Números Racionais

Prévia do material em texto

Figura 1 
Figura 2a
Figura 2b 
Para imprimir, use o comando Imprimir do seu Nagevador da Internet.
Clique aqui para fechar esta janela.
Frações 
Dois números Inteiros a e b colocados na forma: 
Podemos usar as frações de quatro maneiras distintas: 
A fração como parte de uma unidade 
Nesse caso, o denominador indica as partes em que
dividimos a unidade e o numerador, as partes que tomamos
(Figura 1). 
A fração como parte de um conjunto 
A ilustração da abertura deste capítulo, indica que fizemos
cinco partes iguais (cinco colunas com três elementos cada)
com os 15 elementos existentes e tomamos duas dessas
partes. 
Como cada parte tem três elementos, 2/5 de 15 = 6 
Uma fração também pode expressar parte de um conjunto. O denominador indica as partes em que
dividimos os elementos e o numerador, quantas partes tomamos. 
A fração como expressão de um quociente de números Inteiros 
Uma fração expressa também uma divisão de números Inteiros. O numerador indica o dividendo e o
denominador, o divisor. 
a / b; a dividendo
b divisor 
Nas Figuras 2a e 2b, temos o movimento de um carro, nos
sentidos positivo e negativo, em que 3 km são percorridos
em 2 minutos. As frações +3/2 e ​3/2 indicam a velocidade do
carro em quilômetros por minuto. 
A fração como operador composto
Uma fração é um operador composto no qual o numerador da
fração representa o operador multiplicar por e o
denominador, o operador dividir por.
Exemplo:
Vamos aplicar a cada elemento do conjunto 
M = {24, 36, 210} os seguintes operadores: 
22/02/2011 Klickeducação
klickeducacao.com.br/…/0,5920,POR-20… 1/11
Figura 5
a) 4/3; b) 5/2 
Representação de frações sobre a reta 
Vamos representar, agora, frações sobre uma reta. Na Figura 3, marcamos na reta a origem e a
unidade. 
Figura 3 Figura 4
Representamos, na Figura 4, alguns números Inteiros.
• 
Representamos as frações positivas à direita do zero e as negativas,
à sua esquerda. 
Frações equivalentes 
Na Figura 6 representamos os números Inteiros: 
Unimos as extremidades e, traçando retas paralelas,
obtemos os terços.
Figura 6
Os meios estão representados na Figura 7, abaixo:
Figura 7
A Figura 8 indica a representação dos quartos:
Figura 8
Representamos os sextos na Figura 9:
22/02/2011 Klickeducação
klickeducacao.com.br/…/0,5920,POR-20… 2/11
Figura 9
Podemos observar que as frações 1/2, 2/4 e 3/6 são representadas no mesmo ponto da reta.
Dizemos que essas frações são equivalentes. Isto é representado da seguinte maneira:
Observe que a fração 2/4 é obtida multiplicando-se o numerador e o denominador da fração 1/2 por 2.
 Para lembrar:
Se multiplicarmos ou dividirmos o numerador e o denominador de uma fração
por um mesmo número não-nulo, obtemos uma fração equivalente à primeira.
Assim: 
são frações equivalentes.
Critério de equivalência de frações 
Duas frações são equivalentes quando o produto cruzado do numerador de uma e o
denominador de outra são iguais:
Exemplo:
 Simplificação de frações 
Simplificar uma fração é encontrar outra fração equivalente dividindo o numerador e o denominador da
fração por um mesmo número não-nulo.
Exemplos:
Quando uma fração não pode ser simplificada, isto é, o numerador e o denominador não têm
22/02/2011 Klickeducação
klickeducacao.com.br/…/0,5920,POR-20… 3/11
nenhum divisor comum, nós a chamamos de fração irredutível.
Exemplo:
 Número Racional 
A equivalência de frações nos permite classificar o conjunto de todas estas em grupos de frações
equivalentes entre si: 
É uma classe de equivalência: É outra classe:
Cada classe de equivalência chama-se número Racional.
 Para lembrar:
Um número Racional é o conjunto formado por uma
fração e todas as suas equivalentes.
Um número Racional tem infinitos representantes, mas normalmente o identificamos pelo
representante canônico, que é a fração irredutível de cada classe de equivalência. O conjunto dos
números Racionais chama-se conjunto Q:
Q = { números Racionais }
Q = { Racionais positivos }
Q = { Racionais negativos }
 Redução de frações a um denominador comum 
Para reduzir frações a um denominador comum, devemos encontrar frações equivalentes com o
mesmo denominador. Para isto, vamos nos acostumar a trabalhar com o mínimo múltiplo comum
dos denominadores. 
Exemplo:
22/02/2011 Klickeducação
klickeducacao.com.br/…/0,5920,POR-20… 4/11
 Operações com números Racionais 
Adição de frações
Para somar frações, devemos verificar se têm o mesmo denominador. Caso contrário, reduzimos a
um denominador comum e depois somamos os numeradores e colocamos o denominador comum.
Exemplo:
Para somar um número Inteiro e uma fração, transformamos o número Inteiro em número Fracionário
