LEX Resolv Prop meio dissipativo 2col

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SEL310-Ondas eletromagnéticas: Exercícios Resolvidos sobre
Propagação de Onda eletromagnética em Meios Dissipativos
Prof. Amílcar Careli César
Universidade de São Paulo, EESC, Depto. de Engenharia Elétrica e de Computação
June 8, 2017
Abstract
Esta lista de exercícios é destinada aos alunos ma-
triculados na disciplina Sel310 ondas eletromagnéti-
cas, oferecida pelo SEL-EESC-USP. É vedado outro
uso sem autorização do responsável pela disciplina.
Pede-se não fazer upload para sites porque este texto
fará parte de livro em elaboração pelo responsável
pela disciplina.
Os conceitos de propagação de onda eletromag-
nética em meios dissipativos são apresentados em
contexto de questões do cotidiano. Alguns dos ex-
ercicios apresentam mais de uma solução por causa
das suposições adotadas. A intenção é mostrar a
abordagem do problema e avaliar quantitativamente
a solução.
1 Tampa de forno de micro-
onda
As tampas dos fornos de micro-ondas domésticos dis-
põem de uma placa de metal com furos para visu-
alizar o interior. Por outro lado, a caixa metálica
deve blindar o exterior da radiação eletromagnética
gerada por válvula magnetron operando na frequên-
cia f . Para que não haja transferência de radi-
ação do interior para o exterior, o diâmetro dos
furos deve ser muito menor que o comprimento de
onda da radiação. Assim, combinamos visualiza-
ção do interior com atenuação da radiação eletro-
magnética que "vaza" para o exterior. Suponhamos
que a trama da porta de um forno de micro-ondas
seja formada por furos circulares, dispostos con-
forme a geometria mostrada na �gura. A aten-
uação de amplitude de campo, em dB, da placa
de furos pode ser estimada1 por A = (A1 +A2)
dB, na qual A1 = 20 log
�
3PQ�0=
�
2�D3 cos (�i)
�	
;
A2 = 8; 686T (B1 �B2)1=2; B1 = [2�= (1; 706D)]2;
B2 = (2�=�0)
2; �0 é o comprimento de onda no vácuo
da onda eletromagnética; D é o diâmetro do furo; P
e Q são os passos (distância entre centros de buracos)
nas duas direções; T é a espessura da placa de metal
e �i é o ângulo de incidência. Calcular: (a) a atenu-
ação em dB para D = 2 mm; (b) a potência média,
em W, fora do forno para D = 2 mm e Pdentro = 400
W (desconsiderar efeito de re�exão de onda na inter-
face ar-placa de furos); (c) a atenuação em dB para
D ! 0 (emulando uma placa sem furos. Utilizar, por
exemplo, D = 10�3 mm). Dados: f = 2; 45 GHz
(comentários23); P = 4 mm; Q = 4 mm; T = 2; 5
mm; �i = 300.
1A expressão da atenuação de campo da placa com furos
é aproximada dada a di�culdade para a obtenção de solução
analítica exata . Este problema pode ser tratado por méto-
dos numéricos. A expressão utilizada fornece primeira aproxi-
mação para a solução da atenuação de campo entre o interior
do forno e o exterior. Esta expressão é baseada em radiação de
antena de fenda. Referência: T Ishii, Handbook of Microwave
Technology, 1a edição, Elsevier, ISBN 9780080962375, p. 261-
262.
2As frequências nesta faixa são usadas para radiação re-
strita e não precisam de licença para operação.
3Exercício adicional: As bandas A e B da telefonia celular
estão situadas na faixa de 830 MHz e as bandas C e D, em
1800 MHz. Se um celular ou notebook com acesso à rede sem
�o for colocado dentro do forno eles operarão normalmente?
1
Geometria de tampa de forno de micro-ondas.
