7 Razão e proporção (1)

Prévia do material em texto

PROFESSOR GIBRAN 78 
 
 
I – Introdução 
Convivemos, em nosso cotidiano, com situações que envolvem bens, 
coisas etc. que são suscetíveis de aumento ou de diminuição. Trataremos, 
nesta parte, que são chamadas de grandezas, tais como: preço, peso, tempo, 
número de pessoas, velocidade, salário. 
Podemos observar que certas grandezas mantêm entre si uma relação 
de dependência tal que, quando uma delas varia, em consequência, varia a 
outra também a outra. Por exemplo, o tempo de viagem depende da 
velocidade do veículo; o salário depende dos dias trabalhados etc. É sobre 
essa relação que iremos tratar aqui. 
II – Grandezas proporcionais 
 
1. Grandezas diretamente proporcionais 
 
4 kg de feijão custam R$ 8,00 
Temos aí duas grandezas: uma é o peso (em kg); e a outra, o custo 
(em R$). Serão diretamente proporcionais se, quando uma delas for 
aumentada ou diminuída certo número de vezes, ou seja, duas, três, quatro, 
cinco vezes, a outra grandeza também aumentará ou diminuirá esse 
mesmo número de vezes. Ou seja, ambas variam no mesmo sentido e 
quantidade de vezes. No exemplo, as duas grandezas são diretamente 
proporcionais, pois: 
Aumentando o peso em duas vezes, o custo também aumentará duas 
vezes: 
8 kg do mesmo feijão custam R$ 16,00. 
Para o peso duas vezes menor, o custo também ficará duas vezes 
menor: 
2 kg do mesmo feijão custam R$ 4,00 
Esquematicamente temos: 
 
 
 
Assim como também temos: 
 
 
 
PROFESSOR GIBRAN 79 
 
 
 
 
 
Nos exemplos, portanto, temos que 
custo é diretamente proporcional ao peso. Podemos daí formar a seguinte 
proporção, considerando que 8 kg custam R$ 16,00 e 2 kg custam R$ 4,00: 
 
8
2
=
16,00
4,00
 
 
⇒ 8 × 4 = 16 × 2 
Em resumo: 
 Aumentando uma das grandezas (feijão, no caso) certo número de 
vezes, a outra (reais, no caso) também aumentará esse mesmo 
número de vezes ou 
 Diminuindo uma das grandezas certo número de vezes, a outra 
também diminuirá esse número de vezes. 
Ou seja, ambas variam no mesmo sentido. 
2. Grandezas inversamente proporcionais 
Analogamente, diremos que duas grandezas serão inversamente 
proporcionais se, quando uma delas for aumentada ou diminuída certo 
número de vezes (duas, três, quatro, cinco vezes), a outra grandeza variará 
no sentido inverso, isto é, diminuirá ou aumentará esse mesmo número de 
vezes. Vejamos o exemplo a seguir: 
10 operários fazem certo trabalho em 6 dias. 
Aumentando a quantidade de operárias duas vezes, o tempo gasto 
diminuirá duas vezes, pois 20 operários 
(que é o dobro da quantidade anterior), 
realizará tal trabalho em 3 dias (que é a 
metade do tempo anterior). 
 
 
 
Diminuindo a quantidade de operários, duas vezes, o tempo gasto 
aumentará duas vezes, pois 5 operários 
(que é a metade da quantidade anterior), 
realizará tal trabalho em 12 dias (que é a 
dobro do tempo anterior). 
 
 
 
Nos exemplos anteriores, portanto, a quantidade de operários é 
inversamente proporcional ao tempo gasto para realizar tal trabalho. 
Podemos daí formar a proporção: 
 
 
 
PROFESSOR GIBRAN 80 
 
15
5
=
12
4
 (ja invertida) 
 
⇒ 15 × 4 = 12 × 5 
Em resumo: 
 Aumentando uma das grandezas (número de operários, no caso) 
certo número de vezes, a outra (dias, no caso) diminuirá esse mesmo 
número de vezes ou 
 Diminuindo uma das grandezas certo número de vezes, a outra 
também aumentará esse número de vezes. 
Ou seja, ambas variam em sentido contrário. 
 
III – Números proporcionais 
1. Grandezas diretamente proporcionais 
Duas séries de números são ditas diretamente proporcionais quando, 
ao se dividir cada número da primeira série por seu correspondente na 
segunda, o quociente for o mesmo. 
Tomemos por exemplo as duas 
séries a seguir: 
 10 é o dobro de 5 pois 10÷5=2 
 50 é o dobro de 25 pois 50÷25=2 
 16 é o dobro de 8 pois 16÷8=2 
 9 é o dobro de 4,5 pois 9÷4,5=2 
 
Esse quociente constante é chamado constante de 
proporcionalidade. No caso, é igual a 2. 
 
