Eletrodinâmica Clássica e suas Aplicações

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DESCRIÇÃO
A construção dos conceitos fundamentais das leis de indução eletromagnética, em que variações de fluxos de campos elétricos
e/ou magnéticos geram fenômenos físicos, e suas aplicações físicas e tecnológicas como a força eletromotriz, a corrente de
deslocamento de Maxwell, as Ondas eletromagnéticas e os circuitos elétricos com correntes não uniformes. A moderna teoria
eletrodinâmica clássica é apresentada e analisada de forma completa por meio das quatro Equações de Maxwell em
representação integral.
PROPÓSITO
Compreender a teoria eletrodinâmica clássica como sendo a teoria dos campos elétricos e magnéticos puros ou em interação
com a matéria e de suas fontes. Vamos abordar as leis de indução eletromagnéticas, em que variações temporais de fluxos de
campos elétricos e/ou magnéticos geram fenômenos físicos, como a indução eletromagnética, a força eletromotriz, a corrente de
deslocamento de Maxwell, as Ondas eletromagnéticas e os circuitos elétricos com correntes não-uniformes, para citar alguns dos
mais evidentes. Todos os fenômenos eletromagnéticos são descritos pelas quatro equações de Maxwell, que completam as leis
fundamentais do eletromagnetismo. As consequências fenomenológicas dessas leis e suas equações fundamentais, dentro dos
limites de escalas e energias da teoria, são o nosso contato com o Universo e nossa vida tecnologia moderna.
PREPARAÇÃO
Antes de iniciar o conteúdo deste tema, revise seus estudos nos princípios da Álgebra Vetorial e do Cálculo Diferencial e Integral.
Também será útil ter em mãos uma calculadora científica.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Aplicar a Lei de Faraday-Lenz, a Força Eletromotriz e a Indução Eletromagnética
MÓDULO 2
Aplicar a Corrente de Deslocamento de Maxwell, as Equações de Maxwell e as Ondas Eletromagnéticas
MÓDULO 3
Analisar os Circuitos RC, LR, LC e LRC
INTRODUÇÃO
ELETRODINÂMICA
Das quatro interações fundamentais da natureza (interação Nuclear Forte, Nuclear Fraca, Gravitacional e Eletromagnética), a
interação eletromagnética é, sem dúvida, a que mais nos afeta como civilização moderna, em uma abordagem prática.
Certamente, todas as quatro interações fundamentais são essenciais para a compreensão dos fenômenos do Universo como os
conhecemos hoje e para a compreensão da vida. Entretanto, seria impensável vivermos atualmente sem os recursos modernos
que a compreensão da eletrodinâmica clássica nos propiciou.
A geração de energia elétrica, os motores elétricos, a eletricidade e a eletrônica, os meios de comunicações e telecomunicações,
a informática e a computação, nossa observação da natureza e do universo, nossas sociedades conectadas por meio da troca de
dados e informações, além da Química e da Biologia, tudo isso gira em torno da Eletrodinâmica Clássica, quando consideramos
seus limites efetivos de escala e energias para esses fenômenos.
Na imagem de abertura do Tema, vemos antenas de comunicação com satélites artificiais que estão em órbita do planeta, como
um símbolo de nossa tecnologia baseada na eletrodinâmica clássica.
 
 SAIBA MAIS
Assista ao vídeo do YouTube intitulado: Como o pouso na lua foi filmado?, do canal Dobra Espacial, que aborda as tecnologias
eletromagnéticas de comunicação envolvidas em um dos maiores passos tecnológicos da humanidade, a chegada à Lua.
Abordaremos, aqui, a fundamentação, a compreensão e a aplicação das leis de indução eletromagnéticas: a Lei de Faraday-Lenz
e a Lei de Ampère-Maxwell. Vamos verificar que fluxos de campos elétricos e magnéticos variáveis geram fenômenos físicos.
Estudaremos esses fenômenos, como se processam e como são aplicados tecnologicamente. Por fim, analisaremos elementos
fundamentais das ondas eletromagnéticas e a estrutura básica dos modernos circuitos elétricos e eletrônicos.
 
Bons estudos!
MÓDULO 1
 Aplicar a Lei de Faraday-Lenz, Força Eletromotriz e a Indução Eletromagnética
INDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA
A indução eletromagnética é o fenômeno que foi observado e estudado, primeira e separadamente, por Michael Faraday e
Joseph Henry, no início de 1830, resultando na Lei de Faraday-Lenz. Essencialmente é a capacidade de sistemas condutivos
gerarem tensões elétricas (f.e.m.) e, como consequência, correntes elétricas em circulação (em circuitos) quando o Fluxo de
Campo Magnético variar no tempo.
 EXEMPLO
Tomemos um circuito de enrolamento condutivo: uma Bobina ou um Solenoide. Façamos um imã natural alinhar-se ao eixo dessa
Bobina. Ao variarmos continuamente a distância do imã ao centro da bobina, uma corrente elétrica induzida circulará na bobina,
enquanto o imã estiver em movimento.
A razão é que o número de linhas de Campo Magnético que atravessam a área da bobina, que é o Fluxo de Campo Magnético,
ao variar no tempo, induz uma diferença de potencial gerada na bobina e, portanto, uma Corrente Elétrica de Indução, como na
figura a seguir:
 Legenda: Indução de Faraday-Lenz por campos magnéticos de imãs.
A corrente elétrica induzida terá orientação contrária (oposta) à modificação do fluxo de campo magnético que a provoca, que é a
variação temporal do fluxo magnético. Ou seja, se o número de linhas de campo magnético que atravessam a bobina crescer, o
que significa fluxo magnético crescente, que ocorre quando o imã se aproxima da bobina, a corrente elétrica induzida na bobina
será no sentido contrário a esse crescimento, gerando um campo magnético autoinduzido no sentido contrário ao crescimento do
fluxo do campo na bobina, de acordo com a regra da mão direita (ver figura a seguir).
Se o número de linhas de campo magnético decrescer, o que significa fluxo magnético decrescente, a corrente induzida na
bobina será no sentido contrário a esse decrescimento, gerando um campo magnético autoinduzido no sentido contrário a esse
decrescimento do fluxo de campo na bobina, de acordo com a regra da mão direita (ver figura a seguir).
 Legenda: Corrente induzida e o campo magnético autoinduzido na bobina.
Assim, ao aproximarmos o imã da bobina, a corrente induzida terá uma orientação de forma a gerar um campo magnético
autoinduzido para anular esse crescimento do fluxo magnético.
Da mesma maneira, ao afastarmos o imã da bobina, a corrente induzida terá orientação de forma a gerar um campo autoinduzido
para anular esse decrescimento do fluxo magnético. Aparentemente, a natureza busca equilibrar o fluxo de campo magnético
variável, gerando tensões induzidas (f.e.m.), que formam correntes elétricas, para equilibrar essas variações de fluxo. Esse é o
fenômeno da indução eletromagnética de Faraday-Lenz.
Observando a figura anterior, temos:
BOBINAS À ESQUERDA
Mostram as linhas de campo magnético atravessando sua área e a corrente elétrica induzida com a orientação oposta à
modificação do fluxo de campo magnético que a gera.
BOBINAS À DIREITA
Mostram a corrente elétrica induzida pela modificação do fluxo de campo magnético, de forma a produzir um campo magnético
autoinduzido na mesma bobina que anula a variação do fluxo de campo magnético pela aproximação ou afastamento do imã.
Certamente, você já percebeu que ao desligarmos um circuito elétrico, de iluminação por exemplo, uma centelha elétrica surge no
interruptor. Esse foi o fenômeno observado por Joseph Henry e que compõe o fenômeno de Faraday-Lenz.
