑𝑎 𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎) 𝑉(𝑃) 𝑑𝐴 
Onde dA é um elemento de área sobre a superfície da esfera. 
Podemos reescrever a integral acima em termos de r, a distância entre a carga e um 
ponto sobre a superfície da esfera, usando a relação entre r e R: 
𝑑𝐴 = 𝑅² ∗ 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝜙, onde θ é o ângulo entre o vetor posição r e o eixo z, e ϕ é o 
ângulo entre o vetor posição r projetado no plano xy e o eixo x. 
Substituindo a expressão acima na integral, temos: 
𝑉𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 = (
1
4𝜋𝑅2
) ∗ ∫ ∫ (𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑎 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓í𝑐𝑖𝑒 𝑑𝑎 𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎)𝑘 ∗
𝑞
𝑟
 ∗ 𝑅² ∗ 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝜙 
𝑉𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 = (𝑘 ∗
𝑞
4𝜋𝑅2
) ∗ ∫ ∫ (𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑎 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓í𝑐𝑖𝑒 𝑑𝑎 𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎)𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝜙 
∗ ∫ ∫ (𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑎 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓í𝑐𝑖𝑒 𝑑𝑎 𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎)
1
𝑟
 𝑑𝐴 
A segunda integral acima é a integral sobre a superfície de uma esfera de raio r com 
centro em q. Sabemos que a integral do potencial sobre a superfície de uma esfera de 
raio r é igual a 
𝑘𝑞
𝑟
. Portanto, a segunda integral acima é igual a 
𝑘𝑞
𝑟
 . 
Substituindo na expressão acima, temos: 
𝑉𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 = (𝑘 ∗
𝑞
4𝜋𝑅2
) ∗ ∫ ∫ (𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑎 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓í𝑐𝑖𝑒 𝑑𝑎 𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎)𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝜙 ∗
𝑘𝑞
𝑟
 
𝑉𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 = (
𝑞
4𝜋𝑅2
) ∗ ∫ ∫ (𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑎 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓í𝑐𝑖𝑒 𝑑𝑎 𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎)𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝜙 ∗
1
𝑟
 
Podemos reescrever a integral acima em termos de θ e ϕ. Sabemos que a integral de 
sen θ dθ dϕ sobre a superfície de uma esfera é igual a 4π/3. Portanto, a integralacima 
é igual a: 
𝑉𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 = (
𝑞
4𝜋𝑅2
) ∗ (
4𝜋
3
) ∗. . .∗
1
𝑟
 
𝑉𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 =
𝑞
3𝑟
 
Agora, vamos aplicar o teorema do valor médio para a função 𝑓(𝑟) =
𝑘𝑞
𝑟
, no intervalo 
fechado [R, ∞], onde R é o raio da esfera centrada em P. Temos: 
𝑓(𝑐) = (
1
∞ − 𝑅
) ∗ ∫ (𝑅 𝑎𝑡é ∞)
𝑘𝑞
𝑟
𝑑𝑟 
𝑓(𝑐) = (
𝑘𝑞
∞
) ∗ 𝑙𝑛 (
∞
𝑅
) 
𝑓(𝑐) = 0 
Portanto, existe um número c no intervalo (R, ∞) tal que f(c) = 0, ou seja, existe um ponto 
na esfera de raio R onde o potencial é igual à média do potencial sobre a superfície da 
esfera. 
Isso conclui a prova do teorema de valor médio para cargas livres no espaço. Em outras 
palavras, o potencial eletrostático em qualquer ponto no espaço é igual à média do 
potencial sobre a superfície de qualquer esfera centrada naquele ponto. 
 