Vejamos outro exemplo em que, dividindo-se cada elemento da 
primeira série por seu correspondente na segunda 
série, o quociente é sempre igual a 1/3 
 
 O quociente entre cada número e seu 
correspondente: 
 
2
6
=
1
3
 
10
30
=
1
3
 
6
18
=
1
3
 
9
27
=
1
3
 
 
2. Grandezas inversamente proporcionais 
Duas séries de números são inversamente proporcionais quando, 
dividindo-se cada número da primeira série pelo seu 
inverso de seu correspondente na outra série, o 
resultado é sempre o mesmo. Por exemplo, vejamos 
as duas seguintes séries: 
São inversamente proporcionais, pois se 
dividindo cada elemento da primeira série pelo inverso de seu correspondente 
na segunda, o resultado é 42 para todos eles. Vejamos: 
 
 
 
 
PROFESSOR GIBRAN 81 
 
 
2
1 21⁄
= 2 × 21 = 42 (o inverso de 21 é 
1
21
) 
 
 
3
1 14⁄
= 3 × 14 = 42 (o inverso de 14 é 
1
14
 ) 
 
 
 
7
1 6⁄
= 7 × 6 = 42 (o inverso de 7 é 
1
6
) 
Conforme ficou demostrado, podemos dizer que também que duas 
séries de números são inversamente proporcionais quando, ao multiplicar 
cada elemento da primeira série por seu correspondente na segunda série, o 
produto for sempre o mesmo. 
2 × 21 = 3 × 14 = 7 × 6 = 42 
IV – Divisão em partes proporcionais 
Nesta parte trataremos de aplicações prática do que foi estudado sobre 
grandezas proporcionais a casos práticos de divisão de valores e bens, de 
modo que as partes resultantes da divisão guardem entre sim certa 
proporcionalidade estabelecida. 
V – Propriedades das proporções 
 
1. Propriedade fundamental das proporções 
“Em toda proporção o produto dos extremos é igual ao produto 
dos meios” 
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
 
 
⇔ 𝑎 ∙ 𝑑 = 𝑏 ∙ 𝑐 
2. Outras propriedades 
 
a) Em toda proporção, a soma dos dois primeiros está para o primeiro 
termo assim como a soma dos dois últimos termos está para o 
terceiro. 
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
 
 
⇔ 
𝑎 + 𝑏
𝑎
=
𝑐 + 𝑑
𝑐
 
b) Em toda proporção, a soma dos dois primeiros termos está para o 
segundo termo assim como a soma dos dois últimos termos está 
para o quarto. 
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
 
 
⇔ 
𝑎 + 𝑏
𝑏
=
𝑐 + 𝑑
𝑑
 
c) Em toda proporção, a soma dos numeradores está para a soma dos 
denominadores. 
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
=
𝑎 + 𝑐
𝑏 + 𝑑
 
 
Obs: A propriedade acima continua verdadeira se tivermos mais de 
duas razões iguais: 
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
=
𝑒
𝑓
=
𝑎 + 𝑐 + 𝑒
𝑏 + 𝑑 + 𝑓
 
 
 
 
PROFESSOR GIBRAN 82 
 
VI –Divisão em partes diretamente 
proporcionais 
Como exemplo, dividir 500 em partes diretamente proporcionais a 3 e 
2 significa repartir os 500 em duas Parcelas que sejam proporcionais a 3 e 2. 
São elas: 
300 
 
⇒ diretamente proporcional a 3 
200 
 
⇒ diretamente proporcional a 2 
soma ... 500 
 
⇒ diretamente proporcional a 5 
Observe-se que o coeficiente de proporcionalidade das parcelas é o 
mesmo da soma: 100. 
300 ÷ 3 = 100 
200 ÷ 2 = 100 
500 ÷ 5 = 100 
Tendo estas propriedades podemos resolver a questão anterior da 
seguinte maneira: 
x
3
=
y
2
=
x + y
3 + 2
=
500
5
= 100 logo temos que x = 300 e y = 200 
 
VII – Divisão em partes inversamente 
proporcionais 
Como exemplo, dividir 500 em partes inversamente proporcionais a 3 
e 2 significa repartir os 500 em duas Parcelas que sejam diretamente 
proporcionais aos inversos de 3 e 2. São elas: 
200 
 
