hidrodinamica

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MECÂNICA DOS FLUIDOS 
AULA 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof.ª Francielly Elizabeth de Castro Silva 
 
 
2 
CONVERSA INICIAL 
Nesta abordagem, você vai conhecer algumas equações fundamentais da 
mecânica dos fluidos, tais como conservação da massa, equação de Reynolds 
e equação de Bernoulli, muito aplicada em diversos sistemas com os quais 
certamente vai se deparar em sua carreira profissional. 
TEMA 1 – HIDRODINÂMICA 
A dinâmica dos fluidos ou hidrodinâmica é a área da mecânica dos fluidos 
que estuda as propriedades do seu movimento. Dentro dela, temos a cinemática 
dos fluidos, que também trata do movimento dos fluidos, porém sem considerar 
as forças que o provocam. 
1.1 Equação da conservação da massa 
Ao aguar um jardim ou lavar o carro, você já deve ter tido a experiência 
de fechar parte da saída de água da mangueira a fim de aumentar a velocidade 
da saída dela (Figura 1). 
Figura 1 – Efeito ao restringir a saída de água de uma mangueira 
 
Créditos: Dream2551/Shutterstock. 
 
 
3 
A quantidade de massa de água que sai da mangueira é a mesma quando 
fazemos ou não esse gesto. Isso pode ser observado enchendo um balde ou um 
volume conhecido qualquer e marcando o tempo que demora tal tarefa. Portanto, 
para dada abertura da torneira, a vazão da água será a mesma, não importa se 
a saída está parcialmente ou totalmente aberta. A diferença entre ambos os 
casos é que, ao se restringir a saída da mangueira, a velocidade do fluido 
aumenta, justamente porque a quantidade de massa do fluido é mantida. Esse 
princípio é chamado de conservação da massa. 
Para fluidos incompressíveis, a massa específica deles não se altera no 
escoamento. Nesse caso, podemos determinar a vazão do fluido em termos da 
sua quantidade volumétrica. Assim, tem-se a vazão volumétrica definida como: 
𝑄𝑄 =
𝑉𝑉
𝑡𝑡
 (1𝑎𝑎) 
𝑄𝑄 = 𝑣𝑣𝑣𝑣 (1𝑏𝑏) 
em que 𝑉𝑉 é o volume do fluido, 𝑡𝑡 é o tempo, 𝑣𝑣 é a velocidade do fluido e 𝑣𝑣 é a 
área da seção transversal do bocal por onde o fluido está passando. No SI 𝑉𝑉 é 
medido em m³, 𝑡𝑡 em s, 𝑣𝑣 em m/s e 𝑣𝑣 em m². 
Para fluidos compressíveis, a massa específica do fluido pode se alterar 
no escoamento. Nesse caso, podemos determinar a vazão do fluido em termos 
da sua quantidade de massa. Assim, tem-se a vazão mássica definida como: 
�̇�𝑚 =
𝑚𝑚
𝑡𝑡
 (2𝑎𝑎) 
�̇�𝑚 = 𝜌𝜌𝑣𝑣𝑣𝑣 ou �̇�𝑚 = 𝜌𝜌𝑄𝑄 (2𝑏𝑏) 
em que 𝑚𝑚 é a massa e 𝜌𝜌 é a massa específica do fluido. No SI 𝑚𝑚 é medido em 
kg, e 𝜌𝜌, em kg/m³. As equações 2a e 2b valem também para fluidos 
incompressíveis. A questão é que 𝜌𝜌 é constante. 
A conservação da massa parte da Lei de Lavoisier criada no final do 
século XVIII pelo cientista francês Antoine Laurent Lavoisier (1743-1794), que 
diz: “Na natureza, nada se perde, nada se cria, tudo se transforma”. 
Pensando no caso da mangueira, podemos dizer que o que escoa para 
dentro da mangueira deve escoar para fora dela. Assim, tem-se que: 
�𝑄𝑄𝑒𝑒 =�𝑄𝑄𝑠𝑠 (3) 
para fluidos incompressíveis, ou 
 
 
4 
��̇�𝑚𝑒𝑒 =��̇�𝑚𝑠𝑠 (4) 
para fluidos incompressíveis e compressíveis. 
A equação da conservação da massa é também chamada de equação da 
continuidade. A Figura 2 ilustra uma situação para aplicação desse conceito. 
Figura 2 – Ilustração de conservação da massa 
 
Créditos: petrroudny43/Shutterstock. 
Exemplo 1: Para a situação apresentada na Figura 2, considere 𝑑𝑑1 = 100 𝑚𝑚𝑚𝑚 e 
𝑑𝑑2 = 50 𝑚𝑚𝑚𝑚. Para uma velocidade de saída de 2 m/s, determine a velocidade na 
entrada do sistema, a vazão volumétrica e a vazão mássica. Considere 𝜌𝜌á𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔 =
1000 𝑘𝑘𝑘𝑘/𝑚𝑚³. 
Solução: Pela equação 1b, podemos determinar a vazão volumétrica do fluido: 
𝑄𝑄 = 𝑣𝑣𝑣𝑣 → 𝑄𝑄 = 2.
𝜋𝜋. 0,05²
4
 → 𝑄𝑄 = 3,927. 10−3 𝑚𝑚3/𝑠𝑠 
Pela equação 2b, podemos determinar a vazão mássica do fluido: 
�̇�𝑚 = 𝜌𝜌𝑣𝑣𝑣𝑣 → �̇�𝑚 = 1000.2.
𝜋𝜋. 0,05²
4
 → �̇�𝑚 = 3,927 𝑘𝑘𝑘𝑘/𝑠𝑠 
A água é um fluido incompressível, logo podemos aplicar a equação 3 ou 
4 e obter a velocidade do fluido na entrada: 
�𝑄𝑄𝑒𝑒 =�𝑄𝑄𝑠𝑠 → 𝑣𝑣1𝑣𝑣1 = 𝑣𝑣2𝑣𝑣2 
 
