matemática_conceitos_gerais_sobre_funções

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INTRODUÇÃO 
Fundamentos da Matemática é uma atividade complementar 
que possui carga horária de 24h. Sua proposta é servir como um 
nivelamento de estudos, com o objetivo de instrumentalizar 
estudantes que terão disciplinas de cálculo no seu itinerário formativo. 
Para tal, começaremos vendo conceitos que são comuns a todas as 
funções. Em seguida, discutiremos uma família importante de 
funções: as funções que podem ser expressas como um polinômio. Por 
fim, discutiremos algumas funções muito importantes que, no 
entanto, não são polinomiais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
SUMÁRIO 
INTRODUÇÃO ......................................................................................................................................... 7 
CONCEITOS GERAIS ........................................................................................................................... 7 
Intercepto .................................................................................................................................... 9 
Raiz ............................................................................................................................................... 9 
Domínio e imagem .................................................................................................................. 10 
Pontos extremos ...................................................................................................................... 12 
Funções compostas ................................................................................................................. 13 
Função inversa ......................................................................................................................... 14 
Paridade de funções ................................................................................................................ 15 
BIBLIOGRAFIA ...................................................................................................................................... 18 
PROFESSOR-AUTOR ............................................................................................................................. 19 
 
 
 
 
 
 
 
 
Neste módulo, veremos conceitos que são comuns a todas as funções. Por exemplo, 
veremos o que é uma função, e o que significam o domínio e a imagem dessa função. Também 
falaremos sobre o que são raízes e interceptos de uma função, e que aplicações práticas esses 
conceitos têm na Administração. Finalmente, discutiremos conceitos como funções compostas, 
funções inversas, funções pares e funções ímpares. 
 
Conceitos gerais 
Em Administração, muitas vezes, queremos relacionar alguma coisa que desejamos com 
algo que podemos controlar. Por exemplo, em um processo de produção, desejamos ter o maior 
lucro possível. O lucro depende de quanto produzimos. Desse modo, queremos decidir quanto 
produzir para ter o maior lucro possível. Para isso, precisamos entender como a quantidade 
produzida se relaciona com o lucro. Matematicamente, essa relação é expressa na forma de uma 
função. Dizemos que o lucro é uma função da quantidade produzida. 
Da mesma forma, na fila de um supermercado, o tempo que um cliente espera para ser 
atendido depende do número de caixas atendendo. O gerente do supermercado deve decidir 
quantos caixas colocar para que nenhum cliente demore muito para ser atendido. Por outro lado, 
o custo do supermercado também depende do número de caixas atendendo, e o gerente não quer 
que esse custo seja muito alto. Nesse exemplo, tanto o tempo que um cliente espera para ser 
atendido quanto o custo do supermercado são funções do número de caixas atendendo. 
De forma geral, dizemos que uma variável é função de uma variável sempre que, se 
conhecermos , conhecemos . Tipicamente, será alguma coisa que conseguimos controlar e 
será alguma coisa em que estamos interessados, mas só conseguimos controlar por meio de . 
INTRODUÇÃO 
 
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Para frisar que depende de , é comum representarmos por ( ). Onde escrevemos , 
poderíamos ter escrito qualquer outra letra: ( ),ℎ( ), ( ),... mas subentende-se que letras 
diferentes representam relações diferentes. 
Desse modo, são exemplos de funções: 
 ( ) = 2 + 1 ( ) = 5 ℎ( ) = 2 − 1 
 
Em qualquer um desses casos, se conhecemos , automaticamente conhecemos a função de 
. Por outro lado, vejamos o seguinte caso: 
 = 1 − 
 
No entanto, o seguinte exemplo não é um exemplo de função, porque conhecer não nos 
dá certeza sobre o valor de . De fato, se = 0, por exemplo, temos = 1, o que significa que 
 pode ser 1 ou −1. Não temos como determinar o valor verdadeiro de e, por isso, não é 
correto dizer que é uma função de . 
Imagine que seja o lucro de uma fábrica e seja a quantidade produzida. Uma função = ( ) ajuda a responder várias perguntas de valor gerencial, por exemplo: 
 Qual é o lucro (ou prejuízo) se a fábrica não produzir nada? 
 Quanto a fábrica precisa produzir para começar a ter lucro? 
 Quais são os valores de lucro possíveis? 
 Quanto a fábrica deve produzir para ter o maior lucro possível? 
 
