Equações Diferenciais de Primeira Ordem

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DESCRIÇÃO
Aplicação do conceito de equações diferenciais.
PROPÓSITO
Definir as equações diferenciais e resolver as equações diferenciais de primeira ordem.
PREPARAÇÃO
Antes de iniciar o conteúdo deste tema, tenha em mãos papel, caneta, uma calculadora científica ou a calculadora de seu smartphone ou
computador.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Descrever os conceitos iniciais de uma equação diferencial
MÓDULO 2
Classificar as equações diferenciais
MÓDULO 3
Calcular equações diferenciais de primeira ordem
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MÓDULO 4
Reconhecer situações possíveis de serem modeladas por equações diferenciais de primeira ordem
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
MÓDULO 1
 Descrever os conceitos iniciais de uma equação diferencial
CONCEITOS INICIAIS DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
Alguns problemas, em diversas áreas da Ciência e da Engenharia, podem ser modelados por uma equação que envolve uma variável e suas
taxas de variação representadas por suas derivadas. Essas equações são denominadas equações diferenciais e têm uma função
matemática como solução. As equações diferenciais representam um ramo importantíssimo da Matemática e tem diversas aplicações
práticas. Neste módulo, serão apresentados os conceitos iniciais da equação diferencial.
CONCEITOS INICIAIS
A busca pela solução de um problema, no ramo da Engenharia ou da Ciência, pode ser feita por meio da modelagem de uma equação
matemática. Em outras palavras, busca-se obter a solução do problema por meio da resolução de uma equação. Você já solucionou diversas
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vezes equações algébricas que envolviam variáveis e suas funções. No entanto, grande variedade desses problemas serão modelados por
uma equação que representa o relacionamento entre a variável estudada e as suas taxas de variação.
EQUAÇÃO ALGÉBRICA VERSUS EQUAÇÃO DIFERENCIAL
AS EQUAÇÕES QUE RELACIONAM UMA VARIÁVEL E SUAS DERIVADAS SÃO DENOMINADAS
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS — EXPRESSÃO UTILIZADA DESDE 1676, QUANDO FOI CRIADA
PELO MATEMÁTICO LEIBNIZ.
A diferença entre uma equação algébrica e uma equação diferencial é que esta última envolve a(s) derivada(s) ou a(s) derivadas parciais de
determinada variável.
A VARIÁVEL PARA A QUAL SE BUSCA A SOLUÇÃO RECEBE O NOME DE VARIÁVEL
DEPENDENTE OU INCÓGNITA DA EQUAÇÃO.
As derivadas são obtidas pela taxa de variação da variável dependente em relação a uma ou mais variáveis independentes da equação.
Lembre-se de que:
Variável Independente:
Entrada da equação

Variável Dependente:
Saída da equação, isto é, a solução desejada a ser obtida
A solução de uma equação diferencial, caso exista, será uma função matemática que representa de que modo a variável estudada —
dependente — irá depender de uma ou mais variáveis independentes.
VARIÁVEL INDEPENDENTE
VOCÊ SE LEMBRA DE QUANDO ESTUDOU CINEMÁTICA NA DISCIPLINA DE FÍSICA?
Na ocasião, os problemas para os quais se desejava obter a posição de um objeto — representada pela variável s — em relação a uma
variável independente — o tempo (t). Desse modo, era preciso obter a função s(t), que seria uma função matemática que solucionaria o
modelo estudado. Em outras palavras, s(t) representa como a posição varia em função do tempo.
Relacionávamos, para isso, a posição do objeto com as suas taxas de variação com o tempo (t), que eram a velocidade (v) — primeira
derivada de s em função de t — e a aceleração (a) — segunda derivada de s em função de t. Portanto, modelávamos o problema por uma
equação diferencial.
 EXEMPLO
Poderia ser uma equação do tipo:
s(t) = m + n v(t) + p a(t)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontalLoading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js
com m, n e p sendo números reais.
No entanto,
v(t) =
ds
dt
(t) = s ′(t)
e
a(t) =
dv
dt
(t) = v ′(t) = s ′′(t)
, de forma que:
s(t) = m + n s ′(t) + p s ′′(t)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
com m, n e p sendo números reais.
Repare que a equação envolve a variável independente s e suas derivadas s’ e s’’, constituindo uma equação diferencial.
Vejamos, a seguir, um exemplo com números. Nesse caso, um problema poderia ser modelado por:
S(T) = 2 + S′(T) + 4 S′′(T)
, PARA
T ≥ 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Na equação apresentada, os coeficientes m, n e p são constantes reais. No entanto, os coeficientes de uma equação diferencial também
podem ser uma função matemática que dependa da variável independente. Por exemplo:
S(T) = E −T + 2S′(T) −
1
T + 1 S
′′(T)
, PARA
T ≥ 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vimos, até aqui, que a equação diferencial envolve a variável e suas derivadas, e apresenta os seguintes elementos:
Uma variável dependente

Uma ou mais variáveis independentes
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
E seus coeficientes
TIPOS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
Existem dois tipos de equações diferenciais — as equações diferenciais ordinárias (EDO) e as equações diferenciais parciais (EDP).
Vamos conhecê-las a seguir:
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS – EDO
As equações diferenciais podem envolver uma variável dependente que dependa apenas de uma variável independente, por exemplo
f(x) + 2f ′(x) = 4x
.
Observe que f é a variável dependente ou incógnita, x é a variável independente e os coeficientes dessa equação serão o 1, 2 e 4x. A variável
dependente é normalmente representada por um símbolo, e não por uma função. Vejamos:
y + 2y ′ = 4x
Na qual y = f(x).
Tal equação terá como solução uma função f(x) que depende apenas da variável x. Esse tipo de equação diferencial é denominado de
equação diferencial ordinária ou (EDO).
Vejamos outro exemplo de EDO já estudada em Física.
Lembre-se da Mecânica e das Leis de Newton. Você estudou que a aceleração de um objeto, de massa m, dependia da força aplicada nele.
Vamos imaginar uma força h conhecida que depende do tempo(t) aplicado a esse objeto. Com isso, teremos:
h(t) = ma(t)
como
a(t) = s ′′(t)
s ′′(t) =
1
m
h(t)
Conhecendo-se a função h(t), pode-se obter a função s(t), que representa a posição do objeto de massa m em relação ao tempo. Dessa
forma, resolve-se a equação diferencial dada, por exemplo:
s ′′ = 4cos(2t)
,
t ≥ 0
Repare que, na equação, aparece derivada de segunda ordem da variável s, constituindo uma equação diferencial. Além disso, existe apenas
uma variável independente — a variável t —, de modo que se trata de uma EDO.
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS (EDP)
Outro tipo de equação diferencial é quando a variável dependente depende de mais de uma variável independente. Nesse caso, na equação,
aparecerão derivadas parciais de diversas ordens. A solução da equação será uma função escalar que dependerá das variáveis envolvidas.
A equação, a seguir, muito utilizada no eletromagnetismo, exemplifica esse tipo de equação:
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javascript:void(0)
javascript:void(0)
∂2f
∂x2
(x, y, z) +
∂2f
∂y2
(x, y, z) +
∂2f
∂z2
(x, y, z) = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Repare que a variável f depende das variáveis x,y e z. A solução, então, será uma função f(x,y,z), que apresenta a dependência de f com as
variáveis independentes. Trata-se do tipo de equação denominada equação diferencial parcial ou EDP.
Nos próximos módulos, estudaremos apenas as equações do tipo ordinárias (EDO). Porém, é fundamental saber reconhecer se uma
equação é diferencial ou não, e de que tipo.
CLASSIFIQUE AS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS, A SEGUIR, EM ALGÉBRICA, EDP
OU EDO:
A)
3Y + Y′ − 2COS(X) = 4
B)
3Y + X2– COS(X) = 2
C)
Z − 2
∂Z
∂X +
∂2Z
∂X∂Y = X + Y
D)
D2M
DT2
= 4 + 2T −
DM
DT
RESOLUÇÃO
A equação da letra A é uma equação diferencial ordinária (EDO), pois apresenta a variável y relacionada com as suas derivadas e com a
variável x. Porisso, y é a variável dependente que depende apenas de uma variável independente x.
A equação da letra B é uma equação algébrica, pois não apresenta nenhuma derivada. Nessa equação, definimos y dependendo de x, ou x
dependendo de y. Depende de qual das duas é conhecida no problema.
A equação da letra C é uma equação diferencial, pois envolve derivadas em seus termos. Como as derivadas que aparecem são derivadas
parciais, será uma equação diferencial parcial (EDP). Nesse caso, z será a variável dependente, e x e y serão as variáveis independentes.
A equação da letra D, por fim, também é uma EDO, pois relaciona as derivadas da variável dependente m com a variável independente t.
SOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO DIFERENCIAL
COMO OBTER A SOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO DIFERENCIAL?
 RESPOSTA
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Não existe um método único para resolver todos os tipos de equações diferenciais. Há, no entanto, alguns métodos de grande abrangência,
isto é, que resolvem grande número de equações (veremos esses métodos em módulos posteriores).
LEMBRE-SE DE QUE A SOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO DIFERENCIAL, SE EXISTIR, SERÁ UMA
FUNÇÃO QUE ATENDE A EQUAÇÃO APRESENTADA.
A solução será uma ou mais famílias de funções. A família de funções que atende a equação diferencial é denominada solução geral da
equação diferencial. Para determinar uma função específica, isto é, uma solução particular, são necessárias algumas informações
adicionais, que denominaremos condições iniciais ou condições de contorno. A descoberta de uma solução particular, às vezes, é
denominada problema de valor inicial.
 EXEMPLO
Seja a equação
s ′′ = s ′ + 2 sen(2t) − 4cos(2t)
Para essa equação, uma possível solução seria s(t) = cos (2t). Ainda iremos aprender a determinar a solução dessa equação, mas já
podemos verificar se a função s(t) apresentada é ou não solução da equação diferencial.