 
5 
𝑣𝑣1
𝜋𝜋. 0,1²
4
= 3,927. 10−3 → 𝑣𝑣1 =
3,927. 10−3. 4
𝜋𝜋. 0,1²
 → 𝑣𝑣1 = 0,5 𝑚𝑚/𝑠𝑠 
Exemplo 2: Considere o escoamento mostrado na Figura 3. A água entra pela 
seção 1 e sai pelas seções 3 e 4. As áreas das seções são: 𝑣𝑣1 = 0,2 𝑚𝑚2, 𝑣𝑣2 =
0,2 𝑚𝑚2 e 𝑣𝑣3 = 0,15 𝑚𝑚2. O fluido vaza para fora do tubo no orifício de seção 4 com 
uma vazão volumétrica estimada em 𝑄𝑄4 = 0,1
𝑚𝑚3
𝑠𝑠
. As velocidades médias nas 
seções 1 e 3 são 𝑣𝑣1 = 5 𝑚𝑚/𝑠𝑠 e 𝑣𝑣3 = 12 𝑚𝑚/𝑠𝑠, respectivamente. Determine a 
velocidade do escoamento na seção 2. 
Figura 3 – Figura para exemplo 2 
 
Fonte: Fox et al., 2018. 
Solução: Sabendo a velocidade da seção 1 e sua respectiva área, podemos 
determinar a vazão volumétrica na entrada aplicando a equação 1b: 
𝑄𝑄1 = 𝑣𝑣1𝑣𝑣1 → 𝑄𝑄1 = 5.0,2 → 𝑄𝑄1 = 1 𝑚𝑚3/𝑠𝑠 
Pela conservação da massa, podemos aplicar a equação 3, isolando a 
velocidade 𝑣𝑣2, conforme solicitado no enunciado. Não é possível saber pelo 
enunciado se a água está saindo ou entrando pela seção 2. Podemos arbitrar 
uma situação. Considerando que o fluido está saindo também pela seção 2, tem-
se: 
�𝑄𝑄𝑒𝑒 =�𝑄𝑄𝑠𝑠 → 𝑄𝑄1 = 𝑄𝑄2 + 𝑄𝑄3 + 𝑄𝑄4 
 
 
6 
𝑄𝑄1 = 𝑣𝑣2𝑣𝑣2 + 𝑣𝑣3𝑣𝑣3 + 𝑄𝑄4 → 𝑣𝑣2 =
(𝑄𝑄1 − 𝑣𝑣3𝑣𝑣3 − 𝑄𝑄4)
𝑣𝑣2
 
𝑣𝑣2 =
(1 − 12.0,15 − 0,1)
0,2
 → 𝑣𝑣2 = −4,5 𝑚𝑚/𝑠𝑠 
O sinal negativo indica que a situação real é oposta ao que assumimos 
para a seção 2, ou seja, o fluido na verdade está entrando pela seção 2, e não 
saindo. 
Exemplo 3: A água escoa pelo hidrante mostrado na Figura 4. Ela entra pela 
seção em C de diâmetro de 6 pol com uma vazão volumétrica de 𝑄𝑄𝐶𝐶 = 4 𝑝𝑝é𝑠𝑠/𝑠𝑠. 
Considerando que a velocidade na saída do esguicho em A, de 2 pol de 
diâmetro, é de 𝑣𝑣𝐶𝐶 = 60 𝑝𝑝é𝑠𝑠/𝑠𝑠, determine a velocidade em pés/s da mangueira na 
saída da seção B de 3 pol de diâmetro. 
Figura 4 – Figura para exemplo 3 
 
Fonte: Hibbeler, 2016. 
Solução: A partir da equação 1b, podemos determinar a vazão volumétrica da 
seção A, porém há uma disparidade em relação às unidades. Para transformar 
o diâmetro de pol em pés, basta dividir o valor por 12; assim, tem-se: 
 
 
7 
𝑄𝑄𝐴𝐴 = 𝑣𝑣𝐴𝐴𝑣𝑣𝐴𝐴 → 𝑄𝑄𝐴𝐴 = 60.
𝜋𝜋 � 212�
2
4
 → 𝑄𝑄𝐴𝐴 = 1,309 𝑝𝑝é𝑠𝑠³/𝑠𝑠 
Aplicando a equação da conservação da massa (equação 3), podemos 
descobrir a vazão volumétrica em B: 
�𝑄𝑄𝑒𝑒 =�𝑄𝑄𝑠𝑠 → 𝑄𝑄𝐶𝐶 = 𝑄𝑄𝐴𝐴 + 𝑄𝑄𝐵𝐵 
𝑄𝑄𝐵𝐵 = 𝑄𝑄𝐶𝐶 − 𝑄𝑄𝐴𝐴 → 𝑄𝑄𝐵𝐵 = 4 − 1,309 → 𝑄𝑄𝐵𝐵 = 2,691
𝑝𝑝é𝑠𝑠
𝑠𝑠
 
Substituindo a vazão volumétrica e o diâmetro na equação 1b (lembrando 
que o diâmetro deve ser transformado de pol para pés), tem-se: 
𝑄𝑄𝐵𝐵 = 𝑣𝑣𝐵𝐵𝑣𝑣𝐵𝐵 → 2,691 = 𝑣𝑣𝐵𝐵
𝜋𝜋. � 312�
2
4
 
𝑣𝑣𝐵𝐵 =
2,691.4
𝜋𝜋. � 312�
2 → 𝑣𝑣𝐵𝐵 = 54,82
𝑝𝑝é𝑠𝑠
𝑠𝑠
 
Exemplo 4: O ar escoa para o aquecedor a gás em regime permanente, de 
modo que, em 𝑨𝑨, sua pressão absoluta é 203 kPa, sua temperatura é 20 °C, e 
sua velocidade é 15 m/s. Quando ele sai em 𝑩𝑩, está em uma pressão absoluta 
de 150 kPa e uma temperatura de 75 °C. Determine sua velocidade em 𝑩𝑩. 
Figura 5 – Figura para exemplo 4 
 
Fonte: Hibbeler, 2016. 
 
