Exercício de Algebra Linear (10)

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a) Sejam α ∈ E e β = α ∗ α. Como ∗ é totalmente não associativa, temos que
(α ∗ α︸︷︷︸
β
) ∗ α , α ∗ (α ∗ α︸︷︷︸
β
), ou seja, β ∗ α , α ∗ β o que mostra que ∗ não é
comutativa.
b) Suponhamos que existissem três inteiros a, b, c maiores ou iguais a 3 tais que
(a∗b)∗ c = a∗ (b∗ c), ou seja, (ab)c = a(bc) que é equivalente a a(bc) = a(bc). Daı́,
obtemos bc = bc. Resta mostrar agora que essa última igualdade é impossı́vel
se b e c forem inteiros maiores ou iguais a 3. Consideremos, então, dois casos:
b < c e b ≥ c.
◦ Se b < c, multiplicando por c, obtemos: bc < c2 ⇒ bc < c2 ⇒ 3c < c2 e
essa desigualdade é impossı́vel se c ≥ 3.
◦ Se b ≥ c, então multiplicando por b, obtemos: b2 ≥ bc⇒ b2 ≥ bc ⇒ 2 ≥ c
que também é impossı́vel.
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