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MODELAGEM E SISTEMAS 
DINÂMICOS
2020
Prof. Rogério Diogne de Souza e Silva
GABARITO DAS 
AUTOATIVIDADES
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MODELAGEM E SISTEMAS DINÂMICOS
UNIDADE 1
TÓPICO 1 
Considere um sistema de iluminação composto por um circuito elé-
trico, cuja finalidade seja acionar uma lâmpada. Fisicamente, pode-
rá ser representado por um resistor ou um indutor. Para esse siste-
ma, responda:
1 Quais as variáveis físicas envolvidas (variáveis de entrada e 
saída) nesse sistema? Desenhe um diagrama representando o 
sistema e destacando as variáveis.
R.: No caso de o sistema de iluminação ser representado por uma resis-
tência, a fonte de luz é uma lâmpada incandescente, a qual emite fluxo 
luminoso através do aquecimento resistivo de um filamento. Dessa for-
ma, podemos representar o sistema através do seguinte diagrama:
As variáveis de entrada e saída são:
Variável de entrada: Tensão elétrica (V)
Variável de saída: Corrente elétrica (i)
2 Quais leis físicas relacionam as variáveis de entrada e saída com 
o elemento físico (resistor e indutor).
R.: Quanto ao elemento físico resistência, pelas Leis de Kirchhoff, de 
acordo com a equação a seguir: 
Quanto ao elemento físico indutância, também pode ser representado 
pelas Leis de Kirchhoff, de acordo com a equação a seguir:
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MODELAGEM E SISTEMAS DINÂMICOS
A equação pode ser escrita em função da tensão:
3 Classifique o sistema quanto às classificações apresentadas.
R.: Os sistemas físicos, em geral, são não lineares, no entanto, repre-
sentamos com restrições das variáveis, dessa forma, o modelo pode 
ser classificado como linear. Caso os parâmetros não variem, o mode-
lo pode ser classificado com invariante no tempo. Portanto, o sistema 
pode ser classificado como um modelo linear invariante no tempo.
 
4 Repita os itens citados, substituindo o sistema de iluminação por 
um sistema de aquecimento. 
R.: O sistema de aquecimento pode ser representado pela resistência, 
dessa forma, as respostas que se referem ao sistema resistivo podem 
ser utilizadas para representar um sistema de aquecimento.
TÓPICO 2
1 Enumere os passos para a elaboração de um diagrama de blocos 
de um sistema.
R.: A representação através de diagrama de blocos de um sistema 
consiste na identificação da relação de causa e efeito entre a entrada 
e a saída de um sistema físico. Os diagramas em blocos consistem 
em blocos operacionais unidirecionais, que representam a função de 
transferência das variáveis de interesse. Dessa maneira, para elaborar 
um diagrama de blocos, deve-se:
- Identificar a relação entre entrada e saída.
- Compreender funções de transferência das partes constituintes do 
sistema.
- Verificar a correlação entre as partes e apresentar suas interconexões.
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MODELAGEM E SISTEMAS DINÂMICOS
2 Qual é a diferença entre um sistema em malha aberta e um sistema 
em malha fechada? Exemplifique com uma aplicação prática. 
R.: Um sistema de controle de malha aberta é aquele no qual a ação de 
controle é independente da saída. Por outro lado, um sistema de con-
trole de malha fechada a ação de controle depende de algum modo da 
saída. Como exemplos, considere um sistema de iluminação, em um 
primeiro momento, o sistema tem apenas uma chave para desligar e 
ligar o circuito, os condutores e uma lâmpada, nesse caso ao acionar 
o circuito a lâmpada vai acender, mas o chave que controla o sistema 
não recebe nenhuma informação se a lâmpada ligou ou não, nesse 
caso temos um sistema em malha aberta. Agora, neste mesmo siste-
ma de iluminação inserimos um sensor de iluminância e controlar-
mos o funcionamento da chave liga e desliga a partir da necessidade 
ou não da lâmpada, teremos um sistema em malha fechada.
3 Para o circuito RLC a seguir, faça a modelagem para obter a 
função de transferência .
