eletrotécnica

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ELETROTÉCNICA INDUSTRIAL
Paulo Sérgio Costa Lino
ELETROTÉCNICA INDUSTRIAL
Universidade do Estado de Mato Grosso - UNEMAT
Campus Renê Barboux
Paulo Sérgio Costa Lino
Com x exemplos
e y ilustrações
Barra do Bugres - MT
Setembro de 2016
Prefácio
Sumário
1 Geração e Distribuição de Energia Elétrica 6
1.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Produção de Energia Elétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.1 Energia Elétrica no Brasil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Linhas de Transmissão e Distribuição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.1 O Sistema Interligado Nacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 Voltagem e Corrente Elétrica 15
2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Voltagem e Corrente Elétrica Alternada Reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3 Posições Relativas de Duas Grandezas Senoidais . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3.1 Regras Para Obter o Ângulo de Fase de Dois Sinais Elétricos . . . . . 20
2.4 Valor Médio da Corrente e da Tensão
Alternada Senoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.5 Valor Eficaz da Tensão e da Corrente Alternada . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.6 Fasores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.6.1 Conceitos e Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.6.2 Divisão de Dois Fasores na Forma Retangular . . . . . . . . . . . . . 31
2.6.3 A Forma Polar de um Fasor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.6.4 A Identidade de Euler e a Forma Exponencial de um Fasor . . . . . . 33
2.6.5 A Notação Fasorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.7 A Tensão e a Corrente Elétrica Complexa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.8 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3 Circuitos Elétricos 42
3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.2 A Impedância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.3 Resposta do Resistor, Indutor e
Capacitor em Corrente Alternada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.3.1 Circuitos Elétricos Puramente Resistivos . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.3.2 Circuitos Elétricos Puramente Indutivos . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.3.3 Circuitos Elétricos Puramente Capacitivos . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.4 Circuitos RL e RC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
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3.5 Circuitos RLC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.6 Circuitos Mistos com Fontes de
Tensão e Corrente Alternadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.7 Aparelhos de Medidas Elétricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.7.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.7.2 Amperímetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.7.3 Voltímetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.7.4 Ohmímetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.8 Ponte de Wheatstone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.8.1 Multímetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.9 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4 Potência e Correção do Fator de Potência 87
4.1 Valor Médio da Potência Elétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.2 Triângulo das Impedâncias, das Potências
e das Tensões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.3 Correção do Fator de Potência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.4 Considerações Sobre o Fator de Potência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.5 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5 Transformadores 101
5.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.2 Considerações Gerais Sobre Transformadores . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.3 Relação Entre Tensão, Corrente e Número
de Espiras em um Transformador Monofásico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.4 Transformador Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.5 Autotransformador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.6 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
6 Motores e Geradores 113
6.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
6.2 Conceitos Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
6.3 Motor Síncrono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
6.4 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
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Capítulo 1
Geração e Distribuição de Energia
Elétrica
1.1 Introdução
A eletricidade é uma das mais importantes formas de energia usada no mundo de hoje.
Sem ela, não existiria: iluminação adequada, comunicações de rádio ou televisão, nem os
serviços telefônicos; e as pessoas teriam que se conformar em viver sem os eletrodomésti-
cos tão comuns hoje em dia. Além disso, sem a eletricidade o setor de transportes não seria
como é atualmente, uma vez que a eletricidade é utilizada em todos os tipos de veículos.
Entre todas as formas secundárias de energia, a eletricidade é a que mais contribui para o
desenvolvimento e o bem-estar da sociedade.
1.2 Produção de Energia Elétrica
Existem diferentes processos para produzir energia elétrica, e todos eles podem ser en-
quadrados de seis categorias:
• Eletricidade Através do Atrito
Neste método descoberto pelos antigos gregos, uma carga elétrica pode ser pro-
duzida pelo atrito entre dois materiais, tais como a seda e o bastão de vidro, ou
como ocorre quando penteamos o cabelo. Essas cargas dão origem a eletricidade
estática, que consiste na transferência de elétrons de um material para outro. Esta é
a razão porque os isolantes como o vidro e a borracha, podem produzir as cargas da
eletricidade estática.
• Eletricidade Através de Reações Químicas
As pilhas e as bateriais são dispositivos capazes de transformar energia química em
energia elétrica por meio de reações espontâneas de oxirredução (em que há trans-
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ferência de elétrons). A diferença entre uma pilha e uma bateria está no fato de que as
pilhas possuem apenas um eletrólito (solução condutora de íons também denominada
de ponte salina) e dois eletrodos. Já a bateria é composta de várias pilhas agrupadas
em série ou em paralelo. Além disso, as pilhas não são recarregáveis, mas as baterias
são.
A pilha eletrolítica é formada por um eletrólito (solução iônica) tais como soluções
ácidas, básicas ou salgadas, dois eletrodos, tais como uma barra de zinco e uma
barra de cobre imersas no eletrólito.
Figura 1.1: Esquema de uma pilha eletrolítica
Quando se mistura ácido sulfúrico (H2SO4) com água para formar o eletrólito em um
recipiente de vidro, o ácido sulfúrico se divide em íons positivos (H+) e em íons nega-
tivos (SO−24 ). O número de cargas positivas é igual ao número de cargas negativas e,
portanto, a solução é neutra. Quando introduzimos as barras de cobre (Cu) e de zinco
(Zn), elas reagem com a solução, mas sendo o zinco mais reativo que o cobre, haverá
mais íons de zinco (Z+2n ) na solução do que íons de cobre (Cu+2), de modo que a barra
de zinco fica com excesso de elétrons, ou seja, fica negativa conforme a figura1.1.
Os íons de zinco se combinam com os íons de sulfato (SO−24 ) para formar o composto
neutro ZnSO4. Além disso, a solução fica com excesso de cargas positivas. Os íons
positivos de hidrogênio (H+) atraem os elétrons livres da barra de cobre, neutralizando
novamente a solução. Porém, agora há falta de elétrons na barra de cobre, isto é, ela
se torna positiva. Finalmente, se ligarmos um condutor metálico (fio) haverá um fluxo
de elétrons através desse condutor, ou seja, teremos uma corrente elétrica contínua
sendo gerada através deste processo e essa corrente elétrica fluirá até que a barra de
zinco seja completamente dissolvida no eletrólito.
• Eletricidade Através de Pressão
Em 1817, o abade e mineralogista francês René J. Hauy (1743−1822) descobriu que o
mineral espato calcário se eletrizava quando comprimido. Mais tarde descobriu que a
força da pressão se transmite através do material para seus átomos, retirando elétrons
de suas órbitas e dirigindo-se no sentido da força. Os elétrons abandonam um lado
do material e se acumula no outro. Portanto, surgem cargas negativas e positivas em
lados opostos. Quando a pressão desaparece, os elétrons retornam a suas órbitas.
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• Eletricidade Através do Calor
Devido alguns materiais terem facilidade de doar elétrons e outros materiais, facili-
dade de receber elétrons, pode haver transferência de elétrons quando, por exemplo,
juntamos dois metais diferentes. Em alguns metais particularmente ativos, a energia
térmica na temperatura ambiente é suficiente para liberar seus elétrons. Isso ocorre,
por exemplo, no cobre e no zinco. Os elétrons abandonam os átomos de cobre e
são recolhidos pelos átomos de zinco. O zinco, então, fica com excesso de elétrons
e se torna carregado negativamente. O cobre, tendo perdido elétrons, adquire carga
positiva.
• Eletricidade Através da Luz
Figura 1.2: Efeito fotoelétrico.
A luz constitui uma forma de energia e geralmente é encarada pelos cientistas como
um conjunto de pequenas partículas de energia chamadas fótons. O efeito fotoelétrico
é a emissão de elétrons por um material, geralmente metálico, quando exposto a uma
radiação eletromagnética (como a luz) de frequência suficientemente alta, que de-
pende do material. Esse efeito pode ser observado quando a luz incide numa placa
de metal, literalmente arrancando elétrons da placa conforme a figura 1.2 e foi obser-
vado pela primeira vez por A. E. Becquerel em 1839. O efeito fotovoltaico é um caso
particular do efeito fotoelétrico no qual a energia luminosa, incidindo sobre uma de
duas placas justapostas, faz com que os elétrons dessa placa sejam libetados para a
outra placa. As placas formas cargas opostas, com uma bateria. Elementos químicos
como potássio, sódio, césio, lítio, selênio, germânio, cádmio e o composto químico
sulfeto de chumbo reagem desse modo à luz.
• Eletricidade Através do Magnetismo
Observamos que os imãs se atraem ou se repelem e a razão disso é que os imãs
produzem campos de forças que se interagem. A força de um campo magnético
também pode ser utilizada para movimentar elétrons e é a base para se entender
como um gerador produz eletricidade. Quando um bom condutor, como o cobre, é
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movimentado através de um campo magnético, a força do campo fornece energia
suficiente para libertar os elétrons de valência dos átomos do cobre. Os elétrons são
deslocados em certas direções, dependendo do modo como o condutor atravessa o
campo magnético. Este efeito é conhecido por princípio de indução eletromagnética
e foi descoberto por Michael Faraday no século XIX. Na verdade, não é necessário
movimentar o condutor através do campo magnético; o mesmo efeito será obtido se
movimentarmos o campo magnético através do condutor. É necessário apenas o
movimento relativo entre eles.
1.2.1 Energia Elétrica no Brasil
O primeiro passo para produzir energia elétrica é obter a força necessária para girar as
turbinas das usinas de eletricidade. Gigantescos sistemas de hélices, elas movem gera-
dores que transformam a energia mecânica (movimento) em energia elétrica. Essa força
pode ser obtida de diversas fontes de energia primária. No Brasil, a energia elétrica vem,
em primeiro lugar, de usinas hidrelétricas; depois, de termelétricas; e, por último, de usinas
nucleares.
• Energia Hidrelétrica: O Brasil possui muitos rios com grandes desníveis, sendo uma
das soluções mais econômicas para fazer girar turbinas é aproveitar a força das águas,
construindo usinas hidrelétricas. Em uma usina desse tipo, uma barragem, também
conhecida como represa, controla as águas do rio. No interior da barragem, são ins-
talados grandes tubos inclinados, geralmente chamados de aquedutos, que abrigam
as turbinas. A água desce pelos tubos e faz girar o sistema de hélices, movimentando
o eixo dos geradores que produzem a energia elétrica. Perto dos geradores são in-
stalados os transformadores que enviam a energia elétrica para os cabos das linhas
de transmissão. Depois de movimentar as turbinas, as águas voltam para o leito do
rio sem sofrer nenhum tipo de degeneração. É por isso que a energia hidrelétrica
é considerada uma fonte limpa, além de ser renovável. Construída e administrada
por Brasil e Paraguai, Itaipu, no rio Paraná, é a segunda maior hidrelétrica do mundo
em potência instalada, com 14.000 Mw (Mw = megawatts) de capacidade de geração,
atrás apenas de Três Gargantas, na China. A Eletrobras detém metade de Itaipu em
nome do governo brasileiro, além de ser dona, por meio de suas empresas, de algu-
mas das principais hidrelétricas em operação no país, como Tucuruí, no rio Tocantins,
e Xingó e as usinas do Complexo Paulo Afonso, no rio São Francisco.
• Energia Termelétrica: Em regiões com poucos recursos hidrográficos, mas com
boas reservas de óleo, carvão ou gás, é possível girar as hélices das turbinas com a
força do vapor resultante da queima desses combustíveis. Para isso, são construídas
usinas termelétricas. A maioria das usinas termelétricas usa fontes primárias consi-
deradas não-renováveis, mas em alguns lugares do Brasil já é possível gerar energia
queimando combustíveis alternativos, como a biomassa.
