Equações e Razões Matemáticas

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Matemática 
Empresarial
PROF. OTÍLIO 
DIÓGENES
AULA 01
A Matemática 
do Dia a Dia
Como vocês chamam essas notações?
Equação
▪ Sentença matemática que possui uma igualdade e, pelo menos, 
uma incógnita.
Equação do 
1º Grau
Equação do primeiro grau
▪Uma equação do primeiro grau é uma expressão matemática 
envolvendo termos conhecidos e desconhecidos da forma, conforme 
visto a seguir:
Equação do primeiro grau
▪Ex. 01: Em uma corrida de táxi, é comum pagarmos uma taxa fixa
(chamada bandeirada) mais um valor variável que depende da
distância percorrida. Se a bandeirada é de R$4,20 e o quilômetro
rodado custa R$0,95, qual é distância percorrida por um passageiro
que pagou R$21,30?
Equação do primeiro grau
▪Ex. 02: Um grupo de amigos vai acampar no final de semana. Numa
certa hora da manhã de domingo, o equivalente a um terço desse grupo
está envolvido com o preparo do almoço, a metade do grupo cuida da
limpeza do acampamento, a décima parte desses dois subgrupos colhe
flores na redondeza e a única pessoa restante do grupo deleita-se lendo
um bom livro. Quantos elementos tem esse grupo de amigos?
Equação do primeiro grau
▪Ex. 03: Clarissa é uma típica consumidora de shopping. Seu pai lhe deu uma certa importância em dinheiro para que
comprasse algumas coisas. Ao passar por uma sapataria, encantou-se com um tênis e pagou por ele um quinto do
que recebeu de seu pai. Em seguida, entrou numa loja de roupas e comprou uma calça, pagando um quarto do que
restou. Clarissa ainda ficou com R$120,00. Qual foi a quantia que ela recebeu de seu pai?
▪X = x/5 + ¼*(x - x/5) + 120
▪X = x/5 + x/4 – x/20 + 120
20x = 4x + 5x – x + 2400
20
20x = 8x + 2400
12x = 2400
X = 2400/12
X = 200
Equação do primeiro grau
▪Ex. 04: Qual o valor de x que satisfaz a equação abaixo?
3x + 4 = 5x − 8
3x – 5x = -8 – 4
-2x = -12
X = -12/-2
X = 6
Equação do primeiro grau
▪Ex. 05: Raul e Kárita têm, juntos, R$ 210.000,00 para fazer um investimento. A
quantia que Raul possui é três quartos da quantia que Kárita possui. Qual é o
valor a ser investido por Kárita?
X + ¾ x = 210000
4x + 3x = 840000
7x = 840000
X = 120000
Razão e 
Proporção
Razão
▪ A razão entre dois números a e b, com b ≠ 0, é o resultado da
divisão de a por b, ou seja,
𝒂
𝒃
. A razão entre a e b também pode ser
simbolizada por a ÷ b ou a : b.
▪Algumas razões importantes:
a) Velocidade média =
𝑑𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑝𝑒𝑟𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑑𝑎
𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑔𝑎𝑠𝑡𝑜
b) Vazão =
𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒
𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜
c) Concorrência =
𝑛º 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑛𝑑𝑖𝑑𝑎𝑡𝑜𝑠 𝑖𝑛𝑠𝑐𝑟𝑖𝑡𝑜𝑠
𝑛º 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑔𝑎𝑠 𝑜𝑓𝑒𝑟𝑒𝑐𝑖𝑑𝑎𝑠
Razão
▪Ex.01: Em uma turma, a razão entre o número homens e o número de mulheres
é 3/5. Nessa turma há 21 homens, qual o número total de alunos da turma?
h/m = 3/5
3h ---- 5m
21h-------x
3x = 21*5
3x = 105
X = 35 mulheres
Nº total de alunos = 35 +21 =56 alunos
Razão
▪Ex.02: Cinco marcas de pão integral apresentam as seguintes concentrações de
fibras (massa de fibra por massa de pão):
- Marca A: 2 g de fibras a cada 50 g de pão = 2/50 1/25 =
- Marca B: 5 g de fibras a cada 40 g de pão;
- Marca C: 5 g de fibras a cada 100 g de pão;
- Marca D: 6 g de fibras a cada 90 g de pão;
- Marca E: 7 g de fibras a cada 70 g de pão.
Recomenda-se a ingestão do pão que possui a maior concentração de fibras.
Qual marca deve ser escolhida?
