2- Conceitos básicos de simetria e cristalografia

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Conceitos básicos de 
simetria e cristalografia
Prof. Pedro Rosa
pedro.rosa.geo@gmail.co
Sala 2039 - IGC
Universidade Federal de Minas Gerais
Departamento de Geologia
GEL054 – Introdução ao Estudo dos Minerais
Química
Belo Horizonte
Abril de 2022
2
Esfalerita
▪ Sólido homogêneo
▪ Ocorrência natural
• Processos geológicos
▪ Arranjo atômico ordenado
▪ Composição química definida 
(comumente não fixa)
• 5794 espécies descritas 
(até março de 2022)
O que é mineral?
Uvarovita
Ordenamento periódico dos átomos
Estrutura cristalina
Quartzo
(SiO2)
Vidro
(SiO2)
O que é ordem?
O que é ordem?
O que encontramos na ordem?
Repetição e simetria!
O que encontramos na ordem?
Repetição e simetria!
Simetria nos cristais
• Um objeto é considerado simétrico quando possui partes que são a repetição 
sistemática de outras
• A forma externa dos cristais reflete seu arranjo atômico ordenado e serão delimitados 
por faces lisas e planas quando houver condições favoráveis
Diamante (C) Fluorita (CaF2) Magnetita (Fe3O4)
Tema principal e/ou 
recorrente que 
estabelece um padrão
Motivo
“All in all you're just another brick in the wall”
Como formar um padrão?
Como formar um padrão?
Retículo de pontosMotivo Retículo cristalino
+ =
Um mesmo 
motivo 
pode gerar 
diversos 
padrões 
diferentes 
Simetria
Cristalografia
Descrição de cristais
▪ Ciência que estuda o arranjo atômico dos materiais sólidos
▪ Minerais, metais, cerâmicas, ácidos, carboidratos, proteínas
Cristais = do grego do grego “krústallos” = gelo
▪ Significado original associado ao quartzo 
(SiO2), que os filósofos da Grécia antiga 
acreditavam tratar-se de água congelada 
sob temperaturas muito baixas
Estrutura cristalina
Cela unitária é a menor 
parte de uma estrutura 
(motivo) que pode ser 
repetido infinitamente 
para gerar a estrutura 
inteira
Retículo cristalino é um 
padrão imaginário de 
pontos (ou nós) no qual 
cada ponto tem um 
ambiente idêntico àquele 
de qualquer outro ponto 
do padrão
O2- Si4+
Cela unitária
4,9 Å
1 Å = 10-10 m
Quartzo
SiO2
Cristal
▪ Desenvolvimento de faces cristalinas
▪ Comportamento isótropo ou anisótropo (clivagem, coeficientes de dilatação, 
condução térmica, transmissão e absorção de luz, etc);
▪ Simetria!
• Interna (retículo cristalino)
• Externa (formas cristalinas)
Muscovita (KAl2AlSi3O10(OH)2)
Elementos geométricos
Cristais são formados (limitados) por faces, arestas e vértices (além dos 
ângulos que formam as estruturas cristalinas)
Padrões de repetição ordenada de suas partes semelhantes: o mecanismo 
responsável por esta repetição denomina-se operação de simetria através de 
elementos de simetria.
▪ Elementos de simetria: plano (m), eixo (A), ponto (i)
Simetria
Operadores de simetria
Rotação InversãoReflexãoTranslação
Um determinado motivo é repetido por translações sucessivas em uma, duas 
ou três direções não paralelas
Translação
Translação
Translação 
Cada direção de translação é identificada por 
um vetor de translação, que define a orientação
e o módulo (= dimensão, distância) da operação. 
• Uma direção : vetor t1, com módulo a = 
retículo linear;
• Duas direções : vetores t1 e t2, com módulos 
a e b e ângulo γ entre eles = retículo planar
• Três direções: vetores t1, t2 e t3, com 
módulos a, b e c e ângulos entre vetores α, β
e γ = retículo espacial
Translação
Retículo de pontosMotivo
+ =
Retículo cristalino
O menor pedaço de um 
retículo que reproduz o 
retículo inteiro por 
translações sucessivas 
paralelas às suas arestas
• Funcionam como um 
“código genético”, que 
permite reconstituir as 
características do retículo 
sem ter que recorrer à 
análise de porções 
extensas do mesmo.