• Energia Nuclear: Na natureza, algumas substâncias, como o urânio, têm núcleos
atômicos extremamente pesados e instáveis, que podem ser divididos em partículas
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menores se forem bombardeados por nêutrons. Os nêutrons, ao atingir um núcleo
de urânio, provocam sua quebra em dois núcleos menores e a liberação de mais
nêutrons, que, por sua vez, irão atingir outros núcleos de urânio e provocar novas
quebras. Essa é uma reação em cadeia. No momento em que se dividem, os nú-
cleos emitem calor na forma de radiação e essa energia calorífica é usada para gerar
eletricidade. A velocidade de uma reação em cadeia pode ser de dois tipos: não
controlada e controlada. No primeiro caso, a reação ocorre muito rapidamente (em
menos de 1 segundo), liberando enorme quantidade de energia. É o que acontece,
por exemplo, na explosão da bomba atômica. No segundo caso, a reação é contro-
lada pelos chamados reatores de fissão nuclear, permitindo que a energia liberada
seja aproveitada e evitando explosões.
As usinas nucleares brasileiras em operação, Angra 1 e Angra 2 estão localizadas
na Central Nuclear Almirante Álvaro Alberto, que fica em Angra dos Reis, no Rio de
Janeiro, e pertence à Eletrobras Eletronuclear.
Figura 1.3: Esquema para geração de energia elétrica de um reator nuclear.
No Brasil, o consumo de eletricidade cresceu a uma taxa média de 5, 8 % ao ano, de
1973 a 2011, enquanto a demanda total energética foi de 3, 2 %, e o PIB, de 3, 4 %, valores
bem superiores aos verificados no mundo. O consumo residencial, no Brasil, evoluiu, em
média, 6, 3 %, enquanto o industrial, 4, 0 %, evidenciando um maior uso social da energia
elétrica.
1.3 Linhas de Transmissão e Distribuição
Segundo [1], transmissão significa o transporte deenergia elétrica gerada até os centros
consumidores. Para que seja viável, a tensão gerada nos geradores trifásicos de corrente
alternada normalmente de 13, 8 kV deve ser elevada a valores padronizados em função da
potência a ser transmitida e das distâncias aos centros consumidores.
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A energia elétrica é transportada através de linhas de transmissão de muito alta volt-
agem (centenas de quilovolts, pudendo chegar até megavolts). A razão disto é óbvia: a
perda nos cabos é proporcional ao quadrado da corrente e à resistência do cabo e, para
uma dada potência de consumo, diminuir a corrente significa aumentar a voltagem. Estas
linhas terminam em alguma estação distribuidora, onde a voltagem é reduzida para algo
em torno de algumas dezenas de quilovolts e alimenta redes locais, do tamanho de uma
cidade.
Subestações distribuidoras reduzem a voltagem ainda mais (3 a 11 kV ) e alimentam
redes menores, do tamanho de bairros ou de um campus universitário. Transformadores
espalhados no bairro reduzem a alta voltagem para alimentar com a tensão de linha (entre
110 e 220 V eficazes) prédios individuais ou um conjunto de poucas casas. Destes transfor-
madores saem geralmente dois ou três fios "vivos" e um fio de retorno ou "neutro" que é
geralmente aterrado perto do transformador.
A partir de 500 kV , somente um estudo econômico vai decidir se deve ser usada a ten-
são alternada ou contínua, como é o caso da linha de transmissão de Itaipu, com 600 kV em
corrente contínua. Neste caso, a instalação necessita de uma subestação retificadora, ou
seja, que transforma a tensão alternada em tensão contínua, transmitindo a energia elétrica
em tensão contínua e próximo aos centros consumidores, e de uma estação inversora para
transformar a tensão contínua em tensão alternada outra vez, antes de distribuir aos con-
sumidores. O objetivo principal da transmissão em tensão contínua será o da diminuição
das perdas por efeito corona, que é resultante da ionização do ar em torno dos condutores,
com tensões alternadas muito elevadas.
Figura 1.4: Esquema de produção e distribuição de energia elétrica.
A distribuição é a parte do sistema elétrico já dentro dos centros de utilização (cidades,
bairros, indústrias). A distribuição começa na subestação abaixadora, onde a tensão da
linha de transmissão é baixada para valores padronizados nas redes de distribuição primária
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(11 kV ; 13, 2 kV ; 15 kV ; 34, 5 kV etc.). Das subestações de distribuição primária partem as
redes de distribuição secundária ou de baixa tensão. Além disso, as redes de distribuição
dentro dos centros urbanos podem ser aéreas ou subterrâneas. Nas redes aéreas, os
transformadores podem ser montados em postes ou em subestações abrigadas; nas redes
subterrâneas, os transformadores deverão ser montados em câmaras subterrâneas.
As empresas responsáveis pela distribuição também instalam em cada local de consumo
um pequeno aparelho que consegue medir a quantidade de energia por eles utilizada. A
medição é feita por hora e chamamos de horário de pico o momento em que uma localidade
utiliza maior quantidade de energia elétrica. Nos centros urbanos, o horário de pico se dá
por volta das 18 horas, quando escurece e, normalmente, as pessoas chegam do trabalho
acendendo as luzes, ligando os condicionadores de ar e a televisão e tomando banho com
a água aquecida por chuveiros elétricos.
O motivo pelo qual se usa corrente alternada é puramente econômico. As usinas em
geral, são afastadas das cidades, de dezenas de quilômetros de maneira que a corrente
elétrica tem que ser transportada por fios, desde as usinas até as cidades e esse trans-
porte é mais barato por corrente alternada do que por corrente contínua. Dentro da cidade,
a distribuição da corrente elétrica para as residências é mais barata e mais cômoda por
corrente alternada do que por corrente contínua. Além desse motivo econômico há um mo-
tivo técnico importante: com corrente alternada é possível fazermos muito simplesmente
aumentando ou diminuindo a diferença de potencial (tensão) através de transformadores.
Figura 1.5: Esquema do sistema interligado nacional.
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1.3.1 O Sistema Interligado Nacional
O sistema de transmissão brasileiro, considerado o maior do mundo, é controlado pelo
Operador Nacional do Sistema Elétrico (ONS), que conta com a participação de empre-
sas de todo o país, trabalhando de forma interligada. A Eletrobras possui mais da metade
das linhas de transmissão do Brasil e tem participado ativamente da expansão do Sistema
Interligado Nacional (SIN). O SIN, formado basicamente por empresas de geração, trans-
missão e distribuição do país, permite o intercâmbio de energia elétrica entre as diversas
regiões brasileiras. Isso significa que a eletricidade que chega até a sua casa pode ter vi-
ajado centenas ou milhares de quilômetros em linhas de transmissão. A Eletrobras possui
mais da metade das linhas de transmissão do Brasil e tem participado ativamente da expan-
são do Sistema Interligado Nacional (SIN). O SIN, formado basicamente por empresas de
geração, transmissão e distribuição do país, permite o intercâmbio de energia elétrica entre
as diversas regiões brasileiras. Apesar de o SIN abastecer a maior parte do país, alguns
sistemas menores e isolados também são utilizados, principalmente nas regiões Norte e
Nordeste. Os sistemas isolados geram a energia que vai ser consumida apenas em uma
determinada localidade ou até mesmo por uma só indústria.
1.4 Exercícios Propostos
1. Resolva as palavras cruzadas abaixo:
1 Elemento químico usado nas usinas nucleares.
2 Tipo de usina que aproveita os grandes desníveis dos rios para gerar eletricidade.
3 Tipo de isolante elétrico.
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4 Mineral que eletriza quando submetido à pressão.
5 Cientista inglês que descobriu fenômeno de indução eletromagnética permitindo a construção
dos modernos geradores de eletricidade.
6 Forma de energia secundária que mais contribui para o desenvolvimento e bem-estar da so-
ciedade.
7 Solução iônica que compõe uma pilha eletrolítica.
8 Tipo de combustível usado nas usinas termelétricas.
9 Reduzem a voltagem para 3000 a 11000 V. (plural)
10 Dispositivo elétrico capaz de transformar a energia química em energia elétrica
composta de várias pilhas agrupadas.
11 Pequenas partículas que compõe a luz.
12 Emissão de elétrons por um material, geralmente metálico quando exposto a uma
radiação eletromagnética.
2. Com relação a uma pilha eletrolítica responda:
(a) Explique o acontece com as barras de zinco e cobre quando inseridas em um
eletrólito?
(b) O que ocorre com a solução eletrolítica após a formação do sal ZnSO4?
(c) Por que a pilha eletrolítica descarrega?
3. O que é o efeito fotovoltaico?
4. O que é indução eletromagnética?
5. Por que no Brasil a maioria das usinas de geração de eletricidade são hidrelétricas?
6. Quais as principais usinas hidrelétricas do Brasil?
7. Explique a geração de energia elétrica através da energia nuclear.
8. O que é transmissão de energia elétrica?
9. Por que a tensão elétrica é elevada antes de transportar a energia através da linhas
de transmissão?
10. Quais são as 6 etapas no esquema de geração e consumo de energia elétrica?
11. Quais os motivos técnicos e econômicos para o uso da tensão alternada para trans-
mitir a energia elétrica?
12. Como é transmitida a energia elétrica em tensão contínua?
13. O que é o SIN e como ele é formado?
14
Capítulo 2
Voltagem e Corrente Elétrica
2.1 Introdução
A corrente elétrica é o fluxo ordenado de partículas portadoras de carga elétrica, ou tam-
bém, é o deslocamento de cargas dentro de um condutor, quando existe uma diferença de
potencial elétrico entre as extremidades. Tal deslocamento procura restabelecer o equilíbrio
desfeito pela ação de um campo elétrico ou outros meios (reação química, atrito, luz,etc.)
Sabe-se que, microscopicamente, as cargas livres estão em movimento aleatório devido
à agitação térmica. Apesar desse movimento desordenado, ao estabelecermos um campo
elétrico na região das cargas, verifica-se um movimento ordenado que se apresenta super-
posto ao primeiro. Raios são exemplos de corrente elétrica, bem como o vento solar, porém
a mais conhecida, provavelmente, é a do fluxo de elétrons através de um condutor elétrico,
geralmente metálico.
A corrente alternada surgiu quando Nikola Tesla foi contratado por J. Westinghouse para
construir uma linha de transmissão entre Niágara e Buffalo, em NY. Na primeira metade
do século XX havia sistemas de corrente alternada de 25 Hz no Canadá (Ontário) e no
norte dos Estados Unidos. Em alguns casos, estes sistemas (por exemplo, nas Cataratas
do Niágara) perduram até hoje por conveniência das fábricas industriais que não tinham
interesse em trocar o equipamento para que operasse a 60 Hz. As baixas frequências
facilitam a construção de motores de baixa rotação, já que esta é diretamente proporcional
à frequência.
Na maioria dos países da América, inclusive Brasil e EUA, a frequência da rede elétrica
é de 60 Hz. Na Europa, inclusive em Portugal, é usada a frequência de 50 Hz que também
é adotada em alguns países da América do Sul, como por exemplo a Argentina, a Bolívia,
o Chile e o Paraguai.
A corrente alternada foi adotada para transmissão de energia elétrica a longas distân-
cias devido à facilidade relativa que esta apresenta para ter o valor de sua tensão alterada
por intermédio de transformadores. Além disso as perdas em corrente alternada são bem
menores que em corrente contínua. No entanto, as primeiras experiências e transmissões
foram feitas com Corrente contínua (CC).
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2.2 Voltagem e Corrente Elétrica Alternada Reais
O elétron e o próton são as cargas elementares do átomo. Por convenção, estabeleceu
que a carga do elétron seria negativa e a do próton positiva, ou seja, cargas de polaridades
opostas. Aproximando-se cargas de polaridades opostas, verifica-se uma força atrativa
entre elas; aproximando-se cargas de mesmas polaridades, verfica-se uma repulsão en-
tre elas. Assim, experimentalmente, estabeleceu-se uma unidade para se medir a carga
elétrica; esta unidade chama-se "coloumb" (C). A carga de 1 elétron é
e = 1, 6× 10−19 C
ou seja: para formar 1 coloumb são necessários 6 × 1018 elétrons; 1 cm3 de cobre possui
cerca de 8× 1022 elétrons livres. Vejamos agora o conceito de corrente elétrica.