Ao desligar o circuito elétrico, provocamos uma grande variação decrescente do fluxo de campo magnético, e a consequência é o
surgimento de uma tensão elétrica induzida (f.e.m.) que gera uma corrente elétrica no sentido oposto a essa variação
decrescente do fluxo, tentando manter a estrutura de fluxo magnético anterior. Assim, a corrente induzida tentará preservar a
corrente elétrica anterior à interrupção. Como a variação do fluxo de campo magnético foi intensa, indo a zero muito rapidamente,
uma grande f.e.m. é induzida, chegando a romper a rigidez dielétrica do ar no ponto de abertura do circuito e formando uma
descarga em arco, que vemos como uma centelha elétrica. No entanto, essa intensa f.e.m. induzida no circuitoé rapidamente
consumida pela resistência elétrica do mesmo circuito, por efeito Joule, já que o circuito foi desligado de sua fonte de tensão e a
f.e.m. induzida deixa de ter sua causa.
Esse mecanismo, semelhante a uma propriedade inercial eletromagnética, é conhecido como Lei de Lenz, que abordaremos
mais à frente, como uma característica da Lei de Faraday-Lenz.
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 ATENÇÃO
O comportamento descrito pela Lei de Lenz nos fenômenos de indução eletromagnética, que chamamos de inércia
eletromagnética, nada tem a ver com o princípio da inércia da mecânica clássica, que tem origem no princípio de conservação do
momentum linear. Esse comportamento de Lenz, de equilíbrio da estrutura de fluxo de campo magnético, tem origem no
fenômeno de Faraday-Lenz, entendido como Lei Fundamental da Natureza, e no princípio de conservação de energia que o rege.
O fenômeno da indução eletromagnética não é mera curiosidade. Na verdade, é uma lei fundamental da Natureza e a utilizamos
em boa parte de nossa sociedade moderna tecnológica, gerando energia elétrica, utilizando motores elétricos, em comunicações
eletromagnéticas, circuitos eletromagnéticos etc.
Todos os sistemas elétricos condutivos e circuitos elétricos possuem propriedades indutivas. No entanto, desenvolvemos
componentes elétricos próprios com essa característica acentuada: os indutores.
INDUTORES
Indutores são componentes elétricos e eletrônicos responsáveis por acentuar o Fenômeno de Faraday. São acumuladores de
Energia Magnética, como Solenoides, Toroides e Bobinas com certo número de enrolamento, com certa área de seção e
comprimento. Todos os circuitos com enrolamentos elétricos condutivos, como motores elétricos, dínamos ou geradores,
possuem grande indutância e são, do ponto de vista dos circuitos elétricos e eletrônicos, indutores.
Em Magnetostática, aprendemos a calcular a autoindutância L e a indutância mútua M de indutores simples submetidos a fluxos
de campos magnéticos uniformes, onde as linhas de campo magnético têm a mesma direção e calculados em regime quase-
estático.
Na figura a seguir, um circuito indutivo, com sua autoindutância, induz no circuito vizinho uma indutância mútua, e, pelo fenômeno
de Faraday, uma diferença de potencial elétrica é gerada nesse segundo circuito: uma f.e.m. ― força eletromotriz; nomenclatura
histórica que significa, nesse caso, tensão elétrica indutiva. Aqui, também chamaremos de f.e.m., fontes de tensão elétrica de
origem química, como em baterias ou pilhas.
Você certamente já viu um circuito indutivo, como o da figura acima, em uma escova de dentes elétrica ou um sistema indutivo
para carregamento de telefones celulares. Na figura, repare que no circuito da esquerda, alimentado por uma fonte de tensão
alternada, o Solenoide funciona como um Eletroímã alternado , sendo a fonte do fluxo de campo magnético variável indutor no
circuito vizinho. Na verdade, circuitos como esse são bem mais comuns, sendo encontrados em geradores elétricos,
transformadores de tensão e circuitos oscilantes em geral.
 VOCÊ SABIA
O nome de força eletromotriz ― f.e.m. ― nada tem a ver com a grandeza física força, sendo a origem desse nome histórica.
Designam fontes de tensão elétrica, cujo campo elétrico tem origem em conversões de energia de outra natureza, como a
indução eletromagnética, reações químicas, decaimentos radioativos, efeito fotoelétrico, efeito piezoelétrico ou efeito
termoelétrico. Os campos elétricos envolvidos que geram as diferenças de potenciais elétricos de uma f.e.m., como
nesses exemplos citados, não são conservativos como os campos eletrostáticos, no sentido que o trabalho mecânico W
em uma trajetória fechada não resulta ser zero.
FORÇA ELETROMOTRIZ (F.E.M.)
DEMONSTRAÇÃO
Quando definimos a diferença de potencial elétrico, ∆V, para uma distribuição discreta ou contínua de cargas elétricas entre dois
pontos espaciais, a e b, estabelecemos que:
ΔV = −
b
∫
a
→
E . d
→
l
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
No entanto, também compreendemos que, como os campos eletrostáticos de quaisquer distribuições de cargas elétricas são
conservativos, a diferença de potencial elétrico em uma circulação fechada, onde a=b, será necessariamente zero. Ou seja, para
campos eletrostáticos, temos que:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Considere um circuito elétrico simples com uma bateria elétrica, como fonte de f.e.m., e uma lâmpada, como resistor. Ao
fecharmos o interruptor do circuito, uma corrente elétrica, I, circulará por todo o circuito.
A corrente elétrica, terá orientação convencionada do potencial mais alto ao potencial mais baixo, no sentido horário na figura a
seguir.
Repare que internamente à bateria, essa corrente elétrica seguirá também do potencial mais alto ao potencial mais baixo, mas no
sentido oposto à circulação no restante do circuito. Se, quisermos ser mais fiéis ao fenômeno da condução elétrica, lembrando
que o sentido das correntes elétricas dos portadores de cargas é, na verdade, oposto à convenção, seguindo dos terminais
negativos aos terminais positivos, ainda assim, a corrente elétrica no circuito terá sentido contrário à circulação interna na bateria.
Em circuitos elétricos com uma f.e.m., , fornecida por uma bateria elétrica comum como fonte elétrica, ou por geradores
elétricos, por exemplo, onde há (no circuito) circulação fechada de corrente elétrica, I, os experimentos de Faraday e Henry nos
mostraram que podemos definir a f.e.m como:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Onde o campo de força vetorial , nessa equação, é a soma de duas contribuições responsáveis pela condução elétrica e a
consequente corrente elétrica num circuito elétrico:
ΔV = − ∮
→
E . d
→
l = 0
ε
ε = ∮
→
f . d
→
l
→
f
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 é o campo eletrostático usual responsável pela condução elétrica nos filamentos condutores em um circuito elétrico, e é o
campo de força vetorial de um agente físico responsável pela fonte geradora da f.e.m., normalmente confinado ao setor de
geração elétrica do circuito, uma bateria, por exemplo, mas pode ser qualquer agente físico capaz de produzir uma f.e.m.
Portanto, podemos redefinir a f.e.m. , , ao longo do circuito elétrico fechado como:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Pois
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E assim,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Ao fecharmos o circuito elétrico, o sentido da corrente elétrica nos filamentos e demais partes do circuito elétrico é oposto ao
sentido de condução dos portadores de cargas no interior da bateria, aqui usada como fonte elétrica, como foi explicado
anteriormente.
Assim, desconsiderando a questão de resistências internas naturais dessa bateria para simplificar a argumentação, o efeito
líquido do campo de força vetorial sobre os portadores de cargas internos à bateria ideal será zero, . Ou
seja:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E a diferença de potencial elétrico entre os terminais a e b da bateria será:
→
f =
→
fs +
→
E
→
E
→
fs
ε
ε = ∮
→
f . d
→
l = ∮
→
fs . d
→
l
→
f =
→
fs +
→
E            e           ∮
→
E . d
→
l = 0
ε = ∮
→
fs . d
→
l
→
f
→
f =
→
fs +
→
E = 0
→
fs +
→
E = 0      ⟹        
→
fs = −
→
E
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Onde a última integral à direita foi generalizada para uma integral fechada, pois fora da bateria.
DESSA MANEIRA, IDENTIFICAMOS QUE A FORÇA ELETROMOTRIZ
, PARA EFEITOS PRÁTICOS EM CIRCUITOS ELÉTRICOS, TERÁ O
MESMO STATUS DOS POTENCIAIS ELETROSTÁTICOS QUANTO A
SER A CAUSA DA CONDUÇÃO ELÉTRICA, APESAR DE SUA
ORIGEM SER TOTALMENTE DIFERENTE.