Cela unitária
O menor pedaço de um 
retículo que reproduz o 
retículo inteiro por 
translações sucessivas 
paralelas às suas arestas
Cela unitária
Existem 5 formas possíveis de celas bidimensionais
Nós da cela Unitária: correspondem aos 
pontos equivalentes que foram selecionados 
para servir de vértices da cela. Além dos nós 
nos vértices, podem haver nós no centro e nas 
faces da cela
Critérios para a definição da cela unitária 
(Donnay 1943):
▪ Seus vértices devem coincidir, sempre que 
possível, com algum dos eixos de simetria 
presentes no retículo;
▪ Se possível, estes vértices devem estar 
relacionados através da simetria do retículo;
▪ Deve-se escolher a menor cela que preencha os 
requisitos anteriores (a e b).
Cela unitária
As informações contidas na Cela Unitária:
• dimensões a, b e c das suas arestas 
(= módulos de t1, t2 e t3);
• ângulos entre as arestas α, β e γ
(orientação espacial dos vetores de 
translação);
• Note que a^b = γ, a^c = β, b^c = α
• número de nós (= fator de 
multiplicidade);
• elementos de simetria;
• simetria do motivo, e 
• simetria do retículo
Cela unitária
• P (primitivas) – nós só nos vértices 
conteúdo em nós = 1
• I (de corpo centrado) – nós no 
centro da cela e nos vértices 
conteúdo em nós = 2 
• F (de faces centradas) – nós no 
centro das faces e nos vértices 
conteúdo em nós = 4
• A, B ou C – nós no centro de um par 
de faces (pinacóide) e nos vértices 
conteúdo em nós = 2
Cela unitária
8 x 
1
8
= 1
8 x 
1
8
+ 1 = 2
(8 x 
1
8
) + (6 x 
1
2
) = 4
Considerando apenas a translação de pontos, há 14
combinações espaciais possíveis variando os 
parâmetros lineares e angulares
Estas combinações são representados pelas suas 
celas unitárias, conhecidas como celas de Bravais.
Tipos de celas: 
• P = primitiva
• I = de corpo centrado
• C = centrado lateralmente (em A, B ou C)
• F = de face centrada (todas as faces)
• R = romboédrica
Celas de Bravais
Outras operações de simetria
Transforma o motivo em seu simétrico 
através de um plano de reflexão (m) 
Reflexão 
Um objeto (ou 
cristal) pode ter 
muitos planos 
de reflexão
w
w
w
.m
in
so
ca
m
.o
rg
/m
sa
/D
G
T_
Fi
gu
re
s/
C
h
ap
te
r1
2
.h
tm
l
Translação + reflexão
O motivo é rotado em torno de um eixo (A)
imaginário que intercepta o centro do 
cristal, repetindo n vezes em uma rotação 
completa.
• O número de repetições por volta é 
chamado ordem.
Rotação
Ordem 1
360°
Ordem 2
180°
Ordem 3
120°
Ordem 4
90°
Ordem 6
60°
w
w
w
.m
in
so
ca
m
.o
rg
/m
sa
/D
G
T_
Fi
gu
re
s/
C
h
ap
te
r1
2
.h
tm
l
Não formam padrões contínuos!
E eixos de rotação 5 ou >6??
Transforma um ponto no seu simétrico 
em relação a um centro de simetria (i)
Inversão
w
w
w
.m
in
so
ca
m
.o
rg
/m
sa
/D
G
T_
Fi
gu
re
s/
C
h
ap
te
r1
2
.h
tm
l
Combinação das operações de rotação e 
inversão realizada por um eixo impróprio (തA)
• Primeiro aplica-se a operação de rotação 
por meio de um eixo e depois a inversão 
por meio de um centro de simetria
• Alguns operações realizadas por eixos 
impróprios podem resultar em operações 
iguais a de outros elementos combinado
Rotoinversão
Eixos impróprios
• Eixo impróprio de ordem 1 = centro de simetria (തA1 = i)
Rotoinversão – ordem 1
www.minsocam.org/msa/DGT_Figures/Chapter12.html
• Eixo impróprio de ordem 2 = plano de simetria (തA2 = m)
Rotoinversão – ordem 2
www.minsocam.org/msa/DGT_Figures/Chapter12.html
• Eixo impróprio de ordem 3 = eixo de ordem 3 + centro de simetria (തA3 = A3 + i)
Rotoinversão – ordem 3
www.minsocam.org/msa/DGT_Figures/Chapter12.html
Rotoinversão – ordem 4
www.minsocam.org/msa/DGT_Figures/Chapter12.html
• Eixo impróprio de ordem 6 = eixo de ordem 3 perpendicular a um plano 
de simetria (തA6 = A3 / m)
Rotoinversão – ordem 6
www.minsocam.org/msa/DGT_Figures/Chapter12.html
Os 10 elementos básicos de simetria:
• A1, A2, A3, A4, A6
• തA1 (= i), തA2 (= m), തA3 (=A3+i), തA4, തA6 (=A3/m)
Combinaçõesem que 3 ou mais desses elementos passam 
por um centro de simetria (i) são suficientes para 
descrever a simetria externa de qualquer cristal existente
As combinações possíveis dos elementos de simetria 
(eixos, planos, centros) não é ilimitada: há somente 32 
combinações possíveis: 
• 32 classes cristalinas (grupos pontuais)
• Muitas combinações são duplicatas de outras
Combinação dos elementos de simetria
É o conjunto de todos os elementos de simetria de um cristal.
