Resumo Experimentação - Análise de Regressão

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ANÁLISE DE REGRESSÃO 
Análise de regressão na experimentação é uma técnica estatística que busca entender e modelar a 
relação entre uma variável dependente e uma ou mais variáveis independentes, permitindo fazer 
previsões e inferências sobre os efeitos dessas variáveis na variável de interesse. 
Esperamos dela a normalidade, ou seja, que o resíduo permaneça próximo a 0. Vejamos o passo a passo 
de uma análise de regressão. 
CACÚLO DE UMA ANÁLISE DE REGRESSÃO 
Vejamos uma análise de regressão com 3 graus, ou seja, uma regressão cubica, temos os dados na tabela 
abaixo da altura de plantas de milho com diferentes doses de nitrogênio. 
 
BLOCOS 
 
DOSES (N) I II III IV TOTAL N 
0 1,729 1,734 1,736 1,746 6,945 
25 1,751 1,760 1,762 1,772 7,045 
50 1,767 1,768 1,776 1,779 7,090 
75 1,776 1,780 1,781 1,782 7,119 
100 1,779 1,786 1,794 1,795 7,154 
125 1,776 1,778 1,784 1,790 7,128 
150 1,767 1,768 1,772 1,772 7,079 
Total Blocos 12,345 12,374 12,405 12,436 49,560 
 
O cálculo do ANOVA será procedido normalmente, neste caso não há subparcelas, logo teremos uma 
tabela de análise de variância no delineamento em blocos casualizados: 
FV GL SQ QM F 
BLOCO 3 0.00066 0.00022 31.42** 
TRATAMENTO 6 0.00721 0.0012 171.42** 
RESÍDUO 18 0.00013 0.000007 
TOTAL 27 0.008 
 (3,18) = 3.16 e 5.09 
(1,18) = 4.41 e 8.29 F tabelado a 5% e 1 % respectivamente 
(6,18) = 2.66 e 4.01 
 
GRAUS DE LIBERDADE (N – 1) 
Temos 4 blocos, 7 níveis de tratamento e 
28 tratamentos no total, pois 4 x 7 = 28 
 
𝑆𝑄
𝐵𝑙𝑜𝑐𝑜𝑠= 
12,3452+12,3742+⋯12,4362 
7
− 
49.5602
28
 
 
 
 
Nas demais somas de quadrados proceder da mesma 
maneira, alterando apenas os valores somados da 
primeira equação e a divisão, lembre-se que neste 
caso se utilizamos os valores da linha para somatória, 
devemos dividi-lo pelo número de níveis da coluna e 
vice e versa, como no exemplo. 
Na SQ total utilize a soma quadrática de todos os 28 
valores e subtraia pela mesma 2° equação. 
O SQ resíduo é obtido por diferença da mesma 
maneira que o resíduo A de parcelas subdivididas. 
ANOVA SIGNIFICATIVO 
Como a análise de variância foi altamente significativa para ambos os casos (blocos e tratamento) 
procedemos com a regressão, que neste caso é do tipo cubica, então teremos 3 graus sendo analisados, 
vejamos o passo a passo para realizar a regressão. 
CALCULO DOS CONTRASTES 
A primeira coisa a se fazer é o calculo dos contrastes (Y) que será feito da seguinte forma. Na tabela 2, 
onde constam os números referentes ao 1°, 2° e 3° grau devemos multiplicamos pelos nossos totais de 
doses de nitrogênio que se encontram na coluna totais de N em nossa tabela 1. 
*IMPORTANTE: NA MULTIPLICAÇÃO DOS CONTRASTES DEVE-SE CONSIDERAR OS SINAIS DOS 
NUMEROS DA TABELA 2. 
 
