Questão resolvida - Um coelho corre por um jardim de forma que os componentes x e y de seu deslocamento como função dostempos são dados por () ,, - Física I

Prévia do material em texto

Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas / WhatsAPP: (51) 991875503
 
Visite meu perfil e/ou meu grupo no site Passei Direto, confira mais questões ou deixe alguma no grupo para ser resolvida: 
Perfil - https://www.passeidireto.com/perfil/tiago-pimenta/
Grupo - https://www.passeidireto.com/grupos/109427150/publicacoes
 
• Um coelho corre por um jardim de forma que os componentes x e y de seu 
deslocamento como função dos tempos são dados por 𝒙 𝒕 = − 𝟎, 𝟒𝟓𝒕 − 𝟔, 𝟓𝒕 + 𝟐𝟓( ) 2
e . (Tanto quanto estão em metros e está em 𝒚 𝒕 = 𝟎, 𝟑𝟓𝒕 + 𝟖, 𝟑𝒕 + 𝟑𝟒( ) 2 x y t
segundos). (a) Calcule a posição do coelho (módulo e orientação) em ; (b) t = 10s
Calcule o módulo da velocidade do coelho em ; (c) Determine o vetor t = 10s
aceleração (módulo e orientação) em .t = 10s
 
Resolução:
 
a) 
 
A primeira etapa, para descobrir a posição do coelho é calcular o deslocamento, em 
, nos eixos e , assim, vamos substituindo nas funções t = 10s x y t = 10 s 𝒙 𝒕 e 𝒚 𝒕 :( ) ( )
 
x(10) = -0, 45 ⋅ 10 - 6, 5 ⋅ 10 + 25 = - 85 m2
 
y(10) = 0, 35 ⋅ 10 + 8, 3 ⋅ 10 + 34 = 152 m2
Assim, a posição do coelho é representada em coordenadas cartesianas por;
 
x, y = -85, 152( ) ( )
 
Com isso, o módulo da posição do coelho é dado por:d
 
d = = = =x + y2 2 (-85) + (152)2 2 7225 + 23104 30329
 
d ≅ 174, 15 m
 
O ângulo representa a orientação da posição do coelho, esse ângulo é dado por;𝜃
 
𝜃 = = ≅ - 60, 8° ou o suplementar do vetor 119, 2° arctan
y
x
arctan
152
-85
 
 
(Resposta a.1)
(Resposta a.2)
(Resposta a.3)
 
 
b) 
 
O módulo da velocidade do coelho em é dado pelas componentes e , essas t = 10 s x y
componentes são encontradas derivando as funções posição e em relação a cada x t( ) y t( )
eixo;
 
x'(t) = v t = = = - 0, 9t - 6, 5x( )
dx(t)
dt
d(-0, 45t - 6, 5t + 25)
dt
2
 
y'(t) = v t = = = 0, 7t + 8, 3y( )
dy(t)
dt
d(0, 35t + 8, 3t + 34)
dt
2
 
Substituindo , temos que as velocidades em cada eixo são:t = 10 s
 
x'(10) = -0, 9 ⋅ 10 - 6, 5 = -15, 5 m/s
 
y'(10) = 0, 7 ⋅ 10 + 8, 3 = 15, 3 m/s
 
Com isso, o vetor velocidade docoelho é dado por;
 
= (x'(t), y'(t)) = ( - 15, 5; 15, 3)v m/s
Finalmente, o módulo da velocidade do coelho é dado por:
 
| | =v -15, 5 + 15, 3( )2 ( )2
 
| | = 21, 78 m / sv
 
c) 
 
O vetor aceleração do coelho, em , é dado pela derivada das componentes da t = 10 s
velocidade obtidadas no item anterior; 
 
v' t = a t = = = - 0, 9x( ) x( )
d(x'(t))
dt
d(-0, 9t - 6, 5)
dt
 
 
 
(Resposta b)
v t = a t = = = 0, 7y( ) y( )
d(y'(t))
dt
d(0, 7t + 8, 3)
dt
 
Dessa forma, vetor aceleração é dado por;
 
= (a t , a t ) = ( - 0, 9; 0, 7)a x( ) y( ) m/s
2
Em módulo, o vetor aceleração é dado por:
 
| | = = =a (-0, 9) + (0, 7)2 2 0, 81 + 0, 49 1, 3
 
| | ≅ 1, 14a m/s2
O ângulo representa a orientação do vetor aceleração, esse ângulo pode ser encontrada 𝛽
utilizando a função tangente:
 
𝛽 = arctan
0, 7
-0, 9
 
𝛽 ≅ - 37, 9° ou o suplementar do vetor 142, 1° 
 
 
(Resposta c.1)
(Resposta c.2)
(Resposta c.3)