1.1 Solução
O comprimento de onda no vácuo correspondente
a 2; 45 GHz é �0 = 0; 122 m. A atenuação é
A = 82; 6 dB (a). A atenuação determinada é a re-
lação em dB entre amplitudes de campo. Esta relação
é Efora=Edentro � TE = 10(�A=20) e TE � 74; 3 �
10�6. A relação entre potências é Pfora = T 2EPdentro.
Assim, a potência fora é Pf =
�
74; 3� 10�6
�2�400 e
Pfora � 2; 2� 10�6 W (b). Se consideramos D !
0 (emulando uma placa sem furos4), Pfora ! 0 W
(c). Comentário: Notar a e�ciência da placa com
furos em atenuar o sinal de dentro para fora do forno.
Assim, a placa cumpre bem as funções de atenuar o
sinal e de permitir a visualização. Um bom exercí-
cio é esboçar grá�cos alterando um de cada vez os
parâmetros da expressão de atenuação, como T , D,
P e Q.
2 Exposição de sistemas bi-
ológicos a radiação eletro-
magnética
A instituição ICNIRP (Comissão Internacional de
Proteção Contra as Radiações Não-Ionizantes) estip-
ulou os níveis de referência para exposição do público
4Note que D = 0; 1 mm já seria su�ciente para indicar que
a potência fora é nula. Alternativamente, analise o termo A1.
Nele, a atenuação varia inversamente a D3. Assim, Se D ! 0,
A1 !1.
em geral e ocupacional à radiação eletromagnética na
faixa de 400 a 2000 MHz em (f/200) W/m2 para
o primeiro grupo e (f/40) W/m2 para o segundo,
com f em MHz. Os pro�ssionais do setor de
manutenção do sistema de telecomunicações são con-
siderados público ocupacional.
Imagine que uma pessoa pertencente à categoria
público em geral está nas proximidades de uma es-
tação rádio base de telefonia móvel celular operando
em f = 1800 MHz. Nesta localização, a referên-
cia do ICNIRP é atendida exatamente. Considere
onda eletromagnética plana, polarizada perpendicu-
larmente ao plano de incidência e incidindo normal-
mente sobre a cabeça da pessoa considerada. O sis-
tema biológico da cabeça é simpli�cado e constituído
de apenas um material. Exatamente na superfície do
sistema biológico que faz fronteira com ar, a densi-
dade de potência é a estipulada pelo ICNIRP. São da-
dos do material biológico: permissividade dielétrica
relativa, "r = 38, e condutividade, � = 0; 75 S/m.
Determinar a densidade de potência, em W/m2, a 1
cm da superfície, dentro da região da cabeça.
2.1 Solução
Para público em geral a norma do ICNIRP es-
tipula Sref = f=200 = 1800=200 = 9 W/m2.
A permissividade relativa complexa é "rc =
"r [1� j�= (2�f"r"0)] = 38 � j7; 49. Temos que
k =
�
2�f=3� 1010
�p
"rc = 0; 228 + j2; 335 cm�1. A
densidade de potência à distância d = 1 cm é S (d) =
Sref � exp (�2kRd) = 9 � exp (�2� 0; 228� 1) e
S (d) = 5; 7 W/m2 . Comentários: A profundidade
de propagação é dp = 1=kR = 1=0; 228 = 4; 4 cm e a
correspondente densidade de potência é S (dp) = 1; 2
W/m2.
3 Propagação de onda em
metal
Uma onda plana de frequência f = 825 MHz (na
faixa da banda A da telefonia celular) penetra em
região de alumínio ("r = 1, �r = 1 e condutividade
� = 3; 8 � 107 S/m). Calcular a profundidade de
2
penetração no alumínio.
3.1 Solução
A permissividade relativa complexa é "rc =
"r [1� �= (2�f"r"0)]. O vetor propagação é k =
j
�
2�f=
�
3� 108
��p
"rc = kR + jkI . A constante
de atenuação é Re(k) = kR. A profundidade de
penetração é dp = 1=kR. Substituindo os valores,
"rc = 1� j8; 28� 108; k = (3; 52 + j3; 52)� 105 m�1;
kR = 3; 52� 105 m�1; dp = 2; 84� 10�6 m .
