Falando de Matemática 8ª Série - Bonjorno

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RALANDO
Ю1234567890121 
90123456789012І_ 
890123456789012
I
Î90123456'
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2345678
B 567890123 
3456789012: 
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І234567890 
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12 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 
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3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 
5 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2c 
2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 
F 23456789012 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 
> 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1
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7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 
> 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 23456'i 
6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 
t f \ ^ 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 8 
^ 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 
^ 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 234E 
S P ? 45g>78901 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4
11111
H I
R E G IN A A Z E N H A B O N J O R N O
JOSE ROBERTO B O N J O R N O 
VALTER B O N J O R N O
2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 
2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 £ 3 4 5 6 7 8 9 0 1 
¡¡§ 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 
!0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 23456789C 
9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ' 
¡90^ 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2345678S 
8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 
8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 234567E
Instituto Brasileiro ae Edições Pedagógica^ 
294
Fone: 291 - 2355 (PABX): ..,¿
Caixa PostaJ/ 5.-312
GEP:,03016 - São PadóMBrasil
M IL T O N M A C Ê D O
I
Supervisão geral
Armando Alves de Lima
Preparação de original e revisão 
Maria Luiza Favret
1
PREFÁCIO
A presente coleção de livros, que se destina aos alunos do 1 ? grau, da 5? 
à 8? série, foi elaborada levando-se em consideração a grande diferença, ainda 
existente, entre os métodos de ensino aplicados aos alunos que iniciam a 5? sé­
rie e aqueles das séries anteriores.
Procurou-se atender, por isso, ao rigor que se torna necessário utilizar no 
tratamento da Matemática, sem, entretanto, incorrer em excessos que a torna­
riam de difícil compreensão.
Utilizou-se um método prático e objetivo, sem derivações, com linguagem 
simples e acessível ao aluno.
Cada exposição teórica é seguida de um conjunto de exercícios de aplica­
ção da teoria, resolvidos e a resolver, que consolidam a aprendizagem do aluno. 
Exercícios propostos, que permitem avaliar o conhecimento do aluno e comple­
mentam a sua formação, são relacionados após cada assunto e/ou no final da 
unidade, conforme a necessidade.
Em particular, a exposição dos exercícios resolvidos é acompanhada, quan­
do surgem novos conceitos, de observações, sob a forma de lembretes, que con­
duzem e auxiliam a sua resolução.
Resta-nos agradecer aos colegas que nos distinguirem com sua leitura e en­
viarem sugestões que permitam o aperfeiçoamento destes livros.
Os Autores.
M ILTO N M A CÊD O 
D a ta :
Indice
UNIDADE I
ÁLGEBRA ELEMENTAR
1. Potência de Expoente Inteiro J g -............. 7 ' n
2. Representação de Números sob a Forma de Potenciaò
UNIDADE II
RADICAIS
1. Radiciação ..........
2. Propriedades dos R adicais......................
3. Potência de ExpoenteRacionálç~u.;i.,...^
4. Simplificação de- R a d i c a i s .....
5. Redução de Radicais ao mesmo índice
6 . Operações com Radicais .... .....................
7. Racionalizante ..........................................
8 . Racionalização de Denominadores ....
UNIDADE III
EQUAÇÃO DO 2.o GRAU
1. Definição
2. Princípio do Anulamento do Produto ............. ...................................
3. Resolução de uma Equação Incompleta ....
4. Resolução de uma Equação Completa ....................
5. Equações Fracionárias t- - - - ' ..........................................................
6 . Equações -Literais...... .................................................................
7. Spma e Produto das Raízes de uma Equação do 29 G r a u ....
8 . Determinação da Equação do 29 G rau ’Conhecidas as Raízes
9. Número de Raízes da Equação do 29 Grau ...............................
10. Equação Biquadrada .... .................................. mKÍÊlKÈÊíÈÊÊÊÈÊÈ
11. Equações I r r a c i o n a i s ..........§S
12. Sistemas de Duas E quações.......... ....
13. Problemas do 29 G rau R W i;J ...,.....„
7
16
20
22
25
29
31
33
40
42
47
49
49
53
59
64
68
75
77
81
85
91
96
UNIDADE IV
SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS
1. A Reta Real 100
2. Relação de Ordem no Conjunto dos Números Reais ... 1 100
3. Intervalos -¿ w » ................... '! iq 2
4. Sistema Cartesiano Ortogonal ............ ....................................................... 104
5. Igualdade de Pares O rdenados..........................107
6 . Produto Cartesiano ......x ~ . ~.*.hqs
UNIDADE V
RELAÇÕES E FUNÇÕES
1. Definição de R e la ç ã o .......... ............... ............. ..................................... ....... 114
2. Definição de Fu nção ...... ................................................................................. 119
3. Função com Domínio não especificado .................................................. 126
UNIDADE VI
FUNÇÃO DO 1 .0 GRAU
1. Definição .................................................... ........... .......131
2. Gráfico .............................. ...... .....................................,............. ...... ..... ........ 134
3. Raízes da Função do 19 Grau - ...... ........................................................ 136
4 . Estudo do Sinal da Função y = a x g - b ........................................... 139
UNIDADE VII
FUNÇÃO DO 2.° GRAU
1. Definição . 143
2. Gráfico ................................................................................................................ 145
3. Raízes de uma Função Quadrática - ................................. 149
4.Estudo do Vértice da P arábo la ..................... 152
5. Estudo da Variação do Sinal da Função Q uadrática .......................... 155
6 . Inequações do 29 G ra u ................................................................................... 159
UNIDADE VIII
FEIXE DE RETAS PARALELAS
1. Introdução ............. ......................... v
2. Razão e Proporção - - - ..................
3 . Segmentos P r o p o r c io n a is S ê l l l
4 . Feixe de Paralelas
5. Teorema de Tales ......... *;■
6 . Aplicações do Teorema de Tales
162
162
166
166
169
174
UNIDADE IX
SEMELHANÇA DAS FIGURAS
1821 . Introdução .... ............................. V-T.;--......... 1 n7
2 . Semelhança de Triângulos .... i l iÉ É ~’ ' f 1 .........
UNIDADE X
RELAÇÕES MÉTRICAS N0 TRIÂNGULO RETÂNGULO
1. Introdução .......
2. Projeção Ortogonal
3. Elementos de um Triângulo Retângulo
4. Relações Métricas no Triângulo Retângulo ..........................
5. Fórmulas Importantes ......I I B W - - : ...................
UNIDADE XI
RAZOES TRIGONOMÉTRICAS N0 TRIÂNGULO RETÂNGULO
1. Introdução
2. Razões Trigonométricas de um Ângulo A g u d o ...................
3. Tabela de Razões Trigonométricas
4. Razões Trigonométricas Mais Comuns
5. Resolução de Problemas sobre Triângulo Retângulo ....
UNIDADE XII
RELAÇÕES MÉTRICAS E TRIGONOMÉTRICAS 
NUM TRIÂNGULO QUALQUER
1. Introdução ........................................................................................
2 . Relações Métricas
3. Classificação de um Triângulo quanto aos Ângulos .....
4. Lei dos Co-senos........................................................................
5% Lei dos Senos
198
198
199 
199 
211
214
214
217
219
220
229
229
235
238
241
UNIDADE XIII
RELAÇÕES MÉTRICAS NO CÍRCULO
1 . Introdução 245
2. Relação Métrica das Cordas........................................................ 246
3. Relação Métrica das Secantes .......... 251
4. Relação Métrica entre Secante e Tangente........................................... 253
5. Potência de um Ponto Exterior ...................................................... 256
UNIDADE XIV
POLÍGONOS REGULARES
1. Definição ....................................................... .
2. Cálculo do Lado e do Apotema dos Principais Polígonos 
Reg uIares :r-M |M B B p............. ...................... ......... 1
UNIDADE XV
MEDIDA DA CIRCUNFÉRÊNCIA
1. IntrodUÇãoB&T.JvjM„.r„v.HH..... .̂.M-...................... .272
2. Cálculo do Comprimento de um Arco ............... ............................... 2'
3. O Radiano BWBWWBMB....WÊÊÊÊÊÊÍÊÊÊÊÊtÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊIÊ -̂ 278
UNIDADE XVI
ÁREAS DAS FIGURAS PLANAS
1. Definições gû feyÉÉ fM l 282
2. Cálculo das Áreas ........... *...... 283
I j j l j Á lg e b ra E lem en ta r
21?' •
219
220
1. Potência de Expoente Inteiro
Consideremos um número real a e um número natural n.
Denominamos potência de expoente inteiro o número an, definido da 
>2g seguinte forma:
!29 
’35 
38 
41
em que: a é a
ic ! n é o
16 j an é o
>1 
53 
i6
Definindo:
9
q Potenciação é a operação pela qual se eleva um número a qualquer
U 1* expoente.
Casos Particulares
2
t j l r
• a° =Sl
■
Potência de um número é o produto de fato­
res iguais a esse número.
a - a • a • a
n fatores
com
n ^ 2 
a G R
base da potência 
expoente ou grau 
resultado ou potência
• a-1
a1
(com a 5* 0)
7
Exemplos:
a) 2\ = 2 • 2 • 2 - 8
b) (S ) ‘ = (-5 ) • ( - 5) = 25
1 1
c) 10-* = ----- = --------
102 100
d) (0,1)* = (0,1) • (0,1) • (0,1) • (0,1) = 0,0001
e) 9» =*1
f) 15‘ = 15
g) (■-D ’ Vi ( - 1) • ( - 1) • ("D =
/ 1 \ -1 1 1h) ■—\ 3 / ■ 13
Exercícios de Aplicação da Teoria
1) Calcule o valor da expressão:
Resolução
;t-2)2 S (-2 )s + j
(-2)-1 + 2-i 2o
(_ 2)2 ( - 2)”
( - 2) - ’ + 2 -‘ +- 2°
4 ■ ( - 8) 1 2
H 1
4 + 8 + 2 14 112
1 + 8 5 , 5
8 8
112Resposta: O valor numérico da expressão é ------
8 5
2) Complete com a potência:
ai m-4 H ■_' tí1 io oo;o I d)B 2“*"= ■ -8/125
/ 1 PH l e) (0,1)' = o,ooooi13 /
c) — J = - r f) 1271 =127B— 1
3) Ache o valor numérico da expressão:
("T") ’ (_3>2 + <_3) 1
Resolução
( î ) 1 - W ♦' ( V ‘ - 3 - * l
81 - 1 80 
3 M 3
Resposta: .j5...uaZâ ..muM£̂ ca..£....::̂
I I ■ H B
Exercícios Propostos
1) Calcule as potências:
a) 63 e) i) 1- 20_ .
b) 6# ; / : f) (—2)4 - (0,215)°
c) ( - 0,2)2 g) ( - D -3 , 1) 2~10
H . h) 0,1-3 m) (—10)2
2) Calcule ò número designado por:
a) 1-7 ̂ c) (—4) -2
b) 10-2 + 10-1 d) 5
H |
 ̂m Ê5)8
3) Efetue e simplifique quando possível:
W H Ê È B B m WBm 1
_ ( —2 )'8
4) Calcule o valor da expressão:
2° + 21 + 2"1 -f 2"2
5) Considere a expressão:
- m-2 Hm8 - (-m )-1 - m-2
Determine o seu valor numérico quando:
a) m = 2 b) m=
6) Calcule o valor numérico da expressão abaixo, Pa
1 e y =
(x v y)-1
7) Ache o valor numérico da expressão abaixo, para x — 2, y — — 1 e n
3[(x2 + y)n + * B ( x + y*)» + « B (x* + y2)n + 2 * (*2 - y2)n + ^ ;
PROPRIEDADES
Para as potências, valem as seguintes propriedades:
1.a) As potências têm a mesma base 
• Multiplicação
am • a” = am + a
Exemplos:
f 23 . 24 = 28 + 4 ■— 27
. 46 . 4-2 & 4-1 + • - 2 __
8) Détermine o vãíor numérico da expressão:
2 - 4
2 - 3 _ (—2) -2 - ( - 2 ) ° -----------
2-1
10
Lembrete;
• Divisão
am : ap = am~ n | ou am “ (com a ^ 0)
Exemplos:
25 : 2 3 = 25 “ 3 í= 22
2:
k( - 8 ) 9 : (~ 8 )‘ = ( - 8 ) * - 4 = ( - 8 ) !
2.a) As potências têm o mesmo expoente 
• Multiplicação
an bn = (a b)n 
Exemplos:
24 • 34 = (2 • 3)4 = 6*
Lembrete: Repete-se a base e 
subtraem-se os expoentes.
X
Multiplicam-se as bases e 
eleva-se o resultado ao 
expoente comum.
Lembrete:
11
• Divisão
(com b ?£ 0)
Exemplos:
j" 6® : 26H (6 : 2)5 = 35 
l 7"1 : 7 -m (7 : 7)-1 = 1-1 
( ( -8 ) -2 (—4)-a =/(8 : 4)-2 = 2 -‘
Lembrete:
Dividem-se as bases e 
eleva-se o resultado ao 
expoente comum.
3.a) Potência de potência
Exemplos:
(23)5 B j 23 ■6 = 21S
( -5 a)» = (-5)" (-5)°
Observação:
( (52)8 = 52 *8 = 5« 
M B 5®
Lembrete: Repete-se a base p
multipiicam-seosexpoentes.
•• (52)3 N 528
12
Exercícios de Aplicação da Teoria
1 ' 1
1) Calcule o valor numérico da expressão: 5a • 5_1° : 5 '4
Resolução
5a I 5“10 : 5~4 = 5a H10 : 5-4 = 5"4 : 5"4 = 5~4 + 4 = 5° = 1 . 