R.: Inicialmente, vamos escrever a equação que representa o circuito 
RLC:
Como a função de transferência será em relação a vc(s), precisamos 
reescrever a equação acima, fazendo , resultando em:
Considerando:
5
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Aplicando a transformada de Laplace:
4 Para um circuito RC série, encontre as funções de transferência 
do sistema no domínio da frequência, relacionando tensão de en-
trada e tensão de saída. 
R.: Para a solução dessa questão utilize a equação diferencial que ca-
racterize um circuito RC série, ou seja:
Semelhante a questão 3, faça e substitua em (1):
Fazendo q(t) = Cvc (t) e substituindo em (2), temos:
Aplicando a transformada de Laplace:
TÓPICO 3
1 Quais as declarações de variáveis a seguir não são válidas em Scilab?
a) ( ) UNIASSELVI.
b) ( ) %UNI.
c) ( ) UNI1.
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MODELAGEM E SISTEMAS DINÂMICOS
d) ( x ) X+Y.
e) ( ) X[ 1 ].
2 Escreva as equações a seguir utilizando a sintaxe do Scilab.
a) y=x²+3x+5
R.: y=x^2+3*x+5
b) y=x sin xπ
R.: y=x*sin(x*%pi)
c) y=3ex sin xπ
R.: y=3*%e^x*sin(x*%pi)
d) z=x³+y²+xy
R.: z=x^3+y^2+x*y
e) z=x ln
R.: z=x*log((5*y)/(3))
3 Para as funções a seguir, atribua, como valor de x, o intervalo de 
-100 a 100, e trace os gráficos de cada função em Scilab. 
a) y=x²+3x+5
R.:
--> x=[-100:1:100];
--> y=x^2+3*x+5;
--> plot(y,x)
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MODELAGEM E SISTEMAS DINÂMICOS
b) y=x sin xπ
R.:
-> x=[-100:1:100];
--> y=x.*sin(x*%pi);
--> plot(y,x)
c) y=3ex sin xπ
R.:
--> x=[-100:1:100];
--> y=3*%e^x.*.sin(x*%pi);
--> plot(y,x)
4 Para a seguinte função, atribua valores às variáveis x e y, e trace 
um gráfico em 3D em Scilab.
z = x³+ y² + xy
R.:
--> [x,y]=meshgrid(-5:0.1:5,-5:0.1:5);
--> z=x^3+y^2+x*y;
--> mesh(x,y,z)
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MODELAGEM E SISTEMAS DINÂMICOS
5 Para um circuito RC série, encontre as funções de transferência do 
sistema no domínio da frequência, relacionando tensão de entra-
da e corrente elétrica. Atribua valores às constantes, implemente 
no Xcos, e simule, considerando como sinal de entrada uma fun-
ção degrau. Por fim, determine a curva de resposta do sistema.
R.: A função de transferência do circuito RC série é:
Se atribuirmos o valor 1 a constante RC, temos:
O sistema montando em Xcos, teremos a janela da figura a seguir.
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MODELAGEM E SISTEMAS DINÂMICOS
E resultará na curva de resposta do sistema a seguir.
UNIDADE 2
TÓPICO 1
1 Utilize o Scilab para realizar a expansão em frações parciais da 
função:
R.: Utilize o procedimento a seguir para obter a expansão:
 
s=poly(0,'s');
F=(4*s^4+32*s^3+98*s^2+116*s+38)/(2*s^3+12*s^2+22*s+12);
f=pfss(F)
No exposto a seguir, haverá a janela do Scilab, com os comandos e o 
resultado da expansão em frações parciais.
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MODELAGEM E SISTEMAS DINÂMICOS
Dessa forma, F(s) pode ser reescrita da seguinte maneira:
2 Encontre os polos e zeros das seguintes funções de transferência:
R.:
a) Não há zeros. 
Os polos são as raízes de s²+3s+2. Resolvendo a equação, teremos s’=-1 
e s’’= -2.
b) O zero é s= -8.
Os polos são as raízes de s²+6s+8. Resolvendo a equação, teremos s’= 
-2 e s’’= -4.