DOSES Y1 Y2 Y3 
0 -20,835 34,725 -6,945 
25 -14,09 0 7,045 
50 -7,09 -21,27 7,09 
75 0 -28,476 0 
100 7,154 -21,462 -7,154 
125 14,256 0 -7,128 
150 21,237 35,395 7,079 
TOTAL Ŷ 0,632 -1,088 -0,013 
*formulas utilizadas na análise de variância II 
Com esses valores da tabela 3 é possível realizar uma nova analise de variância dessa vez dentro das 
regressões, vejamos: 
 
GL SQ QM F 
RL 1 0,003566 0,003566 509,43** 
RQ 1 0,003523 0,003523 503,29** 
RC 1 0,000007 0,000007 1 ns 
DR 3 0,0000114 0,000038 5,43** 
RESÍDUO 18 0,00013 0,000007 
 
* Como o valor da regressão cubica não apresentou resultados significativos a descartamos. 
 GRAU 1 GRAU 2 GRAU 3 
-3 5 -1 
-2 0 1 
-1 -3 1 
0 -4 0 
1 -3 -1 
2 0 -1 
3 5 1 
K 28 84 6 
M 1 1 1/6 
Construiremos uma tabela baseada no principio que 
cada total de tratamento (DOSE DE N) deve ser 
multiplicado pelos números da tabela ao lado. Por 
exemplo, o primeiro número 6,945 deve ser 
multiplicado por -3, 5 e -1, o segundo 7,045 deve ser 
multiplicado por -2, 0 e 1; e assim por diante. Os 
resultados dessas multiplicações estarão nas suas 
respectivas linhas da nossa tabela número 3 que está 
exemplificada abaixo. 
 
𝑆𝑄 = 
 Ŷ2
𝐽 𝑥 𝐾 
 
J = N° de repetições ou 
bloco 
K = presente na tabela 2 
Ŷ = total de contrastes 
𝑆𝑄𝑑𝑟 = 𝑆𝑄 𝑡𝑟𝑎𝑡𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 − (𝑆𝑄𝑅𝐿 + 𝑆𝑄𝑅𝑄 + 𝑆𝑄𝑅𝐶 
DR ou desvio da 
regressão 
Nada mais é do que 
um “resíduo” como 
não podemos alocar 
os outros 3 graus de 
liberdade de 
tratamento dentro das 
regressões, o que 
sobrar fica no DR 
TESTE R 
Agora, após realizar a anova e ao menos uma das regressões apresentarem resultados significativos 
para obter os resultados finais será necessário fazer o teste R, basta aplicarmos a formula a seguir. 
𝑅 = 
Σ 𝑆𝑄 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠 
𝑆𝑄 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑡𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 
 → 𝑅 = 
0.003566 + 0.003523 
0.00721 
 = 0.9832 
O resultado do teste F é dado por porcentagem, e sua interpretação é a seguinte. 98% dos resultados da 
análise de regressão podem ser explicados pela variação dos tratamentos, os outros 2% podem ser fruto 
do efeito aleatório, aquilo que não controlamos. 
AJUSTE DO MODELO 
No contexto da regressão, o ajuste de modelo envolve a escolha dos coeficientes que melhor 
representam a relação entre a variável dependente e as variáveis independentes. Por exemplo, na 
regressão linear, é necessário encontrar os valores dos coeficientes angular e linear que minimizam a 
soma dos quadrados dos erros entre os valores observados e os valores previstos. 
A formula para calcular o ajuste de modelo é a seguinte: 
𝑌 = Ŷ + (B1 x M1 x P1) + (𝐵2 × 𝑀2 × 𝑃2) 
 
Após obter o resultado de Y precisamos deriva-lo lembre – se da regra de derivação representada a 
seguir: 
𝑥 = 𝐴 𝑥𝑏 𝑑𝑥 = 𝐴 × 𝑏 𝑥𝑏−1 
 
 
 
 
Onde Ŷ é a média de todos os valores 
de tratamento, como no exemplo 
teríamos: 
Ŷ = 
49.560
28
 = 1.770 
 
B1 e B2 onde o Y representa os totais 
obtidos na tabela 3 (0,632 e -1,088) 
com o respectivo sinal 
B1 =
Ŷ1
𝐽 × 𝐾
 B2 =
Ŷ2
𝐽 × 𝐾
 
 
 𝑃2 = 𝑥2 − 
𝑛2−1
12
 n = número de níveis de tratamento (no exemplo = 7) 
𝑃1 = 𝑥 �̅� = todas as doses de N somadas divididas pelo número de níveis 
𝑥 = (
𝑥−�̅�
𝑞
) q = intervalo entre os níveis de tratamento nesse caso é 25 
M1 e M2 estão 
representados 
na tabela 
numero 3 
M = 1