Resposta: O valor numérico é igual a 1.
2) Simplifique a expressão:
2x + 5 + 2 • 2X + 2 
2 • 2X + 8
Resolução
Utilizando as propriedades das potências, temos:
2x + 5 -f 21 • 2X + 2 2x + -''4 ■2X + 3 2X + 3 • 22 + 2X + 3
I g1 • 2X + 8 2X + 4 2X + 4
Fatorando o numerador, vem:
2x + 3 (22 + 1) 2x + 3 (4 + 1)
2x + 4 2X + 4
5 • 2X + 3 “ (x + 4) != 5 • 2X + 3 - x - 4 =
1 5
= 5 • 2 -1 B 5 • ------ 9 ------
2 2
5
Resposta: O resultado é Igual a —— .
3) Efetue e simplifique: a * f ví
a) ¡ j j • 27 r * : * 7- ! * ' f) 4** M * - . ' 4*
b) 2» • 3' = 12 .-3 Í» > Í» g)
2» + 4 1 ^
4) Simplifique a expressão:
2 • 2“ + 8
Resolução
«ti + «♦ _ 2 . 2n 
2 • 2n + ®
9n . 2** - 2n • 2 
2 • 211 • Zr _ ~
76 I 2 I H - 7
76 76 " *
H
Exercícios Propostos
9) Efetue e simplifique:
a) 7-* . 7 -B : 7-8
b) 54 : 52 : 5*
10) Calcule as potências:
a) [ ( - 2)8p
b) [(0.1)-2] -1
c) 26 • 2« : 43
d) 182 : 92 : 2 - 2
c) — ( —õ"1)-3
d) (23)23
11) Determine o valor numérico das expressões:
12) Simplifique a expressão:
[29 : (22 . 2)3]-a
13) Se x =(22)8, y = 22a e z t 23V calcule xyz.
14) Calcule o valor numérico da expressão abaiv«
aoatxo, para a S 2-1 0 k
a í ‘ b' B + 5 • ■ ■ I
14
b + a-*
15) Efetue e simplifique:
■J415 . 715 . 2 8 
70 . (7 - 8)2
16) Efetue e simplifique:
a) (4-=)-» . : (42)s
b) [( -3 )-* ]« : ( - 3 ) - 1™. (3o ü 32)-2
17) Ache o valor numérico da expressão:
18) Calcule o valor numérico da expressão:
a -2b - 2a2 
a - b -1
para:
a) a = ( - 1 ) 2 e b =
b) a — 2 -1 e b = 0,1
19) Simplifique: *
3* + 2 _|_ 3 * + x + 3 * 
3x +1 _ 3*
20) Efetue e simplifique:
15
2. Representação de Números sob a Forma de Potência$
Consideremos os exemplos:
128 = 2T 0,125 =
1 w u .w - H H
1 1
— 8 = (—2)s 0,000001--------B 10“*
1 000 000 10°
10 000 = 104
1 1 
32 2B
3. Notação Científica
Em algumas ciências, como, por exemplo, a Física e a Química, o 
valor de muitas grandezas é multo maior ou muito menor que um.
Na prática, escrevemos o valor de uma grandeza como um número 
compreendido entre um e dez multiplicado pela potência de dez conve­
niente.
Quando um núrrçero é representado nesta forma, dizemos que está em 
notação científica.
Temos dois casos:
1.° caso: O número é muito maior que um 
136 000 = 1,36 • 105- —
com
5 casas
Exemplos:
a) 2 000 000 = 2 • 106
b) 33 000 000 000 = 3,3 • 1010
c) 547 800 000 = 5,478 • 108
O expoente do dez indica o número de vezes que devemos 
deslocar a vírgula para a direita.
m
1
'fínica, o 
um.
número 
z conve-
está em
(I o6
2.0 caso: O número é muito menor que um
0,000 000 412 »= 4,12 • 10-’ —
7 casas
i_,__ ___ _____ :____ _______
Exemplos:
a) 0,0034 = 3,4 • 10’ 3
b) 0,0 000 008 = 8 • IO“7
c) 0,0 000 000 000 517 = 5,17 • 10"n
Quando o expoente do dez for negativo, a vírgula é deslocada o 
mesmo número de casas para a esquerda.
A seguir apresentamos algumas grandezas físicas em notação cien­
tífica:
velocidade da luz no vácuo — 3 • 108 m/s 
massa de um próton H l,6 • 10-24 g 
raio do átomo de hidrogênio 9 õ • 10"9 cm 
número de Avogadro = 6,02 • 1023
Podemos simplificar alguns cálculos usando a notação científica. 
Vejamos alguns exemplos:
1. ° Exemplo:
Efetue a multiplicação: 3 200 • 0,000025
Resolução
Colocando cada fator na forma de notação científica:
3 200 • 0,000025 = 3,2 • 103 • 2,5 • 10"5
= (3,2 • 2,5) • (103 • IO '5)
^ 8 • IO“ 2
2. ° Exemplo:
Efetue: 5,74 • 10'° É l2 3 • 10'8
Resolução
5,74 • 10-# - 123 • 10-8 = 5,74 • 10-° - 1,23 • 10* • 10'8 
^ ¿ 6 ,7 4 • 10'* ¿ 1 ,23 • 10-‘
= (5,74 91,23) • 10-8 
= 4,51 • 10'8
¿¡^2Í£ios_de Aplicação da Teoria
V Represente cada número a seguir sob a forma de potência: 
a) 1 024 = g{ó d) 64 = ¿6
b) 49 =
1
125 ■ ■
e) 0,25 m',-25
: • TM
16
f) ------ K V
81 119
*2-
I ■
2) Represente os números seguintes na forma 10", com n C Z: 
a) 0,01 =
b) 0,0001 =
c)
1
d) 1 000
e) 1000 000 = l0 i
0,001
3) Efetue:
f) 0,00001, i ro~
a) 1 800 • 0,00042
b) 0,006608 : o,028
Resofuçâo
1
Á>s/ i o m 4,2 ^ | | |
I WÊ *
7, 56 U Q H 4
H H I •• o,ozi *'
■ B m 2fí 70-2
9 9
4) Ache o valor de:
Resolução 
Íg | * $Q-
5,6 10- °
0,27 10-
| j)rJ2T 'Í0P~k =5,6 • .IflT? + 2,7 • 10“ * 1 
c -15,6 + 2,7;)^10V5 
\ " V M * 10“5
/9
Exercícios Propostos
21) Transforme em potência de base 2:
a) 256 pH 1c) —— 512 d) (32)4
22) Transforme em potência de base 7:
a) 49
1
b) ------
343
'■
c) — ““ 
49
d) (2 401 )“ :
23) Transforme em potência de base 10:
a) 1 000 b) 1 000 000
’ 1 'V:--
c) ------
100 1
24) Simplifique as expressões:
25 • 125
a) -------------
(52)2
642
b) ------
8 - s
с) (0.00001)2 • (0,01 ) -3
1 024 . 2 p
d) ---------------
256
25) Seja x Ш (0,125) e z 64-1.
a) Escreva x, y e z como potências de base 2.
b) Calcule x ■ у • z.
26) Seja A Ш в й Н И e c l 125-]
#
a) Escreva А, В e C como potências de base 5 e compare-as.
b) Calcule A • (B-1 -H C).
27) Escreva os números a seguir em notação científica:
a) 45 000 d) 0,000273
b) 0,000001 e) 9 000 000
c) 129,4 I 123 400
28) Efetue as operações a seguir e indique o resultado na forma de notação científica:
a) 12 . 1 0 - s + 53 . 10-4 c) 1,2, • 10Н Я Ы 2,5 • 10"T.J
b) 81 • 10-« - 4,5 • 10-« d) 2,4 .10 -« • 1,2 • 1Q-5
19
1. Radiciação
Denominamos raiz enésima de a ao número que elevado a n produz a.
com
n £ N e n > 2 
a £ R
Na operação:
■tyã:= x
é o radical
n é o índice do radical 
a é o radicando 
x é a raiz
X =
l| Ratondo nega
í - -9 s» X;
Exemplos:
^16 = 4, pois 42 = 16 (lê-se: raiz quadrada de 16)
= 2, pois 23 = 8 (lê-se: raiz cúbica de 8)
Observações:
1) Se o índice do radical é igual a 2, costumamos omiti-lo na repre­
sentação.
V iõ = - /iõ
2) O fator numérico ou literal que multiplica o radical é chamado coefi­
ciente e é calculado à esquerda do radical.
Quando não houver nenhum número ou expressão algébrica multipli­
cando o radical, admitimos que o seu coeficiente seja igual a 1.
Exemplo:
Nos radicais 4^/3, 5 a ^ e os coeficientes são 4, 5a, 1.
20
f c 
r V
■&V
y t \
f \ t *
m j
É p
! í M
i a
w
a
Existência da Raiz
Sendo a um número real e n ^ 2 um número natural, temos os seguin­
tes casos:
1. ° caso: fndice ímpar
a) Radicando positivo
VÊ7 = 3, pois 33 j |2 7 (uma única raiz positiva)
b) Radicando negativo
V -Q = - 2 , pois (-2 )3 = - 8 (uma única raiz negativa)
2. ° caso: índice par
a) Radicando positivo JH H H 
X2i r 4 !=> X = +VÍ~ ou X ^^H v^ í"
x = +2 x = -2 (duas raízes simétricas)
x4 = 81 => x = + V s í ou x = -^§ í~
x +3 x H - 3 (duas raízes simétricas)
b) Radicando negativo
x2̂ B - 9 => x = + V -9 ou x E E ^ S - 9 a«
Não existe x nos dois casos, pois V -9 não tem significado (não existe 
número real que elevado ao quadrado dê -9 ), portanto não temos raízes 
reais.
Observação: Se o radicando é zero, a raiz é nula (nos dois casos) 
Exemplos:
lÉÉF= °
JM = 0
Convenção
Se Vã existir, teremos:
f / Í 6 = 4
I V —B = —2 Lembrete: A raiz tem o mesmo sinaldo radicando.
<Ü1 CO
") 
IV) 
1
II ro
Se existirem duas raízes simétricas, a que é negativa deverá ter o 
sinal - na frente do radical.
I f-v s n = i-3 W B Ê Ê Ê m
21
Exercícios de A p l ic a ç ã o ç ja J ^ j^
1) Com plete:
a) - tâ * = ------ iS - ,
b) V 6~ = ... J . ............
c) -^81 = ...... ? . P
d) ~ y i 000 = : -M
2) Ache x em cada caso:
a) Xa -125
x * V - Í 2 5
x = m
b) X2 = 49 
X = + /4 9 Ojj0<
__c) x 5̂ - 1
■vííT x íSt V^¿J
Exercícios Propostos
m i
29) Calcule:
a) V ^ T
b) /2 5 6
c) - V l 2 1
d) -y/TÃÃ
e) v i 28
f) V^43"
30) Escreva uma equação correspondente a cada sentença a seguir:
a) Um número elevado ao quadrado dá 64.
b) Um número elevado à sexta potência é igual a 700.
c) Um número elevado à terceira potência dá 8.
2. Propriedades dos Radicais
1.a) Multiplicação
P ara m ultiplicarm os dois ou mais radicais de mne™ « f t l J I
a ra iz de m esm o índice do produto dos radicandos m ° ,nd ,ce , extra,m
Exem plos: ^ ' W ^ Ê Ê _
y /Ã • V 9 |p ^ v 4 • 9 = V36
^ § " . .^§7 = V8 • 27 s. V216
y¡2 • V T • v í = V 2 - 3 - 4 =. V24~
2.a) Divisão
Para dividirmos dois radicais de mesmo índice, extraímos a raiz de 
mesmo índice do quociente entre os radicandos.
^ r : ^ = B | OU
k
lII
1/ b Vb , b
com b 5* 0
Exemplos:
V jT :
^ 2 7 " : B =
mm
3.a) Potenciação
Para elevarmos um radical a um expoente, extraímos a raiz de mesmo 
índice do radicando elevado a esse expoente.
(^ã )m H
Exemplos:
(V5)2 = W 
(V Z )7 = V Y
Lembrete:
O expoente do radical fica 
como expoente do 
radicando.
)0S
4.a) Radiciação
Para extrairmos a raiz de um radical extraímos a raiz cujo índice é 
0 produto dos índices dos radicais dados do radicando.
vGff №
Exemplos:
íõ" B B — M B
23
1) Complete, aplicando es propriedades dos radicais: 
a)VF- /7 = ......... £ & ■ ....................'
b) v ê T ■ $Fãb~ = ..........!...............
c) 'PÍT = 
d) 'Vx*~: '&Ç ~:= J /Ií I l S. f
Exercícios de A p i ic a ç ê o à e T e o r ie
2) Complete, aplicando as propriedades dos radicais: 
a) (V3)4 I .... H ..... d) ........ tC T ...
b) (Vã)s
c) (W?)3 I ...
d)
e) t f * ■■ 
1)
m
2 Í M
m B
21) Efetue:
a) yfã . yfb ■ Vc~
b) $ íê ~ ..$ x ~ ~
c) ^ /2 . ^ /4 . *$/5~
Exercícios Propostos
d) 2 y[2 • 3 y /Ã ~ ■ 5\/ã~
e y 2^3~
f) -4^/2 . 5 /̂3~
32) Calcule 0 quociente em cada caso:
a) >/l5~: Vã" c) 4^a2b3c : 2^ ab 2c
b) ^ í 2" : d) >^a2 4- 2ab -f- b2 : >e/ã~ + b
33) Transforme num produto de radicais: 
a) ^ 2 ■ 3 • x b) Vm • n
34) Determine: 
a) b) (/5 )-
c) >^abc
c) (^ a ^b c )̂2
d)
d)
35) Reduza a um só radical: 
a) JW b) V yfã c)
36) Considere as expressões:
a) ^ § 5 1 ^/S b) (>^7)2
Efetue as operações indicadas em cada uma delas.
