Equações de Reta no Espaço (R3)

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<p>FURG - Universidade Federal do Rio Grande</p><p>IMEF - Instituto de Matemática, Estatística e</p><p>Física</p><p>1 RETAS NO R3</p><p>Nosso objetivo agora é o estudo da reta no espaço (R3), determinada por um ponto e um vetor diretor</p><p>da reta, conforme a Figura 1.</p><p>Figura 1: Reta no (R3)</p><p>Definição: Considere uma reta 𝑟 que passa pelo ponto 𝐴(𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) e com direção do vetor não nulo</p><p>�⃗� = (𝑎, 𝑏, 𝑐). Dado um ponto 𝑃 qualquer, esse ponto pertence a reta 𝑟 se, e somente se, o vetor</p><p>−→</p><p>𝐴𝑃</p><p>é paralelo ao vetor �⃗�. Então,</p><p>−→</p><p>𝐴𝑃= 𝑡�⃗�, para algum 𝑡 real. (1.1)</p><p>Pela equação (1.1), temos que</p><p>𝑃 − 𝐴 = 𝑡�⃗� ⇒ 𝑃 = 𝐴+ 𝑡�⃗�,</p><p>ou em coordenadas,</p><p>(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) + 𝑡(𝑎, 𝑏, 𝑐). (1.2)</p><p>A equação (1.2) é denominada equação vetorial da reta 𝑟 no espaço (R3). O vetor �⃗� é o vetor</p><p>diretor ou vetor direcional da reta e 𝑡 é denominado parâmetro.</p><p>2 Equações Paramétricas</p><p>Pela equação vetorial da reta (1.2): (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1)+ 𝑡(𝑎, 𝑏, 𝑐) ou ainda (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥1+𝑎𝑡, 𝑦1+</p><p>𝑏𝑡, 𝑧1 + 𝑐𝑡) igualamos as componentes correspondentes dos dois lado, e temos:⎧⎨⎩</p><p>𝑥 = 𝑥1 + 𝑎𝑡</p><p>𝑦 = 𝑦1 + 𝑏𝑡 −∞ < 𝑡 < +∞.</p><p>𝑧 = 𝑧1 + 𝑐𝑡</p><p>(2.1)</p><p>3 Equações Simétricas</p><p>Pelas equações paramétricas (2.1), ⎧⎨⎩</p><p>𝑥 = 𝑥1 + 𝑎𝑡</p><p>𝑦 = 𝑦1 + 𝑏𝑡.</p><p>𝑧 = 𝑧1 + 𝑐𝑡</p><p>Sendo as componentes do vetor diretor não nulas, podemos escrever a equação da reta como</p><p>𝑡 =</p><p>𝑥− 𝑥1</p><p>𝑎</p><p>, 𝑡 =</p><p>𝑦 − 𝑦1</p><p>𝑏</p><p>, 𝑡 =</p><p>𝑧 − 𝑧1</p><p>𝑐</p><p>,</p><p>e, sabendo que para cada ponto da reta corresponde um único valor para o parâmetro 𝑡:</p><p>𝑥− 𝑥1</p><p>𝑎</p><p>=</p><p>𝑦 − 𝑦1</p><p>𝑏</p><p>=</p><p>𝑧 − 𝑧1</p><p>𝑐</p><p>. (3.1)</p><p>As equações (3.1) são denominadas Equações Simétricas da reta. Onde 𝐴(𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) é um ponto</p><p>da reta e observe que para escrever a equação 3.1, as componentes do vetor, (𝑎, 𝑏, 𝑐), devem ser não</p><p>nulas.