 
8 
Solução: Esse caso envolve um fluido compressível, por isso a vazão deveser 
determinada considerando-se a massa do fluido, e não seu volume. Porém, para 
aplicá-la, é necessário conhecer a massa específica do fluido. É possível obtê-
la por meio da equação geral do gás ideal, vista anteriormente, dada por: 
𝑃𝑃 = 𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌 → 𝜌𝜌 =
𝑃𝑃
𝜌𝜌𝜌𝜌
 
Vale lembrar que 𝜌𝜌 é a constante do gás, e 𝜌𝜌 é a temperatura em K. 
Substituindo na equação acima, podemos determinar as massas específicas na 
entrada e na saída, relacionando-as com a constante do gás: 
𝜌𝜌𝐴𝐴 =
𝑃𝑃𝐴𝐴
𝜌𝜌𝜌𝜌𝐴𝐴
 → 𝜌𝜌𝐴𝐴 =
203.10³
𝜌𝜌(20 + 273)
 → 𝜌𝜌𝐴𝐴 =
692,83
𝜌𝜌
 
𝜌𝜌𝐵𝐵 =
𝑃𝑃𝐵𝐵
𝜌𝜌𝜌𝜌𝐵𝐵
 → 𝜌𝜌𝐵𝐵 =
150.10³
𝜌𝜌(75 + 273)
 → 𝜌𝜌𝐵𝐵 =
431,03
𝜌𝜌
 
Substituindo as massas específicas do fluido na entrada e na saída nas 
equações 4 e 2b, podemos obter a velocidade na saída: 
��̇�𝑚𝑒𝑒 =��̇�𝑚𝑠𝑠 → �̇�𝑚𝐴𝐴 = �̇�𝑚𝐵𝐵 → 𝜌𝜌𝐴𝐴𝑣𝑣𝐴𝐴𝑣𝑣𝐴𝐴 = 𝜌𝜌𝐵𝐵𝑣𝑣𝐵𝐵𝑣𝑣𝐵𝐵 
692,83
𝜌𝜌
. 15.
𝜋𝜋. 0,1²
4
=
431,03
𝜌𝜌
. 𝑣𝑣𝐵𝐵.
𝜋𝜋. 0,15²
4
 
𝑣𝑣𝐵𝐵 =
�692,83𝜌𝜌 . 15.
𝜋𝜋. 0,1²
4 �
�431,03𝜌𝜌 .
𝜋𝜋. 0,15²
4 �
 → 𝑣𝑣𝐵𝐵 =
�692,83𝜌𝜌 . 15.
𝜋𝜋. 0,1²
4 �
�431,03𝜌𝜌 .
𝜋𝜋. 0,15²
4 �
 
𝑣𝑣𝐵𝐵 =
(692,83.15.0,1²)
(431,03.0,15²)
 → 𝑣𝑣𝐵𝐵 = 10,72 𝑚𝑚/𝑠𝑠 
TEMA 2 – TIPOS DE ESCOAMENTOS DE FLUIDOS (REYNOLDS) 
Já vimos anteriormente o que é um escoamento viscoso e invíscido. 
Invíscido significa que a viscosidade é nula no problema, ou seja, 𝜇𝜇 = 0 revela 
que não há perdas devido ao atrito no escoamento. Caso ela seja relevante, 
consideramos o escoamento como viscoso. 
Em 1883, Osborne Reynolds apresentou um experimento que evidenciou 
a existência de dois tipos de escoamento: laminar e turbulento. O escoamento 
laminar é aquele em que as partículas fluidas se movimentam em camadas lisas 
ou laminares, ao passo que no turbulento essas partículas rapidamente se 
misturam enquanto se movimentam ao longo do escoamento (Figura 6). 
 
 
9 
Figura 6 – Escoamentos laminar e turbulento 
 
Créditos: ScientificStock/Shutterstock. 
Reynolds identificou uma região de transição do escoamento laminar para 
o turbulento. Nela, verificou o aparecimento repentino de turbilhões e conseguiu 
identificar que o intervalo desses turbilhões seria um dado importante para definir 
essa região. Ele concluiu que havia um parâmetro por análise dimensional que 
poderia estabelecer se um escoamento estaria em regime viscoso laminar ou 
turbulento, o qual foi nomeado de número de Reynolds em sua homenagem e é 
descrito por: 
𝜌𝜌𝑒𝑒 =
𝜌𝜌𝑣𝑣𝜌𝜌
𝜇𝜇
 (5𝑎𝑎) 
𝜌𝜌𝑒𝑒 =
𝑣𝑣𝜌𝜌
𝜈𝜈
 (5𝑏𝑏) 
em que 𝜌𝜌 é a massa específica do fluido, 𝑣𝑣 a velocidade, 𝜌𝜌 é o diâmetro do duto 
para escoamento interno, 𝜇𝜇 é a viscosidade dinâmica e 𝜈𝜈 é a velocidade 
cinemática. 
A equação geral do número de Reynolds é definida como: 
𝜌𝜌𝑒𝑒 =
𝜌𝜌𝑣𝑣𝜌𝜌
𝜇𝜇
 (6𝑎𝑎) 
𝜌𝜌𝑒𝑒 =
𝑣𝑣𝜌𝜌
𝜈𝜈
 (6𝑏𝑏) 
em que 𝜌𝜌 corresponde ao comprimento característico da geometria do 
escoamento. 
De forma geral assumimos para escoamentos internos o seguinte 
intervalo: para valores de número Reynolds até 2300, o escoamento é do tipo 
laminar; para valores entre 2300 e 4000, é de transição (2300 ≤ 𝜌𝜌𝑒𝑒 ≤ 4000); e 
para valores acima de 4000, é dito como turbulento (Fox et al., 2018). 
Nos casos em que o fluido escoa sobre uma superfície plana, a velocidade 
adjacente à superfície é zero, porém aumenta à medida que se afasta da 
 
 
10 
superfície até que atinja a velocidade de corrente livre 𝐔𝐔 (velocidade do fluido 
fora da superfície) (Figura 7). 
Figura 7 – Escoamento sobre uma superfície 
 
Fonte: Hibbeler, 2016. 
Isso é provocado pela tensão de cisalhamento entre as camadas do fluido. 
Observe que o cisalhamento é oposto à velocidade, ou seja, ele é máximo na 
superfície e vai se aproximando de zero conforme se afasta dela. Ludwig Prandtl 
reconheceu essa diferença do comportamento do fluido, e para a região de 
velocidade variável chamou-a de camada-limite. 
No projeto de hélices, asas, pás de turbinas, casco de navio etc., é 
necessário conhecer o escoamento que atua dentro da camada-limite, que pode 
ser dividida nas três regiões: laminar, transição e turbulenta (Figura 8). 
 
