7-Análise de estabilidade de sistemas feedback

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6-Análise de estabilidade de sistemas feedback 
 
6.1- Noções de estabilidade 
 
 Nos capítulos anteriores examinamos as características dinâmicas da resposta de 
sistemas em malha fechada e desenvolvemos a função de transferência em malha fechada que 
determina a dinâmica de tais sistemas. É importante enfatizar novamente que a presença de 
medidores, controladores e elementos finais de controle mudam as características dinâmicas 
de um processo. Assim, processos de primeira ordem não oscilatórios podem adquirir 
comportamento oscilatório com controle PI. Processos de segunda ordem oscilatórios podem 
se tornar instáveis com controle PI e uma má escolha dos parâmetros Kc e τI. 
 Quando projetamos um sistema de controle feedback (ou seja, selecionando os seus 
componentes e sintonizando o controlador), estamos seriamente preocupados com as suas 
características de estabilidade. Assim, antes de proceder com os detalhes particulares de 
projeto de uma malha de controle feedback, vamos estudar a noção de estabilidade de 
sistemas em malha fechada. 
 Como se define um sistema estável ou instável? Existem diferentes formas, 
dependendo do rigor matemático da definição e da sua aplicação prática. Uma delas é a 
seguinte: 
Um sistema é considerado estável se para toda entrada limitada ele produz uma saída 
limitada, não importa qual seja o seu estado inicial. 
Todo sistema que não é estável de acordo com a definição acima será chamado de instável. 
Para completar a definição considere que: 
Limitada é uma entrada que sempre permanece entre limites inferior e superior (por 
exemplo, senoidal, degrau, mas não a rampa). 
Saídas ilimitadas existem somente em teoria e não na prática, já que todas as 
quantidades físicas são limitadas. Então, o termo "ilimitada" significa muito grande. 
De acordo com a definição acima, um sistema com resposta como a mostrada na 
Figura 6.1a é estável, enquanto a Figura 6.1b mostra a resposta de um sistema instável. 
 
 65
 
Figura 6- (a) Resposta estável e (b) instável. 
 Vamos considerar um sistema dinâmico com uma entrada m e uma saída y. Seu 
comportamento dinâmico pode ser descrito por uma função de transferência G(s): 
)s(m)s(G)s(y = 
 Na seção c.1.4 concluímos que se G(s) tem um pólo com parte positiva real, ele dá 
origem a um termo t1p1eC que cresce continuamente com o tempo, levando a um sistema 
instável. A função de transferência G(s) pode corresponder a um processo sem controle ou 
pode ser a função de transferência em malha fechada de um sistema controlado (Gsp ou 
Gcarga). Assim, a análise de estabilidade de um sistema pode ser tratada de forma unificada, 
independentemente do sistema ser controlado ou não. 
 A localização dos pólos da função de transferência nos dá o primeiro critério para 
checar a estabilidade de um sistema: 
Se a função de transferência de um sistema dinâmico tem mesmo um pólo com parte 
real positiva, o sistema é instável. 
Assim, todos os pólos de uma função de transferência devem estar no lado esquerdo do plano 
imaginário para o sistema ser estável. 
Exemplo 6.1- Estabilização de um processo instável com controle P 
 Considere um processo com a seguinte função de transferência: 
)s(d
1s
5
)s(m
1s
10
)s(y
−
+
−
= 
Claramente, este processo é instável porque a sua função de transferência possui um pólo em 
s=1>0. A Figura 6.2 (curva α) mostra a resposta do processo sem controle para uma 
perturbação degrau unitária na carga d, o que mostra o seu caráter instável. 
 66
 
Figura 6.2- Curva α, resposta instável em malha aberta; curva β, resposta estável em malha 
fechada com controle P. 
Vamos introduzir um sistema de controle feedback com controle proporcional. 
Assuma que para o medidor e para o elemento final de controle 
Gm=Gf=1 
 A Figura 6.3 mostra o diagrama de blocos do sistema em malha fechada. 
 
Figura 6.3- Diagrama de blocos para o sistema do exemplo 6.1. 
 A resposta em malha fechada é dada pela equação 5.7, que para este sistema é igual a 
)K101(s
5
)s(ysp
)K101(s
K10
)s(y
cc
c
−−
+
−−
= 
 A partir da equação acima concluímos que a função de transferência em malha 
fechada tem pólos negativos se Kc>1/10. Logo, o sistema original pode ser estabilizado 
simplesmente com controle proporcional. A Figura 6.2 (curva β) mostra a resposta dinâmica 
do sistema controlado para uma perturbação degrau na entrada para Kc=1. Compare ao 
comportamento do sistema não controlado e compreenda o efeito do controlador. 
 
