Cinemática vetorial Exercícios

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Tema 3 • Cinemática vetorial
Suplemento de reviSão • FÍSiCASuplemento de reviSão • FÍSiCA
NO VESTIBULAR
 6 (UCSal-BA) Entre as cidades A e B, existem sempre cor-
rentes de ar que vão de A a B com velocidade de 50 km/h. 
Um avião, voando em linha reta, com velocidade de 
150 km/h em relação ao ar, demora 4 horas para ir 
de B até A. Qual é a distância entre as duas cidades?
a) 200 km
b) 400 km
c) 600 km
d) 800 km
e) 100 km 
 7 (Ufla) Dois projéteis, A e B, são lançados simultanea-
mente e atingem a mesma altura H. Suas trajetórias 
estão representadas no gráfico abaixo.
x
y
0
Projétil A Projétil B
H
Sabendo que os projéteis, após seu lançamento, es-
tão sujeitos apenas à ação gravitacional, é CORRETO 
concluir que:
a) a velocidade de lançamento do projétil A é menor 
que o do projétil B.
b) a velocidade vertical do projétil A, em y = 0, é maior 
que o do projétil B.
c) o tempo que o projétil B leva para atingir o ponto 
y = H é maior que do projétil A.
d) a velocidade horizontal dos dois projéteis, em 
y = H, é a mesma.
 8 (Ufac) Qual o período, em segundos, do movimento de 
um disco que gira realizando 20 rotações por minuto?
a) 3
1
b) 3
c) 3
2
d) 1
e) 20
1
 9 (UCS-RS) Uma esfera é lançada horizontalmente do 
ponto A e passa rente ao degrau no ponto B.
20 cm
30 cm
B
A
v0
Sendo 10 m/s2 o valor da aceleração da gravidade 
local, calcule a velocidade horizontal da esfera em A.
a) 1,0 m/s
b) 1,5 m/s
c) 2,0 m/s
d) 2,5 m/s
e) 3,0 m/s
 1 (PUC-MG) Para o diagrama vetorial, a única igualdade 
correta é:
b c
a
a) a b c+ =
b) b a c- =
c) a b c- =
d) b c a+ =-
e) c b a- =
 2 (Unifor-CE) A soma de dois vetores de módulos 12 N e 18 N 
tem certamente o módulo compreendido entre:
a) 6 N e 18 N
b) 6 N e 30 N
c) 12 N e 18 N
d) 12 N e 30 N
e) 29 N e 31 N
 3 (PUC-PR) Em uma partícula, atuam duas forças, de 50 N e 
120 N, perpendiculares entre si. O valor da força resul-
tante é:
a) 130 N
b) 170 N
c) 70 N
d) 6.000 N
e) 140 N
 4 (Unifesp) Na figura, são dados os seguintes vetores a , 
b e c .
u a b c
Sendo u a unidade de medida do módulo desses 
vetores, pode-se afirmar que o vetor d a b c= - + tem 
módulo:
a) 2 u, e sua orientação é vertical, para cima.
b) 2 u, e sua orientação é vertical, para baixo.
c) 4 u, e sua orientação é horizontal, para a direita.
d) 2 u, e sua orientação forma 45w com a horizontal, 
no sentido horário.
e) 2 u, e sua orientação forma 45w com a horizontal, 
no sentido anti-horário.
 5 (UFJF-MG) Um barco percorre a largura de um rio AB 
igual a 2 km, em meia hora. Sendo a velocidade da 
correnteza igual a 3 km/h, temos para a velocidade 
do barco em relação à correnteza:
a) 5 km/h
b) 1,5 km/h
c) 10 km/h
d) 50 km/h
e) n.r.a.
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tema 3 • CINemátICa vetorIal 
Ex
er
cí
ci
o 
1 Com base no diagrama, temos: 
a c b+ = ]
] ( ) ( )a c a b a c b a]+ + - = + - = -
Alternativa b.