 
 
 
 
 
11 
Figura 8 – Regiões da camada-limite 
 
Fonte: Hibbeler, 2016. 
A forma mais simples de identificar a espessura da camada-limite em 
dada coordenada 𝑥𝑥 é defini-la como uma altura 𝛿𝛿, em que a velocidade atinge 
99% da velocidade de corrente livre, ou seja, 𝑢𝑢 = 0,99𝑈𝑈 (Figura 9). 
Figura 9 – Espessura da camada-limite 
 
Fonte: Hibbeler, 2016. 
Para escoamento ao longo de uma placa plana, o número de Reynolds é 
definido por: 
𝜌𝜌𝑅𝑅𝑥𝑥 =
𝑈𝑈𝑥𝑥
𝜇𝜇
=
𝜌𝜌𝑈𝑈𝑥𝑥
𝜈𝜈
 (7) 
 
 
12 
em que 𝑈𝑈 corresponde ao componente escalar da velocidade da corrente livre e 
𝑥𝑥 é a distância percorrida da entrada até o escoamento atingir o perfil plenamente 
desenvolvido (onde ocorre a transição). 
O escoamento é considerado do tipo laminar em placas planas quando o 
número de Reynolds é 𝜌𝜌𝑅𝑅𝑥𝑥 ≤ 5. 105. 
No nosso estudo, o número de Reynolds será muito importante para 
entender o escoamento interno, como veremos nos próximos tópicos. 
TEMA 3 – EQUAÇÃO DE BERNOULLI 
Neste tópico, será apresentada a equação de Bernoulli. Trata-se de uma 
das principais equações da mecânica dos fluidos e é utilizada para descrever o 
comportamento do escoamento de fluidos em tubulações, entre outras 
aplicações, como na aviação. 
Em 1738, o matemático, físico e médico Daniel Bernoulli publicou seu livro 
Hydrodynamica, no qual apresentou a equação que descreve o comportamento 
dos fluidos em movimento no interior de tubulações e que posteriormente ficou 
conhecida por equação de Bernoulli. Considerando-se dois pontos quaisquer (1 
e 2), localizados na mesma linha de corrente, tem-se 
𝑃𝑃1
𝜌𝜌
+
𝑣𝑣1²
2
+ 𝑘𝑘𝑧𝑧1 =
𝑃𝑃2
𝜌𝜌
+
𝑣𝑣2²
2
+ 𝑘𝑘𝑧𝑧2 (8) 
em que 𝑃𝑃
𝜌𝜌
 está associado à energia de escoamento, 𝑣𝑣²
2
 é a energia cinética e 𝑘𝑘𝑧𝑧 
é a energia potencial. Multiplicando-se a equação 8 pela massa específica do 
fluido, tem-se a equação de Bernoulli em termos de pressão: 
𝑃𝑃1 + 𝜌𝜌
𝑣𝑣1²
2
+ 𝜌𝜌𝑘𝑘𝑧𝑧1 = 𝑃𝑃2 + 𝜌𝜌
𝑣𝑣2²
2
+ 𝜌𝜌𝑘𝑘𝑧𝑧2 (9) 
Para simplificar a utilização em termos de unidades, a equação 8 pode 
ser reescrita dividindo-a pela gravidade: 
𝑃𝑃1
𝛾𝛾
+
𝑣𝑣1²
2𝑘𝑘
+ 𝑧𝑧1 =
𝑃𝑃2
𝛾𝛾
+
𝑣𝑣2²
2𝑘𝑘
+ 𝑧𝑧2 (10) 
em que 𝑃𝑃
𝛾𝛾
 está associado a carga de pressão (m), 𝑣𝑣²
2𝑔𝑔
 é a carga cinética (m) e 𝑘𝑘𝑧𝑧 
é a carga potencial (m). 
Exemplo 5: Uma redução de seção é colocada em um duto de ar retangular 
(Figura 10). Se a vazão de ar é 3 lbf/s que escoa de forma permanente no duto, 
 
 
13 
determine a variação da pressão que ocorre entre as extremidades da redução. 
Considere 𝛾𝛾𝑔𝑔𝑎𝑎 = 0,075 𝑙𝑙𝑏𝑏𝑙𝑙/𝑝𝑝é3 e 𝑘𝑘 = 32,2 𝑝𝑝é𝑠𝑠/𝑠𝑠². 
Figura 10 – Figura para exemplo 5 
 
Fonte: Hibbeler, 2016. 
Solução: A linha Datum indica o sistema de referência que, nesse exemplo, 
passa pelo centro da seção transversal da redução. Por conveniência, vamos 
aplicar a equação 10 para determinar a variação entre a pressão do ponto A e 
B, ou seja, 𝑃𝑃𝐴𝐴 − 𝑃𝑃𝐵𝐵: 
𝑃𝑃𝐴𝐴
𝛾𝛾
+
𝑣𝑣𝐴𝐴²
2𝑘𝑘
+ 𝑧𝑧𝐴𝐴 =
𝑃𝑃𝐵𝐵
𝛾𝛾
+
𝑣𝑣𝐵𝐵²
2𝑘𝑘
+ 𝑧𝑧𝐵𝐵 → 
(𝑃𝑃𝐴𝐴 − 𝑃𝑃𝐵𝐵)
𝛾𝛾
=
𝑣𝑣𝐵𝐵²
2𝑘𝑘
+ 𝑧𝑧𝐵𝐵 −
𝑣𝑣𝐴𝐴2
2𝑘𝑘
− 𝑧𝑧𝐴𝐴Como não há diferença de altura na passagem do fluido, 𝑧𝑧𝐴𝐴 = 𝑧𝑧𝐵𝐵, logo 
podemos eliminá-los da equação acima: 
(𝑃𝑃𝐴𝐴 − 𝑃𝑃𝐵𝐵) =
(𝑣𝑣𝐵𝐵2 − 𝑣𝑣𝐴𝐴2)𝛾𝛾
2𝑘𝑘
 