Como sabemos, a solução será a função que satisfará a equação dada, de modo que:
Se, então
s(t) = cos(2t)
, então
s ′(t) = − 2sen(2t)
e
s ′′(t) = − 4 cos(2t)
Substituindo, verifica-se que
s ′′ = s ′ + 2 sen(2t) − 4cos(2t)
, satisfazendo a EDO apresentada. Dessa maneira, s(t) = cos (2t) é solução da equação diferencial.
REPARE QUE NÃO APENAS COS (2T) SERÁ SOLUÇÃO, MAS TODA FAMÍLIA DE FUNÇÃO DO
TIPO
S(T) = COS(2T) + K
, COM K REAL. OBTENHA A PRIMEIRA E SEGUNDA DERIVADAS E VEJA QUE A FAMÍLIA DE
FUNÇÕES SATISFAZ A EQUAÇÃO. ESSA FAMÍLIA DE FUNÇÕES SERÁ DENOMINADA
SOLUÇÃO GERAL DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL.
Para um valor de k, por exemplo k = 3, tendo-se s(t) = cos (2t) + 3, temos uma solução particular. A própria função s(t) = cos (2t) é uma outra
solução particular. Vamos testar, agora, se a função
s(t) = t2 + 2
é ou não solução da equação diferencial dada. Se
s(t) = t2 + 2
, então
s ′(t) = 2t
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e
s ′′(t) = 2
. Assim, não satisfaz a equação, já que:
S′′ ≠ S′ + 2 SEN(2T) − 4COS(2T)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Logo, não é a solução da equação dada.
VERIFIQUE SE A FUNÇÃO
Y = COSX(SENX − K)
, COM K REAL, É UMA SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL
Y′ + TG(X)Y − COS2X = 0
.
RESOLUÇÃO
Usando as regras de derivação, temos: se
y = cosx(senx − k)
, então:
Y′ = ( − SENX)(SENX − K) + COSX(COSX) = − SEN2X + KSENX + COS2X
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo, temos:
Y′ + TG(X)Y − COS2X = − SEN2X + KSENX + COS2X + TGX COSX(SENX − K) − COS2X =
= − SEN2X + KSENX + COS2X + SENX (SENX − K) − COS2X =
= − SEN2X + KSENX + COS2X + SEN2X − KSENX − COS2X = 0Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Comprovando que
y = cosx(senx − k)
é solução geral para equação diferencial dada.
DETERMINE A SOLUÇÃO PARTICULAR QUE ATENDE A EQUAÇÃO DIFERENCIAL
Y′ + TG(X)Y − COS2X = 0
E A CONDIÇÃO INICIAL DE
Y = – 1
PARA
X = 0
.
RESOLUÇÃO
No exemplo anterior, vimos que a solução geral da equação será
y = cosx(senx − k)
, com k real. Quando
x = 0 → y = cos0(sen0 − k) = 1(0 − k) = − k
.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Porém, para x = 0 temos y = – 1, portanto – 1 = – k, de modo que k = 1.
Assim, a solução particular será
y = cosx(senx − 1)
.
VERIFIQUE SE A FUNÇÃO ESCALAR
U(X, T) = E − 4TCOS(2X)
É UMA SOLUÇÃO PARTICULAR DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL
∂2U
∂X2
−
∂U
∂T = 0
.
RESOLUÇÃO
Precisamos testar se a função u(x,t) dada satisfaz a equação. Repare que, agora, temos uma EDP.
Precisamos lembrar de como fazer derivadas parciais. Derivamos em função da variável mantendo todas as demais como constantes.
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SE
U(X, T) = E − 4TCOS (2X) →
∂U
∂T = ( − 4)E
− 4TCOS (2X)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Agora, obteremos a derivada parcial de segunda ordem
∂2u
∂x2
SE
U(X, T) = E − 4TCOS (2X) →
∂U
∂X = ( − 2)E
− 4TSEN (2X)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
SE
∂U
∂X = ( − 2)E
− 4TSEN (2X) →
∂2U
∂X2
= ( − 2)(2)E − 4TCOS (2X) = ( − 4)E − 4TCOS (2X)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo, temos:
SE
∂2U
∂X2
−
∂U
∂T = ( − 4)E
− 4TCOS (2X) − ( − 4)E − 4TCOS (2X) = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, satisfaz a equação, provando que
(x, t) = e − 4tcos(2x)
é uma solução da equação diferencial.
TEORIA NA PRÁTICA
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Seja um objeto de massa m, medida em kg, presa na extremidade de uma mola com constante elástica k, medida em N/m. Considere que o
ponto de equilíbrio da mola se encontre na origem, isto é, x = 0.
Quando comprimimos ou esticamos a mola de x, medido em metros, o objeto ficará sujeito a uma força elástica dada por
→
F = − kx.
Pela Lei de Newton, essa força será igual à massa do objeto vezes a aceleração. Com isso, teremos:
SE
→
F = M→A = M
D2X
DT2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
m
d2x
dt2
= − kx
Verifique se a função
x(t) = sen √80 t + C
, C real, é solução da equação diferencial que representa o movimento de um objeto de 5kg preso em uma mola de constante elástica 400
N/m.
Determine a solução particular sabendo que para t = 0 a posição do objeto vale x = 0.
RESOLUÇÃO
SOLUÇÃO DE EQUAÇÃO DIFERENCIAL
MÃO NA MASSA
1. MARQUE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA UMA EQUAÇÃO QUE NÃO É UMA EQUAÇÃO DIFERENCIAL:
A)
dy
dx
=
4
x
(3 − y)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
( )
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B)
∂2v
∂x2
+
∂2v
∂y2
= cos(x + y)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C)
s ′′ + cos(x)s ′ = 4x
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D)
u + lnv = (u + v)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E)
d2x
dt2
= − 2x
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. MARQUE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA UMA EDP:
A)
4
dx
dt
= 3t − 2x
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B)
∂2y
∂x2
+
∂y
∂z
− ysen(x + y + z) = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C)
m ′′ + ln(n)m = 4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D)
x + y + z = sen(x + y + z)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E)
cos(v) =
2u
v − 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
3. SEJA A EQUAÇÃO DIFERENCIAL
U
DV
DU − 3V = U
2
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. MARQUE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA UMA SENTENÇA ERRADA EM RELAÇÃO A ESSA EQUAÇÃO
A) Trata-se de umaequação diferencial ordinária.
B) A variável independente é a variável u.
C) A variável dependente é a variável v.
D) A família de funções
v(u) = k u3 − u2
, com k real, é uma solução geral dessa equação.
E) A função
v(u) = u2
é uma solução particular dessa equação.
4. SABENDO QUE UMA DAS SOLUÇÕES GERAIS DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL
S′ − S + U = 0
É A FUNÇÃO
S(U) = 1 − KEU + U
, COM K REAL, DETERMINE A SOLUÇÃO PARTICULAR DESSA FAMÍLIA DE SOLUÇÃO QUE ATENDA A
CONDIÇÃO INICIAL S(0) = 2.
A)
s(u) = 2u + 1
B)
s(u) = 1 + eu + u
C)
s(u) = 1 − eu + u
D)
s(u) = eu + u
E)
s(u) = 1 + 3eu + u
5. MARQUE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA UMA SOLUÇÃO GERAL PARA A EQUAÇÃO DIFERENCIAL
Y − 2X + XY′ = 0
:
A)
y = cos(2x) + 3k
, com k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontalLoading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js
B)
y = 3k ln(x)
, com k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C)
y = x −
k
x
, com k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D)
y =
k
2x
, com k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E)
y = kx +
1
x
, com k
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
6. SABE-SE QUE A FAMÍLIA DE FUNÇÕES
V(X, Y) = M LN X2 + Y2 + N
, M E N REAIS
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
É UMA SOLUÇÃO GERAL PARA EQUAÇÃO DIFERENCIAL
∂2V
∂X2
+
∂2V
∂Y2
= 0
. SABENDO QUE V = 1, PARA QUANDO
X2 + Y2 = 1
, E QUE V = 4, PARA QUANDO
X2 + Y2 = E
, DETERMINE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA UMA SOLUÇÃO PARTICULAR DESSA SOLUÇÃO GERAL
QUE ATENDA AS CONDIÇÕES DE CONTORNO DADAS.
A)
v(x, y) = 2 ln x2 + y2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
( )
( )
Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js
B)
v(x, y) = 2 exp x2 + y2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C)
v(x, y) = 3 ln x2 + y2 + 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D)
v(x, y) = ln x2 + y2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E)
v(x, y) = 2 ln x2 + y2 − 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
GABARITO
1. Marque a alternativa que apresenta uma equação que não é uma equação diferencial:
A alternativa "D " está correta.
Como já vimos, uma equação diferencial é aquela que envolve as derivadas da variável analisada. Na equação da letra A, verifica-se que a
variável dependente é y e a variável independente é x. Na equação, aparece a derivada de primeira ordem de y em relação a x, sendo, então,
uma EDO.
Na equação da letra B, verifica-se que a variável dependente é v, e as variáveis independentes são x e y. Na equação, aparecem as
derivadas parciais de segunda ordem de v, sendo, portanto, uma EDP.
Na equação da letra C, verifica-se que a variável dependente é s e a variável independente é x. Na equação, aparece a derivada de primeira
e segunda ordem de s em relação a x, sendo, assim, uma EDO.
Na equação da letra D, não aparece nenhuma derivada, de modo que se trata de uma equação algébrica que envolve as variáveis u e v.
Sendo assim, a resposta da questão.
Na equação da letra E, verifica-se que a variável dependente é x e a variável independente é t. Na equação, aparece a derivada de segunda
ordem, de x em relação a t, sendo, portanto, uma EDO.