Ex
er
cí
ci
o 
2
O valor mínimo para a soma ocorre se os vetores têm 
mesma direção e sentidos opostos; nesse caso, a soma 
tem módulo igual a 6 N.
12 N
18 N
12 N 18 N
O valor máximo, por sua vez, ocorre se os vetores têm 
mesma direção e mesmo sentido; nesse caso, a soma 
tem módulo igual a 30 N.
12 N
18 N
12 N 18 N
Logo, a soma desses dois vetores tem módulo 
compreendido entre 6 N e 30 N.
Alternativa b.
A partir da figura, temos a b= .
Logo: a b 0- = e d c=
Ou seja, o vetor d tem módulo 2 u, e sua orientação é 
vertical e para baixo. 
Alternativa b.
Ex
er
cí
ci
o 
4
Ex
er
cí
ci
o 
3
Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo 
retângulo da figura, temos:
F2R = 120
2 + 502 ` FR = 130 N
Alternativa a.
Pela regra do paralelogramo, temos:
50 N
120 N
FR
Adotamos a seguinte legenda:
vrel. = velocidade relativa do barco em relação às águas
varr. = velocidade com que o barco é arrastado
vres. = velocidade resultante do barco
vrel. vres.
varr.
Do enunciado, temos varr. = 3 km/h
vres. = ,t
s
0 5
2
S
S = ` vres. = 4 km/h
Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo 
retângulo da figura, temos:
v 2rel. = v 
2
res.+ v 
2
arr. = 4
2 + 32 = 25 ` vrel. = 5 km/h
Alternativa a.
Ex
er
cí
ci
o 
5
Considere a legenda: 
varr. = velocidade do ar em relação à Terra
vrel. = velocidade do avião em relação ao ar
vres. = velocidade do avião em relação à Terra
Então, com base no enunciado, segue a figura:
= 50 km/h AB varr.
= 150 km/hvrel.
vres.
Da qual se obtém:
vres. = vrel. - varr. = 150 - 50 ` vres. = 100 km/h
Dado que a viagem de B a A dura 4 h e supondo vres. 
constante, temos:
vres. = t
s
S
S ] 100 = s4
S ` Ss = 400 km
Alternativa b.
Ex
er
cí
ci
o 
6
Quanto maior a velocidade de lançamento, maior 
será a velocidade horizontal de x, e o ângulo de 
lançamento se aproximará cada vez mais de 45w, 
ângulo apropriado para máximo alcance. 
Alternativa a.
Ex
er
cí
ci
o 
7
Vamos primeiramente obter o equivalente da 
frequência de 20 rpm em rps. Para tanto, utilizamos 
uma simples regra de três:
20 rotações 60 s
 f 1 s
Da qual se obtém:
60f = 20 ` f = 3
1 rps = 3
1 Hz
Sabendo que T = f
1 , temos:
T = 
3
1
1 ` T = 3 s
Alternativa b.
Ex
er
cí
ci
o 
8
Na direção x, temos um movimento uniforme regido 
pela função horária:
sx = s0x + v0xt = 0 + v0t ]
] sx = v0t y
Na direção y temos um movimento uniformemente 
variado regido pela função horária:
sy = s0y + v0yt + 
at
2
2
 = 0 + 0 $ t + t2
10 2 ]
] sy = 5t
2 x
Obtém-se o tempo de queda substituindo-se sy = 0,2 m 
na expressão x:
0,2 = 5t2 ] t2 = 0,04 ` t = 0,2 s
No entanto, nesse mesmo instante, na direção x, 
temos: sx = 0,3 m. Finalmente, substituindo na 
expressão y:
sx = v0t ] 0,3 = v0 $ 0,2 ` v0 = 1,5 m/s
Alternativa b.
