Falando de Matemática 5 Série - Bonjorno

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45678901234567890123456789012345678901234
REGINA AZENHA BONJORNO 
JOSÉ ROBERTO BONJORNO 
VALTER BONJORNO
23456789012345678901234567890123456789012 
23456789012345678901234567890123456789012 
12345678901234567890123456789012345678901. 
M 2345678901234567890123456789012345678901 
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M I L T O N M A C Ê D O 
D a ta ; q ¿ / D i Z - I M g - 'Instituto Brdsijeîro de Edições Pedagógicas
Rua joli, 294
Fone: 291 - 2355 (PABX) .
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CEP: 03016 - Sao Paulo - Brasil
Indice
UNIDADE I
NOÇÕES ELEMENTARES SOBRE CONJUNTOS
1. Noção de Conjunto e de Elemento................
2. Representação de um Conjunto......................
3. Pertinência.........................................................
4. Igualdade de Conjuntos..................................
5. Conjunto Unitário e Conjunto Vazio..............
6. Subconjuntos.....................................................
7. Operações com Conjuntos........................
8. Resolução de Problemas.................................
UNIDADE II
CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS ... ... ...
1. Correspondência Biunívoca............................
2. Número Natural................................................
3. Igualdade e Desigualdade..............................
4. Subconjuntos de N ............. ........................
5. Representação Geométrica de N ..................
UNIDADE III
SISTEMAS DE NUMERAÇÃO .............................
1. Base'do Sistema...........................................
2. Sistema de Numeração Decimal...................
3. Classes de um Numeral Decimal..................
4. Sistema de Numeração Romana...................
UNIDADE IV
OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS COM NÚMEROS NATURAIS.....
1. Introdução ....................................... ......................... ................. ..................
2. A d ição ...................................................................................................... ................
3. Subtração............................................................................................... ......................
4. M ultiplicação......................................................................................
5. D iv isão ....................................................................................................
6. Expressão Num érica.............................................. .. hp.........
7. Cálculo do Elemento Desconhecido numa Igualdaa
8. Resolução de Problemas,....-..:............—•••■..............
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50
53
55
59
62
67
69
UNIDADE V
POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO.......................................... .................................... 75
1. Potenciação............................................................................................................ 75
2. Radiciação.............................................................................................................. 77
3. Expressões Numéricas com Potência e Raízes................................................. 78
UNIDADE VI
MÚLTIPLOS E DIVISORES....................................................... ............................'. 80
1. Múltiplo e Divisor de um Número em IN............ ............... ................................. 80
2. Regras de Divisibilidade......... ...................................... .....82
3. Números Prim os.......................................................................... 86
4. Decomposição de um Número em Fatores Primos........................................... 88
5. Determinação dos Divisores de um Número..................................................... 90
6. Máximo Divisor Comum........... ........................................ ................................... 93
7. Mínimo Múltiplo Comum....................................... 98
UNIDADE VII
NÚMEROS FRACIONÁRIOS.................................................................. 102
1. Conceito de Fração.............................................. 102
2. Leitura de uma Fração......................................................................................... 103
3. Tipos de Fração....................... 107
4. Conjunto dos Números Racionais Não-negativos................................... 110
5. Propriedades das Frações................................................ 111
6. Frações Equivalentes............................................................................................ 114
7. Número M isto........................................ ...... ................ ...................................... f j 116
8. Simplificação de Frações.............................................................................. 119
9. Redução de Frações ao Menor Denominador Comum..................................... 123
10. Comparação de Frações.............................................. | ....... 125
11. Operações Fundamentais com Frações.............................................. 128
12. Potenciação com Frações........ ............................. 145
13. Radiciação com Frações.................... 147
14. Simplificação de Frações Envolvendo Novas Técnicas ........ 149
15. Expressões Numéricas.......................................................................................... 151
16. Exercícios Práticos Envolvendo Frações............................................................ 160
UNIDADE VIII
NÚMEROS DECIMAIS.............................. .....165
1. Significado e Representação de um Número Decimal...................................... 165
2. Leitura de um Número Decimal.......................................................................... 166
3. Transformações....................................................................................................... 168
4. Propriedades dos Números Decimais.................................................................. 174
5. Operações com Números Decimais....................................................................176
6. Dízimas Periódicas................................................... 188
UNIDADE IX
CONCEITOS PRIMITIVOS DA GEOMETRIA
1. Ponto
2. Reta .
3. Plano
H
191
192
191
U N ID A D E X
ESTUDO DA RETA....
1. Determinação de uma R e ta ..................— .................... .......
2. Posições Relativas entre o Ponto e a Reta ...................
3. Posições Relativas entre duas R etas.............................| ............
UNIDADE XI
ESTUDO DO PLANO....................................................... ........................................... 205
1. Determinação de um Plano............................................ ................. .....................205
2. Posição Relativa entre Ponto e Plano ;........... ................... ..................................205
3. Posições Relativas entre Reta e Plano............. ................................................... 206
4. Figuras Geométricas Planas................ .................... ........... ............................... 208
5. Perímetro das Figuras Planas........... ....................... .......... 213
6. Unidades de Medida de Superfície............. ......................... 216
7. Áreas das Figuras Planas........................... ................. ...............................218
UNIDADE XII
ESTUDO DOS SÓLIDOS GEOMÉTRICOS........................ 228
1. Introdução.................................... ................... 8
2. Unidades de Medida de Volume..................................................... .......................
3. Volume dos Principais Sólidos Geométricas .........................................i 231
Noções Elem entares 
sobre Conjuntos
1. Noção de Conjunto e de Elemento
Como o próprio nome indica,conjunto dá uma idéia de coleção. Assim, toda 
coleção ou grupo de objetos, animais ou coisas forma um conjunto.
Exemplos:
conjunto dos alunos da 5? série B conjunto das vogais
conjunto dos dias da semana conjunto das notas musicais
D efin in d o : Conjunto é toda e qualquer coleção.
Os objetos ou os componentes de um conjunto são chamados elementos 
Exemplos:
Os elementos do conjunto das vogais são: a, e, i, o, u.
Os elementos do conjunto das notas musicais são: dó, ré, mi, fá, sol, lá, si.
2. Representação de um Conjunto
Um conjunto pode ser indicado ou representado das seguintes formas:
1 ? forma: Por uma listagem de seus elementos
Nessa forma, escrevem-se os elementos do conjunto em letras minúsculas, 
colocando-os entre chaves e separando-os por vírgulas. Já o conjunto é indica­
do por letra maiúscula do alfabeto.
Exemplos:
A = (a, e, i, o, u]
B = (dó, ré, mi, fá, sol, lá, si]
2? forma: Por meio de uma propriedade
Nessa forma, o conjunto é representado por meio de uma propriedade carac­
terística dos seus elementos.
Exemplos:
A = (dias da semana]
B = (números pares compreendidos entre 1 e 20)
E = (alunos da 5? série B]
F Á (números ímpares maiores que 3)
3? forma: Por meio de uma figura
Pode-se também representar um conjunto por meio de figuras, que são cha­
madas diagramas de Venn.
Exemplo:
Dado o conjunto A » (0,1,3,5), suà representação pelo diagrama de Venn é:
Exercícios de Aplicação da Teoria
1) Represente os conjuntos a seguir por meio de uma listagem de seus ele­
mentos.
a) B = (números ímpares entre 2 e 10)
b) D = (letras da palavra coco]
c) E a* (conjunto dos números pares menores que 300)
d) F = (conjunto dos números ímpares)
Resolução
a) B = (3, 5, 7, 9)
b) D = (c, o) Lembrete:
c) E = (0, 2, 4, 298),\> Lembrete:
d) F = (1 ,3 , 5, 7, ..J. Lembrete:
2) Represente os conjuntos a seguir por meio de uma propriedade característi­
ca de seus elementos.
a) A = (sol, si)
b) B = (0, 2, 4, 6, 8)
Resolução
a) O conjunto A possui como elementos as notas musicais sol e sl, logo: 
A = (notas musicais que começam com a letra S)
b) B = (números pares menores que 10)
3) Represente por meio de uma listagem de seus elementos os seguintes con­
juntos:
a) conjunto das vogais da palavra propriedade
b) conjunto dos números ímpares maiores que 6 e menores que 20
c) conjunto dos números pares menores que 500
Resolução
&) fa , e, o } ■ j .........
Num conjunto não se colocam ele­
mentos repetidos.
Nos conjuntos com muitos elemen­
tos e seqüência conhecida usam-se 
reticências.
As reticências colocadas no final da 
listagem dos elementos do conjun­
to indicam que ele é infinito, isto é, 
não tem fim.
4) Represente por meio de uma
a) [7, 9, 11, 13)
b) {6, 8, 10, .4 V>
propriedade os segu in tes conjuntos:
c j i , 3, 5, 49)
d) [0 ,2 , 4, . .. ,9 8 )
Resolução
a) {çonjuvtà'do*' njjm&iot ’ . . 1 ^ . ¿1 í !
b) {çonjunto do* < nume/ió* _ _ gue 5} ................. ;........~ ¿ J |
c) (conjunto doò numexoò Zmpcvicó m&nòMA que. ' 5$} '̂...... .............
.ÇÜ..fcon/anta ç(o41wweAáó|Imejiç/Leó^I¿ue; f Õ Ü .T j!S !
5) Dado o diagrama de Venn, represente o conjunto X por m eio de uma lista­
gem de seus elementos.
O conjunto X é finito ou infinito? .
Resolução
X = { 1, 2, 5, S, 9} 5 um con/un-to ¿¿híto\
Exercícios Propostos
1) Escreva por meio de uma listagem de seus elementos os seguintes conjuntos:
a) A = (conjunto das letras da palavra congresso)
b) B = (conjunto dos pontos cardeais]
2) Represente por meio de uma propriedade os seguintes conjuntos:
a) X = (verde, amarelo, azul, branco]
b) Y = (março, maio]
c) Z = (5, 7, 9]
d) M ■ (e, s, c, o, I, a)
3) Diga quais conjuntos a seguir são finitos ou infinitos.
a) (1, 2, 3, 4]
b) (1, 2, 3, 4, ■
> (0, 1, 2...... 250]
d) (conjunto dos números pares compreendidos entre 3 e 1 000]
10
3. Pertinência
Para se indicar que um elemento pertence a um conjunto, utiliza-se o símbo­
lo 6 (lê-se: pertence)', se o elemento não pertence ao conjunto, usa-se o sím­
bolo jL (lê-se: não pertence).
Exemplos:
ELEMENTO SÍMBOLO CONJUNTO LÊ-SE INDICA-SE
| e A = (a, e, i, o, u) i pertence a A i É A
5 1 B = (0, 2, 4, 6, 8,10) 5 não pertence a B 5 ^ B
Exercícios de Aplicação da Teoria
1) Use os símbolos G ou ^ para escrever sentenças verdadeiras, rela­
cionando:
a) laranja e (legumes); ,
b) 12 e (números pa res fH
c) u e (vogais)
d) verm elho e (cores primárias)
Resolução
a jla ra n ja qL (legumes) 4
b) 12 E (números pares)
c) u E (vogais) ;
d) verm elho E (cores primárias)
2) Represente através de uma listagem de seus elementos e por uma proprie­
dade o conjunto B a seguir; ^
Resolução
a) A través de listagem: B = (0, 2, 4, 6 , 8)
b) Por uma propriedade: B = (números pares menores que 10)
Lembrete:
Os números ímpares menores que 
10 não pertencem a B, portanto são 
externos ao diagrama de Venn.
11
3) Dados os conjuntos A = {0, x, 2, 5} e B = {a, 1, d ],: complete a 
usando € ou
ELEMENTO
0 a 2
A e £ e e E iB
B * e ; * P E r; ' -é||
4) Complete com os símbolos € ou ^ .
a; 5 . E .. (1, 5, 7, 9) . e) m .. (consoantes de nos-
b) 8 . I ■■ {4, 5, 6) so alfabeto)
c j 26 E .. (números pares) f)7 ¡ P . (números ímpares) J
d) x .. £ ■ (a, b, c)
5) Dado o conjunto A, complete usando os símbolos G ou
a) 1
b) 4
c) 10
A d) a . A
A ej b .. A
A 9 x .. A
Exercícios Propostos
4) Dados os conjuntos A = [0,3, 6, 8} e B = (1,2, x), e usando os símbolos € ou ^ 
escreva uma sentença verdadeira relacionando:
a) 0 e A d) x e A
b) 3 e B e) 1 e B
c) 6 e A 0 2 e B
5) Copie apenas as sentenças verdadeiras.
