Lista 1- Análise Matemática I

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UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO - FACULDADE DE 
FORMAÇÃO DE PROFESSORES - FFP 
 
 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA - DMAT 
DISCIPLINA: Análise Matemática I 
Data:01/10/2020 
Aluno: Francisco Bernardo de Oliveira Cardoso 
 
1. Suponha que a casa da moeda lança notas de três reais, prove por indução que com 
notas de 3 e 5 reais pode-se pagar qualquer quantidade inteira maior ou igual que 8. 
 
2. Prove por indução que n! > 2 n para todo n ≥ 4. 
 
3. Uma empresa deseja criar comissões para delegar trabalhos, mas o diretor diz que as 
comissões têm que ter exatamente três membros e que todos os funcionários devem estar 
em exatamente duas comissões. Prove que com estas restrições o número de funcionários 
tem que ser múltiplo de 3 e o número de comissões múltiplo de 2. Prove por indução que 
se o número de funcionários é múltiplo de 3 podem ser criadas comissões com os 
requisitos antes descritos e calcule o número de comissões em função de n. 
4. Seja X ⊂ N infinito. Prove que existe uma única bijecção crescente f : N → X. 
 
5. Dado n ∈ N, prove que não existe x ∈ N tal que n < x < n + 1. 
 
 
 
 
 
 
Questão 1 
Aqui faremos P(n) denotar que apenas notas nos valores de 3 e 5 são necessárias para se 
obter um valor n, e provaremos que P(n) é verdadeira para 8n  . 
A base da indução consiste em estabelecer P (8), que resulta da equação: 
 8 3 5= + 
Vamos assumir que P(r) é verdadeira para qualquer r, e examinar o que ocorre com 
P(k+1). Podemos considerar que 1k + é no mínimo 11, visto que P(r)é verdadeira para r 
= 8, 9 e 10. Se ( )1 11, temos que 1 3 2 8k k k+  + − = −  vem e pela hipótese de indução, 
( ) — 2P k é verdadeira. 
Sendo assim, temos que k — 2 pode ser escrita como a soma de 3 e 5, e adicionando-se 
o valor 3 obtém-se — 2 3 1k k+ = + , o que acarreta em k+ 1. Este resultado comprova 
que P (k+ 1) é verdadeira e completa a demonstração 
Questão 2 
Considerando 4n = teremos uma igualdade verificada, e para isso, basta supormos que 
a igualdade seja analisada para 4n = , o que quer dizer que ! 2k k . Sabendo disso 
temos que: 
( ) ( ) ( ) 1 ! 1 ! 1 2 2 1k k k k k k+  +  +  + 
 
Questão 4 
 
Vamos considerar que = f N X→ . Sendo assim, temos: 
( ) ( )
( ) ( )( )
1
1
1 min
min
n
i
f x
f n x u f i
−
=
=
 
= − 
 
 
Por meio do PIF e também por X C encontrar-se de forma ordenada, teremos uma 
função definida na forma: 
( ) ( )( ) ( )
1
1
min
n
i
f m x u f i f n
−
=
 
 − = 
 
 
Essa definição ocorre, pois, temos que ( ) 11, x X-U
m
if m x
−
=  . Dessa forma, podemos 
concluir que a função é estritamente crescente e também injetiva. 
Por meio da indução é possível provar que a função também é sobrejetiva. Vamos 
considerar que: 
( )n f n 
Sendo assim, temos que: 
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
1
1 min min 1
1
1 1
n
X f
n f n f n
n f n
=
=  =
  +
+  +
 
Assim, temos que a igualdade acima é válida. Agora vamos supor por absurdo que 
existe ( )x X f − . Nesse caso teríamos uma contradição, pois 
( )( )
1
1
min
n
i
x X U f i
−
=
 
 − 
 
. Sendo assim, devido a essa contradição podemos concluir que 
a função é sobrejetiva. 
 
Por último vamos provar que g X= → é uma bijeção crescente. Consideremos que: 
( ) ( ) ( )1 min 1g X f= = 
Se tivéssemos um caso análogo a esse, teríamos a existência de , com 1n n  que 
nos levaria à: 
( ) ( ) ( )min 1g n X g=  
Isso acaba contradizendo o fato de que g é crescente. Com isso, por meio de um passo 
indutivo teremos que para 1k n + teremos: 
( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
1
1
1 min
1 1
min 1
n
i
n
i
g n X U g i
g n f n
g p X U g i g n
=
=
 
+ = − 
 
+ = +
 
= −  + 
 
 
 
Questão 5 
 Vamos supor através do absurdo que dado um determinado ,n x   temos que: 
1n x n  + 
Considerando que , e n x x n  , podemos concluir que existe um elemento p , 
onde x n p= + . Realizando a substituição teremos a seguinte notação: 
1n n p n +  + 
Adicionando nessa notação n− , teremos: 
0 1p  
Que nesse caso é uma notação absurda pois p pertence aos números naturais. 
Sendo assim, concluímos que nossa hipótese do raciocínio por absurdo e refutada, ou 
seja, dado ´, n IN não existe x IN tal que 1n x n  + .