Retas Paralelas e Perpendiculares

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Veja as figuras, que mostram 2 retas distintas e não 
verticais, que são paralelas:
y
x
s r
0
a
2
a
1
y
x
s r
0
a
2
a
1
a
1
 5 a
2
 ⇔ tan a
1
 5 tan a
2
 ⇔ m
1
 5 m
2
 ⇔ r // s
Duas retas não verticais r e s são paralelas se, e 
somente se, seus coeficientes angulares são iguais 
(m
1
 5 m
2
).
 FIQUE ATENTO!
Se, além do mesmo coeficiente angular, elas tiverem o 
mesmo coeficiente linear, as retas são coincidentes (pa-
ralelas iguais).
OBSERVAÇÕES:
1) Se as 2 retas são paralelas ao mesmo eixo, elas são 
paralelas entre si. Nesse caso, não há necessidade 
de recorrer ao coeficiente m.
y
x
s r
0
a
1
a
2
r // s
y
x
b
a
a // b
EXEMPLOS: 
1) As retas de equações x 5 4 e x 5 21 são paralelas.
2) As retas de equações y 5 2 e y 5 7 são paralelas.
Il
u
s
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: 
B
a
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c
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m
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a
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 FIQUE ATENTO!
As retas de equações x 5 4 e y 5 2 são concorrentes e 
perpendiculares.
2) Uma maneira prática de verificar o paralelismo de 
2 retas é comparar suas equações gerais.
 Dadas 2 retas, r e s, tal que r: ax 1 by 1 c 5 0 e 
s: a'x 1 b'x 1 c' 5 0, basta compararmos as razões 
seguintes: 
a
a'
,
b
b'
e
c
c'
.
• Se 5 5
a
a'
b
b'
c
c'
, então temos 2 retas paralelas coin-
cidentes (r 5 s), ou seja, a mesma reta representa-
da de duas formas diferentes.
• Se 5
a
a'
b
b'
c
c'
Þ , então temos 2 retas paralelas 
 distintas.
• Se 
a
a'
b
b'
Þ , então temos 2 retas concorrentes.
3) Assim, podemos dizer que se 2 retas 
 r: ax 1 by 1 c 5 0 e s: a'x 1 b'y 1 c' 5 0 são tais 
que 5
a
a'
b
b'
, ou seja, ab' 5 a'b, então elas são pa-
ralelas e vice-versa.
 É muito importante compreender que, se 2 retas são 
ditas “paralelas iguais” ou “paralelas coincidentes”, 
significa que elas são na realidade uma só reta, po-
dendo ser representada de 2 maneiras diferentes.
4) Duas retas do mesmo plano com coeficientes an-
gulares diferentes não são paralelas; logo, são 
concorrentes.
y
x
0
a
1
a
2
s r
y
x
0
a
1
a
2
sr
 Como 0° , a
1
, a
2
 , 180°, temos: a
1
 Þ a
2
 ⇔ 
 ⇔ tan a
1
 Þ tan a
2
 ⇔ m
1
 Þ m
2
 ⇔ r e s: concorrentes.
CAPêTULO 24 • GEOMETRIA ANALÍTICA: PONTO E RETA 773
Contexto e Aplicacoes Matematica_U11_C24_752a775.indd 773 8/22/18 3:07 PM
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1. Verifique, em cada item, a posição relativa das 
retas dadas por suas equações:
a) r: 3x 2 y 1 2 5 0
b) 5 2r: y
2
3
x 1
c) r: x 5 8
Resolução
a) 5 1 5s
x
4
y
10
1
 Vamos determinar o coeficiente angular de r 
e s, usando a equação na forma reduzida:
 r: 3x 2 y 1 2 5 0 ⇒ 2y 5 23x 2 2 ⇒
 ⇒ y 5 3x 1 2 ⇒ m
1
 5 3
 ⇒ ⇒5 1 5 1 5 5s
x
4
y
10
1 5x 2y 20 2
 ⇒ ⇒ ⇒ ⇒5 52 1 5
2
10 2y 5x 20 y
5
2
x 10
 ⇒ 52m
5
22
 Se m
1
 Þ m
2
, então r e s são concorrentes.
b) s: 4x 2 6y 1 5 5 0
 ⇒5 2 5r: y
2
3
x 1 m
2
31
 s: 4x 2 6y 1 5 5 0 ⇒ 6y 5 4x 1 5 ⇒ 
 ⇒ ⇒ ⇒5 1 5 1 5y
4
6
x
5
6
y
2
3
x
5
6
m
2
32
 Se m
1
 5 m
2
, então r e s são paralelas. Como 
21
5
6
Þ , elas são paralelas e distintas.
c) s: y 2 5 5 3(x 2 4)
 r: x 5 8 (r é paralela ao eixo y)
 s: y 2 5 5 3(x 2 4) ⇒ m 5 3 (s não é paralela 
a nenhum dos eixos)
 Logo, r e s são concorrentes.
2. Determine uma equação da reta na forma geral 
que passa pelo ponto P(2, 23) e é paralela à reta 
de equação 5x 2 2y 1 1 5 0.
Resolução
Vamos calcular o coeficiente angular m da reta 
cuja equação é dada:
5x 2 2y 1 1 5 0 ⇒ 22y 5 25x 2 1 ⇒
⇒ ⇒ ⇒5 1 5 1 52y 5x 1 y
5
2
x
1
2
m
5
2
De acordo com o problema, a reta procurada 
 deve passar pelo ponto P(2, 23) e ter o mesmo 
coeficiente angular da reta dada, ou seja, 5m
5
2
.
Daí, temos:
⇒ ⇒2 5 2 1 5 2y y m(x x ) y 3
5
2
(x 2)
1 1
⇒ ⇒ ⇒ ⇒1 5 5 1 5 2y 3
5
2
x
10
2
2y 6 5x 10
⇒ 5x 2 2y 2 16 5 0
Logo, a equação procurada pode ser
5x 2 2y 2 16 5 0.
Outra maneira de resolver:
Queremos determinar uma reta paralela à reta 
5x 2 2y 1 1 5 0. Então, a reta procurada é da 
forma 5x 2 2y 1 c 5 0.
Como P(2, 23) pertence a ela, temos:
5(2) 2 2(23) 1 c 5 0 ⇒ 10 1 6 1 c 5 0 ⇒ 
⇒ c 5 216
Logo, a equação procurada é 5x 2 2y 2 16 5 0.
EXERCÍCIOS
60. Qual é a posição da reta r, de equação 
15x 1 10y 2 3 5 0, em relação à reta s, de equa-
ção 9x 1 6y 2 1 5 0? 
61. Em cada caso, determine a equação da reta que 
passa pelo ponto P e é paralela à reta da equação 
dada:
a) P(1, 2) e 8x 1 2y 2 1 5 0 
b) P(2, 5) e 1 5
x
2
y
3
1 
c) P(2, 25) e x 5 2 
62. Se as retas de equações (a 1 3)x 1 4y 2 5 5 0 e 
x 1 ay 1 1 5 0 são paralelas, calcule o valor de a. 
63. A figura mostra um trapézio ABCD. Determine a 
equação da reta suporte da base menor do 
trapézio. 
D C (6, 5)
B (8, 2)A (1, 2)
O
x
y
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UNIDADE 11 • GEOMETRIA ANALÍTICA774
Contexto e Aplicacoes Matematica_U11_C24_752a775.indd 774 8/22/18 3:07 PM
INTERSECÇÃO DE DUAS RETAS
A figura abaixo mostra duas retas, r e s, que se 
intersectam no ponto P(a, b).
0
P (a, b)
x
r
s
y
Como P pertence às 2 retas, suas coordenadas devem 
satisfazer, simultaneamente, as equações dessas 2 retas.
B
a
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EXERCÍCIO RESOLVIDO
Determine as coordenadas do ponto P de intersec-
ção das retas r e s, de equações 3x 1 2y 2 7 5 0 e
x 2 2y 2 9 5 0, respectivamente.
Resolução
O nosso problema consiste em resolver o sistema 
formado pelas equações das 2 retas:
 



