Aula 6_Validação

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PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGNEHARIA DE CONFIABILIDADE E GESTÃO DE ATIVOS 
IEC PUC MINAS 
MODELAGEM DE CONFIABILIDADE 
Disciplina: 
Professores: Alessandra Lopes Carvalho, Dra 
 
Nota sobre Direitos Autorais: 
 
Este material é de uso exclusivo de alunos matriculados 
no curso de Pos Graduação Lato Sensu Engenharia de 
Confiabilidade e Gestão de Ativos da PUC Minas. 
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de alterá-lo de nenhuma forma ou utilizá-la para fins 
comerciais. 
 
 
 
PUC Minas- Disciplina Modelagem de Confiabilidade - Profa: Alessandra Lopes Carvalho, Dra 
Validação 
Técnicas gráficas 
 -Comparação de gráficos de probabilidade 
 -Comparação da distribuição de probabilidade 
 com um estimador não paramétrico 
 
Técnicas numéricas 
 -Testes de aderência 
 
PUC Minas- Disciplina Modelagem de Confiabilidade - Profa: Alessandra Lopes Carvalho, Dra 
Processo de Modelagem 
 Escolha de uma f(t) 
Distribuição Exponencial, 
Distribuição Lognormal, 
Distribuição Weibul, 
Outras. 
 
Dados 
 
 
 
R(t), 
F(t) 
h(t) 
MTTF 
 
. 
. 
Estimação de Parâmetros 
 Papeis de Probabilidade 
 Regressão 
 MLE 
 
Validação 
 Técnicas gráficas 
 Técnicas numéricas 
b
 
h l 
 t 
f(t) 
PUC Minas- Disciplina Modelagem de Confiabilidade - Profa: Alessandra Lopes Carvalho, Dra 
http://images.google.com.br/imgres?imgurl=http://acidentario.vilabol.uol.com.br/dinheiro.jpg&imgrefurl=http://acidentario.vilabol.uol.com.br/&h=240&w=320&sz=54&hl=pt-BR&start=6&tbnid=7k7WNjXZ4iLsgM:&tbnh=89&tbnw=118&prev=/images?q=dinheiro&gbv=2&svnum=10&hl=pt-BR&sa=G
Comparação de gráficos de probabilidade 
( papeis de probabilidade) 
 
 
PUC Minas- Disciplina Modelagem de Confiabilidade - Profa: Alessandra Lopes Carvalho, Dra 
Atividade Prática 
 
Considere o conjunto de dados de tempo de falhas de um equipamento 
instalado em campo (horas) : 230, 310, 450, 580, 620 
 
a) Escolha a melhor distribuição de probabilidade que represente o 
comportamento deste equipamento (Faça os gráficos de probabilidade 
Exponencial e Weibull e escolha a distribuição que permitiu melhor ajustar 
a melhor reta) 
 
b) Estime os paramentos para a distribuição escolhida 
 
c) Exige-se deste equipamento confiabilidade de 90% para 600h. Verifique 
se esta especificação é atendida. 
 
PUC Minas- Disciplina Modelagem de Confiabilidade - Profa: Alessandra Lopes Carvalho, Dra 
10 20 30 40 50 
100 
80 
60 
40 
20 
 
R (t) % 
^ 
tempo 
 
Comparação da distribuição de probabilidade 
com um estimador não paramétrico 
PUC Minas- Disciplina Modelagem de Confiabilidade - Profa: Alessandra Lopes Carvalho, Dra 
 
 
10.260 
12.180 
16.850 
18.000 
23.260 
Exemplo: 
PUC Minas- Disciplina Modelagem de Confiabilidade - Profa: Alessandra Lopes Carvalho, Dra 
 
1.00 
5.00 
10.00 
50.00 
100.00 
l
10000.00 30000.0015000.0020000.0025000.00
 ReliaSoft's Weibull++ 6.0 - www.Weibull.com
0
tempo(t)
f(t
)
9/1/2005 10:36
puc-mg
Ale
Exponential
Data 1
E1 RRX - SRM MED
F=5 / S=0
l
0
1.00
0.25
0.50
0.75
0 70000.0017500.0035000.0052500.00
 ReliaSoft's Weibull++ 6.0 - www.Weibull.com
0
tempo(t)
f(t
)
9/1/2005 10:36
puc-mg
Ale
Exponential
Data 1
E1 RRX - SRM MED
F=5 / S=0
l
Exponencial 
PUC Minas- Disciplina Modelagem de Confiabilidade - Profa: Alessandra Lopes Carvalho, Dra 
 