Ex
er
cí
ci
o 
9
29
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Suplemento de reviSão • FÍSiCA
 14 (Uerj) Uma pequena pedra amarrada a uma das 
extremidades de um fio inextensível de 1 m de 
comprimento, preso a um galho de árvore pela outra 
extremidade, oscila sob ação do vento entre dois pon-
tos equidistantes e próximos à vertical. Durante 10 s, 
observou-se que a pedra foi de um extremo ao outro, 
retornando ao ponto de partida, 20 vezes. Calcule a 
frequência de oscilação desse pêndulo.
 15 (UFRGS) A figura a seguir representa uma correia 
transportadora com o seu sistema de acionamento. 
As duas polias menores têm o mesmo raio R, e a 
polia maior tem raio 2R. O atrito entre as correias e 
as polias é suficiente para que não ocorra desliza-
mento de uma sobre as outras. A polia motriz gira 
em sentido horário com frequência constante f1; 
as outras duas polias são concêntricas, estão unidas 
rigidamente e giram com frequência constante f2.
Polia motriz
R
R
2R
Esteira
 Considere as seguintes afirmações.
 I. Os objetos transportados pela esteira deslocam-se 
para a direita.
 II. A aceleração centrípeta na periferia da polia motriz 
é quatro vezes maior do que na periferia da outra 
polia pequena.
 III. Os objetos transportados pela correia movimen-
tam-se com velocidade linear menor do que a 
velocidade tangencial na periferia da polia motriz.
Está(ão) correta(s):
a) apenas I.
b) apenas I e II.
c) apenas I e III.
d) apenas II e III.
e) I, II e III.
 16 (Fuvest-SP) Um motociclista de motocross move-se com 
velocidade v = 10 m/s, sobre uma superfície plana, 
até atingir uma rampa (em A), inclinada de 45° com a 
horizontal, como indicado na figura.
A
H
D
45o
v
g
A trajetória do motociclista deverá atingir novamente 
a rampa a uma distância horizontal D (D = H), do ponto 
A, aproximadamente igual a:
a) 20 m
b) 15 m
c) 10 m
d) 7,5 m
e) 5 m
 10 (UEA-AM) Em uma pescaria, um pescador movimen-
ta a chumbada no mesmo momento em que libera 
completamente a linha, de forma que a chumbada 
é lançada a partir da superficie com velocidade de 
intensidade 20 m/s, formando ângulo de 30w com a 
superfície das águas do rio, conforme mostra a figura.
Água
30°
Considere que o ar e a linha não modificam o movi-
mentoda chumbada e sabendo que a aceleração da 
gravidade vale 10 m/s2, que sen 30w = 0,5 e cos 30w = 0,8, 
a distância, em metros, do ponto em que a chumbada 
caiu na água em relação à posição de arremesso é:
a) 32
b) 26
c) 18
d) 12
e) 8
 11 (UFPA) O escalpelamento é um grave acidente que 
ocorre nas pequenas embarcações que fazem trans-
porte de ribeirinhos nos rios da Amazônia. O acidente 
ocorre quando fios de cabelos longos são presos ao 
eixo desprotegido do motor. As vitimas são mulheres e 
crianças que acabam tendo o couro cabeludo arranca-
do. Um barco típico que trafega nos rios da Amazônia, 
conhecido como “rabeta”, possui um motor com um 
eixo de 80 mm de diâmetro, e este motor, quando em 
operação, executa 3.000 rpm.
Considerando que, nesta situação de escalpelamento, há 
um fio ideal que não estica e não desliza preso ao eixo do 
motor e que o tempo médio da reação humana seja de 
0,8 s (necessário para um condutor desligar o motor), é 
correto afirmar que o comprimento deste fio que se en-
rola sobre o eixo do motor, neste intervalo de tempo, é de:
a) 602,8 m
b) 96,0 m
c) 30,0 m
d) 20,0 m
e) 10,0 m
 12 (UFG-GO) Uma partícula executa um movimento cir-
cular uniforme de raio 1,0 m com aceleração 0,25 m/s2. 
O período do movimento, em segundos, é:
a) 2s
b) 4s
c) 8s
d) s2
e) 4
s
 13 (PUC-SP) Este enunciado refere-se às questões A e B. 
