Aula 3_Distribuições

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PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA DE CONFIABILIDADE E GESTÃO DE ATIVOS 
IEC PUC MINAS 
MODELAGEM DE CONFIABILIDADE 
Disciplina: 
Professor: Alessandra Lopes Carvalho, Dra 
 
Nota sobre Direitos Autorais: 
 
Este material é de uso exclusivo de alunos matriculados 
no curso de Pos Graduação Lato Sensu Engenharia de 
Confiabilidade e Gestão de Ativos da PUC Minas. 
Permitido o download do material desde que sejam 
atribuídos créditos aos autores, mas sem a possibilidade 
de alterá-lo de nenhuma forma ou utilizá-la para fins 
comerciais. 
 
 
 
PUC Minas- Disciplina Modelagem de Confiabilidade - Profa: Alessandra Lopes Carvalho, Dra 
PUC Minas- Disciplina Modelagem de Confiabilidade - Profa: Alessandra Lopes Carvalho, Dra 
Aula 3- Técnicas para análise do tempo de falha 
 
3.1 Banco de dados: pré tratamento e considerações 
 
3.2 Técnicas não paramétricas 
 
3.3 Técnicas paramétricas 
 
Dados Censurados 
- Testes são terminados antes que todos os itens falhem 
- Presença de dados incompletos e/ ou parciais 
x 
x 
x 
x 
unidade 
tempo 
Dados completos 
 Convenção utilizada: 
 
 x falha 
 o censura 
3.1 Banco de dados: pré tratamento e considerações 
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Censura por tempo ou Tipo I 
 
O teste será terminado após um período pré estabelecido de 
tempo 
x 
x 
o 
o 
unidade 
tempo to 
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Exemplo: 
 
Vinte motores foram colocados em funcionamento e os tempos até a falha para o 
subsistema combustível foram registrados. Após 300 horas de funcionamento contínuo, o 
teste para cada motor é truncado, verificando-se desta forma censura. Os tempos até a 
falha são: 
 
63,2, 90,2, 104,5, 120,8, 140,3, 179,4, 199,6, 201,9, 234,4, 237,1, 246,5, 260,7, 275,7, 
297,3, 300 +, 300 +, 300 +, 300 +, 300 +, 300 + 
 
(O sinal “+” representa os dados censurados – software PROCONF ). 
x 
x 
o 
x 
unidade 
tempo 
Censura por falha ou Tipo II 
 
O teste será terminado após ter ocorrido 
a falha em um número pré estabelecido de itens sob teste 
Vantagem: garante um no mínimo de falhas 
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Censura do tipo aleatório 
 
Um item é retirado do teste sem que seja atingida a falha 
Exemplo: o item falha por uma razão diferente da estudada 
o 
x 
x 
unidade 
tempo 
o 
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Origem dos dados? 
 
 
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Pré-tratamento de dados 
• Provável erro de digitação; 
 
 
 
 
• Sistema de automação; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Pré-tratamento de dados 
Dificuldades: 
• Difícil entendimento da descrição; 
• A mesma causa escrita de formas diferentes; 
 
 
 
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Pré-tratamento de dados 
 
• Duas ou mais descrições na mesma célula; 
 
 
 
• Data de falha fora da ordem. 
 
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Exemplo: 
 
Os dados apresentados abaixo representam o tempo até a ruptura de um 
tipo de isolante térmico sujeito a uma tensão de estresse de 35kV. 
Originalmente o teste consistiu em colocar 25 destes isolantes em 
funcionamento até que 15 deles falhassem. Entretanto, após uma análise 
de falha conduzida constatou-se que, para dois deles a falha havia sido 
provocada por problemas no equipamento de teste (indicados por *). 
 
Dados obtidos para os 15 itens incluindo os dois censurados (em minutos) 
 
0,19 0,78 0,96* 1,31 2,78 3,16 4,67 4,85 6,50 7,35 8,27 12,07 
32,52* 33,19 36,71 
 
Fonte: (Freitas, 1997) 
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3.2 Técnicas não paramétricas 
 
 
 Não é necessário especificar nenhuma distribuição de probabilidade 
 Estimação da Função Confiabilidade na Ausência de Censura 
 Estimação da Função Confiabilidade na Presença de Censura 
 Estimador da tabela de vida 
 Estimador de Kaplan-Meier 
 
 
 
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Fonte: Freitas e Colosimo (1997) 
 
Exemplo: 
Histograma da distribuição 
aproximada do tempo 
de falha para 54 produtos 
em teste (todos falharam). 
 