10000.00 100000.00
1.00 
5.00 
10.00 
50.00 
90.00 
99.00 
0.
9
1.
0
1.
2
1.
4
1.
6
2.
0
3.
0
4.
0
6.
0
b
h
 ReliaSoft's Weibull++ 6.0 - www.Weibull.com
0
tempo(t)
f(t
)
9/1/2005 10:41
puc-mg
Ale
Weibull
Data 1
W2 RRX - SRM MED
F=5 / S=0
bh
0
1.00
0.25
0.50
0.75
0 30000.007500.00 15000.0022500.00
 ReliaSoft's Weibull++ 6.0 - www.Weibull.com
0
tempo(t)
f(t
)
9/1/2005 10:25
puc-mg
Ale
Weibull
Data 1
W2 RRX - SRM MED
F=5 / S=0
bh
Weibull 
PUC Minas- Disciplina Modelagem de Confiabilidade - Profa: Alessandra Lopes Carvalho, Dra 
 
Variável de Interesse Confiabilidade 
Kaplan-Meier 
Confiabilidade 
DistribuiçãoExponencial 
Confiabilidade 
DistribuiçãoWeibull 
10260 0.9333 0.4810 0.8520 
12180 0.8000 0.4184 0.7541 
16850 0.6000 0.2985 0.4419 
18000 0.3333 0.2753 0.3649 
23260 0.0000 0.1894 0.1000 
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Distribuição de Probabilidade Weibull com parâmetros β=2, η=100 e γ=0. 
 
Função Probabilidade de Falha F(t) obtida através do Estimador Kaplan-Meier 
e das Distribuições de Probabilidade Exponencial, Normal e Weibull 
Legenda: 
 
o o Kaplan Meier 
- . - Exponencial 
---- Normal 
 Weibull 
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Exponencial Normal Weibull 
0.3307 0.0553 0.0154 
Cálculo do somatório do 
erro ao quadrado: 
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Técnicas numéricas 
 
Implementação de testes de aderência utilizando algum software 
específico 
 
Exemplos: 
 
 PROCONF™ implementa X2 e KS (Kolmogorov-Smirnov) 
 
 Reliability 4All função best fit 
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Exemplo de Testes de Aderência - Software Weibull™ 
Objetiva verificar a hipótese de que uma determinada 
distribuição de probabilidade possa modelar satisfatoriamente 
um conjunto de dados amostrais. 
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Técnicas numéricas 
 
•Os testes analíticos de aderência mais utilizados são Qui-quadrado (X2) 
e Kolmogorov-Smirnov (KS) 
 
 
•Ambos os testes apresentam a estrutura de um teste de hipóteses, em 
que a hipótese nula (H0) é de que os dados sigam uma determinada 
distribuição. 
 
 
 
 
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•Teste Qui-quadrado (X2) 
 
É um teste paramétrico, onde a idéia é calcular a soma dos quadrados 
das diferenças esperadas entre as frequências da distribuição a ser 
validada com as frequências absolutas empíricas observadas. Se a soma 
das diferenças for superior a um valor de significância tabelado a 
hipótese da distribuição assumida é rejeitada. Se o valor de X2 for muito 
grande ( nível de significância < 0,05) a distribuição é rejeitada 
 
 
Fonte: Fritsch, C; Ribeiro, J.L.D. PROCONF: Um software orientado para análises de confiabilidade. ENEGEP ( 1998) 
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Teste Kolmogorov-Smirnov (KS) 
 
•O teste de Kolmogorov-Smirnov (KS) é implementado de maneira 
análoga, porém considera frequências acumuladas ao invés de 
frequências absolutas. 
 
•O KS é um teste não paramétrico, de uso mais adequado em situações 
nas quais poucos dados amostrais estão disponíveis 
 
 
 
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Conceitos importantes 
 
Como calcular o intervalo de confiança? 
 
 - Matriz de informação de Fisher. 
 
 - Limites da razão de verossimilhança 
 (Likelihood Ratio Bounds) 
 
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O inverso da matriz de informação de Fisher leva a matriz de covariância, 
a qual fornece a variância dos parâmetros. Os limites dos parâmetros são 
calculados utilizando as seguintes equações: 
PUC Minas- Disciplina Modelagem de Confiabilidade - Profa: AlessandraLopes Carvalho, Dra 
PUC Minas- Disciplina Modelagem de Confiabilidade - Profa: Alessandra Lopes Carvalho, Dra 
PUC Minas- Disciplina Modelagem de Confiabilidade - Profa: Alessandra Lopes Carvalho, Dra 
Quando o conjunto de dados é muito pequeno: 
 
O método da razão de verossimilhança produz resultados mais 
conservadores e, consequentemente, mais adequados. 
 
Para conjuntos de dados com números maiores de pontos de 
dados, não há uma diferença significativa nos resultados. 
 
 
PUC Minas- Disciplina Modelagem de Confiabilidade - Profa: Alessandra Lopes Carvalho, Dra 
Os limites da razão de verossimilhança são calculados 
usando a função de verossimilhança da seguinte maneira: 
PUC Minas- Disciplina Modelagem de Confiabilidade - Profa: Alessandra Lopes Carvalho, Dra