Razão e proporção (1)

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RAZÃO E PROPORÇÃO - ENSINO FUNDAMENTAL - 9º ANO - PROFESSORA LEIDIANE
Aluno(a): _______________________________________________________________________________
(D29) Resolver problemas que envolvam variação
proporcional, direta ou inversa, entre grandezas.
(EF09MA07) Resolver problemas que envolvam a
razão entre duas grandezas de espécies
diferentes, como velocidade e densidade
demográfica.
(EF09MA08) Resolver e elaborar problemas que
envolvam relações de proporcionalidade direta e
inversa entre duas ou mais grandezas, inclusive
escalas, divisão em partes proporcionais e taxa de
variação, em contextos socioculturais, ambientais
e de outras áreas.
❖ Razão
- É o quociente entre dois números inteiros;
- Permite comparar duas grandezas;
- Pode ser representada na forma fracionária,
decimal ou percentual.
Exemplos:
1. Certa empresa tem 20 funcionários do sexo
feminino e 16 funcionários do sexo masculino.
Calcule a razão entre a quantidade de
funcionários do sexo feminino e a do sexo
mascuino.
2. Em certo concurso, foram aprovados 6
candidatos de um total de 25. Os candidatos
aprovados representam quantos por cento do
total?
RAZÕES ESPECIAIS
Densidade demográfica (Dd)
- É a comparação do número de habitantes com a
área da região. A área deve estar em km².
Densidade demográfica:
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 ℎ𝑎𝑏𝑖𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠
á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑎 𝑟𝑒𝑔𝑖ã𝑜
Exemplos:
1. A população do município de Altamira (PA),
cuja área territorial mede 159.533,328 km², era
de 109.938 habitantes no ano de 2016. Qual era a
densidade demográfica de Altamira no ano de
2016?
2. Determine a densidade demográfica de uma
cidade com 20.000 habitantes e uma área de 400
km².
Velocidade média (Vm)
- É a razão entre a distância percorrida e o tempo
total de percurso.
Velocidade média:
𝑑𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑝𝑒𝑟𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑑𝑎
𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑐𝑢𝑟𝑠𝑜
Exemplos:
1. Calcule a medida da velocidade média de um
carro que percorreu 300 km em 4h.
2. Um automóvel percorreu 400 km em 5 horas.
Qual foi a velocidade média desse automóvel no
percurso?
3. Uma moto percorreu a distância de 645 km
com uma velocidade média de 86 km/h. Qual o
tempo gasto no percurso?
Escala
- É a razão entre o tamanho do mapa e o
tamanho real.
Escala:
𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑠𝑒𝑛ℎ𝑜
𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑟𝑒𝑎𝑙
Exemplos:
1. Uma maquete foi construída na razão 1:40. Se
a altura de um edifício na maquete for de 90 cm,
qual é a altura real desse prédio?
2. Num mapa, a distância entre duas localidades
é de 3,5 cm. Sabendo que a distância real entre
essas localidades é de 56 km, indique a escala do
mapa.
(Dica: 1 km = 1.000 m/ 1 m = 100 cm).
3. Kênia e Sávio resolveram adquirir um
apartamento que viram no encarte de
propaganda do lançamento de um condomínio
residencial, onde foi apresentada a planta baixa
de um dos apartamentos. De acordo com as
informações, contidas nessa planta baixa, 5 cm
correspondem a quantos metros do
apartamento? 
❖ Proporção
- É a igualdade entre duas razões.
Os termos de uma proporção recebem nomes
especiais
O primeiro e o quarto termo chamam-se
EXTREMOS, e o segundo e o terceiro chamam- se
MEIOS. Ilustrando, temos:
Propriedade fundamental das proporções
Exemplos:
1. Em uma proporção, o produto dos extremos é
54. Qual é o produto dos meios?
2. Verifique se há proporção nas seguintes
igualdades:
a)
1
2 =
4
8
b)
6
9 =
3
4
c)
4
5 =
12
15
Cálculo do termo desconhecido numa proporção
Podemos descobrir o valor de um termo
desconhecido numa proporção, aplicando a
propriedade fundamental.
Exemplos:
1. Calcule o valor de x nas proporções:
a)
𝑥
5 =
6
10
b)
3
7 =
60
𝑥
c)
6
𝑥 =
14
35
d)
7
6 =
𝑥
36
e)
5
4 =
𝑥+1
𝑥−3
e)
5
4 =
𝑥+1
𝑥−3
Propriedade da soma
Numa proporção, a soma dos dois primeiros
termos está para o primeiro (ou segundo), assim
como a soma dos dois últimos está para o
terceiro (ou quarto).