2. Marque a alternativa que apresenta uma EDP:
A alternativa "B " está correta.
Como já estudamos, uma equação diferencial é aquela que envolve as derivadas da variável analisada. EDP é a equação diferencial na qual
a variável dependente depende de mais de uma variável independente.
Repara que apenas a equação da letra B apresenta uma variável y que depende de duas variáveis x e z. Como aparecem, nessa equação,
as derivadas parciais, trata-se de uma equação diferencial parcial, sendo a resposta da questão.
As equações da letra A e da letra C são EDOs.
As equações da letra D e letra E são equações algébricas. Atenção, apesar da equação da letra D apresentar uma variável que depende de
outras duas, ela não tem nenhuma derivada entre seus termos, não sendo uma equação diferencial.
3. Seja a equação diferencial
u
dv
du − 3v = u
2
( )
( )
( )
( )
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. Marque a alternativa que apresenta uma sentença ERRADA em relação a essa equação
A alternativa "E " está correta.
Veja a solução no vídeo abaixo:
4. Sabendo que uma das soluções gerais da equação diferencial
s′ − s + u = 0
é a função
s(u) = 1 − keu + u
, com k real, determine a solução particular dessa família de solução que atenda a condição inicial s(0) = 2.
A alternativa "B " está correta.
Inicialmente, como exercício, você pode testar e confirmar que a solução geral satisfaz a equação diferencial dada. Vejamos:
Se
s(u) = 1 − keu + u → s ′ = − keu + 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Desse modo:
s ′ − s + u = − keu + 1 − 1 − keu + u + u = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para que a solução particular seja parte da família da solução geral, ela deve ser obtida por meio de um valor da constante k.
Observe que as equações das letras A e E não podem ser obtidas da solução geral
s(u) = 1 − keu + u
. Isto é, para nenhum valor de k é possível partir da equação geral e obter essas equações.
Agora, vamos analisar qual a solução particular da família
s(u) = 1 − keu + u
em que se tem s = 2 quando u = 0.
s(u) = 1 − keu + u → s(0) = 1 − ke0 + 0 = 1 − k = 2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Desse modo,
k = 1– 2 = – 1
Logo, a solução particular será
s(u) = 1 − ( − 1)eu + u = 1 + eu + u
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Que está na letra B.
( )
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5. Marque a alternativa que apresenta uma solução geral para a equação diferencial
y − 2x + xy′ = 0
:
A alternativa "C " está correta.
É preciso testar todas as alternativas e verificar se satisfazem ou não a equação apresentada no enunciado. Usando as regras de derivação,
temos:
LETRA A
Se
y = cos(2x) + 3k → y ′ = − 2sen(2x)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
y − 2x + xy ′ = cos(2x) + 3k − 2x + x( − 2sen(2x)) ≠ 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Não é a solução
LETRA B
Se
y = 3kln(x) → y ′ =
3k
x
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
y − 2x + xy ′ = 3kln(x) − 2x + x
3k
x
≠ 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Não é a solução
LETRA C
Se
y = x −
k
x
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então
y ′ = 1 − k( − 1)
1
x2
= 1 +
k
x2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
y − 2x + xy ′ = x −
k
x
− 2x + x 1 +
k
x2
= x −
k
x
− 2x + x +
k
x
= 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
( )
Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js
Desse modo,
y = x −
k
x
é uma solução geral da equação dada, sendo a resposta da questão.
LETRA D
Se
y =
k
2x
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então
y ′ = k( − 1)
1
2x2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
y − 2x + xy ′ = 
k
2x
− 2x + x
−k
2x2
=
k
2x
− 2x −
k
2x
= − 2x ≠ 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Não é a solução
LETRA E
Se
y = kx +
1
x
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então
y ′ = k −
1
x2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilizea rolagem horizontal
Assim,
y − 2x + xy ′ = kx +
k
x
− 2x + x k −
k
x2
= kx +
k
x
− 2x + kx −
k
x
≠ 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Não é a solução
6. Sabe-se que a família de funções
v(x, y) = m ln x2 + y2 + n
, m e n reais
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
é uma solução geral para equação diferencial
∂2v
∂x2
+
∂2v
∂y2
= 0
( )
( )
( )
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. Sabendo que v = 1, para quando
x2 + y2 = 1
, e que v = 4, para quando
x2 + y2 = e
, determine a alternativa que apresenta uma solução particular dessa solução geral que atenda as condições de contorno dadas.
A alternativa "C " está correta.
Inicialmente, como exercício, podemos testar e confirmar que a solução geral satisfaz a equação diferencial dada. Para que a solução
particular seja parte da família da solução geral, ela deve ser obtida por um valor da constante k. Com isso, eliminamos a alternativa B.
Precisamos testar se a função v(x,y) dada satisfaz a equação. Agora, vamos analisar qual a solução particular da família
v(x, y) = m ln x2 + y2 + n
em que se tem v = 1 para quando
x2 + y2 = 1
e v = 4 para quando
x2 + y2 = e
v(x, y) = m ln x2 + y2 + n
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Quando
x2 + y2 = 1 → v = m ln(1) + n = m.0 + n = n = 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto
n = 1e v(x, y) = m ln x2 + y2 + 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Quando
x2 + y2 = e → v = m ln(e) + 1 = m.1 + 1 = m + 1 = 4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, m=3
Logo, a resposta está na letra C, com
v(x, y) = 3 ln x2 + y2 + 1
.
GABARITO
VERIFICANDO O APRENDIZADO
( )
( )
( )
( )
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1. MARQUE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA UMA EQUAÇÃO QUE NÃO É UMA EQUAÇÃO DIFERENCIAL:
A)
y
dx
dy
= 3x − y
B)
s ′′ + 2s = 3u − 2
C)
∂v
∂t
= 3t + 1 + 2s
D)
3x + y = 2z − 1
E)
∂2x
∂u2
− 2v
∂2x
∂v2
= u
2. MARQUE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA UMA SOLUÇÃO PARA EQUAÇÃO DIFERENCIAL
Y′′ − 2Y′ + Y = 0
.
A)
y = xex
B)
y = 2cos(x)
C)
y = xe −x
D)
y = sen(x)
E)
y = e −x
GABARITO
1. Marque a alternativa que apresenta uma equação que NÃO é uma equação diferencial:
A alternativa "D " está correta.
Uma equação diferencial é aquela que envolve as derivadas da variável analisada.
Na equação da letra A, verifica-se que a variável dependente é x e a variável independente é y. Na equação, aparece a derivada de primeira
ordem de x em relação a y, sendo, então, uma EDO.
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Na equação da letra B, verifica-se que a variável dependente é s e a variável independente é u. Na equação, aparece a derivada de segunda
ordem de s em relação a u, sendo também uma EDO.
Na equação da letra C, verifica-se que a variável dependente é v e as variáveis independentes são t e s. Na equação, aparece a derivada
parcial de v em relação a t, sendo, assim, uma EDP.
A equação da letra D não apresenta nenhuma derivada, de modo que a resposta da questão é uma equação algébrica.
Na equação da letra E, por fim, verifica-se que a variável dependente é x e as variáveis independentes são u e v. A equação apresenta
derivadas parciais de x em relação a u e v, sendo uma EDP. Portanto, a resposta correta é a letra D.
2. Marque a alternativa que apresenta uma solução para equação diferencial
y′′ − 2y′ + y = 0
.
A alternativa "A " está correta.
Para verificar qual a função é solução da equação, necessitamos verificar se a função satisfaz a equação.
LETRA A
Se
y = xex → y ′ = ex + xex → y ′′ = ex + ex + xex = 2ex + xex
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo, temos:
y ′′ − 2y ′ + y = 2ex + xex − 2 ex + xex + xex = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Trata-se, dessa forma, da solução da equação e a resposta da questão.
LETRA B
Se
y = 2cos(x) → y ′ = − 2 sen(x) → y ′′ = − 2cos(x)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo, temos:
y ′′ − 2y ′ + y = − 2 cos(x) − 2( − 2 sen(x)) + 2cos(x) = − 4 sen(x) ≠ 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Não é a solução da equação.
LETRA C
Se
y = xe −x → y ′ = e −x − xe −x → y ′′ = − e −x − e −x + xe −x = − 2e −x + xe −x
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo, temos:
y ′′ − 2y ′ + y = − 2e −x + xe −x − 2 e −x − xex + xe −x ≠ 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Não é a solução da equação.
( )
( )
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LETRA D
Se
y = sen (x) → y ′ = cos(x) → y ′′ = − sen(x)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo, temos:
y ′′ − 2y ′ + y = − sen(x) − 2cos(x) + sen(x) = − 2 cos(x) ≠ 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Não é a solução da equação.
LETRA E
Se
y = e −x → y ′ = −e −x → y ′′ = e −x
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo, temos:
y ′′ − 2y ′ + y = e −x − 2( − e −x) + e −x = 4e −x
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Não é a solução da equação.
MÓDULO 2
 Classificar as equações diferenciais
CLASSIFICAÇÃO DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
TIPOS DE CLASSIFICAÇÃO DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
No módulo anterior, vimos os conceitos iniciais da equação diferencial, e conhecemos as equações diferenciais ordinária e parcial. Neste
módulo, veremos que as equações diferenciais podem ser classificadas de diversas formas, e conheceremos algumas delas, principalmente a
classificação quanto à ordem e ao grau.
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VOCÊ JÁ SABE DISTINGUIR UMA EQUAÇÃO DIFERENCIAL ORDINÁRIA DE UMA EQUAÇÃO
DIFERENCIAL PARCIAL, CERTO?
Equação ordinária
A incógnita depende apenas de uma variável independente, e aparecem, na equação, as derivadas dessa incógnita em relação à variável
independente, em suas diversas ordens.