 ATENÇÃO
Mesmoque seja dimensionalmente igual ao campo eletrostático, uma força por unidade de carga elétrica, claramente difere
do campo eletrostático por não ser conservativo. Ou seja, essa última integral de linha ao longo de uma trajetória fechada não é
zero. Não fosse assim, não haveria corrente elétrica em qualquer circuito elétrico fechado e alimentado por uma f.e.m.
Repare que estamos falando de um campo vetorial , causa da força eletromotriz, que difere do campo eletrostático
conservativo, e assim não invalida nossas compreensões sobre a definição do potencial eletrostático V, mas que, no entanto,
produz efeitos elétricos.
Esse campo vetorial não conservativo tem origem em outros fenômenos não elétricos, mas que conferem efeitos elétricos.
Como exemplo, temos reações químicas em baterias, indução eletromagnética, efeitos fotoelétrico, termoelétrico (em
termopares), piezoelétrico etc.
Essencialmente, a f.e.m., , tem dimensão de potencial elétrico, apesar de sua origem totalmente diversa do potencial
eletrostático, tanto teórica como fenomenologicamente. Do ponto de vista prático, a f.e.m., , será definida como a integral de um
campo de força vetorial por unidade de carga elétrica. Alguns autores chamam a f.e.m., , de trabalho por unidade de carga
elétrica. No entanto, essa interpretação não é totalmente adequada, pois, como veremos, ;pode ser uma força magnética, e o
trabalho de uma força magnética é sempre zero, como sabemos, por atuar em direção perpendicular ao deslocamento provocado
aos portadores de cargas elétricas.
Falando em termos matemáticos, o potencial eletrostático, V , é uma função escalar, pois o campo eletrostático satisfaz a lei de
Gauss do campo elétrico. O campo eletrostático é divergente, como afirma a lei de Gauss. Assim, dos
teoremas vetoriais do cálculo diferencial, o rotacional do campo eletrostático (divergente) será nulo e, portanto,
a integral de linha de em trajetória fechada será zero, como sabemos. Assim, pudemos definir matematicamente, para os
fenômenos eletrostáticos: .
ΔV = −
b
∫
a
→
E . d
→
l =
b
∫
a
→
fs . d
→
l =   ∮
→
fs . d
→
l = ε 
→
fs = 0
ε
→
fs
→
fs
→
fs
ε
ε
→
fs ε
→
fs
→
E (
→
∇.
→
E ≠ 0)
(
→
∇ ×
→
E = 0)
→
E
→
E =   −
→
∇  V
Portanto, o campo de força não é conservativo no sentido do campo eletrostático e a definição da f.e.m., , como uma
integral de linha fechada.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Não satisfaz a definição e construção matemática do potencial eletrostático, V. Logo, o campo de força não tem a mesma
origem que o campo eletrostático, apesar de ser dimensionalmente equivalente, uma força por unidade de carga elétrica.
 DICA
Para efetuar a integral acima, devido ao produto escalar no integrando, tomaremos a componente do campo de força vetorial 
na direção da trajetória de integração na qual se estabelece a f.e.m.
LEI DE FARADAY-LENZ
Até aqui, estudamos a fenomenologia da indução eletromagnética e a força eletromotriz (f.e.m.) . As aplicações da força
eletromotriz (f.e.m.) de movimento, provocada pela força magnética, estão mais à frente em Mão na Massa 1 e 2. Sugere-se,
para melhor compreensão didática que, neste momento, você pratique esses dois exercícios para, em seguida, retornar a este
ponto, a Lei de Faraday-Lenz.
VAMOS ABORDAR AGORA OS EXPERIMENTOS DE FARADAY,
ANALISAR E APLICAR A LEI DE FARADAY DA INDUÇÃO
ELETROMAGNÉTICA.
Em seus experimentos, Michael Faraday nos reportou, em 1831, três classes de fenômenos, aparentemente distintos. Vamos
descrevê-los em termos do mesmo esquema de aparato experimental, mas fazendo pequenas e importantes modificações:
→
fs
→
E ε
ε = ∮
→
fs . d
→
l
→
fs
→
fs
EXPERIMENTO 1
Um circuito resistivo foi puxado para a direita, na presença de um campo magnético uniforme, perpendicular e orientado para
dentro da tela (região hachurada), o que fez o circuito conduzir uma corrente elétrica I.
EXPERIMENTO 2
A fonte do campo magnético uniforme, perpendicular, orientado para dentro da tela (região hachurada) e que age sobre um
circuito resistivo, foi puxada para esquerda, relativamente ao circuito que permanece em repouso, o que fez o circuito conduzir
uma corrente elétrica I.
EXPERIMENTO 3
O campo magnético perpendicular, orientado para dentro da tela (região hachurada) e que age sobre um circuito resistivo, foi
alterado, fazendo-o variar em intensidade, mantidas as posições de repouso do circuito e da fonte do campo magnético, o que o
fez conduzir uma corrente elétrica I.
Nas três situações, a corrente elétrica medida experimentalmente foi a mesma. Repare que são três situações completamente
diferentes.
No primeiro experimento, temos uma força eletromotriz de movimento, é fácil entender que a causa da corrente elétrica em
condução no circuito se deve à força magnética que age sobre as cargas elétricas livres no trecho do circuito que é perpendicular
ao campo magnético e à velocidade do circuito. Uma típica f.e.m. de movimento (Ver Mão na Massa 1 e 2). Nos outros dois
trechos, as forças magnéticas no circuito se opõem e não contribuem à corrente elétrica.
No segundo experimento, contudo, o circuito permanece em repouso e nenhuma força magnética atua sobre as cargas elétricas
livres no circuito. Não se trata de um problema de f.e.m. de movimento. Então, o que faz gerar uma f.e.m. e uma corrente elétrica
em condução no circuito?
A surpreendente resposta de Faraday transformou nossa sociedade e a compreensão dos fenômenos eletromagnéticos: o
campo magnético variável induz um campo elétrico.
Na verdade, para ser mais genérico, a variação temporal do fluxo do campo magnético gera uma f.e.m.:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O fluxo do campo magnético já foi definido:
ε = − dΦm
dt
ϕm
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Onde o ângulo θ entre o vetor campo magnético e o vetor normal ao elemento de área dA foi incorporado com o produto
escalar. Repare que usamos a mesma construção de fluxo de campo elétrico.
 RESUMINDO
Essa postulação de Faraday, puramente fenomenológica, nos permitiu a compreensão do que ocorre no segundo experimento.
Ou seja, ao variar o fluxo do campo magnético, variando a área de atuação do campo sobre o circuito, uma f.e.m. é gerada no
circuito por meio de um campo elétrico induzido. A origem desse campo elétrico induzido, como já discutido, não é eletrostática.
Portanto, esse campo elétrico não é conservativo, no sentido dos campos eletrostáticos. Sua indução deve-se à variação do fluxo
de campo magnético.
É interessante pensar que entre os experimentos 1 e 2 não há somente uma mudança de movimento relativo, como seria o caso
em um problema da mecânica clássica. Ao alterar relativamente quem se move, se o circuito ou a fonte do campo magnético,
temos fortes implicações fenomenológicas. No primeiro caso, temos força magnética, enquanto no segundo temos um campo
elétrico induzido.
No terceiro experimento, temos um campo magnético variável e, assim, uma f.e.m. gerada por meio de um campo elétrico
induzido, como no segundo experimento.
Aparentemente, como pensou-se à época, tratava-se de uma coincidência. Dois fenômenos completamente diversos, produzindo
os mesmos efeitos. Mas essa “ingênua” coincidência foi o grande argumento teórico, além da medida experimental da constância
de velocidade da luz, que motivou Albert Einstein, em 1905, a propor a sua Teoria da Relatividade Especial. Por meio dessa
teoria, compreendemos hoje que não havia coincidência, os fenômenos eletromagnéticos são relativísticos.
 SAIBA MAIS
Leia mais sobre a Eletrodinâmica Relativística no livro Eletrodinâmica, de David J. Griffiths.