Cada pergunta está relacionada a um conceito matemático. A relação entre esses conceitos e 
as perguntas está mostrada na tabela a seguir. 
 
 Qual é o lucro (ou prejuízo) se a fábrica não produzir nada? intercepto 
 Quanto a fábrica precisa produzir para começar a ter lucro? raiz 
 Quais são os valores de lucro possíveis? domínio e imagem 
 Quanto a fábrica deve produzir para ter o maior lucro 
possível? 
pontos extremos e vértices 
 
Vamos estudar cada um desses conceitos. 
 
 9 
 
Intercepto 
O intercepto de uma função é o valor da função quando = 0. Se observamos o gráfico da 
função, esse é o ponto em que a função intercepta o eixo vertical. Daí o nome intercepto. 
No exemplo da função = ( ), que relaciona o lucro de uma fábrica à quantidade 
produzida, o intercepto é o lucro da fábrica caso ela não produza nada (isso é, caso a sua produção 
 seja zero). Em Administração, isso é o que se denomina custo fixo. 
O custo fixo é o custo que se incorre independentemente da produção. Mesmo que uma 
fábrica não produza nada, ainda assim, ela tem de pagar o aluguel do espaço e o salário do pessoal 
de escritório, por exemplo. 
 
Raiz 
Se a fábrica não produzir nada, ela terá prejuízo, porque terá de arcar com os seus custos 
fixos. Quanto a fábrica precisa produzir para pagar os seus custos fixos e fechar no zero-a-zero? A 
Administração chama essa quantidade de ponto de break-even. A matemática, por sua vez, chama 
esse valor de raiz da função lucro. 
A raiz de uma função ( ) é o valor de para o qual 
 ( ) = 0 
 
Uma função pode ter várias raízes. Cada raiz será um valor de para o qual ( ) = 0. 
A função 
 ( ) = ( − 1)( − 2)( + 3) 
 
tem raízes 1, 2 e −3, porque 
 (1) = (1 − 1)(1 − 2)(1 + 3) = 0 (2) = (2 − 1)(2 − 2)(2 + 3) = 0 (−3) = (−3 − 1)(−3 − 2)(−3 + 3) = 0 
 
 
 
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Domínio e imagem 
Domínio é o conjunto de todos os valores que pode assumir. Por sua vez, imagem é o 
conjunto de todos os valores que pode assumir. 
Uma fábrica não pode produzir uma quantidade negativa, então 0 está fora do 
domínio. Da mesma forma, se a nossa fábrica tem capacidade para produzir, no máximo, 1.000 
unidades, então, 1.000 também está fora do domínio. Nesse exemplo, o domínio da função 
seria 0; 1000 . 
A notação 0; 1000 indica que qualquer valor entre 0 e 1000 são possíveis. Se 
produzir exatamente 1.000 não fosse possível, por exemplo, representaríamos 0; 1000), 
indicando que podemos ter uma produção muito próxima de 1.000, mas, ainda assim, não 
exatamente 1.000. 
Se a nossa fábrica não tivesse capacidade, o domínio seria qualquer número maior ou igual 
a zero. Poderíamos representar isso de várias formas, por exemplo: 
 0;∞) 
 
 
O símbolo ∞ significa infinito. Ele sempre recebe um parêntesis para indicar que nunca 
conseguimos produzir exatamente infinitas peças. Nunca alcançamos o infinito. 
Agora, imagine que a nossa funçãolucro seja 
 ( ) = 2 − 10 
 