Equação parcial
A incógnita a ser descoberta depende de duas ou mais variáveis independentes e, na equação, aparecem derivadas parciais dessa incógnita
em relação às variáveis independentes.
 ATENÇÃO
Lembre-se de que a solução da EDO — caso exista — é uma função real, e solução da EDP — caso exista — é uma função escalar.
As equações diferenciais podem ser classificadas de diversas formas. A seguir, veremos a classificação da equação diferencial quanto à
ordem, ao grau e à linearidade.
ORDEM DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL
As derivadas ou derivadas parciais que aparecem na equação diferencial podem ser de diversas ordens:
DERIVAÇÃO DE ORDEM SUPERIOR
A derivada de uma função também é uma função. Dessa forma, a função derivada também pode possuir uma derivada. Nesse sentido, a
derivação de uma função derivada é denominada derivação de ordem superior. A ordem de uma derivada corresponde ao número de vezes
que derivamos a função.
Suponha a função
y = x6 + 5
A primeira derivada de y, ou derivada de primeira ordem, será
y ′ =
dy
dx
= 6x5.
A segunda derivada de y, ou derivada de segunda ordem, será a derivada da primeira derivada, de modo que:
y ′′ =
dy ′
dx
=
d2y
dx2
= 30x4
, e assim sucessivamente.
A derivada de ordem n, portanto, será a derivada da derivada de ordem n – 1 da função. Representamos a derivada de ordem superior n – n
inteiro positivo – por f(n)(x) ou D(n)f(x).
Utilizando a notação de Leibniz, representaremos a derivada de ordem n por:
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DNY
DXN
=
D
D
DN− 1Y
DXN− 1
=
D
DX
D
DX
DN− 2Y
DXN− 2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagemhorizontal
As derivadas parciais de ordem superior seguem raciocínio semelhante.
DERIVAÇÃO PARCIAL DE ORDEM SUPERIOR
A derivada parcial de uma função escalar também é uma função escalar. Por serem funções escalares, também podemos determinar as suas
derivadas parciais em relação às variáveis independentes.
A derivada parcial de uma função que já é derivada parcial de uma função é denominada derivada parcial de segunda ordem. Se
repetirmos o processo, teremos as derivadas parciais de terceira, quarta, quinta, até a enésima ordem. Essas derivadas parciais são
conhecidas como derivadas parciais de ordem superior.
Por exemplo, seja
f(x, y) = 8x2y3
, então:
FX(X, Y) = 16XY
3
E
FY(X, Y) = 24X2Y2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos, agora, determinar as derivadas parciais de segunda ordem, isto é, a derivada parcial da função escalar
fx(x, y) = 16xy
3
FX(X, Y) = 16XY
3 →
∂FX
∂X = 16Y
3
FX(X, Y) = 16XY3 →
∂FX
∂Y = 48XY
2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
( ) ( ( ))
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Relembre a notação:
∂FX
∂X =
∂
∂X
∂F
∂X =
∂2F
∂X2
= 16Y3
OU
FX X = FXX = 16Y
3
∂FX
∂Y =
∂
∂Y
∂F
∂X =
∂2F
∂Y∂X = 48XY
2
OU
FX Y = FXY = 48XY
2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
As funções
fx(x, y)
e
fy(x, y)
são denominadas derivadas parciais de primeira ordem da função
f(x, y)
. Já as funções
fxx(x, y)
,
fxy(x, y)
,
fyx(x, y)
e
fyy(x, y)
são as derivadas de segunda ordem da função f(x,y). Podemos repetir esse processo sucessivamente.
( )
( )
( )
( )
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 SAIBA MAIS
A ordem de uma equação diferencial será a ordem da mais alta derivada ou da derivada parcial da função incógnita que aparece na equação.
Para entender o conceito na prática, vamos estudar os seguintes exemplos:
DETERMINE A ORDEM DAS SEGUINTES EQUAÇÕES DIFERENCIAIS:
A)
S′ − 2S + 5X4 = COSX
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B)
Z2 −
D3Y
DZ − 4 =
D2Y
DZ2
− LN(Z)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C)
∂3M
∂Z3
− XYZ = 2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D)
UVW −
∂U
∂V =
∂2U
∂V∂W
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
RESOLUÇÃO
a)
s ′ − 2s + 5x4 = cosx
Temos, aqui, uma equação diferencial ordinária na qual a função incógnita s — ou variável dependente — está relacionada apenas com uma
variável dependente x. Analisando a equação, observa-se que a derivada de mais alta ordem é a primeira derivada, de forma que a ordem
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dessa EDO é 1.
b)
z2 −
d3y
dz
− 4 =
d2y
dz2
− ln(z)
Nesse caso, temos uma equação diferencial ordinária na qual a função incógnita y está relacionada apenas com uma variável dependente z.
A equação apresenta mais de uma derivada, mas a derivada de mais alta ordem é a terceira derivada de y em função de z. Com isso, a
ordem dessa EDO é 3.
c)
∂3m
∂z3
− xyz = 2
Aqui temos uma equação diferencial parcial, na qual a variável dependente m depende das variáveis x,y e z. Observe que a equação e a
derivada parcial de mais alta ordem é uma derivada parcial de terceira ordem. Desse modo, essa EDP apresenta ordem 3
d)
uvw − 6
∂u
∂v
= 3
∂2u
∂v∂w
A equação da letra D é novamente uma equação diferencial parcial em que a variável u depende das variáveis v e w. Nessa equação, temos
uma derivada parcial de primeira ordem e uma derivada parcial de ordem 2. Desse modo, a EDP terá ordem 2.
FORMA PADRÃO
Toda vez que o coeficiente que multiplica a derivada de mais alta ordem da equação diferencial for um, dizemos que a equação diferencial
está na sua forma padrão.
No exemplo anterior, as equações diferenciais da letra A e da letra C estão na forma padrão. Já as equações da letra B e D não estão, mas
podem ser colocadas. Vejamos:
z2 −
d3y
dz
− 4 =
d2y
dz2
− ln(z) → −z2 +
d3y
dz
+ 4 = −
d2y
dz2
+ ln(z)
, multiplicando-se todos os coeficientes por ( – 1).
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
uvw − 6
∂u
∂v
= 3
∂2u
∂v∂w
→
1
3
uvw − 2
∂u
∂v
=
∂2u
∂v∂w
, dividindo-se todos os coeficientes por 3.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
AS EDOS SEMPRE PODEM SER COLOCADAS NA SUA FORMA PADRÃO.
GRAU DE UMA EQUAÇÃO DIFERENCIAL
Uma equação diferencial também é classificada quanto ao seu grau. Nesse caso, o grau será o expoente da derivada mais alta que existe na
equação diferencial.
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 ATENÇÃO
É preciso observar a derivada de mais alta ordem para definir a ordem da equação diferencial. Para isso, basta analisar essa derivada e ver o
expoente a que ela está submetida. Dessa forma, iremos definir seu grau.
Se olharmos o exemplo anterior, veremos que todas as equações diferenciais apresentadas têm grau 1, já que as derivadas de maior ordem
estão sempre elevadas ao expoente um. Para entender melhor, vamos estudar alguns exemplos.
DETERMINE A ORDEM E O GRAU DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS APRESENTADAS
A)
Y′ − 3X Y′′ 3 − X4 = 3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B)
DS
DU
3
−
D3S
DU3
2
= S5
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C)
∂3Z
∂U∂V∂W
2
+
∂2Z
∂W2
= 3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
RESOLUÇÃO
a)
y ′ − 3x y ′′
3
− x4 = 3
A equação diferencial apresentada é uma equação diferencial ordinária na qual a função incógnita y depende da variável dependente x.
Analisando a equação, observa-se que a derivada de mais alta ordem é a de segunda derivada, de modo que a ordem dessa EDO é 2. A
derivada está elevada ao expoente três, portanto, o grau dessa EDO vale 3.
( )
( ) ( )
( )
( )
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b)
ds
du
3
−
d3s
du3
2
= s5
Nesse caso, também temos uma equação diferencial ordinária, cuja variável dependente s depende da variável u. Observe que derivada de
mais alta ordem é uma derivada de terceira ordem e está elevada ao expoente 2. Com isso, essa EDO é de ordem 3 e grau 2.
c)
∂3z
∂u∂v∂w
2
+
∂2z
∂w2
= 3
Por fim, temos uma equação diferencial parcial, com a incógnita z dependendo das variáveis independentes u,v e w. A derivada de maior grau
é a derivada de ordem 3. Como o termo está elevado ao expoente 2, a EDP tem ordem 3 e grau 2.
LINEARIDADE DA EQUAÇÃO DIFERENCIALO
Outra classificação para as equações diferenciais diz respeito à sua linearidade, isto é, se a equação diferencial é linear ou não linear.
A equação diferencial linear ocorre nos seguintes casos:
A variável dependente e suas derivadas só podem aparecer na forma simples, isto é, elevadas ao expoente um.

Os coeficientes da equação diferencial, isto é, os termos que multiplicam a incógnita ou suas derivadas, só podem depender da(s) variável(is)
independente(s) ou serem números reais.
Já a equação diferencial não linear ocorre nas seguintes situações:
A variável dependente e suas derivadas aparecerem elevadas a um expoente numérico diferente de 1.

Se aparecer algum produto entre a variável dependente e suas derivadas, ou das derivadas das incógnitas entre si.

Se aparecer, como coeficiente, uma função da variável dependente ou de suas derivadas.
É importante enfatizar que as variáveis independentes, nas equações diferenciais lineares, podem aparecer como funções ou com expoentes
diferentes da unidade.
 ATENÇÃO
Como a incógnita e suas derivadas estão sempre elevadas ao expoente 1, toda equação diferencial linear, obrigatoriamente, apresentará um
grau 1.