 67
Exemplo 6.2- Desestabilização de um processo estável com controle PI 
 Considere um processo de segunda ordem com a seguinte função de transferência: 
2s2s
1
)s(Gp
2 ++
= 
O sistema tem dois pólos complexos com parte real negativa: 
j11p +−= e j12p −−= 
Assim, de acordo com o nosso critério o sistema é estável. Realmente, se fizermos uma 
perturbação degrau na entrada, a resposta do sistema é como mostrada na Figura 6.4 a. 
Introduza um controlador PI. Deixe que o medidor e o elemento final de controle tenham as 
seguintes funções de transferência: 
Gm(s)=Gf(s)=1 
 A resposta em malha fechada a mudanças no set point é dada por: 
)s(ysp)s(Gspysp
GpGc1
GpGc
)s(y =
+
= 
 
Figura 6.4- (a) Resposta estável em malha aberta. 
(b) Resposta desestabilizada com controle PI. 
 Para examinar a estabilidade da resposta em malha fechada, temos que achar onde 
estão localizados os pólos da função acima. 
I
23
II
I
I
2
I
I
2
Kc
s)Kc2(s2s
/)1s(Kc
s
1s
Kc
2s2s
1
1
s
1s
Kc
2s2s
1
GpGc1
GpGc
Gsp
τ
++++
τ+τ
=
τ
+τ
++
+
τ
+τ
++=
+
= 
Faça Kc=100 e τI=0.1 
Assim, os pólos de Gsp são determinados pelas raízes do polinômio 
1.0
100
s)1002(s2s 23 ++++ 
e são dados por: 
p1=-7.185 p2=2.59+11.5j e p3=2.59-11.5j 
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 Notamos que p2 e p3 têm partes reais positivas. Logo, de acordo com o nosso critério 
a resposta em malha fechada é instável. A Figura 15.4b mostra a resposta do sistema para um 
degrau unitário no set point. Compare esta à resposta do sistema sem controle e note o efeito 
desestabilizante do controlador PI. Para diferentes valores de Kc e τI a resposta pode se tornar 
estável. Se baixarmos o ganho para Kc=10 e aumentarmos τI=0.5, encontramos que todos os 
pólos de Gsp têm parte real negativa. 
6.2- A equação característica 
 Os exemplos 6.1 e 6.2 mostraram os efeitos que o controle feedback pode ter nas 
características de estabilidade de um processo. Nesta seção vamos organizar e sistematizar a 
nossa análise, introduzindo e definindo alguns termos apropriados. 
 Considere o sistema de controle feedback mostrado na Figura 5.1. A resposta em 
malha fechada deste sistema é dada pela equação 5.7: 
)s(d
)s(Gm)s(Gc)s(Gf)s(Gp1
)s(Gd
)s(ysp
)s(Gm)s(Gc)s(Gf)s(Gp1
)s(Gc)s(Gf)s(Gp
)s(y
+
+
+
= 
ou, equivalentemente 
)s(d)s(aargGc)s(ysp)s(Gsp)s(y += 
 As características de estabilidade da resposta em malha fechada serão determinadas 
pelos pólos das funções de transferência Gsp e Gcarga. Estes pólos são comuns para as duas 
funções de transferência (já que elas têm denominador comum) e são dados pela solução da 
equação 
0GpGfGcGm1 =+ (6.1) 
A equação acima é chamada de equação característica do sistema feedback da Figura 5.1. 
 Admita que p1, p2,....,pn são as raízes da equação característica. Logo 
)pns).....(2ps)(1ps(GpGfGcGm1 −−−=+ 
Então podemos definir o seguinte critério para a estabilidade de um sistema em malha 
fechada: 
Um sistema de controle feedback é estável se todas as raízes da sua equação 
característica têm parte real negativa (ou seja, estão à esquerda do eixo imaginário). 
 Se qualquer raiz da equação característica está à direita do eixo imaginário ou nele (ou 
seja, parte real zero ou positiva), o sistema feedback é instável. 
Observações: 
1- O critério de estabilidade definido acima assegura a resposta estável de um sistema 
feedback independentemente se mudanças na entrada são no set point ou na carga. Isto porque69
as raízes da equação características são os pólos comuns às duas funções de transferência, Gsp 
e Gcarga. 
2- O produto 
GpGfGcGmGMA = 
será chamado de função de transferência em malha aberta, porque ela relaciona a medida ym 
ao set point ysp se a malha feedback for interrompida antes do comparador: 
)s(ysp)s(G)s(ym MA= 
Então, a equação característica pode ser escrita como segue: 
0G1 MA =+ 
e notamos que ela depende somente das funções de transferência dos elementos na malha, ou 
seja, não depende de Gd, que está fora da malha. 
3- As raízes da equação característica são também os pólos das funções de transferência em 
malha fechada, Gsp e Gcarga. Por esta razão também são chamadas de pólos da malha 
fechada. 
6.3- Critério de estabilidade de Routh-Hurwitz 
 O critério de estabilidade para sistemas em malha fechada não requer o cálculo dos 
valores das raízes do polinômio característico. Somente requer que saibamos se alguma raiz 
está à direita do eixo imaginário. O critério de Routh-Hurwitz nos permite testar se alguma 
raiz está à direita do eixo imaginário e, logo, chegar rapidamente a uma conclusão sobre a 
estabilidade do sistema em malha fechada sem computar os valores reais das raízes. 
 Expanda a equação característica na seguinte forma polinomial: 
0asa...sasaGpGfGcGm1 n1n
1n
1
n
0 =++++=+ −
− 
a0 deve ser positivo. Se é negativo multiplique ambos os lados da equação acima por -1. 
• Primeiro teste: Se qualquer dos coeficientes a1, a2, ..., an-1, an é negativo, existe pelo menos 
uma raiz da equação característica que tem parte real positiva e o sistema correspondente é 
instável. 
• Segundo teste: Se todos os coeficientes são positivos, então pelo primeiro teste não se 
pode concluir nada sobre a localização das raízes. Monte a seguinte matriz (conhecida como 
matriz de Routh): 
 70
.....WW1n
...............
.....CCC5
.....BBB4
.....AAA3
...aaaa2
...aaaa1Linha
21
321
321
321
7531
6420
+
 