O esquema representa uma polia que gira em torno de seu 
eixo. A velocidade do ponto A é de 50 cm/s e a do ponto B, 
de 10 cm/s. A distância AB vale 20 cm.
A) A velocidade angular da polia vale:
 a) 2 rad/s
 b) 5 rad/s
 c) 10 rad/s
 d) 20 rad/s
 e) 50 rad/s
B) O diâmetro da polia 
vale:
 a) 20 cm
 b) 50 cm
 c) 75 cm
 d) 100 cm
 e) 150 cm
0
B
A
30
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tema 3 • CINemátICa vetorIal 
De acordo com a figura, temos:
y 
32 m
0
3,2 s 
1,6 s 
x 
v0
v0x
v0y30o
v0x = v0 $ cos 30w = 20 $ 0,8 ` v0x = 16 m/s
v0y = v0 $ sen 30w = 20 $ 0,5 ` v0y = 10 m/s
Na direção y, trata-se de um lançamento vertical; 
portanto, o tempo que a chumbada demora para 
atingir a altura máxima, quando vy = 0, é:
vy = v0y - gt ] 0 = 10 - 10t ` = 1,0 s
O tempo que a chumbada demora para subir e descer 
é o mesmo que ela demora na horizontal; isto é, para 
chegar à superfície da água percorrendo a distância x 
com movimento uniforme:
ttotal = 1,0 + 1,0 ` ttotal = 2,0 s
Logo:
x = v0xt = 16 $ 2,0 ` x = 32 m
Alternativa a.
Ex
er
cí
ci
o 
10
A frequência de giro do eixo do motor é: 
f = s
. rpm
60
3 000
 = 50 Hz (rotações por segundo)
O período, tempo que o eixo demora para efetuar uma 
volta completa, vale:
T = f
1
50
1= ` T = 0,02 s
Em uma volta completa (t = 0,02 s), o eixo de raio 
R = 2
80 mm = 40 mm = 0,04 m enrola um fio de 
comprimento:
L = 2 sR = 2 $ 3,14 $ 0,04 ` L = 0,25 m
Em t = 0,8 s, ele enrolará:
Le = 
$
,
, ,
0 02
0 25 0 8
 ` Le = 10,0 m
Alternativa e.
Ex
er
cí
ci
o 
11
Para calcular a velocidade angular da polia, devemos 
determinar o raio R da polia, utilizando a relação v = hR. 
Admitindo que os pontos A e B sejam fixos, ambos 
possuem mesma velocidade angular. Isto é: 
hA = hB ] R
v
R
v
20
A B= - ]
] R
50 = R 20
10
- ] R = 25 cm
Logo, a velocidade angular da polia será:
h = R
v
25
50A = ] h = 2 rad/s
Alternativa a.
Ex
er
cí
ci
o 
13
A
Com base na questão anterior, o diâmetro D da polia 
será: D = 2R = 2 $ 25 ` D = 50 cm
Alternativa b.
Ex
er
cí
ci
o 
13
B
Como o pêndulo executa 20 vibrações completas em 
10 s, o período T para cada vibração será:
T = 20
10 ` T = 0,5 s
Encontramos a frequência a partir do inverso do 
período, logo:
f 5 ,T
1
0 5
1= ` f 5 2 Hz
Ex
er
cí
ci
o 
14
 I. Correta. A polia motriz gira no sentido horário e 
transmite esse sentido de rotação para as outras 
duas. Nos limites de tangência da esteira com a 
polia, seus vetores de velocidade linear coincidem 
e, no ramo em que estão os objetos, esse vetor tem 
sentido da esquerda para a direita.
 II. Correta. Indicando por (1) a polia motriz, por (2) 
a polia maior e por (3) a outra polia pequena, a 
aceleração centrípeta de um ponto na periferia da 
polia (1) será: acp1 = R
v2 y
 Como as polias (1) e (2) estão unidas por uma 
correia, temos v2 = v.