2 € (algarismos do número 230]
b) h & (letras do nosso alfabeto]
c) 5 E (números pares]
d) Brasil ^ (países da América do Sul]
e) 15 e (1,3,5,7,..;;}
12
6) Dada a tabela:
E L E M E N TO
щ т 3 4 ' ‘ *6 ™ 7 " - 3
X E 1 G. 1 1
Y E G 4 G ^ :
represente os conjuntos X e Y por meio de uma listagem de seus elementos.
7) Considere o diagrama:
Use os símbolos G ou ^ e forme sentenças matemáticas verdadeiras relacionando:
a) 1 e A ' c) x e A e) 12 e A
b) 3 e A d) a e A f) z e A
8) Dada a tabela:
E LE M E N TO
o - 1 2 а X V | 3 m
A G 1 G 1 i E i щУ £
В ' E Щ G ■' G G
represente os conjuntos A e B por meio de diagramas.
9) Dados: A = [números ímpares entre 2 e 10) e B = [númerosímpares entre 3 e 6), e 
utilizando os símbolos E ou forme sentenças verdadeiras relacionando:
a J 3 e A
b) 2 e A
c) 6 e A
4. Igualdade de Conjuntos
Suponhamos os conjuntos a seguir:
Esses conjuntos são considerados iguais porque possuem os mesmos ele­
mentos.
Exemplos:
a) A = (0 ,1 , 3] e B = (1, 3, 0)
Logo: A = B (lê-se: A é igual a B)
13
d) 4 e В
e) 5 e В
f) 7 e В
Logo: R & S (lê-se: R é diferente de S)
D e fin in d o : Dois conjuntos são iguais quando possuem os 
m esm os elem entos, sem importar a sua 
ordem.
5 . Conjunto Unitário e Conjunto Vazio
Considerem os os conjuntos:
A = Ü
B = (planeta do Sistema Solar que começa com a letra Tj = (Terra)
O bservem os que tanto o conjunto A como o conjunto B possuem um único 
elem ento. Neste caso, A e B são chamados conjuntos unitários.
Definindo: Conjunto unitário é aquele que possui um úni­co elemento.
S ejam , agora, os conjuntos:
X = (meses do ano com 32 dias)
Y = (plantas que vivem sem água)
O bservem os que tanto o conjunto X como o conjunto Y não possuem ne­
nhum elemento. Neste caso, X e Y são chamados conjuntos vazios.
Definindo: Conjunto vazio é aquele que não possui elem ento.
R epresenta-se o conjunto vazio pelos símbolos: 
{ ) ou 0
Exercícios de Aplicação da Teoria
1) C om ple te os conjuntos, de modo que a sentença fique verdadeira.
a ) { 1, 2, 3, 4) = (1, 4 ... 3)
b) (a, b, c) * (b, ...)
Resolução
a ; (1 ,2 , 3 ,4 ) = (1 ,4 , 2 ,3 )
2) Represente por uma listagem de seus elementos os seguintes conjuntos, iden­
tificando os que são unitários e os vazios.
a) A = (vogais da palavra casa]
b) B = (oceanos que banham o Brasil)
c) C = (mês do ano que começa com a letra P)
d) D = (números pares entre 4 e 6)
Resolução
a) A '= (a) conjunto'unitário
b) B = (Atlântico) conjunto unitário
c) C = ( ) conjunto vazio
d) D - 0 conjunto vazio
3) Complete, usando os símbolos = ou ^ .
a) (1, 2, 4 p . . - .1 (4 , 1, 2}
b) (5)
c) [a, b, c) -¡x, c, a]
d) (vogais da palavra sujo] ...ff..... (vogais da palavra jogou]
e) (números pares menores que 8} , (números pares compreendidos 
entre 0 e 10)
Exercícios Propostos
diga se os conjuntos A e B são iguais ou diferentes, justificando.
11) Dada a tabela:
'^^JZLEMENTO 
CONJUNTO X .
1 1 9 1 y . 4 .,
A G, 1 G ;
B V ip ? * É G
G € -- * r :e> .5 G
D 4 = . ’ / ■ * G
determine os conjuntos A, B, C e D por meio de uma listagem dos seus ele­
mentos e diga quais deles são iguais.
15
12) O conjunto A = (números pares maiores que 4 e menores que 7] é unitário ou vazio? Jus-
13) Identifique se os conjuntos a seguir são vazios ou unitários. Justifique.
a) (consoantes da palavra ovo)
b) (meses do ano que começam pela letra C]
6. Subconjuntos
Consideremos os conjuntos:
A = (1 ,2 ,3 ) e B = (0, 1, 2, 3,4)
Observemos que todos os elementos do conjunto A também pertencem ao 
conjunto B, isto é, os elementos 1, 2 e 3, que formam o conjunto A, são uma 
parte de B.
Pode-se dizer também que A está contido em B, ou que B contém A. 
Essas relações são indicadas por:
A c B (lê-se: A está contido em B) 
ou
B D A (lê-se: B contém A)
Consideremos, agora, os conjuntos:
A = (1, 2, 3, 4) e B = (4, 5)
Em diagrama, temos:
Nesse caso, o elemento 5, pertencente ao conjunto B, não pertence a A. Por 
tanto, escreve-se:
tifique.
Quando todos os elementos de A estão inclui- 
Deiinindo: dos em B, o conjunto A é chamado subconjun­
to de B.
16
B jzí A ( lê-se: B não está contido em A) 
ou
A ^ B (lê-se: A não contém B)
Exercícios de Aplicação da Teoria
1) Dados: A = (0, 1], B = (0 ,1 , 2 ,3 ), E = (1 ,2 , 3] e F ' =' ( 0 , i , 2, 5), 
relacione os conjuntos por meio de diagramas e utilizando os símbolos c e
a) A e B 
ò j E e F
Resolução
a) A = (0 ,1)
B = (0 , | 2 , 3 l
Pelo diagrama, conclui-se que A c B.
b) E = (1 ,2 , 3)
F = (0 , 1, 2 , 5)
/ • 3
H |
Pelo diagrama, conclui-se que E (¡L F.
2) Dado o conjunto A = (1 ,2 , 3), identifique as sentenças, conforme sejam 
verdadeiras ou falsas.
a) 1 E A b>№ ^§ A c ) 3 | A
Resolução
a) 1 E A É verdadeira, porque 1 é elemento do conjunto A.
Lembrete: fe e ^ relacionam elemento com conjunto.
b) (2) c A É verdadeira, porque (2) é um subconjunto do conjunto A.
c ;3 c A É falsa, porque 3 é um elemento do conjunto A.
Lembrete: ç , e y relacionam conjunto com conjunto.
17
3) Dados os conjuntos A = (maçã, laranja] e 0 (vazio), identifique as senten­
ças, conforme sejam verdadeiras ou falsas.
a) A c A ou A D A
b) 0 C A
Resolução
a) A C A ou A D A
É verdadeira, porque todo elemento de A pertence ao conjunto A.
b) 0 C A 
É verdadeira.
Lembrete:
Lembrete:
Todo conjunto é subconjunto de si 
mesmo.
O conjunto vazio é subconjunto de 
qualquer conjunto.
4) Complete com os símbolos c ou para que a sentença séja verdadeira:
a) (1, 3) .....c... (0, 1, 2, 3, 5], d) (8) .....£... (números ímpares)
b) [a ) 2 ... (x, y, z] 6) (2, 3, 4, 5} (3, 4, 5)
0 ) 0 c... (1,2) 9 | B P ^ Í í 1Í ; ;
5) Coloque os elementos que estão faltando, de modo que a sentença seja ver­
dadeira.
a) (a, b] c (x, ...i«...., ....fc....)
b) (1, 4, 6, 7) f (1......H I
C)(2, 7) if1, 2, .....5..., 8) 
d; [9) M M
Exercícios Propostos
14) Dados A = (2), B = (1,2), E = (2,3, 5) e F =; (1,2, 3 ,4), e usando os sim- 
bolos c ou p, relacione entre si os conjuntos:
a) A e B - ». c jB e F
b) A e.E d jE e f
15) Dado o diagrama seguinte, copie apenas as sentenças verdadeiras.
a) B c A
b) E C A
c) B i E
d) E 2 A 
e j A D E 
f) A p B 
9) B p E
h) E C B
i) 0 C B
m m m ¡
i ¡ fe
m m
W
i
,<x> &
■
№¡
Consideren 
nemos um out
• relaciona
• relaciona 
nados de
terr
C
0 C0niunto
Intlica-S6 p 
C
rePre
18
16) Usando os símbolos ç , D, ou escreva sentenças verdadeiras relacionando:
a) (números pares compreendidos entre 1 e 7] e (2, 6 ™
b) (5, 7} e ( )
c) (vogais de nosso alfabeto] e (a, e, m]
d) (0, 1, 2, ...] e (2, 3, 4, ...)
e) (letras da palavra conjunto] e (c, o, n, j, u, t]
17) No diagrama seguinte, os conjuntos A, B e M não são vazios:
Usando os símbolos c , D, çf ou forme sentenças verdadeiras relacionando:
a) M e A d) A e M
b ) A e B e ) B e A
c j M e B f) B e M
7. Operações com Conjuntos
Reunião ou União de Conjuntos
Considerem os os conjuntos A = (1 ,2 ,3 ) e B = (2, 3, 4, 5) e determ i­
nemos um outro conjunto C, da seguinte forma:
• relacionando todos os elementos de A;
• relacionando todos os elementos de B, sem repetir os que já foram relacio­
nados do conjunto A.
Assim , temos:
C = (1, 2 , 3, 4, 5)
O conjunto C é chamado A reun ião B ou A união B.
Indica-se por:
C = A U B (lê-se: C é igual a A reunião B)
Uma representação desse caso em diagrama é:
V Dados: A J [o, 1, 2, 3] e B = ¡{1, 3, 4, 5], pede-se:
a) A U B
b) a representação do item anterior por diagrama
Resolução
a) A = (0,.1, 2, 3] + a U B = f 0, 1, 2, 3, 4, 5)j 
B 1 (1, 3, 4, 5) ^
2) Sejam os conjuntos A = (a, bjfte B = (a, b, c). Calcule A U B 
presente por diagrama.
Resolução
B : (a! b! c) + A U B = ía. b, cj 
Por diagrama:
E M
e re-
i f
■ K
crendo
. depois- P® 
vendo os1
A =¡(1,2 
B = (2,3 
E = (2,4
3) Dados: A I ■ ■ 
por diagrama. I I H 8
Resolução
bB B è m
B 1 [5, 6, 7} A U B == 
Por diagrama:
- [5, 6, 7), calcule A U B e representà
f í ’ 2> 5, 6, 7)
à
Por diagrar
5)Calciile0
■ y
t e
Ü h
ÉÉ*
m
Ik ,
\
4) Dados: A = [1y2, 3, 4], B = [2, 3, 5, 7) e E = [2, 4 , 5, 6), pede-se: 
a j  U B U E
b) a representação do conjunto C = A U B U E por diagrama 
Resolução
Regra prática
Quando se calcula a reunião de três ou mais conjuntos, procede-se da 
seguinte forma:
• pegam-se todos os elementos do primeiro conjunto;
• pegam-se, em seguida, todos os elementos do segundo conjunto, não es­
crevendo os elementos repetidos;
• depois, pegam-se os elementos do terceiro conjunto, também não escre­
vendo os elementos repetidos, e assim sucessivamente.