em que 
1
3021
1 a
aaaa
A
−
= 
1
501
2 a
aa4aa
A
−
= 
1
7061
3 a
aaaa
A
−
= ... 
1
2131
1 A
AaaA
B
−
= 
1
3151
2 A
AaaA
B
−
= ... 
1
2121
1 B
BAAB
C
−
= 
1
3131
2 B
BAAB
C
−
= ... 
etc. 
Examine os elementos da primeira coluna da matriz acima: 
a0 a1 A1 B1 C1 ... W1 
(a) Se qualquer destes elementos é negativo, temos ao menos uma raiz à direita do eixo 
imaginário e o sistema é instável. 
(b) O número de mudanças de sinal nos elementos da primeira coluna é igual ao número de 
raízes à direita do eixo imaginário. 
Assim, um sistema é estável se todos os elementos na primeira coluna da matriz de Routh são 
positivos. 
Exemplo 6.3- Análise de estabilidade com o critério de Routh-Hurwitz 
Considere o sistema de controle feedback do exemplo 6.2. A equação característica é: 
0
Kc
s)Kc2(s2s
I
23 =
τ
++++ 
A matriz de Routh correspondente é dada por 
I
I
I
/Kc4
0
2
/Kc)Kc2(2
3
/Kc22
Kc211Linha
τ
τ−+
τ
+
 
Os elementos da primeira coluna são 








τ
τ−+
I
I /Kc,
2
/Kc)Kc2(2
,2,1 
 71
Todos são sempre positivos com exceção do terceiro, que pode ser positivo ou negativo 
dependendo dos valores de Kc e τI. 
1- Se Kc=100 e τI=0.1, o terceiro elemento é -398<0, o que significa que o sistema é instável. 
Temos duas mudanças de sinal nos elementos da primeira coluna. Logo, temos duas raízes 
com parte real positiva. 
2- Se Kc=10 e τI =0.5, o terceiro elemento é igual a +2 > 0, e o sistema é estável, já que todos 
os elementos da primeira coluna são positivos.] 
3- O sistema é estável se Kc e τI satisfazem a condição 
I/Kc)Kc2(2 τ>+ 
Exemplo 6.4- Condições de estabilidade críticas para uma malha feedback 
 Retorne ao exemplo 6.3 e faça τI=0.1. Então, o terceiro elemento da primeira coluna é 
igual a 
2
Kc10)Kc2(2 −+
 