 Como as polias (2) e (3) estão rigidamente unidas, 
temos:
 h2 = h3 ] R
v
R
v
2
2 3= ]
 ] v3 = 
v v
22
2 =
 Logo, a aceleração centrípeta de um ponto na 
periferia da polia (3) é:
 acp3 = R
v
R
v
4
3
2 2
= x
 Comparando as expressões y e x, 
obtemos acp1 = 4acp3
 III. Correta. Com base na afirmação I, sabemos que 
os objetos são transportados pela esteira com 
velocidade linear igual à de um ponto na periferia da 
polia menor. A partir da afirmação II, temos: v3 = 
v
2
Alternativa e.
Ex
er
cí
ci
o 
15
Na direção vertical ao movimento, temos um MUV com 
a = g = 10 m/s2, orientando a trajetória para baixo. 
Adotando a origem dos espaços no ponto A, temos: 
sy = s0y + v0y t + 
at
2
2
 ] H = 5t2
Portanto, o tempo gasto pelo motociclista até atingir 
novamente a rampa é t = H5 .
Na direção horizontal ao movimento, temos um MU, 
orientando a trajetória para a direita; assim: 
sx = s0x + vxt ] D = 10t
Substituindo t por H5 = 
D
5 em D = 10t, temos: 
D = 10 D5 ] D
2 = 100 D5 ` D = 20 m
Alternativa a.
Ex
er
cí
ci
o 
16
Ex
er
cí
ci
o 
12
acp = h
2R, em que h = T
2s
acp = T
2s 2d n R ] T 2 = a
R4s2
cp
 ] T = ,0 25
4s2 = ,0 5
2s 
` T = 4ss
Alternativa b.
31
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Suplemento de reviSão • FÍSiCA
 17 (Enem) Para serrar ossos e carnes congeladas, um aço-
gueiro utiliza uma serra de fita que possui três polias e 
um motor. O equipamento pode ser montado de duas 
formas diferentes, P e Q. Por questão de segurança, é 
necessário que a serra possua a menor velocidade 
linear.
Serra
de fita
Motor
Polia 1
Polia 2
Polia 3
Correia
Montagem P
Serra
de fita
Motor
Polia 1
Polia 2
Polia 3
Correia
Montagem Q
Por qual montagem o açougueiro deve optar e qual a 
justificativa desta opção?
a) Q, pois as polias 1 e 3 giram com velocidades linea-
res iguais em pontos periféricos e a que tiver maior 
raio terá menor frequência.
b) Q, pois as polia 1 e 3 giram com frequências iguais e 
a que tiver maior raio terá menor velocidade linear 
em um ponto periférico.
c) P, pois as polias 2 e 3 giram com frequências dife-
rentes e a que tiver maior raio terá menor veloci-
dade linear em um ponto periférico.
d) P, pois as polias 1 e 2 giram com diferentes veloci-
dades lineares em pontos periféricos e a que tiver 
menor raio terá maior frequência.
e) Q, pois as polias 2 e 3 giram com diferentes veloci-
dades lineares em pontos periféricos e a que tiver 
maior raio terá menor frequência.
 18 (UFRGS) A figura apresenta esquematicamente o sis-
tema de transmissão de uma bicicleta convencional.
A
P
ωA
ωB
ωR
B
R
Na bicicleta, a coroa A conecta-se à catraca B através 
da correia P. Por sua vez, B é ligada à roda traseira R, 
girando com ela quando o ciclista está pedalando. 
