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Figura 1 Figura 2a Figura 2b Para imprimir, use o comando Imprimir do seu Nagevador da Internet. Clique aqui para fechar esta janela. Frações Dois números Inteiros a e b colocados na forma: Podemos usar as frações de quatro maneiras distintas: A fração como parte de uma unidade Nesse caso, o denominador indica as partes em que dividimos a unidade e o numerador, as partes que tomamos (Figura 1). A fração como parte de um conjunto A ilustração da abertura deste capítulo, indica que fizemos cinco partes iguais (cinco colunas com três elementos cada) com os 15 elementos existentes e tomamos duas dessas partes. Como cada parte tem três elementos, 2/5 de 15 = 6 Uma fração também pode expressar parte de um conjunto. O denominador indica as partes em que dividimos os elementos e o numerador, quantas partes tomamos. A fração como expressão de um quociente de números Inteiros Uma fração expressa também uma divisão de números Inteiros. O numerador indica o dividendo e o denominador, o divisor. a / b; a dividendo b divisor Nas Figuras 2a e 2b, temos o movimento de um carro, nos sentidos positivo e negativo, em que 3 km são percorridos em 2 minutos. As frações +3/2 e 3/2 indicam a velocidade do carro em quilômetros por minuto. A fração como operador composto Uma fração é um operador composto no qual o numerador da fração representa o operador multiplicar por e o denominador, o operador dividir por. Exemplo: Vamos aplicar a cada elemento do conjunto M = {24, 36, 210} os seguintes operadores: 22/02/2011 Klickeducação klickeducacao.com.br/…/0,5920,POR-20… 1/11 Figura 5 a) 4/3; b) 5/2 Representação de frações sobre a reta Vamos representar, agora, frações sobre uma reta. Na Figura 3, marcamos na reta a origem e a unidade. Figura 3 Figura 4 Representamos, na Figura 4, alguns números Inteiros. • Representamos as frações positivas à direita do zero e as negativas, à sua esquerda. Frações equivalentes Na Figura 6 representamos os números Inteiros: Unimos as extremidades e, traçando retas paralelas, obtemos os terços. Figura 6 Os meios estão representados na Figura 7, abaixo: Figura 7 A Figura 8 indica a representação dos quartos: Figura 8 Representamos os sextos na Figura 9: 22/02/2011 Klickeducação klickeducacao.com.br/…/0,5920,POR-20… 2/11 Figura 9 Podemos observar que as frações 1/2, 2/4 e 3/6 são representadas no mesmo ponto da reta. Dizemos que essas frações são equivalentes. Isto é representado da seguinte maneira: Observe que a fração 2/4 é obtida multiplicando-se o numerador e o denominador da fração 1/2 por 2. Para lembrar: Se multiplicarmos ou dividirmos o numerador e o denominador de uma fração por um mesmo número não-nulo, obtemos uma fração equivalente à primeira. Assim: são frações equivalentes. Critério de equivalência de frações Duas frações são equivalentes quando o produto cruzado do numerador de uma e o denominador de outra são iguais: Exemplo: Simplificação de frações Simplificar uma fração é encontrar outra fração equivalente dividindo o numerador e o denominador da fração por um mesmo número não-nulo. Exemplos: Quando uma fração não pode ser simplificada, isto é, o numerador e o denominador não têm 22/02/2011 Klickeducação klickeducacao.com.br/…/0,5920,POR-20… 3/11 nenhum divisor comum, nós a chamamos de fração irredutível. Exemplo: Número Racional A equivalência de frações nos permite classificar o conjunto de todas estas em grupos de frações equivalentes entre si: É uma classe de equivalência: É outra classe: Cada classe de equivalência chama-se número Racional. Para lembrar: Um número Racional é o conjunto formado por uma fração e todas as suas equivalentes. Um número Racional tem infinitos representantes, mas normalmente o identificamos pelo representante canônico, que é a fração irredutível de cada classe de equivalência. O conjunto dos números Racionais chama-se conjunto Q: Q = { números Racionais } Q = { Racionais positivos } Q = { Racionais negativos } Redução de frações a um denominador comum Para reduzir frações a um denominador comum, devemos encontrar frações equivalentes com o mesmo denominador. Para isto, vamos nos acostumar a trabalhar com o mínimo múltiplo comum dos denominadores. Exemplo: 22/02/2011 Klickeducação klickeducacao.com.br/…/0,5920,POR-20… 4/11 Operações com números Racionais Adição de frações Para somar frações, devemos verificar se têm o mesmo denominador. Caso contrário, reduzimos a um denominador comum e depois somamos os numeradores e colocamos o denominador comum. Exemplo: Para somar um número Inteiro e uma fração, transformamos o número Inteiro em número Fracionário com o