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3 Utilize o Scilab para a determinação do mapa de polos e zeros da 
função de transferência: 
R.:
Utilize o procedimento a seguir para traçar o mapa de polos e zeros:
s=poly(0,’s’);
num=s+3;
den=(s+2)*(s+4)*(s+5);
C=syslin([],num,den);
figure(0);
clf;
plzr(C);
trzeros(C)
Pss=tf2ss(C);
Resultando em:
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MODELAGEM E SISTEMAS DINÂMICOS
TÓPICO 2
1 Para a função de transferência G(s) a seguir, determine:
a) a equação no domínio do tempo que represente a resposta transi-
tória a um degrau unitário.
b) um diagrama de blocos que represente esse sistema (entrada, 
função de transferência e saída).
c) a constante de tempo, o tempo de subida e o tempo de acomodação.
R.:
a) Através de G(s), tem-se a= -4.
A equação de saída de G(s), sujeita a uma entrada em degrau unitária, é:
Utilizando a transformada inversa, obtém-se a equação no domínio 
do tempo:
b)
c) A constante de tempo (T) é .
O tempo de subida (Tr) é .
O tempo de acomodação (Ts) é .
2 Para um sistema com a função de transferência de segunda ordem 
G(s) a seguir, e submetido a um sinal de entrada degrau, determine:
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MODELAGEME SISTEMAS DINÂMICOS
a) ( ) A frequência natural de oscilação.
b) ( ) O fator de amortecimento.
c) ( ) A classificação da resposta transitória.
R.:
c) Como o fator de amortecimento está entre 0 e 1, o sistema é classi-
ficado como subamortecido.
TÓPICO 3
1 Simule, computacionalmente, um sistema de 1ª ordem, a partir 
da função de transferência G(s) sujeita a um sinal de entrada em 
degrau unitário:
A partir da resposta transitória, identifique, em um gráfico, a cons-
tante de tempo, o tempo de subida e o tempo de acomodação.
R.:
A constante de tempo (T) tem as coordenadas (0,142; 0,608), pois o 
O tempo de subida (Tr) tem as coordenadas (0,314; 0,886), pois o
O tempo de acomodação (Ts) tem as coordenadas (0,571; 0,981), pois o
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MODELAGEM E SISTEMAS DINÂMICOS
A seguir, o gráfico da resposta transitória, com os parâmetros 
identificados:
2 Simule, computacionalmente, um sistema a partir da função de 
transferência G(s) sujeita a um sinal de entrada em degrau unitá-
rio e determine:
a) A classificação da resposta transitória a partir do gráfico da 
resposta e valor e posição dos polos no plano s.
b) Altere a função para e repita o item (a).
c) Compare as respostas transitórias de ambas funções e analise 
a influência do fator de amortecimento no comportamento 
transitório.
R.:
a) O gráfico para a resposta transitória de segue:
 
O Tempo de acomodação é Ts= 0,8 s.
 
Pela inspeção visual da resposta transitória, observa-se que se trata de 
um sistema subamortecido.
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MODELAGEM E SISTEMAS DINÂMICOS
Obtendo o mapa de polos no plano s, confirmamos que o sistema é 
subamortecido, com dois polos complexos.
b) O gráfico para a resposta transitória de segue:
 
O Tempo de acomodação é Ts= 0,4 s.
 
Pela inspeção visual da resposta transitória, observa-se que se trata de 
um sistema subamortecido.
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MODELAGEM E SISTEMAS DINÂMICOS
Obtendo o mapa de polos no plano s, confirmamos que o sistema é 
subamortecido, com dois polos complexos.
c) O amortecimento do primeiro sistema é menor, ζ=0,35, e pode-se 
observar que sua resposta transitória apresenta maiores oscilações e 
sobre-sinal.
O segundo sistema apresenta amortecimento maior, ζ= 0,7, gerando 
menos oscilações e sobre-sinal menor.
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MODELAGEM E SISTEMAS DINÂMICOS
UNIDADE 3
TÓPICO 1 
1 Considerando um determinado degrau unitário como entrada, e 
dois sistemas diferentes, em que G1 é um sistema do tipo 0 e, 
G2, um sistema do tipo 1, determine se o valor do erro em regime 
é nulo, constante ou varia conforme o tempo para cada um dos 
sistemas.
R.: Erro de G1 é nulo e erro de G2 varia conforme o tempo. Sistemas 
do tipo 0 sempre possuem erro nulo de entrada ao degrau, ao passo 
que sistemas do tipo 1 possuem erro constante para a entrada.
