Exercício de Algebra Linear (53)

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◦ Se m for um inteiro negativo, então −m é positivo e f (0,−m) = (0,−m).
Como f (0, 0) = (0, 0), temos que f [(0,m) + (0,−m)] = f (0, 0) = (0, 0) ⇒
f (0,m) + f (0,−m) = (0, 0) ⇒ f (0,m) + (0,−m) = (0, 0) ⇒ f (0,m) =
−(0,−m)⇒ f (0,m) = (0,m). Portanto, f (0, y) = (0, y), ∀y ∈ �.
◦ A partir de f (1, 0) = (1, 0), usando um cálculo semelhante ao item anterior,
obtemos f (2, 0) = (2, 0), f (3, 0) = (3, 0), etc. e chegamos a f (x, 0) = (x, 0),
∀x ∈ �.
◦ Portanto, f (x, y) = f [(x, 0) + (0, y)] = f (x, 0) + f (0, y) = (x, 0) + (0, y) ⇒
f (x, y) = (x, y).
Caso 2: f (0, 1) = (1, 0) e f (1, 0) = (0, 1)
◦ Este caso é semelhante ao anterior: a partir de f (0, 1) = (1, 0), calculamos
f (0, 2) = (2, 0), f (0, 3) = (3, 0), etc. e chegamos a f (0, y) = (y, 0), ∀y ∈ �.
◦ A partir de f (1, 0) = (0, 1), chegamos a f (2, 0) = (0, 2), f (3, 0) = (0, 3),
etc. e chegamos a f (x, 0) = (0, x), ∀x ∈ �.
◦ Daı́, f (x, y) = f (x, 0) + f (0, y) = (0, x) + (y, 0)⇒ f (x, y) = (y, x).
Portanto, as funções f (x, y) = (y, x) e g(x, y) = (x, y), sendo homomorfismos de
� × � em � × � e bijetoras, são os únicos isomorfismos de � × � em � × �.
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