Unidade 6 - Estabilidade de Sistemas de Controle em Malha Fechada

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ENG07044 
Controle de Processos 
Industriais 
Unidade 6 – Estabilidade de Sistemas 
de Controle em Malha Fechada 
Seborg, Edgar & Mellinchamp Cap. 11 
Ogunnaike & Ray Cap. 14 
ENG07046 - Modelagem, Simulação e Otimização de Processos 
Parte 1 - Introdução 
Introdução Objetivos Definições Classificação Slide 2 
1. Visão Geral sobre Estabilidade 
2. Análise de Estabilidade 
3. Método de Routh 
4. Método da Substituição Direta/Limite de 
Estabilidade 
5. Redução de Modelos pelo Método dos polos 
Dominantes 
Conteúdo 
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Parte 1 - Introdução 
Introdução Objetivos Definições Classificação Slide 3 
Visão Geral sobre Ajuste de Controladores 
 Deve satisfazer os seguintes critérios: 
1. O sistema em malha fechada deve ser estável 
2. O erro estacionário deve ser eliminado 
3. O efeito dos distúrbios deve ser minimizado (boa 
rejeição de distúrbios) 
4. As respostas da mudanças de setpoint devem ser 
rápidas e suaves (bom seguimento de referência) 
5. Evitar ação de controle excessiva 
6. O sistema de controle deve ser robusto 
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Parte 1 - Introdução 
Introdução Objetivos Definições Classificação Slide 4 
Visão Geral sobre Ajuste de Controladores 
 Resumindo: 
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Parte 1 - Introdução 
Introdução Objetivos Definições Classificação Slide 5 
Estabilidade 
Estabilidade é uma característica que indica a ocorrência de respostas 
“bem comportadas” para perturbações feitas no sistema. 
 
Matematicamente: um sistema é estável se a resposta para 
entradas limitadas ( 𝑢(𝑡) < ∞) for também limitada ( 𝑦(𝑡) < ∞) 
para 𝑡 ≥ 𝑡0. 
Estável 
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Parte 1 - Introdução 
Introdução Objetivos Definições Classificação Slide 6 
Estabilidade 
 Caso contrário, o sistema será dito instável. 
 
Instável 
 Esta definição é conhecida como estabilidade “BIBO” (Bounded 
Input, Bounded-Output). 
 
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Parte 1 - Introdução 
Introdução Objetivos Definições Classificação Slide 7 
Estabilidade 
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Parte 1 - Introdução 
Introdução Objetivos Definições Classificação Slide 8 
Estabilidade 
 Um sistema em malha aberta será estável se não contiver 
polos no semiplano complexo positivo (direito) 
 
𝐺 𝑠 = 𝐾𝐾
𝑠 − 𝑧1 𝑠 − 𝑧2 ⋯ 𝑠 − 𝑧𝑚
𝑠 − 𝑝1 𝑠 − 𝑝2 ⋯ 𝑠 − 𝑝𝑛
 
×: polos 
ο: zeros 
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Parte 1 - Introdução 
Introdução Objetivos Definições Classificação Slide 9 
Polinômio 
Característico 
Estabilidade 
 Para analisar a estabilidade de sistemas de controle em malha 
fechada, deve-se observar as raízes da equação característica 
em malha fechada 
 
𝐺𝑀𝑀 𝑠 =
𝐶𝐴𝐺
1 + 𝑀𝐶𝐴𝐺
 
1 + 𝑀𝐶𝐴𝐺 ≡ 1 + 𝐺𝑀𝑀(s) O sistema em malha fechada será estável apenas se as raízes da 
equação característica estiverem 
no semiplano complexo negativo 
(esquerdo) 
 
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Parte 1 - Introdução 
Introdução Objetivos Definições Classificação Slide 10 
Estabilidade 
 Característica das Respostas 
Resposta Estável e Monótona 
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Parte 1 - Introdução 
Introdução Objetivos Definições Classificação Slide 11 
Estabilidade 
 Característica das Respostas 
Resposta Instável 
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Parte 1 - Introdução 
Introdução Objetivos Definições Classificação Slide 12 
Estabilidade 
 Característica das Respostas 
Resposta Estável e Oscilatória 
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Parte 1 - Introdução 
Introdução Objetivos Definições Classificação Slide 13 
Estabilidade 
 Surgem as questões: 
 Pode um sistema estável em malha aberta ser 
instável em malha fechada? 
 Pode um sistema instável em malha aberta ser estável 
em malha fechada? 
 Pode um zero da F.T. em malha aberta causar 
instabilidade em malha fechada? 
 Pode o tempo morto da F.T. em malha aberta causar 
instabilidade em malha fechada? 
 