com o mesmo denominador da fração. Depois, somamos os numeradores e deixamos o mesmo
denominador.
Exemplo:
Propriedades da adição de números Racionais 
• Propriedade do fechamento: a adição no conjunto dos números Racionais é uma
operação fechada, pois o resultado sempre será outro número Racional.
Se a Q e b Q então a + b = c Q
Exemplo:
• Propriedade comutativa: podemos escrever as diferentes parcelas em qualquer
ordem, sem que isto altere a sua soma:
Exemplo:
• Propriedade associativa: a adição de números Racionais tem a propriedade
associativa, pois podemos substituir duas ou mais parcelas pela soma já efetuada:
22/02/2011 Klickeducação
klickeducacao.com.br/…/0,5920,POR-20… 5/11
Exemplo:
• Elemento neutro: no conjunto dos números Racionais, existe um elemento neutro
com relação à soma. Assim:
O número Racional 0 é o elemento neutro da adição de números Racionais. 
Exemplo:
• Elemento oposto: para cada elemento do conjunto dos números Racionais existe
um elemento oposto com relação à adição. Desse modo:
Exemplo:
Subtração de frações
Para subtrair números Racionais, somamos ao minuendo o oposto do subtraendo:
22/02/2011 Klickeducação
klickeducacao.com.br/…/0,5920,POR-20… 6/11
Figura 12
Exemplo:
Multiplicação de números Racionais 
Para multiplicar dois números Racionais, devemos escrever como numerador o produto dos
numeradores e como denominador, o produto dos denominadores. 
Exemplo:
A Figura 12 nos mostra a interpretação geométrica desse exemplo de
produto de dois números Racionais. 
Propriedades da multiplicação dos números Racionais 
• Propriedade do fechamento em Q: a multiplicação é uma
operação fechada em Q, pois quando multiplicamos dois números
Racionais, obtemos outro número Racional.
• Propriedade comutativa: a ordem em que efetuamos a multiplicação de números
Racionais não altera o produto:
Exemplo:
22/02/2011 Klickeducação
klickeducacao.com.br/…/0,5920,POR-20… 7/11
• Propriedade associativa: a multiplicação de números Racionais tem a propriedade
associativa, pois podemos substituir dois ou mais fatores pelo produto efetuado
sem alterar o resultado.
Exemplo:
• Elemento neutro: dentro do conjunto dos números Racionais existe um elemento
neutro com relação à multiplicação. Assim:
O elemento neutro do produto de números Racionais é o 1. 
Exemplo:
• Elemento inverso: para cada elemento não-nulo do conjunto dos números
Racionais existe um elemento inverso com relação ao produto, tal que:
O que é o mesmo que: 
Exemplo:
• Propriedade distributiva: o produto de números Racionais é distributivo com relação
à adição. Isso ocorre porque se verifica a seguinte igualdade:
22/02/2011 Klickeducação
klickeducacao.com.br/…/0,5920,POR-20… 8/11
Exemplo:
Divisão de números Racionais 
O quociente de dois números Racionais é obtido multiplicando-se o dividendo pelo elemento inverso
do divisor. 
Exemplo:
 Potências de números Racionais 
Potências de números Racionais com expoente natural: para elevar uma fração a uma potência,
elevamos a esse expoente o numerador e o denominador.
Exemplo:
Propriedades da potenciação 
• Produto de potências de mesma base: para multiplicar duas potências que tenham
a mesma base, elevamos a base ao expoente resultante da soma dos expoentes
anteriores. Assim:
22/02/2011 Klickeducaçãoklickeducacao.com.br/…/0,5920,POR-20… 9/11
an X am = an+m
Exemplo:
• Divisão de potências de mesma base: para dividir duas potências que tenham a
mesma base, elevamos a base ao expoente resultante da diferença dos expoentes
anteriores. Ou seja:
an ÷ am = an​-m
Exemplo:
• Potência de outra potência: para elevar uma potência a um outro expoente,
elevamos a base ao expoente resultante da multiplicação dos expoentes
anteriores. Assim:
(an)m = anXm
Exemplo:
• Potências de expoente Inteiro negativo: observe a divisão de potências de mesma
base do seguinte exemplo:
Na divisão de potências da mesma base, sabemos que: 
54 ÷ 56 = 54 ​ 6 = 5​-2
o que é o mesmo que:
Assim, definimos que:
EXERCÍCIOS 
1. Os alunos de uma classe vão sair em excursão. A metade dos
participantes irá a pé, 1/3, de bicicleta, e 5, de carro. Quantos alunos vão
sair em excursão? Quantos vão a pé? Quantos vão de bicicleta?
2. Uma escada possui 19 degraus. Cada degrau tem 17/2 centímetros de
altura mais 1/2 centímetro de revestimento. Que altura tem a escada?
22/02/2011 Klickeducação
klickeducacao.com.br/…/0,5920,POR-20… 10/11
3. Metade de um pomar está plantado com macieiras, um terço é caminho e
ainda restam 300 metros quadrados de laranjal. Qual a área do pomar?
4. Efetuar as seguintes operações combinadas:
 
22/02/2011 Klickeducação
klickeducacao.com.br/…/0,5920,POR-20… 11/11