4 Aeronave e caixa-preta
As aeronaves são equipadas com dispositivos
gravadores de conversação, o cockpit voice recorder
(CVR), e gravadores de dados, o �ight data
recorder (FDR). Popularmente conhecidos como
caixas-pretas, podem ser fabricados separadamente
ou em montagem única. Os dados e conversações
registrados são úteis para auxiliar a determinação de
causas de acidentes. Acoplado às montagens há um
dispositivo, o underwater locator beacon (ULB) ou
emergency locator pinger (ELP), que ao entrar em
contato com água emite onda mecânica na faixa de
25 a 54 kHz (ultrassom)5 . Geralmente, o ULB opera
com bateria alcalina ou de lítio, capaz de emitir por
até 30 dias um pulso por segundo de largura 5 ms,
dependendo da potência acústica, que pode variar en-
tre 0,125 (162 dB) e 8 W (180 dB6). Os sinais emi-
tidos pelo ULB submerso podem ser detetados por
cerca de 4 km. Utilizamos ondas mecânicas porque
a água do mar ("r = 81; �r = 1; � = 4 S/m) atenua
a onda eletromagnética. Sistemas de comunicação
por onda eletromagnética utilizam antenas, cujas di-
mensões são proporcionais ao comprimento de onda.
Sendo assim, considere um sistema hipotético de co-
municação por onda eletromagnética que opera em
27 kHz7 . O campo elétrico na superfície da água do
mar é 100 V/m. Os campos elétrico e magnético
da onda plana que se propaga no mar na direção
5Para saber detalhes, consultehttp://www.benthos.com.
6potência acústica de referência: 1 �Pa @1m.
7 é frequência muito baixa, resultando em antenas longas e
baixa taxa de transmissão de bit.
bz são E(z) = bxE0 exp (�kRz) exp (�jkIz) V/m e
H(z) = by (E0= j�j) exp (�j�) exp (�kRz) exp (�jkIz)
A/m, nas quais � =
p
�=" = j�j exp (j�) ohm,
k = j!
p
�" = kR+ jkI m�1, " = "r"0� j�=! F/m e
� = �0 H/m. Calcular: (a) A profundidade de pene-
tração da onda eletromagnética na água do mar; (b)
a densidade de potência na superfície da água, z = 0,
e na profundidade 4 km.
4.1 Solução
A permissividade complexa do meio dissipativo é "c =
7; 17� 10�10 � j2; 36� 10�5 F/m; k = 0; 65 + j0; 65
m�1; j�j = 0; 23 ohms; � = 450; dp = 1=Re(k)
e dp = 1; 53 m (a). A densidade de potência mé-
dia é Sm =
�
E20= (2 j�j)
�
exp [�2� Re(k)� z] cos (�)
W/m2, na direção bz. Em z = 0 Sm = 1; 53 �
104W/m2 e em z = 4000 m, Sm = 0 (b).
5 Propagação em solo
Em 2010, um desabamento de terra na mina de co-
bre e ouro San José, no deserto do Atacama, norte do
Chile, resultou em 33 mineiros presos em uma câmara
a 688 metros de profundidade. Depois de vários dias
incomunicáveis, os mineiros passaram a se comunicar
com o exterior por voz e vídeo graças a um sistema de
comunicação por �bra óptica. Suponhamos que hou-
vesse um sistema de comunicação via rádio operando
em frequência f e interligando a superfície com a câ-
mara onde os mineiros estavam via solo. O solo do
deserto do Atacama é caracterizado por ("r, �r, �)
e a onda é polarizada perpendicularmente ao plano
de incidência e se propaga verticalmente em direção
à câmara. Dados f = 100 kHz; "r = 10, �r = 1,
� = 0; 002 S�m�1; Srec = 10�12 W�m�2; fcel = 850
MHz; E0 = 10 V�m�1. (a) Se a densidade de potên-
cia média a 688 metros da superfície (mas ainda no
solo) deve ser Srec para que o sistema de comuni-
cação opere adequadamente, calcular o valor da den-
sidade de potência média na superfície (z = 0, ainda
no solo); (b) Considere agora a situação em que há
tentativa de estabelecer comunicação via sistema de
telefonia celular operando em fcel através do solo. Se
3
a amplitude máxima do campo elétrico (em z = 0) é
E0, calcular a densidade de potência na profundidade
igual à profundidade de penetração e a 688 metros de
profundidade.