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Parte 1 - Introdução 
Introdução Objetivos Definições Classificação Slide 14 
Análise de Estabilidade 
 Métodos para Determinação da Estabilidade 
1. Cálculo direto das raízes de 1 + 𝐺𝑀𝑀 𝑠 = 0 
2. Critério de Routh 
3. Método da Substituição direta: 𝑠 = 𝜔𝜔 
4. Diagrama do Lugar das Raízes 
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Parte 1 - Introdução 
Introdução Objetivos Definições Classificação Slide 15 
Análise de Estabilidade 
 Critério de Routh: teste analítico que permite 
verificar a estabilidade de um controlador sem a 
necessidade do cálculo das raízes 
O polinômio característico deve estar na forma 𝑎𝑛𝑠𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑠𝑛−1 +
⋯+ 𝑎0 = 0 
 Se o coeficiente 𝑎𝑛 for menor que zero, multiplicar o polinômio por -1 
 Se um ou mais dos coeficientes (𝑎𝑛, 𝑎𝑛−1,..., 𝑎0) for negativo, pelo 
menos uma das raízes (polos) é positiva  sistema instável 
 Se todos os coeficientes forem positivos, ainda não é possível afirmar 
que o sistema é estável  empregar a tabela de Routh (Routh array) 
 
 
Aplicação 
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Parte 1 - Introdução 
Introdução Objetivos Definições Classificação Slide 16 
Análise de Estabilidade 
 Critério de Routh: teste analítico que permite 
verificar a estabilidade de um controlador sem a 
necessidade do cálculo das raízes 
Polinômio característico na forma: 
𝑎𝑛𝑠𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑠𝑛−1 + ⋯+ 𝑎0 = 0 
(𝑎𝑛 > 0) 
Todos os valores nesta coluna devem ser 
 positivos para estabilidade! 
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Parte 1 - Introdução 
Introdução Objetivos Definições Classificação Slide 17 
Análise de Estabilidade 
 Substituição direta: o eixo imaginário divide as 
regiões de estabilidade e instabilidade  sobre o 
eixo, as raízes são da forma 𝑠 = ±𝜔𝜔 
Fronteira da 
Estabilidade 
Substituindo 𝑠 = 𝜔𝜔 em 
1 + 𝐾𝑐𝐺𝑀𝑀(𝑠) = 0 
pode-se determinar os 
valores do(s) parâmetro(s) do 
controlador que levam aos 
limites de estabilidade 
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Parte 1 - Introdução 
Introdução Objetivos Definições Classificação Slide 18 
Análise de Estabilidade 
 Diagrama do Lugar das Raízes (DLR): gráfico no 
plano complexo que mostra como variam as raízes da 
equação característica em malha fechada em função 
dos parâmetros do controlador (em geral, de 𝐾𝑐) 
Ex.: 𝐺𝑀𝑀 𝑠 =
4𝐾𝑐
𝑠+1 𝑠+2 𝑠+3
 
𝐾𝑐 
𝐾𝑐 
𝐾𝑐 
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Parte 1 - Introdução 
Introdução Objetivos Definições Classificação Slide 19 
Análise de Estabilidade 
Ex.: 𝐺𝑀𝑀 𝑠 =
4𝐾𝑐
𝑠+1 𝑠+2 𝑠+3
 