Coloque-as em ordem crescente.
9) [^ 2 3 2 - I ( ^ 6 ) 21S24
Sendo a um número real positivo, n um número natural positivo, 
m
e ------um número racional na forma irredutível, definimos:
n
3. Potência de Expoente Racional
Utilizando a definição anterior, podemos colocar um ou mais fatores 
fora do radicando.
Vejamos alguns exemplos:
1.° Exemplo:
Coloque fora do radicando os fatores em cada um dos radicais:
Exemplos:
Extração de um Fator do Radicando
a) V2e - 72
Resolução
a) Aplicando as propriedades dos radicais, temos:
V2* • T • ¥ F = 23 • V F = 2a ■ F F =
b) Utilizando as propriedades dos radicais, temos:
Va4be V ? • Vb*" a2 , b 2 a2b3
V c2" V c 2- c c
25
2.° Exemplo:
Retire os fatores possíveis do radicando de ^ 64. 
Resolução
Decompondo o radicando em fatores primos, temos: 
Logo:
y /64 = B V2* • 21
Lembrete:
s=_ 2 V2
Preparando o radicando 
temos: 26* | 2o • 21.
64 2 
32 2 
16 2 
8 2 
4 2 
2 2
2®
Exercíciosje Aplicação da Teoria
1) Coloque fora do radicando os fatores possíveis em cada caso:
a) V28 • 34 • 52
b)
Resolução
a) •̂ ~^W è Íêê^ 'W Ê <̂ 5 ■ ^ 3a • $ I
ti 3 /2 2 " = t e - W ~ afci
H c ,
2) Retire fatores do radicando em cada caso:
a) V i 024
b)
Resolução
a) # 5 * - . t e » f ó ç ? t e t f U &
H l | t e t e H | B | R é íM
26
Exercícios Propostos
37) Expresse em forma de radical as seguintes potências:
a) 2 3 b) X 5 c) 3 4 d) 9 3 e) 2' m
38) Coloque cada radical sob a forma de potência com expoente fracionário;
a) V T c) e)
b) d Õ
39) Indique cada expressão sob a forma de potência com expoente fracionário:
a) y V õ ” bj V V V T I c fW W )* d)
40) Retire os fatores possíveis do radicando:
a) V a 10x5 b) v m i
8x3
d)
J 16x4y
41) Retire os fatores possíveis do radicando:
a) V90~ b)
42) Coloque fatores fora do radicando:
c) if f l5 0 x 3 d)
8a4b
45c3
Introdução de um Fator no Radicando
Podemos introduzir um fator no radicando da seguinte forma:
• t e l É M i \ y fá =::V 43 • 5 :-'=^64 • 5 = . ̂ 320 .
• 3 7 7 = V F • V7~ = . V32 • 7 =“ V 9 • 7 ãV 63~
• ab2>/ã7 = Va2b4 • ’/ã b - Va2b4 • ab = V a3b5
Regra prática:
Introduzimos o fator no radicando com um expoente igual ao 
índice do radical.
27
Exercícios de Aplicação da Teoria
1) Introduza no radicando os fatores externos em cada caso:
a) 3>/2 = VF~*~T = V 9 • 2 = \Z ii~
b) 5 ^4 = $ 1*^4 = 'v' 7 25 *4 = ^5 0 ?
C) a V b I V ? T " b =
d) x2y Vxy ^ ff Vx51/3 j
2) Coloque os fatores dentro do radicando e simplifique quando possível-
a) 2\ j ~ ~ ^ ' 3 ^ ^ "J|
Exercícios Propostos
43) Coloque dentro do radicando os
a) 4 - /2
b) 2^ / í
c) a2b2 Vãt7
fatores externos em cada caso:
d) mn^yírT
e) abc^/ab2c2' 
fj x5>$/x2~
44) Introduza no radicando os fatores de cada qm dos radicais:
28
4. Simplificação de Radicais
Multiplicando o índice do radical e o expoente do radicando por um 
mesmo número, obtemos um radical equivalente.
Observação: Essa regra possibilita escrevermos qualquer número na 
forma de um radical.
5 gj$,y®5''S =. = i W
Escrevendo a igualdade anterior na forma inversa, temos:
^ = r •• =F = ^ Y 52- % 5
Dividindo o índice do radical e o expoente do radicando por 
um mesmo número diferente de zero, obtemos um radical 
equivalente.
A representação matemática é:
Essa fórmula anterior mostra como podemos simplificar um radical 
quando o índice da raiz e o expoente do radicando admitem um fator 
comum.
Exemplos:
Exemplos:
Isto é:
29
Exercícios de Aplicação_da_Teona
1) Simplifique os radicais:
a) '
b) 1Vx<r
M Ê M
Resolução
a) = <i^ x T5T3rB
b) V^~ =
c) xyfW = 10-Ĵ 3FTTH v x ir1 W f'- : x = XVx.;
d) ^ x 8m + 4 = 6 ^ /x (8m + : ^ = w - + i' xr y,x • X" = ,xulv x m+T|
Resolução
^3vW =s y v s 1 32 3̂ = 3"
3) Simplifique os radicais:
a) W = ■ v V ’* - tyxT
b) W Ê =
c)
25 B i w , f - l ¡ ¡1 1 1
d) №■+ 2ab + & i^ífo, J j j * ! ~ ^ É T i7
e) '«®r^;<ySr - xXF^ - ■ ■&■ • =■■ H R 3 l |
f)
r
I M w l
K M B
4) Escreva o radical üí W na Hffl 
racional. a torrna de
Resolução
urria potência de expoente
#SI«P®ü6Í
2) Escreva o radical ^ 3Y 3" na forma de uma potência de expoente 
racional.
M IW '
BH
a) rtvT
C o "K S
¿ x ,
N i*
x
Exercícios Propostos
45) Simplifique os radicais:
a) ^ x 5"
b)
c) V ã 2E®c’nr e) V x°b4c2
d) >^2a • 3* • 4" f) ^ l6a4b6
46) Simplifique os radicais: 
a) >ySZ5“ b) 'ífT23
47) Simplifique os radicais:
a) V tt?
1
c) -------V 4as
2a
b) a2b V W d) 2>^T35
48) Preparando o radicando, simplifique o radical::
49) Simplifique o radical:
a2b - 2ab2 + b3
----------------------- (com a b ^ 0)
a2 + 2ab + b2
50) Escreva cada radical a seguir na forma de potência com expoente racional:
5. Redução de Radicais ao mesmo índice
Para reduzirmos dois ou mais radicais ao menor índice comum, deve­
mos proceder conforme o exemplo a seguir:
Reduza os radicais ^ 5 "e ao menor índice comum.
1.°) Determinamos o mínimo múltiplo comum dos índices dos radicais. 
Esse m.m.c é o índice comum dos radicais.
2.°) Dividimos o m.m.c por cada um dos índices (iniciais) do radical e mul­
tiplicamos os quocientes obtidos pelos expoentes dos respectivos 
radicandos.
a) i /4 y íT c)
b) V 2
51) Transforme em potência de base 2:
a) V 4 b) V8 V16 V 256
m.m.c. (4,3) = 12 =>
31
Exercícios de Aplicação da Teoria
1) R eduza os radicais Vã" e ao mesmo índice.
Resolução
A ntes de reduzir os radicais ao mesm o índice, p rec isam o s verificar se 
pod em os sim p lificar alguns deles. Logo:
9- \ / b8:
A gora , reduzindo ao mesmo índice, vem: 
m .m.c. (2 ,3 ) 9 6 
V ã ; w == jjfêF , y w
2) R ed u za os rad icais ^ W e ^ a o m enor índice com um .
Resolução
m.m.c (2, 3, 6) ̂ |
3) R ed u za os rad icais a seguir ao mesmo índice:
Resolução m.m.c >(,2, 3 , 4 ) &'■ ? 2 :
W U lB fc .
Exercícios Propostos
52) Reduza os seguintes radicais ao mesmo ín.dice: ^ ^ e ^
53) Reduza os seguintes radicais ao mesmo (ndice:
a) y s & y e V 5 5 ^ . . f
54) Coloque os radicais -$TT SS8 » aüS S• --^6 %* 6 V iT em ordem de grandeza crescente.
55) Reduza ao mesmo índice:
a) ^ 5 ; ^ e b)
56) Reduza ao mesmo índice os sen..!«* ... !seguintes radicais:
a) l^ x y " e yW y* B H
57) Compare os radicais: 
±M2 .
W , e ^
6. O perações com Radicais
Para operarmos com expressões que contenham radicais, aplicamos 
as mesmas regras utilizadas para as expressões algébricas, usando tam­
bém agora as propriedades relativas aos radicais.
Adição e Subtração
Para adicionarmos ou subtrairmos radicais, devemos reduzir os ter­
mos que são semelhantes.
Definindo: Radicais semelhantes são aqueles qüe pos­suem o mesmo índice e b mesmo radicando.
Exemplos: 7 f~2 e 3 V T >; 5^7" e E-2>^7
1.° Exemplo: 
Efetue: 5V"2
Resolução
5 V 2 + 3V2" + 4 f2 =B(5 + 3 .+: 4)V2 H 12V2
Lembrete: Os fatores comuns são colocados em evidência.
2.° Exemplo:
Calcule: 7 \/ã í - 2 ¥ ã r + f ã
Resolução
l ^ ã f - 2$ã? * f ã & (7 - 2)^/ã? + f ã =Sõ^ãF + Vã"
Lembrete:
Essa última expressão não 
pode ser reduzida porque 
os radicais não são 
semelhantes.
33
3 ° Exemplo:
Efetue: V15Õ - V 54 + V24 
Resolução
.. T e™os que procurar os radicais semelhantes, 
ícandos em fatores primos, temos:
150 2 54 2
75 3 27 3
25 5 9 3
5
1
5 3
1
3
2 • 3 • 52 2
Então, decompondo os
24 2
12 2
6 2
3
1
3
23
/5 4 + /2 4 1 / 2 5 - V2 • 33 + V23 • 3
Preparando os radicandos para a extração de fatores, vem:
‘ 3 • 1F - V2 * 3 • 32 + V22 • 2 • s i l p 
= 5 / 2 • 3 - 3 /2 3 + 2V2 • 3 
5 / 6 " - 3 /6 " + / 2 / 8 "
= (5 - 3 + 2 ) /6 “
E 4 /6 ~
Exercícios de Aplicação da Teoria
1) Efetue: (2 + /6 ) + (1 - 2 /5 ) - (3 /5 - + 3)
€JtúrU,wndo o* pcLÚÍYitzAVA, im oò :
R esolu ção
2 + v/sT + 1 B U T I B B | J
2 + 1 - 3 + \ / t - % \fs - 3 ' Cs/Tí*
3 B 3 + I f e Ê 5 Í B é i 4 ¡ I f e r
2) Efetue: ^24 S ^ 8 f + + ,r̂ 3 /,
R esolução
Decompondo o¿ /uiçLícandoA em ,£a.totie¿ p/i¿mo&, £emo¿:
H S7 -3 n
2 27 3
2 9 3
3 3 .3,,f M |
23 ¡ 3 7 31*
ó
3
7
Logo |
V F ^ T - B + f e ® ¡ H 1 3 ♦V^6;. i +
Exercícios Propostos58) Efetue:
a) 2 /5 “ + 3 /5 “ - / 5 * ‘+ 7 /5 ~
b) (6/3* - 2 - ; ( 4 / 2" + 3 /3 )
c) ; ( lB /3 ) * j / T - 3) r (5 + 3 /3 )
59) Efetue:
a) (4 /3 7 + 2/13) + (3/15 - /5 )
b) (x V 16xy V + y / 4 ^ ) § | (bv x ^J -f1 2xy/xy)
60) Efetue:
a) / 3 “+ /13" J j / 3 7 4 : /5 5 7
b) 3 V5§rH 5/3ÜT -f 2 V 32a" — /T 35 i
c) V 4050 - /3 1 3 - /648
61) Calcule:
a) 2^3“ - 3-/3" 4I' 4 ^ 3 ^
• 9
b) 5>$//lB’ - 3 ^ 3 3 3 -------- ^133"
3
62) Efetue as operações:
6aV63ab3 - 3/1|pa?b|ó + 2ab/343ãb
63) Calcule:
/ 1 2 ',+ 3 ^ 9 1 + ^ 3 7 -¿ § W T
Multiplicação e Divisão
Temos dois casos:
1.° caso: Os radicais têm o mesmo índice
1. ° Exemplo:
Efetue: V5~ • V2”
Resolução
r?=- r« - ^ - T T | B 9 Lembrete:/§T • / ] T .= V5 * 2 = / VTQ.
2. ° Exemplo:
Efetue: W I W
Resolução
< ^ 3 ~ : ■V2~ A / ^ ~ T T 'À .^ -*■ Lembr6,e:
5b V 28a3b
Multiplicamos os 
radicandos e extraímos a 
raíz de mesmo índice 
do produto.
Dividimos os radicandos e 
extraímos a raíz de mesmo 
índice do quociente.
3.° Exemplo:
Calcule:
a) (V3~+<D (V3- - 4>
b) (V3T - V2?