</p><p>4 Equações Reduzidas</p><p>Podemos isolar duas variáveis em função de uma terceira, desta forma temos outra maneira de</p><p>escrever a equação da reta. Partindo das equações simétricas (3.1) vamos escrever a equação da reta</p><p>em função da variável 𝑥.</p><p>Então:</p><p>𝑦 − 𝑦1</p><p>𝑏</p><p>=</p><p>𝑥− 𝑥1</p><p>𝑎</p><p>𝑦 − 𝑦1 =</p><p>𝑏</p><p>𝑎</p><p>(𝑥− 𝑥1)</p><p>𝑦 − 𝑦1 =</p><p>𝑏</p><p>𝑎</p><p>𝑥− 𝑏</p><p>𝑎</p><p>𝑥1</p><p>𝑦 =</p><p>𝑏</p><p>𝑎</p><p>𝑥− 𝑏</p><p>𝑎</p><p>𝑥1 + 𝑦1</p><p>𝑦 = 𝑚𝑥+ 𝑛.</p><p>Portanto,</p><p>𝑦 = 𝑚𝑥+ 𝑛. (4.1)</p><p>Observando que</p><p>𝑏</p><p>𝑎</p><p>= 𝑚 e − 𝑏</p><p>𝑎</p><p>𝑥1 + 𝑦1 = 𝑛. De forma análoga, temos</p><p>𝑧 − 𝑧1</p><p>𝑐</p><p>=</p><p>𝑥− 𝑥1</p><p>𝑎</p><p>⇒ 𝑧 = 𝑝𝑥+ 𝑞 (4.2)</p><p>As equações (4.1 e 4.2) são denominadas como Equações Reduzidas da reta em na variável 𝑥:{︂</p><p>𝑦 = 𝑚𝑥+ 𝑛</p><p>𝑧 = 𝑝𝑥+ 𝑞</p><p>(4.3)</p><p>Exemplo 4.1. Considere a reta 𝑟 que passa pelo ponto 𝑃 (2, 4, 8) na direção do vetor �⃗� = (4, 2, 1).</p><p>Solução:</p><p>Por 1.2 sua equação vetorial é 𝑟 : (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (2, 4, 8) + 𝑡(4, 2, 1).</p><p>Por 2.1 suas equações paramétricas são 𝑟 :</p><p>⎧⎨⎩</p><p>𝑥 = 2 + 4𝑡</p><p>𝑦 = 4 + 2𝑡</p><p>𝑧 = 8 + 𝑡</p><p>.</p><p>Por 3.1 suas equações simétricas são 𝑟 :</p><p>𝑥− 2</p><p>4</p><p>=</p><p>𝑦 − 4</p><p>2</p><p>=</p><p>𝑧 − 8</p><p>1</p><p>.</p><p>Para as equações reduzidas 4.3, isolando o parâmetro 𝑡, na primeira equação paramétrica 𝑥−2</p><p>4</p><p>= 𝑡 e</p><p>substituindo nas demais:𝑦−4</p><p>2</p><p>= 𝑥−2</p><p>4</p><p>e 𝑧 − 8 = 𝑥−2</p><p>4</p><p>, obtemos as equações reduzidas em função de 𝑥</p><p>𝑟 :</p><p>{︂</p><p>𝑦 = 1</p><p>2</p><p>𝑥+ 3</p><p>𝑧 = 1</p><p>4</p><p>𝑥+ 15</p><p>2</p><p>5 Retas Paralelas aos Planos Coordenados</p><p>Anota aí!</p><p>Resumo:</p><p>• reta com vetor �⃗� = (0, 𝑏, 𝑐) é paralela a 𝑦𝑂𝑧.</p><p>• reta com vetor �⃗� = (𝑎, 0, 𝑐) é paralela a 𝑥𝑂𝑧.</p><p>• reta com vetor �⃗� = (𝑎, 𝑏, 0) é paralela a 𝑥𝑂𝑦.</p><p>6 Retas Paralelas aos Eixos Coordenados</p><p>Anota aí!</p><p>Resumo:</p><p>• reta com vetor �⃗� = (𝑎, 0, 0) é paralela a 𝑂𝑥.</p><p>• reta com vetor �⃗� = (0, 𝑏, 0) é paralela a 𝑂𝑦.</p><p>• reta com vetor �⃗� = (0, 0, 𝑐) é paralela a 𝑂𝑧.</p><p>7 Condição de Ortogonalidade entre duas retas</p><p>Dadas duas retas 𝑟 e 𝑠 e dados seus respectivos vetores diretores 𝑣1 = (𝑎1, 𝑏1, 𝑐1) e 𝑣2 = (𝑎2, 𝑏2, 𝑐2),</p><p>pela condição de ortogonalidade (Produto Escalar) sabe-se que</p><p>Não esqueça!</p><p>𝑣1 · 𝑣2 = 0 ou 𝑎1𝑎2 + 𝑏1𝑏2 + 𝑐1𝑐2 = 0 .