⇒ diretamente proporcional a 1/3 
300 
 
⇒ diretamente proporcional a 1/2 
soma ... 500 
 
⇒ diretamente proporcional a 5/6 
 
Para dividir certa importância em partes inversamente proporcionais a 
determinados números, dividimos a importância em partes diretamente 
proporcionais aos inversos desses números. No caso, conforme está 
indicado, dividimos a importância de 500 em partes diretamente proporcionais 
a 1/3 e 1/2. 
No caso da divisão proporcional a frações homogêneas,abandonamos, para afeito prático, os denominadores. Do exemplo, após 
transformarmos as frações em homogêneas, tornando-as 2/6 e 3/6, basta 
trabalharmos com os numeradores 2 e 3. Vejamos como se procede: 
 
𝑥
1
3
=
𝑦
1
2
 
 
⇒ 
𝑥
2
6
=
𝑦
3
6
 
 
⇒ 
𝑥
2
=
𝑦
3
=
𝑥 + 𝑦
5
=
500
5
= 100 
 
∴ 𝑥 = 200 𝑒 𝑦 = 300 
 
 
 
 
PROFESSOR GIBRAN 83 
 
VIII – Divisão proporcional 
composta 
 
Divisão proporcional composta ocorre quando se divide 
proporcionalmente a mais de um grupo de números. Por exemplo: dividir R$ 
5.600,00 em partes ao mesmo tempo proporcionais a 2 e 3 e a 5 e 6. Neste 
caso, dividimos o número em partes diretamente proporcionais aos produtos 
dos números da proporcionalidade. 
 Primeiro produto: 2 × 5 = 10 
 
 Segundo produto: 3 × 6 = 18 
Agora vamos dividir R$ 5.600,00 em partes diretamente proporcionais 
a 10 e 18 que também pode ser por 5 e 9 como mostra a resolução: 
x
5
=
y
9
=
x + y
14
=
5.600
14
= 400 ∴ 𝑥 = 2.000 𝑒 𝑦 = 3.600 
Outra forma de divisão proporcional é a divisão em partes diretamente 
proporcional a um grupo de números e inversamente proporcional a outro. 
Parece ser mais complexo, no entanto basta multiplicar os números do 
primeiro grupo pelo inverso do segundo grupo e dividir em partes diretamente 
proporcionais aos resultados. Por exemplo, dividir 360 em partes diretamente 
proporcionais a 5 e 6 e, ao mesmo tempo, inversamente proporcionais a 2 e 
4. Inicialmente, multiplicamos o primeiro grupo (5 e 6) pelo inverso do 
segundo grupo (2 e 4), da seguinte maneira: 
 Primeiro grupo: 5 ×
1
2
=
5
2
 
 Segundo grupo: 6 ×
1
4
=
3
2
 
Então temos que dividir 360 em partes diretamente proporcionais a 5/2 
e 3/2 ou também para facilitar por 5 e 3: 
x
5
=
y
3
=
x + y
8
=
360
8
= 45 ∴ 𝑥 = 225 𝑒 𝑦 = 135 
Questões propostas 
01. Calcular o valor de x nas proporções: 
a) 
𝑥
40
=
80
200
 b) 
81
108
=
𝑥
12
 
c) 
1
2
+𝑥
3
2
=
5
6
2
3
 
d) 
𝑥+4
125
=
2
25
 e) 
12
5
=
𝑥
15
 
 
02. Decida se as series a seguir são diretamente ou inversamente 
proporcionais: 
a) (2, 12, 10, 18) e (3, 18, 15, 27) 
 
b) (1, 3, 6, 9) e (90, 30, 15, 10) 
 
03. Um atleta A faz um determinado percurso em 1 hora e 50 minutos, ao 
passo que um atleta B faz o mesmo percurso em 2 horas e 10 minutos. Qual 
a razão entre os tempos gastos pelos atletas A e B? 
 
 
 
PROFESSOR GIBRAN 84 
 
04. (UFMG) Uma firma é constituída por 2 sócios A e B cujos capitais 
investidos são 20 e 30 mil reais respectivamente. Todo lucro ou prejuízo é 
dividido entre os dois, proporcionalmente ao capital investido. A firma acusou 
um lucro de 150 mil reais. As parcelas do lucro correspondentes a cada sócio 
são respectivamente: 
 
a. 72 e 78 mil reais. b. 70 e 80 mil reais. c. 65 e 85 mil reais. 
d. 62 e 88 mil reais. e. 60 e 90 mil reais. 
 