E que a nossa fábrica tenha capacidade de 1.000, de modo que o domínio dessa função é 0; 1.000 . Se pode assumir qualquer valor entre 0 e 1000, então, ( ) pode assumir 
qualquer valor entre −10 e 1990. Ou seja, podemos ter qualquer lucro entre um prejuízo de 10 e 
um lucro de 1.990. Simbolicamente, 
 −10; 1.990 
 
O conjunto desses valores possíveis para é a imagem da função. 
A maior parte das funções que você verá ao longo do curso tem um dos seguintes conjuntos 
como domínio e imagem: 
 
 
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notação significado 
 qualquer número real 
 qualquer número real exceto o zero 
 qualquer número real positivo ou o zero 
 qualquer número real negativo ou o zero 
 qualquer número real positivo (o zero não!) 
 qualquer número real negativo (o zero não!) 
− 1 qualquer número real positivo (o zero não) exceto o 1 
 
Por exemplo, o domínio da função 
 ( ) = 1 
 
é , porque pode ser qualquer número real, desde que não seja zero. Da mesma forma, ( ) pode assumir qualquer valor, exceto o zero. Desse modo, a imagem de ( ) também é . 
Existe uma forma sucinta de dizer que o domínio de ( ) é e sua imagem também é : 
 : 
 
Nessa notação, podemos escrever para a função ( ) = √ que 
 : 
 
Com isso, dizemos que, na função ( ), pode assumir qualquer valor positivo (ou o 
zero) e que o resultado sempre será um valor positivo (ou o zero). 
 
 
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A seguir, listamos o domínio e a imagem de algumas funções mais importantes: 
 
função domínio e imagem 1
 √ 
 log ( ) 
 
Note que o domínio da função é a imagem da função log ( ), e vice-versa. Isso acontece 
porque essas funções são a inversa uma da outra. Mais tarde, veremos o que isso significa. 
 
Pontos extremos 
Algumas funções têm um valor máximo (ou mínimo) possível. Esses valores se chamam 
pontos extremos. Para ilustrar, suponha que, na fábrica do nosso exemplo, a relação entre lucro e 
quantidade produzida seja 
 ( ) = −10( − 100)( − 300) 
 
Se a fábrica produz 100 unidades, ela fecha no zero-a-zero. Se a fábrica produz um pouco 
mais, ela começa a lucrar. No entanto, se produzir muito mais, ela passa a lucrar menos e, quando 
a sua produção chega a 300, ela volta a fechar no zero-a-zero. (Quando estudarmos funções do 
segundo grau, vamos justificar por que isso acontece). 
Em algum ponto no meio do caminho entre 100 e 300, o lucro da fábrica para de crescer e 
começa a cair. Nesse ponto, o lucro atinge um valor máximo possível. Na função do nosso 
exemplo, esse valor é 
 = 200 
que corresponde a um lucro de 
 (200) = 100.000 
 
 
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Não existe nenhum valor na função inteira que dê um lucro maior do que 100.000. 
Dizemos que esse valor é um ponto extremo e, no caso especifico da função de segundo grau, 
chamamos esse valor também de vértice. 
A existência de um valor máximo para o lucro tem implicações muito importantes para a 
prática. Se sabemos que uma produção de 200 nos leva ao maior lucro possível, vamos voltar todo 
o nosso planejamento produtivo para produzir 200 unidades. 
Se a nossa capacidade for inferior a 200 (por exemplo, 190), a nossa produção será a mais 
próxima possível de 200 (ou seja, 190) e a estratégia da fábrica envolverá uma expansão de 
capacidade para que atinja uma capacidade de 200. Por outro lado, se a capacidade for superior a 
200 (por exemplo, 210), a fábrica trabalhará com capacidade ociosa e fábrica poderá considerar 
alugar essa capacidade ociosa para outra empresa (se for possível). 
 