5.1 Solução
A permeabilidade dielétrica complexa é " = "r"0 �
j�=! F�m�1; a impedância intrínseca do solo é
Z0 =
p
�=" = jZ0j\� 
 e k = j!
p
�" = kR +
jkI m�1. A profundidade de penetração é dp =
1=kR m. O valor médio do vetor de Poynting de
onda propagando em meio dissipativo é < S >=�
E20=2 jZ0j
�
cos (�) exp (�2kRz) bz W�m�2. Em z = 0,
< S0 >=
�
E20=2 jZ0j
�
cos (�) bz W�m�2 e em z � d =
688 m é < S688 >=
�
E20=2 jZ0j
�
cos (�) exp (�2kRd) bz
W�m�2. A relação entre as duas densidades é <
S0 >= exp (2kRd) < S688 >. Substituindo os valores
para f = 100 kHz, " = 8; 85� 10�11 � j3; 18� 10�9
F�m�1, k ' 0; 028(1 + j) m�1, Z0 = 14; 21 + j13; 9
ou Z0 = 19; 9\44; 20 
, < S0 >= 36; 3 kW�m�2
(a). Para fcel = 850 MHz, a profundidade de pen-
etração é dp = 8; 4 m, < Sdp >= 57 mW�m�2 e
< S688 >= 0 kW�m�2 (b).
6 Bloqueio de onda eletromag-
nética
O sistema carcerário brasileiro utiliza equipamento
tornozeleira eletrônica para monitorar a localização
de setenciados. Em geral, o serviço de monitoração
é prestado por empresas privadas. Um dos sistemas
utilizados opera da seguinte maneira: a tornozeleira
eletrônica recebe sinal de localização via global po-
sitioning system (GPS) e envia os dados de localiza-
ção para os servidores da empresa via rede de tele-
fonia celular utilizando sistema general packet radio
services (GPRS). Esses sistemas também permitem
programar as coordenadas das localizações permiti-
das para moradia e deslocamentos. O equipamento
é dotado de esquemas de segurança, como ativação
de alarme luminoso e sonoro. O alarme luminoso é
ativado em situações como ausência de comunicação
GPRS, ausência de sinal de GPS, chamada de con-
tato para o supervisor e nível de bateria baixo. O
sinal sonoro é ativado em situações como movimento
sem GPS, nível de bateria baixo, descumprimento das
regras de áreas de inclusão e exclusão e indicação de
chamada de contato para o supervisor. Em todas
essas situações a central de monitoração é acionada
com comunicação às autoridades carcerárias em casos
de violação da legislação. O sistema GPS opera com
satélites em órbita de 20.200 km e em 5 frequências,
sendo a mais alta (L1) 1575; 42 MHz e a mais baixa
(L5), 1176; 45 MHz. A potência de sinal recebido
na superfície da Terra na frequência L1 é de aprox-
imadamente �125 dBm8 , medido em campo aberto
(sem obstáculos, outdoor). Receptores GPS de alta
sensibilidade (mínima potência detectável) operam
com potência �160 dBm. O sistema de transmis-
são/recepção GSM/GPRS/EDGE de uma determi-
nada operadora utiliza a frequência 1800 MHz. Os
receptores GPRS exibem sensibilidade (mínimo sinal
detectável) de �80 dBm. Vamos considerar que a
potência radiada pela antena do site e recebida no
receptor da tornozeleira é 0 dBm. O transmissor do
equipamento GSM/GPRS transmite com potência de
aproximadamente 200 mW (23 dBm).Recentemente,
jornais e revistas veicularam notícias sobre esque-
mas e tentativas de burlar a monitoração por meio
de tornozeleiras eletrônicas. A técnica divulgada
é cobrir a tornozeleira eletrônica por uma ou mais
camadas de folhas de aluminio ("r = 1; �r = 1;
� = 3; 5 � 107 S�m�1) vendidas para uso doméstico,
cuja espessura varia entre 0; 06 mm e 0; 2 mm.