Por meio da equação da conservação da massa (equação 4) e da 
equação 2b, podemos determinar a velocidade na entrada, em A, e na saída, em 
B: 
�̇�𝑚 = 𝜌𝜌𝑣𝑣𝑣𝑣 → �̇�𝑚 = 𝜌𝜌𝑄𝑄 → 𝑄𝑄 =
 �̇�𝑚
𝜌𝜌
=
3.32,2
0,075.32,2
 → 𝑄𝑄 = 40 𝑝𝑝é𝑠𝑠3/𝑠𝑠 
𝑄𝑄 = 𝑣𝑣𝑣𝑣 → 𝑣𝑣𝐴𝐴 =
𝑄𝑄
𝑣𝑣𝐴𝐴
=
40
(1.1,5)
 → 𝑣𝑣𝐴𝐴 = 26,67 𝑝𝑝é𝑠𝑠/𝑠𝑠 
 
 
14 
𝑄𝑄 = 𝑣𝑣𝑣𝑣 → 𝑣𝑣𝐵𝐵 =
𝑄𝑄
𝑣𝑣𝐵𝐵
=
40
(0,5.1,5)
 → 𝑣𝑣𝐵𝐵 = 53,33 𝑝𝑝é𝑠𝑠/𝑠𝑠 
(𝑃𝑃𝐴𝐴 − 𝑃𝑃𝐵𝐵) =
(𝑣𝑣𝐵𝐵2 − 𝑣𝑣𝐴𝐴2)𝛾𝛾
2𝑘𝑘
 → (𝑃𝑃𝐴𝐴 − 𝑃𝑃𝐵𝐵) =
(53,33² − 26,67²)0,075
2.32,2
 
(𝑃𝑃𝐴𝐴 − 𝑃𝑃𝐵𝐵) = 2,48
𝑙𝑙𝑏𝑏𝑙𝑙
𝑝𝑝é𝑠𝑠²
 
Como 1 pé equivale a 12 pol, tem-se: 
(𝑃𝑃𝐴𝐴 − 𝑃𝑃𝐵𝐵) = 2,48
𝑙𝑙𝑏𝑏𝑙𝑙
𝑝𝑝é𝑠𝑠²
�
1
12�
2 𝑝𝑝é𝑠𝑠²
𝑝𝑝𝑝𝑝𝑙𝑙²
 → (𝑃𝑃𝐴𝐴 − 𝑃𝑃𝐵𝐵) = 0,0173
𝑙𝑙𝑏𝑏𝑙𝑙
𝑝𝑝𝑝𝑝𝑙𝑙²
 ou 0,0173 𝑝𝑝𝑠𝑠𝑝𝑝 
Exemplo 6: O pistão C se move para a direita em uma velocidade constante de 
5 m/s (Figura 11), e, enquanto faz isso, o ar externo na pressão atmosférica entra 
no cilindro circular através da abertura em B. Determine a pressão dentro do 
cilindro e a potência necessária para mover o pistão. Considere 𝜌𝜌 = 1,23 𝑘𝑘𝑘𝑘/𝑚𝑚³. 
Dica: lembre-se de que potência é força 𝐹𝐹 vezes velocidade 𝑣𝑣, onde a pressão 
também é escrita como 𝑃𝑃 = 𝐹𝐹/𝑣𝑣. 
Figura 11 – Figura para exemplo 6 
 
Fonte: Hibbeler, 2016. 
Solução: Considerando a linha de referência (Datum) passando pelo centro do 
pistão, logo 𝑧𝑧𝐴𝐴 = 𝑧𝑧𝐶𝐶. Como o ponto B está aberto para a atmosfera, é possível 
concluir que, em termos de pressão manométrica, 𝑃𝑃𝐵𝐵 = 0 (𝑚𝑚𝑎𝑎𝑚𝑚). 
O ar entra pelo orifício em B com velocidade igual a zero, pois não há 
nenhum sistema o empurrando com uma velocidade no pistão; ele é 
succionando simplesmente devido ao movimento do pistão. Portanto, 𝑣𝑣𝐵𝐵 = 0. 
Podemos aplicar essas considerações na equação 8, ficando com: 
 
 
15 
𝑃𝑃𝐵𝐵
𝜌𝜌
+
𝑣𝑣𝐵𝐵²
2
+ 𝑘𝑘𝑧𝑧𝐵𝐵 =
𝑃𝑃𝐶𝐶
𝜌𝜌
+
𝑣𝑣𝐶𝐶²
2
+ 𝑘𝑘𝑧𝑧𝐶𝐶 → 
𝑃𝑃𝐶𝐶
𝜌𝜌
+
𝑣𝑣𝐶𝐶²
2
= 0 
𝑃𝑃𝐶𝐶 = −𝜌𝜌
𝑣𝑣𝐶𝐶2
2
 → 𝑃𝑃𝐶𝐶 = −1,23.
52
2
 → 𝑃𝑃𝐶𝐶 = −15,375 𝑃𝑃𝑎𝑎 
Faz sentido o resultado da pressão ser negativo? Certamente sim! Isso 
porque é uma pressão de sucção, e como estamos trabalhando com pressão 
manométrica, valores negativos indicam que o fluido está sendo succionado. 
Para o cálculo da potência necessária, precisamos determinar a força 
aplicada proveniente dessa pressão. Assim, tem-se: 
𝑃𝑃 =
𝐹𝐹
𝑣𝑣
 → 𝐹𝐹 = 𝑃𝑃𝑣𝑣 → 𝐹𝐹 = 15,375.
𝜋𝜋0,05²
4
 → 𝐹𝐹 = 0,0302 𝑁𝑁 
Note que o sinal da pressão não foi introduzido nesse cálculo, pois isso 
não influencia o cálculo da potência, que deve ser sempre positiva 
independentemente se a força ou a pressão é negativa. O cálculo da potência é 
dado por: 
𝑊𝑊 = 𝐹𝐹𝑣𝑣 → 𝑊𝑊 = 0,0302.5 → 𝑊𝑊 = 0,1509 𝑊𝑊 
Exemplo 7: Um avião (Figura 12) está equipado com um piezômetro, que mede 
a pressão atmosférica absoluta de 47,2 kPa, e um tubo de Pitot em B, que mede 
uma pressão de 49,6 kPa. Determine a altitude da aeronave e sua velocidade. 
Figura 12 – Figura para exemplo 7 
 
Fonte: Hibbeler, 2016. 
Solução: Por meio da Tabela 1, podemos descobrir a altitude do avião para 
pressão atmosférica medida no piezômetro. Sabendo que a pressão é de 47,2 
kPa, a altitude corresponde é de 6 km. 
 