Nesta situação, suponho que a bicicleta se move sem 
deslizar, as magnitudes das velocidades angulares, hA, 
hB e hR, são tais que:
a) hA 1 hB = hR
b) hA = hB 1 hR
c) hA = hB = hR
d) hA 1 hB 1 hR
e) hA 2 hB = hR
 19 (Fuvest-SP) Um disco de raio r gira com velocida-
de angular h constante. Na borda do disco, está 
presa uma placa fina de material facilmente per-
furável. Um projétil é disparado com velocidade 
v em direção ao eixo do disco, conforme mostra 
a figura, e fura a placa no ponto A. Enquanto o 
projétil prossegue sua trajetória sobre o disco, a 
placa gira meia circunferência, de forma que o 
projétil atravessa, mais uma vez, o mesmo orifício 
que havia perfurado.
r
A
v
h
Considere a velocidade do projétil constante, e sua 
trajetória, retilínea. O módulo da velocidade v do 
projétil é:
a) rs
h
b) r2s
h
c) r2s
h
d) hr
e) r
sh
 20 (Unicamp-SP) Uma atração que está se tornando muito 
popularnos parques de diversão consiste em uma pla-
taforma que despenca a partir do repouso, em queda 
livre, de uma altura de 75 m. Quando a plataforma se 
encontra a 30 m acima do solo, ela passa a ser freada 
por uma força constante e atinge o repouso quando 
chega ao solo.
a) Qual é o valor absoluto da aceleração da plataforma 
durante a queda livre?
b) Qual é a velocidade da plataforma quando o freio 
é acionado?
c) Qual é o valor da aceleração necessária para imo-
bilizar a plataforma?
32
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tema 3 • CINemátICa vetorIal 
Polias ligadas por correia ou corrente têm velocidades 
lineares periféricas iguais e frequências inversamente 
proporcionais aos respectivos raios.
Polias solidárias (ligadas ao mesmo eixo central) giram 
juntas com frequências iguais. Na montagem P, as 
polias (2) e (3) têm frequências iguais (f3 = f2)
f
f
R
R
1
2
2
1=
A velocidade linear da serra será dada por:
Lp = h3 R3 = 2s f3R3 = 2s f2R3
Lp = 2 s f1 R
R
2
1 R3
Na montagem Q, temos: 
f3 5 f2 e f
f
R
R
1
3
3
1=
A velocidade linear de serra será dada por:
vQ 5 2s f1 R
R
3
1 R2
Portanto:
$v
v
R
R
R
R
R
R
P
Q
3
2
3
2
3
2
2
= = f p
como R2 1 R3 ] vQ 1 vP, a montagem Q deve ser 
escolhida.
Alternativa a.
Ex
er
cí
ci
o 
17
Observe que a roda traseira R está acoplada à catraca B, 
e, assim, ambas possuem a mesma velocidade angular:
hA = hR
Ou seja, “varrem” o mesmo ângulo no mesmo intervalo 
de tempo.
A coroa A está conectada à catraca B por meio da 
correia P; dessa forma, todos os pontos da correia P 
possuem a mesma velocidade linear (tangencial) v que 
todos os pontos da periferia (extremidade) da coroa A 
e da catraca B:
vA = vB ] hA $ RA = hB $ RB
Na equação anterior, como RA 2 RB, obrigatoriamente 
hA 1 hB
Alternativa a.
Ex
er
cí
ci
o 
18
Dado que a velocidade (v) do projétil é constante, 
temos:
v = t
s
t
r2
S
S
S=
Mas St corresponde ao intervalo de tempo necessário 
para que a placa dê meia-volta; logo, St = T2 , em que T 
é o período de rotação do disco.
Agora: h = T
2s ] T = 2h
s
Sendo T = 2St ] St = h
s
Retornando à relação inicial: v = r2s
h
Alternativa b.
Ex
er
cí
ci
o 
19
a) Numa queda livre, temos: a = g = 10 m/s2
b) Tomando como origem da trajetória o solo e 
orientando-a para cima, pela equação de Torricelli, 
temos:
 v2 = v20 + 2gSs = 0
2 + 2 $ 10 $ (75 - 30) = 900 
` v = 30 m/s
c) Novamente pela equação de Torricelli, temos:
 v2 = v20 + 2aSs ] 0 = 30
2 + 2a(30 - 0) ]
 ] -60a = 900 ] a = 60
900
-
 ` a = -15 m/s2
Ex
er
cí
ci
o 
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