Definição 2.1 Corrente elétrica ou corrente elétrica real é o deslocamento de cargas dentro
de um condutor quando existe uma diferença de potencial elétrico entre suas extremidades.
Tal deslocamento procura restabelecer o equilíbrio desfeito pela ação de um campo
elétrico ou outros meios (reação química, atrito, luz, etc.). Dessa forma, corrente elétrica
é o fluxo de cargas que atravessa a seção reta de um condutor, na unidade de tempo. Se
esse fluxo for constante, denominou-se de ampére a relação:
1 ampére =
1 coloumb
1 segundo
Matematicamente, temos:
i =
dq
dt
Um gerador elétrico é uma máquina que funciona com se fosse uma bomba, criando energia
potencial. Esta energia potencial acumula cargas em um pólo, ou seja, um pólo fica com
excesso de cargas de certa polaridade e no outro pólo há deficiência de cargas. Em outras
palavras, o gerador provoca uma diferença de potencial (d.d.p) entre os seus terminais. Se
esses terminais constituírem um circuito fechado, teremos uma corrente elétrica.
Definição 2.2 Corrente alternada é a corrente elétrica que muda periodicamente de inten-
sidade e sentido.
Definição 2.3 A frequência da corrente elétrica f é o número de ciclos efetuados em um
segundo onde f e é dada em Hertz (Hz). O período T é o tempo em que ocorrem duas
alternâncias consecutivas, ou seja, é o tempo gasto em um ciclo e é expresso em segundos.
Observe que
f =
1
T
Definição 2.4 A frequência angular ou velocidade angular de um sinal elétrico é a frequên-
cia dada em radianos por segundo.
16
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Sendo 1 Hz = 1 ciclo/s = 2π rad/s, segue que
1 Hz 2π rad/s
f Hz ω rad/s
de modo que
ω = 2πf =
2π
T
(2.1)
Definição 2.5 A amplitude ou valor máximo é o valor instantâneo mais elevado atingido
pela grandeza (corrente, tensão ou potência elétrica). Há amplitude positiva e amplitude
negativa. Nestas notas, iremos abordar apenas os sinais elétricos alternados senoidais ou
cossenoidais.
Figura 2.1: Bobina girando na presença de um campo magnético B.
Quando uma espira de área A gira com velocidade angular ω constante, no interior de
um campo magnético B⃗, entre os terminais da espira é induzida uma tensão v e que varia
senoidalmente com o tempo, sendo dada por:
v(t) = BAω cos(ωt+ ϕ) (2.2)
sendo ϕ o ângulo de defasagem em relação ao referencial adotado. Se, em vez de uma
única espira, tivermos uma bobina com N espiras, então
v(t) = NBAω cos(ωt+ ϕ) = vmax cos(ωt+ ϕ) (2.3)
sendo vmax a tensão elétrica máxima. Ligando um resistor de resistência R aos terminais
da espira, a intensidade de corrente alternada i(t) é obtida por:
i(t) =
v(t)
R
=
vmax
R
cos(ωt+ ϕ) = imax cos(ωt+ ϕ) (2.4)
17
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Figura 2.2: Gráfico de um ciclo da corrente alternada i(t) com ϕ = 0.
Observação 2.1 Note que
v(t) = vmax cos
(
2πt
T
+ ϕ
)
(2.5)
e que
i(t) = imax cos
(
2πt
T
+ ϕ
)
(2.6)
Exemplo 2.1 Escreva a tensão alternada senoidal v(t) sabendo que T = 0, 01 s, v(T/4) =
40 V e v(T/2) = 0.
Resolução: A forma geral de v(t) é v(t) = vmax cos(ωt + ϕ). Devemos determinar os
parâmetros vmax, f e ϕ. Da expressão (2.5), temos:
40 = v(T/4) = vmax cos
(
2πT/4
T
+ ϕ
)
0 = v(T/2) = vmax cos
(
2πT/2
T
+ ϕ
)
Da segunda equação,
0 = cos(π + ϕ) ⇒ π + ϕ = cos−1 0 = π/2
de modo que ϕ = −π/2 rad. Da primeira equação,
40 = vmax cos
(
π
2
− π
2
)
= vmax cos 0 = vmax
de modo que vmax = 40 V . Logo, v(t) = 40 cos(200πt− π/2).
Observação 2.2 Se o coeficiente do sinal elétrico senoidal ou cossenoidal é negativo, de-
vemos fazer algumas manipulações trigonométricas para achar o verdadeiro ângulo de fase.
18
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Exemplo 2.2 Determine o ângulo de fase da corrente elétrica alternada i(t) = −20 cos(50t+
π/6).
Resolução: A forma geral deste sinal é i(t) = imax cos(50t + ϕ), sendo imax > 0, portanto,
devemos de algum modo, transformar o coeficiente negativo da corrente alternada dada em
positivo. Da Trigonometria, − cos θ = cos(θ − π), de modo que
i(t) = −20 cos(50t+ π/6) = 20 cos(50t+ π/6− π) = 20 cos(50t− 5π/6)
Logo, ϕ = −5π/6.
2.3 Posições Relativas de Duas Grandezas Senoidais
Na tensão e corrente elétrica alternada senoidal temos a frequência, o período, um ângulo
de defasagem e o valor máximo da grandeza considerada. Observe que para cada instante
distinto de t, temos um valor distinto da tensão ou corrente elétrica alternada.
Definição 2.6 Dados dois sinais elétricos x1(t) e x2(t) senoidais ou cossenoidais, (duas
tensões, duas correntes ou uma tensão e uma corrente) com ângulo de fase ϕ1 e ϕ2, o
ângulo de fase ou defasagem entre os sinais é definido por:
ϕ = |ϕ1 − ϕ2| (2.7)
Sendo −π/2 ≤ ϕ1, ϕ2 ≤ π/2, segue que o ângulo de fase varia de 0 a π rad ou 0◦ a 180◦.
Definição 2.7 Dizemos que duas grandezas elétricas (correntes ou tensões) estão fase
(figura 2.3) se ϕ = 0, ou seja, ϕ1 = ϕ2.
Figura 2.3: Gráfico da corrente e da voltagem em fase.
Definição 2.8 Dizemos que duas grandezas elétricas (correntes ou tensões) estão em
quadratura se ϕ = π/2.
19
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Figura 2.4: Tensão avançada de 90◦ em relação à corrente.
Figura 2.5: Tensão atrasada de 90◦ em relação à corrente.
No gráfico da figura 2.4, a tensão elétrica está avançada 90◦ em relação à corrente
elétrica e no gráfico da figura 2.5, a tensão está atrasada 90◦ em relação à corrente elétrica.
Definição 2.9 Dizemos que duas grandezaselétricas (correntes ou tensões) estão em
oposição (figura 2.6) se ϕ = π rad.
2.3.1 Regras Para Obter o Ângulo de Fase de Dois Sinais Elétricos
Para comparar as fases de duas ondas senoidais ou cossenoidais, as seguintes condições
devem ser válidas:
i) Ambos os sinais devem ser escritos em seno ou cosseno;
ii) Ambos os sinais devem ser escritos com amplitudes positivas;
iii) Ambos os sinais devem ter a mesma frequência.
Portanto, não define-se o ângulo de fase de dois sinais elétricos com velocidades an-
gulares distintas. Além disso, precisamos das seguintes relações trigonométricas dadas na
proposição seguinte para comparação de fases.
Proposição 2.1 Se θ ∈ R, então:
20
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Figura 2.6: Gráfico de duas grandezas em oposição.
i) cos θ = sin
(
θ +
π
2
)
ii) sin θ = cos
(
θ − π
2
)
iii) − cos θ = cos
(
θ ± π
)
iv) − sin θ = sin
(
θ ± π
)
Demonstração:
i) Para este item usamos a fórmula sin(a+ b) = sin a cos b+ sin b cos a com a = θ e b = ϕ,
para obter
sin
(
θ +
π
2
)
= sin θ cos(π/2) + sin(π/2) cos θ = cos θ
ii) Usando a expressão cos(a− b) = cos a cos b+ sin a sin b, temos:
cos
(
θ − π
2
)
= cos θ cos(π/2) + sin θ sin(π/2) = sin θ
iii) De fato,
cos(θ ± π) = cos θ cos π ∓ sin θ sinπ = − cos θ
iv) Segue de maneira análoga ao item anterior.
�
Exemplo 2.3 Determine o ângulo de fase entre os sinais elétricos:
x1(t) = −5 cos(200t+ 10◦) e x2(t) = 4 sin(200t+ 210◦)
21
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Resolução: Usando a proposição 3.7, temos:
x1(t) = −5 cos(200t+ 10◦)
iii)
= 5 cos(200t+ 10◦ + 180◦)
= 5 cos(200t+ 190◦)
i)
= 5 sin(200t+ 190◦ + 90◦)
= 5 sin(200t+ 280◦)
Logo, ϕ = |280◦ − 210◦| = |70◦| = 70◦.
Exemplo 2.4 Determine quantos segundos equivale o ângulo de fase ϕ = 70◦ no exemplo
anterior.
Resolução: De fato,
200 = ω =
2π
T
⇒ T = 0, 0314 s
Desta forma, o sinal elétrico leva 0, 0314 s para completar um ciclo (360◦). Assim,
360◦ 0, 0314 s
70◦ x s
de modo que x = 0, 00611 s.
Exemplo 2.5 Determine o ângulo de fase entre os sinais elétricos:
x1(t) = 3 cos(4t− π/3) e x2(t) = − sin(4t+ 5π/6)
Resolução: Devemos escrever os sinais elétricos usando a mesma função trigonométrica.
Assim,
x1(t) = 3 cos(4t− π/3)
i)
= 3 sin(4t+ π/2− π/3) = 3 sin(4t+ π/6)
Por outro lado,
x2(t) = − sin(4t+ 5π/6)
i)
= sin(4t+ 5π/6− π) = sin(4t− π/6)
Logo, o ângulo de fase desses dois sinais é
ϕ =
∣∣∣∣−π6 − π6
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣−2π6
∣∣∣∣ = π3 rad
Nesse caso, dizemos que o sinal x2(t) está atrasado do sinal x1(t) em π/3 rad ou 60◦.
Exemplo 2.6 Sejam x1 e x2 dois sinais elétricos senoidais com a mesma frequência angular
ω e amplitudes iguais a A. Mostre que se x1 e x2 estão em oposição, então x1(t) = −x2(t).
Resolução: De fato, sejam x1(t) = A sin(ωt+ ϕ1) e x2(t) = A sin(ωt+ ϕ2). Como os sinais
estão em oposição, então |ϕ1 − ϕ2| = 180◦, de modo que ϕ− ϕ2 = ±180◦. Temos dois casos
para considerar:
22
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• Se ϕ− ϕ2 = 180◦, então ϕ1 = ϕ2 + 180◦, de modo que:
x1(t) = A sin(ωt+ ϕ1) = A sin(ωt+ ϕ2 + 180
◦)
= −A cos(ωt+ ϕ2) = −x2(t)
• Se ϕ− ϕ2 = −180◦, então ϕ1 = ϕ2 − 180◦, de modo que:
x1(t) = A sin(ωt+ ϕ1) = A sin(ωt+ ϕ2 − 180◦)
= −A cos(ωt+ ϕ2) = −x2(t)
Exemplo 2.7 Determine os possíveis valores de ϕ1 de modo que os sinais elétricos x1(t) =
−4 cos(6t+ ϕ1) e x2(t) = − cos(6t+ 60◦) estejam em quadratura.