Vamos estudar os exemplos a seguir para compreender melhor.
DETERMINE SE AS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS A SEGUIR SÃO OU NÃO LINEARES.
( ) ( )
( )
Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.jsA)
Y′ − 3X Y′′ 3 − X4 = 3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B)
SEN(X)Y − 3Y′ + 4X2 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C)
∂3M
∂Z3
− XYZ = 2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D)
YY′ − LNU = Y′′
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
RESOLUÇÃO
a)
y ′ − 3x y ′′
3
− x4 = 3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A equação diferencial é uma EDO. Apesar de os coeficientes dependerem apenas da variável independente x ou serem número, na equação,
tem-se uma derivada da incógnita y com expoente 3. Desse modo, a equação é não linear.
b)
sen(u)v − 3v ′ + 4u2 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A equação diferencial é uma EDO. Os coeficientes dependem apenas da variável independente u ou são números. O expoente da incógnita v
e de suas derivadas vale 1, de forma que a equação diferencial é linear.
( )
( )
Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js
c)
8z 
∂3m
∂z3
− xyz = 2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A equação diferencial é uma EDP. Os coeficientes dependem apenas das variáveis independentes x,y e z. O expoente da derivada parcial da
variável m, que existe na equação, é a unidade. Com isso, a EDP é linear.
d)
yy ′ − lnu = y′′
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A equação diferencial é uma EDO. Apesar da incógnita y e de suas derivadas estarem elevadas ao expoente 1, existe um produto entre y e a
derivada de y. Logo, a equação é não linear.
EXPRESSÃO DAS EDO LINEARES
As equações diferenciais ordinárias lineares de ordem n podem e sempre serão expressas da forma
FN(U)S (N ) + FN− 1(U)S (N− 1 ) + FN− 2(U)S (N− 2 ) + … + F1(U)S′ + FO(U)S = G(U)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Nesse caso, a função incógnita s depende da variável independente
u
e
fj(u)
, com 0 ≤ j ≤ n, são os coeficientes da equação. Se for impossível transformar uma EDO na forma apresentada, ela não será uma equação
diferencial linear. Isso também é verdade para as equações diferenciais parciais.
ELAS SERÃO LINEARES SE FOR POSSÍVEL COLOCAR DA FORMA SEMELHANTE A UM
POLINÔMIO.
Vejamos o exemplo, a seguir, para uma EDP de segunda ordem, em que a variável z depende das variáveis x e y:
F(X, Y)ZXX + G(X, Y)ZXY + H(X, Y)ZYY + P(X, Y)ZX + Q(X, Y)ZY + M(X, Y)Z = W(X, Y)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
HOMOGENEIDADE E COEFICIENTES
Uma equação linear pode ser classificada como:
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HOMOGÊNEA

NÃO HOMOGÊNEA
AS EQUAÇÕES HOMOGÊNEAS SÃO AQUELAS QUE NÃO APRESENTAM TERMOS SEM A
VARIÁVEL DEPENDENTE OU SEM UMA DE SUAS DERIVADAS. NOS EXEMPLOS
ANTERIORES, AS EQUAÇÕES HOMOGÊNEAS APRESENTAM
G(U)
OU
W(X, Y)
IGUAIS A ZERO. CASO CONTRÁRIO, A EQUAÇÃO SERÁ NÃO HOMOGÊNEA, E O TERMO
G(U)
OU
W(X, Y)
SERÁ DENOMINADO TERMO NÃO HOMOGÊNEO
 ATENÇÃO
SE OS COEFICIENTES DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL QUE MULTIPLICAM A VARIÁVEL
DEPENDENTE OU SUAS DERIVADAS FOREM TODOS NÚMEROS REAIS, DIZEMOS QUE A
EQUAÇÃO TEM COEFICIENTES CONSTANTES. A EQUAÇÃO DIFERENCIAL SERÁ DE
COEFICIENTES VARIÁVEIS CASO ALGUM DESSES TERMOS DEPENDA DA(S) VARIÁVEL(IS)
INDEPENDENTE(S).
Classifique as equações diferenciais lineares, a seguir, quanto à homogeneidade e indique se são ou não de coeficientes constantes.
A)
S′ − 2S + 5X4 = COSX
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B)
D3Y
DZ − 4Y =
D2Y
DZ2Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C)
2Z
∂3M
∂Z3
+ M = 2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D)
SEN(X)Y − 3Y′ + 4X2Y = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
RESOLUÇÃO
A)S′ − 2S + 5X4 = COSX
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Observe que os coeficientes que multiplicam a variável dependente e suas derivadas são numéricos, de modo que a equação diferencial é de
coeficientes constantes. O termo independente vale cos x, logo, é diferente de zero, e a equação não homogênea. Podemos reescrever a
equação na forma:
s ′ − 2s = cosx − 5x4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B)
D3Y
DZ − 4Y =
D2Y
DZ2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A EDO linear tem todos os coeficientes numéricos e não tem nenhum termo que independe de y e de suas derivadas. Portanto, trata-se de
uma equação diferencial de coeficientes constantes e homogênea. Podemos reescrever a equação na forma:
y ′′′ − y ′′ − 4y = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontalLoading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js
C)
2Z
∂3M
∂Z3
+ SEN W −
∂M
∂W = 2M
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A equação diferencial linear é uma EDP com coeficientes que dependem das variáveis independentes z e w. Além disso, apresenta um termo
que independe da variável dependente m, de modo que é uma equação de coeficientes variáveis e não homogênea. Reescrevendo a
equação na forma polinomial, temos:
2z
∂3m
 ∂z3
−
∂m
∂w
− 2m = − sen w
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D)
SEN(X)Y − 3Y′ + 4X2Y = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A EDO linear apresenta coeficientes que são funções da variável independente x, de forma que constitui uma equação de coeficientes
variáveis. Não existe termo que independa da variável y e de suas derivadas, logo, é uma equação homogênea. Ordenando a equação,
ficamos com:
3y ′ − (sen(x) + 4x2)y = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
As equações diferenciais lineares, assim como as equações algébricas, são mais fáceis de serem resolvidas do que as não lineares. No
próximo módulo, analisaremos a resolução de alguns tipos de equações diferenciais de primeira ordem.
TEORIA NA PRÁTICA
Sabemos que não existe um método único para solucionar qualquer equação diferencial. Existem métodos que são apropriados para grupos
de equações diferenciais. Desse modo, é importante classificar uma equação para definir o método de solução que pode ser utilizado na
prática.
Escolha o método para solucionar a equação apresentada a seguir: Classifique quanto à ordem e ao grau, indique se são lineares ou não
lineares, homogênea ou não homogênea e, por fim, se têm coeficientes constantes ou variáveis.
Y′′ + 2X Y′ − 3, 4 Y = X3 + EX
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RESOLUÇÃO
CLASSIFICAÇÃO DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL
MÃO NA MASSA
1. MARQUE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA UMA EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE TERCEIRA ORDEM:
A)
dy
dx
=
4
x
(3 − y)
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B)
∂2v
∂x2
+
∂2v
∂y2
2
= cos(x + y)
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C)
s ′′ + cos(x)s ′ = 4x
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D)
∂3y
∂u∂v∂w
2
+ 4
∂y
∂w
= x
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E)
d4x
dt4
= − 2x
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2. MARQUE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA UMA EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE GRAU DOIS:
( )
( )
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A)
3
dy
dx
=
4
x
(3 − y2)
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B)
∂3v
∂x3
+
∂2v
∂y2
2
− ln(xy) = 2
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C)
(s′′)2 + cos(x)(s′)3 = 4x
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D)
∂3y
∂u∂v∂w
3
+ 4
∂y
∂w
= x
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E)
d4x
dt4
= − 2x
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3. MARQUE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA UMA EQUAÇÃO DIFERENCIAL LINEAR HOMOGÊNEA
A)
∂3v
∂x3
+
∂2v
∂y2
2
− ln(xy) = 2
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B)
s′′ + cos(x)s′ = 4x
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C)
2xy′– cos(x)y′′ + 4ey = 6x
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D)
du
dv
+ 3v
d2u
dv2
= 5u
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E)
uv − v ′ + v ′′ 2v ′ + 1 = 0
( )
( )
( )
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4. QUAL É A ORDEM E O GRAU DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL
2 U′′′ 2 − 2V5U + U′′ 3 = 4
?
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A) Ordem 2 e grau 3
B) Ordem 3 e grau 5
C) Ordem 1 e grau 1
D) Ordem 1 e grau 2
E) Ordem 3 e grau 2
5. SEJA A EQUAÇÃO DIFERENCIAL
2Y′ − COS(X)Y′′ + 3Y = 5
, MARQUE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA UMA CLASSIFICAÇÃO VERDADEIRA EM RELAÇÃO A ESSA
EQUAÇÃO.
A) Linear, coeficientes constantes e homogênea
B) Não linear, coeficientes variáveis e homogênea
C) Linear, coeficientes variáveis e não homogênea
D) Não linear, coeficientes constantes e homogênea
E) Linear, coeficientes variáveis e homogênea
6. SEJA A EQUAÇÃO DIFERENCIAL F(X,Y) Y’’ – 2Y’ + Y = X G(X,Y). MARQUE A ALTERNATIVA QUE
APRESENTA VALORES PARA F(X,Y) E G(X,Y) DE FORMA QUE A EQUAÇÃO DIFERENCIAL SEJA DE SEGUNDA
ORDEM, LINEAR E HOMOGÊNEA.
A) f(x,y) = 0 e g(x,y) = y
B) f(x,y) = x e g(x,y) = y
C) f(x,y) = y e g(x,y) = 0
D) f(x,y) = x e g(x,y) = x
E) f(x,y) = y e g(x,y) = x
GABARITO
1. Marque a alternativa que apresenta uma equação diferencial de terceira ordem:
A alternativa "D " está correta.