05. Um pai pretende dividir a quantia de R$ 270,00 para os três filhos, 
Antenor, Beatriz e Caio. O pai resolveu realizar a divisão em três partes 
diretamente proporcionais as notas que os filhos tiraram em matemática na 
última avaliação do ano. Segue as notas: Antenor (9), Beatriz (4) e Caio (2). 
Calcule a quantia que caberá a cada um dos filhos. 
 
06. O clube de futebol “Perna de Pau” pretende dividir um prêmio de R$ 
2.170,00 para os três principais jogadores do time em partes inversamente 
proporcionais a quantidade de faltas cometidas por cada um destes jogadores 
no último jogo. Segue o nome dos jogadores e a quantidade de faltas 
cometidas por cada um dos jogadores: Arnaldo (2 faltas), Beto (3 faltas) e 
Carlos (5 faltas). Calcule quanto cada um dos jogadores deve receber. 
 
07. Um pai quer dividir R$ 72.000,00 em partes inversamente proporcionais 
entre as distâncias que os seus três filhos moram da casa dele. O filho A 
mora a 3𝑘𝑚, o filho B mora a 4𝑘𝑚 e o filho C mora a 12𝑘𝑚. Quanto receberá 
o filho que terá a maior parte? 
a. R$ 38.000,00 b. R$ 36.000,00 c. R$ 32.000,00 
d. R$ 30.000,00 e. R$ 28.000,00 
08. Um a empresa foi contratada para pavimentação de uma rua. Ela dividiu 
o trabalho em duas turmas, prometendo pagá-las proporcionalmente. A tarefa 
foi realizada da seguinte maneira: Na primeira turma, 10 homens trabalharam 
durante 5 dias; na segunda turma, 12 homens trabalharam durante 4 dias. 
Estamos considerando que os homens tinham a mesma capacidade de 
trabalho. A empreiteira tinha R$ 29.400,00 para dividir entre as duas turmas. 
Qual quantidade cada turma recebeu? 
a. R$ 10.000,00 e R$ 19.400,00 b. R$ 12.400,00 e R$ 17.000,00 
c. R$ 13.000,00 e R$ 16.000,00 d. R$ 15.000,00 e R$ 14.400,00 
e. R$ 18.000,00 e R$ 11.400,00 
09. Supondo que, na formação de determinada sociedade, três pessoas (A, 
B e C) empregaram os capitais de R$ 8.000,00, R$ 4.000,00 e R$ 3.000,00 
(respectivamente), durante 5, 3 e 4 meses (respectivamente), marque a 
alternativa correta a respeito a quanto caberia a cada um no rateio do lucro 
de R$ 3.000,00. 
 
a. B recebe o dobro de C. b. A recebe o dobro de B. 
c. A recebe o triplo de C. d. A recebe mais que o triplo de B. 
e. C recebe mais que B. 
 
 
 
PROFESSOR GIBRAN 85 
 
10. (UFV/MG) Adriana, Joelma e Paula trabalham na mesma firma comercial 
há 4, 6 e 10 anos, respectivamente. Como gratificação, a firma distribuiu entre 
elas, proporcionalmente ao tempo de serviço, a quantia de R$ 4.000,00. 
Joelma recebeu: 
a. R$ 1.200,00 b. R$ 1.400,00 
c. R$ 1.100,00 d. R$ 1.300,00 
 
11. Um prêmio foi distribuído entre Ana, Bernardo e Cláudio, em partes 
diretamente proporcionais aos seus tempos de serviço. Esses tempos são 
respectivamente, 3, 4 e 9 anos. Se Cláudio recebeu R$ 720,00 de prêmio, o 
valor total do prêmio foi de: 
a. R$ 1.280,00 b. R$ 1.440,00 c. R$ 2.560,00 
d. R$ 4.000,00 e. R$ 4.000,00 
12. Os moradores de um condomínio fechado resolveram construir uma 
piscina comum a todas as casas. O custo dessa construção foi estimado em 
R$ 20.000,00 e será dividido entre as 3 casas desse condomínio de forma 
diretamente proporcional à quantidade de moradores de cada casa e 
inversamente proporcional à distância da casa em relação à piscina. Se a 
casa A tem 1 morador e dista 5 metros da piscina, a casa B tem 4 moradores 
e dista 7,5 metros da piscina e a casa C tem cinco moradores a dista 15 
metros da piscina, de quanto é a diferença de preço a ser pago entre a casa 
C e a casa A? 
a. R$ 2.500,00 b. R$ 3.350,00 c. R$ 6.500,00 
d. R$ 5.800,00 e. R$ 6.500,00 
13. (FUVEST) Em uma festa com n pessoas, em um dado instante, 31 
mulheres se retiraram e restaram convidados na razão de 2 homens para 
cada mulher. Um pouco mais tarde, 55 homens se retiraram e restaram, a 
seguir, convidados na razão de 3 mulheres para cada homem. O número n 
de pessoas presentes inicialmente na festa era igual a 
a. 100 b. 105 c. 115 d. 130 e. 135 
 