No primeiro experimento, a f.e.m. tem origem magnética por meio de uma força magnética, mas, nos dois outros experimentos,
tem origem elétrica, induzida de fluxos de campos magnéticos variáveis. Em ambos os casos, podemos calcular a f.e.m.gerada
pela Lei de Faraday-Lenz:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
dΦm =  
→
B . n̂ dA =  
∣
∣
∣
→
B
∣
∣
∣
dA  cos θ
Φm = ∫ dΦm = ∫
→
B . n̂ dA
n̂
ε = − dΦm
dt
O sinal da equação acima é a Lei de Lenz, cuja única função é nos orientar quanto ao comportamento inercial eletromagnético,
como já discutido. Para toda variação do fluxo de campo magnético, haverá uma f.e.m. induzida de tal modo a produzir uma
corrente elétrica com orientação que gere um fluxo contrário a essa variação. A natureza quer preservar as estruturas de fluxo de
campo magnéticos cancelando sua variação.
A Lei de Faraday-Lenz é compreendida hoje como lei fundamental da Eletrodinâmica Clássica:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O campo elétrico na Lei de Faraday-Lenz é um campo dinâmico, induzido pela variação temporal do fluxo magnético. No
entanto, se o fluxo magnético for constante, obtém-se o campo eletrostático conservativo, onde . Assim, temos dois
tipos de campos elétricos na teoria eletrodinâmica clássica: um campo eletrostático e um campo dinâmico. No entanto, ambos
satisfazem e contribuem à Força de Lorentz,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
As figuras a seguir exemplificam, novamente, o fenômeno de Faraday-Lenz, da geração de f.e.m. e de condução de correntes
elétricas por indução eletromagnética contrária à variação do fluxo de campo magnético.
Na figura seguinte, temos o problema clássico da indução de Faraday-Lenz, com corrente elétrica induzida contrária ao
crescimento do fluxo de campo magnético.
Na figura seguinte, um fenômeno muito interessante: um tubo de cobre é posicionado na vertical e, em seu interior, deixa-se cair
livremente um ímã de grande momento magnético (neodímio) que, ao cair, faz variar o fluxo de campo magnético no material
condutor do tubo. Assim, Correntes Elétricas de Foucault são induzidas em circulação no tubo, que tentam cancelar a variação
do fluxo provocado pela queda do imã. O resultado é que forças magnéticas opostas agem sobre o imã em queda e ele tem uma
aceleração de queda diminuída.
ε = ∮
→
E .  d
→
l = − dΦm
dt
→
E
∮
→
E .  
→
d l = 0
→
E
→
F = q 
→
E + q 
→
V ×
→
B
javascript:void(0)
CORRENTES ELÉTRICAS DE FOUCAULT
São correntes elétricas induzidas internamente aos materiais condutores, como consequência da Lei de Faraday e geralmente
responsáveis por aquecimento desses materiais por efeito Joule. Algumas aplicações tecnológicas ainda pouco exploradas são
os fogões de indução, fornos e forjas de indução, além de mecanismos de frenagem mecânica eletromagnética e sistemas de
reaproveitamento energético eletromagnéticos em veículos, motores e máquinas.
MÃO NA MASSA
TEORIA NA PRÁTICA
Vamos revisitar o problema do gerador comutador, comumente chamado de gerador C.C., como na figura a seguir, um
dispositivo capaz de gerar uma , constituído de um enrolamento de N espiras quadradas paralelas e justapostas, de
área A, que giram com velocidade angular ω constante, em torno de um eixo de rotação na presença de um campo magnético 
uniforme e de módulo constante. Considere que no instante inicial, t=0, as superfícies das espiras estejam alinhadas
perpendicularmente ao campo magnético, ou seja, em t=0 , o ângulo de rotação é =0. Não se preocupe em como o movimento
de rotação se iniciou. Entretanto, agora vamos obter a velocidade de rotação angular das espiras necessária para obter-se uma
f.e.m. média de 127 V. Então, considere os seguintes dados: N=500 espiras, A=(0,10 m) 2, =0,20 T. Calcule a velocidade
angular de rotação das espiras para se obter .
f. e.m. ,  ε
→
B
ϕ
∣
∣
∣
→
B
∣
∣
∣
Emédia = 127 V
RESOLUÇÃO
A variação do fluxo de campo magnético se dará pela rotação da espira. O ângulo entre o campo e o vetor normal do plano da
espira será uma função do tempo, ϕ(t)=ωt. Diferente do gerador alternador, a f.e.m. induzida tem valor sempre positivo, portanto,
calcularemos seu módulo. Devemos levar em consideração que temos N espiras. Assim, modificamos ligeiramente a expressão
da Lei de Faraday, introduzindo o fator N:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para obter a f.e.m. induzida média precisamos calcular , como o valor médio da integral da função senoidal
no intervalo de meio ciclo de rotação, T/2, quando 0 ≤ ω t ≤ π, ou seja, quando 0 ≤ t ≤ , pois a função seno é positiva na
primeira metade do ciclo.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então, como já obtido antes,
→
B  
|E |=∣∣−N ∣∣
dΦm
dt
Φm =   ∫
→
B .  n̂ dA =  
∣
∣
∣
→
B
∣
∣
∣
 A cosϕ =
∣
∣
∣
→
B
∣
∣
∣
 A cos(ωt)
|E |= N ω 
∣
∣
∣
→
B
∣
∣
∣
 A |  sen(ωt) |
( |  sen(ωt) | )média
π
ω
( |  sen(ωt) | )média =
π/ω
∫
0
sen ωtdt =   =1
π/ω
− cos (ω  )+ cos(0)π
ω
ω  π
ω
2
π
Substituindo os dados fornecidos, temos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Lembrando que . Além disso, então:
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INDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA – O GERADOR
COMUTADOR
VERIFICANDO O APRENDIZADO
MÓDULO 2
Emédia =
2 N ω 
∣
∣
∣
→
B
∣
∣
∣
 A
π
ω =   =   = 199,49 rad/s
π Emédia
2 N 
∣
∣
∣
→
B
∣
∣
∣
 A
π (127 V )
2  ( 500)(0,20 T ) (0,10 m)2
1 V = 1 = 1 T .Wb
s
m2
s
1 Rotação/s  =  2 π rad/s,
ω = 199,49 .   ≅31,75 Rot/srad
s
Rotação
2 π rad
ω = 31,75  .  60 ≅1905 Rot/min.Rot
s
s
min
 Aplicar a Corrente de Deslocamento de Maxwell, as Equações de Maxwell e as Ondas Eletromagnéticas
CORRENTE DE DESLOCAMENTO DE MAXWELL
Em Magnetostática, analisamos e aplicamos a Lei de Ampère, que relaciona o campo magnético à corrente elétrica não variável,
como sua fonte:
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Onde μ0 é a constante magnética do vácuo, chamada de permeabilidade do vácuo, mas certamente podemos adaptar a equação
a qualquer meio material. E a corrente elétrica Ic, é a resultante das correntes elétricas que atravessam a curva de Ampère C, que
serve de suporte da integração acima e onde detectaremos o campo . Ou seja, a Lei de Ampère se presta à Magnetostática.
No entanto, acabamos de analisar os fenômenos eletrodinâmicos de Faraday, nos quais verificamos que variações temporais de
fluxos de campo magnético induzem campos elétricos.
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Repare que as duas equações anteriores possuem integrais de linha ao lado esquerdo semelhantes, mas ao lado direito são
completamente diferentes. Uma se presta aos fenômenos magnetostáticos e a outra aos fenômenos eletrodinâmicos.
POR QUE A NATUREZA “ESCOLHERIA” ESSE DESEQUILÍBRIO
ENTRE OS FENÔMENOS ELÉTRICOS E MAGNÉTICOS?
Por ora, aprendemos e analisamos que existem campos elétricos estáticos, que satisfazem a Lei de Coulomb e a Lei de Gauss, e
também temos campos elétricos dinâmicos que satisfazem a Lei de Faraday-Lenz. Ainda aprendemos e analisamos os campos
magnetostáticos, que satisfazem a Lei de Ampère.