Resolução:
Proposição 2.2 Dado o sinal elétrico x(t) = a cos(ωt)+b sin(ωt). Se x(t) = xmax cos(ωt−ϕ),
mostre que
ϕ = tan−1
b
a
e xmax =
√
a2 + b2 (2.8)
Demonstração: Usando a fórmula do cosseno da soma de dois arcos, temos:
x(t) = xmax cos(ωt− ϕ) = xmax[cos(ωt) cosϕ+ sin(ωt) sinϕ]
= xmax cos(ωt) cosϕ+ xmax sin(ωt) sinϕ
(2.9)
Por outro lado,
x(t) = a cos(ωt) + b sin(ωt) (2.10)
Comparando as expressões (2.9) e (2.10), segue que{
xmax cosϕ = a
xmax sinϕ = b
(2.11)
Dividindo a segunda expressão pela primeira, temos:
xmax sinϕ
xmax cosϕ
=
b
a
⇒ tanϕ = b
a
⇒ ϕ = tan−1 b
a
e
x2max cos
2 ϕ+ x2max cos
2 ϕ = a2 + b2 ⇒
x2max[cos
2 ϕ+ sin2 ϕ] = a2 + b2
Como cos2 ϕ+ sin2 ϕ = 1, então x2max = a2 + b2. Logo,
xmax =
√
a2 + b2
�
23
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Exemplo 2.8 Determine o ângulo de fase entre as correntes elétricas:
i1(t) = 4 cos(100πt− 45◦) e i2(t) = 7 cos(100πt)− 24 sin(100πt)
Resolução: Na corrente elétrica i2(t), a = 7 e b = −24, de modo que
i2max =
√
72 + (−24)2 = 25 e ϕ2 = tan−1
b
a
= tan−1(−24
7
) = −73, 74◦
Assim,
i2(t) = 25 cos(100πt− (−73, 74◦)) = 25 cos(100πt+ 73, 74◦)
e sendo i1(t) = 4 cos(100πt− 45◦), segue que
ϕ = |ϕ1 − ϕ2| = | − 45◦ − 73, 74◦| = 118, 74◦
2.4 Valor Médio da Corrente e da Tensão
Alternada Senoidal
Definição 2.10 O valor médio denotado por imed representa o valor que uma corrente con-
tínua deveria ter para transportar a mesma quantidade de eletricidade em um mesmo inter-
valo de tempo.
Proposição 2.3 O valor médio da corrente elétrica alternada senoidal ou cossenoidal é
dada por:
imed =
2
π
imax (2.12)
Demonstração: Seja i(t) = imax sin(ωt + ϕ). Observe que devemos considerar apenas
metade do ciclo de uma corrente alternada senoidal, pois o valor médio de um ciclo é zero,
já que a integral na parte positiva e a integral da parte negativa tem sinais contrários. Isto
pode ser visto na figura 2.2. Para determinar o intervalo de meio ciclo basta acharmos dois
zeros consecutivos de i(t), isto é,
0 = i(t) = imax sin(ωt+ ϕ) ⇒ ωt1 + ϕ = 0 ⇒ t1 = −
ϕ
ω
Analogamente,
0 = i(t) = imax sin(ωt+ ϕ) ⇒ ωt2 + ϕ = π ⇒ t2 =
π − ϕ
ω
Observe que t2 − t1 =
π
ω
. O valor médio da corrente alternada é dada por:
imed =
1
t2 − t1
∫ t2
t1
imax sin(ωt+ ϕ)dt =
ωimax
π
[
− 1
ω
cos
(
ωt+ ϕ
)]π−ϕω
− ϕ
ω
= −ωimax
ωπ
[cos(π − ϕ+ ϕ)− cos(−ϕ+ ϕ)]
= −imax
π
× (−2) = 2
π
imax
24
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�
Observação 2.3 Analogamente, a tensão média é dada por
vmed =
2
π
vmax
Exemplo 2.9 Determine o valor médio da corrente elétrica:
i(t) =
√
3 cos(20t) + sin(20t) (2.13)
Resolução: Neste caso, a =
√
3 e b = 1, de modo que o valor máximo da corrente i(t) é:
imax =
√
a2 + b2 =
√√
3
2
+ 12 = 2 A
Logo,
imed =
2
π
imax =
2
π
× 2 ≃ 1, 27 A
2.5 Valor Eficaz da Tensão e da Corrente Alternada
O calor desenvolvido em um resistência elétrica é independente do sentido de circulação
da corrente. Deste modo, temos a seguinte definição para o valor eficaz da corrente elétrica
alternada:
Definição 2.11 O valor eficaz da corrente elétrica alternada é o valor da intensidade que
deveria ter uma corrente elétrica contínua para, numa resistência, provocar o mesmo efeito
calorífico no mesmo intervalo de tempo.
Equivalentemente, existirá uma corrente contínua que no mesmo intervalo de tempo T , ou
seja, em um período, produzirá a mesma quantidade de calor que a produzida pela corrente
alternada.
Proposição 2.4 O valor eficaz ief de i(t) = imax sin(ωt+ ϕ) é dado por:
ief =
imax√
2
(2.14)
Demonstração: De fato, a potência elétrica em um intervalo de tempo [t1, t2] dada por
P =
1
t2 − t1
∫ t2
t1
Ri(t)2dt, sendo t1, t2 dois zeros consecutivos da equação sin(ωt + ϕ) = 0.
25
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Assim, ωt1 + ϕ = 0, de modo que t1 = −
ϕ
ω
e ωt2 + ϕ = π, de modo que t1 = −
ϕ+ π
ω
. Note
que t2 − t1 = π/ω, de modo que∫ t2
t1
Ri2efdt =
∫ t2
t1
Ri(t)2dt ⇒∫ t2
t1
Ri2efdt = R
∫ t2
t1
i2max sin
2(ωt+ ϕ)dt ⇒
(t2 − t1)i2ef =
i2max
2
∫ t2
t1
[1− cos(2ωt+ 2ϕ)]dt ⇒
π
ω
i2ef =
i2max
2
[
t− 1
2ω
sin(2ωt+ 2ϕ)
]t2
t1
⇒
π
ω
i2ef =
i2max
2
[
π
ω
− 1
2ω
sin(2ωt2 + 2ϕ) +
1
2ω
sin(2ωt1 + 2ϕ)
]
Mas, sin(2ωt2 + 2ϕ) = sin 2π = 0 e sin(2ωt1 + 2ϕ) = sin 0 = 0. Logo,
i2ef =
i2max
2
⇒ ief =
imax√
2
�
Observação 2.4 A tensão eficaz é definida da mesma forma e consequentemente, se ela
é dada por v(t) = vmax sin(ωt+ ϕ), então
vef =
vmax√
2
(2.15)
Exemplo 2.10 A tensão eficaz de uma tomada lida por um multímetro é 127 V . Determine
a tensão máxima.
Resolução: Sendo vef = 127 V , então
vmax =
√
2 · vef =
√
2 · 127 ≃ 179, 6 V
Exemplo 2.11Uma corrente alternada senoidal tem a seguinte expressão analítica.
i(t) = 10 sin(157t+ ϕ)
Calcule o valor máximo, o valor eficaz da corrente, o valor da velocidade angular e a fre-
quência do sinal senoidal.
Resolução: Sendo i(t) = 10 sin(157t + ϕ), segue que imax = 10 A e ω = 157 rad/s. Além
disso,
ief =
1√
2
imax =
10√
2
= 7, 07 A e f =
ω
2π
=
157
2π
= 25 Hz
26
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Exemplo 2.12 Considere a tensão senoidal representada na figura 2.7. Determine:
a) o período;
b) a frequência f e a frequência angular ω;
c) o valor médio da tensão;
d) o valor eficaz da tensão;
e) o tempo que leva para atingir o primeiro pico.
Figura 2.7: Gráfico de 2, 5 ciclos de uma tensão alternada v(t) com t em segundos.
Resolução:
a) Analisando o gráfico, 2, 5 períodos realizam-se em 6 µs, de modo que T =
6× 10−6
2, 5
=
2, 4× 10−6 s = 2, 4 µs.
b) Para calcular a frequência, usamos a expressão f = 1/T , ou seja,
f =
1
T
=
1
2, 4× 10−6
= 417.000 Hz = 417 kHz
Por outro lado,
ω = 2πf = 2π417.000 = 2.620.088 rad/s
27
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c) Do gráfico acima, o valor máximo é vmax = 5 V , de modo que vmed =
2
π
vmax =
2
π
× 5 =
3, 185 V .
d) Sendo vef =
vmax√
2
, segue que vef =
5√
2
= 3, 535 V . Observe que esse valor efi-
caz produzirá a mesma quantidade de calor que a produzida pela corrente alternada
representada no mesmo intervalo de tempo T .
e) O primeiro pico ocorre para t = T/4, ou seja, t = 24/4 µs = 0, 6 µs.
Exemplo 2.13 Dispomos de uma resistência de 330 kΩ e potência P = 0, 125 w. Determine:
a) o valor eficaz da intensidade máxima de corrente que pode percorrê-la;
b) a amplitude máxima da tensão a que pode ser submetida.
Resolução:
a) Sendo P = Ri2ef , então 0, 125 = 330.000i
2
ef , isto é,
ief = 6, 15× 10−4 A = 6, 15× 10−4 × 103 mA = 0, 615 mA
b) Sendo vef = Rief , então vef = 330.000× 6, 15× 10−4 = 203, 1 V . Logo,
vmax =
√
2vef = 287, 23 V
2.6 Fasores
2.6.1 Conceitos e Propriedades
Figura 2.8: Circuito elétrico de duas malhas.
No próximo capítulo, iremos analisar um circuito elétrico com várias malhas e constituído
de geradores, resistores, capacitores e indutores, tal como a figura 2.8. Em alguma região
28
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do circuito é aplicada uma tensão alternada v(t) = vmax sin(ωt + ϕ). Para descrever o
circuito, aplicamos a lei das malhas e dos nós de Khirchoff e encontramos um sistema de
equações diferenciais não-homogêneas que, em sua maioria não são fáceis de resolvê-las.
Para contornamos esta dificuldade e encontrarmos soluções mais elegantes e concisas,
utilizamos o método fasorial baseado nos números complexos.
Definição 2.12 Um fasor é um número complexo da forma z = x+ yj, sendo x, y ∈ R e j a
unidade imaginária.
Definição 2.13 Quando z = x+ yj ou z = x+ jy, temos:
x = Re(z) = parte real de z,
y = Im(z) = parte imaginária de z,
θ = arg(z) = argumento de z,
r = |z| = valor absoluto de z (módulo de z),
x− yj = z̄ = conjugado de z.
Figura 2.9: Representação geométrica de um número complexo.
Tudo isto está representado na Fig. (2.9). O ângulo θ é medido em radianos, e determi-
nado a menos de múltiplos de 2π; não é definido para x = y = 0.
Observação 2.5 É comum dizer que z = x+ yj é um fasor escrito na forma retangular.
Definição 2.14 Sejam z1 = x1 + y1j e z2 = x2 + y2j dois números complexos. Então, a
adição z1 + z2 e o produto z1z2 são definidos por:
z1 + z2 = (x1 + y1j) + (x2 + y2j) = x1 + x2 + (y1 + y2)j (2.16)
e
z1z2 = (x1 + y1j) · (x2 + y2j) = x1x2 − y1y2 + j(x1y2 + x2y1) (2.17)
29
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Os números da forma x + j0 são números reais e escrevemos x + j0 = x. Em particular,
0 + j0 = 0, 1 + j0 = 1. O número complexo 0 + j1 = j tem a propriedade:
j2 = −1 (2.18)
De fato, usando a definição de produto de dois números complexos, temos:
j2 = j · j = (0 + j1)(0 + j1) = 0 · 0− 1 · 1 + j(0 · 1 + 0 · 1) = −1
A soma e o produto de fasores definidos acima obedecem as leis associativas, comutati-
vas e distributiva do produto em relação à soma. Além disso, existem os elementos neutros
da soma e do produto, o elemento oposto da soma e o elemento inverso da multiplicação.
