Questões resolvidas
Para verificar se duas retas são reversas, é necessário verificar se seus vetores diretores são opostos. Para verificar se as retas são coplanares, é necessário verificar se seus vetores diretores são paralelos e se elas passam pelo mesmo plano.
a) As retas r e s têm vetores diretores iguais a (1, 2, 3). Como eles não são opostos, as retas não são reversas. Para verificar se são coplanares, podemos verificar se os vetores que ligam um ponto da reta r a um ponto da reta s são paralelos. Tomando o ponto P1 = (1, 4, 4) em r e o ponto P2 = (2, 6, 7) em s, o vetor que liga esses pontos é (1, 2, 3). Portanto, as retas são paralelas e coplanares.
b) As retas r e s têm vetores diretores iguais a (2, 1, 1). Como eles não são opostos, as retas não são reversas. Para verificar se são coplanares, podemos novamente verificar se os vetores que ligam um ponto da reta r a um ponto da reta s são paralelos. Tomando o ponto P1 = (2, 0, 0) em r e o ponto P2 = (4, 3, 0) em s, o vetor que liga esses pontos é (2, 3, 0). Como este vetor não é paralelo ao vetor diretor das retas, as retas não são coplanares.
c) As retas r e s têm vetores diretores iguais a (2, 0, 1) e (1, 2, 5), respectivamente. Como eles não são paralelos, as retas não são coplanares. Para verificar se são reversas, podemos verificar se o vetor que liga um ponto da reta r a um ponto da reta s é oposto ao vetor que liga outro ponto da reta r a outro ponto da reta s. Tomando o ponto P1 = (2, 5, 5) em r e o ponto P2 = (2, 5, 5) em s (que é um ponto em comum às duas retas), o vetor que liga esses pontos é o vetor nulo. Portanto, as retas são reversas.
d) As retas r e s têm vetores diretores iguais a (2, 1, 1) e (3, 1, 1), respectivamente. Como eles não são paralelos, as retas não são coplanares. Para verificar se são reversas, podemos verificar se o vetor que liga um ponto da reta r a um ponto da reta s é oposto ao vetor que liga outro ponto da reta r a outro ponto da reta s. Tomando o ponto P1 = (1, 0, 1) em r e o ponto P2 = (2, 2, 4) em s, o vetor que liga esses pontos é (1, 2, 3). Como este vetor não é oposto ao vetor que liga outros pontos das retas, as retas não são reversas.
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1) 2) Para verificar se duas retas são reversas, é necessário verificar se seus vetores diretores são opostos. Para verificar se as retas são coplanares, é necessário verificar se seus vetores diretores são paralelos e se elas passam pelo mesmo plano. a) As retas r e s têm vetores diretores iguais a (1, 2, 3). Como eles não são opostos, as retas não são reversas. Para verificar se são coplanares, podemos verificar se os vetores que ligam um ponto da reta r a um ponto da reta s são paralelos. Tomando o ponto P1 = (1, 4, 4) em r e o ponto P2 = (2, 6, 7) em s, o vetor que liga esses pontos é (1, 2, 3). Portanto, as retas são paralelas e coplanares. b) As retas r e s têm vetores diretores iguais a (2, 1, 1). Como eles não são opostos, as retas não são reversas. Para verificar se são coplanares, podemos novamente verificar se os vetores que ligam um ponto da reta r a um ponto da reta s são paralelos. Tomando o ponto P1 = (2, 0, 0) em r e o ponto P2 = (4, 3, 0) em s, o vetor que liga esses pontos é (2, 3, 0). Como este vetor não é paralelo ao vetor diretor das retas, as retas não são coplanares. c) As retas r e s têm vetores diretores iguais a (2, 0, 1) e (1, 2, 5), respectivamente. Como eles não são paralelos, as retas não são coplanares. Para verificar se são reversas, podemos verificar se o vetor que liga um ponto da reta r a um ponto da reta s é oposto ao vetor que liga outro ponto da reta r a outro ponto da reta s. Tomando o ponto P1 = (2, 5, 5) em r e o ponto P2 = (2, 5, 5) em s (que é um ponto em comum às duas retas), o vetor que liga esses pontos é o vetor nulo. Portanto, as retas são reversas. d) As retas r e s têm vetores diretores iguais a (2, 1, 1) e (3, 1, 1), respectivamente. Como eles não são paralelos, as retas não são coplanares. Para verificar se são reversas, podemos verificar se o vetor que liga um ponto da reta r a um ponto da reta s é oposto ao vetor que liga outro ponto da reta r a outro ponto da reta s. Tomando o ponto P1 = (1, 0, 1) em r e o ponto P2 = (2, 2, 4) em s, o vetor que liga esses pontos é (1, 2, 3). Como este vetor não é oposto ao vetor que liga outros pontos das retas, as retas não são reversas.
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