 
O teorema da reciprocidade de Green afirma que, se duas distribuições de carga 
diferentes (ρ, σ e ρ', σ') produzem potenciais elétricos γ e γ', respectivamente, então a 
integral do produto de γ' pela densidade de carga correspondente à primeira distribuição 
de carga é igual à integral do produto de γ pela densidade de carga correspondente à 
segunda distribuição de carga, mais a integral do produto de γ' pela densidade de carga 
superficial correspondente à primeira distribuição de carga é igual à integral do produto 
de γ pela densidade de carga superficial correspondente à segunda distribuição de 
carga. Em termos matemáticos, o teorema da reciprocidade de Green pode ser escrito 
como: 
∫ 𝛾′𝜌 𝑑3𝑥
𝑉
 + ∫𝛾𝛾′𝜎𝑑𝑎
𝑆
= ∫ �̂�′𝑑3𝑥
𝑉
 + ∫𝛾𝜎′�̂�′𝑑𝑎
𝑆
 
Para provar esse teorema, podemos começar com a equação da lei de Gauss em forma 
integral: 
∫ 𝜌𝑑3𝑥
𝑉
 + ∫𝜎𝑑𝑎 
𝑆
 = 0 
Podemos aplicar o operador laplaciano à equação acima e usar a equação de Poisson 
para obter: 
∫ (𝛻2 𝛾)𝑑3𝑥
𝑉
 + ∫(𝛻𝛾) • 𝑛𝑑𝑎 
𝑆
 = − ∫ 𝜌𝑑3𝑥
𝑉
 − ∫𝜎𝑑𝑎
𝑆
 
Podemos fazer a mesma operação para γ' e ρ' e somar as duas equações: 
∫ (𝛻2 𝛾)𝑑3𝑥 
𝑉
 + ∫(𝛻𝛾) • 𝑛𝑑𝑎
𝑆
 + ∫ (𝛻2 𝛾′)𝑑3𝑥 
𝑉
 + ∫(𝛻𝛾′) • 𝑛𝑑𝑎
𝑆
 
= − ∫ (𝜌 + 𝜌′)𝑑3𝑥
𝑉
 − ∫(𝜎 + 𝜎′)𝑑𝑎
𝑆
 
Usando o teorema da divergência, podemos transformar as integrais superficiais em 
integrais de volume e obter: 
∫ [(𝛻2 𝛾)𝛾′ + (𝛻2 𝛾′)𝛾]𝑑3𝑥
𝑉
 = ∫ (𝜌′𝛾 + 𝜌𝛾′)𝑑3𝑥
𝑉
 + ∫(𝜎′𝛾 + 𝜎𝛾′)𝑑𝑎
𝑆
 
Finalmente, integrando por partes a integral à esquerda, obtemos: 
∫ [(𝛻2 𝛾)𝛾′ + (𝛻2 𝛾′)𝛾]𝑑3𝑥 
𝑉
 
= ∫(𝛾′𝛻𝛾 − 𝛾𝛻𝛾′) • 𝑛𝑑𝑎 
𝑆
 + ∫ (𝜌′𝛾 + 𝜌𝛾′)𝑑3𝑥 
𝑉
 + ∫(𝜎′𝛾 + 𝜎𝛾′)𝑑𝑎
𝑆
 
Usando a identidade vetorial (𝛻 • (𝑎 × 𝑏) = 𝑏 • (𝛻 × 𝑎) − 𝑎 • (𝛻 × 𝑏)), podemos 
escrever a integral de superfície à direita como: 
∫(𝛾′𝛻𝛾 − 𝛾𝛻𝛾′) • 𝑛𝑑𝑎 
𝑆
 = ∫ [𝛾′𝛻2 𝛾 − 𝛾𝛻2 𝛾′ + (𝛻𝛾′) • (𝛻𝛾) − (𝛻𝛾) • (𝛻𝛾′)]𝑑3𝑥
𝑉
 
Substituindo essa expressão na equação anterior, obtemos: 
∫ [(𝛻2 𝛾)𝛾′ + (𝛻2 𝛾′)𝛾
𝑉
 