A = [1, 2, 3, 4] /
B = (2, 3, 5, 7) A U |B U, E 2, 3, 4, 5, 6, 7) 
E = (2 , 4, 5, 6)
Por diagrama:
5) Calcule o que se pede em cadacaso:
a) [1, 5, 6] U (0, 1, 2, 3} = M ,
b ) í4, 7 ) U ( 2 ,6, 8] = ...........
c) la, b, c) U 0 = .í f . >...í5.i ..í f...........
d) (8 , 9) U Í9, 8] = .............................
e)[1, 2] U (2, 3) U (3 ,4 ) ;= ...... -
6) Dados os conjuntos A = (1, 2, 3), B = (2 , 3 , 4] e M = (4, 6 , 7), cal- 
cule: ■ ' ' "$âÈÈSm
a; A U B = ............... c)B JJ;M
b j A U M = . M , . h J . t . A i J j . , . A U B U M =
21
7) Dados os conjuntos A e B, construa diagramas e pinte o conjunto união-
a) A = (2, 5, 7) 
B = (5, 8, 9)
b ) A = [4, 5]
B = m m 3, 4, 5 ,6)
18) Ache o conjunto reunião em cada caso:
a) Hf 2, 3) U (1, 2, 5} d) [0, 2, 4, 6, •...]’U {1; 3, 5, 7, -
b) (a, b) U (x, yj e) [0] U -{ ; f '
P) 0 U {4, 5, 6)
19) Dados os conjuntos A = (0 ,1 ,2 , 3, 4], B = (2, 3 ,5 ] e M s {3, 5, 7, 8}, ache o que 
se pede em cada item e faça um diagrama correspondente.
a) A U B , c) B U M
Í J j A U M d) A U B Ú M
20) Dado o diagrama:
escreva os conjuntos A, B e A U B por meio de uma listagem dos seus elementos.
21) Dados: A = {números pares compreendidos entre 3 e 9}
B = {números ímpares menores que 5]
M = {0, 1, 2, 3}
N « {1, 2)
ache os seguintes conjuntos:
a j A U B U M 
b) A U M U N 
Cj A U B U M U N
22) Dado o diagrama: 
pede-se:
a) A U B
b) A U X 
C j B U X
d) A U B U X
23) Pode a reunião de dois conjuntos ser igual a um dos conjuntos? Justifique.
22
Intersecção de Conjuntos
Consideremos os conjuntos A = (1 ,2 ,3) e B = (2, 3, 4, 5) e determine­
mos um outro conjunto C, incluindo todos os elementos que pertencem 
a A e também a B.
Assim, temos:
C = (2, 3)
O conjunto C é chamado intersecção de A e B.
Indica-se por:
C = A n B (lê-se: C é igual a A ínter B)
Uma representação desse caso em diagrama é:
D efin indo:
Exercícios de Aplicação da Teoría 1
1) Dados os conjuntos A = (a, b, cj e B = (a, x, b, y], pede-se:
a) A n B por meio de uma listagem de seus elementos 
Í j jA D B por meio de um diagrama
Resolução
a) A = Ja, b, cj
B = [a, X, b, yj
b)
A O B ==&Ja, b|
23
2) Ache a intersecção 
represente-a por um
dos conjuntos 
diagrama.
A = {1, 2) e B = ( 0 , 1 , 2
Resolução
A I H 2}
B = (0, 1, 2, 3, 4}
Por diagrama:
^ a O B = (1. 2)
3) Ache o conjunto intersecção dos conjuntos X = ^ 2;‘ 3) e Y = ¡4,5 ,e ]l
Resolução
X = (1, 2, 3} 
Y = (4, 5, 6}
X O Y = 0
Lembrete:
Os conjuntos X e Y não possuem 
elementos comuns, logo a intersec­
ção é vazia.
4) Dados os conjuntos A = [a, x, c, m], B = [a, x, y, b), E = [a, z, y, m) 
e M = 0 , calcule:
a j A O B O E
Í j j B O M
Resolução
a) A = [a, x, c, m)
B = (a, x, y, b) A O B n E = [a)
E = [a, z, y, m)
5) Dados: A = (0. 1, 2, 3). B = (1, 2, 51, M = Í3 41 « N = f4. 6, 7). 
ache os conjuntos: ’ |?> 4J e N l
a; (A D B) U (M n N) 
b) (A U B) n (M U N)
MÊÊm
mm
№ 4,6,
■ í |
P iw ê
I I
Caico'iland°>
hei
6) calcule 0 qoí
a) (2,4,5] H
b) (a,b]n(b
c) (Ó,'2,3j fil
W m l
T) Dados os co
A a ( U
I n , 2
calcule;
à
'T f
Resolução
a) Efetuando as operações indicadas entre parênteses, temos:
A = (0 , 1, 2 , 3) ^ A n B - Í1 BIB = [1, 2, 5) ^ A n B - [1, 2] r
M = t3, 4) ^ M O N = Í4| ’
N =' (4, 6, 7) ^ ™
Calculando, agora, a união desses conjuntos, chegamos ao resultado: 
(A O B) U (M O N) - [1, 2) U (4) - (1, 2, 4) .
b) Efetuando as operações indicadas entre parênteses, temos:
A = (0, 1, 2, 3] ^ A U B = ÍO 1 2 3 51
6jJ B « [1, 2, 5) W u B ó' 5j
I í : ¡ t í ! 73 "► M U N =13,4 ,6 ,7)
Calculando, agora, a intersecção desses conjuntos, chegamos ao resultado:
(A ü B) n (M U N) = (0, 1, 2, 3, 5) D (3, 4, 6, 7]
S
6) Calcule o que se pede em cada caso:
a) {2, 4, 5) n (1, 2, 3] = .Ü .L ..................................................................
b) [a, b) r í (b, a) . ................................................
c) [0, 2, 3] n [conjunto dos números pares menores que 6) =
dl [1, 2] ní;[fly,3, 4) í l j ? , 5, 6] = . . . L U .... .................. .................. .v....
7) Dados os conjuntos:
A = [1 ,2 , 3 » E U [4 , 5, 6, 7)
B = (1, 2, 4, 5), F = [8, 4, 6)
calcule:
a) A 0 B - ^ ’ ^ ............. «>E 0 F -
fa) R p F _ { 4 , 5 } j ' ......... el A n B n F
c j A í l F - .........L . ........H .......... f) B Fl E r í F - .í.í>.
dê o que se pede:
a ) A n B = '.U B ...!..... e;(A UB)
b) A n C = ....................... 9 (A U C) n B
c) B n C = i í ’J ) . ............................... U C) n A
d) A D B n C = ......... .......... (A n B) U C
H B H
“ Í . ^ » ■
Exercícios
24) Ache o conjunto intersecção em cada caso:
a) {1, 4, 8] O (1, 3, 4)
b) {1, 2, 3, 4, ...} n (números ímpares compreendidos entre 4 e 10}
c) (0) ñ ( )
d) (números pares) O (números impares]
e) (alfabeto} f l (vogais)
o
25) Dados os conjuntos A = (1, 2, 3, 4}, B = (2, 3, 5, 6} e E = (3, 4, 7}, ache o que se 
pede em cada caso e faça um diagrama correspondente.
a) A n B
b) A f l E
c) B n E
d) A f l B D E
26) Dado o diagrama abaixo, escreva os conjuntos X, Y e X f l Y por meio de listagem 
dos seus elementos.
x;
• 1 
• 2
27) Dada a tabela:
ELEMENTOK w t W l HHHH HMHhQ b . ; ‘i
CONJUNTO 0 i 2 4 5 d |
A e e 1 1 e E
B e i e E €
calcule A f l B.
28) Dados os conjuntos A = (11,13,15), B = (números ímpares), e C = (0,1, 2, 3,4, 
calcule:
a j A H A 
iüjB n B 
c) A n B n c
2 6
29) Dados os conjuntos A = (4, 5, 6), B = (5, 6, 7], M = [2, 3, 4) e N = f3]v ache os 
conjuntos:
a) (A n B) U (M D N)
b) (A U B) O (M U N)
30) Sendo X = [a, b, c), Y = (c, d, e], E = (í, 2, c] e H = (1), escreva o conjunto 
(X n Y n E) U H nomeando (listando) os seus elementos.
31) Pode a intersecção de dois conjuntos ser igual a um dos conjuntos dados? Justifique.
Consideremos os conjuntos A = (1,2, 3 ,4) e B = (3, 4, 5, 6) e determi­
nemos um outro conjunto Ó, relacionando todos os elementos de A e suprimindo 
os elementos que aparecem também no conjunto B.
Assim, temos:
C = (1, 2)
O conjunto C é chamado diferença entre A e B.
Indica-se por:
C = A - B (lê-se: C é igual a A menos B)
Uma representação desse caso em diagrama é:
Exercícios de Aplicação da Teoria
1) Dados os conjuntos A = (4, 5, 6) é B = (4, 5, 7, 8), pede-se:
a; A - B
b)B - A
Resolução
Conjunto Diferença
A diferença entre os conjuntos A e B é o con- 
D e fin in d o : junto formado pelos elementos de Á qúe não
pertencem a B.
27
Por diagrama:
2) Dados os conjuntos A = (números pares menores que 10), B - (números 
impares menores que 10), ache A - B e represente por diagrama.
Resolugáo
A = (0, 2, 4, 6, 8) 
B = (1, 3, 5, 7, 9) A - B 4 |0, 2, 4, 6, 8)
¿ jjo j- [número
33) Sendo A = (letr; 
diferenga A - B
Dado o diagrami
a) Y - X
b) X - Y
Resolugáo 
a) X = (a, b)
Y = (a, b, c,d) "► Y - X = :(c>d)
Por diagrama:
4) Calcule o conjunto diferença em cada caso:
a) (0, 2, 4, 6 , 8] - (1, 2, 4, 6 j = * 0, . .« 
b){6,7 ] - {1, 2, 3] = £ .^ ..7 / '
c) (x, y, z] y, z] = 
d)0 W« (1. 2j = ...J>...
5) Complete com o elemento que falta para que a sentença seja verdadeira.
a) (J ...5, 6) | | 3 , 5) - [6Y-
b) [m, n, pj [p, n) = p \
c) [x, y, .....H r - 0 = .{x, y,'Z)
32) Calcule cada diferença indicada a seguir:
a) (1, 4, 5, 6, 7} - [4, 5, 6].
b) (8, 9} - (9, 8, 7}
c) (números pares] - 0
d) (a, b, c] - (a, b, c].̂
e) [0] “ (números ím pares)^
33) Sendo A = (letras da palavra lavar] e B = (letras da palavra lavrar], ache o conjunto 
diferença A - B.
escreva por meio de uma listagem dos seus elementos os seguintes conjuntos:
35) Pode a diferença entre dois conjuntos A e B ser igual a um dos conjuntos? Justifique.
8. Resolução de Problemas
A teoria dos conjuntos é fundamental no estudo da matemática e, neste item, 
veremos algumas de suãs apl¡cações^sob a forma dè problemas.
1) Numa pesquisa de mercado, verificou-se que 2 000 pessoas usarri os produ­
tos A ou В. O produto В é usado por 800 pessoas, e 320 pessoas usam os 
dois produtos ao mesmo tempo. Quantas pessoas usam o produto A?
Exercícios Propostos
34) Dado o diagrama:
A
a; A - В b) В - A c)(A U В) - (А П B)
29
Resolução 
Consideremos que:
n (A U B) = 2 000 é o número de pessoas que usam A ou B 
n (B) = 800 é o número de pessoas que usam B 
n (A O B) = 320 é o número de pessoas que usam A e B ao mesmo tempo 
n (A) = ? é o número de pessoas que usam A
Utilizando um diagrama, colocamos 320 pessoas na parte referente à inter- 
secção de A com B.
Em seguida, colocamos (800 - 320 = 480) pessoas somente em B.
Por último, colocamos (2 000 - 480 ¡¡¡320 = 1 200) pessoas somente em A.
2) Sabe-se que o sangue das pessoas pode ser classificado em quatro tipos. 
Em uma pesquisa efetuada num grupo de 200 pacientes de um hospital, I 
constatou-se que: 50 deles têm o tipo A, 40 têm o tipo B e 24 têm o tipo AB. 
Nessas condições, pede-se o número de pacientes cujo sangue tem o tipo 0.
Logo, usam o produto A:
n (A) = 1 200 + 320 = 1 520 pessoas
Resolução Vok diagrama, ;
Vadoò: n (A) *50 
n (B) * 40 
n (AnB) * 24 
n { 0 ) * ?
30
50 - 24 * 26 ¿ome.n£e. A 
40 - 24 = 16 ¿omente. B 
0¿ pactenteA que tem o antlgeno 0 e | l | 
{¡ona. do eoviton.no de (A u 8 ), logo; 
n [0) * 200 - (26 + 24 + 16) - .200 - JM | 
134 pacientei
Exercícios Propostos
36) Em uma pesquisa de opinião pública efetuada num terminal rodoviário, entre pessoas que 
se encontravam nas filas ou nas proximidades dos pontos iniciais das linhas de ônibus A 
e B, constatou-se que:
400 usavam a linha A 
600 usavam a linha B 
100 usavam as linhas A e B
Quantas pessoas foram entrevistadas?