Por que não existiriam campos magnéticos dinâmicos induzidos por variações de fluxos de campos elétricos? Isso sim
demonstraria que a natureza eletromagnética é simétrica em relação aos dois fenômenos, elétricos e magnéticos.
Essas foram as indagações feitas por James C. Maxwell, quando, em 1865, apresentou seus trabalhos sobre os fenômenos
eletromagnéticos. Maxwell apresentou sua resposta puramente teórica, sem qualquer demonstração empírica, apenas baseado
na razão, na Matemática e na hipótese de que a natureza deve ser simétrica em seus fenômenos, ao menos nos fenômenos
eletromagnéticos.
∮  
c
→
B ⋅ d
→
l = μ0Ic
→
B
ε = ∮
→
E .  d
→
l = − dΦm
dt
Ainda que sua análise não seja hoje considerada totalmente correta, pois baseou-se na hipótese de existência de um meio de
propagação dos fenômenos eletromagnéticos, à época chamado de Éter , sua construção matemática e aanálise de suas
simetrias e princípios físicos representou um marco para as ciências físicas. Após os trabalhos de Maxwell, passamos a nomear a
teoria de Eletromagnetismo de Maxwell e hoje chamamos de Teoria Eletrodinâmica Clássica.
A hipótese do Éter eletromagnético passou a ser desacreditada com a experiência de Michelson e Morley que, com aparato de
interferometria óptica de grande precisão, mediu a constância de velocidade da luz em todos os referenciais.
ÉTER
A hipótese do éter propunha a existência de um meio (Éter), uma substância ou campo que preencheria o espaço, considerado
necessário como meio de transmissão para a propagação das interações eletromagnéticas. No entanto, essa hipótese foi sendo
abandonada a partir das experiências da constância da velocidade da luz, de Albert Michelson e Edward Morley (1887), e da
Teoria da relatividade Especial de Einstein (1905), que prescinde da existência do Éter.
ENTÃO, VAMOS À CORREÇÃO DA LEI DE AMPÈRE POR
MAXWELL
DEMONSTRAÇÃO
 EXEMPLO
Tomemos um circuito elétrico onde inserimos um capacitor. Se pensarmos no modelo clássico de um capacitor, como duas placas
paralelas separadas por um espaço sem condução elétrica, a questão se faz. Se há condução elétrica e, portanto, corrente
elétrica nas linhas condutoras do circuito, com campos magnéticos gerados a partir dessas conduções de correntes elétricas,
como é possível que haja continuidade da corrente elétrica no circuito se temos uma região de não condução interna ao
capacitor?
Vamos lembrar que, ao acionarmos um capacitor em um circuito, mesmo que com corrente elétrica constante, este não se
carrega instantaneamente, como já foi discutido. Cargas elétricas começam a se acumular nas paredes do capacitor e, após um
intervalo de tempo finito, ele se apesenta carregado. Assim, no interior do capacitor, um campo elétrico variável se estabelece,
crescendo em intensidade durante o processo de carga. Da mesma maneira, o campo elétrico varia durante o processo de
descarga.
Então, internamente a um capacitor, mesmo num circuito de corrente contínua, o campo elétrico interno ao capacitor varia em
intensidade, crescendo durante o processo de carga e decrescendo durante o processo de descarga.
Como a área do capacitor é definida quando de sua construção, o que contribui para sua capacitância, como já vimos, o fluxo de
campo elétrico internamente ao capacitor irá variar com a variação da intensidade do campo elétrico.
javascript:void(0)
Na figura a seguir, temos um capacitor de placas planas e paralelas, pertencente a um circuito elétrico com uma corrente elétrica
ligada, cargas se acumulando em suas paredes e um campo elétrico variável (linhas pontilhadas azuis) se estabelecendo.
Se calcularmos o fluxo de campo elétrico interno ao capacitor, por meio da Lei de Gauss, e sua variação temporal, considerando
o meio interno sendo o vácuo, por exemplo, temos:
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O último termo à direita, Ib, dimensionalmente igual à corrente elétrica, foi chamado por Maxwell de corrente de deslocamento
elétrico. Ou seja, uma corrente elétrica equivalente surge na região onde não há corrente elétrica usual devido à variação do
fluxo de campo elétrico, num fenômeno simétrico ao de Faraday.
Assim, Maxwell, postulou que a Lei de Ampère deveria ser corrigida para incluir este novo termo:
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Ou melhor,
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ΦE =  
 
∮
c
→
E . n̂ dA =
qint.
ϵ0
=    ( )=   =  IddΦEdt
d
dt
qint.
ϵ0
1
ϵ0
dqint.
dt
1
ϵ0
∮  
c
→
B ⋅ d
→
l = μ0Ic + μ0Id
  ∮  
c
→
B ⋅ d
→
l = μ0Ic + μ0ϵ0
dΦE
dt
E essa equação passou a ser chamada de Lei de Ampère-Maxwell.
Na figura anterior, repare as linhas pontilhadas circulares que representam o campo magnético gerado pela variação do fluxo de
campo elétrico. Veja que agora não há mais inconsistências entre a teoria e a fenomenologia, o campo magnético detectável nas
imediações do capacitor tem causa na corrente de deslocamento de Maxwell.
Onde os fenômenos são magnetostáticos, vale o primeiro termo, de Ampère, à direita da equação anterior. Quando os fenômenos
são dinâmicos, vale o segundo termo, de Maxwell, à direita da mesma equação. E assim, há continuidade da corrente elétrica em
um circuito com condução elétrica mesmo com a inserção de capacitores.
Na verdade, as consequências do termo de Maxwell vão muito além disso, como vamos discutir à frente, com as ondas
eletromagnéticas de Maxwell.
Em 1887, as experiências de Heinrich Hertz enfim demonstraram o que Maxwell afirmara 22 anos antes, as ondas
eletromagnéticas eram reais. O termo de Maxwell adicionado à teoria eletromagnética tinha sua necessidade comprovada
experimentalmente.
NESSE MOMENTO, SOMOS LEVADOS ÀS EQUAÇÕES DE
MAXWELL DO ELETROMAGNETISMO.
EQUAÇÕES DE MAXWELL
Do que vimos até agora, podemos elencar as leis fundamentais do eletromagnetismo, com fontes materiais (carga elétrica e
corrente elétrica), numa representação integral em apenas quatro equações que chamaremos de Equações de Maxwell:
 Escolha uma das Etapas a seguir.
A LEI DE GAUSS DA ELETROSTÁTICA
A LEI DE GAUSS DA MAGNETOSTÁTICA
A LEI DE FARADAY-LENZ
A LEI DE AMPÈRE-MAXWELL
Que somado à Força de Lorentz:
 
∮
c
→
E . n̂ dA =
qint.
ϵ0
 
∮
c
→
B . n̂ dA = 0
∮
→
E .  d
→
l = −
dΦm
dt
∮  
c
→
B ⋅ d
→
l = μ0Ic + μ0ϵ0
dΦE
dt
→
F = q 
→
E + q 
→
V ×
→
B
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
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Traduzem todas as propriedades, os fenômenos e os efeitos da Teoria Eletrodinâmica Clássica no vácuo, dentro dos limites de
escalas e energias da teoria. Certamente, dentro da matéria, devemos adaptar essas equações, mas sua estrutura e fenômenos
principais não vão se alterar.
Temos uma versão em representação diferencial das Equações de Maxwell. Vamos apresentá-la para não perder a oportunidade,
mas sua demonstração por meio de teoremas vetoriais de Gauss e Stokes não será feita aqui.
Equações de Maxwell em representação diferencial:
 Escolha uma das Etapas a seguir.
A LEI DE GAUSS DA ELETROSTÁTICA
A LEI DE GAUSS DA MAGNETOSTÁTICA
A LEI DE FARADAY-LENZ
A LEI DE AMPÈRE-MAXWELL
Onde é a densidade volumétrica de carga elétrica, e é o vetor densidade de corrente elétrica, ambos já definidos
anteriormente.
 RECOMENDAÇÃO
Pesquise os teoremas do cálculo vetorial de Gauss e Stokes para converter a representação integral das equações de
Maxwell em sua representação diferencial e apreciar a beleza dessa matemática.