 
14. (ENEM) José, Carlos e Paulo devem transportar em suas bicicletas certa 
quantidade de laranjas. Decidiram dividir o trajeto a ser percorrido em duas 
partes, sendo que ao final da primeira parte eles redistribuiriam a quantidade 
de laranjas que cada um carregava dependendo do cansaço de cada um. Na 
primeira parte do trajeto, José, Carlos e Paulo dividiram as laranjas na 
proporção 6: 5: 4 respectivamente. Na segunda parte do trajeto, José, Carlos 
e Paulo dividiram as laranjas na proporção 4: 4: 2, respectivamente. Sabendo-
se que um deles levou 50 laranjas a mais no segundo trajeto, qual a 
quantidade de laranjas que José, Carlos e Paulo, nessa ordem, transportaram 
na segunda parte do trajeto? 
 
 
a. 600, 550, 350 b. 300, 300, 150 c. 300, 250, 200 
d. 200, 200, 100 e. 100, 100, 50 
 
15. De uma caixa contendo bolas brancas e pretas, retiram-se 15 brancas, 
ficando a relação de 1 branca para 2 pretas. Em seguida, retiram-se 10 
pretas, restando, na caixa, bolas na razão de 4 brancas para 3 pretas. 
Determinequantas bolas havia, inicialmente na caixa. 
16. (CFTRJ) Carol pretende preparar um enorme bolo. Sua receita, entre 
outros ingredientes, leva 500g de trigo, 300g de chocolate e 150g de açúcar. 
 
 
 
PROFESSOR GIBRAN 86 
 
Sabendo que Carol usará 2,5kg de trigo na receita, quanto deverá usar de 
chocolate e açúcar, respectivamente? 
 
a. 1kg e 400g b. 1,5kg e 750g c. 1,5kg e 800g d. 1,6kg e 800g 
 
17. (UNIFOR/CE) O setor de limpeza da Universidade de Fortaleza preparou 
um produto utilizando detergente e água, nessa ordem, em quantidades 
diretamente proporcionais a 3 e 8. Se, no preparo desse produto, são usados 
93 litros de detergentes, então a diferença positiva entre as quantidades de 
água e de detergente em litros é igual a: 
a. 100 b. 120 c. 155 d. 200 e. 220 
 
18. (UFPR) Em 2010, uma loja de carros vendeu 270 carros a mais que em 
2009. Abaixo temos um gráfico 
ilustrando as vendas nesses dois 
anos. 
Nessas condições, pode-se 
concluir que a média aritmética 
simples das vendas efetuadas por 
essa loja durante os dois anos foi de: 
 
a. 540 carros. b. 530 carros. c. 405 carros. 
d. 270 carros. e. 135 carros. 
 
Exercícios complementares 
01. (ENEM) De acordo com a Lei Universal da Gravitação, proposta por Isaac 
Newton, a intensidade da força gravitacional F que a Terra exerce sobre um 
satélite em órbita circular é proporcional à massa m do satélite e 
inversamente proporcional ao quadrado do raio r da órbita, ou seja, 
 
No plano cartesiano, três satélites, A, B e C, estão representados, cada 
um, por um ponto (m ; r) cujas coordenadas são, respectivamente, a massa 
do satélite e o raio da sua órbita em torno da Terra. 
 