37) Num clube, há n sócios. Sabe-se que 70 jogam futebol nos times A e B, 280 jogam no A, 
470 no B e 50 não jogam futebol. Calcule n.
38) Numa pesquisa sobre a preferência em relação a dois jornais, foram consultadas 470 pes­
soas e o resultado foi o seguinte: 250 delas lêem o jornal A, 180 lêem o jornal B e 60 lêem 
os jo rna is A e B. Pergunta-se:
a) Q uantas pessoas lêem apenas o jornal A?
b) Q uantas pessoas lêem apenas o jornal B?
c) Quantas pessoas não lêem nenhum dos jornais?
39) Dois irm ãos têm juntos 200 figurinhas; destas, 60 pertencem a ambos. Sabendo que um 
dos irm ãos tem 110 figurinhas, incluindo a sociedade, calcule quantas figurinhas tem o ou­
tro irmão.
40) Numa prova, caíram dois problemas; 140 alunos acertaram o segundo, 50 acertaram os dois, 
120 acertaram um e 75 erraram o segundo.
a) Q uantos a lunos acertaram só o primeiro problema?
b) Q uantos alunos erraram os dois problemas?
c) Q uantos alunos acertaram só o segundo problema?
d) Q uantos a lunos fizeram a prova?
31
Conjunto dos 
Números Naturais
1. Correspondência Biunívoca
Consideremos os conjuntos A e B, representados na form a de diagramas.
Ao procurarmos ligar os elementos do conjunto A, por flechas, aos elementos 
do conjunto B, verificamos que a cada elemento de A corresponde um único 
elemento de B, e vice-versa.
Quando isso ocorre, os conjuntos A e B estão em correspondência biunívo­
ca ou correspondência um a um.
Os conjuntos A e B que possuem a mesma quantidade de elementos são cha­
mados eqüipotentes.
Exercícios de Aplicação da Teoria
1) Estabeleça, se possível’, a correspondência biunívoca, através de flechas, 
entre os conjuntos a seguir:
Definindo:
Dois conjiintos estão em correspondência biu- 
nívoca quando a cada elemento de um cor­
responde um único elemento do outro, e vi­
ce-versa.
a) A = (queijo, banana] 
B = (rato, macaco]
b )X = { 1, 2, 3} 
Y = [a, b. c)
32
Resolução
a)
2) Dados os diagramas abaixo, identifique aqueles que estão em correspon­
dência biunívoca.
a) / ^ • m \ b) / ^ a N / aít-•OI * B]
V 3mZL \^mo j 1 D •\ c -
• d
44Jn mm
c) d)
/ o í \ 7V 1 \
í 1 •' a \
(a ! " V * •
7 j B B 3 Bj (A wÊÊÊm i
\ 6^ / v 5J
\ 2 • " j / ----- y -e b /
Não, dosiquz .o ztmznXo m da Não. wsiquz um doò zíemznioó
A não tzm ' áonAz&pondzwtz zm dz À coÁAZóporide. a.' doí* ztz-
B. mzvvtoò dz B.
Exercícios Propostos
41) Mostre através de um diagrama, por flechas, em quais dos exemplos os conjuntos poderão 
estar em correspondência biunívoca.
a) A = (primavera, verão, inverno] b) M = (1, a, b, 3]
B = (frio, quente, flores] N = (2, x, y, 4]
33
42) Verifique se entre os conjuntos a seguir pode ser estabelecida uma correspondência bluJ 
nívoca.
a) A = [x , y, z) e B = (3, 4, 5)
b) a = (1, 3, 9) e B = (números pares menores que 8}
c) X = (8,12, 16] e Y = [3, 5, 7, 1 l j [ v
43) Verifique se entre os conjuntos A e B pode ser estabelecida uma correspondência biunívol 
ca que preencha a seguinte condição: os elementos de A se correspondem com o elemento 
imediatamente superior de B.
A ■ (números pares menores que 11]
B * (números ímpares menores que 12],
2. Número Natural
Número natural é um conceito primitivo, originário da necessidade dos ho­
mens de contarem quantidades de coisas ou objetos.
Posteriormente foi estabelecida a sucessão dos números naturais, que se cons­
titui num conjunto infinito de números, denominado conjunto dos números na­
turais.
3, 4 , 5, U
6,8,25)....c „ i
j| Assinale V (verdadei
Esse conjunto tem as seguintes características:
• é representado pela le tra f l (maiúscula);
• é um conjunto ii|f|iito;
• todo número natural tem um sucessivo;
• zero é o menor dos números naturais.
Sucessivo de um número natural é outro natural acrescido de uma unidade. 
Exemplos:
0 sucessivo de 0 é 1, de 1 é 2, de 2 é 3, e assim por diante. 
Observações:
1 ?) Quando não se inclui o zero no conjunto dos números naturais, obtém-se
o conjunto IN* = [1, 2, 3, 4, 5, /..7) '
2?) Os números usados são: 0 ,1 ,2 ,3 ,4 , 5, 6, 7, 8, 9, cham ados algarismos 
indo-arábicos.
3?) É bom saber que número é uma idéia de quantidade, enquanto que nu­
meral é simplesmente o símbolo que representa essa idéia.
Exemplo: idéia de quantidade numeral indo-arábico
cinco bolas 5 bolas
1
númei
■ № § )
■ r H
m
\
X ,
N
R ! \ V
v \ 5 S
-34
Exercíc ios d e A p licação da Teoria
1) Dados os conjuntos A = [0, 2, 4) e B = (numeros naturais menores que 6), 
calcule:
a) A U B 
Í j j A f l B
C) A f l INI*;
d) a B 5 n *
Resolução
a) A J (0, 2, 4]
B = (0, 1, 2, 3, 4, 5]
b) A PI B = (0, 2, 4)
c) A = (0, 2, 4)
IN* = (1, 2, 3, 4,
d) A - IN * = (0} ,
A U B = [0, 1, 2, 3, 4, 5) 
A H k * = (2, 4]
2) Complete, usando os símbolos E , fé, c ou jzí:
a) 8 d) 0 ....£..?¥}*
b) 35 M* e) N * .....
c) [1, 8, 25) (Mn iN*
3) Assinale V (verdadeira) ou F (falsa) em cada uma das afirmações seguintes:
a) O sucessor de 200 é 201. ( i/)
b) Existe um número natural cujo sucessor é zero. ( p)
c) O menor número par pertencente a | | r 4é o 2. ( y ) 1
d) O sucessor de um número natural a é a + 1. ( y )
y I
Exercícios Propostos
44) Responda às perguntas:
a) Quantos elementos tem o conjunto dos números naturais?
b) Qual é o conjunto dos números naturais pares?
c) Qual é o conjunto dos números naturais ímpares?
d) Qual é o conjunto reunião de IN e IN*?
e) Qual é o conjunto intersecção de N e IN*?
45) Qual é o menor número natural que se escreve com três algârismos diferentes? E com dois 
algarismos diferentes?
46) Com os algarismos 1, 3, 4, 5 e 8, usando todos sem repetição, pede-se:
a) Qual ò maior número que se pode escrever?
b) Qual o menor número que se pode escrever?
35
3. Igualdade e Desigualdade
Consideremos dois conjuntos A e B quaisquer. Quanto ao número de elern ̂
desses conjuntos, dois casos podem ocorrer:
1? caso: A e B têm o mesmo número de elementos.
n (A) = 3] 
n (B) = 3 j '°g ° :n (A ) = n(Bl
(lê-se: número de elementos de A é igual ao número de elementos de B)
2? caso: A e B têm diferentes números de elementos.
n (B) = 2] logo: n (A) * n (B)
(lê-se: número de elementos de A é diferente do número de elementos deBj
Quando dois conjuntos têm quantidades diferentes de elementos, usam-se 
as seguintes relações de desigualdade:
símbolo: > (significa maior) 
ou
símbolo: < (significa menor)
Exemplo:
Sejam os conjuntos A = [1, 2, 3, 4) e B = (a, e, i, o u}. 
O número de elementos de A é 4 S n (A) = 4 
O número de elementos d,e B é 5 n (B) = 5
w
Consider
fans itivaEntão, podemos escrever:
n (A) < n (B) (lê-se: número de elementos de A é m enor que o número de 
ou elementos de B)
n (B) > n (A) (lê-se: número de elementos de B é m aior que o número de 
elementos de A)
Observação: São usadas também as relações:
> (maior ou igual)
(menor ou igual)
Exemplo:
Para ser presidente da República do Brasil é preciso ter idade > a 35 ano8’ 
36
n (tsj
H
'(B)
Propriedades da Igualdade
Consideremos os conjuntos:
a) Reflexiva
n (A) = n (A)
b) Simétrica
se n (A) = n (B), então n (B) = n (A)
c) Transitiva
se n (A) = n (B) e n (B) = n (C), então n (A) = n (C)
J | Propriedade da Desigualdade
-se Consideremos os conjuntos:
Transitiva
se n (A) > n (B) e n (B) > n (C), então n (A) > n (C)
ou
se n (C) < n (B) e n (B) < n (A), então n (C) < n (A)
Exercícios de Aplicação da Teoria
Dados: A = (0, 1, 2, 3, 4 j, 
sim ou não.
B = (a, b, c) e C = (0, 2, 4, 6,
a) n (A) = n (B) d) n (A) = n (C)
b) n (A) * n (C) e) n (A) > n (B)
c) n (B) * n (C) f) n (C) < n (B)
Resolução
a) não d) sim
b) não e) sim
c) sim f) não
8], responda
37
2) Assinale V (verdadeiro) ou F (falso), utilizando as propriedades d a igualdade 
e desigualdade.
aJSea = 8, então 8 = a.
b) Se x = 5 e x = y, então y = 5.
c) Se a > b e b > c, então a > c.
d) Se x < y e y < z, então x > z.
e) Se x > 6 e 6 ^ z, então x ^ z.
PR
p m
w :é
w
y
m
Resolução
a) V — simétrica d) F — transitiva
b) V — transitiva e) V — transitiva
c) V — transitiva
3) Complete:
a) x = 2 e x = y, então y =
b) a = b e a = 7, então b = .....?.
ç) 5 = x, então x = ....?....
d) m = n e n = 1, então m = ...l
4) Complete:
a) a > b e b > 3, então a > .....?.
b) x < y e y < 6, então x < ..¿m
c) a = b e x * a, então x * ..... k A= (números natur
5) Complete com números naturais, de modo a ficar em ordem crescente ou 
decrescente:
a) .ÜÍ2, .2... \ ..1 .....5..., 6)
b) (..UP.9. , 1 010, J..0.Ü. , !: l w , ...LÜ1.3 , 1 014)
c) (J.Q..QÜÚ , 9 999, .1911 , . I M . ' , 9995)
d ) (1 000, ........ M . , ......?.?&, 995)
6) Ricardo é mais alto que Fernando e Renato é mais baixo que Fernando. Então:
a) O mais baixo dos três é . .$ & № $ ! . ... .... ..........................
b) O mais alto dos três é ..................../............... ................. ..........
Exercícios Propostos
47) Dados os conjuntos A = [1,2,3,4), IM e N*, copie apenas as sentenças verdadeiras.
a) n (A) < n (IN)
b) n (N) = n (M*)
c) n (A) ^ n (IN)
38
Então, supondo ser
m m
■
M
48) Copie as sentenças a seguir e identifique as que estão corretas, colocando a propriedade 
utilizada.
a ) x = x
b) se a = b e b = c, então a = c
c) se x > y e y > 10, então x >10
d) se m < n e n < p,. então m > p
e) se a > b e b > 20, então a ^ 20
49) Relacione os numerais seguintes, colocando entre eles os símbolos < ou >.
a) 5 e 8 d) 1,3 e 2
b) 400 e 405 e) 7, 42, 10 e 5
c) 7 e 0 Ç 12, 0, 6 e 8
4. Subconjuntos de N
Agora que já conhecem os as desigualdades, podemos apresentar alguns 
exem plos de subconjuntos de /k/u tilizando esse conceito.
Seja, por exem plo, determ inar o conjunto A formado pelos números naturais 
m enores que 8.
Por lis tagem dos seus elementos, a representação do conjunto A é:
A = [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} L e m b re te : , O conjunto A é subconjunto de tMí
ou, a través de um a propriedade dos seus elementos:
A = (núm eros naturais menores que 8)
Então, supondo ser x um elemento qualquer de A, temos:
A = (x E IN / x < 8) (lê-se: x pertence a , IN, tal que x é menor que 8)
Exercícios de Aplicação da Teoria
1) D eterm ine, através de uma propriedade, o conjunto B dos números naturais 
m aiores que 5 e menores ou iguais a 12.