Razão
▪Ex.03: Nos mapas usados nas aulas de Geografia encontramos um tipo de razão chamada de
escala. Uma escala é a relação matemática entre o comprimento ou a distância medida sobre
um mapa e a sua medida real na superfície terrestre. Em um mapa encontramos a escala 1:
200.000. Se nesse mapa a distância entre duas cidades é igual a 65 cm, então qual a distância
real, em km, entre as cidades?
Razão
▪Ex.04: A maquete de um condomínio foi construída em uma escala 1 : 80. Nessa maquete, há
uma piscina com área igual a 50 cm2 . Qual a área real dessa piscina no condomínio?
Razão
▪Ex.05: A maquete de um armazém de estrutura cúbica foi construída na escala de 1:40.
Durante a análise de um engenheiro, foi verificado que a maquete não atendeu às medidas
corretas e que o volume da estrutura é 10% maior do que a maquete representa. Sendo o
volume da maquete igual a 200 cm3 , qual o volume do armazém?
Razão
Ex.06: Para melhorar os processos administrativos dentro de uma empresa, foi feita uma
pesquisa com os 5 funcionários do setor para averiguar a produtividade de cada um deles.
•Funcionário I → 25 processos em 6 dias
•Funcionário II → 18 processos em 4 dias
•Funcionário III → 20 processos em 5 dias
•Funcionário IV → 14 processos em 3 dias
•Funcionário V → 22 processos em 5 dias
Supondo que a produtividade desses funcionários continue a mesma, qual o funcionário menos
produtivo desse setor?
Razão
Ex.07: Em uma sala de aula, o professor de História percebeu que 5/7 da turma atingiram
notas na média ou acima da média na prova. Sabendo que 6 estudantes não conseguiram atingir
a média esperada, então a quantidade de estudantes que se saíram bem no exame foi de:
Razão
Ex.08: Com o incentivo à participação das mulheres na política, o esperado é que, no mínimo,
1/3 da Assembleia Legislativa do estado X seja composto por mulheres. Durante a eleição para
deputados estaduais, foram eleitas 12 mulheres e 24 homens, então podemos afirmar que:
A) há menos mulheres que a meta esperada.
B) há mais mulheres que a meta esperada.
C) há exatamente a quantidade de mulheres esperada.
D) há mais mulheres do que homens eleitas nesse ano.
E) há 1/2 de mulheres eleitas nesse ano.
Razão
Ex.09: Em uma loja, há 2300 vendedores e 46 supervisores. A razão entre o número de
vendedores e o número de supervisores é igual a:
A) 1 supervisor a cada 46 vendedores
B) 46 supervisores a cada 50 vendedores
C) 50 supervisores para cada vendedor
D) 1 supervisor para cada 50 vendedores
Razão
Ex.10: Duas cidades A e B estão a uma distância de 204 km. Para sair da cidade A, ir até a
cidade B e voltar novamente para a cidade A, foram necessários 48 litros de combustível. Então
o desempenho desse veículo foi de:
A) 4,25 km/L
B) 6,50 km/L
C) 7,00 km/L
D) 7,75 km/L
E) 8,50 km/L
Razão
Ex.11: Para o pronunciamento do prefeito eleito, os seus apoiadores fizeram uma festa em
sua posse. Das pessoas presentes, 300 vieram de outras cidades e 1200 eram da própria cidade.
Então, a razão entre o total de convidados que vieram de outra cidade e o total de convidados
da festa é:
A) 3/4
B) 2/3
C) 3/7
D) 3/5
E) 1/5
Razão
Ex.12: Em uma fábrica de parafusos, é comum que, em meio à produção, alguns parafusos saiam defeituosos. Nessa
fábrica há 4 máquinas, e a que tem pior desempenho será substituída. Sabendo que o tempo gasto para a produção foi o
mesmo, retirou-se uma amostra de produção de cada máquina.
•Máquina 1 → produziu 1200 parafusos, sendo 15 defeituosos.
•Máquina 2 → produziu 1020 parafusos, sendo 12 defeituosos.
•Máquina 3 → produziu 900 parafusos, sendo 9 defeituosos.
•Máquina 4 → produziu 612 parafusos, sendo 6 defeituosos.
Analisando a produção das máquinas, a que será substituída será a:
A) máquina 1
B) máquina 2
C) máquina 3
D) máquina 4
Razão
Ex.13: O desempenho de um técnico de futebol é de 15 vitórias em 25 jogos. Então, a razão
entre o número de partidas perdidas e o número de partidas disputadas é:
A) 2/5
B) 3/5
C) 4/5
D) 5/3
E) 5/4
Razão
Ex.14: No monte de Cerro Armazones, no deserto de Atacama, no Chile, ficará o maior telescópio da superfície
terrestre, o Telescópio Europeu Extremamente Grande (E-ELT). O E-ELT terá um espelho primário de 42 m de
diâmetros, “maior olho do mundo voltado para o céu”.