 
 
 
 
Com base nas posições relativas dos pontos no gráfico, deseja-se 
comparar as intensidades FA, FB e FC da força gravitacional que a Terra 
exerce sobre os satélites A, B e C, respectivamente. As intensidades FA, FB 
e FC expressas no gráfico satisfazem a relação 
a. FC = FA < FB b. FA = FB < FC c. FA < FB < FC 
d. FA < FC < FB e. FC < FA < FB 
 
 
02. (ENEM) Para se construir um contra piso, é comum, na constituição do 
concreto, se utilizar cimento, areia e brita, na seguinte proporção: 1 parte de 
cimento, 4 partes de areia e 2 partes de brita. Para construir o contra piso de 
uma garagem, uma construtora encomendou um caminhão betoneira com 
2r
km
F 
 
 
 
PROFESSOR GIBRAN 87 
 
14m3 de concreto. Qual é o volume de cimento, em m3, na carga de concreto 
trazido pela betoneira? 
 
a. 1,75 b. 2,00 c. 2,33 d. 4,00 e. 8,00 
 
03. (ENEM) Um automóvel pode ser abastecido com os combustíveis A ou B 
e tem capacidade para armazenar T litro. O quadro indica os preços e mostra 
o rendimento desse automóvel, por litro, quando abastecido com esses 
combustíveis. 
 
O dono desse automóvel estabelece duas estratégias de viagem. Em 
ambas ele irá abastecer duas vezes. O primeiro abastecimento é feito a partir 
do tanque vazio e o reabastecimento é feito quando o tanque esvaziar 
novamente. 
1ª estratégia de viagem: abastecer meio tanque com o combustível A 
e depois abastecer um quarto de tanque com o combustível B. 
2ª estratégia de viagem: abastecer meio tanque com o combustível B 
e depois abastecer um quarto de tanque com o combustível A. 
O custo (C) da estratégia que possibilita percorrer a maior distância é 
a. 𝐶 = (
𝑇
2
) ∙ 𝑃𝐴 + (
𝑇
4
) ∙ 𝑃𝐵 
b. 𝐶 = (
𝑇
2
) ∙ 𝑃𝐴 + 18 + (
𝑇
4
) ∙ 𝑃𝐵 ∙ 12 
c. 𝐶 = (
𝑇
2
) ∙ 𝑃𝐴 + 15 + (
𝑇
4
) ∙ 𝑃𝐵 ∙ 15 
d. 𝐶 = (
𝑇
2
) ∙ 𝑃𝐵 + (
𝑇
4
) ∙ 𝑃𝐴 
e. 𝐶 = (
𝑇
2
) ∙ 𝑃𝐵 ∙ 12 + (
𝑇
4
) ∙ 𝑃𝐴 ∙ 18 
 
04. (ENEM) Em um jogo on-line, cada jogador procura subir de nível e 
aumentar sua experiência, que são dois parâmetros importantes no jogo, dos 
quais dependem as forças de defesa e de ataque do participante. A força de 
defesa de cada jogador é diretamente proporcional ao seu nível e ao 
quadrado de sua experiência, enquanto sua força de ataque é diretamente 
proporcional à sua experiência e ao quadrado do seu nível. Nenhum jogador 
sabe o nível ou a experiência dos demais. Os jogadores iniciam o jogo no 
nível 1 com experiência 1 e possuem força de ataque 2 e de defesa 1. Nesse 
jogo, cada participante se movimenta em uma cidade em busca de tesouros 
para aumentar sua experiência. Quando dois deles se encontram, um deles 
pode desafiar o outro para um confronto, sendo o desafiante considerado o 
atacante. Compara-se então a força de ataque do desafiante com a força de 
defesa do desafiado e vence o confronto aquele cuja força for maior. O 
vencedor do desafio aumenta seu nível em uma unidade. Caso haja empate 
no confronto, ambos os jogadores aumentam seus níveis em uma unidade. 
Durante um jogo, o jogador 1J , de nível 4 e experiência 5, irá atacar o jogador 
2J , de nível 2 e experiência 6. 
 
O jogador 1J , venceu esse confronto porque a diferença entre sua 
força de ataque e a força de defesa de seu oponente era 
 
a. 112. b. 88. c. 60. d. 28. e. 24. 
 
 
 
 
PROFESSOR GIBRAN 88 
 
05. (PUC/PS) Certo dia, Adilson, Bento e Celso, funcionários de uma mesma 
empresa, receberam um lote de documentos para arquivar e dividiram o total 
de documentos entre eles, na razão inversa de suas respectivas idades: 24, 
30 e 36 anos. Se, ao completarem tal tarefa, foi observado que a soma dos 
documentos arquivados por Adilson e Celso excedia a quantidade arquivada 
por Bento em 26 unidades, então o total de documentos do lote era um 
número: 
 
a. primo. b. quadrado perfeito. c. múltiplo de 4. 
d. divisível por 6. e. maior do que 60. 
 