O valor de Kc que faz com que o terceiro elemento seja zero é Kc=0.5. Esta é a condição 
crítica para a estabilidade do sistema de controle feedback PI. Logo, de acordo com o teste de 
Routh-Hurwitz, temos: 
1- Se Kc < 0.5, todos os elementos da primeira coluna da matriz de Routh são positivos e o 
sistema é estável, ou seja, todas as raízes da equação característica estão localizadas à direita 
do eixo imaginário. 
2- Se Kc > 0.5, o terceiro elemento da primeira coluna da matriz de Routh se torna negativo. 
Temos duas mudanças de sinal nos elementos da primeira coluna; logo temos duas raízes da 
equação característica localizadas à direita do eixo imaginário. 
Fica claro que conforme Kc aumenta, duas das raízes da equação característica se movem em 
direção ao eixo imaginário e quando Kc=0.5, temos duas raízes no eixo imaginário 
(imaginárias puras) que dão origem a um termo senoidal sustentado. 
Observação: As duas raízes imaginárias puras podem ser encontradas a partir da equação 
0
Kc
s2
I
2 =
τ
+ 
ou seja 
0
1.0
5.0
s2 2 =+ 
e são j58.1± 
 72
Os coeficientes 2 e Kc/τI são os elementos da matriz de Routh na linha localizada antes da 
linha na qual o elemento da primeira coluna é zero (ou seja, neste caso os elementos da 
segunda linha). 
6.4- Análise do lugar das raízes 
 Os exemplos anteriores mostraram que as características de estabilidade de um sistema 
em malha fechada dependem do valor do ganho Kc. O lugar das raízes é simplesmente o 
gráfico, no plano complexo, das raízes da equação característica conforme o ganho Kc varia 
de zero a infinito. Desta forma ele é muito útil na determinação das características de 
estabilidade de um sistema em malha fechada conforme Kc varia. Vamos examinar a 
construção do gráfico do lugar das raízes usando um exemplo específico. 
Exemplo 6.5- Considere um processo descrito pela seguinte função de transferência: 
)1s5)(1s(
1
)s(Gp
++
= 
Considere Gm=Gf=1 e Gc=Kc (controle proporcional) 
Então a equação característica é 
0Kc
)1s5)(1s(
1
1 =
++
+ 
ou 
0Kc1s6s5 2 =+++ 
As duas raízes podem ser calculadas por: 
Kc54
5
1
5
3
)5)(2(
)Kc1)(5)(4()6(6
s
2
−±−=
+−±−
= (6.2) 
1- Quando Kc=0 a equação característica tem raízes nos pólos do processo: 
p1=-1/5 e p2=-1 
O início do lugar das raízes é sempre neste ponto quando Kc=0 (pontos A e B na Figura 6.5). 
2- Conforme Kc aumenta, as raízes da equação característica são distintas e reais enquanto 
Kc<4/5. Elas se localizam no eixo real negativo. Assim, o lugar das raízes é dado por duas 
curvas distintas que partem dos pontos A e B e permanecem no eixo real. Além disso, as duas 
curvas se movem uma em direção à outra e se encontram no ponto C (Figura 6.5). Neste 
ponto Kc=4/5 e temos duas raízes iguais (-3/5). 
3- Para valores de Kc> 4/5 temos novamente duas curvas distintas no lugar das raízes, já que 
temos raízes distintas conjugadas. Como a parte real das raízes complexas é constante (veja 
 73
equação 6.2), as duas partes do gráfico do lugar das raízes são perpendiculares ao eixo real e 
tendem ao infinito quando Kc→∞. 
 
Figura 6.5- Diagrama de lugar das raízes do sistema no exemplo 6.5. 
 Este exemplo mostra que o diagrama do lugar das raízes de um sistema não só nos dá 
informações sobre a estabilidade de um sistema em malha fechada mas também sobre as 
características da resposta dinâmica conforme Kc muda. Assim, a análise do lugar das raízes 
pode ser a base para o projeto de malhas de controle feedback, já que a movimentação dos 
pólos da malha fechada (ou seja, as raízes da equação característica) devido à mudança do 
ganho proporcional do controlador pode ser claramente entendida. 
 A construção do diagrama do lugar das raízes para este sistema foi bastante simples. 
Para sistemas de ordem mais elevada isto se torna bem mais complicado. 
6.5- Substituição direta para encontrar o limite de estabilidade 
 O método da substituição direta é uma maneira rápida e prática de encontrar o valor 
dos parâmetros na equação característica que colocam o sistema no limite de estabilidade. 
Sabemos que o sistema é estável se todas as raízes estão do lado esquerdo do eixo imaginárioe instável se estão do lado direito. Assim, o eixo imaginário representa a fronteira de 
estabilidade. No eixo imaginário s é igual a um número imaginário qualquer: s=w i. 
 a técnica consiste em se substituir s por w i na equação característica e resolvê-la pa 
encontrar o valor de w e outros parâmetros (por exemplo, o ganho do controlador) que 
satisfazem as equações resultantes. O método é entendido melhor se olharmos o exemplo 
abaixo: 
Exemplo 6.6- Imagine um sistema controlado por um controlador proporcional. A sua 
equação característica é dada por: 
0
8
Kc
1s3s3s 23 =++++ 
Substituindo s= w i temos: 
 74
0
8
Kc
1iw3w3iw 23 =+++−− 
i00)ww3(iw3
8
Kc
1 32 +=−+




 −+ 
Temos então duas equações: 
0w3
8
Kc
1 2 =−+ 
0ww3 3 =− 
Logo: 
3w3w 2 ±=⇒= 
64Kc1)3(31w3
8
Kc 2 =⇒−=−= 
 O valor do ganho no limite de estabilidade é 64.