Disponível em: http://www.estadao.com.br. Acesso em: 27 abr. 2010 (adaptado).
Ao ler esse texto em uma sala de aula, uma professora fez uma suposição de que o diâmetro do olho humano
mede aproximadamente 2,1 cm.
Qual a razão entre o diâmetro aproximado do olho humano, suposto pela professora, e o diâmetro do espelho
primário do telescópio citado?
A) 1:20
B) 1:100
C) 1:200D) 1:1 000
E) 1:2 000
Proporção
▪Quando temos duas razões iguais entre si, dizemos que elas são proporcionais. Em outras
palavras, podemos dizer que, quando temos o quociente de um par de números (uma razão)
igual ao quociente de outro par de números diferentes (outra razão diferente), esses dois pares
de números (as duas razões) são proporcionais.
▪Representa-se a proporção por
𝒂
𝒃
=
𝒄
𝒅
(a está para b assim como c está para d).
▪São duas as propriedades mais importantes da proporção:
1. Se
𝒂
𝒃
=
𝒄
𝒅
, então a.d = b.c (o produto dos extremos é igual ao produto dos meios)
2.
𝒂
𝒃
=
𝒄
𝒅
=
𝒂±𝒄
𝒃±𝒅
(a soma dos numeradores é proporcional à soma dos denominadores)
Proporção
15. Na proporção
𝒙
𝟓
=
𝟑
𝟐
= , qual o valor de x?
16. Três números x, y e z são tais que x + y + z = 30 e
𝒙
𝟕
=
𝒚
𝟑
=
𝒛
𝟓
. Qual o valor de x?
Grandezas proporcionais
▪Dizemos que duas grandezas são diretamente proporcionais, quando se uma delas aumenta, a
outra aumenta na mesma proporção e, do mesmo modo, se uma delas diminui, a outra diminui
na mesma proporção (admitindo todas as demais grandezas constantes).
▪Ex:
- Preço pago e quantidade de produto adquirido.
- Velocidade e distância; admitindo o tempo constante.
- Quantidade de peças produzidas e nº de funcionários
▪ Quando duas grandezas são diretamente proporcionais, a divisão entre seus valores é sempre
uma constante k, chamada de constante de proporcionalidade.
Grandezas proporcionais
▪Duas grandezas diretamente proporcionais relacionam-se através de um gráfico que é uma
semirreta com origem na origem do plano cartesiano.
Grandezas proporcionais
▪Dizemos também que duas grandezas são inversamente proporcionais, quando se uma delas
aumenta, a outra diminui na mesma proporção e, do mesmo modo, se uma delas diminui, a
outra aumenta na mesma proporção (admitindo todas as demais grandezas constantes).
▪Quando duas grandezas são inversamente proporcionais, a multiplicação entre seus valores é
sempre uma constante k, chamada de constante de proporcionalidade.
▪Duas grandezas inversamente proporcionais relacionam-se através de um gráfico que é
chamado de hipérbole.
Grandezas proporcionais
▪Podemos também analisar as relações de proporcionalidade entre duas grandezas se tivermos a
expressão matemática que as relaciona. Por exemplo, a expressão:
A = 
𝑩.𝑪
𝑫
▪Se uma grandeza estiver isolada em um dos lados da equação, como a grandeza A na expressão
acima, as grandezas do outro lado são
▪ diretamente proporcionais a essa grandeza isolada se estiverem no numerador.
▪ inversamente proporcionais a essa grandeza isolada se estiverem no denominador.
▪Assim, na expressão anterior:
▪ A e B são DIRETAMENTE proporcionais.
▪ A e C são DIRETAMENTE proporcionais.
▪ A e D são INVERSAMENTE proporcionais.
Grandezas proporcionais
▪Podemos também analisar as relações de proporcionalidade entre duas grandezas se tivermos a
expressão matemática que as relaciona. Por exemplo, a expressão:
A = 
𝑩.𝑪
𝑫
▪Se as duas grandezas que quisermos analisar a proporcionalidade estiverem do mesmo lado,
serão
▪ diretamente proporcionais se estiverem divididas.
▪ inversamente proporcionais se estiverem multiplicadas.
▪Assim, na expressão anterior:
▪ B e C são INVERSAMENTE proporcionais.
▪ B e D são DIRETAMENTE proporcionais.
▪ C e D são DIRETAMENTE proporcionais.