Resolução
a) Aplicando a propriedade dlstrlbjjtivá, ‘ 4
(V3 + 1) (V3 - M — ü l 4
= 3 - 3 V T - 4 
S p r _-| - 3VT
b) ( ^ Í \ ^ M ( V 5 )2 V^ +? ( V̂ >
Exercícios de Aplicação da Teoria
2) Calcule:
a) (5 + ^5) (3 0 V2)
b) (1 - VTÕ)2
Resolução
a) (5 + v/2)(3 ♦ " s f f f i .
m ê ~ g
= 5 - 2VTTÍ + 2 
= 7® 2VÍÕ
1) Efetue:
a) V2~ ■ \^6 I
b) ^3T • 'W =|
0 0 C) ^ : >̂ 3” ®
|| |7 5 + &
i m B B I M
I H H \/U) +10 
■ |í> H -2 v/7?
= 0 r 2
36
Exercícios Propostos
64) Calcule os seguintes produtos, simplificando quando possível:
a) V T T . y fT c) 2V7T • VJU
b) -yxty . >̂ 5(2y5- d) -6>y3Z". W T
65) Efetue e simplifique:
66) Desenvolva e simplifique:
a) (2V5" — 4 V 5 )2
b) (1 Ç?2V^)2
67) Efetue e simplifique:
a) (2 - V3)(2 I V3) —f (2 +
b) (4V^"+ 2\^5)(4V2"- 2yJ~5) + (í + 2\/§)2
68) Calcule o valor numérico da expressão:
(a2S - 2b)^ se a = \ [ T e b = | :
69) Efetue e simplifique:
(2 - V^)2 — (V6 - 4V3)2| t
70) Simplifique a fração:
3 y T + 5 V T " + \^48 
6\HT
71) Determine os produtos:
a) V 5 - V T - V 5 + V T b) 3\A2fr • 2 V W
72) Efetue:
VT28 . vT28 • V2ÜÍT
2.° caso: Os radicais têm índices diferentes
Nesse caso, devemos reduzir os ràdicais ao mesmo índice e aplicar 
o caso anterior.
1.° Exemplo:
Efetue: ^ ã 5 • VTT
Resolução
O mínimo múltiplo comum dos índices é m.m.c.(3, 2) =^6, logo:
I tyãT • Vb = yH T ; W I W F
37
2.° Exemplo:
Efetue: W :
Resolução
Fatorando o radicando, vem:
W : y r =
Reduzindo os radicais ao mesmo índice, temos: 
m.m.c.(3, 5) = 15
^ = '■{ry ;
Exercícios de Aplicação da Teoria 
1) Efetue: W • W 
Resolução
■ m s M ü
2) Calcule:
Resolução
K l fe l fef j f t
¿Sb e íj j | AC í*"
38
3) R eduza à expressão mais simples:
1 / 5 Í .
t o -
Resolução
/ 1 v r
V f l i
4u—
| H H H = w i W I i
r ‘H
• ^ ¿ Ü Ê É Ê m m m
Exercícios Propostos
73) Calcule:
a) y/~3 • . y T c) y W -yjg„
b) -$/W • W d) : 'y fT
74) Reduza ao mesmo índice e efetue:
e) V2T : ^S T
3 {3>—1 
4^256 • — \/32 , 
2
75) Calcule o produto em cada caso:
a) ^ T . Vy~
b) y /T •
c) Vã- -tyãTí,
76) Ache o quociente em cada caso:
a) i/5~ : V T " b) ^ E F ': VãíT c) A ^ : ^ 2 " d) 1 8 ^ b : ô ^ b -
77) Efetue e simplifique:
— \ \ . ‘ 11 •
a) i / w ■ . :eimãf~yw«
78) Efetue:
■ y w -
79) Calcule o valor das expressões:
2t f /Z Í ‘ b) sa/-|6\/TT-
B B . . m m m
39
80) Efetue:
■̂ X̂ /xF : - y ^ r
81) Reduza à expressão mais simples:
82) Efetue e simplifique:
a) V y W + 3>^TC - ^ 3 ?
(VTZ + V75)
b ) ----- — ------
^3VT
83) Sendo a = a/T 8, b H e c = ^/3“ calcule o valor numérico da expressão:
ac
84) Calcule o valor da expressão:
3/TT
7. Racionalizante
Racionalizante de uma expressão irracional conhecida é a expressão 
mais simples possível pela qual devemos multiplicar a expressão conhe­
cida, a fim de obtermos um produto racional.
Exemplos:
O racionalizante de W é |^ ã r, porque:
- Vã~ • y/ãF = ^aK : a* == = a
H K jjI
produto racional
Determinação do Racionalizante
Para determinarmos o racionalizante de uma expressão irracional 
dada, temos os seguintes casos:
1.° caso: A expressão dada é um monómio da forma Vã*
O racionalizante dessa expressão é ^a " - m, porque:
. y an - m í== ^ am . an_m = q
Exemplos:
O racionalizante de ^2" é 
O racionalizante de é 
40
2.° caso: A expressão dada é um binômio da forma Vã" ± VB- 
Observemos o produto:
(V ã + VE) (V ã II Vb) = (V ã)2 - (V b )2 = a - b
Logo:
O racionalizante de (V ã + V b) é (V ã - Vb).
O racionalizante de ( V ã - Vb) é ( V ã + Vb).
A expressão (V ã - V b) é denominada expressão conjugada ou con ju ­
gado de (V ã + Vb), e vice-versa.
<Pressáo.
Exercícios de Aplicação da Teoria
1) Ache o racionalizante de V 3Z 
Resolução
Decompondo o radicando em fatores primos, temos:
V 5 2
Logo, o racionalizante
issao 2) Complete com o racionalizante:
>nhe- 1 ___:__ __I__________ 1 1
EXPRESSÃO RACIONALIZANTE
V T ' ■ ‘É l 1
V x2"
WÊÊ
m
10«__ 1 H
MÉHk
Vb 5 y 1 p
■ ■ ■ i
3) Qual o racionalizante das expressões abaixo?
a) V ã ; ................................ d) 3 V 5~ + 2 V3"
b) V5 - V2T ........ e) V?~ + ,-j
c) ;Vü"Sfe .,VT • B M B M ...... f) 3 - Y 7 "
. \ l jL .~ ....1........
J l, + \J T ....H
85) Ache o racionalizante de:
a) vT T c) t f T
b) d)
86) De o racionalizante das expressões:
a) ^5~ b) '<y?5
87) Determine o racionalizante das expressões:
a) V F "- V2T b) 2 /3 " - 3 /2 " c) 3 ¿ **) 1 '
8. Racionalização de Denominadores
5
Consideremos a seguinte fração: — —
/ F
Podemos representar essa fração por uma outra, sem o rad ica l no 
denominador, de tal forma que sejam equivalentes.
Quando eliminamos o radical do denominador dizemos que ra c io n a li­
zamos a fração.
Racionalizar o denominador de uma fração s ign ifica e lim in a r 
todos os radicais do seu denominador, sem m o d ificar o va lo r 
da fração.
1.°
Vejamos alguns exemplos: 
Exemplo:
5
Racionalize a fração: ------BU
Resolução
O racionalizante do denominador é /27 logo:
5 5 / F
VF ~ / F . VF
5/F 5/ F
V F
Lembrete:
Multiplicando o numerador 
e o denominador de urna 
fração por um mesmo 
número, ela não se altera.
2
Racionalize a fração: --------
3V5-
2.° Exemplo:
10
Resolução
O racionalizante do denominador é /5 , logo:
10 10 • /5 " 10V5~ 10V5" 10V1T
3 /5 3VF / F 3 • 5 15
3.° Exemplo: 
Racionalize
2
a fração:-----
Resolução
2 2 2 W 2 W
■$/4~
W /̂2F
^ í 3!. ■ ; 
2^2"
4
W - ■
2 : 2 2
Exercícios de Aplicação da Teoria
1) Racionalize os denominadores das frações:
2
b) r
vTõ
Resolução _
a.) ± J . . J L
. V5 * é sTs " 5
I, ) J L s LL-}ã ÍL s 2 a/tã = « V7Õ
VF0 .v5(5 • vTp M - j 5
c) 4 = 4 « V? _ 4 v/2 s 2 Vi's
70 5
4
c) --------
5V 2-
2 /F
3
43
2) S im plifjque e racionalize a fração: 3 
Resolução
3 1 / 5 7 = 3 \/Il '» 3 y /? 2 1 3 • 3 . j / L j 9 ' / T
B B ’ / 5 ’ V ? V ? -5
Exercícios Propostos
Racionalize as frações:
1 8 1a) ------ c) ----- e) ------
V T 3VT
4 10 . 2
b) ------ d) — f) •— -
V3" ‘ VT
a
89) Dê a r a z ã o ------- com o denominador racionalizado.
■<*/&
x
90) Racionalize: -------
W
91) Racionalize os denominadores das seguintes frações:
4 1
a) ------------ H ------
^16a3b2 '
4 ° Exemplo:
R acionalize a fração:
1
5 + V2
Resolução
O racionalizante do denominador é (5&- V2), logo:
1 1 5 - V í 1(5 — V2)
5 + V T 5 + V2- 5 - V 2 ; (5 H- V2) (5 -
5 - V?" ■ 5 - V ? 5 _ v ?
' 5“ - 2 5 1 2 23
:ionaliz(
Resolução
5
Kü
4 4
5.° Exemplo:
4
Racionalize a fração: -----------------
yfT - VTT
Resolução
4 4 V3" + V T 4(V3 + .V2)
V S T - V 2- | V3 - V2" V3 (^3 )* 1 2, r (^2 )2,
4(V3 + V2)
= ---- ------------ M + ^2)
3 - 2
Exercícios de Aplicação da Teoria
5
1) Racionalize: -----------------
VT - V2. ...
Resolução
5 = ç S » yêb = 'S jV T + M - t 1 x5( /7 ^ /T j ü /7 + / / Í
/ f . / í ~ f f - ã , ‘ /n » ; 7*< .r ; •
V T - 1
2)Racionalize a fração:
’ 2 -'„„y*
Resolução
/2- ; / f - ; Z_+ /7 _ 2/T+ (✓ í)^-2-'^y / t .
T T J t M - ã ’■.2 + r i ' ’ U f -;; V 1 ) 2 . 4 - 2 2 #
45
Exercícios Propostos
92) Racionalize os denominadores das seguintes fraç"
3 1
a) --------------- b)
V T - 2
93) Racionalize as frações:
V T
a)
V T + \ T
b).
V T - V T ’ 3 Í * ^
94) Torne racional o denominador da fração:
95) Racionalize a fração:
96) Efetue:
97) Calcule:
3 + V T
3 9 ^
2 ( \ T - V3)
V T - \ T
3 ^ V3 2 - V T
B E
V T + 1 1 - V T
98) Calcule:
m m
3B Í W ~ 3 B VT"
99) Racionalize o denominador da fração:'
B B
1 n V T B V T
C)
\ T + 1
100) Efetue e racionalize: 64
Equação do 2? Grau
1. Definição
Denominamos equação do 2.° grau, na variável x, a toda equação que 
pode ser colocada sob a forma gerai ou forma normal:
ax2 + bx + c = 0
em que:
( a, b e c são números reais chamados coeficientes 
< a ^ o, porque é o termo que define o grau 2 da equação 
( x é a variável ou a incógnita
O número c é também chamado de termo independente ou termo 
constante.
Exemplos:
5x2 + 3x - 1 i 0 => a | 5, b | 3 e c y B -1 
—7x2 + V3x + 2 M o => a = B 7 , b = M e c | 2
Observações:
A equação ax2 + bx + c = 0 é chamada completa se b / 0 e c ^ 0.
Exemplos: 4x2 - 5x f 3 = 0 
x* + 7x ~ V5~ =|§0
A equação ax2 *+ bx^|| c = 0 é chamada incompleta se b =^0 ou 
c p 0 ou b # c = 0.
Exemplos: 4x2 + 2x = 0 
x2 - 36 0
Exercícios de Aplicação da Teoria
1) Das equações seguintes, quais são de 2.° grau? Diga se são completas 
ou não.
a) x2 = x c) (x - 3)2 - (x + 3)2 = -1
b) 4(x - 1)8 + 2x = 3 d) 3x2 = 2
Resolução
Colocando todas as equações na forma normal, temos:
a) x2 = x s=> x2 - x = 0
Equação dp 2.° grau incompleta; falta o termo Independente.
b) 4(x - 1)2 + 2x = 3 => 4(x2 - 2x B 1) + !2x | | 3
4x2 -JQx + 4 2x 9 3 = 0 
4x2 - 6x I 1 - 0
f J
Hf'
l i
> >
l É r
Equação do 2.° grau completa.
c) (x - 3)2 - (x 4- 3)2 = 1 =» X2 - 6x + 9 — (x2 + 6x + 9) = 
x2 - 6x + 9 x2- V 6x - 9 - 1 
1№12x l l B 0
1
- 0 Observemos
Equação do 1.° grau.
d) 3x2 = 2 => 3x2 - 2 B o
Equação do 2.° grau Incompleta; falta o termo em x.
I No num
2) Coloque as equações a seguir na forma normal e dê cada um dos seus i azero- Logo- 
coeficientes. *
a) (x - 1)2 + (x + 1)2 9 6 b) — x (x - 2) = 2(1 - x)
3
Resolução
<t) (x - 7 ]2 + [ x + U 2 = 6 =$ x 2 - 2 x + 1 + x 2 + 2 x + i = 6
m B a t Ê m
Exercícios Propostos
101) Dada a equação do 2.° grau, determine seus coeficientes e diga se é completa ou 
não:
4(x + 2) - x(x - 1) = 5 - X
102) Considere a equação abaixo, na incógnita x, em que m £ IR:
5x2 + x + m — 0
a) Calcule m, de modo que a equação seja incompleta.
b) Substitua m pelo valor encontrado e verifique que zero é raiz da equação.