 
 
16 
Tabela 1 – Propriedades do ar na pressão atmosférica padrão versus altitude 
 
Fonte: Hibbeler, 2016. 
Vamos aplicar a equação 8 para obter a velocidade do avião. Sabendo a 
pressão atmosférica e a altura em que o avião está; conhecendo a pressão no 
ponto B medida pelo tubo de Pitot, considerando a velocidade do ar com a 
mesma velocidade do avião em A e igual a zero em B do ponto de vista de dentro 
do avião, 𝑣𝑣𝐵𝐵 = 0, para a mesma altura de referência entre os pontos A e B; e 
levando em conta a massa específica do ar 𝜌𝜌𝑔𝑔𝑎𝑎 = 0,6601 𝑘𝑘𝑘𝑘/𝑚𝑚³ conforme a 
Tabela 1, podemos determinar a velocidade da aeronave por: 
𝑃𝑃𝐴𝐴
𝜌𝜌
+
𝑣𝑣𝐴𝐴²
2
+ 𝑘𝑘𝑧𝑧𝐴𝐴 =
𝑃𝑃𝐵𝐵
𝜌𝜌
+
𝑣𝑣𝐵𝐵²
2
+ 𝑘𝑘𝑧𝑧𝐵𝐵 
 
 
17 
47,2.103
0,6601
+
𝑣𝑣𝐴𝐴2
2
=
49,6.103
0,6601
+ 9,81.6.103 → 𝑣𝑣𝐴𝐴 = ��
49,6.10³
0,6601
−
47,2.10³
0,6601
� . 2 
𝑣𝑣𝐴𝐴 = �
(49,6.103 − 47,2.103). 2
0,6601
 → 𝑣𝑣𝐴𝐴 = �3635,81.2 → 𝑣𝑣𝐴𝐴 = 85,27 𝑚𝑚/𝑠𝑠 
Para termos uma ideia um pouco melhor sobre esse resultado, podemos 
multiplicá-lo por 3,6 para obter o resultado em km/h, logo 𝑣𝑣𝐴𝐴 ≅ 307 𝑘𝑘𝑚𝑚/ℎ. 
TEMA 4 – PERDA DE CARGA DISTRIBUÍDA 
Quando um fluido escoa por um sistema de tubulações (Figura 13), ele 
perde pressão por conta de alguns fatores que “atrapalham” seu escoamento. 
Chamamos esse fenômeno de perda de carga. Quando essa perda provém do 
atrito entre o fluido e a parede do tubo, ela é denominada perda de carga 
distribuída, e quando é proveniente de elementos conectados ao sistema, tais 
como curvas, reduções, válvulas etc., perda de carga localizada. 
Figura 13 – Sistema de tubulação 
 
Créditos: Algirdas Gelazius/Shutterstock. 
Considerando-se as perdas de cargas de um sistema, a equação de 
Bernoulli toma a seguinte forma: 
 
 
18 
𝑃𝑃1
𝛾𝛾
+
𝑣𝑣1²
2𝑘𝑘
+ 𝑧𝑧1 =
𝑃𝑃2
𝛾𝛾
+
𝑣𝑣2²
2𝑘𝑘
+ 𝑧𝑧2 + ℎ𝑙𝑙 + ℎ𝑑𝑑 (11) 
em que ℎ𝑙𝑙 se refere à perda de carga localizada, e ℎ𝑑𝑑 é a perda de carga 
distribuída. 
A Figura 14 mostra tubulações enferrujadas, o que, além de aumentar a 
rugosidade da tubulação, reduz o diâmetro nominal do tubo e certamente 
influencia a pressão na saída do sistema. 
Figura 14 – Tubos enferrujados 
 
Créditos: Guava Creative Studio/Shutterstock (esq.); Serhii Hrebeniuk/Shutterstock. 
Na engenharia, o estudo da perda de carga é muito importante quando se 
deseja projetar um sistema de tubulações, na seleção de bombas necessárias 
para manter determinada vazão. 
Podemos determinar a perda de carga distribuída medindo a pressão em 
dois pontos da tubulação, como mostra a Figura 15. 
Figura 15 – Medição da perda de pressão em uma tubulação 
 
Fonte: Hibbeler, 2016. 
A perda de carga distribuída é definida como: 
 
 
19 
ℎ𝑑𝑑 = 𝑙𝑙
𝜌𝜌
𝜌𝜌
𝑣𝑣²
2𝑘𝑘
 (12) 
em que 𝑙𝑙 é o fator de atrito, 𝜌𝜌 é o comprimento, 𝜌𝜌 é o diâmetro da tubulação e 𝑣𝑣 
é a velocidade do fluido na tubulação. 
Para escoamento laminar, o fator de atrito pode ser obtido pela aplicação 
da seguinte equação: 
𝑙𝑙 =
64
𝜌𝜌𝑅𝑅
 (13) 
Para escoamento de transição ou turbulento, ou seja, 𝜌𝜌𝑒𝑒 > 2300, o fator 
de atrito pode ser determinado utilizando-se o diagrama de Moody (Figura 16). 
Figura 16 – Diagrama de Moody 
 
Fonte: Moody, 1944. 
A Tabela 2 mostra a rugosidade para alguns tipos de tubo. 
 