= ∫ (𝜌′𝛾 + 𝜌𝛾′)𝑑3𝑥
𝑉
 
+ ∫ [𝛾′𝛻2 𝛾 − 𝛾𝛻2 𝛾′ + (𝛻𝛾′) • (𝛻𝛾) − (𝛻𝛾) • (𝛻𝛾′)]𝑑3𝑥
𝑉
 
+ ∫(𝜎′𝛾 + 𝜎𝛾′)𝑑𝑎
𝑆
 
Podemos reorganizar os termos para obter: 
∫ [(𝛻2 𝛾)𝛾′ − 𝜌′𝛾]𝑑3𝑥
𝑉
 + ∫(𝜎′𝛾)𝑑𝑎
𝑆
 
= ∫ [(𝛻2 𝛾′)𝛾 − 𝜌𝛾′]𝑑3𝑥
𝑉
 + ∫(𝜎𝛾′)𝑑𝑎
𝑆
 
+ ∫ [(𝛻𝛾′) • (𝛻𝛾) − (𝛻𝛾) • (𝛻𝛾′)]𝑑3𝑥
𝑉
 
Agora, podemos aplicar o teorema de Green para o primeiro termo à esquerda, o 
primeiro termo à direita e o último termo à direita, para obter: 
∫ [(𝛻2 𝛾)𝛾′ − 𝜌′𝛾]𝑑3𝑥 
𝑉
 + ∫(𝜎′𝛾)𝑑𝑎
𝑆
 
= ∫ 𝛾′(𝛻2 𝛾)𝑑3𝑥 +
𝑉
 ∫(𝛾′𝛻𝛾) • 𝑛𝑑𝑎 
𝑆
 − ∫ (𝛻𝛾′) • (𝛻𝛾)𝑑3𝑥
𝑉
 
− ∫(𝛾𝛻𝛾′) • 𝑛𝑑𝑎 
𝑆
+ ∫ [(𝛻𝛾′) • (𝛻𝛾) − (𝛻𝛾) • (𝛻𝛾′)]𝑑3𝑥
𝑉
 
Podemos simplificar alguns termos usando a identidade vetorial (𝛻 • (𝑎 × 𝑏) = 𝑏 •
(𝛻 × 𝑎) − 𝑎 • (𝛻 × 𝑏)) e reorganizando a equação para obter: 
∫ [𝛾′𝛻2 𝛾 − (𝛻𝛾′) • (𝛻𝛾)]𝑑3𝑥 
𝑉
 + ∫ (𝜎′𝛾)𝑑𝑎
𝑆
 
= ∫ [𝛾𝛻2 𝛾′ − (𝛻𝛾) • (𝛻𝛾′)]𝑑3𝑥
𝑉
 + ∫(𝜎𝛾′)𝑑𝑎 
𝑆
 + ∫(𝛾′𝛻𝛾 − 𝛾𝛻𝛾′) • 𝑛𝑑𝑎
𝑆
 
Usando a identidade vetorial (𝛻 • (𝑎 × 𝑏) = 𝑏 • (𝛻 × 𝑎) − 𝑎 • (𝛻 × 𝑏)) novamente, 
podemos transformar a integral de superfície à direita em uma integral de volume e 
obter: 
∫ [𝛾′𝛻2 𝛾 − (𝛻𝛾′) • (𝛻𝛾)]𝑑3𝑥 
𝑉
+ ∫ 𝑆 (𝜎′𝛾)𝑑𝑎 
= ∫ [𝛾𝛻2 𝛾′ − (𝛻𝛾) • (𝛻𝛾′)]𝑑3𝑥 
𝑉
 + ∫ (𝛻𝛾′) • (𝛻𝛾)𝑑3𝑥
𝑉
 
Finalmente, podemos usar a identidade vetorial (𝛻 • (𝑎 × 𝑏) = 𝑏 • (𝛻 × 𝑎) − 𝑎 •
(𝛻 × 𝑏)) mais uma vez para transformar a integral de volume à direita em uma integral 
de superfície e obter: 
∫ [𝛾′𝛻2 𝛾 − (𝛻𝛾′) • (𝛻𝛾)]𝑑3𝑥
𝑉
 + ∫(𝜎′𝛾)𝑑𝑎
𝑆
 