( ) ( )
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Como vimos, uma equação diferencial terá ordem 3 se a derivada de maior ordem for de terceira ordem.
A alternativa A apresenta uma equação diferencial de primeira ordem; as alternativas B e C apresentam equações diferenciais de segunda
ordem; a alternativa E apresenta uma equação diferencial de quarta ordem. Portanto, a resposta é a alternativa D, que apresenta uma
derivada parcial de ordem 3 como derivada de maior ordem.
2. Marque a alternativa que apresenta uma equação diferencial de grau dois:
A alternativa "C " está correta.
Como vimos, uma equação diferencial terá grau dois se a derivada de maior ordem estiver elevada a um expoente 2. Na equação da letra A,
a ordem é um, e a derivada de ordem 1 está elevada ao expoente unitário, sendo grau também um. A ordem da equação diferencial da letra B
vale três, pois é a derivada de mais alta ordem. O grau dessa equação também é um.
A derivada de mais alta ordem na alternativa da letra C é de segunda ordem. A derivada está elevada a um expoente dois. Desse modo, é
uma equação diferencial de ordem 2 e grau 2, sendo a resposta correta. Na letra D, existe uma equação de ordem três e grau três. Por fim,
na letra E, a equação é de ordem quatro e grau um.
3. Marque a alternativa que apresenta uma equação diferencial linear homogênea
A alternativa "D " está correta.
A equação, para ser linear, deve conter coeficientes que independam da variável independente. Assim, a alternativa E não é linear. Para ser
linear, tanto a incógnita quanto as derivadas devem ter expoente elevado a um. Com isso, as alternativas A e C não apresentam equações
lineares. Já as alternativas B e D são equações lineares, mas como a alternativa B apresenta um termo que independe da incógnita, a
equação é não homogênea.
A equação diferencial da letra D — resposta da questão — não apresenta um termo que independe da função incógnita, de modo que é a
uma equação linear homogênea.
4. Qual é a ordem e o grau da equação diferencial
2 u′′′ 2 − 2v5u + u′′ 3 = 4
?
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A alternativa "E " está correta.
A ordem da equação diferencial é a ordem da derivada de maior ordem na equação. Analisando a equação, vemos que existe uma derivada
de terceira ordem e uma de segunda ordem, de forma que a ordem vale 3. O grau é o expoente desta derivada, que está elevada ao
expoente dois na equação, de modo que o grau da equação diferencial vale 2. Então, a letra E é a alternativa correta.
5. Seja a equação diferencial
2y′ − cos(x)y′′ + 3y = 5
, marque a alternativa que apresenta uma classificação verdadeira em relação a essa equação.
A alternativa "C " está correta.
A variável dependente é y, e a independente é a variável x. Como todos os coeficientes independem de y e todas as incógnitas e as derivadas
têm expoente um, trata-se de uma equação diferencial linear. Como existe um coeficiente que é uma função de x, trata-se de uma equação
de coeficientes variáveis. Por fim, existe um termo que independe de y, sendo uma equação não homogênea. Logo, a alternativa que
apresenta as características linear, coeficientes variáveis e não homogênea é a alternativa C.
6. Seja a equação diferencial f(x,y) y’’ – 2y’ + y = x g(x,y). Marque a alternativa que apresenta valores para f(x,y) e g(x,y) de forma que
a equação diferencial seja de segunda ordem, linear e homogênea.
A alternativa "B " está correta.
Veja a solução no vídeo abaixo
( ) ( )
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CLASSIFICAÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
GABARITO
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. MARQUE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA UMA EQUAÇÃO DE ORDEM TRÊS E GRAU DOIS.
A)
x ′′′ − yx = 4
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B)
∂2m
∂v2
− 3v2 = m + 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C)
dv
du
+ cos(u)
d3v
du3
2
= 4v
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D)
∂2y
∂u∂v
3
= 3uv
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E)
(s′′)2 + cos(x)(s′)3 = 4x
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( )
( )
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2. SEJA A EQUAÇÃO DIFERENCIAL
EUV −
DV
DU
2
+ LN(U) =
D2V
DU2
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MARQUE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA UMA CLASSIFICAÇÃO VERDADEIRA EM RELAÇÃO A ESSA
EQUAÇÃO.
A) Ordinária, linear e não homogênea
B) Ordinária, de grau dois e ordem um
C) Parcial, linear e homogênea
D) Parcial, de coeficientes constantes e de segunda ordem
E) Ordinária, linear de grau dois
GABARITO
1. Marque a alternativa que apresenta uma equação de ordem três e grau dois.
A alternativa "C " está correta.
Na letra A, há uma equação diferencial de terceira ordem, pois é a ordem da mais alta derivada da variável dependente x. Essa derivada está
elevada à unidade, de forma que seu grau é um. A equação da letra B é uma equação diferencial de segunda ordem e, como a derivada de
mais alta ordem está elevada ao expoente um, seu grau também vale um. A letra C, resposta da questão, apresenta a derivada de mais alta
ordem de terceira ordem e elevada ao expoente dois. Assim é uma equação de ordem 3 e grau 2.
Na letra D, a derivada de mais alta ordem é de segunda ordem e está elevada ao expoente três. Com isso, temos uma equação de ordem
dois e grau três. Por fim, uma equação de ordem dois com grau 2, pois há uma derivada de segunda ordem elevada ao expoente dois. A
resposta correta, então, é a letra C.
2. Seja a equação diferencial
euv −
dv
du
2
+ ln(u) =
d2v
du2
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Marque a alternativa que apresenta uma classificação verdadeira em relação a essa equação.
A alternativa "A " está correta.
Comentário: Analisando a equação, verificamos que a variável dependente é v, e a independente, a variável u. A equação tem derivadas de v
em relação a um, sendo uma equação diferencial ordinária.
A derivada de mais alta ordem é de segunda ordem e está elevada a um expoente unitário, de modo que se trata de uma equação de ordem
dois e grau um.
A equação é linear, já que os coeficientes dependem apenas de u, e não há termo que independa de v, logo, é uma equação homogênea. Por
fim, como os coeficientes são funções de u, é uma equação de coeficientes variáveis. Com isso, a única alternativa verdadeira é a letra A.
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MÓDULO 3
 Calcular equações diferenciais de primeira ordem
MÉTODOS DE RESOLUÇÃO DE EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE
PRIMEIRA ORDEM
SOLUÇÃO DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
Nos módulos anteriores, estudamos os conceitos iniciais das equações diferenciais e analisamos como verificar se uma função é ou não
solução de uma equação diferencial. Vimos que não existe um método geral para resolver todos os tipos de equação diferencial. Existem, no
entanto, alguns métodos com grande abrangência que resolvem alguns tipos de equações diferenciais.
Neste módulo, estudaremos alguns dos métodos para resolução de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem. Vale lembrar que a
solução de uma equação diferencial ordinária será uma função real que satisfaz a equação dada.
PROBLEMA DE VALOR INICIAL
CHAMAREMOS DE SOLUÇÃO GERAL A FAMÍLIA DE FUNÇÕES QUE SATISFAZ A EQUAÇÃO, E
DE SOLUÇÃO PARTICULAR UMA FUNÇÃO QUE FAZ PARTE DESSA SOLUÇÃO GERAL E
ATENDE ÀS CONDIÇÕES INICIAIS FORNECIDAS. ESSE TIPO DE PROBLEMA SERÁ
DENOMINADO PROBLEMA DE VALOR INICIAL.
Veremos, aqui, a solução de equações diferenciais de primeira ordem, portanto a derivada de maior ordem que aparecerá será a derivada de
primeira ordem, elevada ao expoente 1.
A EDO de primeira ordem será do tipo:
Y′ + A(X, Y)Y = B(X, Y)
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Mesmo para o caso das EDOs de primeira ordem, não existe um método único que abrange uma solução para todas as EDOs. Analisaremos
alguns métodos de resolução, e todos os que serão apresentados se aplicam para equações diferenciais de primeira ordem que podem ser
colocadas na forma:
Y′ = F(X, Y)
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A função f(x,y) será uma função que pode depender da variável independente y e/ou da variável dependente x.
MÉTODO DIRETO
O primeiro método é denominado de método direto e sua solução é mais simples. Ela ocorrerá quando for possível isolar a derivada de y em
um lado e, do outro, uma função que dependa apenas da variável independente x.
Para a solução direta, basta usar, depois, a integração direta para obter a solução. Em outras palavras, quando
f(x, y) = f(x)
.
Y′ = F(X) → DY = F(X)DX → Y = ∫F(X)DX
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Vejamos o exemplo:
OBTENHA A SOLUÇÃO GERAL DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL
4X3 − Y′ − 2X2 + 1 = 0.
RESOLUÇÃO
Para obter o valor da função incógnita y, devemos tentar isolar e obter o valor da derivada da variável
4X3 − Y′ − 2X2 + 1 = 0 → Y′ = 4X3 − 2X2 + 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então:
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DY
DX
= 4X3 − 2X2 + 1
DY = 4X3 − 2X2 + 1 DX
∫DY = ∫ (4X3 − 2X2 + 1)DX
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Basta, agora, integrar ambos os lados, de forma que a solução geral da equação diferencial será
y = x4 −
2
3
x3 + x + k
, com k número real.
OBTENHA UMA SOLUÇÃO PARTICULAR DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL
4X3 − Y′ − 2X2 + 1 = 0
, TAL QUE, PARA ATENDER A CONDIÇÃO X = 1, O VALOR DE Y VALE 2.