Grau de simetria
a
c
b
a = b ≠ c
α = β = γ = 90°
É o conjunto de todos os elementos de simetria de um cristal.
Grau de simetria
a
c
b
a = b ≠ c
α = β = γ = 90°
Grau de simetria
É o conjunto de todos os elementos de simetria de um cristal.
a
c
b
a = b ≠ c
α = β = γ = 90°
Grau de simetria
É o conjunto de todos os elementos de simetria de um cristal.
a
c
b
a = b ≠ c
α = β = γ = 90°
Grau de simetria
É o conjunto de todos os elementos de simetria de um cristal.
a
c
b
a = b ≠ c
α = β = γ = 90°
Grau de simetria
É o conjunto de todos os elementos de simetria de um cristal.
a
c
b
a = b ≠ c
α = β = γ = 90°
Grau de simetria
É o conjunto de todos os elementos de simetria de um cristal.
a
c
b
a = b ≠ c
α = β = γ = 90°
Grau de simetria
1A4, 4A2, 5m, i
É o conjunto de todos os elementos de simetria de um cristal.
a
c
b
a = b ≠ c
α = β = γ = 90°
Grau de simetria
Um mesmo conjunto de simetria pode ser aplicado em várias 
formas cristalinas
1A4, 4A2, 5m, i
Grau de simetria
1A2
1A2, m, i
1A4, 4A2, 5m, i
3A4, 6A2, 4Ā3, 9m, i
3A2, 3m, i
Há 32 combinações possíveis de 
simetria para os cristais, chamadas de 
classes cristalinas ou grupo pontuais
As 32 classes cristalinas 
As 32 classes cristalinas
Trigonal
Hexagonal
Isométrico
Usada para projetar cristais de três dimensões em um plano
Projeções estereográficas
Projeções estereográficas
Projeções estereográficas
1A2 1A2, m, i
1A4, 4A2, 5m, i3A2, 3m, i 1Ā4
i
Projeções estereográficas
1A6, 6A2, 7m, i
3A3, 4Ā3, 6m
1Ā3, 3A2, 3m 
Projeções estereográficas das 32 classes 
cristalinas divididas nos 7 sistemas 
cristalinos
Projeções estereográficas
A
rrib
as et a
l.(2
0
1
4
)
• Klein, C. & Dutrow, B. 2011. Manual de Ciência dos Minerais. 23ª Ed. Capítulo 6, 7, 8 e 9
• Nesse, 2016. Introduction to Mineralogy. 3th. Capítulo 2
• Curso de mineralogia da Universidade de Tulane, Prof. Stephen A. Nelson. Elements of Crystal Symmetry 
www.tulane.edu/~sanelson/eens211/introsymmetry.ht
• Arribas, V.; Casas, L.; Estop, E.; Labrador, M. 2014. Interactive PDF files with embedded 3D designs as support
material to study the 32 crystallographic point groups. Computers & Geosciences 62:53-61. 
https://doi.org/10.1016/j.cageo.2013.09.004
Sites de visualização
• Teaching Mineralogy, Symmetry Elements: 
https://serc.carleton.edu/NAGTWorkshops/mineralogy/xtlsymmetry/elements.html
• Interactive Mineralogy Illustrations, Chapter 11 e 12 – Symmetry: 
http://www.minsocam.org/msa/DGT_Figures/Chapter11.html
http://www.minsocam.org/msa/DGT_Figures/Chapter12.html
• Mllopis gemologia, Cristalografía y minerales: https://gemologiamllopis.com/cristalografia/#a
• Smorf crystal models: https://www.smorf.nl/index.php
Referências 
https://serc.carleton.edu/NAGTWorkshops/mineralogy/xtlsymmetry/elements.html
http://www.minsocam.org/msa/DGT_Figures/Chapter11.html
http://www.minsocam.org/msa/DGT_Figures/Chapter12.html
https://gemologiamllopis.com/cristalografia/#a
https://www.smorf.nl/index.php
Escher (1947)
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