 
 
 
 
 
 
20 
Tabela 2 – Rugosidade de tubos 
 
Fonte: Moody, 1944. 
Considerando escoamentos turbulentos, para evitar a necessidade do uso 
de métodos gráficos (como o diagrama de Moody) na obtenção de 𝑙𝑙, diversas 
expressões matemáticas foram criadas por ajuste de dados experimentais. A 
mais usual para o fator de atrito é a de Colebrook, definida por: 
1
�𝑙𝑙
= −2𝑙𝑙𝑝𝑝𝑘𝑘 �
𝜀𝜀/𝜌𝜌
3,7
+
2,51
𝜌𝜌𝑅𝑅�𝑙𝑙
� (14) 
onde 𝜀𝜀/𝜌𝜌 é a rugosidade relativa, sendo 𝜀𝜀 a rugosidade e 𝜌𝜌 o diâmetro da 
tubulação. 
Exemplo 8: O óleo combustível pesado escoa por 3 km de tubulação de ferro 
fundido com diâmetro de 250 mm (Figura 17). Se avazão volumétrica é de 40 
l/s, determine a perda de carga no tubo. Considere 𝜈𝜈𝑜𝑜 = 0,120. 10−3 𝑚𝑚2/𝑠𝑠. 
Figura 17 – Figura para Exemplo 8 
 
Fonte: Hibbeler, 2016. 
 
Tubo Rugosidade 𝜺𝜺 (mm) 
Aço rebitado 0,9-9 
Concreto 0,3-3 
Madeira 0,2-0,9 
Ferro fundido 0,26 
Ferro galvanizado 0,15 
Ferro fundido asfaltado 0,12 
Aço comercial ou ferro forjado 0,046 
Trefilado 0,0015 
 
 
21 
Solução: A primeira questão é que a vazão não está no SI, e como vamos 
trabalhar no SI nesse exemplo, temos que transformar a vazão volumétrica para 
m³/s, onde 𝜌𝜌 = 1. 10−3 𝑚𝑚³. 
𝑄𝑄 = 40
𝜌𝜌
𝑠𝑠
1. 10−3
𝑚𝑚3
𝜌𝜌
 → 𝑄𝑄 = 40. 10−3
𝑚𝑚3
𝑠𝑠
 
Aplicando a equação 1b, podemos descobrir a velocidade do fluido: 
𝑄𝑄 = 𝑣𝑣𝑣𝑣 → 𝑣𝑣 =
𝑄𝑄
𝑣𝑣
 → 𝑣𝑣 =
40. 10−3
�𝜋𝜋. 0,25²4 �
 → 𝑣𝑣 = 0,8149 𝑚𝑚/𝑠𝑠 
Aplicando a equação 5b, podemos determinar o número de Reynolds que 
será utilizado posteriormente para obter o fator de atrito, 𝑙𝑙: 
𝜌𝜌𝑒𝑒 =
𝑣𝑣𝜌𝜌
𝜈𝜈
 → 𝜌𝜌𝑒𝑒 =
0,8149 .0,25
0,120. 10−3
 → 𝜌𝜌𝑒𝑒 = 1697,65 
Como o número de Reynolds é menor que 2300, logo o escoamento é do 
tipo laminar. Podemos aplicar a equação 13 para obter o fator de atrito: 
𝑙𝑙 =
64
𝜌𝜌𝑅𝑅
 → 𝑙𝑙 =
64
1697,65
 → 𝑙𝑙 = 0,0377 
Sabendo o fator de atrito, podemos obter a perda de carga da tubulação 
apresentada por meio da equação 12: 
ℎ𝑑𝑑 = 𝑙𝑙
𝜌𝜌
𝜌𝜌
𝑣𝑣²
2𝑘𝑘
 → ℎ𝑑𝑑 = 0,0377.
3000
0,25
.
0,8149²
2.9,81
 → ℎ𝑑𝑑 = 15,31 𝑚𝑚 
Como no cálculo do fator de atrito não foi considerada a rugosidade da 
tubulação, pois o escoamento é laminar, podemos afirmar que a perda de carga, 
nesse exemplo, é uma consequência da viscosidade do óleo. 
TEMA 5 – PERDA DE CARGA LOCALIZADA 
Em um sistema de tubulações, quando as perdas de carga provêm de 
curvas, ligações, válvulas etc., são chamadas de perdas de carga localizadas 
ou perdas secundárias. Elas resultam da mistura turbulenta do fluido dentro da 
conexão à medida que ele passa por ela. A equação para o cálculo dessas 
perdas é definida por: 
ℎ𝑙𝑙 = 𝐾𝐾
𝑣𝑣²
2𝑘𝑘
 (15) 
 
 
22 
em que 𝐾𝐾 corresponde ao coeficiente de perda de carga localizada do elemento 
analisado. Esse coeficiente é determinado mediante experimentos, porém há 
diversos manuais com dados desses coeficientes, como mostram o Quadro 1 e 
a Figura 18. 
Quadro 1 – Coeficientes de perda de carga localizada 
Acessório Geometria K Acessório Geometria K 
Cotovelo de 
90° 
Padrão flangeado 0,3 Válvula 
globo 
Aberto 10 
Raio longo flangeado 0,2 Válvula 
angular 
Aberto 5 
Padrão rosqueado 1,5 Válvula de 
gaveta 
Aberto 0,20 
Raio longo 
rosqueado 
0,7 75% 
aberto 
1,10 
Esquadria 1,30 50% 
aberto 
3,6 
Esquadria com 
paletas 
0,20 25% 
aberto 
28,8 
Cotovelo de 
45° 
Padrão rosqueado 0,4 Válvula de 
esfera 
Aberto 0,5 
Raio longo flangeado 0,2 1/3 
fechado 
5,5 
Tê, divisório de 
escoamento 
Rosqueado 0,9 2/3 
fechado 
200 
Flangeado 0,2 Medidor de 
água 
 
7 
Tê, ramificação 
de escoamento 
Rosqueado 2,0 Acoplamento 
 
0,08 
Flangeado 1,0 
Fonte: Ashrae, 2009, e The Engineering Toolbox, [s.d.]. 
 
 
 
 
 
 
23 
Figura 18 – Outros coeficientes de perda de carga localizada 
 
Fonte: Hibbeler, 2016. 
Exemplo 9: Considere a válvula globo em B aberta do sistema de tubos de ferro 
fundido (Figura 19). O diâmetro dos tubos é de 65 mm, e a velocidade média do 
fluido, 2 m/s. Calcule a pressão no tubo em A. Considere 𝜌𝜌á𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔 = 998 𝑘𝑘𝑘𝑘/𝑚𝑚³ e 
𝜈𝜈á𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔 = 0,8. 10−6 𝑚𝑚2/𝑠𝑠. Considere a Figura 18 para obter os coeficientes de 
perda de carga. 
Figura 19 – Sistema de tubulações do exemplo 9 
 
Fonte: Hibbeler, 2016. 
 