Resolução
Por listagem :
A través de propriedade:
B = ( x E I N / 5 < x < 1 2 ) (lê-se: x pertence a N, tal que x é maior que
2) Escreva cada um dos conjuntos de números naturais a seguir, através de 
um a propriedade.
itão: B = (6, 7, 8, 9, 10, 11, 12)
5 e menor òu igual a 12)
a) A = (3, 4, 5)
b ) B == (0, 1, 2, 3, 4, 5, ...)
c) C = (10, 11, 12, ..., 100)
39
R e s o lu ç ã o
_ o.) A _ 5.Í. J?. .'H / r?. á h ...........| ................ ....
............... ....................... .......
........................
Exercícios Propostos
■
50) Determine cada conjunto, listando seus elementos.
a) A - (x e IN / 20 ^ x ^ 25} d) D * (x G IN / x > 0}
b) B = [x E IM / x > 100} e )E = (x E 'INI / x
c) C * (x E IN / x = 0} f) F * (x E № / 5 < x ^ l i f f l
51) Escreva os seguintes conjuntos através de uma propriedade.
a) conjunto dos números naturais compreendidos entre 15 e 20
b) conjunto dos números naturais iguais a 8
c) conjunto dos números naturais pares
d) conjunto dos números naturais pares menores que 22
5 . R e p resen tação G eom étrica de N
Tracem os uma reta e marquemos nela um ponto de origem O. A seguir, assi- I 
nalem os, a partir do ponto O, sucessivos pontos A, B, C , ... nessa reta, igualmen- I 
te espaçados (por exemplo: 1 cm).
O A B C D
--------1--------1--------1------- 1------- 1---------------------------►
Façam os corresponder, agora, a cada ponto da reta, ordenadamente, um ele­
m ento do conjunto dos números naturais: N = {0, 1, 2, 3, 4, ...}
O A B C D-------- 1--------,--------1--------1------- 1--------------------------------- ►
0 1 2 3 4
Assim , ficou estabelecida uma correspondência biunívoca entre o con-1 
jun to dos números naturais INI = (0 ,1 , 2, 3, 4 , e o conjunto dos pontos 1 
P = (O, A, B, C, D, ...], de tal forma que a re ta assim pontuada se constitui na I 
re p re s e n ta ç ã o g e o m é tric a d o c o n ju n to N .
Exerc íc ios de Aplicação da Teoria 1
1 ) R epresente geometricamente o conjunto A dos números naturais pares.
R e s o lu ç ã o 
A * (0, 2, 4, 6, 8, ...) + +
№
i)
2) Marque numa reta numerada o conjunto: 
A = {x. e INI / X < 5)
Resolução
0 1 2 3 4
3) Represente geometricamente cada um dos conjuntos:
a) A - (2, 4, 5, 7)
b) M = [x e N / x ^ 6]
c ) X = ( x 6 I N / 3 < x < 9)
Resolução
2 4 .- .5 7
0 í 2 3 4 5 6
3 4 5 6 7 8
guir, assi- Exercícios Propostos
igualmen* .... ..... ....1,1
52) Dado os conjuntos abaixo, represente-os geometricamente. 
ajA = ( x G M / x > 6 )
b) B = [x G N /x = 3J
c) C = [a e N / a < 7]
urnele- «,;d = (b e n /3 < b < 8)
o
pontoS 
.¡tiii n»
ire5'
4Í
Sistem as de N u m eração
1. Base do Sistema
Chama-se sistema de numeração ao conjunto de regras que perm ite ler e 
escrever qualquer idéia de quantidade, ou se ja , qualquer núm ero.
Atualmente, os sistemas de numeração mais utilizados se servem dos nume­
rais indo-arábicos (0, 1,2,3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) para transmitir um a idéia de quanti­
dade, isto é, para formar um número, por serem mais simples de se trabalhar.
Exemplos: 25 vinte e cinco 
78 setenta e oito
Entretanto, deve-se saber que outros sím bolos poderiam ser a d o ta d o s para 
representar um número. Por exemplo: tracinhos, p o n tin h o s o u le tra s .
- ..............idéia de quantidade = nove
.......... idéia de quantidade - seis
LViil idéia de quantidade = c inqüenta e o ito
Um conceito importante num sistema de num eração é o d e b a s e d o sistema.
Observemos, en
dois valores: um
Definin
Suponhamos, por exemplo, um conjunto qu a lque r q u e te n h a 2 0 e lem en tos :
• contando-se esses elementos aos 
pares, isto é, em grupos de 2, têm- 
se como resultado 10 grupos de 2 
elementos;
• contando-se esses elementos em 
grupos de 5, têm-se como resultado 4 
grupos de 5 elementos;
• contando-se esses elementos em dú­
zias, isto é, em grupos de 12, tem- 
se como resultado um grupo de 12 
elementos, sobrando 8.
Esses grupos escolhidos para a contagem de e le m e n to s d a q u e le c o n ju n to se 
constituem nas bases de contagem.
42
2. Sistema de Numeração Decimal
Sistema de numeração decimal é aquele cuja base de contagem é 10, isto 
é, a contagem dos elementos de qualquer conjunto é feita em grupos de 10. 
As características do sistema decimal são:
• utiliza apenasos algarismos indo-arábicos para escrever qualquer número:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
e »ere
nume.
luantj.
>alhar.
s para
ema.
ntos:
I
se
• todo algarismo situado imediatamente à esquerda de outro representa uma uni­
dade de ordem imediatamente superior à desse outro e tem valor dez vezes 
maior.
Exemplo:
unidade de 1 * ordem (unidades simples)
unidade de 2? ordem (dezenas = 10 unidades simples)
unidade de 3? ordem (centenas = 10 dezenas = 100 unidades
simples)
unidade de 4® ordem (milhares = 10 centenas = 1 000 unidades 
simples)
Observemos, então, que um algarismo qualquer de um número pode possuir 
dois valores: um absoluto e outro relativo.
Definindo:
Definindo:
Exemplo:
Valor absoluto 
— >8 
— >5 
— ►3 
— >2
Valor relativo
8 unidades de 1 ? ordem -> 8 x 
5 unidades de 2® ordem -+ 5 x 
3 unidades de 3? ordem -> 3 x 
2 unidades de 4? ordem -> 2 x
1 = 8 
10 = 50 
100 = 300 
1 000 = 2 000
Então, o num eral 2358 é formado por:
2 m ilhares = 2 000
3 centenas = 300
5 dezenas = 50
8 unidades = 1BM 8
2 358
Lembrete:
A soma dos valores relativos repro­
duz o próprio número.
43
Dez unidades de uma ordem qualquer formam uma unidade 
diatamente superior.
10 unidades simples (1® ordem) = 1 dezena (2® ordem)
10 dezenas (2® ordem) = 1 centena (3® ordem)
10 centenas (3? ordem) = 1 milhar (4® ordem)
10 milhares (4® ordem) = 1 dezena de milhar (5® ordem)
e assim por diante
Exercícios de Aplicação da Teoria
1) Qual a base empregada quando contamos:
a) os jogadores de um time de futebol um a um?
b) as frutas em dúzias?
Resolução
a) base 1
b) base 12
2) Determine a ordem dos algarismos que formam o numeral 29 438.
Resolução
2 9 4 3 8
1 ® ordem: 8 unidades 
2® ordem: 3 dezenas 
3® ordem: 4 centenas 
4® ordem: 9 milhares 
5® ordem: 2 dezenas de milhar
3) Complete, conforme o modelo.
a) 487623 = 400 000 + 80 000 + 7 000 + 600 + 20 + 3
b) 6.S...8..7..9 = ÁLW. + 5 000 + ..m ... + 70 + . ..V...
c) J ..5 .6 ..4 = 3 000 + . .Æ .. + 60 +
d) 1Â.2.5 = ...l.P.Ç.Q + 800 + 20 + . .J .....
4) Complete as seqüências, conforme o modelo.
5 105 5 205 5 305 5 405 5 5 0 6 ^
10 341 10 441 10 541 ‘ 10 641 J O jU ^ d
21 000 22 000 23 000 24 000
33 000 44 000 55 000 66 000 u
440 000 550 000 660 000 no 000
44
5) Com ple te, co locando o va lor absoluto e o valor relativo de cada algarismo 
dos num era is:
53) Copie apenas as sentenças corretas:
a) A base empregada quando se contam os meses em semestres é 6.
b) A contagem de sapatos é feita na base 3. 1
c) O sistema decimal, para se escrever qualquer numeral, usa apenas dez algarismos.
54) Determine as ordenados algarismos que formam os seguintes numerais:OC
55) Decomponha em unidades de 1 • ordem os seguintes numerais:
á) 12
b) 407
c) 835
d) 5 403
e) 30 450
56) Forme os numerais dos seguintes números:
a) 3 dezenas e 7 unidades simples
b) 7 centenas, 4 dezenas e 2 unidades simples
c) 4 centenas e 3 unidades
d) 2 dezenas de milhar, 5 dezenas e 3 unidades
57) Determine o valor absoluto e o valor relativo de cada algarismo dos numerais:
a) 370
b) 1 504
e) 29 412
d) 1 426 835
a; 5 2 4 Valor absoluto Valor relativo
4 4
2 20
5 500
b) 2 6 9 3 5 Valor absoluto Valor relativo
5
9
в 6 oo o-
i 20 000-
Exercícios Propostos
a) 623
b) 3 814
45
3. Classes de um Numeral Decimal
Um numeral, para ser lido ou escrito, deve ter as suas unidades das diversas 
ordens agrupadas em classes de três, a começar pela direita. O quadro exem- 
plificativo a seguir resume as classes mais usadas de um numeral e aproveita 
para apresentar as diversas ordens de suas unidades.
Exemplo:
2 435 820 679 Ordens Classes
i1 ¡i I l— y* unidades (1? ordem)
I1 ii i—— ► dezenas de unidades (2? ordem) classe das unidades1H i ■HP i gi
iii --------- ► centenas de unidades (3? ordem)ii i H 1 1l1 ------------ ► unidades de milhar (4? ordem)!• 1 -------------► dezenas de milhar (5? ordem) classe dos milharesi
r , & 1 — * % >l_ Y-------- — ► centenas de milhar (6? ordem)
HE ni si --------- í—► unidades de milhão (7? ordem)
S , ii
IsM ------------- ► dezenas de milhão (8? ordem) classe dos milhões
■■■ i ;m ii ----------- ► centenas de milhão (9? ordem)
----------------------► unidades de bilhão (10? ordem) classe dos bilhões
Para lermos o numeral do exemplo, temos que, primeiramente, identificar a 
classe à qual pertence o primeiro algarismo da esquerda.
Então, lê-se: dois bilhões, quatrocentos e trinta e cinco milhões, oitocen­
tos e vinte mil, seiscentos e setenta e nove.
Em resumo: Para se ler oü escrever um numeral, tem-se que respei­
tar as suas classes, isto é, devem-se agrupar os seus al­
garismos em classes de três, a começar pela direita, e 
dar-lhes os seus nomes correspondentes.
Exemplo:
Escreva o numeral de três milhões, cinqüenta e quatro mil, cento e vinte e um.
3 054 121
classe das unidades 
classe dos milhares 
classe dos milhões
ExeFcícios de Aplicação da Teoria 1
1) Separando as classes dos numerais a seguir, escreva-os na liguagem 
corrente.
Resolução
a) 409, — quatrocentos e nove
b) & $ 2 \ - r cinco mil, trezentos e vinte e um
c) ^ ,^2 0 — três mil e vinte
d ) 45,712 — quarenta e cinco mil, setecentos e doze
0 )^ 3 0 2 402 — dois milhões, trezentos e dois mil, quatrocentos e dois
2) Escreva 0 numeral dos seguintes números:
a) dois mil, trezentos e quarenta e um
b) dois milhões, duzentos e trinta mil, trezentos e cinco
c) cento e quarenta mil, quatrocentos e doze
Resolução 
ó l ) 2 347
; b) 2 230 305
c) 140 412
Exercícios Propostos
58) Separando as classes dos numerais a seguir, escreva-os na linguagem corrente:
a) 805 d) 3 111 203
b) 73 613 e) 76 453 701 &
c) 932 400
59) Escreva o numeral dos seguintes numeros:
a) oito mil, setecentos e trinta e dois d) trezentos e vinte e dois mil
b) um mil, oitocentos e quatro e) três milhões, três mil e um
c) trinta e três mil cento e doze f) cem nriil e dez
4 . Sistem a de Numeração Romana
O sistema de numeração romana foi criado pelos antigos romanos e se cons­
titui num conjunto de símbolos destinados a representar uma idéia de quantida­
de, isto é, um número.