Agora, vamos elencar diversas informações que as equações de Maxwell nos trazem:
Campos eletrostáticos têm origem em cargas eletrostáticas;
Campos eletrostáticos são vetoriais e divergentes;
Campos eletrostáticos satisfazem à lei de Coulomb e à lei de Gauss;
Não existem cargas puntuais magnéticas;
Campos magnetostáticos são vetoriais e rotacionais;
Variações de fluxos de campos magnéticos induzem campos elétricos dinâmicos;
Campos magnetostáticos têm origem em correntes elétricas;
→
∇ ⋅
→
E = ρ1ϵ0
→
∇ ⋅
→
B = 0
→
∇ ×
→
E = − ∂
→
B
∂t
→
∇ ×
→
B = μ0 
→
j + μ0ϵ0
∂
→
E
∂t
ρ
→
j
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
Campos magnetostáticos satisfazem à Lei de Biot-Savart e à lei de Ampère;
Variações de fluxos de campos elétricos induzem campos magnéticos dinâmicos;
Variações de campos elétricos e de campos magnéticos estão associados;
Não é possível desassociar campos dinâmicos eletromagnéticos;
Os campos eletromagnéticos propagam à velocidade da Luz.
Essas são algumas poucas conclusões que saltam aos olhos quando vemos essas equações. Poderíamos ainda citar, por
exemplo, que os campos eletromagnéticos transportam energia e momentum, que todos os fenômenos ópticos estão nelas
descritos, que podemos extrair informaçõessobre radiação eletromagnética de baixas e altas energias, que elas são a base de
toda a Química, mas tudo isso está além dos objetivos deste conteúdo. Muito mais está contido nessas quatro simples e belas
equações. Diversas áreas científicas e de engenharias nasceram a partir delas, além de grande parte de nossos avanços
científicos e tecnológicos.
ONDAS ELETROMAGNÉTICAS
Ondas eletromagnéticas são soluções previstas pelas equações de Maxwell. Todas as características das ondas mecânicas,
acrescidas de informação vetorial de polarização, se verificam. Os fenômenos luminosos e eletromagnéticos em geral são
descritos em representação ondulatória. A partir de Maxwell, essa representação eletromagnética ondulatória deixou de ser uma
abordagem conceitual de tratamento, quando comparada a uma abordagem de partículas, e passou a ser uma consequência
necessária das Equações de Maxwell.
Chamamos a variedade de ondas eletromagnéticas existentes na natureza, que diferem por comprimento de onda ou frequência,
que definiremos a seguir, de espectro eletromagnético.
 Espectro Eletromagnético
Todas as classes de ondas eletromagnéticas são descritas num continuum de frequências ou de comprimentos de onda que
formam esse espectro. Desde o infravermelho profundo até o ultravioleta profundo, passando pela estreita faixa da Luz visível, a
radiofrequência, as micro-ondas, os raios X, os raios gama, os sinais típicos de TV em UHF e VHF, até a radiação cósmica, todos
esses comprimentos de onda são eletromagnéticos.
Os mais energéticos, como os de alta frequência, são classificados como ionizantes, pois são capazes de afetar a matéria, em
particular os tecidos biológicos. Os de baixa frequência são não ionizantes, pois não afetam a matéria biológica.
Quanto maior a frequência, menor o comprimento de onda. Quanto menor o comprimento de onda, maior será a frequência.
E quanto maior a frequência, portanto de menor comprimento de onda, mais energética será a radiação eletromagnética.
Não faz muito tempo, quando desejávamos nos comunicar entre duas localidades quaisquer, digamos duas cidades A e B,
podíamos fazê-lo, majoritariamente, por carta ou por comunicação telefônica, incluindo o telegrama e o fax. No primeiro caso,
transportávamos partículas (cartas), informação, matéria e, por conseguinte, energia. No segundo caso, transportávamos
somente informação e energia, mas não transportávamos matéria, como no exemplo anterior.
A segunda alternativa nos é útil para definirmos o conceito de ondas: o transporte de energia entre dois pontos, sem
necessariamente transportar matéria, como no sentido usual e simples do termo.
Nesse sentido, podemos ter diferentes tipos de ondas: ondas sonoras ou de pressão, ondas eletromagnéticas, ondas de matéria
(que vemos no estudo de Mecânica Quântica), ondas mecânicas ou, ainda, ondas mais complexas de serem descritas e
compreendidas, tais como as chamadas ondas não lineares do tipo solitônicas.
Em geral, em qualquer tratamento ondulatório, temos algumas grandezas físicas que caracterizam uma descrição ondulatória.
Essas grandezas são conhecidas como:
Comprimento de onda
Frequência
Amplitude
Período de oscilação
Número de onda
Frequência angular
Diferença de fase
Velocidade propagação
Esses são, em geral, os ingredientes que constituem qualquer onda.
Exemplo de formação de uma onda mecânica: as Tsunamis.
Sólitons são soluções ondulatória não-lineares ou exóticas, solitárias. Representam, essencialmente, soluções ondulatórias em
pacotes.
javascript:void(0)
 Representação de uma Tsunami
 EXEMPLO
Pense na seguinte situação: quando efetuamos uma batida sobre uma mesa, provocamos uma vibração mecânica nessa mesa,
que é o meio onde essa vibração se propaga, carregando consigo energia e informação, sem transportar matéria, no sentido
usual. Dizemos, então, que uma onda mecânica foi gerada e propagada.
O número de oscilações, ou vibrações, que temos por unidade de tempo, é o que definimos como a frequência de vibração da
onda.
Na mais simples representação algébrica de uma onda, podemos associá-la com funções senoidais ou cossenoidais. Uma
representação constituída por altos e baixos que chamamos de cristas e vales. A distância entre duas cristas, ou dois vales,
sendo definida como o comprimento de onda . O número de vezes, por unidade de tempo, em que a oscilação ocorre será a
frequência de oscilação da onda. O valor máximo da oscilação, representa o que chamamos de amplitude A da onda. A
amplitude, portanto, é um valor de pico de uma onda. O tempo necessário para que ocorra uma oscilação completa, de 0 a 2
radianos, é o que definimos por período de oscilação T da onda.
Então, as grandezas físicas de uma representação ondulatória são:
 – Amplitude da onda – valor máximo da solução ondulatória;
 – Frequência – número de oscilações por unidade de tempo, com unidade SI Hertz (Hz) ou ;
 – Comprimento de onda – comprimento de uma oscilação completa de 0 a 2 radianos, com unidade SI Metro (m);
 – Período de oscilação – tempo de uma oscilação completa de 0 a 2 radianos, com unidade SI Segundos (s).
A velocidade de propagação ondulatória (em módulo), conhecida como velocidade de fase, é definida por:
λ
f
π
A
f s−1
λ π
T π
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Onde a frequência f é o inverso do período de oscilação T,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Nos fenômenos eletromagnéticos, a velocidade de propagação é a velocidade da Luz c, uma constante universal da natureza.
Assim, para qualquer onda eletromagnética, temos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, costumamos nos referir às diferentes ondas eletromagnéticas por seu comprimento de onda ou por sua frequência,
inversamente relacionados pela constância de velocidade da Luz.
 RELEMBRANDO
Então, novamente: quanto maior a frequência, menor o comprimento de onda. Quanto menor o comprimento de onda, maior será
a frequência. A velocidade da luz é constante universal da natureza, não importando qual referencial se utiliza para medi-la, ou
para qual direção a medimos, mesmo que em movimentos mecânicos relativos.
Ainda temos duas grandezas derivadas das anteriores e muito utilizadas:
 – Número de onda, com unidade SI (radianos/m)
 – Frequência angular, com unidade SI (radianos/s)
 EXEMPLO
Pense no problema unidimensional de uma corda vibrando como uma senoide. A vibração será descrita por uma função
ou
Onde é a constante de diferença de fase, chamada de constante de fase, que descreve o ângulo inicial de partida da função
quando e .
V =  λ /T = λ f
f = 1/T
c = λ f
k
k = 2π/λ
ω
ω = 2π f
y(x, t)= A sen(kx − ωt + δ)
y(x, t)= A sen( x − 2πf t + δ)2π
λ
δ
x = 0 t = 0
Por convenção, o argumento da função ondulatória estará em radianos.
