Progressões aritméticas e progressões geométricas

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Progressões aritméticas e progressões geométricas
As progressões aritméticas e progressões geométricas são tipos específicos de sequências
numéricas com características distintas. Elas têm uma estrutura regular em que cada elemento
é obtido a partir do elemento anterior por meio de operações de adição (para progressões
aritméticas) ou multiplicação (para progressões geométricas). Esses tipos de sequências são
amplamente estudados em matemática e têm diversas aplicações em diferentes áreas.
**Progressões Aritméticas (PA):**
Uma progressão aritmética é uma sequência numérica em que cada elemento é obtido somando
uma constante, chamada de razão (r), ao elemento anterior. A fórmula geral para o termo "n" de
uma PA é:
a_n = a_1 + (n - 1) * r
Onde:
- "a_n" é o termo geral da PA,
- "a_1" é o primeiro termo da PA,
- "n" é a posição do termo na sequência e
- "r" é a razão (constante que indica o quanto cada termo aumenta ou diminui em relação ao
anterior).
Exemplo de uma PA com "a_1 = 2" e "r = 3":
2, 5, 8, 11, 14, ...
**Progressões Geométricas (PG):**
Uma progressão geométrica é uma sequência numérica em que cada elemento é obtido
multiplicando um fator constante, chamado de razão (r), pelo elemento anterior. A fórmula geral
para o termo "n" de uma PG é:
a_n = a_1 * r^(n - 1)
Onde:
- "a_n" é o termo geral da PG,
- "a_1" é o primeiro termo da PG,
- "n" é a posição do termo na sequência e
- "r" é a razão (constante que indica o quanto cada termo é multiplicado em relação ao anterior).
Exemplo de uma PG com "a_1 = 2" e "r = 3":
2, 6, 18, 54, ...
**Soma dos Termos de uma PA e PG:**
A soma dos "n" primeiros termos de uma progressão aritmética ou geométrica pode ser
calculada usando fórmulas específicas.
Para a soma dos "n" primeiros termos de uma PA:
S_n = (n/2) * (a_1 + a_n)
Para a soma dos "n" primeiros termos de uma PG:
S_n = (a_1 * (r^n - 1)) / (r - 1), onde r ≠ 1.
As progressões aritméticas e geométricas são ferramentas poderosas para analisar e prever
padrões numéricos em diversas áreas, como finanças, ciências naturais, estatística e
engenharia. Seus conceitos são fundamentais em matemática e têm aplicações práticas
importantes em uma variedade de contextos.