Sua aplicação, nos dias de hoje, ficou restrita à numeração de capítulos e vo­
lumes de livros, aos mostradores de relógios e a outras pequenas coisas em que 
se quer colocar ordem.
Os símbolos utilizados são sete letras maiúsculas do alfabeto latino, chama­
das de algarismos romanos.
Seus valores são:
I — tem valor 1 
V — tem valor 5 
X tem valor 10 
L — tem valor 50
47
C — tem valor 100 
D — tem valor 500 
M — tem valor 1 000
Para formar os números pnr esse s,stema’ u'
• Os valores das letras sã 
menor valor é colocada
.¡sarrios as seguinteb ттшт esse sistema, vsa
tão, é subtraída.
Exemplos:
XVI = X + V + I = 10 + 5 + 1 = 16
CLVI = С + L + V + I = 100 + 50 + 5 + 1 = 156
MCXI - M + C + X + I = 1 000 + 100 + 1 ° + 1 m 1111
IX = X - I = 10 f^1 = 9
XLI = L - X + I = 50 - 10 + 1 = 41
CM = M - C = 1 000 - 100 = 900
• Apenas as letras I, X, С e M podem ser repetidas e, no máximo , três vezes.
Exemplos:
XXVIII = 28 
MCCLXXXVI = 1 286 
CLXXXII = 182 
MM DCCCXII = 2812
• Colocando-se um traço em cima de qualquer letra, o seu v a lo r f ic a m ultip li­
cado por 1 000; dois traços, por um milhão, e assim p o r d ia n te .
Exemplos:
XV = 10 005 
LXVIII = 60 008 
LXVII = 50 017 
W = 7 000 000
Exercícios de Aplicação da Teoria 1
1) Escreva em algarismos romanos os seguintes núm eros:
a) 17 c) 728
b) 213 d) 2 040
Resolução
a) XVII
b) CCXIU 
48
c) DCCXXVIU
d) M M XL
2) Escreva no sistema de numeração romana os seguintes números:
a) 88 d) 1 989
b) 163 e) 2 500
c) 1 234 f) 5 298
R e s o lu ç ã o
c l ) LXXXl/III d ) MÇMLXXXIX
b) C LX III e) MMP
c) MCCXXXIl/ tf) UCCXCl/III
Exercícios Propostos
60) Escreva em algarismos romanos os seguintes números: 
18, 19, 78, 86, 125, 204, 1 124
61) Escreva no sistema decimai os seguintes números:
XVI, XLII, CCLXV, DCCLXXI, MDC, XVII, LXXII
Operações Fundam entais 
com Números N atu ra is
1. Introdução
Na unidade anterior, você pôde aprenderque um núm ero re p resen ta uma idéia 
de quantidade. Agora, mostraremos como se pode traba lhar co m essas quanti­
dades, isto é, com os números.
São quatro as operações fundamentais com os núm eros:
• adição 
• subtração
• multiplicação 
• divisão
2. Adição I
Consideremos dois números naturais, por e x e m p lo 4 e 5 . P a r a s e reunir as f l 
quantidades que esses números representam , fa z e m o s a s e g u in te o p e ra ç ã o :
4 + 5 = 9
parcela
parcela
soma
• A operação realizada chama-se adição e re p re s e n ta -s e p e lo s in a l 4-.
• Os números 4 e 5 são cham ados de parcelas.
• O número 9 é o resultado da ad ição e c h a m a -s e s o m a .
Exercícios de Aplicação da Teoria
1) Efetue as adições:
a) 23 + 15
b) 8 + 35 + 123
50
c) 985 + 614 
cf) 1 347 + 2 816
m
Resolução
a) 23 b) 8
+ 15 35
38 + 123
166
c) 985 d) 1 347
+ 614 + 2 816
1 599 4 163
2> licro sejTdeUNCzU$3,82?8’94; ^ qUant° 3 * S® deV® Vendê''a P3ra que 0
Resolução 
S , 9 4
t 3 , S 2 
1 2 , 7 6
Resposta:..
3) Calcule as somas: 
a) 725 + 147
72 5 
+ 1 4 7 
& 72
reuniras
jeraçáO'
b) 1 943 + 2 821 
7 943
* 2 8 2 1 . '
4 7 6 4
c) 8 + 25 + 140 + 2 914 
: [8
.. 2'5 .., h 
1 4 0 ‘
+ 2 9 74 _
3.9S7
Gf;i 248 345 + 4 624 180
É a 345 .
+ 4 6 2 4 ISO- ,:- 
Sê 72 S2S:
+■ 4) Complete as adições:
9 8 «...
3 2
5 4 4 0
C) 3 3 3 3 
4 - - f r . ?— 
8 0 0 0
3 ú..8 .7 ..
1 ,.«... 4 ■ 2
7 2 1 7 9
B M M 9 4 • • J
+ .8 S...
1 . 1 4 6
51
Exercícios Propostos
62) Efetue as adições:
a) 18 + 4
b) 151 + 77
c) 12 + 5 + 78
d) 421 + 26 + 112
e) 1 075 + 135
f) 652 + 88 + 2 025
63) Quanto gastei num lanche, se comprei um m isto por NCz$ 1,40, um refrigerante p0r 
NCzS 0,50 e um sorvete por NCz$ 0,90?
64) Para m ontar um estojo escolar, comprei: um lápis por NCz$ 0,50; uma caneta por 
NCzS 2,60; um apontador por NCz$ 1,30; uma borracha por NCz$ 0,70 e o estojo,; 
propriam ente dito, por NCz$ 3,50. Quanto gastei no to ta l?
65) Como são chamados os termos de uma adição? E o seu resultado?
P ropriedades da A d ição
a) Fechamento
A soma de dois números naturais é sempre um número natural. 
6 + 7 = 13
b) Comutativa
A ordem das parcelas não altera a soma 
5 + 7 = 12
7 + 5 = 12 =*5 + 7 = 7 + 5
c) Associativa
A adição de mais de dois números naturais pode ser feita associando-se 
as parcelas em qualquer ordem.
3 + 5 + 9 = (3 + 5) + 9 = 8 + 9 = 17
ou
3 + 5 + 9 = 3 + (5 + 9) = 3 + 14 = 17
66) Nas adições abaix
a) 25 + 0 = 25 
5)14 + 7 = 7 + 
c) Sabendo-se qu 
<№ +12) + 6 
e)5 + x a 5 +
■
d) Elemento neutro
O elemento neutro da adição é o número zero. 
4 + 0 = 4
e) Cancelamento
Se a + 5 = 2 + 5, então a = 2
h í
v
52
Exercícios de Aplicação da Teoria
1) Complete, aplicando as propriedades da adição:
a) 6 + 3 = S ® + 6
b) m + pi t = n + m
c) 5 + ..?.. = 5
d;(1 + 4) + 2 = 1 + (.A.. + 2)
e)8 + = 11
9 1 + 4 + 3 = + 3
2) Complete, aplicando a propriedade do cancelamento:
a ) x + 2 = 3 + 2, então x =
b) a = b, então a + 7 = b + Z...
ç) a + 4 < 2 + 4, então a < ^
Exercício Proposto
66) Nas adições abaixo, qual é a propriedade estrutural utilizada?
a; 25 + 0 = 25 
b) 14 + 7 = 7 + 1 4
q) Sabendo-se que 13 G N e 7 G I N , então (13 + 7) G N 
(33 + 12) + 6 = 33 + (12 + 6) 
e) 5 + x = 5 + 15 => X = 15
3. Subtração
Consideremos os números naturais 7 e 5.
Qual é o número que adicionando ao segundo (5) dá com o resultado o prim ei- 
ro (7)?
A resposta é 2, e para se encontrar esse número fazemos a seguinte operação:
7 - 5 = 2 H
I------------------- J----------------------------- ► minuendo
--------------------------— ► subtraendo
--------- * diferença
• A operação realizada chama-se subtração e representa-se pelo s ina l — .
• O primeiro número (7) chama-me minuendo.
• O segundo número (5) chama-se subtraendo.
• O número 2 é o resultado da subtração e chama-se diferença.
53
Operação Inversa
A subtração é a operação inversa da adição.
Exemplo:
Seja o número 2, ao qual se deseja adicionar o número 3. O resultado é: 
2 + 3 = 5
Para voltarmos ao primeiro número (2), basta realizar, agora, a subtração: 
5 - 3 = 2
Então, podemos dizer que as sentenças (2 + 3 = 5) e (5 - 3 = 2) são equi­
valentes, pois significam a mesma coisa.
Representa-se pelo sinal <=►
2 + 3 = 5 <=* 5 - 3 = 2
E x e r c ^
1) Considere a igualdade 25 - 16 = 9.
a) Qual o nome dessa operação?
b) Quais os nomes do 25 e do 16?
c) Qual o nome do 9?
Resolução
a) Subtração
b) 25 é o minuendo 
16 é o subtraendo
c) 9 é a diferença
2) Efetue as subtrações:
a) 97 - 1 8 
. .97L, n
. 79
b) 647 - 125
647 
- 125 
H
c) 2 891 - 1 345
m m
H 345- '
■ 1 1 5 46
e) 4 825 623 - 2 947 128
4 825123 
- 2 947 128 
1 878 495
3) Um motorista pretende realizar uma viagem de 2 850 quilômetros em dois 
dias. Se no primeiro dia viajar 1 180 quilômetros, calcule quantos quilôme­
tros faltam para rodar no segundo dia.
54
Resolução
T o ta l ' 2 850 
7Ç cUa V 180 -
20 (Ur Í670
Resposta' Faltam i 670 quUldme.t/iOÁ
4) Complete as subtrações: 
a) 1 8 i . 6
2 1 1 1 
4 9 4 2
b) _ .* 5 6 4 . 
2 7 .1 9 4
5 J 4 A. 9
c) _ 9 6 . ?.
___ 3 1 6 2
i 4 9
d) 9 7 5 i
à j | 8 5 J. 3 1
1 3 3 3 3 3
Exercícios Propostos
67) Efetue as subtrações:
a; 58 - 15 c) 821 - 146
b) 127 - 44 d) 2 022 - 531
68) Como são chamados os termos de uma subtração? E o resultado?
69) Por que não é possível, numa subtração de números naturais, o minuendo ser menor que 
o subtraendo?
70) Numa subtração, o minuendo é 212 e o resultado é 125. Qual é o subtraendo?
71) Do meu sa lá rio de NCz$ 352,00 paguei a prestação da casa de NCz$ 70,00, a p re s ta ­
ção do carro de NCz$ 29,00 e dexei para à a lim entação NCz$ 20,00. Q uanto me sobrou?
72) Numa subtração, o minuendo é 220 e o subtraendo é 75. Calcule a diferença.
73) Numa subtração, o subtraendo é 5 e a diferença é 9. Ache o minuendo.
74) Calcule a diferença entre o menor número de quatro algarismos e o maior número de três 
algarismos.
4. Multiplicação
Consideremos a seguinte adição: •
3 + 3 + 3 + 3 = 12
Esta é uma adição característica, porque todas as parcelas são iguais , e nes­
te caso pode ser representada de uma forma mais simples:
55
4 • 3 = 1 2
fator
fator
produto
• A operação realizada chama-se multiplicação e representa-se pelo sinal.
• Os números 3 e 4 são chamados fatores.
• O número 12 é o resultado da multiplicação e chama-se produto.
Exercícios de Aplicação da Teoria
1) Considere a igualdade 8 • 7 = 56
a) Qual o nome dessa operação?
b) Como se chamam os números 8, 7 e 56?
Resolução
a) Multiplicação
b) 8 ó um fator 
7 é um fator 
56 é o produto
2) Efetue as multiplicações:
a)57 ■ 6 C) ■, 289 . 365
Definindo: Multiplicar é adicionar parcelas iguais.
57 7 28 9 
x 3 6 5x 6
~~6J№
7734
3 867
470 485
b) 125 • 34
d) 672 • 102725 
* 34 
T W 
375 
TBJ'
3) T ransform e cada ad ição 'em uma multiplicação:
a)2 + 2 + 2 = .......... ...... ...... .
f> ;8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 = ..................... ........