Essa representação de onda escalar unidimensional descreve a evolução do fenômeno da vibração da corda num plano e, por
isso, a chamaremos de onda plana unidimensional.
As ondas se propagam de duas formas distintas, dependendo de sua natureza. Se as vibrações ondulatórias ocorrem numa
direção, digamos a direção , e a propagação se verifica na direção ortogonal (perpendicular) à vibração da onda, direção ,
diremos que é uma onda transversal. A onda vibra em uma direção e a propagação é ortogonal à direção de vibração.
 Onda Transversa Propagante
No outro caso, se a direção de propagação é a mesma em que ocorre a vibração, dizemos que a onda é longitudinal. Esse é o
caso que se verifica quando uma pessoa fala, quando ondas de pressão do ar são geradas e se propagam na mesma direção de
vibração da onda, transportando informação, o que nós conhecemos como ondas sonoras. Da mesma maneira, caixas acústicas
produzem ondas de pressão de ar longitudinais e som.
 Onda Longitudinal Propagante
As ondas eletromagnéticas são ondas transversais e podem ser representadas como soluções de onda plananos casos mais
simples. No entanto, apresentarão um ingrediente a mais, a polarização, que representa seu caráter vetorial.
 EXEMPLO
Tomemos duas soluções ondulatórias, no espaço tridimensional, uma elétrica e outra magnética. Ambas propagam na mesma
direção, , chamado de vetor de onda, uma generalização vetorial do número de onda , com a mesma frequência angular e
x y
→
k k ω
a mesma diferença de fase , mas com polarizações ortogonais, para o caso livre de matéria. Não vamos confundir com a
direção de um sistema coordenado .
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
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Onde e são os vetores unitários de polarização.
Como são soluções ondulatórias transversais, para radiação pura temos:
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Além disso, na ausência de matéria, os campos e são ortogonais,
Se tomarmos a lei de Faraday-Lenz em representação diferencial, e substituirmos as soluções ondulatórias anteriores, temos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
δ
→
k
z xyz
→
E (→r ; t)= E0 sen(
→
k . →r − ωt +  δ) p̂
→
B (→r ; t)= B0 sen(
→
k .
→
r − ωt +  δ) q̂
p̂ q̂
→
E  e 
→
B  
→
k .
→
E =  
→
k .
→
B = 0
→
E
→
B
→
E .
→
B = 0
→
∇   ×  
→
E = − ∂
→
B
∂t
→
∇   ×  
→
E (→r ; t)= −
∂
→
B (→r ;t)
∂t
→
∇   ×  [E0 sen(
→
k .
→
r − ωt +  δ) p̂]= − [B0 sen(
→
k .
→
r − ωt +  δ) q̂]∂∂t
Mas, como e ,
Assim,
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Onde é a direção de propagação. Não vamos confundir com o vetor unitário da direção de um sistema coordenado . Ou
seja, os campos e são ortogonais entre si e são ortogonais à direção de propagação. Além disso, se tivermos uma onda
elétrica, teremos induzida uma onda magnética e vice-versa, satisfazendo a relação anterior.
Se tomarmos os módulos desta última equação, encontramos a relação entre as amplitudes dos campos:
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Portanto, as amplitudes dos campos e , satisfazem .
→
k   ×  
→
E = ω
→
B
→
B = ×  
→
E
→
k
ω
k = 2π/λ ω = 2π f
c = λ f =   =  2π
∣
∣
∣
→
k
∣
∣
∣
ω
2π
ω
∣
∣
∣
→
k
∣
∣
∣
ω =
∣
∣
∣
→
k
∣
∣
∣
C
→
B = ×  
→
E        ⟹       
→
B = k̂  ×  
→
E  
→
k
∣
∣
∣
→
k
∣
∣
∣
c
1
c
k̂ k̂ z xyz
→
E
→
B
∣
∣
∣
→
B
∣
∣
∣
=  
∣
∣
∣
→
E
∣
∣
∣
           ⟹               = c       ⟹          = c 1c
∣
∣
∣
→
E
∣
∣
∣
∣
∣
∣
→
B
∣
∣
∣
E0
B0
→
E
→
B E0 = c B0
Podemos observar as ondas eletromagnéticas, com componente elétrica e magnética, em cada ponto da direção de propagação,
, como planos que se sucedem. Chamamos esses planos sucessivos de frentes de onda.
Se tomarmos as soluções de onda plana dos campos e e diferenciarmos duas vezes no espaço e no tempo, obteremos a
Equação da Onda. Vamos simplificar as soluções ondulatórias para um campo propagando na direção com polarização em
, o que satisfaz o que já analisamos:
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Vamos derivar em e em , duas vezes:
k̂
→
E
→
B
→
E x
ĵ
→
E (x; t)= E0 sen(k.x − ωt +  δ) ĵ
x t
= −ω E0 cos(kx − ωt + δ)ĵ
∂
→
E
∂t ⟹        = E0 sen(kx − ωt + δ) ȷ̂
1
ω2
∂2
→
E
∂t2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
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Ao igualarmos as duas equações à direita, temos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como já vimos que,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E assim,
= ω2E0 sen(kx − ωt + δ) ȷ̂
∂2
→
E
∂t2
= −k E0 cos(kx − ωt + δ)ĵ
∂
→
E
∂x
⟹        = E0 sen(kx − ωt + δ) ȷ̂
1
k2
∂2
→
E
∂x2
= k2E0 sen(kx − ωt + δ) ȷ̂
∂2
→
E
∂x2
=1
ω2
∂2
→
E
∂t2
1
k2
∂2
→
E
∂x2
  −      = 0∂
2
→
E
∂x2
k2
ω2
∂2
→
E
∂t2
ω =
∣
∣
∣
→
k
∣
∣
∣
c           ⟹           c =   ω∣
∣
∣
→
k
∣
∣
∣
  −      = 0∂
2
→
E
∂x2
1
c2
∂2
→
E
∂t2
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Da mesma maneira, podemos fazer para o campo :
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Essas são as equações de onda dos campos e na direção , o que nos mostra que sua velocidade de propagação é a
velocidade da Luz, .
Podemos generalizar as equações de onda para as três dimensões espaciais:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
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Onde o Operador diferencial Laplaciano em coordenadas , será:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
e
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Se quisermos demonstrar essas equações de onda diretamente das equações de Maxwell, encontraremos a importante relação:
→
B
  −      = 0∂
2
→
B
∂x2
1
c2
∂2
→
B
∂t2
→
E  
→
B x
c
→
∇
2→
E   −      = 01
c2
∂2
→
E
∂t2
→
∇
2→
B   −      = 01
c2
∂2
→
B
∂t2
xyz
∇2
→
E = + +∂
2
→
E
∂x2
∂2
→
E
∂y2
∂2
→
E
∂z2
∇2
→
B = + +∂
2
→
B
∂x2
∂2
→
B
∂y2
∂2
→
B
∂z2
c = 1
√μ0ϵ0
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As ondas eletromagnéticas possuem diversas propriedades, como a Polarização, a Difração, a Interferência, a Refração e a
Reflexão, para citar as principais, como são conhecidas as propriedades ópticas da radiação eletromagnética como a Luz.
Na verdade, a verificação dessas propriedades em qualquer fenômeno físico é a forma de classificar o fenômeno como sendo
ondulatório. Esse foi o critério usado nos primórdios da Mecânica Quântica, quando compreendemos que elétrons podem ser
descritos como ondas de matéria, pois feixes de elétrons apresentam algumas dessas propriedades, em um dos princípios mais
fundamentais da Física Quântica, a dualidade Onda-Partícula.
 SAIBA MAIS
Sobre a Energia e o Momentum Linear em Ondas Eletromagnéticas, e sobre Ondas Eletromagnéticas Estacionárias, em Física III
– Sears & Zemansky. 14. ed. São Paulo: Addison Wesley, 2015. Volume 3.
Sobre as propriedades ópticas da Luz em Física IV – Sears & Zemansky. 14. ed. São Paulo: Addison Wesley, 2015.