103) Seja a equação abaixo, na incógnita z, em que m EIR:
z2 + (m + 2)z H 16 = 0
a) Ache m, de mpdo que a equação seja incompleta.
b) Substitua m pelo valor encontrado e verifique que 4 e —4 são raízes da equação.
2. Princípio do Anulamento do Produto
Observemos as multiplicações:
5 0 = 0 
0 - 7 = 0 
0 • ( - 3 ) = 0 
- V 2 - 0 = 0
Quando numa multiplicação um dos fatores é nulo, o resultado é igual 
a zero. Logo:
a b = 0 = » a = 0 o u b = 0
Um produto será nulo se e somente se pelo menos um dos 
fatores for nulo.
3. Resolução de uma Equação Incompleta
Resolver uma equação do 2.° graü consiste em determinar o seu 
conjunto-solução.
1.° caso: Equação da forma ax2 + bx = 0 (falta o termo independente) 
Exemplos:
Resolva a equação: x2 - 6x = 0
Resolução
Fatorando o 1.° membro da equação, temos:
x2 - 6x — 0 m x ( x - 6 ) = 0
— d — ►x - 6 = 0
x 1 6Ux = 0
Logo: S = (0,6}
Resposta: O conjunto-solução é S jJB o , 6}.
Lembrete:
Quando um produto é 
nulo, pelo menos um dos 
fatores é nulo.
2 ° caso: Equação da forma ax2 + c = 0 (falta o termo em x) 
Exemplo:
Resolva a equação: -4 x 2 t f 36 = 0 
Resolução
- 4 x 2 + 36 = 0 =* 4x2 - 36 H 0 Lembrete:
4x%= 36 
36
x2 = ------
4
X2 f#| 9 
x = ± V <T 
x = .±'3
Logo: S = { - 3 , 3}
Resposta: O conjunto-solução é S =H ~3, 3}.
3.° caso: Equação da forma ax2 = 0 (falta o termo em x e o termo indepen­
dente)
Exemplo:
Resolva a equação: 5x2 = 0 
Resolução
Isolando o valor de x, temos:
0
5x2 = 0 «=» x2̂ = ------
5
x2 = 0 ^
x = VO 
x E o
Quando o coeficiente de 
x2 é negativo multiplica-se 
a equação por —1. „
Logo: S = H 0 }
Resposta: O conjunto-solução é S = {0}.
50
Exercícios de Aplicação da Teoria
1) Resolva a equação: 2x2 - 8x = 0
Resolução
2x2 - Sx « 0 = > 2x(x - 4) = 0
Logo, S * {0, 4}
Resposta: .......... ......
2) Calcule o conjunto-solução das equações:
а) Зх2 I 12 В 0 b) x2 + 5 = 0
Resolução 
ai 3x2 - 12 * 0 
3x2 * 12
Ш Н* 3
x2 * 4 
x * ± \ ÍT 
x * ±, z
.... _ ........ W .........
3) Ache o conjunto-verdade da equação: -7 x 2 = 0
Resolução
g 2 0-7x2 * 0 = ^ x ||* r f " í4 m
x2 J 0 
x * V5"
X * 0
Logo, S * {0}
. Resposta:Я Ш | | Ё ......... 51
Ш X2 + 5 = Ó
I
' x l’s ± V-5 R
4) Resolva a equação:
(x + 2 Y
Resolução
Coto caindo a equação
(x. + 2 )2 - (x - D 2
b a hom«. yiomal,
o=>*z N M M t ■ •
I) ». - o 
= 0
Resposta:
Exercícios Propostos
WÊIÊÊÊÊÊKÊlÊÊÊÊÊÊÊIÊIIÊÊÊÊIÊÊÊÊÊKÊÊÊÊÊÈÊi
104) Resolva as equações, supondo u H IR:
a) x2 - 2x = 0 ( - c) - 6x2 + 24 = 0
b) 5x2 - 15 = 0
105) Determine o conjunto-solução das equações:
■ K I 1
a) x2 + x = 0 ------x2f|g ' ----- x É 0
2 4
b) — 16m2 + 1 = 0 . d ):0,1x2 - 0,01x = ,0
106) Ache o conjunto-verdade das equações:
a) 10x2 = 0
x2
c) 3 g g --- .
W H
m o
1
b) f e5x2 = o I , .Aj j df oi 1— o ■
3
107) Resolva as equações, supondo .
a) - 4 x 2 + 8 = 0 ^ É Ê 2x2 ~ 6 P o
b) 2x2 - 32 = 0 d )x^ + 4 = = o
108) Determine o conjunto-solução das equações-
3x2 + 1 x2 + 15
a) -------------- *H- 1 = ---------------
4 2
b) (X - 2 ) (x ,+ 3) + 4 ( x | 5 ) | p 5(x + 4)
52
109) Resolva a equação:
x(4 - x) 5 — 5x
110) Ache o conjunto-verdade da equação:
111) Resolva a equação:
(x2 - x)(4 - x2) = ' 0
112) Calcule o conjunto-solução da seguinte equação, sendo U .= IR:
x(x - 1) g 2 x (x H 3)§| 3x(x + 1)
113) Determine, em |R, o conjunto-solução da seguinte equação:
ka ^ k + i2)(2 - k) = 8
114) Calcule o conjunto-verdade da equação:
2x 9 3 x - 3 17
----------- ■ ----------- = x1 2 3 4 1 x
4 2 2
4. Resolução de uma Equação Completa
A resolução de uma equação completa do 2:° grau é feita mais facil­
mente através da aplicação de uma fórmula. Vamos à sua demonstração.
Consideremos a equação completa do 2.° grau:
ax2 + bx + c = 0
Para deduzirmos a fórmula que fornece as raízes dessa equação, 
utilizaremos o seguinte processo:
1. °) Transpomos o termo independente c para o 2.° membro da equação.
ax2 bx = . c
2. °) Multiplicamos os dois membros dessa igualdade por 4a, com a ^ 0.
4a2x2 -K 4ab x | | - 4 a c
3. °) Adicionamos o número bs aos dois membros da igualdade.
4a2x2 + 4abx + b2 = b2 -H 4ac
4. °) Fatoramos o t .° membro, que é um quadrado perfeito.
(2ax + b)2 = b2É * 4ac
53
5. °) Extraímos a raiz quadrada dos dois membros da igualdade.
V(2ax + b)? = ± Vb2 - 4ac (com b2 - 4ac > 0) 
2ax + b = ± Vb2 4ac
6. °) Isolamos o valor de x.
2ax = - b ± Vb2 H 4ac
- b ± Vb2 - 4ac
x = -------------------------------
2a
(Fórmula de Báskara)
A expressão b2 - 4ac é chamada discriminante da equação e será 
representada pela letra grega A (delta).
Então:
— b ± V A
X = ----------------
2a
Observação:
Se:
A > 0 => A equação tem duas raízes reais x ’ e x ” diferentes 
dadas por:
- b + T a" -S T Ã - '
x’ = ----------------- e X” = : -----------------
2a 2a
A = o s=> A equação tem uma única raiz real x dada por:
2a
Nesse caso, podemos dizer que as duas raízes são iguais ou a raiz é 
dupla.
- b
x' = x’V = ------
2a
A < 0 A equação não tem raízes reais, pois não existe no campo 
dos números reais raiz quadrada de um número negativo.54
Exercícios de Aplicação da Teoria
1) Resolva a equação: x2 - 5x + 6pp 0
Resolução 
Cálculo de V Ã :
r a = 1
1x2 H 5x + 6 => | b = — 5 
L c = 6
Lembrete:
A | ‘?b2B 4ac => A 4 (—5)2 —: 4 - 1 - 6 
Será A = 25 - 24
A = 1
Logo: V Ã = V T = 1
Se A = 1 > 0 , temos 
duas raízes reais . 
diferentes.
ites
I
Cálculo das raízes:
-b ± ^ . 9 | | ( - 5 j / l l
x 1 ----------------- => x ^ = ------------------
2a 2 ■ ■
Resposta: S — {2, 3}
2) Ache o conjunto-solução da equação:
x! - 10x + 2 5 - 0
Resolução 
Cálculo de V Ã :
x2 - 10x + H 0 m
a j f i f
b = ’-1 0 
c B 25
b2 - 4ac => B (-1 0 )2 Ü 
b ^ ,a ^ = 1 0 0 - 1 0 0
4 a jB o MjL íS=--VõÃ= o
1 ■ 25
Lembrete:
Se A v = ‘í0, temos duas 
raízes reais iguais.
55
Cálculo das raízes:
- b —(-10)!
x m ------ => x I S --------------
2a 2 • 1
10
x = ------ = 5
2
Resposta: S = {5}
3) Resolva a equação:
-10x2 H 2x - 1 B 0
Resolução
Cálculo de V"Ã~:
-10x- + 2 x B 8 = 0 
10x2 - 2x + 8 = 0 (: 2)
(a =; 5
5x2 x + 4 = 0 => b W -
[ ç - 4
b2 - 4ac => = ( - D 2
w m ã a s o
1 = 8 -7 9
Resposta: S = 0
Lembrete:
Se o coeficiente de x2 é 
negativo, multiplica-se § 
a equação p o fl-1 -; J
Lembrete:
Se A mm79 < °*a
equação não tem 
raízes reais.
4) Resolva a equação:
x2' + 5x - 24 = 0
Resolução 
CãZculo de. \fâ~
x2 + 5x - 24 • 0 (a * J 
« 5
c *-24
à * b z - 4ac=>A = [512 - .4(jE-24).I
, A = 121*z>\[K = j j
'X le ~b i 2 * -5 ± n He1
2a 2
Resposta: .... ....
56
5) Resolva a equação:
(x - I ) 2 + (x“ 4)2" = 53
Resolução
Colocando a equação Aob a £ófwa no m a l, vein:
(x - 1 ] 2 + (,-x + 4\ 2 = 53 = > x2 ~ 2x > I, + x? + ,Jx +. 16 = 53
2x2 + 6 x + 77 = 53
2'x* + 6 x p 36- ??'r ‘
. eS x2 + 3x - 73 = 0
\Cãlcalo de VA
A = b 2 - 4< ic= »A = 9 - 4 (JJ J ^7 3)
A * SI ^
x * -b ± V Ã = » x * -3 + 9 H H
| g ~~r7
-3 + ”9 ’ 3 --"’ a 
4 s 7 " ,
Resposta: .3.}.
6) Ache o conjunto-solução da equação:
x2 + 1 2 (x . , Í3 )
------------- # ------ — — ■ - 3
2 4
Resolução
Colocando a equação ¿ób a {¡orna no m a l, vem:
2x2 É 2 2x + 6 -72
4 4 ~ 4
2x2 + 2x +20 * 0 (i2) 
x2 * x * 10 * 0
Calculo de \íà 
A * b2 - 4ac*=* A * 1 - 4 0
A - - 3 9 = * V F * ^ /uxx-z /ie&£
Resposta:
57
Exercícios
p r o p o s t o s
' M seguintes H g w H
115) Determine o conjunto-solução x — T” ^
a) x2 — 7x — 18 = 0
b) x2 - 12x + 36 = 0
G) X2 B 12
09
12
I 10 I o
x2' P 3X
fórmula de Báskara:
116) Resolva as seguintes equações usa ̂ ^ 25 jH 0
a) x2 - 5x = 0
1
b) — x2 + 10x = 0
m x2
d) x2 + 1 1 o
117) Determine o conjunto-solução da equaçao.
(X i ? 3) * - 9 °
118) Resolva: n
a) x2 - 7 x | | e | | 0 ' f~~
b) x2 - x - 6 | o d) 9x2 f 5x -
119) Resolva as equações:
a) (x - 5)2 - 4 K 0
b) (x + 2)2 + 3- = 0
120) Resolva a equação:
y2 - (V2~.d- /Í8 )y l'+ . 6 = 0
121) Resolva as equações:
a) x(x — 3) + 5(x — 2), = 25
b) x2 - 9 + (x - 4) (x 0
a2 a ' •' .
c) — - + — ^ ¡ S - — m 0
9 3 4
122) Determine as raízes da equação:
E l l i h b B I I d = 0
123) Resolva a equação:
124) Resolva a equação:
t ;;. I
125) Resolva a equação:
68
126) Determine o conjunto-solução da equação: 
a8 + 2 1 a
2 2 3
127) Defina, listando os elementos, o conjunto:
3x2 - 5x - 2
a = ( x e o / ---------- :------------ + i = o
128) Determine, em IR, o conjunto-solução da equação:
x \ x + 2
1 I x l~ W Êm m m
129) Resolva a equação, supondo u H llS l: ,
(x2 - 5x)2B x2 - 5x + 42 
Sugestão: Faça x2 — 5x = y.