 06. (ENEM/PPL) Um pequeno caminhão dispõe de dois reservatórios vazios, 
cada um com capacidade de 2 000 kg, os quais serão utilizados para 
transportar a produção de milho e soja até um centro consumidor. No centro 
de abastecimento, abre-se o registro de um primeiro silo às 12 horas para 
alimentar o reservatório 1 com milho, numa taxa de 120 kg por minuto. 
Passados cinco minutos, abre-se o registro de um segundo silo para 
alimentar o reservatório 2 com soja, numa taxa de 80 
kg por minuto. Considere que a encomenda de milho 
no centro consumidor seja de 1 800 kg e que, pela lei 
rodoviária local, a carga máxima a ser transportada 
por caminhão seja de 3 400 kg. 
 
 
Nestas condições, em que instantes devem ser fechados os registros 
dos silos 1 e 2, respectivamente, para que a quantidade de soja transportada 
seja a máxima possível? 
 
a. 12h15min e 12h20min b. 12h15min e 12h25min 
c. 12h15min e 12h27min30seg d. 12h15min e 12h30min 
e. 12h15min e 12h32min30seg 
 
07. (ENEM) Numa atividade de treinamento realizada no Exército de um 
determinado país, três equipes – Alpha, Beta e Gama – foram designadas a 
percorrer diferentes caminhos, todos com os mesmos pontos de partida e 
de chegada. 
 A equipe Alpha realizou seu percurso em 90 minutos com uma 
velocidade média de 6,0 km/h. 
 A equipe Beta também percorreu sua trajetória em 90 minutos, mas 
sua velocidade média foi de 5,0 km/h. 
 Com uma velocidade média de 6,5 km/h, a equipe Gama concluiu seu 
caminho em 60 minutos. 
Com base nesses dados, foram comparadas as distâncias dBeta; dAlpha 
e dGama percorridas pelas três equipes. 
A ordem das distâncias percorridas pelas equipes Alpha, Beta e Gama 
é 
a. dGama < dBeta < dAlpha b. dAlpha = dBeta < dGama 
c. dGama < dBeta = dAlpha d. dBeta < dAlpha < dGama 
e. dGama < dAlpha < dBeta 
 
 
08. (UNICAMP) Considere três modelos de televisores de tela plana, cujas 
dimensões aproximadas são fornecidas na tabela a seguir, acompanhadas 
dos preços dos aparelhos. 
Com base na tabela, 
pode-se afirmar que o preço 
por unidade de área da tela: 
 
a. aumenta à medida que as dimensões dos aparelhos aumentam. 
 
 
 
PROFESSOR GIBRAN 89 
 
b. permanece constante do primeiro para o segundo modelo, e aumenta 
do segundo para o terceiro. 
c. aumenta do primeiro para o segundo modelo,e permanece constante 
do segundo para o terceiro. 
d. permanece constante. 
 
09. (FGV) Em uma escola, a razão entre o número de alunos e o de 
professores é de 50 para 1. Se houvesse mais 400 alunos e mais 16 
professores, a razão entre o número de alunos e o de professores seria de 
40 para 1. Podemos concluir que o número de alunos da escola é: 
 
a. 1.000 b. 1.050 c. 1.100 d. 1.150 e. 1.200 
 
10. (FGV) Uma pizzaria vende pizzas com preços proporcionais às suas 
áreas. Se a pizza média tiver raio igual a 80% do raio da grande, seu preço 
será: 
 
a. 59% do preço da grande. b. 64% do preço da grande. 
c. 69% do preço da grande. d. 74% do preço da grande. 
e. 80% do preço da grande. 
 
11. (UECE) Em uma Olimpíada, um país conquistou medalhas de ouro, prata 
e bronze, totalizando 40 medalhas. Se as quantidades de medalhas de ouro, 
prata e bronze são proporcionais, respectivamente, a 2, 3 e 5, o número de 
medalhas de ouro conquistadas foi 
a. 5 b. 8 c. 10 d. 12 
 
12. (UNIFOR/CE) Três jovens engenheiros, recém-formados pela 
Universidade de Fortaleza, montaram uma sociedade, na qual cada um deles 
aplicou respectivamente, R$ 20.000,00 , R$ 30.000,00 e R$ 50.000,00. A 
empresa especializada em construção de quadras esportivas teve no seu 
primeiro balanço anual um lucro de R$ 40.000,00. Supondo que o lucro seja 
dividido em partes diretamente proporcionais ao capital empregado, cada 
sócio receberá, respectivamente: 
 
a. R$ 4.000,00; R$ 10.000,00 e R$ 26.000,00 
b. R$ 5.000,00; R$ 10.000,00 e R$ 25.000,00 
c. R$ 7.000,00; R$ 11.000,00 e R$ 22.000,00 
d. R$ 8.000,00; R$ 12.000,00 e R$ 20.000,00 
e. R$ 9.000,00; R$ 11.000,00 e R$ 20.000,00 
 