Funções compostas 
Uma função composta é uma função de uma função. Considere, no nosso exemplo, como o 
imposto de renda pago pela fábrica depende da quantidade produzida. A quantidade produzida 
determina o lucro por meio de uma relação 
 = ( ) = 2 − 10 
 
O lucro auferido, por sua vez, determina o imposto a ser pago segundo a relação 
 = ( ) = 4 
 
Podemos calcular o imposto de renda a ser pago diretamente a partir da quantidade 
produzida. Obteremos com isso uma nova função, ℎ( ). Note que 
 = ( ) = 4 
 
No entanto, 
 = ( ) = 2 − 10 
 
 
 
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Isso significa que 
 = 2 − 104 = 2 − 2,5 
 
Essa é uma nova função, ℎ( ), que relaciona diretamente o imposto de renda à quantidade 
produzida. Sabendo-se a quatidade produzida, podemos calcular o imposto de renda diretamente, 
sem precisar calcular o lucro como passo intermediário. Para obter essa relação, pegamos ( ) e substituimos = ( ), obtendo ( ) . Às vezes, essa função é representada 
por ∘ ( ). 
 
Função inversa 
Vamos continuar com o exemplo da fábrica que produz uma quantidade e obtém um lucro 
 = ( ) = 2 − 10 
 
Podemos perguntar qual será o lucro, caso a fábrica tenha uma produção de = 100. A 
resposta será (100) = 2 ⋅ 100 − 10 = 190. No entanto, suponha que a nossa pergunta fosse 
outra: sabendo-se que a fábrica teve um lucro de 190, quanto que a fábrica produziu? 
Estamos fazendo a pergunta inversa. Em vez de sabermos o valor do e querermos 
descobrir o valor de , agora, sabemos o valor de e queremos o valor de . Podemos descobrir o 
valor de por simples manipulação algébrica: 
 = 2 − 10 + 10 = 2 = + 102 
 
Fazendo = 190, obtemos 
 = 190 + 102 = 2002 = 100 
 
Exatamente o valor correto! Para descobrir esse valor, usamos a função 
 = + 102 
 
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Essa função se chama função inversa de ( ) = 2 − 10. Na verdade, falta apenas um 
retoque: usarmos a notação usual de chamar de a informação que temos e de o que queremos 
descobrir. Se fizermos isso, a função acima se escreverá 
 = + 102 
 
Essa, sim, é a função inversa de = ( ) = 2 − 10, e representamos isso por 
 = ( ) = + 102 
 
Essas duas funções têm uma relação muito especial. O “x” de uma é o “y” da outra, e vice-
versa. Elas são obtidas trocando-se o pelo e rearrumando. Em um plano cartesiano, o gráfico 
de uma é igual ao gráfico da outra, trocando-se o eixo horizontal pelo vertical. Mais ainda, para 
qualquer valor de , 
 ( ) = 
 
Ou seja, se sabemos a quantidade produzida, podemos calcular o lucro ( ). No entanto, 
se jogarmos esse lucro dentro da função inversa, ( ) , voltaremos a ter a quantidade 
produzida. A função faz e a desfaz. Por isso, uma é chamada função inversa da outra. 
Um cuidado com notação merece destaque. Quando falamos , isso é o mesmo que , e 
chamamos isso de “inverso de x”. Quando escrevemos ( ), estamos falando em outra coisa. 
Isso é, ( ) não é ( )! De fato, no nosso exemplo, ( ) = , que é totalmente diferente 
de ( ) = . 
Desse modo, não confunda as notações: ( ) designa a função inversa de ( ), aquela que, aplicada a ( ), recupera o valor de . 
 