Apresentamos na proposição abaixo algumas destas propriedades:
Proposição 2.5 Sejam z1 = x1 + y1j, z2 = x2 + y2j e z3 = x3 + y3j três fasore e k ∈ R,
então:
i) z1 + z2 = z2 + z1 (Lei comutativa da adição)
ii) O fasor 0 + 0j é o elemento neutro da soma e o fasor 1 + 0j é o elemento neutro da
multiplicação de fasores.
iii) (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3) (Lei associativa da adição)
iv) Dado o fasor z, o fasor −z é o elemento oposto da soma e se z ̸= 0, o fasor w = z̄
|z|2
é o elemento inverso de z, isto é, zw = 1
v) z1z2 = z2z1 (Lei comutativa do produto)
vi) (z1z2)z3 = z1(z2z3) (Lei associativa do produto)
vii) kz = k(x+ yj) = kx+ kyj (Lei distributiva do produto em relação à soma)
Demonstração: A prova desta proposição são cálculos diretos e será deixada à cargo do
leitor.
�
Exemplo 2.14 Dados os números complexo z1 = 1− j e z2 = 2 + 3j, calcule:
a) z1 + 3z2
b) (2z1)2
c) j(z1 − z2)2
Resolução:
30
Eletrotécnica Industrial Paulo Sérgio Costa Lino
a) Usando a definição de soma de dois números complexos, temos:
z1 + 3z2 = 1− j + 3(2 + 3j) = 1− j + 6 + 9j = 7 + 8j
b) De fato,
(2z1)
2 = 4z21 = 4(1− j)2 = 4(1− j)(1− j) = 4(1− j − j + j2) = 4(1− 2j − 1) = −8j
c) De fato,
j(z1 − z2)2 = j[(1− j)− (2 + 3j)]2 = j(−1− 4j)2 = j(1 + 4j)2 = j[1 + 2 · 4j + (4j)2]
= j[1 + 8j + 16j2] = j[1 + 8j − 16] = j[−15 + 8j] = 8j2 − 15j = −8− 15j
2.6.2 Divisão de Dois Fasores na Forma Retangular
Proposição 2.6 O produto de um fasor não-nulo z = x + yj pelo seu conjugado é igual ao
quadrado do seu módulo, isto é,
z · z̄ = |z|2 (2.19)
Demonstração: De fato,
z · z̄ = (x+ yj) · (x− yj) = x2 − xyj + xyj − y2j2 = x2 + y2 = |z|2
�
A divisão do fasor z1 pelo fasor z2 não-nulos, isto é, z1/z2, baseia-se na proposição
acima, multiplicando e dividindo pelo conjugado do denominador, isto é,
z1
z2
=
z1z̄2
z2z̄2
=
z1z̄2
|z2|2
Exemplo 2.15 Dados os fasores z1 = −1 +
√
3j e z2 =
√
3− j, calcule z1/z2.
Resolução: Multiplicando e dividindo pelo conjugado do fasor z2, temos:
z1
z2
=
−1 +
√
3j√
3− j
=
(−1 +
√
3j)(
√
3 + j)
(
√
3− j)(
√
3 + j)
=
−
√
3− j + 3j +
√
3j2
(
√
3)2 + 12
=
−2
√
3 + 2j
4
= −
√
3
2
+
j
2
2.6.3 A Forma Polar de um Fasor
A forma polar os números complexos ou fasores é muito útil para calcular o produto ou
quociente de dois ou mais números complexos. Para escrever um fasor nesta forma, pre-
cisamos conhecer o seu argumento, isto é, o ângulo do fasor em relação ao eixo x, sendo
adotado como positivo o sentido anti-horário e o seu módulo. Da figura 2.9, temos:
tan θ =
y
x
⇒ θ = arctan y
x
31
Eletrotécnica Industrial Paulo Sérgio Costa Lino
Observação 2.6 Para fins práticos, não levaremos em conta a posição real do fasor nos
quatro quadrantes. Além disso, se x = 0 e y > 0, o argumento é igual 90◦ e se se x = 0 e
y < 0, o argumento é igual a −90◦.
Vimos anterior (ver figura 2.9) que o módulo de um fasor é dado por |z| = r =
√
x2 + y2.
Desta forma, temos as formas de denotar um fasor:
i) Forma polar: Nesta forma são dados r e θ ∈ R e r ≥ 0, sendo r o módulo e θ o
argumento do número complexo z.
ii) Forma retangular: Nesta forma são dados x, y ∈ R, sendo x a parte real e y a parte
imaginária do número complexo z.
A relação entre as duas formas é apresentada na seguinte expressão:
z = x+ yj = r cos θ + jr sin θ = r(cos θ + j sin θ) (2.20)
Exemplo 2.16 Escreva o fasor z = 1 +
√
3j na forma polar.
Resolução: Note que, |z| = r =
√
12 + (
√
3)2 = 2. Sendo x = 1 e y =
√
3, então
θ = tan−1(
√
3/1) = 60◦
Logo, z = 2(cos 60◦ + j sin 60◦).
Proposição 2.7 Dados os fasores z1 = r1(cos θ1+j sin θ1) e z2 = r2(cos θ2+j sin θ2) na forma
polar, então:
i) z1z2 = r1r2[cos(θ1 + θ2) + j sin(θ1 + θ2)]
ii)
z1
z2
=
r1
r2
[cos(θ1 − θ2) + j sin(θ1 − θ2)]
Demonstração:
i) De fato,
z1z2 = r1(cos θ1 + jsin θ1) · r2(cos θ2 + j sin θ2)
= r1r2(cos θ1 cos θ2 + j
2 sin θ1 sin θ2 + j cos θ1 sin θ2 + j cos θ2 sin θ1)
= r1r2[cos(θ1 + θ2) + j sin(θ1 + θ2)]
ii) Este item segue de forma análoga.
�
Exemplo 2.17 Dados os fasores z1 = 1− j e z2 = cos π4 + j sin
π
4
, calcule
z1
z2
.
32
Eletrotécnica Industrial Paulo Sérgio Costa Lino
Resolução: Podemos reescrever o fasor z2 na forma retangular e calcular o quociente
z1
z2
conforme visto acima. Um outro modo é usar a proposição 2.7. Para isso, precisamos
escrever z1 na forma polar. Note que θ1 = arctan(−1) = −π/4 e |z1| =
√
12 + (−12) =
√
2,
de modo que
z1 = 1− j =
√
2
[
cos(−π
4
) + j sin(−π
4
)
]
Logo,
z1
z2
=
√
2
1
[
cos(−π
4
− π
4
) + j sin(−π
4
− π
4
)
]
=
√
2
[
cos(−π
2
) + j sin(−π
2
)
]
= −j
√
2
2.6.4 A Identidade de Euler e a Forma Exponencial de um Fasor
Uma outra maneira de expressar um fasor z é a forma exponencial dada por rejθ, sendo
o fator ejθ a exponencial de Euler o qual está intimamente relacionada com a forma polar
através da proposição abaixo:
Proposição 2.8 Se θ ∈ R, então
ejθ = cos θ + j sin θ (2.21)
Demonstração: Essa identidade pode ser provada usando as séries de Mclaurin das
funções ex, cos x e sin x, isto é,
ex = 1 + x+
x2
2!
+
x3
3!
+
x4
4!
+
x5
5!
+ . . .
cosx = 1− x
2
2!
+
x4
4!
− x
6
6!
+ . . .
sinx = x− x
3
3!
+
x5
5!
− x
7
7!
+ . . .
Se x for substituído por jθ na primeira equação e usando o fato que jn ∈ {−1, 1,−j, j}
conforme o valor de n, obtemos:
ejθ = 1 + jθ +
(jθ)2
2!
+
(jθ)3
3!
+
(jθ)4
4!
+
(jθ)5
5!
+ . . .
=
(
1− θ
2
2!
+
θ4
4!
− . . .
)
+ j
(
θ − θ
3
3!
+
θ5
5!
+ . . .
)
= cos θ + j sin θ
�
Substituindo a expressão (2.21) em (2.20), obtemos
z = rejθ = r(cos θ + j sin θ) (2.22)
33
Eletrotécnica Industrial Paulo Sérgio Costa Lino
Proposição 2.9 Sejam α e β números reais. Então:
i) ejα · ejβ = ej(α+β)
ii)
ejα
ejβ
= ej(α−β)
Demonstração: Segue imediatamente da identidade (2.22) e da proposição 2.7.
�
Observação 2.7 Na demonstração acima, usamos o fato que j2 = −1 e por indução finita
segue que (ejα)n = ejnα, sendo n ∈ Z.
2.6.5 A Notação Fasorial
Desta proposição, observamos que a notação exponencial obedecem as regras para pro-
duto e quociente de potências de bases iguais. Sendo assim, é comum na engenharia
elétrica usar também a seguinte notação para fasores: r θ , isto é,
z = rejθ = r θ (2.23)
Proposição 2.10 Se z1 = r1 α e z2 = r2 β são dois fasores, então:
i) z1 · z2 = r1r2 α+ β
ii)
z1
z2
=
r1
r2
α− β
Demonstração:
i) De fato, z1 = r1 α = r1ejα e z2 = r2 β = r2ejβ. Assim, da proposição 2.9,
z1 · z2 = r1ejα · r2ejβ = r1r2ejαejβ = r1r2ej(α+β) = r1r2 α+ β
ii) Analogamente, usando o item ii) da proposição 2.9, temos:
z1
z2
=
r1e
jα
r2ejβ
=
r1
r2
ej(α−β) =
r1
r2
α− β
�
Exemplo 2.18 Mostre que:
a) 1 0◦ = 1
b) 1 90◦ = j
c) 1 180◦ = j2 = −1
34
Eletrotécnica Industrial Paulo Sérgio Costa Lino
d) 1 −90◦ = 1
j
= −j
e) 2 45◦ =
√
2(1 + j)
Resolução: De fato,
a) 1 0◦ = 1 · ej0◦ = 1 · e0 = 1
b) 1 90◦ = 1 · ej90◦ = cos 90◦ + j sin 90◦ = j
c) 1 180◦ = 1 · ej180◦ = cos 180◦ + j sin 180◦ = −1 + 0 = j2
d)
1 −90◦ = 1 · ej(−90◦) = cos(−90◦) + j sin(−90◦) = 0− j = −j = −j · j
j
=
1
j
Outro modo:
1
j
=
1 0◦
1 90◦
=
1
1
0◦ − 90◦ = 1 −90◦
e)
2 45◦ = 2 · ej45◦ = 2(cos 45◦ + j sin 45◦) = 2
(√
2
2
+ j
√
2
2
)
=
√
2(1 + j)
Exemplo 2.19 Calcule as expressões abaixo usando a notação fasorial.
a) ( 10 60◦ + 4 30◦ )2
b)
(1 + j)2
2 135◦
Resolução:
a)
( 10 60◦ + 4 30◦ )2 = [10(cos 60◦ + j sin 60◦) + 4(cos 30◦ + j sin 30◦)]2
= [5 + 3, 46 + 8, 66j + 2j]2 = (8, 46 + 10, 66j)2 = ( 13, 61 51, 56◦ )2
= 13, 612 2× 51, 56◦ = 185, 23 103, 12◦
b) Sendo 1 + j =
√
2 45◦ , então
(1 + j)2
2 135◦
=
(
√
2 45◦ )2
2 135◦
=
√
2
2
2× 45◦
2 135◦
=
2 90◦
2 135◦
= 1 90◦ − 135◦ = 1 −45◦
35
Eletrotécnica Industrial Paulo Sérgio Costa Lino
2.7 A Tensão e a Corrente Elétrica Complexa
Se realizarmos a experiência de verificação da lei de Ohm, mas aplicando agora grandezas
alternadas, chegaremos à conclusão que se mantém constante o quociente entre a tensão
e a corrente elétrica. Assim, iremos definir a tensão e a corrente elétrica complexa da
seguinte forma:
Definição 2.15 A tensão complexa denotada por V (t) é o fasor
V (t) = vmaxe
j(ωt+α) (2.24)
e a corrente complexa denotada por I(t) é o fasor
I(t) = imaxe
j(ωt+β) (2.25)
Podemos recuperar a tensão e a corrente real, tomando a parte real de V (t) e I(t), isto é,
v(t) = Re[V(t)] = Re[vmaxe
j(ωt+α)]
= vmaxRe[cos(ωt + α) + j sin(ωt + α)] = vmax cos(ωt + α)
Analogamente, i(t) = imax cos(ωt+ β).