Propriedade da diferença
Numa proporção, a diferença dos dois primeiros
termos está para o primeiro (ou segundo), assim
como a diferença dos dois últimos está para o
terceiro (ou quarto).
Exemplos:
1. Calcular x e y na proporção , sabendo
𝑥
𝒚 =
2
3 
que 𝑥 + 𝑦 = 10.
2. Calcular x e y na proporção , sabendo
𝑥
𝒚 =
9
4 
que 𝑥 − 𝑦 = 15.
❖ Números Proporcionais
Números diretamente proporcionais
Os números x, y e z são diretamente
proporcionais aos números a, b e c (diferentes de
zero) quando as razões são
𝑥
𝑎 = 
𝑦
𝑏 = 
𝑧
𝑐
todas iguais a uma constante k, chamada de
constante de proporcionalidade.
Exemplos:
1. Os números 6, x e y são diretamente
proporcionais aos números 4, 8 e 20. Nessas
condições, determinar os valores de x e y.
2. Sabe-se que os números x, y e 32 são
diretamente proporcionais aos números 80, 55 e
60. Qual é o valor de x+y?
3. Sabendo que a, b, c e 120 são diretamente
proporcionais aos números 220, 120, 160 e 480,
respectivamente, determine os números a, b e c.
Números inversamente proporcionais
Os números x, y e z são inversamente
proporcionais aos números a, b e c (diferentes de
zero) quando se tem 𝑥 · 𝑎 = 𝑦 · 𝑏 = 𝑧 · 𝑐
todas iguais a uma constante k, chamada de
constante de proporcionalidade.
Exemplos:
1. Os números x, y, 2 e z são inversamente
proporcionais aos números 6, 10, 15 e 60. Quais
são os números x, y e z?
2. Os números x, 30 e 10 são inversamente
proporcionais aos números 3, 12 e y. Nessas
condições, determine o valor de x y.−
3. Um carro à velocidade média cuja medida é
100 km/h faz certo percurso em 4 horas. Se a
velocidade média fosse 80 km/h, em quantas
horas seria feito o mesmo percurso?
❖ Divisão em partes proporcionais
Divisão em partes diretamente proporcionais
k =
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
𝑆𝑜𝑚𝑎 𝑑𝑎𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠
Exemplos:
1. Tia Simone dividiu 30 chocolates entre seus
sobrinhos de 2, 3 e 5 anos. Determine quantos
chocolates recebeu cada um deles, sabendo que
a divisão foi diretamente proporcional à idade de
cada sobrinho.
2. Quanto se obtém ao dividir o número 100 em
três partes diretamente proporcionais a 4, 7 e 9?
3. Moisés e Marcos abriram uma empresa e
investiram R$30.000,00, sendo que R$12.000,00
foram de Moisés e os R$18.000,00 restantes
foram de Marcos. Se, no primeiro mês a empresa
lucrou R$6.000,00, quanto cada um deve receber
se o lucro for dividido de maneira proporcional ao
capital investido por cada um?
Divisão em partes inversamente proporcionais
- Escreva as razões de forma inversa;
- Reduza-as ao mesmo denominador;
- Dívida o valor total. prls doms fsd partes.
Exemplos:
1. A quantia de R$3.000,00 precisa ser dividida
entre Amanda, Taís e Heloísa, de maneira
inversamente proporcional às suas idades, 20, 15
e 12 anos, respectivamente. Determine a quantia,
em reais, que cada uma receberá.
2. Quanto se obtém ao dividir o número 390 em
três partes inversamente proporcionais a 2, 5 e 6?
3. Os três jogadores mais disciplinados de um
campeonato de futebol amador irão receber um
prêmio de R$ 5.010,00 rateados em partes
inversamente proporcionais ao número de faltas
cometidas em todo o campeonato. Os jogadores
cometeram 5, 7 e 11 faltas. Qual a premiação
referente a cada um deles respectivamente?
❖ Regra de três simples
COMO RESOLVER
UMA REGRA DE TRÊS SIMPLES:
Para resolver-se situações utilizando a
regra de três, é fundamental a IDENTIFICAÇÃO
DA RELAÇÃO ENTRE AS GRANDEZAS,
separando em dois casos, quando as grandezas
são DIRETAMENTE PROPORCIONAIS ou
INVERSAMENTE
PROPORCIONAIS. Para resolver, seguimos os
seguintes passos:
1º passo – Identificar as grandezas e
construção da tabela.