</p><p>os vetores são ortogonais portanto, as retas 𝑟 e 𝑠 são ortogonais.</p><p>8 Condição de Paralelismo entre duas retas</p><p>Se duas retas 𝑟 e 𝑠 são paralelas, então seus respectivos vetores diretores 𝑣𝑟 e 𝑣𝑠 são paralelos,</p><p>(Vetores no Plano e no Espaço):</p><p>Não esqueça!</p><p>𝑣𝑟 = 𝑚𝑣𝑠 ou</p><p>𝑎1</p><p>𝑎2</p><p>=</p><p>𝑏1</p><p>𝑏2</p><p>=</p><p>𝑐1</p><p>𝑐2</p><p>9 Retas Coplanares</p><p>Dadas as seguintes retas: 𝑟 que passa pelo ponto 𝐴1 e tem direção do vetor 𝑣1 = (𝑎1, 𝑏1, 𝑐1) e 𝑠 que</p><p>passa pelo ponto 𝐴2 e tem direção do vetor 𝑣2 = (𝑎2, 𝑏2, 𝑐2). As retas 𝑟 e 𝑠 são coplanares se os</p><p>vetores 𝑣1, 𝑣2 e</p><p>−→</p><p>𝐴1𝐴2 forem coplanares (Produto Misto), isto é,</p><p>Não esqueça!</p><p>(𝑣1, 𝑣2,</p><p>−→</p><p>𝐴1𝐴2) = 0</p><p>10 Exercícios</p><p>Sua vez!</p><p>1. Dados o ponto 𝑃 (3,−2, 5) e o vetor �⃗� = (3, 2,−1). Responda:</p><p>(a) Escreva as equações paramétricas da reta.</p><p>(b) Determine as coordenadas do ponto da reta, tal que 𝑡 = −1.</p><p>(c) Escreva as equações paramétricas da reta que passa no ponto P e é paralela ao eixo 𝑂𝑥.</p><p>(d) Escreva as equações paramétricas da reta que passa no ponto P e tem como vetor �⃗� =</p><p>(2, 0, 3). A reta é paralela a qual plano coordenado?</p><p>(e) Verifique se a reta 𝑠 : (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (3,−5, 1) + 𝑡(12, 8,−2) é paralela a reta do item (a).</p><p>(f) Verifique se a reta 𝑝 :</p><p>⎧⎨⎩</p><p>𝑥 = 3</p><p>𝑦 = −4 + 3𝑡</p><p>𝑧 = 1 + 6𝑡</p><p>é ortogonal a reta do item (a).</p><p>2. Escreva a equação da reta que passa no ponto 𝐴(3, 1,−4) e é simultaneamente ortogonal as</p><p>retas:</p><p>𝑟 :</p><p>⎧⎨⎩</p><p>𝑥 = 1 + 2𝑡</p><p>𝑦 = 2 + 3𝑡</p><p>𝑧 = 3− 4𝑡</p><p>𝑠 :</p><p>⎧⎨⎩</p><p>𝑥 = 2</p><p>𝑦 = 3 + 𝑡</p><p>𝑧 = 4− 𝑡</p><p>3. Determine os ângulo entre as retas:</p><p>𝑟 :</p><p>⎧⎨⎩</p><p>𝑥 = 1 + 𝑡</p><p>𝑦 = 2 + 2𝑡</p><p>𝑧 = 3 + 𝑡</p><p>𝑠 :</p><p>⎧⎨⎩</p><p>𝑥 = 2 + 2𝑡</p><p>𝑦 = 3 + 𝑡</p><p>𝑧 = 4− 𝑡</p><p>4. Parametrize o segmento de reta que passa por 𝐴(3, 4, 5) e 𝐵(7, 8, 0).</p><p>RETAS NO R3</p><p>Equações Paramétricas</p><p>Equações Simétricas</p><p>Equações Reduzidas</p><p>Retas Paralelas aos Planos Coordenados</p><p>Retas Paralelas aos Eixos Coordenados</p><p>Condição de Ortogonalidade entre duas retas</p><p>Condição de Paralelismo entre duas retas</p><p>Retas Coplanares</p><p>Exercícios</p>