 
24 
Solução: Nesse exemplo, trataremos de um sistema com perdas de carga 
localizadas e distribuída, logo aplicaremos as equações 12 e 15. Para empregar 
a equação 12, precisaremos conhecer o fator de atrito, e isso depende do tipo 
de escoamento (laminar ou turbulento). Portanto, devemos determinar o número 
de Reynolds para descobrir o tipo de escoamento. 
𝜌𝜌𝑒𝑒 =
𝑣𝑣𝜌𝜌
𝜈𝜈
 → 𝜌𝜌𝑒𝑒 =
2.0,065
0,8. 10−6
 → 𝜌𝜌𝑒𝑒 = 162500 ou 𝜌𝜌𝑒𝑒 = 1,63. 105 
Podemos concluir que o escoamento é turbulento para esse sistema. Por 
meio do diagrama de Moody, mostrado na Figura 16, é possível obter o fator de 
atrito ou, de forma iterativa, aplicar a equação 14. Considerando o diagrama de 
Moody, precisamos descobrir a rugosidade relativa 𝜀𝜀/𝜌𝜌, onde 𝜀𝜀 = 0,26 conforme 
Tabela 2: 
𝜀𝜀
𝜌𝜌
=
0,26
65
 → 
𝜀𝜀
𝜌𝜌
= 4. 10−3 ou 
𝜀𝜀
𝜌𝜌
= 0,004 
Por intermédio do diagrama de Moody, identificamos o seguinte fator de 
atrito, agora destacado na Figura 20. 
Figura 20 – Destaque do fator de atrito no diagrama de Moody 
 
Fonte: Moody, 1944. 
0,034 
 
 
25 
Observe no diagrama que para 𝜌𝜌𝑒𝑒 = 1,63. 105 e 
𝜀𝜀
𝐷𝐷
= 0,004, o fator de atrito 
é de aproximadamente 𝑙𝑙 = 0,034. Aplicando a equação 12, tem-se: 
ℎ𝑑𝑑 = 𝑙𝑙
𝜌𝜌
𝜌𝜌
𝑣𝑣²
2𝑘𝑘
 → ℎ𝑑𝑑 = 0,034.
(4 + 6)
0,065
.
2²
2.9,81
 → ℎ𝑑𝑑 = 1,066 𝑚𝑚 
Conforme a tabela dos coeficientes de perda de carga apresentada na 
Figura 18, para a válvula globo aberta em B tem-se 𝐾𝐾 = 10 e considerando o 
cotovelo de 90° 𝐾𝐾 = 0,9. Aplicando a equação 15, tem-se: 
ℎ𝑙𝑙 = 𝐾𝐾
𝑣𝑣²
2𝑘𝑘
 → ℎ𝑙𝑙 = 0,9.
2²
2.9,81
+ 10.
2²
2.9,81
 → ℎ𝑙𝑙 = 2,22 𝑚𝑚 
A perda de carga total é a soma da perda de carga distribuída com a 
localizada, logo: 
ℎ𝑇𝑇 = ℎ𝑑𝑑 + ℎ𝑙𝑙 → ℎ𝑇𝑇 = 1,066 + 2,22 → ℎ𝑇𝑇 = 3,289 𝑚𝑚 
Aplicando a equação 11, podemos calcular a pressão no tubo em A. 
Considere o ponto de referência em C conforme Figura 19, 𝑧𝑧𝐶𝐶 = 0, e como o 
ponto C está aberto para a atmosfera, logo 𝑃𝑃𝐶𝐶 = 𝑃𝑃𝑔𝑔𝑎𝑎𝑚𝑚 = 0 (𝑚𝑚𝑎𝑎𝑚𝑚). 
𝑃𝑃𝐴𝐴
𝛾𝛾
+
𝑣𝑣𝐴𝐴²
2𝑘𝑘
+ 𝑧𝑧𝐴𝐴 =
𝑃𝑃𝐶𝐶
𝛾𝛾
+
𝑣𝑣𝐶𝐶²
2𝑘𝑘
+ 𝑧𝑧𝐶𝐶 + ℎ𝑙𝑙 + ℎ𝑑𝑑 
𝑃𝑃𝐴𝐴
998.9,81
+
2²
2.9,81
+ 6 =
2²
2.9,81
+ 3,289 → 𝑃𝑃𝐴𝐴 = (3,289 − 6). 998.9,81 
𝑃𝑃𝐴𝐴 = −26541,72 𝑃𝑃𝑎𝑎 ou 𝑃𝑃𝐴𝐴 = −26,54 𝑘𝑘𝑃𝑃𝑎𝑎 
Como já vimos em exemplos anteriores, a pressão negativa indica que 
ocorre sucção no tubo. 
FINALIZANDO 
Nesta abordagem, você aprendeu equações muito importantes e que são 
bastante empregadas no projeto de plantas industriais. Vimos como determinar 
a vazão volumétrica e mássica, o princípio da conservação da massa, a equação 
de Bernoulli e as perdas de carga distribuídas e localizadas nos sistemas de 
tubulações. 
 
 
26 
REFERÊNCIAS 
ASHRAE – American Society of Heating, Refrigerating, and Air Conditioning 
Engineers. ASHRAE Handbook – Fundamentals. Atlanta, GA: ASHRAE, 2009. 
FOX, R. W. et al. Introdução à mecânica dos fluidos. 9. ed. Rio de Janeiro: 
LTC, 2018. 
HIBBELER, R. C. Mecânica dos fluidos. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 
2016. 
MOODY, L. F. Friction Factors for Pipe Flow. Transactions of the ASME, v. 66, 
n. 8, p. 671-684, Nov 1944. 
THE ENGINEERING TOOLBOX. [S.d.]. Disponível em: 
<http://www.EngineeringTool-Box.com>. Acesso em: 7 nov. 2022. 
	Conversa inicial
	No nosso estudo, o número de Reynolds será muito importante para entender o escoamento interno, como veremos nos próximos tópicos.
	FINALIZANDO
	REFERÊNCIAS