130) Ache m, de modo que o discriminante da equação a seguir seja igual a 4:
5x2 4x + m = 0
131) Calcule o valor de k, de modo que as equações a seguir tenham discriminantes 
iguais:^
-e 5 e- B 6x + K "=3fo
132) Resolva a equação:
0 I
72
6 x -2 5X-1 + *1 =
133) Resolva a equação:
72
(x g - -4 ) ( ------ 3 Y M
5. Equações Fracionárias
Uma equação é chamada fracionária quando a variável aparece no 
denominador.-
Exemplos:
2 1
a ) -------- + -------- = 3 (com x^O e x^1)
x - 1 x
,1 ' x - 1
b) - — + --------- | 0 (com x ^ -4 )
x + 42
59
Resolução de uma Equação Fracionária
x 3 x(x - 2 r+ 3 6(x — 2)
------ + ------------- = 6 = > ---------------- ---- --------------
1 x - 2 x - 2 x — 2
x2 - 2x + 3 = 6x - 12 
x2 g 8x + 15 = 0
A = b2 - 4ac =>‘ A = 64 - 60 
| f e 4
H & /Ã S j-V Í" = 2
I 1) Resolva a
L° g ° : ■ ■ ■ ■
i i l ^ b ± v A 8 ¡¡¡2 —^ x ’ = 5
X B --------------------=> x B -----------
2a 2 " ^ x & = 3
Como esses valores de x satisfazem a restrição, temos: 
S = {3 ,5 }
Resposta: S = {3, 5}
2.° Exemplo:
Resolva, em R, a seguinte equação:
x2 1
“--------- + A M ----------2x
x -f: 1 . x + 1
60
Nuçlo
v ,
Resolução
Restrição: x + 1 * q
X 5* '^1
Reduzindo à forma normal, vem:
x2 1
—------- + 1 = -----------+ 2x =>
x + 1 x + 1
Logo: x = 0 
Resposta: S = {0}
x2 ^ x + 1 1 + 2x(x -f l1 )
X + 1 x + 1
x2 t x d- 1 = 1 ri- 2x2 + 2x 
x2 + x ~ 2x2 - 2x*= 0 
Bx2 *̂ - x = 0 
x2 + x = 0 
x (x + 1) = 0
x i= 0 ou x + 1 = 0 
x = -1 (não satisfaz)
Exercícios de Aplicação da Teoria
1) Resolva a equação:
4x x - 10 _
x - 1 *
Resolução
mtUçio: K - i* o
4x x
x l i 0 t j *.r* n ,
* fX _ io) (x. s í *SjL z-1L =>
T u T T ) : X (X ‘ 11 1
4 x 2 + x2 - x - 
- 7x + 10
TOx +
= Q (CL
• m
A «
X 5
b2 J 4clc >̂A - 49 - 40 * 9 
7 È V 9 _ j £ L . * ¥ x ' 5
---- | § Í ' 2 ¡1 - 2
S * Í2>. ........ .Resposta:
10 * 4X2
I I I S
* -7 
-- +10 1
61
2 ) R e s o lv a a e q u a ç ã o :
Resolução
Reòt^Ução* y - 1 £ 0
* 7
A = b2 - 4glc=$ A = 4 - 4 * $“
!/ e * | = 1 (não ¿a-tcÁ^az)
Resposta: ............................
Exercícios Propostos
134) Resolva a equação:
n 3
x — 1 x. — 3
135) Determine o conjunto-solução da equação:
8 m K , 7 , .1
------------- + ------ = 3m
4 2m
136) Ache o conjunto-verdade da equação:
3 2 3x
x + 2 X 2x - | | 4
Qalcule o conjunto-verdade de:
X X
--------- + ------------= 1
x + 2 x + 8
138) Resolva a equação:
x + 2 2 1
2 x B j 2 2
62
139) Determine o conjunto-solução da equação:
2 " " i '■
3 --------- + ----------- H B Bx ü 1 x + 1
140) Resolva a equação:
x + 5 x - 5 10
x -5% x + 5 3
141) Ache as raízes da equação:
x + 1 x + 1
— + — H 1
x x - 8
142) Se x e x” são as raízes da equação abaixo, com x’
x + 4 10 + 2x
--------- M 1;"= -------------
x - 2 5
143) Resolva a equação:
a — 5 a H 3 a B - a — 1
_l_. ----------- = -------------------
a — 1 a + 1 a2 - 1
144) Ache o conjunto-solução da equação:
5x + 4 5x — 4 13
5x — 4 5x + 4 6
145) Resolva a equação:
1 8x + 7
3x ■ ------■ ,------------
2x 4
146) Ache o conjunto-verdade da equação:
4 ;■ : 3 I
a
147) ResoJva, no conjunto
- 1 a + 2 a
IR, a equação:
1
x — —
2 1
■ K 2x - 2
148) Resolva a equação:
2x - 1 x| ^ 3
2x8 — 5x 2 . X2 ^ 7x + 10
149) Resolva a equação:
q 3
x ó h M *
2 x 1 (x ~í‘í2 ) (x 1)
x” , calcule (x’ — x” ):
x
63
150) Determine o conjunto-solução das equações a seguir:
x + 3 x — 4
a) --------- + --------- = 2
x — 1 x 5 r 6
Xa - 8
b) x ------------------- 2
Xa + 5
151) Calcule o conjunto-verdade da equação:
36 36 1
x x + 1 2
152) Resolva em IR:
1
Sugestão: Faça x -------- --- y.
x
5
4
153) Calcule x na equação:
1 — x 2x 
1 + X 1 — X
2,0 Exempi°:
Ache o conj
154) Determine os valores de x que anulam a expressão:
2
x + 9
x - 6 x - 7
3x! - 6ax 
^sposta:!
6. Equações Literais
Se uma equação de 2.° grau na variável x apresentar um o u .m ja 
coeficientes indicados por letras (parâmetros), a equação é denomina 
equação literal.
Exemplos:
a) mx2 - 4x + 1 = 0
b) x2 + (k E - 1)x = 0
c) x2 - 4p2 = 0
* S * o :
Online 
ta +
t a . 
m
i
64
Resolução de uma Equação Literal
Para a resolução de uma equação literal, utilizamos os mesmos méto­
dos das equações com coeficientes numéricos.
1.° Exemplo:
Resolva a equação incompleta:
x2 25 m2 = 0
Resolução
x2 — 25m2 = 0 => x2 — 25m2 Lembrete:
X = ±
x = ± 5m
Resposta: S = {-5m , 5m}2.° Exemplo:
Ache o conjunto-solução da equação:
Зх2щ бах = О
Resolução
Зх2 - бах = 0 =» Зх (х - 2а) В О
Зх = 0 ou х - 2 а Щ О 
х = 0 х В 2а
Resposta: S - {0, 2а}
3.o Exemplo:
Determine o conjunto-solução da equação completa:
(m + 1 )x2 - 2mx + m ~ 1 = 0 (com m ^ -1 )
Resolução 
Cálculo de VÃ-:
íisJ .rfi; a =v m + 1
& | (m + 1)x2 - 2mx + m - 1 = 0 =» j b = -2 m
H c | im . í - 1
A = b2 — 4ac => A = (~2rh)2 -4(m + 1)(m | | 1) 
■ A ^ 4 m 2 — 4(m2 - 1)
^ : 4m2® - 4m2 + 4
\^Ã H V4" = 2
x é a variável.
65
Cálculo das raízes:
2m + 2 2(m + 1)
x
- b ± \TÃ
2a 2(m + 1X
2m ± 2 2(m + 1) 2(m + 1)
2m - 2 _ 2(m - 1)
2(m + 1) 2(m + 1 )
m ESI
R esposta: S = 1, com m ^ -1
m + 1
Exercícios de Aplicação da TeoriaIt̂ÊiÊÊÊÊÊÊÊÊmÊÊmÊÊimÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊmmÊKÊÊÊÊÊaÊÊÊÊÊmÊÊÊMÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊm
1) Resolva as equações:
2) R eso lva a equação:
(x + 2a)(x - a) = -2a2
Resolução
(x + 2a) (x - a) * - 2a2 
x2 - ax + 2ax -
y2 8 ax | I
* (x 8
x - 0 OU X + CL * 0 
X = -a
a) x2 - 36p2 = 0 b) 2a3x2 - 18aB = ; 0
Resolução
x2 - 36p2 = 0 = > x 2 '*. lt>p2
Resolução
2a3X2 - 1fa5 =0 í - 2<X3)
x * :± \ ¡ 3 6 p 2 
X ¡¡ |'± '. 6 p
X2 - 9a 2 I 0
■X - ±" 3¿£.
5 «p B p a B W Resposta: S; = 4 -3 ^ +.3*}Resposta:
66
3) Ache o conjunto-solução da equação:
(m $$ 3)x2 -S2(m - 1)x ¥ m + 1 = 0
à = bz - 4a .c = } A * [-2 (m - 7) ]2 - 4*(mx- 311®!m +%fj
A * 4 (m - t f 2 ,- 4 (rn2 pm - 3rn. - .3)
A * 4 (m2 - 2m + 7) - 4 (m2 - ,2m - 3) 
■A t; 4m2 - $m + 4 - 4m2 + + T f
A « ?6 >■
V ¥ = V T? =̂ 4
Resposta: . * . . .m.p.3.
K M f W l i l f l
156) Determine o conjunto-solução das equações:
a) 2x2 — 5ax + 3a2 j i o
b) y2 — 2my + m2 — n2 = 0
157) Resolva a equação:
158) Ache o conjunto-solução da equação:
Resolução 
CaZcuJto cie \ ÍK
CãZduZo doiò hJXJLZzb
-b ‘- í ;n/ ã 
2a
J f l l 2(m - 7j i 4 
2(m'- 3) ;
m Í2 L L l_ ,
2(m - 3) ■ - 3
X
V'- 1 lm - 6 
2jrh -1 )
Exercícios Propostos
155) Resolva as equações:
a) x2 J |4 9 b 2; - 0
b) 5x2 + 125a4 = 0
c)’ 2x2 - 72cx = 0 
d » 7 x 2 1 14m6x È 0
k2x2 - 2pkx + p2 - q2 = 0
x2 - (a p b)x + ab = 0
159) Resolva q equação:
2px2 - (2p + í)x + 1 = 0
160) Resdlva a equação:
XS _ (a + 1)x + a
161) Determine o conjunto-solução das equ Ç
a) ax2 — (a2 + 1)x + a = 0
b) y2 - 2ay + a2 ^ b2 = 0
162) Resolva a equação:
x>4- a x + b J j f e r 
x — a x — b
163) Ache o conjunto-solução da equação:
x — 4m x — m
m x - 4m
164) Determine o conjunto-verdade da equação:
a b
-------- I -------- = 2
x - b x - a
7. Soma e Produto das Raízes de uma Equação do 29 Grau
Consideremos a equação do 2.° grau ax2 + b x ;- f ç = 0 e sejam x ’ e x” 
as suas raízes.
Mostraremos as relações que existem entre os coefic ientes a, b e c e 
as raízes x ’ e x ” dessa equação.
1.a relação: Soma das raízes
B - b + * - b "
x \ + x ” E ------------------ + ------------_
2a 2a
X’ 4- X”
- b + - b -
2a
* - 2 b
x \ + X" = ------
2a
-b
X’:# -------
a
X?
68
2.a relação: Produto das raízes
~ b + V ~ £ — b P i \ T Ã
X’ • X” =
x ’ • XM
x ’ • x” = ?
2a 2a
( - b + \ r S ) ( — b - C E ) 
4a2
( ~ b ) 2 - (yT Ã y 
4a2
b 2 - A
x ’ • x” =
x ’ • X” =
x ’ • x ” =
4a2
b2 - (b2 1 4ac)
Lembrete: § S ./= b2 — 4ac
4a2
4ac
4a2
X’ X” =
Exercícios de A plicação d a T g o ria
O produto das raízes da equação x2 + 3x - 10 - 0,
1) Calcule a soma e 
sem resolvê-la.
Resolução
x2 + 3x - 10 = 0 
-b
a = 1 
b = - 3 
c = -1 0
, ■ -------S yc'f X” № —
Logo: X + x a 1
x’ + x” = 3
o W È m
X' ■ x” í= S B ] ' H 1
Resposta: A soma é igual
x- ■ x " » 1 0 
3 e o produto® 10.
69
2 ) Ache k na equação (k 6)x2 - kx ~ 8 - 0 para que a soma da* 
raízes seja igual a 7.
Resolução
Devemos ter: X’ + x” & ______
a
- ( - k )
7 = -------
k - 6
k
7 ü -----
k - 6
7k - 42
6 k H 4 2
k = 7
Resposta: k = 7.
3) Determine k na equação x2 + kx + 36 =̂= 0, de modo que entre as raízes 
exista a relação:
1 1 5
x ’ x” 12
Resolução 
Sabemos que:
b
X ’ + X ” -- -----------------=* x ” S ~ k
a 
c
jj* x** —— ■ ' — —̂ x x i= 36
a
Logo, vem:
1 1 5 x” + x ’ 5
x * + x " 12 xL. 4 x” 12
- k 5
36 12
É l l k
------ = 5
3
k fiw 16
Resposta: O valor de K é -15.
4) Calcule o valor de p, sabendo que a diferença das raízes da equação 
2x* 2 ^ (p - i)x./+ p 4 1 4= o é igual a 1.
Resolução
A condição é: x” - x’ ¡§1 @ 5'
Agrupando as equações © e © , vem:
2x” = 1 + —
2
4x” |= 2 + p. - 1 
4x” = ,p + 1 
P
x" B ---------
4
Substituindo em ® , vem:
b P
Ü B x” => x’ + x” = (D
a 2
Temos:
p + 1c
X’ i x’ (D
a 2
P
x” + x’ ©
2
P
4
~ 4x’ l 3 4̂ p
p 1 3
xV = -----
4
P
8
pa - 2p - 3 = 8p .+ 8
p2 - 10p - 11 = 0 
A = 100 + 44 - 144
V ^ J g V T O = 12
Logo:
Resposta: Os valores de p são: p = 11 ou p |»
5) Sem resolver as equações a seguir, calcule a soma e 
suas raízes:
a) x2 + 14x + 45 H 0
b) — 2x2 | | 26x - 60 B 0
Resolução
a) x2 +' 14x + 45 * 0 . ' + -26x - 60 = 0
x f + x" 
x ’ • X» ca
B
a HM xr + X1
B i 1 Bi
-b _ -26 
d " - 2 4
c B B
i c I
6) C alcu le o valor de m na equação 2x2|§ 3x - i m 
produto das raízes seja igual a 5.