0 10 20 30 40 50 60 70 80 
9 
 2 
 1 
4 
5 
10 
16 
7 
tempo (x 10 horas) 
am
p
li
tu
d
e 
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Estimativa confiabilidade no período entre 400 e 500 horas 
54 produtos em operação – 33 produtos que falharam até t=400 = 21 
0 10 20 30 40 50 60 70 80 
9 
 2 
 1 
4 
5 
10 
16 
7 
tempo (x 10 horas) 
am
p
li
tu
d
e 
R (400) = no de produtos em operação até t=400 = 21 = 0,389 
 no de produtos sob teste 54 
 
^ 
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Usando o mesmo cálculo para os outros intervalos de tempo: 
 
Intervalo (x 100) 
 
R(t) (%) 
0-1 100,0 
1-2 96,3 
2-3 87,0 
3-4 68,5 
4-5 38,9 
5-6 22,2 
6-7 09,3 
7-8 01,9 
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Estimador de Kaplan-Meier (limite-produto) 
 
Estimação na Presença de Censura 
 
R =[(n1-d1)/n1] [(n2-d2)/n2]... [(nto-dto)/nto] 
^ 
onde di : número de falhas no tempo ti 
 ni : número de itens sob risco (não falhou e não foi censurado) 
 em ti inclusive 
 to : maior tempo de falha menor que t 
-Considera tantos intervalos de tempo quanto for o número de 
 falhas distintas 
- Os limites de intervalo de tempo são os tempos de falha da amostra 
Definição Matemática: 
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Exemplo: 
 
Os dados apresentados abaixo representam o tempo até a ruptura de um 
tipo de isolante térmico sujeito a uma tensão de estresse de 35kV. 
Originalmente o teste consistiu em colocar 25 destes isolantes em 
funcionamento até que 15 deles falhassem. Entretanto, após uma análise 
de falha conduzida constatou-se que, para dois deles a falha havia sido 
provocada por problemas no equipamento de teste (indicados por *). 
 
Dados obtidos para os 15 itens incluindo os dois censurados (em minutos) 
 
0,19 0,78 0,96* 1,31 2,78 3,16 4,67 4,85 6,50 7,35 8,27 12,07 
32,52* 33,19 36,71 
 
Fonte: (Freitas, 1997) 
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0,19 25 1 0,9600 
0,78 24 1 0,9200 
1,31 22 1 0,8782 
2,78 21 1 0,8364 
3,16 20 1 0,7946 
4,67 19 1 0,7528 
4,85 18 1 0,7110 
6,50 17 1 0,6692 
7,35 16 1 0,6274 
8,27 15 1 0,5856 
12,07 14 1 0,5438 
33,91 12 1 0,4985 
36,71 11 1 0,4532 
^ R(ti) ti di 
Consideração 
da ocorrência 
de censura 
x1=[(n1-d1)/n1] =24/25 
x2=[(n2-d2)/n2] * x1 
x2=23/24 * 0,9600 
ni 
R =[(n1-d1)/n1] [(n2-d2)/n2]... [(nto-dto)/nto] 
^ 
 di : número de falhas no tempo ti 
 ni : número de itens sob risco (não falhou e 
 não foi censurado) em ti inclusive 
 to : maior tempo de falha menor que t 
3.3 Técnicas Paramétricas 
 
 Modelagem segundo uma distribuição de probabilidade 
 
 -Os modelos estimam a probabilidade de falha (ou sobrevivência)ao longo do tempo. 
 
 -Esta representação é dada por uma função que permite interpolações 
 (e algumas extrapolações). 
 
 
 
 
 
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Processo de Modelagem 
 Escolha de uma f(t) 
Distribuição Exponencial, 
Distribuição Lognormal, 
Distribuição Weibul, 
Outras. 
 