Sendo assim, considere9 que
1. uma simpli�cação da operação dos sistemas com-
erciais descrita no texto;
2. o aprisionado está em área outdoor;
3. o aprisionado está utilizando esta técnica de
burla sem qualquer conhecimento técnico (utiliza
aleatoriamente uma ou mais camadas de papel
alumínio);
8Seja 10 log(P2=P1) a relação entre 2 potências em decibel
(dB). Se P1 = 1 mW, então a potência P2 é dada em decibel
miliwatt (dBm).
9Estas simpli�icações são feitas para tornar a solução uma
avaliação do problema. Não é a única solução.
4
4. a perda de sinal GPS e GPRS ocorre quando a
potência de sinal está imediatamente abaixo da
sensibilidade descrita neste texto; e
5. a onda incide perpendicularmente na interface
ar-alumínio.
A pergunta é: envolver a tornozeleira eletrônica
com uma ou mais camadas de papel alumínio de es-
pessura 0; 06 mm burla o esquema de segurança?
Atenção: justi�que detalhadamente a resposta. É um
estudo de engenharia que exige números e demon-
stração cabal da resposta. Considere todas as situ-
ações possíveis, incluindo os sistemas GPS e GPRS,
e o sistema de segurança de monitormento referente
a alarmes de perda de sinais descrito neste texto. Se
a sua resposta considerar várias camadas, suponha,
para simpli�car, que não há camada de ar entre as
folhas, mas somente interface externa ar-alumínio e
interface alumínio-ar imediatamente próxima da su-
perfície externa da tornozeleira.
Dica: Divida o problema em duas partes. Uma com
referência ao problema eletromagnético, incluindo re-
�exão em interface, atenuação etc; outra com refer-
ência ao esquema de segurança do sistema, incluindo
perda de sinais, alarmes, etc.
6.1 Solução
Vamos dividir o problema em duas partes: (1) o
problema eletromagnético e (2) o problema do sis-
tema comercial de monitoramento. Por sua vez,
o problema eletromagnético será dividido em três
partes: (1) recepção do sinal GPS; (2) recepção do
sinal GPRS; e (3) transmissão do sinal GPRS. Con-
siderando uma folha de papel alumínio de 0; 06mm de
espessura, há duas interfaces: ar-alumínio e alumínio-
ar. Portanto, o problema eletromagnético inclui re-
�exão e transmissão em duas interfaces e propagação
em meio dissipativo (folha de alumínio), que implica
atenuação.
6.1.1 O problema eletromagnético
A �gura mostra a relação entre as potências nas
interfaces e no material dissipativo. A potência
P1 incidente normalmente na interface ar-alumínio.
A potência associada à onda transmitida para o
meio dissipativo é P2 = P1
�
1� jRj2
�
exp (�2z=�).
Para z = 0, P2 = P1
�
1� jRj2�
. Após a onda
percorrer a distância t (espessura de uma folha
de papel alumínio, t = 0; 06 mm) a potência é
P3 = P1
�
1� jRj2
�
exp (�2t=�), que é a potência
associada à onda incidente na interface alumínio-
ar. A potência transmitida para o ar é P4 =
P1
�
1� jRj2
�2
exp (�2t=�) W, nas quais R é o co-
e�ciente de re�exão e � é a profundidade de pen-
etração. Como o alumínio é bom condutor, a sua
impedância intríseca é �al = (1� j) = (��) ohm e
� = (�f��)
�1=2, na qual f é a frequência de op-
eração. O coe�ciente de re�exão na interface é
R = (�al � �0) = (�al + �0), na qual �0 = 377 ohm
é a impedância intrínseca do ar.