RESOLUÇÃO
Obtivemos a solução geral
y = x4 −
2
3
x3 + x + k
, com k número real. Agora, iremos substituir a condição inicial e obter a solução particular:
Para x = 1 →
y = 14 −
2
3
13 + 1 + k =
4
3
+ k
No entanto, y = 2 para x = 1, de forma que
4
3
+ k = 2 → k =
2
3
A solução particular será
= x4 −
2
3
x3 + x +
2
3
( )
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SOLUÇÃO PARTICULAR
Infelizmente, nem sempre será possível realizar a solução da equação geral por meio de uma manipulação matemática, como apresentado
no exemplo. Por isso, torna-se necessário definir métodos que podem ser empregados na obtenção da solução de um conjunto específico de
equações. Analisaremos três métodos:
EQUAÇÕES SEPARÁVEIS

EQUAÇÃO EXATA

EQUAÇÕES LINEARES
ANTES DE ANALISARMOS TAIS MÉTODOS, PRECISAMOS NOS PERGUNTAR: COMO
GARANTIR QUE UMA EDO DE PRIMEIRA ORDEM TENHA SEMPRE UMA SOLUÇÃO
PARTICULAR PARA O PROBLEMA E, QUANDO ESSA SOLUÇÃO EXISTIR, QUE ELA SEJA
ÚNICA?
 RESPOSTA
Vejamos o teorema: Seja uma EDO do tipo
y ′ = f(x, y)
, em que f(x,y) é contínua em um retângulo R contendo o ponto (x0,y0), com y(x0) = y0. Essa EDO terá sempre uma solução no retângulo R
que contém (x0,y0) e essa solução será única, sempre que
∂f
∂y
for contínua em R.
Retornando ao nosso exemplo, para EDO
y ′ = 4x3 − 2x2 + 1
, repare que
f(x, y) = 4x3 − 2x2 + 1
é contínua para todo (x,y) em
R2
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. Além disso,
∂f
∂y
= 0
é contínua em todo
R2
. Portanto, essa EDO terá sempre uma solução para todos os problemas de valor inicial, e a solução será única em cada caso.
Nos tópicos seguintes, estaremos focados em determinar a solução de uma EDO de primeira ordem para alguns tipos de EDOs de primeira
ordem.
EDO SEPARÁVEIS DE PRIMEIRA ORDEM
Estamos estudando a EDO de primeira ordem:
Y′ = F(X, Y)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A equação será do tipo separável quando for possível transformar a função f(x,y) em um produto h(x)g(y), isto é, em um produto de uma
função, que só depende da variável independente, por outra que só depende da variável dependentes.
Y′ = H(X)G(Y)
Resolvendo, temos:
Y′ = H(X)G(Y) →
DY
DX
= H(X)G(Y) →
DY
G(Y) = H(X)DX
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A equação é possível para um intervalo onde g(y) é diferente de zero. Desse modo, para solucionar a equação vamos aplicar a integral
definida em ambos os lados e obter a solução geral:
∫
1
G(Y)DY = ∫H(X)DX + K, COM K REAL
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 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Apesar de cada integral definida apresentar uma constante de integração, as duas constantes podem ser substituídas apenas por uma
constante de integração k.
 RELEMBRANDO
Atenção às regras de integração, já que elas serão bastante usadas na solução de equações diferenciais. A solução geral pode ser uma
função implícita relacionado y com o x, não sendo possível, por vezes, explicitar a função.
Vejamos alguns exemplos desse método a seguir:
UMA POPULAÇÃO DE BACTÉRIA P, MEDIDA EM MILHÕES, CRESCE EM
RELAÇÃO AO TEMPO T, MEDIDO EM HORAS, POR MEIO DO SEGUINTE MODELO
DP
DT = 2(P − 1)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Determine a quantidade de bactérias que haverá após 5 horas, sabendo que, para t = 0, o valor de p é de 2 milhão de bactérias.
RESOLUÇÃO
Precisamos, inicialmente, solucionar a equação diferencial de primeira ordem para descobrir como p varia com o tempo. Repare que temos
uma EDO separável, uma vez que:
dp
dt
= 2(p − 1) →
1
p − 1
dp = 2 dt
, para
p ≠ 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:
∫
1
p − 1
dp = ∫2 dt → ln|p − 1| = 2t + k
, com
k ∈ 𝑅
 Atenção! Para visualizaçãocompleta da equação utilize a rolagem horizontal
Como p é maior ou igual a 2, então, p – 1 é positivo, de modo que
|p − 1| = p − 1
ln|p − 1| = ln(p − 1) = 2t + k → p − 1 = exp(2t + k)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
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Com isso, a solução geral da EDO será
p = 1 + exp(2t + k)
, com k real, mas para t = 0, p = 2.
p = 1 + exp(2.0 + k) = 2
exp(k) = 2 − 1 = 1 → k = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Já a solução particular será
p = 1 + exp(2t)
.
Para obter a população para t = 5 horas, temos:
p(5) = 1 + exp(2.5) = 1 + exp(10) ≈ 22.028 milhões
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Observe que, no exemplo, a expressão obtida no método levava em conta que
p ≠ 1
. Como, no exemplo, o valor de p ≥ 2, não se perdeu nenhuma solução possível.
Pode acontecer em alguns casos, no entanto, que g(y) = 0 forneça solução para equação diferencial analisada. Nesse caso, diz-se que as
soluções são singulares, já que não podem ser obtidas pelo método empregado.
Vejamos o exemplo:
Obtenha a solução da equação
y ′ = x3y2
RESOLUÇÃO
Trata-se de uma EDO de primeira ordem. A EDO é do tipo separável, uma vez que:
y ′ = x3y2 →
dy
dx
= x3y2 →
1
y2
dy = x3dx
, com
≠ 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Dessa maneira:
∫
1
y2
dy = ∫x3dx + k → −
1
y
=
1
4
x4 + k
, com real.
y = −
1
1
4x
4 + k
= −
4
x4 + 4k
, com k real e para
y ≠ 0
.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vemos, com isso, que essa solução geral não engloba o caso de y = 0.
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Se fizermos y = 0 na EDO, observaremos que é solução para a EDO, pois
y ′ = x3y2
é atendida para a função y = 0. A função y = 0 seria uma solução singular para a EDO. Assim, a solução da EDO seria
y = −
1
1
4x
4 + k
= −
4
x4 + 4k
, com k real , ou y = 0.
 ATENÇÃO
Às vezes, com uma substituição de variável, podemos transformar uma EDO que não é do tipo separável para uma EDO separável.
Vejamos um exemplo desse caso:
DETERMINE A FUNÇÃO U, QUE É SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO
U′ = 2V + 2U + V2 + U2 + 4V + 4U + 2UV + 8
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A
ROLAGEM HORIZONTAL
E QUE PARA V = 0 TENHA U = 1.
RESOLUÇÃO
Temos uma EDO de primeira ordem que relaciona a incógnita u com a variável independente v. Inicialmente, não é possível se transformar a
EDO para uma EDO separável, isto é:
u ′ = f(u)g(v)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Manipulando a equação, no entanto, teremos:
u ′ = 2v + 2u + v2 + u2 + 4v + 4u + 2uv + 8
u ′ = (2v + 2u + 4) + (v2 + u2 + 4 + 4v + 4u + 2uv)
u ′ = 2(v + u + 2) + (v + u + 2)2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Se fizemos
w = v + u + 2
,
u ′ = 2(v + u + 2) + (v + u + 2)2 → u ′ = 2w + w2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Derivando w em relação à variável independente v, teremos:
w = v + u + 2 → w ′ = 1 + u′
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontalLoading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js
Substituindo
w ′ − 1 = u′ = 2w + w2
Então
w ′ = 1 + 2w + w2
, que é uma EDO separável. Com isso:
w ′ =
dw
dv
= 1 + 2w + w2 →
1
1 + 2w + w2
dw = dv
∫
1
1 + 2w + w2
dw = ∫dv + k
∫
1
(1 + w)2
dw = ∫dv + k
−
1
1 + w
= v + k
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Retornando a variável original, podemos obter uma equação implícita, que relaciona u com v da seguinte forma:
−
1
1 + (v + u + 2)
= v + k → v +
1
v + u + 3
= − k
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para v = 0, temos u = 1
0 +
1
0 + 1 + 3
= − k → k = −
1
4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim sendo, a função u que atende às condições do problema, em relação a variável v, é obtida pela equação:
v +
1
v + u + 3
= 
1
4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EDO EXATAS DE PRIMEIRA ORDEM
Uma equação diferencial de primeira ordem será considerada exata em um domínio S se puder ser colocada na seguinte forma:
U(X, Y) + V(X, Y)Y′ = 0
e existir uma função M(x,y), definida em S tal que:
∂M
∂X (X, Y) = U(X, Y)
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E
∂M
∂Y (X, Y) = V(X, Y)
para todos os pontos (x,y) da região S.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Observe que u(x,y) e v(x,y) são duas funções escalares de x e y, e serão dadas pela equação diferencial. Uma forma de verificar se a
equação é exata é analisando:
∂U
∂Y =
∂V
∂X =
∂2M
∂X∂Y
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vejamos:
VERIFICAÇÃO DE EQUAÇÃO EXATA
OBSERVE SE A EQUAÇÃO DIFERENCIAL
2 X2 + Y Y′ = − 4XY − X2
É UMA EQUAÇÃO DIFERENCIAL EXATA.
RESOLUÇÃO
Colocando a equação na forma
u(x, y) + v(x, y)y ′ = 0
2 x2 + y y ′ = − 4xy − x2 → 2 x2 + y y ′ + 4xy + x2 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto:
u(x, y) = 4xy + x2
e
v(x, y) = 2 x2 + y
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Obtendo
∂u
∂y
(x, y) = 4x
( )
( ) ( ) ( )
( )
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e
∂v
∂x
(x, y) = 4x
Retornando a solução da equação de primeira ordem exata, vamos definir a sua solução.