C ^ X + X + X + X + X = .................... ..........................................S l O P M M
d) 11 + 11 + 11 = ..................................
4) S abendo que o li tro de á lco o l cu s ta NCz$ 0,50, quan to gastare i para en­
c h e r o ta n q u e de um ca rro que com p orta 55 litros?
Resolução
36,00'
55
. 18000 i - ■. H
18000 - ^ ^ t 
1980,00 ^
Resposta:...... p?.̂ ..'!/. ?. ?.?:.................. ........
Exercícios Propostos
75) Efetue as multiplicações:
a; 33 - 44 c ; i 017 -1 0 e) 862 • 14
b) 55 ■ 15 c/; 2 365 • 4 9 1 347 • 0
76) Na com pra de uniformes para um time de futebol, foram comprados 15 calções a 
um preço de NCz$ 3,00 cada um, 15 pares de meia a NCz$ 0,70 cada e 15 camisas 
por NCz$ 4,20 cada. Quanto foi gasto no total?
77) Quantos segundos têm 2 horas e 36 minutos?
78) Como são chamados os termos de uma multiplicação? E o resultado?
79) Dê todas as possibilidades de se escrever o número 48 como produto de doisfatores.
Propriedades da M ultiplicação
9) Fechamento
O produ to de do is núm eros naturais ó sempre um número natural. 
4 • 5 = 20
b) Comutativa
A ordem dos fatores não altera o produto.
3 • 5 = 15 
5 • 3 = 15
3 • 5 = 5 • 3
c) Associativa
A multiplicação de mais de dois números pode ser fe ita associando-se os fa. 
tores indiferentemente.
3 • 5 • 4 = (3 • 5) • 4 = 15 • 4 = 60 
ou
3 • 5 • 4 = (5 • 4) • 3 = 20 • 3 = 60
d) Elemento neutro
O elemento neutro da multiplicação é o número um. 
1 - 4 = 4
e) Distributiva em relação à adição ou subtração
A m ultiplicação de um número por uma adição ou subtração pode ser feita 
distribuindo-se a multiplicação para cada termo da adição ou subtração.
3 ■ (4 + = 3 - 4 + 3 2 = 12 + 6 = 18
(5. + 3) - 4 = 5 • 4 + 3 • 4 = 20 + 12 = 32
8 • (5 - 2 ) = 8 • 5 - 8 • 2 = 40 — 16 = 24
( 6 4 ) ^ , 2 = 6 - 2 - 4 2 = 12 - 8 = 4
f) Cancelamento
Se a • 3 = 2 • 3, então: a = 2.
Exercícios de Aplicação da Teoria 1
1) Identifique a propriedade utilizada nas sentenças:
a) 6 ■ 7 = 42
b) 2 • 6 = 6 • 2
c) 4 • 3 • 5 = 12 • 5
d) 3 4 - 1 = 34
Resolução
a) Fechamento
b) Comutativa
c) Associativa
d) Elemento neutro
58
Qualénn'
I
'.Sol
2) Com plete com o núm ero natural que falta:
a) 7 ■ 2 = .1 7
b) 15 . . A = 15
C) 3 • (8 + 2) = 3 • J... + 3 •
d ) ( J . . - 7) • 9 = 8 ‘ 9 1 7 -
e)x • II O) 4, então x =
Exercícios Propostos
80) Identifique a propriedade utilizada nas sentenças:
a) 10 • 1 = 1 0
b) 12 • 4 = 48
c) (7 + 2) • 3 = 7 • 3 + 2 • 3
d ) 5 • (7 - 3) = 5 • 7 ¡ ¡ ¡ 5 • 3
e) 7 • a = 7 • 3, então: a = 3
f) 18 • 8 = 8 • 18
81) Resolva as multiplicações, aplicando a propriedade distributiva.
a) 7 • (1 + 5) c) 15 • (4 - 0) e) 83 • (7 - 1)
b ) ( 12 + 6) • 4 cf)5 ( 8 - 3 ) 9 (1 6 + 1) * 2
82) Quantas árvores existem em quatro canteiros, sendo que cada canteiro tem 6 macieiras, 
5 abacateiros e 8 goiabeiras?
5. D ivisão
C onsiderem os um núm ero natural, por exem plo, 30; suponham os, agora , que 
seja prec iso reparti-lo em 5 partes iguais.
Qual é o núm ero que m u ltip licado pelo segundo (5) dá com o resu ltado o p r i­
meiro (30)?
A resposta é 6, e para encontrarm os esse núm ero fazem os a seg u in te 
operação:
30 : 5 = 6
I-----------------1---------------------- ------—> dividendo
•L divisor
--------- ► quociente
• A operação rea lizada cham a-se divisão e representa-se pe lo s ina l ;
• O prim eiro núm ero (30) cham a-se dividendo.
• O segundo núm ero (5) cham a-se divisor.
• O núm ero 6 é o resu ltado da d iv isão e cham a-se quociénte.
59
Calculando de modo prático, já conhecido, tem-se:
dividendo -► 3 0 1 5 «- divisor
resto -* 0 6 *- quociente
Lembrete: Se o resto é igual a zero, dizemos que a divisão é exata.
Operação Inversa
A divisão é a operação inversa da multiplicação.
Exemplo:
Seja o número 5, que se deseja multiplicar pelo núm ero 4. O resultado é 
5 • 4 = 20.
Para se voltar ao primeiro número (5), basta realizar, agora, a divisão 2 0 :4 = 5.
Então, pode-se dizer que as sentenças (5 • 4 = 20) e (20 : 4 = 5) são equiva­
lentes , pois significam a mesma coisa. Representa-se pelo símbolo <*=>.
5 • 4 = 20 ^ 20 : 4 = 5
Divisão Aproximada
É aquela em que o dividendo não pode ser repartido igualmente pelo núme­
ro divisor. Ou seja, na divisão sobra um resto diferente de zero , que não pode 
ser m aior ou igual ao divisor.
dividendo -* 2 6 1 8 divisor
resto -k 2 3 quociente
Num a divisão, vale a seguinte relação:
3 8 +' 2 ' 26
i H I
quociente divisor + resto = dividendo
Exercícios de Aplicação da Teoria * 7
1) Na igualdade 35 : 7 = 5, identifique o divisor, o quociente e o dividendo.
Resolução
35 é o dividendo
7 é o divisor 
5 é o quociente
60
lcl o é
55 5.
iva.
e-
I
2) Assinale verdadeiro (V) ou* falso (F) nas sentenças:
a) No conjunto dos números naturais pode ser feita a divisão 3 : 6. (F)
Lembrete:
b) 60 : 5 J 12 <=> 5 • 12 8 60 (V)
c) A divisão 0 : 4 = 0 é correta. (V)
Lembrete:
d) A divisão 5 : 0 é impossível. (V) 
Lembrete:
3) Efetue as seguintes divisões exatas:
a) 648 :1 2 b) 5 103: 81
Resolução
c l ) 648 \ 12 
-60 ^~J7 
~ 7 T 
-48
I ~ ~ F I
fa) 5 703[_Ji-£$6_ 63 
243 .
- 243 
; 0
4) Arme e efetue as seguintes divisões aproximadas: 
a; 5 0 6 : 6 0 /1 0 8 8 3 :8 5
Resolução
a) 506\ è" 
~48 87
* ¿T6
b) '10-883WÊ&5- 
238-
i mo , '
6$3
I
67
5) Complete as equivalências.
a) 48 : 8 = 6 8 • | 48
b) 5 • 9 = 45 <=> : 5 = 9
c) a : b = c *=> .fí,. ■ b = a
ExerCÍdOS ^ r̂ P2mlmv
83) Efetue as divisões:
aJ 248 : 4 ej 1 466 : 32
b) 625:25 9 4 234: 122
c) 3 249 : 42 g) 0 : 26
d) 1 481 : 10
84) No òonjunto dos números naturais, é possível efetuar a divisão de um número por outro 
número maior? Por quê?
85) Numa divisão exata, o quociente é 14 e o dividendo é 84. Qual é o divisor?
86) Escreva três vezes o número 9, de modo a dar:
a) 10 como resposta.
b) 11 como resposta.
87) Escreva o número 1 000 utilizando oito algarismos iguais a 9.
6 . Expressão Numérica.
Suponhamos uma sentença matemática que contenha um a ou mais opera­
ções com números.
3 + 4 + 1 1 'H 6
Essa sentença representa uma única idéia de quantidade, isto é, tem um únij 
co resultado.
Para obtermos esse resultado, basta efetuarmos ás operações indicadas na 
sentença:
3 + 4 + 11 - 6 =
7 + 11 - 6 =i j
18 { - 6 = 12
I—► valor numérico da expressão
O resultado de uma expressão numérica é cham ado valor numérico.
Definindo: Chama-se expressão n u m é ric a à sentença que contém uma ou mais operaçõès com nú­
meros.
62
Resolução de uma Expressão Numérica
Para se efetuar as operações indicadas numa expressão, é necessário obe­
decer à seguinte regra:
• Primeiramente, efetuam-se as multiplicações e divisões, obedecendo à or­
dem em que aparecem.
• A seguir, efetuam-se as adições e subtrações, também obedecendo à or­
dem em que aparecem.
Exemplos:
a) Expressões simples
Determine o valor numérico da expressão:
5 + 6 4- 9 : 3 + 4 - 2
Resolução
Primeiramente, efetuam-se as multiplicações e divisões, na ordem em que apa­
recem. O restante se repete.
5 I 6 - 4 B ;9 : 3, + 4 - 2 B
5 + 24 — 3 + 4 - 2 =
Agora, não há mais multiplicações e divisões. Então, efetuam-se as adições 
e subtrações, tam bém na ordem em que aparecem.
5 + 24 - 3 + 4 - 2 =
29 - 3 , + 4 - 2 =
26 + 4 - 2 =
30 - 2 = 28 -> valor numérico
b) Expressões com parênteses 
Resolva a expressão:
( 1 2 : 4 + 2 ) + 3 •
Resolução
(12 : 4 + 2) + 3 • 6 + (7 § 4 ) - 8
(3 + 2) + 3 * 6 + 3 ' - 8
5 + 3 * 6 + 3 8
6 + (7 - 4) - 8
Lembrete:
Quando houver parênteses, devem 
ser efetuadas, em primeiro lugar, as 
operações neles contidas, até 
eliminá-los.
¡ volta-se a aplicar as regras
Nesse ponto, em que não há mais parente 
dadas para a expressão inteira. _ g =
5 + â j j í + °
|H w B S
23 + 3 8
Exercícios de A p jic a ç ã o jia ^ o ría
1) Resolva a expressão:
8 + 5 • 3 - 12 : 6 + 7 - 4
Resolução
8 + 5 • 3 - 12 : 6 + 7 - 4 =
8 + 15 - 2 + 7 - 4 =
23 - 2 + 7 - 4 =
21 + 7 - 4 =
28 9 4 = 24
2) Ache o valor numérico da expressão:
(24 : 6 + 7) + 2 • 5 + (6 - 1 ) B 9
Resolução
f (2 4 tè + lj]+ ‘2 • 5 +' (6 - l |g 9 = ,
[ 4 + 7 ) + 2 * 5: + 5 J l =
.11 + 2 i 5 4 5 - 9 =
í;. 11 + ¿0 +
2 7 +5 -"'91 |
2 6 1 9
Exercícios Propostos
88) Calcule o valor numérico das expressões:
a) 15 + 82 - 27 + 5 
0)9 + 18 + 2 3 - 2 9
c) 115 - 9 + 1 3 - 4 2
d) 99 + 20 - 12 + 71
e) 38 - 1 5 + 1 1 2 - 9
89) Determine o valor numérico das expressões-
I a) 120 - (13 + 7 - 18) + (19 + 3 _ 1t-v 
/»(159 .- 59 + 13) - 15 + (13 _ V 15) 
c) 15 + (74 + 6 - 70) + 131 20 1 I
dj20 - 7 + 14 - (20 - 15 + 5) ++oS 
6!) 19 + 3 + 30 - (20 + 39 - 42) 9 
64
ir
B
90) Resolva as expressões:
a) 12 + 1 6 : 4 - 7 + 2 * 3 ^ ( 3 + 4 - 1 )
b) 5 7 + (10 - 3 • 6 : 2) + 2 • (4 - 9 : 3)
c; 25 : 5 + (8 + 3 ■ 10 : 2) + (4 • 3 14 : 7)
c) Expressões com parênteses e colchetes 
S im p lifique a expressão:
(5 + 4 • 3 : 2) + [2 + 25 : 5 + (2 • 2 + 5)]
Resolução
(5 + 4 • 3 : 2) +[2 + 25 : 5 + (2 • 2 + 5)] = 
(5 + 12 : 2) + [2 + 25 : 5 + (4 + 5)] =
(5 + 6) + [2 + 25 : 5 + 9] =
11 + [2 + 25 : 5 + 9] =
11 + [2 + 5 + 9] =
11 + [ 7 + 9] =
11 + 16 = 27
Lembrete:
Devem ser efetuadas, em primeiro 
lugar, as operações dentro dos pa­
rênteses, até eliminá-los, e depois 
as operações dentro dos colchetes.