Propagação de onda eletromagnética em interfaces
ar-metal.
Cálculo da potência recebida pelo receptor
GPS da tornozeleira Substituindo os valores
para f = 1575; 42 GHz resulta em �al = 13; 3483 �
10�3(1 + j) ohm; � = 2; 1405 � 10�6 m; R =
�0; 999929 + 70; 8 � 10�6 e jRj = 0; 999929. Cal-
culando as potências com 6 casas decimais para P1 =
�125 dBm resulta em P2 = �163; 5 dBm; P3 = �407
dBm; P4 = �445; 5 dBm. Como a sensibilidade do
5
receptor GPS é �160 dBm, o sinal recebido após
sofrer duas re�exões e ser atenuado pela folha de
alumínio é �445; 5 dBm, potência muito menor que
a mínima detectável. A diferença entre as duas é
A = �125 � (�445; 5) = 320; 5 dB. Notar que a re-
�exão na 1a interface, resultando em P2 = �163; 5
dBm, é responsável por "matar" o sinal GPS.
Cálculo da potência recebida pelo recep-
tor GSM/GPRS/EDGE Substituindo os valores
para f = 1; 8 GHz para potência recebida P1 = 0
dBm resulta em �al = 14; 268 � 10�3(1 + j) ohm;
� = 2; 003�10�6 m; R = �0; 999924+75; 69�10�6 e
jRj = 0; 999924. Calculando as potências para P1 = 0
dBm resulta em P2 = �38; 2 dBm; P3 = �298; 5
dBm; P4 = �336; 7 dBm. Como a sensibilidade do
receptor GPRS é �80 dBm, o sinal recebido após
sofrer duas re�exões e ser atenuado pela folha de
alumínio é �336; 7 dBm, potência muito menor que
a mínima detectável. A diferença entre as duas é
A = �336; 7 � 0 = 336; 7 dB. Apenas a re�exão na
1a interface, resultando em P2 = �38; 2 dBm, é re-
sponsável por "matar" o sinal GSM/GPRS/EDGE.
Cálculo da potência transmitida pelo trans-
missor GSM/GPRS/EDGE Substituindo os
valores para f = 1; 8 GHz para potência transmi-
tida P1 = 23 dBm (200 mW) resulta em P2 = �15; 2
dBm; P3 = �275; 4 dBm; P4 = �313; 6 dBm. Mesmo
o sinal com esta potência é bloqueado por uma folha
de papel alumínio, pois a diferença entre as duas é
A = 23 � (�313; 6) = 336; 6 dB. Embora a sensi-
bilidade do receptor do site não tenha sido dada, a
atenuação é muito elevada. Conclusão parcial (prob-
lema eletromagnético): "Embrulhar" a tornozeleira
com folha de papel alumínio comercial bloqueia tanto
o sinal de GPS quanto o de GSM/GPRS. Ao inter-
rogar o receptor da tornozeleira a central não recebe
resposta porque o sinal site-tornozeleira é bloqueado
pela folha de alumínio. Se o aparelho estiver local-
izado mais distante da central a potência do sinal
GSM/GPRS é maior e talvez seja necessário mais de
uma folha de alumínio para bloquear o sinal.
6.1.2 O problema do sistema comercial de
monitoramento
Como a central não recebe os sinais, o sistema emite
alarme de situação anormal.
Conclusão "Embrulhar" a tornozeleira com folha
de papel alumínio comercial bloqueia os sinais GPS
e GSM/GPRS, sendo a re�exão na interface ar-
alumínio o fator preponderante. Entretanto, diante
da perda de sinal de comunicação o esquema de se-
gurança emite alarme de situação anormal e a burla
é frustrada .
6