Se a equação diferencial
u(x, y) + v(x, y)y′ = 0
for exata, então a solução da equação diferencial será dada pela equação implícita
M(x, y) = k
, com k real. Sendo a função
M(x, y)
a função tal que
∂M
∂x
(x, yt) = u(x, y)e
∂M
∂y
(x, y) = v(x, y)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos provar essa afirmativa:
M(x, y) = k →
dM
dx
= 0
Lembrando de o estudo da função escalar, temos:
dM
dx
=
∂M
∂x
dx
dx
+
∂M
∂y
dy
dx
= 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo, teremos:
∂M
∂x
dx
dx
+
∂M
∂y
dy
dx
= 0 →
∂M
∂x
+
∂M
∂y
y′ = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mas
∂M
∂x
(x, y) = u(x, y)
e
∂M
∂y
(x, y) = v(x, y)
, então:
∂M
∂x
+
∂M
∂y
y′ = 0 → u(x, y) + v(x, y)y ′ = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Dessa forma, satisfazemos a equação diferencial apresentada.
Precisamos obter a função M(x,y) para solucionar a equação diferencial exata. A função M(x,y) pode ser obtida por meio da integração. Isso
significa que, se desejarmos obter a função M(x,y), basta resolvermos:
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∂M
∂X (X, Y) = U(X, Y)
E
∂M
∂Y (X, Y) = V(X, Y)
Logo, obtemos:
∂M
∂X (X, Y) = U(X, Y) → M = ∫U(X, Y)DX + G(Y)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Lembre-se de que, como estamos integrando em relação a x, e M(x,y) é uma função escalar que depende de x e y, a constante de integração
será uma função de y, representada por g(y).
Derivando, parcialmente, M(x,y) em relação a y, teremos:
∂M
∂Y (X, Y) =
∂
∂Y ∫U(X, Y)DX + G(Y) =
∂
∂Y ∫U(X, Y)DX + G′(Y)
G′(Y) =
∂M
∂Y (X, Y) −
∂
∂Y ∫U(X, Y)DX
No entanto:
∂M
∂Y (X, Y) = V(X, Y) → G
′(Y) = V(X, Y) −
∂
∂Y ∫U(X, Y)DX
De modo que:
( ) ( )
( )
( )
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G(Y) = ∫ V(X, Y) −
∂
∂Y ∫U(X, Y)DX DY
Substituindo, obtemos:
M(X, Y) = ∫U(X, Y)DX + ∫ V(X, Y) −
∂
∂Y ∫U(X, Y)DX DY
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O equacionamento parece complicado, mas basta seguir os passos para obter a solução. Repare que a solução da equação será,
normalmente, uma equação implícita. Veja:
EXEMPLO
DETERMINE A SOLUÇÃO DA EQUAÇÃODIFERENCIAL
2 X2 + Y Y′ = − 4XY − X2
RESOLUÇÃO
No exemplo anterior, provamos que se trata de uma equação diferencial exata de primeira ordem, com:
u(x, y) = 4xy + x2
e
v(x, y) = 2 x2 + y
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:
∂M
∂x
(x, y) = u(x, y) = 4xy + x2 → M = ∫ 4xy + x2 dx + g(y) = 2x2y +
1
3
x
3
+ g(y)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos, agora, obter a derivada parcial de M em relação a y:
∂M
∂y
(x, y) =
∂
∂y
2x2y +
1
3
x
3
+ g(y) = 2x2 + g′(y)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como:
∂M
∂y
(x, y) = v(x, y) = 2 x2 + y
[ ( )]
[ ( )]
( )
( )
( )
( )
( )
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Então:
2x2 + g ′(y) = 2x2 + g ′(y) → g ′(y) = 2y → g(y) = ∫2ydy = y2
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Com isso, substituindo:
M = 2x2y +
1
3
x
3
+ g(y) = 2x2y +
1
3
x
3
y2 + y2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A solução da equação diferencial será dada pela equação implícita
2x2y +
1
3
x
3
y2 + y2 = k
, k real
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O valor de k será obtido por uma condição inicial. Por exemplo, considere que y(0) = 2, de modo que:
2.02.2 +
1
3
.0
3
22 + 22 = k → k = 4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A solução particular será
2x2y +
1
3
x
3
y2 + y2 = 4
.
EDO LINEAR DE PRIMEIRA ORDEM
O terceiro método que estudaremos neste módulo é apropriado para as equações diferenciais lineares. A equação ordinária linear de primeira
ordem pode ser sempre expressa na forma:
Y′ + U(X)Y = V(X)
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Na qual u(x) e v(x) são duas funções da variável independente x, dadas na equação diferencial.
Vamos considerar uma função auxiliar dada por P(x) y. Derivando essa função por meio da regra do produto, teremos:
[P(X)Y]′ = P′(X)Y + P(X)Y′
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
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Vamos partir da equação diferencial linear e multiplicar os dois lados pela função P(x):
P(X)Y′ + P(X)U(X)Y = P(X)V(X)
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Compare as duas equações. Se fizemos
P ′(x) = P(x)u(x)
, igualaremos o lado esquerdo da segunda equação com a primeira. Isto é, se
P ′(x) = P(x)u(x)
, então
[P(x)y] ′ = P(x)v(x)
.
Integrando ambos os lados, teremos:
∫ [P(X)Y]′DX = ∫P(X)V(X)DX + K , K REAL
P(X)Y = ∫P(X)V(X)DX + K , K REAL
Y =
1
P(X) ∫P(X)V(X)DX + K , K REAL
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Conseguiremos, então, obter a solução da equação diferencial linear de primeira ordem se escolhermos corretamente a função P(x). A função
P(x) é denominada fator integrante.
CÁLCULO DE P(X)
Vamos, agora, ver como calculamos P(X).
Retornando,
P ′(x) = P(x)u(x)
( )
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, então:
P′(X)
P(X) = U(X) → ∫
DP
P = ∫U(X)DX
Assim:
LN|P(X)| = ∫U(X)DX + C, C REAL
logo:
P(X) = EXP ∫U(X)DX + C , C REAL
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Como necessitamos apenas de um P(x) que atenda à condição, não precisamos incluir a constante de integração. Portanto, para obter o fator
integrante, basta resolver:
P(X) = EXP ∫U(X)DX
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Após obter P(x), devemos obter a equação geral da EDO linear de primeira ordem:
Y =
1
P(X) ∫P(X)V(X)DX + K 
, K REAL
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ETAPAS
( )
( )
( )
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Agora que já entendemos o procedimento, vamos listar o passo a passo para não esquecermos nenhuma etapa do processo:
ETAPA A
Colocar a equação diferencial linear na sua forma padrão, isto é, o coeficiente que multiplica y’ deve ser um.
ETAPA B
Obter o fator integrante, usando o valor de u(x) da equação, pela fórmula:
P(x) = exp ∫u(x)dx
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ETAPA C
c) Obter o valor da integral a seguir, usando v(x) da equação diferencial dada:
∫P(x)v(x)dx
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ETAPA D
Determinar a solução geral da equação diferencial pela fórmula:
y =
1
P(x) ∫P(x)v(x)dx + k , k real
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A SOLUÇÃO PARTICULAR SERÁ OBTIDA ACHANDO-SE O VALOR DE K REAL POR MEIO DA
CONDIÇÃO INICIAL.
Vejamos um exemplo a seguir:
Vamos obter a equação geral da equação diferencial
2y ′ − 2y − 4ex = 0
.
RESOLUÇÃO
Vamos colocar a equação diferencial linear na forma padrão:
y ′ − y = 2ex
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Então,
u(x) = – 1ev(x) = 2ex
.
Agora, devemos obter o fator integrante:
P(x) = exp ∫u(x)dx = exp ∫ ( − 1)dx = exp( − x)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo a integral, teremos:
( )
( )
( ) ( )
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javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
∫P(x)v(x)dx = ∫e −x 2ex dx = ∫2 dx = 2x
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De forma que:
y =
1
P(x) ∫P(x)v(x)dx + k =
1
e −x
(2x + k ) = ex(2x + k)
, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Com isso, a solução geral será:
y = ex(2x + k)
, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos obter a solução que atenda à equação diferencial
2y ′ − 2y − 4ex = 0
e que, para x = 0, tenhamos y = 1.
RESOLUÇÃO
No exemplo anterior, obtivemos a equação geral
y = ex(2x + k)
, k real, fazendo
x = 0 → y = e0(2.0 + k) = 1(0 + k) = k
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Desse modo, pela condição fornecida no enunciado, y = 1 = k. Logo, a solução particular será:
y = ex(2x + 1)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para o caso em que u(x) e v(x) forem número reais, isto é, a equação diferencial linear seja de coeficientes constantes, a resolução da
equação vai ser um pouco mais simplificada.
Vamos supor que u(x) = a e v(x) = b, com a e b reais. Então, teremos
y ′ + ay = b
Assim:
P(x) = exp ∫u(x)dx = exp ∫a dx = eax
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Logo:
y =
1
P(x) ∫P(x)v(x)dx + k =
1
eax ∫b e
axdx + k 
y =
1
eax
b∫ eaxdx + k =
1
eax
b
a
eax + k 
y =
b
a
+ ke −ax
, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js
Observe que, se as funções u(x) e v(x) forem contínuas em um domínio S, podemos garantir que a solução obtida pelo procedimento descrito
sempre existirá e será única.
TEORIA NA PRÁTICA
O modelo logístico é mais sofisticado do que o modelo de crescimento exponencial para se trabalhar com crescimentos populacionais. Seja
P(t) o tamanho de uma população em um instante t. Define-se a equação diferencial logística como:
dP
dt
= CP 1 −
P
K
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Na qual C e K são constante reais. A constante K é denominada de capacidade de suporte. Use o método da equação diferencial separável
para obter a solução da equação diferencial logística:
dP
dt
= 0, 05 P 1 −
P
1000
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Com a condição inicial de que