Definição 2.16 A tensão fasorial denotada por V é definido por:
V =
V (t)
ejωt
(2.26)
Note que:
V =
V (t)
ejωt
=
vmaxe
jωt · ejα
ejωt
= vmaxe
αj
ou seja,
V = vmax α
Analogamente, definimos a corrente fasorial por:
I =
I(t)
ejωt
=
imaxe
jωt · ejβ
ejωt
= iefe
βj = imax β
Definição 2.17 A representação da tensão e da corrente fasorial em um plano xy chama-se
diagrama fasorial conforme a figura 2.10. Nesta representação usa-se os valores eficazes
ou invés dos valores máximos da tensão e da corrente elétrica.
Exemplo 2.20 Escreva a expressão senoidal para a corrente fasorial I = 25 50◦ , con-
siderando que a frequência é 60 Hz.
36
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Figura 2.10: Representação da tensão e da corrente em um diagrama fasorial.
Resolução: Sendo a frequência f = 60 Hz, então ω = 2π · 60 ≃ 377 rad/s. Além disso,
vmax = 25 A, ângulo de fase é 50◦ e sendo o sinal senoidal, então
i(t) = imax sin(ωt+ ϕ) = 25 sin(377t+ 50
◦)
Podemos usar fasores para somar a tensão em circuito elétrico de uma forma simples.
Para isso, usaremos a proposição a seguir:
Proposição 2.11 Sejam as tensões elétricas v1(t) = a sin(ωt + ϕ1) e v2(t) = b sin(ωt + ϕ2).
A "tensão soma" v(t) = v1(t) + v2(t) é dada por v(t) = |z| sin(ωt+ ϕ), sendo
|z| =
√
a2 + b2 + 2ab cos(ϕ1 − ϕ2) (2.27)
e
ϕ = arctan
(
a sinϕ1 + b sinϕ2
a cosϕ1 + a cosϕ2
)
(2.28)
Demonstração: De fato,
v(t) = a sin(ωt+ ϕ1) + b sin(ωt+ ϕ2) = aIm[e
j(ωt+ϕ1)] + bIm[ej(ωt+ϕ2)]
= Im[aej(ωt+ϕ1) + bej(ωt+ϕ2)] = Im[ejωt(aejϕ1 + bejϕ2)]
Seja z = aejϕ1 + bejϕ2 = a ϕ1 + b ϕ2 . Para achar |z| observe que:
z = aejϕ1 + bejϕ2 = a(cosϕ1 + j sinϕ1) + b(cosϕ2 + j sinϕ2)
z = a cosϕ1 + b cosϕ2 + j(a sinϕ1 + b sinϕ2)
de modo que
|z|2 = (a cosϕ1 + b cosϕ2)2 + (a sinϕ1 + b sinϕ1)2 = a2 + b2 + 2ab(cosϕ1 cosϕ2 + sinϕ1 sinϕ2)
= a2 + b2 + 2ab cos(ϕ1 − ϕ2) ⇒
37
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|z| =
√
a2 + b2 + 2ab cos(ϕ1 − ϕ2)
O argumento de z que denotaremos por ϕ segue do fato que
tanϕ =
a sinϕ1 + b sinϕ2
a cosϕ1 + b cosϕ2
�
Ao invés de usar diretamente as expressões da proposição 2.9, é preferível refazer os
passos da prova numericamente. O próximo exemplo ilustra esta situação.
Exemplo 2.21 Sabendo que a tensão va(t) = 40 sin(377t− 30◦) e vb(t) = 30 sin(377t+ 60◦),
calcule a tensão de entrada no circuito da figura 2.11.
Figura 2.11: Circuito elétrico simples com duas tensões de mesma frequência.
Resolução: Seja v a tensão de entrada no circuito. Note que
v(t) = va(t) + vb(t) = 40 sin(377t− 30◦) + 30 sin(377t+ 60◦)
Sendo vamax = 40 V e ϕa = −30◦, escrevemos o fasor va = 40 −30◦ . Analogamente,
vb = 30 60
◦ . Assim, v = 40 −30◦ + 30 60◦ . Passando para a forma retangular,
segue que:
v = 40[cos(−30◦) + j sin(−30◦)] + 30[cos(60◦) + j sin(60◦)]
= 40(0, 866− 0, 5j) + 30(0, 5 + 0, 866j) = 49, 64 + 5, 98j
=
√
49, 642 + 5, 982ej arctan(5,98/49,64) = 50ej6,87
◦
ou seja, v = 50 6, 87◦ , de modo que v(t) = 50 sin(377t+ 6, 87◦).
Exemplo 2.22 Mostre que:
a) a amplitude da soma de duas tensões em quadratura é dada por vmax =
√
v21max + v
2
2max;
b) o ângulo de fase é dado por ϕ = tan−1
(
v2max
v1max
)
.
38
Eletrotécnica Industrial Paulo Sérgio Costa Lino
Resolução: Sejam v1(t) = v1max sin(ωt) e v2(t) = v2max sin(ωt + 90◦) as duas tensões em
quadratura.
a) Note que ϕ1 = 0◦ e ϕ2 = 90◦. Da expressão 2.27, segue que
vmax =
√
v21max + v
2
2max + 2v1maxv2max cos(0
◦ − 90◦)=
√
v21max + v
2
2max
b) Sendo ϕ1 = 0◦ e ϕ2 = 90◦, então
ϕ = arctan
v1max sin 0
◦ + v2max sin 90
◦
v1max cos 0◦ + v2max cos 90◦
= arctan
(
v2max
v1max
)
2.8 Exercícios Propostos
1. Determine a quantidade de elétrons necessários para formar uma carga de 1, 5 C.
2. O que é corrente elétrica e qual a unidade usual de medida?
3. Explique o que é um gerador elétrico?
4. Com relação ao sinal elétrico i(t) = 10 sin(100πt+ π/4), calcule:
a) a frequência f ; R: f = 50 Hz
b) a corrente elétrica para t = 0; R: i(0) = 7, 07 A
c) o menor valor positivo de t para o qual i(t) = 0.
R: t = 0, 0075 s
5. Escreva a expressão matemática de uma corrente de 5 A com uma frequência de
50 Hz considerando, que se inicia no valor zero. R: i(t) = −5 sin(100πt)
6. Uma tensão tem uma amplitude máxima de 20 V sendo a sua frequência de 50 Hz.
Suponha que onda se inicia no seu máximo positivo, determine o valor da tensão
0, 03 s após o seu início. Sugestão: Use a expressão v(t) = vmax cos(ωt+ ϕ)
R: v(0, 03) = −20 V
7. Escreva a tensão alternada senoidal v(t), sabendo que T = 0, 001 s, v(T/4) = 20 V e
v(3T/2) = −20 V .
R: v(t) = 28, 28 sin(2000πt+ π/4)
8. Mostre que v(t) = vmax sin(ωt− 3π/2) pode ser reescrita na forma v(t) = vmax cos(ωt).
Sugestão: Pesquise e use a expressão para o seno da diferença de dois arcos.
9. Mostre que se dois sinais elétricos x1(t) e x2(t) estão em quadratura, então um deles
é uma senoide e outro é uma cossenoide.
10. Sejam x1 e x2 dois sinais elétricos com frequências e amplitudes iguais. Prove que se
x1 e x2 estiverem em oposição, então x2(t) = −x1(t).
39
Eletrotécnica Industrial Paulo Sérgio Costa Lino
11. Determine o ângulo de fase entre os sinais:
(a) x1(t) = − cos(5t− π/9) e x2(t) = −2 sin(5t+ 5π/9)
(b) x1(t) = 10 cos(4t− 60◦) e x2(t) = 4 sin(4t)− 3 cos(4t)
12. Determine o ângulo de fase entre os sinais elétricos abaixo:
x1(t) = 12 cos(2t)− 5 sin(2t) e x2(t) = 15 cos(2t− π/4)
13. Use a figura 2.12 e deduza as expressões da proposição (2.2).
Figura 2.12: Triângulo mnemônico para deduzir as expressões da proposição 3.7.
14. Determine o ângulo de fase entre as tensões elétricas alternadas v1(t) = 4 cos(ωt+30◦)
e v2(t) = −2 sin(ωt+ 18◦).
R: ϕ = 78◦
15. Sejam os sinais elétricos x1(t) = 4 cos(100πt + 30◦) e x2(t) = −7 cos(100πt − ϕ2).
Sabendo que o ângulo de fase é igual a 60◦, calcule os possíveis valores de ϕ2.
R: ϕ2 = 5π/6 rad ou ϕ2 = π/2 rad
16. Explique o significado de valor médio e valor eficaz.
17. Calcule o valor eficaz de uma onda senoidal de freqüência 1 kHz e amplitude 100 V .
R: vef = 70, 7 V
18. Calcule o valor eficaz de uma onda senoidal de freqüência 2 kHz e amplitude 100 V .
R: vef = 70, 7 V
19. Determine os possíveis valores de a na tensão elétrica v(t) = a cos(50t) + 60 sin(50t),
sabendo que vmed = 63, 7 V .
20. Determine o valor médio da tensão elétrica:
v(t) = 6 sin(10πt)− 8 cos(10πt)
R: vmed = 6, 37 V
21. Calcule as expressões abaixo, apresentando o resultado na forma retangular.
40
Eletrotécnica Industrial Paulo Sérgio Costa Lino
(a) (3− 2j)(−4− 5j) R: −22− 7j
(b) (5 + 12j)(−1 + 4j)(1 + j) R: −61− 45j
(c)
1 + j
1− j
R: j
(d)
(−3 + 4j)2
−4− 3j
R: 4 + 3j
22. Escreva os fasores abaixo na forma polar:
(a) z = 4 + 3j R: 5 36, 87◦
(b) z = −5 + 12j R: 13 −67, 38◦
23. Calcule as expressões abaixo e expresse o resultado na forma fasorial.
(a)
15 45◦
3− 4j
R: 3 98, 13◦
(b)
8 −20◦
2 + j
+
10
−5 + 12j
(c) (10 + 8 50◦ ) · (2− 2j) R: 46, 2 −22, 97◦
(d) 4 −20◦ + 3 + 4j
1− 2j
R: 2, 833 13, 055◦
24. Determine a corrente i2, para o circuito mostrado na figura 2.13. Sugestão: Veja o
exemplo 2.21.
Figura 2.13: Circuito com duas fontes de corrente.
25. Mostre que:
(a) Re[jejωt] = − sin(ωt) = −Im[ejωt]
(b) Im[jejωt] = cos(ωt) = Re[ejωt]
26. Escreva a expressão cossenoidal para os sinais elétricos a seguir, considerando que
a frequência é 60 Hz.
a) V = 12 120◦
b) I = 220 −60◦
41
Capítulo 3
Circuitos Elétricos
3.1 Introdução
Definição 3.1 Um circuito elétrico é um arranjo formado por fios (condutores), elementos
dissipadores (resistores), elementos armazenadores de energia (bobinas e capacitores),
interruptores, fontes de tensão e fontes de corrente elétrica.
Definição 3.2 Em um circuito elétrico definimos os seguintes elementos:
• Nó é um ponto do circuito ao qual estão ligados dois ou mais elementos.
• Nó essencial é um ponto do circuito ao qual estão ligados três ou mais elementos.
• Caminho é uma sequência de elementos ligados entre si na qual nenhum elemento é
incluído mais de uma vez.
• Ramo é um caminho que liga dois nós.