Grandezas proporcionais
17. Força centrípeta é a força resultante que puxa o corpo para o centro da trajetória em um movimento curvilíneo ou
circular. O valor numérico dessa força centrípeta é dado pela expressão
Fcp = 
𝒎.𝒗𝟐
𝑹
onde Fcp é a força centrípeta (medida em Newtons), m é a massa (medida em quilogramas), v é a velocidade (medida em
metros por segundo) e R é o raio da curva (medido em metros).
Considere as seguintes afirmações:
I. Fcp é diretamente proporcional a m.
II. Fcp é diretamente proporcional a v.
III. Fcp é inversamente proporcional a R.
IV. m é inversamente proporcional a R.
Dentre essas afirmações
a) apenas I, II e III estão corretas.
b) apenas I e III estão corretas.
c) apenas III e IV estão corretas.
d) apenas I e II estão corretas.
e) apenas II, III e IV estão corretas.
Grandezas proporcionais
18. A pressão P de um gás, medida em atmosferas (atm), é diretamente proporcional a sua
temperatura T, medida em Kelvin (K), e inversamente proporcional ao seu volume V, medido em
cm3 . Para relacionar essas três grandezas há uma constante de proporcionalidade k que depende
Em determinado experimento, um gás com uma temperatura de 400 K, ocupava um volume de
50 cm3 e possuía uma pressão de 4 atm da natureza do gás. Qual a constante de
proporcionalidade deste gás?
Grandezas proporcionais
19. O prêmio de um programa de auditório, no valor de R$ 40.000,00 foi dividido de forma
diretamente proporcional aos pontos obtidos pelos quatro participantes. O primeiro colocado fez
330 pontos, o segundo 270, já o terceiro e quarto fizeram, 100 pontos, cada um. Qual a parte do
prêmio referente ao participante que fez a maior pontuação?
Regra de três simples
▪Na regra de três simples existem apenas duas grandezas envolvidas e essas grandezas podem
ser diretamente (regra de três simples direta) ou inversamente proporcionais (regra de três
simples inversa).
Regra de três simples
20. A energia solar é, para muitos estudiosos, a solução mais viável para a independência em
relação aos combustíveis fósseis. Entretanto, apesar de ser uma energia que não polui o ar,
possui duas grandes desvantagens: é cara e depende de uma ampla área de absorção de raios
solares para gerar uma quantidade suficiente de energia. Uma lancha com motor movido a
energia solar possui uma área de absorção de raios solares de 1,2m2 e com isso consegue
produzir 400 watts por hora de energia. A empresa que produz a lancha planeja colocar no
mercado um novo modelo que terá a área de absorção de raios solares ampliada para 1,5m2.
Nesse novo modelo, a energia produzida, em watts por hora será igual:
a) 420
b) 450
c) 480
d) 500
e) 540
Regra de três simples
21. Uma organização não governamental (ONG) possui estoque de alimentos suficiente para
servir refeições para uma população de 750 moradores de rua durante 25 dias. Devido a um
desastre natural, mais 500 pessoas necessitam de ajuda para se alimentar. Se a quantidade de
alimento permanecer a mesma, esse estoque durará por
a) 20 dias
b) 18 dias
c) 16 dias
d) 15 dias
e) 12 dias
Regra de três composta
▪Na regra de três composta, há mais de duas grandezas envolvidas na situação.
22. Uma pequena gráfica recebeu pela manhã uma encomenda para produzir 1000 panfletos
para divulgação de uma festa. Para atender esse pedido, a gráfica colocou em funcionamento as
seis impressoras idênticas que possuía e ao final de 40 minutos os panfletos estavam impressos.
Pela tarde, a gráfica recebeu a encomenda para produzir mais 2500 panfletos para divulgação da
mesma festa, entretanto, para atender esse pedido, apenas quatro das impressoras estão
disponíveis pois as demais estão executando outro serviço. O tempo necessário para essa nova
encomenda ser finalizada é
a) 1 hora e 30 minutos.
b) 1 hora e 45 minutos.
c) 2 horas e 15 minutos.
d) 2 horas e 30 minutos.
e) 2 horas e 45 minutos.
Regra de três composta
23. Um tanque pode ser enchido por duas torneiras A e B. Se abrirmos somente a torneira A, o
tanque é enchido em 4 horas. Abrindo somente a torneira B, gasta-se 6 horas pra encher. Se
ambas as torneiras forem abertas ao mesmo tempo, o tanque será enchido em
a) 3,0 horas.
b) 2,8 horas.
c) 2,6 horas.
d) 2,4 horas.
e) 2,0 horas.