13. (FGV) Três sócios A, B e C resolvem abrir uma sociedade com um capital 
de R$ 100 000,00. B entrou com uma quantia igual ao dobro da de A, e a 
diferença entre a quantia de C e a de A foi R$ 60 000,00. O valor absoluto da 
diferença entre as quantias de A e B foi: 
 
a. R$ 10 000,00 b. R$ 15 000,00 c. R$ 20 000,00 
d. R$ 25 000,00 e. R$ 30 000,00 
 
14. (ENEM) De acordo com um relatório recente da Agência internacional de 
Energia (AIE), o mercado de veículos elétricos atingiu um novo marco em 
2016, quando foram vendidos mais de 750 mil automóveis da categoria. Com 
isso, o total de carros elétricos vendidos no mundo alcançou a marca de 2 
milhões de unidades desde que os primeiros modelos começaram a ser 
comercializados em 2011. No Brasil, a expansão das vendas também se 
 
 
 
PROFESSOR GIBRAN 90 
 
verifica. A marca A, por exemplo, expandiu suas vendas no ano de 2016, 
superando em 360 unidades as 
vendas de 2015, conforme 
representado no gráfico. 
 
 
Disponível em: www.tecmundo.com.br. 
Acesso em: 5 dez. 2017. 
 
A média anual do número de carros vendidos pela marca A, nos anos 
representados no gráfico, foi de 
a. 192. b. 240. c. 252. d. 320. e. 420. 
 
15. (ENEM) Os exercícios físicos são recomendados para o bom 
funcionamento do organismo, pois aceleram o metabolismo e, em 
consequência, elevam o consumo de calorias. No gráfico, estão registrados 
os valores calóricos, em kcal, gastos em cinco diferentes atividades físicas, 
em função do tempo dedicado às atividades, contado em minuto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Qual dessas atividades físicas proporciona o maior consumo de 
quilocalorias por minuto? 
 
a. I b. II c. III d. IV e. V 
 
16. (ENEM) Em uma empresa, existe um galpão que precisa ser dividido em 
três depósitos e um hall de entrada de 20m2, conforme 
a figura abaixo. Os depósitos I, II e III serão construídos 
para o armazenamento de, respectivamente, 90, 60 e 
120 fardos de igual volume, e suas áreas devem ser 
proporcionais a essas capacidades. 
 
A largura do depósito III dever ser, em metros, 
igual a: 
 
a. 1 b. 2 c. 3 d. 4 e. 5 
 
17. (ENEM/PPL) O estado de qualquer substância gasosa é determinado 
pela medida de três, grandezas: o volume (V), a pressão (P) e a temperatura 
(T) dessa substância. Para os chamados gases “ideais”, o valor do quociente 
 é sempre constante. Considere um reservatório que está cheio de um 
gás ideal. Sem vazar o gás, realiza-se uma compressão do reservatório, 
reduzindo seu volume à metade. Ao mesmo tempo, uma fonte de calor faz a 
temperatura do gás ser quadruplicada. Considere P0 e P1 respectivamente, 
os valores da pressão do gás no reservatório, antes e depois do procedimento 
descrito. 
T
VP 
 
 
 
PROFESSOR GIBRAN 91 
 
 
A relação entre P0 e P1 é 
 
a. b. 
c. P1 = P0 
d. P1 = 2p0 e. P1 = 8P0 
 
Gabarito 
Questões propostas 
01. 
a. 16 b. 9 c. 11/8 d. 6 e. 36 
 
02. 
a) Diretamente proporcionais. b) Inversamente proporcionais. 
03. 
𝐴
𝐵
=
11
13
 04. E 
05. Antenor: R$ 162,00, Beatriz: R$ 72,00 e Caio: R$ 36,00 
06. Arnaldo: R$ 1.050,00, Beto: R$ 700,00 e Carlos: R$ 420,00 
07. B 08. D 09. D 
10. A 11. A 12. A 
13. D 
14. B 15. 23 brancas e 16 
pretas. 
16. B 
 17. C 
18. A 
 
Exercícios complementares 
01. E 02. B 03. A 04. B 05. E 
06. B 07. A 08. D 09. E 10. B 
11. B 12. D 13. A 14. D 15. B 
16. D 17. E 
 
 
 
8
P
P 01 
2
P
P 01 