Resolução
. r -p j ' 3 ► 5 - § r ~
m - 3 • <7.0 •
I * Ê
3 B
m f 13Resposta:
produto de
* 13
B I
para que o
72
Jto de
7) Calcule p, de modo que a soma dos quadrados das raízes da equação 
x2 + (p - 5)x - (p + 4) = 0 seja igual a 17.
Resolução 
( x . T + (x M) 2 ■ - * ( « + x ’*).2 - 2x<x” * Ti
p p + $)'*>* Z i - № 4) 17
p 2 - 10p + 25 f S p J S * 17 
p 2 $p > c 76 - 0 '
A = 62 - 4ac=£A * 64 - 4 •
p s
- b ± \ A Ã 
2a
16
Resposta: ...P.j*:;§
e 0
Exercícios Propostos
165) Determine a soma e o produto das raízes das equações seguintes, sem resolvê-las:
a) x2 10x ^ 4 ^ . 0 ;= 0
b) 3x2 + 21x - 2; ¿ ;.0 d) V Z x * 'r+ = 0
166) Dada a equação do 2.° grau (ro. -fe^Jx2 + (m - 9)x + 3 = °» calcule m para que
15
a soma das raízes s e ja ---------- .
2
167) Resolva a equação (m + 2)x2 + 4x - ( m + 1Tá= 0, sabendo que o produto de
3
suas raízes é ---------- .
4
168) Ache o valor de k na equação (k — 2)x2 — 3kx + 1 = 0, de modo que a soma 
das raízes seja igual ao seu produto.
169) A equação x2| l 2kx + k2 - k + 8 = 0 tem como raízes x ’ e x” . Ache k de modo 
que:
^ 1 , ^ 1 * 2
x’ 1 x” B 5
73
170) Seja a equação do 2.° grau a seguir, cujas raízes são x ’ e x ” .
x2 + 6x + 7 H 0
Calcule:
a) x ’ + x ”
b) x ’ • x”
c) (x')2 + (x” )2
1 1
d) ------ + ------
* x ’ x”
X’ + 1 X ” + 1 
e) — ----- 4- ----------
X” X’
171) Calcule m para que a soma dos quadrados das raízes da equação 
x * |j§ mx + 2m +. 4 = 0 seja igual a 13.
172) Determine c na equação x2 - 20x + c = 0, de modo que uma raiz seja o triplo 
da outra.
173) Determine m na equação 4x2 — mx + 0, de modo que uma das raízes seja a
quarta parte da outra.
174) Sendo x’ e x ” as raízes da equação x2 — 8x - f m = 0, determine m para que se 
tenha 3x’ — 4x” == 3.
175) Dada a equação ax2 + 3x + 1 = 0, calcule o valor de a, de modo que as raízes 
obedeçam à relação x’ = 2x” .
176) Determine os valores de k para os quais a equação:
a) tem raízes simétricas
b) tem uma só raiz nula
(9 k H 12)x2 H (2 k , ® 7 )x
177) Seja a equação x2 + (m ;-^ 3 )x | j | - 2nrw = 0. Calcule m, de modo que:
x ’ • x ” :
— + - k J L j L = 0 .
2x” 2X’
178) Sejam a e b as raízes da equação x2 - 3mx + m2H 0, tais que a21|| b? = 1,75. 
Calcule m2.
179) Calcule m, de modo que uma das raízes de x2 - f mx + 27 == 0 seja o quadrado 
da outra.
180) Ache m, de modo que as equações seguintes admitam as mesmas raízes.
r x2 - (2m - í)x + 2m 4- 3 ^ 0 
l x2 - (m |S - 2)x + m ;+ 2 S o
181) Se m e n são as raízes da equação 7x2 + 21 = 0, calcule (m + 7)(n + 7).
182) Calcule c na equação 64x2 — 160x + c = 0, de modo que uma raiz seja o triplo 
da outra.
183) Determine m na equação x2 2x + m = 0 para que se tenha: (x’)2 — (xn)2 = 2.
184) Calculem, de modo que a diferença entre as raízes da equação 
,x2 — 15x + 6m + 2 = 0 seja igual a 3.
:
Substituindo esí
fa a
r i ? ? 4*
8. Determinação da Equação do 29 Grau Conhecidas as Raízes
Consideremos a equação ax2 + bx + c = 0, cujas raízes são x* e x” .
Dividindo ambos os membros da equação dada por a (a ^ 0), vem:
ax2 bx c 0
ax2 + bx + c = 0 => ------2 ------- + ------'= ------
a a a a
b c
x2 + ------x + —— =?' 0
a a
soma das 
raízes
C C
x’ • x ’B 9 ------ ou P = ------
a y a
produto das 
raízes
Substituindo esses valores na equação, obtemos:
x2 - Sx + P = 0
Essa fórmula possibilita encontrar uma equação do 2.° grau sendo 
conhecidas as suas raízes.
Exercícios de Aplicação da Teoria 
1) Obtenha a equação do 2.° grau cujas raízes são 5 e 9. 
Resolução
Fazendo x ’ = 5 e x”Í^4 9, vem:
H x” H E H j 9 5 14 ¡1 I S = 14 
x* ■ x f | | | 5 • 9 = 45 => P =.45
Logo:
x2 - Sx + P =gg0 j=* x2 4 14x + 45 = 0 
Resposta: A equação é x2 - 14x + 45 = 0.
75
1
2) Ache a equação do 2.° grau cujas
raízes são -------e 7.
2
Resolução
1
X« + x” --------------+ 7
2
-1 Efl 14 13 13__.— S -------
2 2
7
2
Logo:
x2 -¡ jS x + Pp= 0 => 
13 7
2 2
2x2 - 1 3x - 7 I O
Lembrete:
Reduzindo todas as 
frações ao menor 
denominador comum, 
obtêm-se coeficientes 
inteiros.
| P
I #
r
/
f efl1
I
■
i a) v3
|;1)) K* + |
I m) De'ern)iri I dos núm
Resposta: A equação é 2x2 - 13x - 7 = 0.
3) Ache a equação do 2.° grau cujas raízes são:
$) Forme a
I a) - 1 €
¡I’ b) a + I
a) 5 e - 2
b) 1 + ^2 e 1 Sĵ ÉSVTT'
Resolução
a) x ' - 5 I U ¡ ¡ - 2 - / -
5 ■ x ’ + x - - 5 - 7 = 3 / . x 2 - S x + p = 0
P . x - 5 • H - ® . y -:y . S x : ' ) 0 . 1
b) x' - 1 f ...v/F e x" = j | j j VT
S ■ x ' ,+ x " = 1 + s fT + I j - V T * 2
P = xV • x" = (7 + VT ) . | - \/fj s i :' 2 = M
L o g e n X2 - S x + P - 0'
x2 I 2x S I I 0
3 Núm«
■
'41*
Consil
Mravç 
ire a e>
casQ.
Quar
i ra¡
feg®
I <*) x2 - 3x - 10 * 0 , ,
R espo sta :.......................................¿ . -6) ..x* - 2X. - j « o
7a I
Exercícios Propostos
185) Forme a equação do 2.° grau que tem como raízes — 4 e +2.
5
186) Componha uma equação do 2.° grau cujas raízes são os números ------ e -------- .
3 2
187) As raízes de umá equação do 2.° grau são 2 + V 3 e 2 ® V3. Determine essa 
equação.
188) Componha uma equação do 2.° grau cujas raízes são os números------ e — ------ .
5 * 2
189) Componha a equação do 2.° grau cujas raízes são m e 4m.
190) Forme uma equação do 2.° grau que tenha como raízes:
b) m + 2n e m H 2n
191) Determine a equação cujas raízes são a média aritmética e a média geométrica 
dos números 4 e 9.
192) Forme a equação do 2.° grau que admite as raízes:
a) —1 e — 3
b) a + 1 e 2a
9. Número de Raízes da Equação do 29 Grau
C o n s id e re m o s a e q u a ç ã o do 2.° grau ax2 + bx + c ¡¡Jo.
A tra v é s d a a n á lis e do d is c rim in a n te A = b2‘ - 4ac, podem os co nc lu ir 
so b re a e x is tê n c ia ou n ão das ra ízes de um a eq u ação do 2 .° grau.
T e m o s trê s caso s :
1 .° ca s o : A > 0
Q u a n d o o d is c r im in a n te é um n ú m ero positivo, a eq u ação tem duas 
ra ízes re a is e d ife re n te s , d a d a s por:
bffi VÃ üb
2a 2a
L o g o , o c o n ju n to -s o lu ç ã o é:
-b + VÃ. Qg - iVÃ
2a 2a
77
2 .° caso: A = 0
Quando o discriminante é nulo, a equação tem um a única raiz real,
dada por:
iM-li v i».x’ s*.;X
2a
Nesse caso, podemos dizer que a equação tem duas raízes reais 
iguais ou uma raiz dupia.
Logo, o conjunto-solução é:
I f b
2a
3 .°c aso : A < o
Quando o discriminante é um número negativo, dizemos que a equa­
ção não tem raízes reais, pela impossibilidade da extração da raiz quadra­
da de um número negativo no conjunto dos números reais.
Logo, o conjunto-solução é:
S
Resumo:
A > o Duas raízes reais diferentes 
A = 0 => Uma única raiz real ou duas 
raízes iguais
a < 0 => Não existem raízes reais
Exercícios de Aplicação da Teoria
1) Sem resolver as equações a seguir, diga se possuem ou não raízes 
reais:
a) x21 4x O 5 -0 .
b) x2 + 3x .+ io o
Resolução 
a) x2 B 4x 
‘ ’A = b2
5 : 0
4ac =* A■ 4 (1 ) ( -5 )
i 16 + 20
¿V = 36 •:> o (duas raízes reais diferentes)
I
.'VA
r " . 1 f-1)! 
. 2H
M
■ =
jn = 3.
flocule
H
"1,(16
■ taa,
S b
| j i ta
m \ 
1 h
¡1¡ "t
■ ' >
*
V
\ N
78
b) x2 + Зх + 10 l i О
b2 - 4ас => Щ = 32 И 4 • 1 - Ю 
А = 9 Ü 4 0
л = - 3 1 < о (não tem raízes reais)
Resposta: a) duas raízes reais diferentes b) não tem raízes reais
equa-
uadra-
i \ l&
2) Calcule o valor de n para que a equação x2 - (n - 1)x + n - 2 - 0 
tenha raiz dupla.
Resolução
Devemos ter:
a = o = * b2 - 4ac - 0
(n - 1)2 - 4 - 1 • (n - 2 ) 1 0 
n2 - 2n + 1 - 4n + 8 = 0 
n2B - 6n + 9 1 0 
Щ 1 36 -И зб = 0
6 ! o 6 
2 2
Resposta: n = 3.
3) Calcule m, de modo que a equação x2 - (2m +*1)x + m - 1 = 0 admi­
ta 2 como raiz.
Resolução
Se x = 2 é raiz, temos:
x2 - (2m + 1)x i m -^1 = 0 
22 - (2m & 1) • 2 J j m Щ 1 = 0 
4 - 4m Щ 2 + m - 1 = 0 
-3 m p 1 •= 0 
-3 m B -1
3m Ш 1
Resposta: O valor de m é ------ ■
3
Lembrete:
Raiz de uma equação é o 
valor de x que a torna 
verdadeira.
79
6kx + 3(k tenha
4) Calcule k para que a equação (3k ^ ',:W* 
duas raízes reais diferentes.
Resolução 
Ve.ve.moA tvu 
A > 0 =* b* - 4ac > Ô
Ufe)2 - 4(3fe + D [3(k - ■?)]> ^ 
36k * - 72 (3fe + H t I - *')'•>
36fe 2 - - 7 2 13k2 - ,3fe,,+. 4 ? p
3ófe 2 - 3^fe2 + 36fe - . 72fe" + 12 > 0 
24fe + 12 > | | | §
24fc > - BB
Resposta:
5) Ache m para que a-equação x2 - 2x + m o não possua raízes
reais.
\M o maior ' 
p-1 \ m - 1 :
ü «I, de mod
Resolução
$&vemo* tQJt: . A < 0 4acr <Í0:U
- A - 4 • 1 •$(>№?
l ..'4
l%m >̂ Z
H f e
Colo
"00$
Resposta: ...ÃW.£..Uw..>.Jl 
80
Exercícios Propostos
WÊÊÊÊÊÊÊKnÊÊRÊÊKÊÊÊÊÊ
193) Determine os valores de m na equação 2x2 - 4x + m = 0, de modo que as raízes
194) Determine os valores de m para que a equação a seguir tenha raízes iguais:
195) Ache m para que a equação (2m + 1)x2 + 4mx 4- 2 (m E 1) = 0 tenha duas 
raízes distintas.
196) Ache k na equação 4x2 — (2 + k)x + 3 = 0, de modo que uma das raízes 
seja 1 .
197) Calcule a e b, sabendo que 1 e 2 são raízes da equação x2 — ax + b = 0.
198) Determine a para que as equações a seguir admitam uma raiz comum:
199) Calcule o valor de k na equação (3k + 1 )x2 + (2 k,,+ 2)x + k 0 para que as 
raízes sejam iguais.
200) Calcule o maior valor inteiro de m que torna as raízes da equação x2 E 3x + m - 1 = 0 reais e desiguais.
