Exercício de Algebra Linear (61)

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an(
p
q )
n + an−1(
p
q )
n−1 · · · + a1( pq ) + a0 = 0. Multiplicando-se os dois membros por qn,
obtemos an pn + an−1qpn−1 + · · · + a1 pqn−1 + a0qn = 0. Isolando-se an pn no primeiro
membro e, depois, isolando-se também a0qn, obtemos:
• a0qn = −an pn − an−1qpn−1 − · · · − a1 pqn−1︸ ︷︷ ︸
múltiplo de p
⇒ p | a0qn. Como mdc(p, q) = 1,
temos p | a0
• an pn = −an−1qpn−1 − · · · − a1 pqn−1 − a0qn︸ ︷︷ ︸
múltiplo de q
⇒ q | an pn. Como mdc(p, q) = 1,
temos q | an
B4) Onde está o erro? Seja x uma raiz da equação x2 + x + 1 = 0. Então, x , 0 e,
por isso, podemos dividir os dois membros da equação por x e obtemos x+1+ 1x = 0.
Da equação inicial temos x+ 1 = −x2 o que implica −x2 + 1x = 0, ou seja, x2 =
1
x que
é equivalente a x3 = 1. A partir daı́, obtemos x = 1. Substituindo essa solução na
equação x2 + x + 1 = 0 original, obtemos 3 = 0. Como a conclusão não está correta,
onde foi cometido um erro?
Solução: Foi mostrado no enunciado que toda raiz da equação x2 + x + 1 = 0
também é raiz de x3 = 1. No entanto, a recı́proca não é verdadeira: nem toda raiz de
x3 = 1 é raiz de x2 + x + 1 = 0. As raı́zes de x2 + x + 1 = 0 são r1 e r2 e as raı́zes de
x3 = 1 são 1, r1 e r2. O erro no enunciado está na afirmação de que a raiz x = 1 da
equação x3 = 1 também é raiz de x2 + x + 1.
C1) Considere f (x) = anxn + · · · + a1x + a0 ∈ �[x]. Mostre que se existir um inteiro
primo p tal que
• p | a0, p | a1, · · · , p | an−1,
• p - an,
• p2 - a0,
então f (x) é irredutı́vel sobre �.
Solução: Suponhamos f (x) redutı́vel. Então existem polinômios g(x), h(x) per-
tencentes a �[x] tais que f (x) = g(x) · h(x) e 1 ≤ ∂g < n, 1 ≤ ∂h < n. Sejam
g(x) = brxr + · · ·+ b1x+ b0 ∈ �[x] e h(x) = csxs+ · · ·+ c1x+ c0 ∈ �[x], onde r = ∂g,
s = ∂h e r + s = n.
Como a0 = b0c0 e p | a0, temos que p é um divisor de b0 ou de c0, mas não pode
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