Pesquise também sobre o conceito de Dualidade Onda-Partícula, um dos postulados da Física Quântica.
MÃO NA MASSA
TEORIA NA PRÁTICA
Um transformador de tensão ideal é um dispositivo com dois subsistemas, um primário e outro secundário, que são circuitos
enrolamentos no entorno de um núcleo de ferro, composto por lâminas de ferro separadas por material isolante, para se evitar a
perda de energia por efeito das correntes de Foucault.
O enrolamento primário, com espiras é alimentado por uma f.e.m. variável e induz uma f.e.m. variável no sistema
secundário, com espiras. Entre os subsistemas primário e secundário, não há condução elétrica, apenas compartilham o fluxo
de campo magnético de forma ideal. Obtenha uma relação entre os subsistemas desse transformador, de forma a podermos
aumentar ou abaixar a tensão de saída no secundário.
 Transformadores de tensão
N1 E1 E2
N2
RESOLUÇÃO
Os circuitos primário e secundário, em um transformador ideal, compartilham o fluxo de campo magnético variável por número de
enrolamentos, pois será o mesmo por cada enrolamento no primário e no secundário. Da Lei de Faraday-Lenz, temos:
Mas, em cada enrolamento do primário e do secundário, , será o mesmo. Assim,
 e 
E, portanto,
Da relação entre o número de enrolamentos no secundário e no primário, o transformador aumentará ou abaixará a tensão de
saída no secundário.
VERIFICANDO O APRENDIZADO
MÓDULO 3
 Analisar os Circuitos RC, LR, LC e LRC.
Neste módulo, muito amplo, vamos analisar os elementos fundamentais e essenciais aos circuitos com comportamentos não
uniformes.
Circuitos não uniformesincluem grande variedade de combinações de componentes possíveis. Então, vamos dividir em classes
representativas de circuitos. Em todos, verificaremos uma variação da corrente elétrica em intervalos frequentes. Nosso ponto de
partida são as regras de Kirchhoff.
Antes, porém, vamos analisar associações de indutores.
ASSOCIAÇÃO DE INDUTORES
ΦB
E = −N
dΦB
dt
dΦB
dt
E1 = −N1
dΦB
dt
E2 = −N2
dΦB
dt
=                  ⟹                 =  
E1
N1
E2
N2
E2
E1
N2
N1
DEMONSTRAÇÃO
Se quisermos associar indutores em série ou em paralelo, como na figura anterior, não devemos nos esquecer da Lei de Faraday
e da definição de autoindutância:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em geral, nos circuitos com indutores, usamos a convenção de uso de sinais das correntes para o equacionamento dos circuitos
com as regras de Kirchhoff. Ou seja, indutores serão tratados como consumidores de energia.
ASSOCIAÇÃO EM SÉRIE
A f.e.m. total será a soma das tensões elétricas induzidas nos N indutores em série da figura.
Como a corrente elétrica será a mesma,
Logo,
ASSOCIAÇÃO
E = − dΦB
dt
ΦB = L I          ⟹        E = −L
d I
dt
ER =  E1 + E2 + … + EN
Leq =  L1 + L2 + … + LN
d I
dt
d I
dt
d I
dt
d I
dt
Leq = L1 + L2 + …LN = ∑
N
j=1 Lj
EM PARALELO
A corrente elétrica será a soma das correntes em cada indutor da figura.
Então,
Como as tensões serão as mesmas em paralelo,
Como o objetivo neste módulo é muito prático, vamos desenvolver as classes de circuitos como exercícios Mão na Massa, mas
antes vamos elencá-los sempre em malha única, representando cada componente como seu equivalente, lembrando que
podemos associar seus componentes de muitos modos, com diferentes objetivos.
CIRCUITO RC
Circuito com resistor e capacitor . Podemos analisá-lo em carga ou em descarga do capacitor. Os capacitores têm um tempo
crítico característico de carga e descarga, supondo uma f.e.m. de tensão contínua.
CIRCUITO RL
Circuito com resistor e indutor . Podemos analisá-lo com ou sem fonte elétrica. Os indutores têm um tempo crítico
característico para atingir a corrente máxima e mínima, supondo uma f.e.m. de tensão contínua.
IR =  I1 + I2 + … + IN
=   + + … +
d IR
dt
d I1
dt
d I2
dt
d IN
dt
=   + + … +
ER
LR
E1
L1
E2
L2
ER
LR
=   + + … + = ∑Nj=1  
1
LR
1
L1
1
L2
1
LR
1
Lj
R C
R L
CIRCUITO LC
Circuito com capacitor e indutor . Idealmente de resistência nula. São circuitos oscilantes, continuamente trocando a energia
acumulada no capacitor e no indutor. Usualmente usados para controle de frequências altas ou baixas, a depender do arranjo.
CIRCUITO RLC
Circuito com capacitor , resistor e indutor . São os clássicos circuitos oscilantes, com as três propriedades explicitadas.
Quando alimentados por fontes alternadas externas, são harmônicos. São a base da eletrônica analógica. Apresentam-se em
diversos arranjos como filtros.
CIRCUITO RLC
O protótipo RLC de uma única malha é um clássico oscilador eletromagnético com fonte externa alternada.
C L
C R L
MÃO NA MASSA
TEORIA NA PRÁTICA
Vamos analisar um circuito LRC ideal, em série, com fonte harmônica, , onde ω é a frequência angular da f.e.m.
RESOLUÇÃO
CIRCUITO RLC COM F.E.M. ALTERNADA
VERIFICANDO O APRENDIZADO
CONCLUSÃO
E = E0 cos (ωt)
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Neste Tema de Eletrodinâmica, abordamos a fundamentação, a compreensão e a aplicação das leis de indução eletromagnéticas:
a Lei de Faraday-Lenz e a Lei de Ampère-Maxwell. Verificamos que fluxos de campos elétricos e magnéticos variáveis geram
fenômenos físicos. Estudamos quais são esses fenômenos, como se processam e como são aplicados tecnologicamente.
Analisamos as Equações de Maxwell, os elementos fundamentais das ondas eletromagnéticas e os elementos da estrutura
básica dos circuitos elétricos e eletrônicos modernos.
 PODCAST
AVALIAÇÃO DO TEMA:
REFERÊNCIAS
TIPLER, P. A. Física para cientistas e engenheiros. Volume 2. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2011.
YOUNG, H. D.; FREEDMAN, R. A. Física III – Sears & Zemansky. 14. ed. São Paulo: Addison Wesley, 2015. Volume 3.
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de Física: eletromagnetismo. 10. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2018.
Volume 3.
GRIFFITHS, David J.; Eletrodinâmica. 3. ed. São Paulo: Pearson, 2019.
NUSSENZVEIG, H. M. Curso de Física básica: eletromagnetismo. 1. ed. digital. São Paulo: Blucher, 2018.
BARROS, L. M. Física teórica experimental III. 1. ed. Rio de Janeiro: SESES, 2017.
EXPLORE+
Leia sobre as Correntes de Foucault em YOUNG, H. D.; FREEDMAN, R. A. Física III – Sears & Zemansky, 2015.
Leia sobre Radiação Eletromagnética no canal da USP: Astroweb ― Radiação Eletromagnética (cap. 4) ― Profa. Dra.
Elisabbete Maria de Gouveia Dal Pino.
Leia sobre Motores Elétricos em TIPLER, P. A. Física Para Cientistas e Engenheiros. 6. ed. Volume 2. Rio de Janeiro: LTC,
2011.
Leia sobre Supercondutividade e efeito Meissner em: YOUNG, H. D.; FREEDMAN, R. FÍSICA III – Sears & Zemansky. 14. ed.
São Paulo: Addison Wesley, 2015. Volume 3.
Busque os Simuladores de Indução Eletromagnética do Projeto Phet, da Universidade do Colorado, Boulder.
Leia sobre a técnica dos diagramas fasoriais na solução dos circuitos elétricos C.A. em HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J.
Fundamentos de Física: eletromagnetismo. 10. ed. v. 13. Rio De Janeiro: LTC, 2018. Volume 3.
CONTEUDISTA
Gentil Oliveira Pires
 CURRÍCULO LATTES
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