Exercícios de Aplicação da Teoria
1) Resolva a expressão:
(8 + 6 • 8 : 4) + [3 + 15 : 5 + (1 - 7 - * 2 ) \
Resolução
(8 + 6 • 8 : 4) + [3 + 15 : 5 + (1 • 7 t 2)] =
(8 + 48 : 4) + [3 + 15 : 5 + (7 g 2 ) ] =
(8 + 12) + [3 + 15: 5 + 5] =
20 + [3 + 15 : 5 + 5] =
20 + [3 + 3 + 5] =
20 + [6 + 5] =
20 + 11 = 31
2) Calcule o valor numérico da expressão:
(7 + 20 : 5 - 3) + [10 - 8 • 2 : 4 + (10 : 2 - 5)]
Resolução
( 7 + 4 I 3) +$ll0-16 : 4 I 5 M i 
^ U1 -3 ) + t'10-16 í 4 + 0] =
■ +
+ 6* 14
65
Exercício Proposto
91) Calcule o valor numérico das expressões:
a) 9 • 10 - [5 • 2 - (60 - 40 - 10) + 12]
b ) 7 + 13 - 3 • 6 + [9 - (30 : 2 + 8 + 5 - 20)]
c) 25 + [19 - 3 • 3 + (15 + 2- W Ê 2)]
d) 6 • 2 - 20 : 2 + [20 - (8 • 4 - 12 - 10)]
e) [5 + 3 • 5 - (17 - 45 : 3 + 3)]
d) Expressões com parênteses, colchetes e chaves 
A ch e o va lo r num érico da expressão:
[5 • 6 + [(2 • 8 - 3) + 14 : 7 + 2 • (15 - 3 + 4)] + (6 - 8 : 4)) 
Resolução
(5 • 6 + [(2 ■ 8 - 3) + 14 : 7 + 2 • (15 ■- 3 + 4)] + (6 - 8 : 4)J = 
(5 • 6 + [(16 - 3) + 14 : 7 + 2 • (12 + 4)] + (6 i 2)) =
(5 • 6 + [(13) + 1 4 : 7 + 2 - 16] + 4} =
(5 • 6 + [13 + 2 + 32] + 4)
[5 • 6 + 47 + 4] =
(30 + 47 + 4] =
(77 + 4) = 81
Lembrete:
Efetuam-se as operações dentro dos 
parênteses, depois dos colchetes e 
por último as das chaves, eliminan­
do um após o outro.
Exercíc ios de Aplicação da Teoria 1
1) R e so lva a expressão:
(7 + 3 • [10 : 2 + 3 l j ( 8 • 2 - 11)])
Resolução
[7 + 3 • [10 : 2 + 3 É (8 • 2 - 11)]) 
(7 + 3 • [10 : 2 + 3 -- (16 % 11)]) = 
(7 + 3 • [10 : 2 + 3 - 5]) =
(7 + 3 • [5 + 3 - 5]) =
(7 + 3 - [ 8 - 5]) =
(7 + 3 • 3) =
(7 + 9) = 16
2 ) S im p lif iq u e a expressão:
(25 - 2 • [(4 + 18 : 3) : 2] 1) '
Resolução { 25 — 2 - U 4 > 1] - n « 
{ 25 - l • 11,0:2] - 
{ 2 5 — 2 •
{25 - 1 0 - 1 } =
{ 1 5 - 1 } « 14
66
Exercícios Propostos
92) Calcule o valor numérico das expressões:
a) [7 • 4 + [3 • (2 • 2 + 5) + 3 : (4 • 0 + 3)J)
b) {4 ■ [2 : 2 • 10 + 5 • (3 + 12 : 6) - 12] + 4 • 4]
c) ((8 • 5 : 10 + 5) + [4 • 2 + (8 • 8 - 60)]]
93) Simplifique as expressões:
a) 14 : 2 + 3 • {5 + [(3 .+. 8 • 3) - 12].(+ .11],
b) (5 • 5 + 5 + {3 • (4 : 1 + 7) jp 12 • (2 • 0)]
c) 10 : 2 + (3 • [(2 + 12 : 3) + 7 • 8 :S | 50] + (4 • 5 : 10)]
7 . Cálculo do Elemento Desconhecido numa Igualdade
Utilizando os recursos das operações inversas, podemos ca lcu lar o va lor de 
um elem ento desconhecido numa igualdade.
1 ? Exemplo clássico
Determ ine o va lor de n nas igualdades:
a) n + 5 = 10
b) 6 + n = 8
c) n S 7 = 2
d) 4 - n = 3
Resolução
a) n + (5 ) '= 10 => n = 10 | (5)
n •= 5
b) (6 ) + n = 8 n = 8 - @
n ,*r 2
o) n 2 ^ ; h = 2 + (t>
n = 9
d) 4 - j n ; = 3 =r- 4 3 + (n)
4 - 3 = n
1 = n
Lembrete:
Para se achar o elemento desco­
nhecido, ele tem que ficar sozinho 
num dos lados da igualdade.
2? Exemplo clássico'
Determ ine o valor de n nas igualdades:
a) 10 • n = 20
b) n • 4 = 12
c) n : 5 = 3
d) 30 : n = 5
67
Resolução
aJ(í'Ò • n = 20 => n 
n
b) n 7(4) = 12* n
n
c) n : v5) = 3 * n
n
20 : (iõ) operação inversa da multiplicação 
2
12 : (4)
3
3 * © 
15
operação inversa da multiplicação 
operação inversa da divisão
Lembrete:
Note que é sempre o divisor que 
passa para o outro lado multipli­
cando.
d) 30 : (m = 5 => 30 = 5 (ñ) operação inversa da divisão
30 : 5 = n 
6 = n
3? Exemplo clássico
Calcule o valor de n nas igualdades:
a) n + 2 • n = 9
b ) 5 • n l 10 = 30
c) 2 • n + n ÿ 10 = 2 • n
Resolução
a) n + 2 - n = 9 * 3 - n = 9
n = 9 : 3 
n = 3
b) 5 • n - 10 = 3 0* 5 • n = 30 + 10
5 • n = 40 
n = 40 : 5 
n = 8
c) 2 r\ + n l 10 = 2 • n=»2 • n + n - 10 - 2 • n = 0
3 • n - 2 • n = 10 
n = 10
Exercícios Propostos
94) Determine o valor de n nas igualdades:
a) n + 8 = 10 c) 7 + n = 12 e) 12 _ n = 6
b) n - 5 « 2 d) 15 ~ n = 8 f) 20 - n = 9
95) Calcule o, valor do elemento desconhecido nas igualdades:
a) 9 * a = 36 q) a : 10 = 5 ®M • a = 9
b) a • 6 = 24 ' d) 16 : a - 16 0 25 • a - 5
68
96) Ache o elemento desconhecido:
a) 2 • c + c = 15
b) 3 • c - 7 = 20
c) c + c - 4 = 2
c0 3 c + c + 5 = 2 - c + 5
e) 8 • c + 2 • c = 10 
9 12 • c - c - 6 = 4 + c
97) Calcule c nas igualdades:
a) c + c - 1 = 1
b) 2 c + c + 3 = 3
c) 6 • c + c ¡¡¡8 = 3 • c - 4
8. Resolução de Problemas
A resolução de um problema passa a ser muito fácil quando se adotam os 
seguintes procedimentos:
Escrever numa sentença m atem ática o proble­
ma enunciado em português.
Esse procedimento faz aparecer numa sentença matemática o elemento des­
conhecido, isto é, aquele elemento cujo valor se quer encontrar. 1
Em seguida, basta encontrar o valor do elemen­
to desconhecido.
1 ? Modelo
O valor de um núm ero menos 5 é igual a 8. Qual é esse número? 
Resolução
D d • í núm ero desconhecido = n 
a os ‘ ( número menos 5 = n 9 5
Sentença matemática: n - 5 = 8
n = 8 + 5 
n = 13
Resposta: O número é igual a 13.
2? Modelo
O dobro de um número é igual a 30. Qual é esse número? 
R eso lução
Dados- í número desconhecido = n 
q s ' l o dobro do número = 2 • n
69
Sentença matemática: 2 ■ n - 30n = 3 0 : 2
n = 15
Resposta: O número é igual a 15.
W ' A F V
W aV
3 ? Modelo
A soma de dois números é 
são esses números?
46. Um deles é maior que o outro 14 unidades. QUais
Resolução
ú . #
número menor .= n^ . M U IIIW I V m v i iw i
a^os' número maior = n + 14
Sentença matemática: n + n + 14 = 46
2 • n .+ 14 = 46
2 • n = 46 ^ c14 
2 • n = 32 
n = 32 : 2 
n = 16
Então:
número menor = 16
número maior = n + 14 = 16 + 14 = 30 
Resposta: Os números são 16 e 30.
m
lili*10 írion»d0
nÚN0rOdo Qu8
nvirnoío
ttqOdobro de u m n ú m « <
i ) 0 triplo de um n ú m e n
Exercícios de Aplicação da Teoria 1 M) Um número d ividido |
1) Adicionando 18 a um certo número obtemos 717Qual è o número? 
Resolução
Dados: í número Pr0Cu;aod° = n
(numero mais 18 = n + 18
Sentença matemática: n + 18 = 71
n = H 18
n = 53
Resposta: O número é igual a 53.
2) O triplo de um número 
Resolução
diminuído de 20
® igual à 7. Qual é o número?
Dado a •* ínúmeao ph-ocLusuido = kt
| tsJjp'ío do mm&to = 3 • n 
S e n ten ça m atem ática: 3n - 20 * 7 
3 n = 7 + 2 0 
3 n * 2 7
Resposta: . J . . m m . . | & Ã
70
a * 2 7 : 3 
"n = 9 *
W) Królmdoae o númei 
'®l Cáleme o número n
■ ÉL (
' ) % in
N
ij^N
N > „ ^
3) Ache um número cuja diferença entre 60 e ele seja igual a 35. 
Resolução
Vadoò .* í númeAo pAoc.uA/ido - x
( ¿¿¿eAença entA e 60 e o numeAó - 60 - x
Sentença matematiccL•• 60 — x - 35
6 0 * 3 5 + x 
60 - 35 - x
£¡5 n
Resposta: . £. íâ £m. ?. ?.*.
Exercícios Propostos
98) Um núm ero ad ic ionado a 10 dá 27. Qual é esse número?
99) Qual é o núm ero do qual subtraindo-se 40 resulta 12?
100) O trip lo de um núm ero vale 36. Qual é esse número?
101) O dobro de um núm ero adicionado a 12 dá 26. Qual é esse número?
102) O trip lo de um núm ero menos 74 é igual a 52. Qual é esse número?
103) Um núm ero d iv id ido por 5 é igual a 4. Qual é esse número?
104) D ividindo-se o núm ero 60 pela idade de Carlos, o resultado é 5. Qual é a idade de Carlos?
105) Calcule o núm ero natural cujo quíntuplo menos o dobro dá como resultado três dúzias.
4? Modelo
A soma de dois números é 27. Quais são eles, sabendo-se que o maior é o dobro 
do menor?
Resolução
C número menor = n 
Dados: j número maior = 2 • n
( soma do maior com o menor = n + 2 • n
Sentença matemática : n + 2 • n = 27
3 • n = 27 
n = 9
Então:
número menor = 9
número maior = 2 ■ n = 2 ■ 9 = 18
Resposta: Os números são 9 e 18.
71
5? Modelo
Um número multiplicado por 5 e esse resultado d iv id ido por 10 dá 4. Qual