Paridade de funções 
Algumas funções têm uma propriedade interessante: são pares. Outras funções têm outra 
propriedade interessante: são ímpares. Existem ainda outras funções que não são nem pares nem 
ímpares, o que é uma pena. 
Uma função par é uma função ( ) que é exatamente igual à direita e à esquerda do eixo 
vertical. Ou seja, 
 ( ) = (− ) 
 
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Funções pares se chamam assim porque a função ( ) = é uma função par: ela é 
idêntica à esquerda e à direita do eixo vertical. De fato, 
 (1) = (−1) (2) = (−2) (3) = (−3) (4) = (−4) (5) = (−5) 
 
Isso vale para qualquer número! 
A função ( ) = não é a única função par. Todas as funções de expoente par também 
são funções pares: 
 ( ) = ℎ( ) = ( ) = … 
 
Existem também funções ímpares. Funções ímpares são funções que mudam o sinal de um 
lado para o outro do lado vertical. Ou seja, se a função é positiva de um lado do eixo vertical, 
então, do outro lado, ela é igualzinha, mas negativa, e vice-versa. Em outras palavras, uma função 
é ímpar se 
 ( ) = − (− ) 
 
Funções ímpares se chamam funções ímpares porque a função ( ) = é ímpar. 
 (1) = −(−1) (2) = −(−2) (3) = −(−3) (4) = −(−4) (5) = −(−5) 
 
Isso vale para qualquer número! 
 
 
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A função ( ) = não é a única função ímpar. Todas as funções de expoente ímpar 
também são funções ímpares: 
 ( ) = ℎ( ) = ( ) = … 
 
Existem algumas funções que são pares, mas não parecempares; assim como existem 
funções que são ímpares, mas não parecem ímpares. Por exemplo, a função ( ) = cos ( ) é par, 
porque cos( ) = cos (− ). Já a função ( ) = sen( ), por exemplo, é ímpar, porque sen( ) = −sen (− ). Aliás, a função ( ) = cos é par, e a função ( ) = sin(8 ) é 
ímpar, pelos mesmos motivos. 
Finalmente, vale notar que algumas funções não são nem pares nem ímpares. Por exemplo, 
a função 
 ( ) = − 1 
 
Note que 
 (1) = 0 (−1) = −2 
 
São números totalmente diferentes. Como consequência, ( ) = − 1 não é par nem ímpar. 
Outro exemplo é a função 
 ( ) = 2 
 
Nesse caso, vemos que a função não é par nem ímpar porque, escolhendo-se = 1, por 
exemplo, temos 
 (1) = 2 (−1) = 12 
 
 
 
 
 
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BIBLIOGRAFIA 
DEMANA, F. D.; WAITS, B. K.; FOLEY, G. D.; KENNEDY, D.; Pré-cálculo. 2. ed. São Paulo: 
Pearson, 2013. 
 
IEZZI, G.; DOLCE, O.; DEGENSZAJN, D.; PÉRIGO, R. Matemática – volume único. Parte 
1. 6 ed. São Paulo: Atual, 2015. 
 
IEZZI, G.; DOLCE, O.; DEGENSZAJN, D.; PÉRIGO, R. Matemática – volume único. Parte 
3. 6. ed. São Paulo: Atual, 2015. 
 
PAIVA, M. Matemática 1. 3. ed. São Paulo: Moderna, 2015. 
 
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PROFESSOR-AUTOR 
Felipe Buchbinder é doutor em Administração pela Fundação Getulio Vargas (FGV). É 
engenheiro do BNDES e professor da FGV, nos cursos de graduação e no MBA. Atualmente, 
trabalha com uso de Big Data e aprendizagem de máquina (machine learning) para avaliação de 
impactos de políticas públicas. Também possui experiência em gestão por processos e em análise 
de riscos junto ao BNDES, à Deloitte e a empresas como Petrobrás, Icatu Hartford e Ponto Frio. 
No mestrado, foi bolsista da CAPES e, na graduação, do Institut National des Sciences 
Appliquées (INSA) de Lyon (França). Seu doutorado versa sobre os determinantes do 
desempenho e da trajetória de crescimento de empresas.