• Malha é um caminho cujo último nó coincide com o primeiro.
Definição 3.3 Um dipolo é a representação de qualquer aparelho elétrico com dois termi-
nais, tais como, resistência, bobina, capacitor ou condensador, gerador, motor, etc.
Nestas notas apenas se consideram os dipolos que são atravessados por uma corrente
elétrica senoidal quando lhes é aplicada uma tensão senoidal ou cossenoidal. Trata-se
então dos dipolos lineares.
Exemplo 3.1 Analise o circuito da figura 3.12 e identique os seus elementos.
Resolução: Os pontos A,B,C,D,E e F são os nós do circuito, não havendo nós essen-
ciais. Temos vários caminhos neste circuito, tais como ABC,BCDEB,ABED, etc. Os
ramos deste circuito são: AB,BC,CD,DE,EF,AF e BE. Temos duas malhas: ABEFA e
BCDEB.
42
Eletrotécnica Industrial Paulo Sérgio Costa Lino
Figura 3.1: Circuito elétrico com duas malhas.
Figura 3.2: Exemplo de circuitos em série e em paralelo.
Definição 3.4 Um circuito em série é aquele onde todos os elementos se encontram interli-
gados em série com a fonte de energia.
Definição 3.5 Um circuito em paralelo é aquele em que todos os elementos se encontram
em paralelo com a fonte de energia.
No circuito em série a corrente elétrica é a mesma em todos os pontos do circuito e a
tensão é dividida proporcionalmente. O circuito paralelo apresenta vários caminhos para
a corrente, a tensão é a mesma em todos os pontos do circuito, porém a corrente varia
de acordo com a resistência. Na figura 3.2, temos um exemplo de um circuito puramente
resistivo em série e um circuito em paralelo.
Definição 3.6 Um circuito misto é aquele que dispõe de dispositivos conectados tanto em
paralelo quanto em série, associados a uma só fonte de tensão.
O circuito misto possui alguns pontos de consumo ligados em série e outros em paralelo.
Como o circuito misto é uma composição de circuitos em série com circuitos em paralelo,
este apresenta em um único circuito as características dos dois circuitos anteriores.
Experimentalmente, o físico Gustav R. Kirchhoff formulou as leis dos nós e das malhas
na análise de circuitos elétricos em 1845, quando ainda era um estudante na Universidade
de Konigsberg. Enunciamos abaixo as duas leis de Kirchhoff.
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• Lei das Correntes ou Lei dos Nós de Kirchhoff: A soma algébrica de todas as
correntes elétricas em um nó do circuito é zero.
• Lei das malhas de Kirchhoff: A soma algébrica das quedas de tensão em qualquer
caminho fechado (malha) em um circuito elétrico é nula.
3.2 A Impedância
Nos circuitos de corrente contínua, a resistência elétrica é a única grandeza que expressa
o impedimento a passagem da corrente elétrica. Em corrente alternada, existem outros
efeitos além do resistivo que influenciam a passagem de corrente no circuito; por exemplo,
a indutância quando o circuito contém bobinas, ou a capacitância quando o circuito contém
capacitores. Deste modo, a razão tensão/corrente em um circuito de corrente alternada não
depende apenas das resistências elétricas do mesmo.
Definição 3.7 Chama-se impedância e denota-se por Z, o quociente entre o fasor tensão
V pelo fasor corrente alternada I, isto é,
Z =
V
I
(3.1)
Figura 3.3: Representação fasorial da tensão e da corrente complexa I(t) = imaxej(ωt+ϕ) e
da tensão V (t) = vmaxejωt.
A sua unidade é igualmente o Ω (ohm). A diferença entre Z e R deve-se ao fato de Z
depender da velocidade angular ω ou frequência f . Emoutras palavras, a impedância Z
é um número complexo no qual relaciona as tensões e as correntes de um circuito. Além
disso, em corrente alternada, a relação entre a tensão e a corrente depende para uma dada
frequência, da impedância Z e o ângulo de defasagem ϕ.
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A figura 3.3 mostra a representação da voltagem e corrente no plano complexo. A cor-
rente e a voltagem são vetores que rodam com velocidade angular ω mantendo o angulo ϕ
fixo.
A grande facilidade do método fasorial é unir resistências, capacitâncias e indutâncias
em um único elemento genérico que é a impedância Z do circuito. A impedância é um valor
em número complexo, na qual também relaciona as tensões e as correntes de um circuito.
A resistência não altera a fase de tensões e correntes. Logo, possuirá somente a parte real,
o que indica que um resistor consome energia.
Definição 3.8 A parte real do fasor impedância Z é a resistência R, isto é, Re(Z) = R e a
parte imaginária é uma grandeza denotada por X chamada de reatância, isto é, X = Im(Z).
Desta forma,
Z = R +Xj (3.2)
Proposição 3.1 Valem as relações entre Z, R e X:
i) |Z| = vmax
imax
ii) |Z| cosϕ = R
iii) |Z| sinϕ = X
iv) |Z|2 = R2 +X2
v) Z = |Z|ejϕ
Demonstração: Sejam V (t) = vmaxej(ωt+ϕ) e I(t) = imaxejωt, então
i) De fato,
|Z| =
∣∣∣∣VI
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣vmaxej(ωt+ϕ)imaxejωt
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣vmaximax
∣∣∣∣|ejϕ| = vmaximax
uma vez que |ejϕ| = | cosϕ+ j sinϕ| =
√
cos2 ϕ+ sin2 ϕ = 1.
ii)
R = Re(Z) = Re
(
V
I
)
= Re
(
vmaxe
j(ωt+ϕ)
imaxejωt
)
=
vmax
imax
Re(ejϕ) =
vmax
imax
cosϕ = |Z| cosϕ
iii)
X = Im(Z) = Im
(
V
I
)
= Im
(
vmaxe
j(ωt+ϕ)
imaxejωt
)
=
vmax
imax
Im(ejϕ) =
vmax
imax
sinϕ = |Z| sinϕ
iv) |Z| = |Re(Z) + jIm(Z)| = |R+ jX| =
√
R2 +X2
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v) De fato,
Z = Re(Z) + jIm(Z) = |Z| cosϕ+ j|Z| sinϕ = |Z|(cosϕ+ j sinϕ) = |Z|ejϕ
�
Exemplo 3.2 Dada a corrente I(t) = 40ej(40t−π/3) e a tensão V (t) = 2000ej40t, determine:
a) o ângulo de defasagem entre a tensão e a corrente complexa;
b) o módulo da impedância, isto é, |Z|;
c) o valor da resitência R;
d) o valor da reatância X;
e) o valor de Z.
Resolução:
a) O ângulo de defasagem é ϕ = −π
3
.
b) Neste caso, |Z| = vmax
imax
=
200
40
= 50 Ω
c) Pelo item ii) da proposição 3.1, temos:
R = |Z| cosϕ = 50 cos(−π
3
) = 25 Ω
d) Pelo item iii) da proposição 3.1, temos:
X = |Z| sinϕ = 50 sin(−π
3
) = −50 sin π
3
= −50 · 0, 866 = −43, 3 Ω
e) Pelo item v) da proposição 3.1, temos Z = |Z|ejϕ = 50e−jπ/3.
3.3 Resposta do Resistor, Indutor e
Capacitor em Corrente Alternada
Na maioria dos circuitos elétricos, utilizam corrente elétrica senoidal ou cossenoidal. Nestes
circuitos elétricos, é possível isolar porções de circuitos compreendidas entre dois terminais
ou nós - são os dipolos.
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Figura 3.4: Circuito puramente resistivo.
3.3.1 Circuitos Elétricos Puramente Resistivos
Definição 3.9 Um resistor é um dipolo formado por um condutor elétrico que oferece uma
certa oposição à passagem da corrente elétrica.
O resistor é responsável por consumir energia elétrica, e convertê-la em calor, ou seja,
energia térmica, esse fenômeno é chamado efeito Joule. O chuveiro elétrico, as lâmpadas
comuns, os fios condutores e o ferro elétrico são exemplos de resistores.
Proposição 3.2 Considere um circuito elétrico puramente resistivo com uma fonte com-
plexa V (t) = vmaxej(ωt+α) e um resistor conforme a figura 3.4, então:
i) A corrente elétrica está em fase com a tensão elétrica, isto é, ϕ = 0;
ii) A impedância resistiva é dada por:
ZR = R = R 0
◦
Demonstração:
i) Na figura 3.4, a resistência R está simbolizando a associação de todas as resistências
do circuito. Usando a lei das malhas, obtemos
V = RI ⇒ vmaxej(ωt+α) = RI(t) ⇒ I(t) =
vmax
R
ej(ωt+α)
donde segue que ϕ = α − α = 0, ou seja, a corrente elétrica está em fase com a
tensão.
ii) De fato,
ZR = |Z|ejϕ =
vmax
imax
ej0 =
vmax
vmax/R
· 1 = R = R 0◦
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Observação 3.1 Observe que a corrente física será
i(t) = Re[i(t)] = Re
[
vmax
R
ej(ωt+ϕ)
]
=
vmax
R
cos(ωt + ϕ)
Sendo v(t) = Re[V(t)] = vmax cos(ωt+ϕ), vemos que os máximos, mínimos e zeros tanto da
tensão quanto da corrente ocorrem no mesmo instante. Dizemos que a corrente está em
fase com a tensão.
Proposição 3.3 Considere dois resistores de resistência R1 e R2 conforme a figura 3.5.
i) Se os resistores são associados em série, então a resistência equivalente Req é dada
por:
Req = R1 +R2 (3.3)
ii) Se os resistores são associados em paralelo, então a resistência equivalente Req é
dada por:
Req =
R1R2
R1 +R2
(3.4)
Figura 3.5: a) Resistores associados em série. b) Resistores associados em paralelo.
Demonstração: Seja VAB a tensão alternada entre os pontos A e B.
i) Se os resistores estiverem associados em série, então a corrente elétrica I que passa
por eles é a mesma. Sejam V1 e V2 as quedas de tensões nos resistores R1 e R2
respectivamente. Pela lei de Ohm, V1 = ZR1I = R1I e V2 = ZR2I = R2I. Assim,
VAB = V1 + V2 ⇒ ReqI = R1I +R2I ⇒ Req = R1 +R2
ii) Nesse caso, a tensão VAB entre os resistores é a mesma. Sejam I1 e I2 as correntes
elétricas que passam pelos resistores de resistências R1 e R2 respectivamente. As-
sim,
I = I1 + I2 ⇒
VAB
Req
=
VAB
R1
+
VAB
R2
donde segue o resultado.
48
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�
Observação 3.2 No caso em que três resistores R1, R2 e R3 associados em série, a re-
sistência equivalente é Req = R1 + R2 + R3 e se eles estiverem associados em paralelo, a
resistência equivalente satisfaz a expressão:
1
Req
=
1
R1
+
1
R2
+
1
R3
Exemplo 3.3 Considere o circuito elétrico puramente resisitivo na figura 3.6. Determine:
a) a resistência equivalente;
b) a corrente complexa I(t) e a corrente real no trecho AF ;
c) a corrente I1 e I2;
d) as quedas de tensões nos ramos AB, BC e CD.
Figura 3.6: Circuito do Exemplo 4.5.
Resolução:
a) Observe que os resistores R1 e R2 estão associadas em série, de modo que a re-
sistência equivalente Req1 = R1 + R2 = 3. O resistor Req1 e R4 estão associados em
paralelo. Assim, a resistência equivalente é dada por:
Req2 =
Req1R4
Req1 +R4
=
3 · 6
3 + 6
= 2 Ω
A resistor equivalente Req2 e o resistor R3 estão associados em série, de modo que a
resistência equivalente do circuito é Req = Req2 +R3 = 2 + 4 = 6 Ω.