Exercícios
1. Após passarem por um tratamento X, 3/7 dos portadores de uma enfermidade ficaram
curados. Os que continuaram doentes receberam um segundo tratamento Y, e 1/6 deles se
curou. Ao todo, a fração de enfermos que se curou é igual a
a) 4/13
b) 7/16
c) 8/15
d) 11/21
e) 25/42
Exercícios
2. Uma lanchonete vende sucos em dois tamanhos: 300 mL e 500 mL. O copo de 300 mL custa
R$ 2,10, quantodeve custar o copo de 500 mL para que os preços sejam diretamente
proporcionais aos volumes de cada copo?
a) R$ 3,20
b) R$ 3,50
c) R$ 3,80
d) R$ 3,90
e) R$ 4,20
Exercícios
3. Uma equipe de operários, trabalhando 8 horas por dia, realizará determinada obra em 20
dias. Se o número de horas de serviço for reduzido para apenas 5 horas por dia, em que
prazo essa equipe fará o mesmo trabalho?
a) 15 dias b
b) 20 dias
c) 28 dias
d) 32 dias
e) 40 dias
Exercícios
4. Uma equipe de ambientalistas apresentou um mapa de uma reserva ambiental em que
faltava a especificação da escala utilizada para a sua confecção. O problema foi resolvido,
pois um dos integrantes da equipe lembrava-se de que a distância real de 72 km, percorrida
na reserva, equivalia a 3,6 cm no mapa. Qual foi a escala utilizada na confecção do mapa?
a) 1: 20
b) 1: 2.000
c) 1: 20.000
d) 1: 200.000
e) 1: 2.000.000
Exercícios
5. Um motorista partiu da cidade A em direção à cidade B por meio de uma rodovia retilínea
localizada em uma planície. Lá chegando, ele percebeu que a distância percorrida nesse
trecho foi de 25 km. Ao consultar um mapa com o auxílio de uma régua, ele verificou que a
distância entre essas duas cidades, nesse mapa, era de 5 cm. A escala desse mapa é
a) 1 : 5.
b) 1 : 1000.
c) 1 : 5000.
d) 1 : 100000.
e) 1 : 500000.
Exercícios
6. Para a construção de um edifício, o engenheiro responsável decidiu utilizar um novo elevador de carga,
com o objetivo de transportar as lajotas do solo até o andar superior com maior eficiência. Testaram-se
dois modelos de elevadores: o primeiro carrega 40 peças de lajotas por vez e demora 15 minutos para
ir ao topo e retornar ao solo; o segundo carrega 60 peças de lajotas por vez e demora 21 minutos para
percorrer o mesmo trajeto. O engenheiro decide verificar quanto tempo o primeiro demora para
carregar 280 lajotas até o topo e voltar. Em seguida, decide calcular a quantidade máxima de lajotas
que o segundo elevador carregaria nesse mesmo tempo. Nessas condições, a quantidade máxima de
lajotas que o segundo elevador pode carregar é
a) 133.
b) 261.
c) 300.
d) 392.
e) 588.
Exercícios
7. Uma confecção possuía 36 funcionários, alcançando uma produtividade de 5.400 camisetas por dia, com uma
jornada de trabalho diária dos funcionários de 6 horas. Entretanto, com o lançamento da nova coleção e de uma
nova campanha de marketing, o número de encomendas cresceu de forma acentuada, aumentando a demanda
diária para 21.600 camisetas. Buscando atender essa nova demanda, a empresa aumentou o quadro de funcionários
para 96. Ainda assim, a carga horária de trabalho necessita ser ajustada. Qual deve ser a nova jornada de trabalho
diária dos funcionários para que a empresa consiga atender a demanda?
a) 1 hora e 30 minutos.
b) 2 horas e 15 minutos.
c) 9 horas.
d) 16 horas.
e) 24 horas.
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	Slide 2: A Matemática do Dia a Dia
	Slide 3: Como vocês chamam essas notações?
	Slide 4: Equação
	Slide 5: Equação do 1º Grau
	Slide 6: Equação do primeiro grau
	Slide 7: Equação do primeiro grau
	Slide 8: Equação do primeiro grau
	Slide 9: Equação do primeiro grau
	Slide 10: Equação do primeiro grau
	Slide 11: Equação do primeiro grau
	Slide 12: Razão e Proporção
	Slide 13: Razão
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	Slide 29: Proporção
	Slide 30: Grandezas proporcionais
	Slide 31: Grandezas proporcionais
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	Slide 37: Grandezas proporcionais
	Slide 38: Regra de três simples
	Slide 39: Regra de três simples
	Slide 40: Regra de três simples
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	Slide 42: Regra de três composta
	Slide 43: Exercícios
	Slide 44: Exercícios
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	Slide 46: Exercícios
	Slide 47: Exercícios
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