2 Qual dos exemplos a seguir poderia apresentar erro em regime 
permanente, sem comprometer sua aplicação?
a) Braço robótico.
b) Forno doméstico.
c) HD de computador.
d) Impressora.
R.: Letra (b): Forno doméstico. Sistemas em que é necessária grande 
precisão na saída, também chamados de aplicações críticas, não po-
dem apresentar erro em regime permanente ou, caso apresentem, tal 
erro deve ser o mais próximo possível de zero.
3 Dado um sistema G(s) = 100/s(s+10), determine o valor do erro à 
rampa. 
R.: Erro = 1/10. Calculando o Kv, é possível chegar ao valor de 10 para 
o sistema. Fazendo o inverso de Kv, encontra-se o erro à rampa, no 
caso, igual a 1/10.
4 Determine o tipo - tipo 0, tipo 1 ou tipo 2 - dos sistemas a seguir:
V(s) = (s+17)/(s*(3s+14))
B(s) = (5s+12)/(s+11)
D(s) = (2s+1)/(s2*(3s+14)*(s+4))
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Os tipos dos sistemas V, B e D são, respectivamente:
R.: 1, 0, 2. Identifica-se o tipo do sistema pelo número de polos exis-
tentes na origem. Portanto, os sistemas são do tipo 1, tipo 0 e tipo 2, 
respectivamente.
TÓPICO 2
1 Considere o LGR a seguir e K = 10, e determine a função de trans-
ferência do sistema:
R.: Ao observar o lugar geométrico das raízes (LGR), veja que ele 
apresenta três polos, os quais estão localizados em (-1, -2 e -5), e zeros 
complexos conjugados. Portanto, a resposta é: G(s) = 10(s² +2s+10)/
(s+1)(s+2)(s+5).
2 Considerando o LGR anterior, o que é possível dizer sobre a es-
tabilidade desse sistema conforme o ganho K ∞?
R.: O sistema é estável para todos os valores de K.
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MODELAGEM E SISTEMAS DINÂMICOS
3 Considerando o sistema dado por G(s) = K/s(s+3)(s+5) e H(s) = 1, 
determine as assíntotas do LGR.
R.: O sistema tem três assíntotas, as quais estão em 60°, -60° e 180°.
4 Considerando o LGR a seguir, e o ganho do sistema que é K = 100, 
determine a função de transferência.
R.: G(s)H(s) = 100/s(s2 +15s+50).
5 Considerando o LGR anterior, o que se pode dizer sobre a estabi-
lidade desse sistema conforme o ganho K ∞?
R.: O sistema é instável quando K ∞.
TÓPICO 3
1 Dada a seguinte equação característica (s3+3s2+2s+1), faça o ar-
ranjo de Routh-Hurwitz e determine o número de troca de sinais 
apresentados na primeira coluna e a estabilidade do sistema.
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MODELAGEM E SISTEMAS DINÂMICOS
R.: O sistema não apresenta troca de sinal na primeira coluna, portan-
to, é estável. Para determinar a estabilidade do sistema pelo método 
de Routh-Hurwitz, é necessário montar a tabela, além de analisar a 
primeira coluna, de modo a verificar quantas trocas de sinal são apre-
sentadas. No caso, a primeira coluna não apresenta nenhuma troca de 
sinal, ou seja, o sistema é estável:
1 2
3 1
4/3
1
2 Dada a seguinte equação característica (s3 +5 s2 +7s+K), determine 
os valores máximo e mínimo de K, que tornam esse sistema 
estável.
R.: 35 > K > 0. Para determinar os valores de K que garantem a esta-
bilidade desse sistema, montamos a tabela de Routh e analisamos a 
primeira coluna, de modo que os valores de K garantem que esta não 
apresente troca de sinal. Nesse caso, 35 > K > 0 garante a estabilidade 
do sistema.
3 Dada a seguinte equação característica (s3+3s2+Ks+3), determine 
os valores de K que tornam esse sistema estável.
R.: K > 1. Para determinar os valores de K que garantem a estabilidade 
desse sistema, montamos a tabela de Routh e analisamos a primeira 
coluna, de modo que os valores de K garantem que esta não apresente 
troca de sinal. Nesse caso, K > 1 garante a estabilidade do sistema.