Diagrama do Lugar das Raízes 
𝐾𝑐 𝑟1 𝑟2 𝑟3 
0 -3 -2 -1 
0,1 -1.4201 + 0.0932j -1.4201 - 0.0932j -3.1597 
1 -1.1018 + 1.1917j -1.1018 - 1.1917j -3.7963 
5 -0.5814 + 2.2443j -0.5814 - 2.2443j -4.8371 
10 -0.2413 + 2.8773j -0.2413 - 2.8773j -5.5174 
15 + 3.3166j - 3.3166j -6 
20 0.1931 + 3.6646j 0.1931 - 3.6646j -6.3862 
polos 
p/ 𝐾𝑐 = 0 
polos 
p/ 𝐾𝑐 = 15 
Polos de malha fechada em função de Kc 
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Parte 1 - Introdução 
Introdução Objetivos Definições Classificação Slide 20 
Análise de Estabilidade 
 Regras para a interpretação do diagrama do lugar 
das raízes: 
Regra I: o diagrama apresenta o mesmo número de ramos 
(“loci ”) que o número de polos de 𝐺𝑀𝑀 𝑠 
Regra II: o diagrama é simétrico em relação ao eixo real 
Regra III: dos 𝒏 ramos, 𝒎 terminam nos zeros de 𝐺𝑀𝑀, 
enquanto os demais (𝒏−𝒎) ramos tendem ao infinito 
Regra IV: o diagrama inicia nos polos de 𝐺𝑀𝑀 𝑠 e termina 
nos seus zeros→ “história da migração dos polos da F.T. 
em malha aberta para os seus zeros” 
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Parte 1 - Introdução 
Introdução Objetivos Definições Classificação Slide 21 
Análise de Estabilidade 
 Regras para a interpretação do diagrama do lugar 
das raízes: 
Regra V: o módulo complexo de 𝐺𝑀𝑀 é 1 para todos os 
valores de 𝑠 
Regra VI: as características dinâmicas da resposta em malha 
fechada podem ser obtidas através do DLR 
Regra VII (simplificada): para sistemas com polos e zeros 
estritamente negativos, segmentos do eixo real que tenham 
à sua direita número ímpar de polos + zeros de 𝐺𝑀𝑀 
pertencem ao DLR (se o sinal dos ganhos do controlador e 
da planta for o mesmo; caso contrário, este número é par) 
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Parte 1 - Introdução 
Introdução Objetivos Definições Classificação Slide 22 
Conceito de Polos Dominantes 
 O diagrama do Lugar das Raízes (DLR): o 
diagrama permite ter uma estimativa do 
comportamento do sistema em malha fechada 
Dois polos complexos 
dominantes r1,2 → comportamento 
“semelhante” a um sistema 
2ª ordem puro 
𝜏 =
1
𝑑
=
1
módulo de 𝑟
 
𝜁 = cos (𝜓) = 
parte real de 𝑟
módulo de 𝑟
 
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Parte 1 - Introdução 
Introdução Objetivos Definições Classificação Slide 23 
Conceito de Polos Dominantes 
Ex.: 𝐺𝑀𝑀 𝑠 =
4𝐾𝑐
𝑠+1 𝑠+2 𝑠+3
, 
𝐺�𝑀𝑀 𝑠 =
40/46
0,1199𝑠2 + 0,00579𝑠 + 1
 
𝐾𝑐 = 10 
𝐺𝑀𝑀 𝑠 =
40
𝑠3 + 6𝑠2 + 11𝑠 + 46
 
F.T. com os polos 
dominantes e 
mesmo ganho de 
de 𝐺𝑀𝑀 
	ENG07044�Controle de Processos�Industriais
	Número do slide 2
	Visão Geral sobre Ajuste de Controladores
	Visão Geral sobre Ajuste de Controladores
	Estabilidade
	Estabilidade
	Estabilidade
	Estabilidade
	Estabilidade
	Estabilidade
	Estabilidade
	Estabilidade
	Estabilidade
	Análise de Estabilidade
	Análise de Estabilidade
	Análise de Estabilidade
	Análise de Estabilidade
	Análise de Estabilidade
	Análise de Estabilidade
	Análise de Estabilidade
	Análise de Estabilidade
	Conceito de Polos Dominantes
	Conceito de Polos Dominantes