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b) A corrente complexa no trecho AF é a corrente I(t), isto é,
I(t) =
V (t)
Req
=
24ej(10t+45
◦)
6
= 4ej(10t+45
◦)
e a corrente real é
i(t) = Re[I(t)] = Re[4ej(10t+45
◦)] = 4 cos(10t + 45◦)
c) Observe que VCDE = VCFE, isto é,
(2 + 1)I1 = 6I2 ⇒ I1 = 2I2
Mas,
I1 + I2 = 4 45
◦ ⇒ 3I2 = 4 45◦ ⇒ I2 = 1, 33 45◦
e consequentemente, I1 = 2, 66 45◦ .
d) Note que , VAB = 4 · I = 16 45◦ , VBC = 2I1 = 4I2 = 31, 92 45◦ e VCD =
I1 = 2, 66 45
◦
Em alguns circuitos puramente resistivos, podemos usar a lei das malhas de Kirchhoff
para achar correntes elétricas. Vejamos este caso no exemplo a seguir.
Exemplo 3.4 Determine as correntes i1, i2 e i3 no circuito elétrico na figura 3.7.
Figura 3.7: Circuito puramente resistivo de duas malhas do exemplo 3.4.
Resolução: No nó A, temos:
i1 = i2 + i3 (3.5)
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A soma das quedas de tensões na malha superior é dada por:
5i1 + 2i1 + i2 = 8 ⇒ 7i1 + i2 = 8 (3.6)
A soma das quedas de tensões na malha inferior é dada por:
2i3 − i2 = 16 (3.7)
Das equações (3.5), (3.6) e (3.7), obtemos o sistema linear:
i1 = i2 + i3
7i1 + i2 = 8
−i2 + 2i3 = 16
Substituindo a primeira equação na segunda, temos:{
7(i2 + i3) + i2 = 8
−i2 + 2i3 = 16
⇒
{
8i2 + 7i3 = 8
−8i2 + 16i3 = 128
Assim, 23i3 = 136 ⇒ i3 = 5, 91 A. Sendo i2 = 2i3 − 16, então i2 = −4, 18 A e consequente-
mente, i1 = 1, 73 A.
Observação 3.3 O sinal negativo da corrente i2, significa que o sentido adotado não é o
sentido real da corrente elétrica.
3.3.2 Circuitos ElétricosPuramente Indutivos
Figura 3.8: Geração de uma f.e.m por um campo magnético.
Em 1831, Michael Faraday realizou experimentos para a Royal Society e a partir de
suas observações concluiu que uma variação de fluxo magnético no interior de uma espira
pode gerar uma f.e.m em seus terminais conforme a figura 3.8. A equação que relaciona a
variação de fluxo magnético com a diferença de potencial gerada em uma espira é:
f.e.m = v = −dϕ
dt
(3.8)
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Esta lei será importante para explicar a relação entre corrente e tensão no indutor. O sinal
negativo dessa equação, postulado por Lenz, indica que há uma conservação de energia,
ou seja, se uma variação de campo magnético ocorre em um sentido, a tensão induzida e
consequente corrente elétrica, geram um campo de sentido oposto.
Definição 3.10 O indutor é um dipolo composto por um fio condutor enrolado em espiral.
Como o indutor é composto pelo equivalente de várias espiras, a tensão em seus termi-
nais, pela lei de Faraday, é:
v = −N dϕ
dt
= −d(Nϕ)
dt
(3.9)
onde N é o número de espiras do indutor. Experimentalmente verifica-se que:
Li = Nϕ (3.10)
onde L, é a indutância do indutor medida em "henry" cujo símbolo é H. Substituindo (3.10)
em (3.9), temos:
v = −Ldi
dt
= −Ldi
dt
(3.11)
O sinal negativo da equação (3.11) depende do sentido de enrolamento da bobina e, para a
análise de circuitos elétricos, este sinal será desconsiderado de modo que a equação ficará
da seguinte forma:
v = L
di
dt
(3.12)
Exemplo 3.5 A tensão em um indutor de 2H é v(t) = 6 cos(4t). Ache i(t), se i(−π/2) = 1 A.
Resolução: Da expressão (3.11), temos:
6 cos(4t) = 2
di
dt
⇒
∫ i(t)
1
di =
∫ t
−π/2
3 cos(4τ)dτ ⇒
i(t)− 1 = 3 sin(4τ)
]t
−π/2
= 3[sin(4t)− sin(−2π)]
Logo, i(t) = 1 + 3 sin(4t).
Proposição 3.4 Considere um circuito elétrico puramente indutivo com uma fonte com-
plexa V (t) = vmaxej(ωt+α) e uma bobina conforme a figura 3.9, então:
i) A corrente elétrica é um múltiplo da tensão elétrica e o ângulo de defasagem entre a
tensão e corrente elétrica é
ϕ =
π
2
rad = 90◦
ii) A impedância indutiva é dada por:
ZL = ωLj = 2πfLj = 2πfL 90
◦
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Figura 3.9: Circuito puramente indutivo.
Demonstração:
i) Da expressão (3.12), temos:
V (t) = vmaxe
j(ωt+α) = L
dI
dt
⇒ dI = vmax
L
ej(ωt+α)dt ⇒∫
dI =
vmax
L
∫
ej(ωt+α)dt ⇒ I(t) = vmax
jωL
ej(ωt+α) + C
I(t) =
vmax
ωL
ej(ωt+α)
ejπ/2
+ C =
vmax
ωL
ej(ωt+α−π/2) + C
Assim, a corrente elétrica é um múltiplo da tensão e o ângulo de defasagem entre a
tensão e a corrente elétrica é ϕ = α− (α− π/2) = π
2
rad = 90◦.
ii) A impedância do circuito é ZL = |ZL|ejϕ. Sendo |Z| =
vmax
imax
e ϕ =
π
2
o ângulo de
defasagem entre V (t) e I(t), então
ZL =
vmax
vmax/ωL
ejπ/2 = ωLj = 2πfL 90◦
Observação 3.4 Do item ii) da proposição anterior, notamos que a impedância de um cir-
cuito puramente indutivo cresce com a freqüência, e vai a zero em circuitos de corrente
contínua, pois nesses circuitos a corrente não varia, a tensão sobre o indutor é nula.
Observação 3.5 O termo ωL = 2πfL chama-se reatância indutiva e é denotado por XL,
isto é, XL = 2πfL.
Definição 3.11 Uma bobina é um indutor que possui além da indutância, uma resistência.
Observação 3.6 A indutância de uma bobina depende do número de espiras do número
de espiras, do núcleo e do formato geométrico da bobina. Na prática, a indutância L de um
indutor pode ser calculada a partir da seguinte expressão:
L =
µ0N
2A
l − 0, 45ϕ
(3.13)
onde:
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• µ0 = 4π10−7 H/m (permeabilidade do vácuo);
• N é o número de espiras;
• l é a extensão da bobina;
• ϕ o diâmetro do núcleo;
• A é a área da secção transversal do núcleo.
A expressão (3.13) é válida somente para l >> ϕ e considera-se que não há núcleo (vácuo).
Exemplo 3.6 Determine a corrente elétrica real i(t) no circuito elétrico na figura 3.10, sabendo
que L = 4 H e V (t) = 60ej(150t+40◦).
Figura 3.10: Figura do exemplo 3.6.
Resolução: Note que V (t) = 60ej(157t+40◦) e sendo XL = ωL = 150× 4 = 600 Ω, então
I(t) =
V (t)
ZL
=
V (t)
XLej90
◦
=
60ej(150t+40
◦)
600ej90◦
= 0, 1ej(150t−50
◦)
Logo, i(t) = Re[I(t)] = 0, 1 cos(150t− 50◦).
O indutor é capaz de armazenar energia em um campo magnético. Isto ocorre porque,
quando o indutor é percorrido por uma corrente elétrica, a lei de Faraday providencia um
acúmulo de cargas positivas na entrada do indutor e negativas na saída. É este acúmulo
de cargas que representa um armazenamento de energia em um campo magnético. A
proposição a seguir estabelece uma expressão para a energia armazenada em um indutor.
Proposição 3.5 Seja i(t) a corrente elétrica que passa em um indutor de indutância L. Se
as condições iniciais são nulas, então a energia armazenada nele é dada pela expressão:
E(t) =
1
2
Li(t)2 (3.14)
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Demonstração: A energia armazenada E(t) é o trabalho realizado w(t). Sabemos que
p(t) =
dw
dt
= v(t) · i(t). Mas, v(t) = Ldi
dt
, de modo que
dw
dt
= Li(t)
di
dt
⇒
∫
dw = L
∫
idi ⇒ w(t) = 1
2
Li(t)2 + C
Sendo as condições iniciais nulas, então C = 0, donde segue o resultado.
�
Figura 3.11: a) Indutores associados em série. b) Indutores associados em paralelo.
Observação 3.7 A expressão (3.17) é semelhante a equação de energia cinética (mv2/2)
o que leva a inferir que, no indutor, i(t) é conservativo.
Proposição 3.6 Considere dois indutores de indutância L1 e L2 conforme a figura 3.11.
i) Se os indutores são associados em série, então a indutância equivalente Leq é dada
por:
Leq = L1 + L2 (3.15)
ii) Se os indutores são associados em paralelo, então a indutância equivalente Leq é
dada por:
Leq =
L1L2
L1 + L2
(3.16)
Demonstração:
i) Neste caso, i1(t) = i2(t) = i(t) e v = v1 + v2. Mas, v1 = L1
di1
dt
e v2 =
di2
dt
. Assim,
v = v1 + v2 = L1
di1
dt
+ L2
di2
dt
= L1
di
dt
+ L2
di
dt
⇒
v
di
dt
= L1 + L2 ⇒ Leq = L1 + L2
55
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ii) Neste caso, i(t) = i1(t) + i2(t). Derivando em relação a t, temos:
di
dt
=
di1
dt
+
di2
dt
=
v1
L1
+
v2
L2
pois v1 = L1
di1
dt
e v2 =
di2
dt
. Mas, v1 = v2 = v, de modo que
di
dt
= v
(
1
L1
+
1
L2
)
⇒ 1
v
di
dt
=
1
L1
+
1
L2
donde segue o resultado.
�
Exemplo 3.7 Dois indutores L1 = 4 H e L2 = 6 H são conectados em série. Determine
a energia armazenada no instante t = 0, 1 s sabendo que passa uma corrente elétrica
alternada i(t) = 10 sin(60πt+ π/2).
Resolução: Como os indutores estão associados em série, a indutância equivalente é
Leq = L1 + L2 = 4 + 6 = 10 H. Assim, a energia armazenada nos indutores no instante
t = 0, 1 s é:
E(0, 1) =
1
2
Leqi(0, 1)
2 =
1
2
· 102 · sin2(60π · 0, 1 + π/2) = 50 J
3.3.3 Circuitos Elétricos Puramente Capacitivos
Definição 3.12 O capacitor é um dipolo constituído de duas placas condutoras paralelas
A e B, denominadas armaduras separadas por um material isolante denominado dielétrico
com capacidade de armazenar cargas elétricas.
Aplicando uma diferença de potencial (d.d.p) entre as placas, com potencial positivo na
placa A e potencial negativo na placa B, a placa A começa a ceder elétrons para o pólo
positivo da fonte, carregando-se positivamente, e a placa B, simultaneamente, começa a
atrair elétrons do pólo negativo da fonte, carregando-se negativamente, formando um fluxo
de elétrons. Porém, como entre as placas existe um material isolante, esse fluxo de elétrons
não o atravessa, fazendo com que as cargas fiquem armazenadas nas placas.
Conforme aumenta a carga Q armazenada nas placas, aumenta a diferença de potencial
v entre elas, fazendo com que o fluxo de elétrons diminua. Após um determinada tempo,
a carga armazenada atinge o seu valor máximo Qmax. Isso ocorre quando a diferença de
potencial entre as placas se iguala à tensão da fonte (V = E), cessando o fluxo de elétrons
(corrente elétrica nula).
Definição 3.13 A capacidade de armazenamento de cargas elétricas por unidade de ten-