4 Dada a seguinte equação característica (3s+5s2+5s+25), faça o ar-
ranjo de Routh-Hurwitz e determine o número de troca de sinais 
apresentados na primeira coluna e a estabilidade do sistema.
R.: O sistema não apresenta troca de sinal na primeira coluna, portanto 
é estável. Para determinar a estabilidade do sistema pelo método de 
Routh-Hurwitz, é necessário montar a tabela, além de analisar a primeira 
coluna, de modo a verificar quantas trocas de sinal são apresentadas. 
Esse exercício apresenta o caso especial de Routh, em que uma linha 
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MODELAGEM E SISTEMAS DINÂMICOS
apresenta somente zeros, portanto, usamos o polinômio auxiliar e 
continuamos a análise do mesmo modo. No caso, a primeira coluna não 
apresenta nenhuma troca de sinal, ou seja, o sistema é estável:
1 5
5 25
10
25
5 Dada a seguinte equação característica (s3 -3s2 +2s-15), faça o 
arranjo de Routh-Hurwitz e determine o número de troca de sinais 
apresentados na primeira coluna e a estabilidade do sistema.
R.: O sistema apresenta três trocas de sinal na primeira coluna, portanto 
é instável. Para determinar a estabilidade do sistema pelo método 
de Routh-Hurwitz, é necessário montar a tabela, além de analisar 
a primeira coluna, de modo a verificar quantas trocas de sinal são 
apresentadas. No caso, a primeira coluna apresenta três trocas de sinal, 
ou seja, o sistema é instável:
1 2
-3 -15
3
-15
6 Dado o LGR de um sistema, determine a estabilidade a seguir:
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MODELAGEM E SISTEMAS DINÂMICOS
R.: O sistema apresenta um polo instável à medida que K cresce. Não 
é possível ter polos no semiplano direito do plano s. Conforme K 
aumenta, um polo vai para o infinito e para a esquerda, enquanto o 
outro polo tendeao valor zero, ultrapassando o eixo imaginário, ca-
racterizando, assim, um sistema instável.
7 Ao projetar um sistema de controle, é alterada a localização dos po-
los e zeros em malha fechada. Considerando um sistema que apre-
senta um polo com uma dinâmica indesejada, como proceder por 
meio do método do lugar das raízes para anular a dinâmica do polo?
R.: Adicionar um zero no lugar do polo para anular a dinâmica inde-
sejada. Ao projetar um controlador em que se quer anular a dinâmica 
de um determinado polo, basta adicionar um zero no mesmo lugar no 
qual o polo está no semiplano s.
8 Dado o sistema em malha fechada no LGR, determine se o con-
trolador está adequado, assim como o número de polos e zeros do 
controlador.
R.: O controlador apresentado não está adequado, uma vez que ele 
apresenta um polo no semiplano direito do plano s, caracterizando 
um sistema instável. Além disso, o controlador apresenta outros três 
polos estáveis e mais dois zeros. Uma vez que o controlador apresen-
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MODELAGEM E SISTEMAS DINÂMICOS
ta um polo no semiplano direito do plano s, o sistema está instável. 
Esse sistema em malha fechada apresenta dois zeros e quatro polos, 
um deles instável.
9 Quais características são apresentadas ao adicionar zeros no sis-
tema?
R.: A adição de zeros causa um deslocamento do lugar das raízes para 
a esquerda, garante maior estabilidade ao sistema e uma acomodação 
mais rápida. Por meio da adição de um zero na função de transferên-
cia em malha aberta, um controle derivativo está sendo adicionando 
ao sistema. Isso garante mais velocidade da resposta transitória, o 
deslocamento das raízes para a esquerda e estabilidade relativa.
10 Qual a função de transferência que representa o LGR a seguir?
R.: 10 (s+2) (s+4) (s+6)/(s+3) (s+5) (s² + 2s + 2).
Como é possível ver no LGR, todos os polos e zeros estão no semipla-
no esquerdo do plano s. Assim, os zeros estão localizados achando os 
valores que levam o numerador a zero. São eles: (-2, -4, -6). Os polos 
são localizados achando os valores que levam o denominador a zero. 
São eles: (-3, -5, -1+i, -1-i).