201) Calcule m, de modo que a equação (m — 6)x2 H |fm — 5)x — 1 = 0 admita 
a raiz 1 + y^íT”
10. Equação Biquadrada
D en o m in am o s equação biquadrada, na variáve l x, to d a e q u a ç ã o q u e 
pode ser c o lo c a d a sob a fo rm a:
sejam:
a) reais e diferentes b) reais e iguais c) não-reais
x2 — (m — 1 )x + m H 2 = 0
lízes
ax4 ü bx* + c = 0
E xem plos:
x4 + 3x2 - 5 | 0 s* a g 1 , b f j 3 e c ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ - 5 
7x4 + 1 0 => a = 7, b = 0 e c 1
81
Resolução de uma Equação Biquadrada
1.° Exemplo:
Resolva a equação: x4 - 9x2 IS 0 
Resolução
x* £ 9x2 = 0 <=> x2(x2 - 9) I 0
X2 = 0 OU X2 - 9 P 0 L e m b re te :
x = 0 X2p= 9
x V9~
x m 8 ± 3
Resposta: S = { -3 , 0, 3}
Quando um produto é 
nulo, pelo menos um dos 
fatores é nulo.
2.° Exemplo:
Resolva a equação: x4 - 4x2 + 3 = 0 
Resolução
Nesse caso fazemos a seguinte mudança dé variável:
x2 = y (artifício de cálculo) 
Logo:
x4 - 4x2.+ 3 v= 0 =>s 
=> (x2)2 - 4x2 + 3 = 0 
y2 4y + 3 = 0
L e m b re te :
Note que com o artifício 
usado transformou-se a 
equação biquadrada numa 
equação do 2.° grau.
Resolvendo essa equação do 2.° grau, vem: 
A = b2 - 4ac =» m È 16 I 4 • 1 • 3
g = 16JJ 12
■ 4
\/S~ = 2
V#
- b ± V a"
__________si w
4 ± 2 = 3
y m y 
2a 2 - ^ ^ y ” = 1
mas:
x2 ~
COBX>» ou Xa = 1
wB È S e M
Resposta: S = { -V 3 j -1 ,1, V3 }
82
Exercícios de Aplicação ria i w .a
1) Determine o conjunto-solução das equações:
a) 3x4 - 12x2 = 0
b) m4 + m2 = 0
R eso lução
a) Jx1* - 12x} = 0 x1* - 4x2 * 0
x * ±2
b) m1* + m2 = 0 =£ m 2 [ m 2 + 1 ) / = ,0
R esposta : ü l . ......J í l
2) Ache o conjunto-solução da equação:
x4 - 2x2 - 8 = 0
R e so lu çã o
FúLZZndO X2 * y, y w y é;
X1* - 2x2 - B * o F>-y2 - ty " S
x2(x2 - 4) = 0 
x2 * 0 ou x2 £ 4 * 0
x ¡5 0 x2 * 4
m2 á Òrou m2 + 1 - 0 
m = 0 ' <, m2 - --r.-
'A * 4 + 32
A > 36 „
2 ± 6 Y
4
togo : X2 * í/ ÉÊ|.2 0 4 ou x2 * ~f
X * jlljíl
x * * m
X
Resposta: s J h H 53
3 ) R eso lva , no con junto R, a e q u a ç ã o . |H H H J I 2 n
( x l 2) ( x - 2) ( x + i n ^ " 1) r 5 X ” 20
Resolução
( x + 2 ) í x - 2 ) ( x + Í)U - t) + 5x 2 * 2 0 ,
( x * - 4 ) í x a - 7) + * M
xh - x 2 - 4x 2 ■ > 4 + 5x 2 = 2'0 
x v + 4 1 20 
x4 = 76
Resposta: ..zÂzfSíÚ.
Exercícios Propostos
202) Resolva as equações:
a) x4 - 25x2 H o c) 3a4 + 6a2 = 0
1
b) y< - y2 = 0 d) 5m* - 0
16
203) Determine o conjunto-solução das equações:
a) 5x4 + 2x2 - 3 ® 0 c) 3a4 - a2 - 4 ’J= 0
b) x4 - 13x2 4^36 == 0 d) 4m4 ^ 12m2 + 9 ; ; , i 0
204) Resolva as equações:
a) x4 - 7x2 — 8 H o b) 2Í4 H õ t 2 + 3 '= 0
205) Ache o conjunto-solução das equações:
a) 5x4 - 3x2 + 2 | 0 b) 3x4 + 5x2 | 2 = 0
206) Calcule o conjunto-verdade da equação:
(x2.+ 1)2^ 4(x2 + 1 ) I 45
207) Resolva a equação:
(x — 1 )(x2 + 1 )(x 4- 2 )^ =| x(x2 4- 1 ) 4- 1 0
208) Determine o conjunto-solução das seguintes equações:
a) (x* 4- 3)2 4- (x2 % 2 ) * ^ 3x2(x2 - 1 J ^ 1 7
a2 4- 1 3a2 — 2
b) — --------- = ----------------
a2 - 4 7
a2 4- —
2
84
209) Resolva a seguinte equação literal:
x4 + 3mx2B 4m2 = o
210) Calcule as raízes da equação:
x4 - (m2 +1)x2 + m2 = 0
211) Resolva a equação:
c4x4\ # c2(á2 b2)x2 ^ a2b2 = 0
11. Equações Irracionais
Toda equação que contém pelo menos um termo com a incógnita sob 
radical ou com expoente fracionário é denominada equação irracional.
Exemplos:
Vx" = 4
^ 2 x - 1 = x + 3■EJ I .
x 4 + 2 l x - 1
Resolução de uma Equação Irracional
A resolução de uma equação irracional baseia-se na seguinte proprie­
dade:
Se A = B é uma equação que contém somente uma incógnita 
e A2 = B2 a equação que se obtém da anterior, elevando 
ambos os membros ao quadrado, temos:
A = B B A2 := 1 B2
Demonstração:
A2 ^ B2 «=> A2 I B2 I 0
(A + B)(a | B ) i 0 
A f ;B = 0 ou A - B = 0 
A | | | | B A * =. B
Logo, a equação A2 = B2 contém todas as soluções da equação A = B, 
mas também pode admitir outras: aquelas da equação A § § -B , que são 
raízes estranhas introduzidas pela potenciação.
As raízes da equação A j§ - B não satisfazem a primeira equação e 
são desprezadas.
85
Portanto, as equações A n B e A2 W B2 são equivalentes, isto é, têm 
o mesmo conjunto-solução.
Essa propriedade foi demonstrada porque, para resolvermos uma 
equação irracional, precisamos eliminar todos os radicais da equação por 
meio da elevação dos seus dois membros a um mesmo expoente, tantas 
vezes quantas seja necessário.
Durante a solução, devemos testar na equação inicial cadâ uma das 
possíveis raízes encontradas, pois ao elevarmos ambos os membros a um 
mesmo expoente, obtemos uma outra equação, que não possui necessaria­
mente o mesmo conjunto-solução da primeira, e podem aparecer raízes 
estranhas, que devem ser eliminadas.
Há dois casos:
1.° caso: A equação contém um único radical
Exemplo:
Resolva a equação:
Vx M M 3 X
Resolução
Vx B 1 + 3 f--x =>
=» Vx f l l I x - 3 
( Vx 1 ) i|b (x - 3 )9 
x 9 1 B x2 - 6x + 9 
x2 - 7x 1.1:0 = 0
A = 49 B 4 0 
A B 9
' 3
- b ± V S 7 ± 3 — x’:<# .15
Verificação:
Para x | 5 => Võ - 1 + 3 = 5 
V4 + 3 = 5
2 + 3 № 5
5 = 5 (verdadeira)
Para x y 2 => V? - 1 4̂ 3 = 2 
1 +. 3 B 2 
4 =?i2 (falsa)
Portanto, x = 2 é uma raiz estranha, isto é, não serve como solução. 
Resposta: S r̂ { 5 }
L e m b re te :
Isolamos o radical num 
dos membros e elevamos 
ambos os membros ao 
quadrado.
86
im
amos
#g|
Exercícios de Aplicação da Teoria
1) Resolva a equação:
Vx + 9 + x =■ 11
Resolução 
/x + . '97 + x *
-b ± SL
* s EBT ~
M : / x + 9 = í í - X
( Vx + 9 ) 2 = T í I - x ) 2 
I xx + 9‘ * ' Í 2] - , + x 2
x2 - 23x +' 1 1 2 s 0 _ ,
A = .529 - 44 g - 
. A = 81 => & = 9
, x ' * 1 6 '
23 ±9 ^
2 " NuW 7 '
Ve/U^aação:
Pclml x - 76 V í6 $ 9;. +. í6c = 11 
5 + lè T̂ lTx\r 
;(;lâ í = í í (Fatio)
Pa/ia x /« $ 7 f=P~ V f + T ?. +,7 ^ jj 
- - 4 4- 7 *;í f JV̂
11 = íí (VztidcLdeÂAa)
Resposta: .....5.. * .
2) Ache o conjunto-solução da equação: 
V a ® 2a ¡1 3 + 1
Resolução
Wm S S Ê + 1. d * WMk
¿ -A O . +.;3 | O-2
uSjfl
VoHJbXYrfA i s ■
Resposta: ...........................
I - 0
X - g í _ I =
0 a. + I
^ .p a e s S S i
312) Ache o cohiccld-vcrdedd dd dQd Ç
B y /2 ~ + ‘*
213) Resolva a equação: 1 — x 
214) Determine o conjunto-verdade da equ Ç~demi UOlOlllllllf? V —------------------------------------------------------------------------------ .
3X + 1
215) Determine o conjunto-solução da
215) Resolva a equação, supondo Z ^ ,
2x- + 3x + V2x- + = 33 
Sugestão: Faça 2x2 + 3x l a .
g
217) Resolva a equação: 3Vx~ + -------P f f
V%~
218) Resolva a equação: 15+ 9 + = 8
219) Ache
° Coniunl°-s°lução da equação:
2 .0
caso: A equação contém dois
1° Exemplo:
Vx2t-h 9
V Í x +
2 — \ / x ~
ou■«■/• '■adiçais
I . V x ~
V x ~
Verificação:
Para x = o =* V r í i + VÕÍTT l 2 
1 + 1 = 2
2 = 2 (verdadeira)
Para x = 8 =» Vq + j + V24 + 1 “1 2 
3 + 5 = 2
8 = 2 (falsa)
Resposta: S =! {0}.
2.° Exemplo:
Resolva a equação:
^2x + V x + lB= 2
Resolução
Elevando ao cubo ambos os membros da equação, vem:
(V2x + VjT T ^ ) 3 = 2S 
2x + Vx +. 1 ’:= 8
Vx +' í | | 8 - 2x 
(Vx + T)J- = ( 8 | 2x)2 ■ 
x + 1 = 64 - |32x + 4x2 
4x2 B 33x +:̂ -63 #
A = 332H 4 • 4 • 63 
A s=5 1 089 - 1 008 
A ==.81
21
x» = ----- (não satisfaz)
33 9 4
x g : H 24
° ^ x " = ----- # 3 (satisfaz)
8
Resposta: S - №). 89
1) Resolva a equação:
w
Resolução 
/x + 1 + /2x - 1 = ^ M i +^ y d I I H B Wmmm ix - 7 = 36 
x I 1 + 2 B B | /zx ' ■
“ * - 42 ' 3x
(2» fàr- 5x “7 ) i * ( 42 - 3x] /
4(2x2 - 5x - 7) - 1 764 - 252x > 9x2
X2 - 232x + 1792~ = 0 
A * 53 $24 - 7 168 ==)& = 46 656 
S L = 216
8 [ veAdadzÁAo)
+ 232 B 0 H
I = H fB x" = 224 (¿aiòa)
P P
22*) Ca'(
Det225)
226) De
Resposta: .... .....................................................
2) Determine o conjunto-solução da equação:
V2m + 6 ^ ^ V 7 m -£¿14 - Vm 4
Resolução
/2m + 6 = /7m + 14 - /w + 4 ||g (/2m~ + 6)2 »̂ (VTín + 14 - Vm + 4) 2
2m + 6 = 7m + 14 - 2/7m + 14 • ¿m"+T + m + 4 . 
2m + 6 = 7m +74 - 2/7mz + 2ãm + 14m + 5T + m + 4 
2i/7m2 + 42m + Tó * 6m + 12 ,(:2) v ' |
,(/7mz + 42m+.-56)?; *^(3m | 6 )2 
2m2 - 6m - 2Ò * Ò '[;%) 
m2 - 3m - 10 = o ,
A * 9 +40 
A = 49 => ^ = 7
227) Ri
228) F
229)
ü
Rite
Potáanto S = {5}
_ 3 ± 7 / m*
\m »
= 5 Uotcótjaz)
* ~2 (m.o bOL&Jih&z)
S = {5}
Resposta:
90
Exercícios Propostos
I
m
220) Resolva as equações:
+ V x + 12 =: 6 b) 3 \/m - 1 = V7m -jV i '
221) Determine o conjunto dos números reais que é solução da equação irracional:
..~V2x" g p f ^ + x p 1 I
222) Ache x EIN, tal que:
: ^ 2 ^ f l V x I j 5 S V13 - x;*= 0
223) Resolva a equação, supondo ^= $ rN T
V16 + X/x4 4- x^ - 4 -(%
224) Calcule m £ IN, de modo que:
\a/m 8 jp 2
225) Determine m gyfN para que:
V 3 m + -f1 f + V .m .tf 8 \/2 0 m t;+ 5 & 0 !
226) Determine o conjunto-solução, em ÍR, da equação:
V x 4- ga p 2>/x - 17= 0
227) Resolva a equação:
V ã "'+ y/? fã ,+ 6 S ô
228) Resolva a equação^____________
V3 + Vx H o/x — \6-; = 1 ¿|f yf2~
229) Sabendo que a é a raiz da equação 13 i l (x - l j 27d= x, calcule
H B I
12. Sistemas de Duas Equações
N este item resolverem os sistemas de duas equações com duas incóg­
nitas que, após a lgum as transform ações, recaem numa equação