1 2 5
2 2 5
3x 2y 7 0
x 2y 9 0
4x 2 16 5 0 ⇒ 4x 5 16 ⇒ x 5 4
Logo, para determiná-las, basta resolver o sistema 
formado pelas equações das 2 retas.
OBSERVAÇÃO: Pela resolução de sistemas podemos 
verificar a posição relativa de 2 retas de um mesmo 
plano. Assim, temos:
• sistema possível e determinado (um único ponto co-
mum): retas concorrentes;
• sistema possível e indeterminado (infinitos pontos 
comuns): retas coincidentes;
• sistema impossível (nenhum ponto comum): retas 
paralelas distintas.
Substituindo na segunda equação, por exemplo, te-
mos:
⇒ ⇒ ⇒2 2 5 2 5 54 2y 9 0 2y 5
⇒ ⇒ ⇒52 522y 5 y
5
2
Logo, as coordenadas do ponto de intersecção são 4 
e 2
5
2
. Ou seja, 



2P 4,
5
2
.
EXERCÍCIOS
64. Determine o ponto de encontro das retas cujas 
equações são:
a) x 1 2y 2 3 5 0 e x 2 2y 1 7 5 0 
b) 2x 1 y 2 1 5 0 e 3x 1 2y 2 4 5 0 
c) 2x 1 3y 2 8 5 0 e 2x 2 4y 1 13 5 0 
d) 5 2 5
2
1y
7
3
x
2
3
e y
3
2
x 7 
e) 



5 1
5 2
5 2
y x 3 e
x t 4
y t 1
 
65. Quais são as coordenadas dos vértices de um 
triângulo, sabendo que as equações das retas 
suportes de seus lados são x 1 2y 2 1 5 0,
x 2 2y 2 7 5 0 e y 2 5 5 0? 
66. Demonstre que as retas de equações
2x 1 3y 2 1 5 0, 3x 1 4y 2 1 5 0 e x 1 y 5 0 
concorrem em um mesmo ponto.
67. Os pontos A(1, 1), B(5, 2), C(6, 5) e D(2, 4) são os 
vértices de um paralelogramo. Vamos designar 
por M(a, b) o ponto de encontro das diagonais 
desse paralelogramo. Determine as coordena-
das do ponto M e mostre que M é o ponto médio 
das diagonais.
68. A figura dada mostra um trapézio ABCD. Sendo 
M o ponto de encontro das diagonais do trapézio, 
determine as coordenadas do ponto M. 
3
2 87
D C
B
A
x
y
69. Qual é a equação da reta r que passa pelo ponto 
de encontro das retas t
1
 e t
2
 de equações
x 2 y 1 2 5 0 e 3x 2 y 1 6 5 0, respectivamente, 
e é paralela à reta s, cuja equação é 5 2y
1
2
x 1?
70. A figura dada mostra um quadrilátero OABC. De-
termine as coordenadas do ponto de encontro 
das diagonais. 
C(0, 2)
A(1, 0)O
x
y
B
3
2
[ ], 1
Il
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CAPêTULO 24 • GEOMETRIA ANALÍTICA: PONTO E RETA 775
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