2º passo – Analisar se as grandezas são
DIRETAMENTE ou INVERSAMENTE
PROPORCIONAIS.
3º passo – Aplicar o método de resolução
correto para cada um dos casos, e, por fim,
resolver a equação.
Exemplos:
1. Diga se as grandezas abaixo são diretamente
ou inversamente proporcional:
a) Número de pessoas em um churrasco e a
quantidade (gramas) que cada pessoa
poderá consumir.
b) A área de um retângulo e o seu comprimento,
sendo a largura constante.
c) Número de erros em uma prova e a nota
obtida.
d) Número de operáriose o tempo necessário
para eles construírem uma casa.
e) Quantidade de alimento e o número de dias
que poderá sobreviver um náufrago.
f) A velocidade de um automóvel e o tempo gasto
no percurso.
2. Para a confecção das provas de um concurso,
uma gráfica dispunha de 15 impressoras, que
demorariam 18 horas para imprimir todas as
provas. No preparo para o início do trabalho, foi
diagnosticado que só havia 10 impressoras
funcionando. Qual é o tempo, em horas, que será
gasto para a confecção de todas as provas do
concurso?
3. Uma foto retangular, medindo 15 cm de largura
por 20 cm de altura, deve ser reduzida para 9 cm
de altura. Calcule a altura correspondente.
4. A 60km/h faço o percurso entre duas cidades
em duas horas. Trafegando a 80km/h qual o
tempo estimado para percorrer este trajeto?
5. A esteira de uma linha de produção tem
velocidade constante. Uma caixa que é colocada
no início dessa esteira percorre 8 metros em um
tempo de 5 segundos. Mantendo-se a velocidade,
quantos metros a caixa percorrerá no tempo de 9
segundos?
6. Em uma usina de reciclagem, cada quilograma
de latas de alumínio é comprado por R$5,00
sendo necessárias em média, 600 latas para se
obter 8 kg de alumínio.
a) Quantas latas são necessárias para se obter
150 kg de alumínio?
b) Nessa usina de reciclagem, quantos reais são
pagos por 210 kg de latas de alumínio?
❖ Regra de três composta
A REGRA DE TRÊS COMPOSTA é um
método utilizado para encontrar valores
desconhecidos, quando o problema envolve
grandezas que possuem proporção. É importante
lembrar que existem duas possibilidades para as
grandezas quando elas são proporcionais. Elas
podem ser DIRETA ou INVERSAMENTE
PROPORCIONAIS.
COMO RESOLVER UMA REGRA
DE TRÊS COMPOSTA:
Os mesmos, independentemente da
quantidade de grandezas envolvidas no
problema.
1º passo: identificação das grandezas e
construção da tabela.
2º passo: analisar a proporção que existe entre
a grandeza que contém a incógnita.
3º passo: inverter a razão caso exista alguma
GRANDEZA INVERSAMENTE PROPORCIONAL à
grandeza que contém a incógnita; caso não
exista, ir direto para o passo quatro.
4º passo: montar a equação, deixando a
grandeza que possui incógnita no primeiro
membro da igualdade e calcular o produto
entre as demais, que ficaram no segundo
membro.
Exemplos:
1. José e Pedro decidiram fazer uma viagem. José
afirmou que rodando uma média de 8 horas por
dia a uma velocidade média de 60 km/h levaria 6
dias para completá-lo. Pedro comprometeu-se a
dirigir 9 horas por dia a velocidade média de
80km/h. Considerando que Pedro vá dirigindo,
calcule a quantidade de dias que levarão para
completar o percurso.
2. Um instituto de pesquisa necessita de 120
entrevistadores trabalhando 8h para aplicar 512
questionários.Quantos entrevistadores, com o
mesmo ritmo de trabalho,são necessários para
aplicar 1200 questionários em 5h? 
3. Em um canil para alimentar 160 cães durante
12 dias são necessários 694 kg de ração. Nesse
mesmo canil, durante quantos dias é possível
alimentar 72 cães com 1041 kg de ração?
4. Uma escola de informática calculou que em 4
horas de funcionamento 6 computadores
consomem 4,8 kW/h. Qual será o consumo de
energia elétrica se 7 computadores ficarem em
funcionamento por 3 horas nessa escola?
5. Para atender a uma encomenda de 15.000
panfletos, uma gráfica utilizou 5 máquinas de
mesmo rendimento, que realizaram a impressão
em 20 min. Quantos minutos são necessários
para que 3 dessas máquinas imprimam 7.200
panfletos como esses ?