resumo_teorico_matematica_progressao_geometrica

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PROF. GUSTAVO VIEGAS 
MATEMÁTICA 
 
 
 
 
 
1 
 
RESUMO TEÓRICO – PROGRESSÃO GEOMÉTRICA 
 
 
Definição 
Dizemos que uma sequência (𝑎1, 𝑎2, ...) é uma progressão 
geométrica (PG) se o quociente entre dois termos 
quaisquer da sequência é uma constante q 
 𝑞 = 
𝑎𝑖+1
𝑎𝑖
 
 
Chamamos q de razão e o n-ésimo termo da sequência é 
𝑎𝑛 = 𝑎1𝑞
𝑛−1 
 
Dica 
Em exercícios, é usual considerarmos 
(… ,
x
𝑞
, x, x𝑞, … ) 
 
Propriedade 1 
Se (𝑎1,..., 𝑎𝑖−1, 𝑎𝑖, 𝑎𝑖+1 ...) estão em PG, então 
 
𝑎𝑖 = √𝑎𝑖+1𝑎𝑖−1 = √𝑎𝑖+2𝑎𝑖−2 = ⋯ 
 
Note que cada termo da sequência é a média geométrica 
entre seu sucessor e antecessor. 
 
Propriedade 2 
Se (𝑎1, 𝑎2, ... 𝑎𝑛) estão em PG, então 
 
𝑎1𝑎𝑛 = 𝑎2𝑎𝑛−1 = 𝑎3𝑎𝑛−2 = ⋯ 
 
Note que se n é ímpar, o termo médio TM da sequência 
satisfaz 
𝑇𝑀 = √𝑎1𝑎𝑛 
 
Fórmulas da soma 
Se (𝑎1, 𝑎2, ... 𝑎𝑛) é uma PG finita, então 
 
 𝑆𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + ⋯ + 𝑎𝑛 = 𝑎1 (
𝑞𝑛− 1
𝑞−1
) 
 
Se (𝑎1, 𝑎2, ...) é uma PG infinita e |q|< 1, então a soma 
existe (dizemos que ela converge) e 
 
 𝑆 = 𝑎1 + 𝑎2 + ⋯ =
𝑎1
𝑞−1
 
 
Se (𝑎1, 𝑎2, ...) é uma PG infinita e |q| 1, então a soma não 
existe (dizemos que ela diverge)