mesmo denominador da fração. Depois, somamos os numeradores e deixamos o mesmo denominador. Exemplo: Propriedades da adição de números Racionais • Propriedade do fechamento: a adição no conjunto dos números Racionais é uma operação fechada, pois o resultado sempre será outro número Racional. Se a Q e b Q então a + b = c Q Exemplo: • Propriedade comutativa: podemos escrever as diferentes parcelas em qualquer ordem, sem que isto altere a sua soma: Exemplo: • Propriedade associativa: a adição de números Racionais tem a propriedade associativa, pois podemos substituir duas ou mais parcelas pela soma já efetuada: 22/02/2011 Klickeducação klickeducacao.com.br/…/0,5920,POR-20… 5/11 Exemplo: • Elemento neutro: no conjunto dos números Racionais, existe um elemento neutro com relação à soma. Assim: O número Racional 0 é o elemento neutro da adição de números Racionais. Exemplo: • Elemento oposto: para cada elemento do conjunto dos números Racionais existe um elemento oposto com relação à adição. Desse modo: Exemplo: Subtração de frações Para subtrair números Racionais, somamos ao minuendo o oposto do subtraendo: 22/02/2011 Klickeducação klickeducacao.com.br/…/0,5920,POR-20… 6/11 Figura 12 Exemplo: Multiplicação de números Racionais Para multiplicar dois números Racionais, devemos escrever como numerador o produto dos numeradores e como denominador, o produto dos denominadores. Exemplo: A Figura 12 nos mostra a interpretação geométrica desse exemplo de produto de dois números Racionais. Propriedades da multiplicação dos números Racionais • Propriedade do fechamento em Q: a multiplicação é uma operação fechada em Q, pois quando multiplicamos dois números Racionais, obtemos outro número Racional. • Propriedade comutativa: a ordem em que efetuamos a multiplicação de números Racionais não altera o produto: Exemplo: 22/02/2011 Klickeducação klickeducacao.com.br/…/0,5920,POR-20… 7/11 • Propriedade associativa: a multiplicação de números Racionais tem a propriedade associativa, pois podemos substituir dois ou mais fatores pelo produto efetuado sem alterar o resultado. Exemplo: • Elemento neutro: dentro do conjunto dos números Racionais existe um elemento neutro com relação à multiplicação. Assim: O elemento neutro do produto de números Racionais é o 1. Exemplo: • Elemento inverso: para cada elemento não-nulo do conjunto dos números Racionais existe um elemento inverso com relação ao produto, tal que: O que é o mesmo que: Exemplo: • Propriedade distributiva: o produto de números Racionais é distributivo com relação à adição. Isso ocorre porque se verifica a seguinte igualdade: 22/02/2011 Klickeducação klickeducacao.com.br/…/0,5920,POR-20… 8/11 Exemplo: Divisão de números Racionais O quociente de dois números Racionais é obtido multiplicando-se o dividendo pelo elemento inverso do divisor. Exemplo: Potências de números Racionais Potências de números Racionais com expoente natural: para elevar uma fração a uma potência, elevamos a esse expoente o numerador e o denominador. Exemplo: Propriedades da potenciação • Produto de potências de mesma base: para multiplicar duas potências que tenham a mesma base, elevamos a base ao expoente resultante da soma dos expoentes anteriores. Assim: 22/02/2011 Klickeducaçãoklickeducacao.com.br/…/0,5920,POR-20… 9/11 an X am = an+m Exemplo: • Divisão de potências de mesma base: para dividir duas potências que tenham a mesma base, elevamos a base ao expoente resultante da diferença dos expoentes anteriores. Ou seja: an ÷ am = an-m Exemplo: • Potência de outra potência: para elevar uma potência a um outro expoente, elevamos a base ao expoente resultante da multiplicação dos expoentes anteriores. Assim: (an)m = anXm Exemplo: • Potências de expoente Inteiro negativo: observe a divisão de potências de mesma base do seguinte exemplo: Na divisão de potências da mesma base, sabemos que: 54 ÷ 56 = 54 6 = 5-2 o que é o mesmo que: Assim, definimos que: EXERCÍCIOS 1. Os alunos de uma classe vão sair em excursão. A metade dos participantes irá a pé, 1/3, de bicicleta, e 5, de carro. Quantos alunos vão sair em excursão? Quantos vão a pé? Quantos vão de bicicleta? 2. Uma escada possui 19 degraus. Cada degrau tem 17/2 centímetros de altura mais 1/2 centímetro de revestimento. Que altura tem a escada? 22/02/2011 Klickeducação klickeducacao.com.br/…/0,5920,POR-20… 10/11 3. Metade de um pomar está plantado com macieiras, um terço é caminho e ainda restam 300 metros quadrados de laranjal. Qual a área do pomar? 4. Efetuar as seguintes operações combinadas: 22/02/2011 Klickeducação klickeducacao.com.br/…/0,5920,POR-20… 11/11
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