Dados 
 
 
 
R(t), 
F(t) 
h(t) 
MTTF 
 
. 
. 
Estimação de Parâmetros 
 Papeis de Probabilidade 
 Regressão 
 MLE 
 
Validação 
 Técnicas gráficas 
 Técnicas numéricas 
b
 
h 1/l 
 t 
f(t) 
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http://images.google.com.br/imgres?imgurl=http://acidentario.vilabol.uol.com.br/dinheiro.jpg&imgrefurl=http://acidentario.vilabol.uol.com.br/&h=240&w=320&sz=54&hl=pt-BR&start=6&tbnid=7k7WNjXZ4iLsgM:&tbnh=89&tbnw=118&prev=/images?q=dinheiro&gbv=2&svnum=10&hl=pt-BR&sa=G
 
 
 
Distribuição Exponencial 
 
 
Taxa de falhas constante 
 
 
 - desconsiderando as distribuições de falhas individuais a 
 mistura de componentes resulta em uma taxa de falhas 
 aproximadamente constante 
 
- presença vários mecanismos de falha com diferentes taxas 
 
 
Principais Distribuições Continuas 
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tetf ll )( l)(th
Função Densidade de Probabilidade Função Taxa de Falhas 
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tetF l1)( MTTF
t
t eetR

  l)(
Função Densidade Acumulada Função Confiabilidade 
 
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Efeito da variação da taxa de falhas na 
 função densidade de probabilidade f(t) 
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 σ = desvio padrão 
Função Densidade de Probabilidade 
 µ = média 
t= tempo 
Distribuição Normal 
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Taxa de falhas instantânea 
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Função Densidade Acumulada Função Confiabilidade 
 
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 Considere que cada curva apresentada representa um produto 
diferente em desenvolvimento. Qual dos dois produtos deve ser 
lançado no mercado? 
Exemplo: 
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Função Densidade de Probabilidade 
Distribuição Log Normal 
tt ln
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Função Densidade de Probabilidade Função Taxa de Falhas 
Efeito da variação de σ considerando µ=1 
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Efeito da variação de σ considerando µ=1 
Função Densidade Acumulada Função Confiabilidade 
Efeito da variação de σ considerando µ=1 
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Efeito da variação de σ considerando µ=1 
Distribuição Weibull 
Função Densidade de Probabilidade 
β = parâmetro de forma ou inclinação 
η = parâmetro de escala 
 ou vida característica 
γ = parâmetro de localização 
 considerando η=2 e γ=0 
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Considerando η=2 e β =1 
β =1 → Distribuição Exponencial 
 Efeito da variação de γ (parâmetro de localização) 
 na Função Densidade de Probabilidade 
 
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Efeito da variação de η (parâmetro de escala ou vida característica) 
 na Função Densidade de Probabilidade 
β =3 → Distribuição Normal 
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Efeito da variação de η (parâmetro vida característica ) 
 na Função Densidade de Probabilidade 
β =1 → Distribuição Exponencial 
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Taxa de falhas instantânea ou 
 
 Função Taxa de Falhas 
 
b
b
h
b 1
)(


t
th
Efeito da variação de β considerando η=2 e γ=0 
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Função Confiabilidade Função Probabilidade de Falha 
Efeito da variação de β considerando η=2 e γ=0 Efeito da variação de β considerando η=2 e γ=0 
 
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O componente X foi instalado em locais diferentes em uma mesma planta. 
Foram coletados dados históricos com o objetivo de modelar sua 
confiabilidade, considerando-se o local de instalação. 
 
Nos dois casos analisados foi obtida distribuição Weibull cujos parâmetros 
são apresentados a seguir: 
Exemplo: 
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 Local A 
Local B 
β = 1,6 
γ = 0 
η = 2,8 
β = 1,3 
γ = 0 
η = 6,8 
parâmetros 
Quais conclusões podem ser obtidas através destes 
resultados ? 
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parâmetros 
.... Outras distribuições de probabilidade 
 
Fonte: 
Pallerosi, Mazzolini, Mazzolini (2011 ) 
 Exemplo Distribuição Multimodal 
 
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Modelo f(t) Parâmetros 
Confiabilidade f(t) – 
população 1 
Weibull 
Mista 
β = 0,97 (Vida útil) 
 
Confiabilidade f(t) – 
população 2 
Weibull 
Mista 
β = 1,68 (Desgaste 
ou velhice) 
Confiabilidade f(t) – 
população 3 
Weibull 
Mista 
β =1,45 (Desgaste 
ou velhice) 
 Exemplo Distribuição Multimodal 
 
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