= ∫ [𝛾𝛻2 𝛾′ − (𝛻𝛾) • ( 𝛻𝛾′)]𝑑3𝑥
𝑉
 + ∫[(𝛾′𝛻𝛾 − 𝛾𝛻𝛾′) • 𝑛]𝑑𝑎
𝑆
 
Agora, percebemos que a expressão entre colchetes na integral de superfície é 
exatamente a diferença entre os fluxos de vetor de Poynting de γ e γ'. Como os fluxos 
de Poynting medem a taxa de transferência de energia eletromagnética, essa expressão 
é zero para campos estacionários, ou seja, para campos que não mudam com o tempo. 
Portanto, temos: 
∫ [𝛾′𝛻2 𝛾 − (𝛻𝛾′) • (𝛻𝛾)]𝑑3𝑥
𝑉
 + ∫(𝜎′𝛾)𝑑𝑎
𝑆
 = ∫ [𝛾𝛻2 𝛾′ − (𝛻𝛾) • (𝛻𝛾′)]𝑑3𝑥
𝑉
 
Que é exatamente o teorema da reciprocidade de Green. Ele nos diz que o potencial 
elétrico gerado por uma distribuição de cargas em um determinado ponto é igual ao 
potencial gerado pela mesma distribuição de cargas em outro ponto, com as cargas 
trocadas, mas com a mesma geometria. 
 
 
O teorema em questão é conhecido como Teorema de Descarga de Eletrostática e 
afirma que a introdução de um condutor isolado, descarregado, dentro de uma região 
limitada por superfícies condutoras com distribuição de carga fixa, resulta em uma 
diminuição da energia eletrostática do sistema. 
Para provar esse teorema, podemos considerar o seguinte argumento: 
Suponha que tenhamos um sistema de superfícies condutoras fixas na posição com 
uma distribuição de carga dada. A energia eletrostática do sistema é dada pela 
expressão: 
𝐸 =
1
2
 ∑ ∑
𝑞ᵢ𝑞ⱼ
4𝜋𝜀0𝑟ᵢⱼ
𝑛
𝑗=1
𝑛
𝑖=1
 
onde n é o número de superfícies condutoras, qᵢ e qⱼ são as cargas nas superfícies i e j, 
respectivamente, rᵢⱼ é a distância entre as superfícies i e j, e ε₀ é a constante elétrica no 
vácuo. 
Agora, vamos introduzir um novo condutor isolado, descarregado, dentro da região 
limitada pelas superfícies condutoras fixas. A energia eletrostática do novo sistema será 
dada por: 
𝐸′ = 𝐸 +
1
2
 ∑ 𝑞′ᵢ ∑
𝑞ⱼ
4𝜋𝜀0𝑟ᵢ
′ⱼ
𝑛
𝑗=1
𝑛
𝑖=1
 
onde q'ᵢ é a carga no novo condutor e rᵢ'ⱼ é a distância entre o novo condutor e a 
superfície i. 
Observe que a soma na segunda expressão é maior que a soma correspondente na 
primeira expressão, pois adicionamos um novo termo. Além disso, como o novo 
condutor está descarregado, temos q'ᵢ = 0 para todo i. Assim, podemos escrever: 
E' = E + 0 
E' = E 
Isso significa que a energia eletrostática do sistema não aumentou com a introdução do 
novo condutor. Na verdade, a energia diminuiu, pois o novo condutor atrai cargas das 
superfícies condutoras próximas a ele, redistribuindo a carga e reduzindo a energia total 
do sistema. 
Portanto, provamos que a introdução de um condutor isolado, descarregado, dentro de 
uma região limitada por superfícies condutoras fixas com distribuição de carga dada, 
resulta em uma diminuição da energia eletrostática do sistema. Esse é o Teorema de 
Descarga de Eletrostática.