Resoluções do Curso de Análise - cap. 1

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Resoluções Curso de Análise Vol. 1 - Cap. 1
Elon Lages Lima
George Euzébio
Dezembro 2020
Capítulo 1
Conjuntos e Funções
1. Dados os conjuntos A e B, seja X um conjunto com as seguintes pro-
priedades:
1ª X ⊃ A e X ⊃ B,
2ª Se Y ⊃ A e Y ⊃ B então Y ⊃ X.
Prove que X = A ∪B.
Resolução:
Basta observar que A ∪ B ⊃ A e A ∪ B ⊃ B, ou seja, A ∪ B ⊃ X, pela
propriedade 2. Por outro lado, como X ⊃ A e X ⊃ B, então X ⊃ A ∪ B e
concluímos que X = A ∪B, uma vez que X ⊃ A ∪B e A ∪B ⊃ X.
2. Enuncie e demonstre um resultado análogo ao anterior, caracterizando
A ∩B.
Resolução:
Dados os conjuntos A eB, sejaX um conjunto com as seguintes propriedades:
1ª X ⊂ A e X ⊂ B,
2ª Se Y ⊂ A e Y ⊂ B então Y ⊂ X.
Desse modo X = A ∩B.
Com efeito, A ∩ B ⊂ A e A ∩ B ⊂ B e pela propriedade 2 garantimos que
A ∩ B ⊂ X. Como X ⊂ A ∩ B, consequência da propriedade 1, concluímos
que X = A ∩B.
3. Dados A,B ⊂ E. Prove que A ∩ B = ∅ se, e somente se, A ⊂ {B.
Prove também que A ∪B = E se, e somente se, {A ⊂ B
2
3
Resolução:
Temos que A ⊂ {B se, e somente se, para todo x ∈ A tivermos que x 6∈ B.
Como B ∩ {B = ∅, garantimos que A ∩ B = ∅. Por outro lado, A ∩ B = ∅
se, e somente se, todo x ∈ A, x 6∈ B, ou seja, A ⊂ {B.
Para provarmos que A ∪B = E, pensaremos do seguinte modo: se {A 6⊂ B,
então existe x ∈ {A tal que x 6∈ B e, portanto, x 6∈ A ∪ B mostrando que
existe um elemento de E que não pertence à união, logo A ∪B 6= E.
4. Sejam A,B ⊂ E, prove que A ⊂ B se, e somente se, A ∩ {B = ∅
Resolução:
Para ver que A ⊂ B se, e somente se, A ∩ {B = ∅ basta observar que se
A ∩ {B 6= ∅, então existe x ∈ A e x ∈ {B, ou seja, A ⊂ B =⇒ B ∩ {B 6= ∅.
Vemos então que A ∩ {B = ∅ condição necessária e suficiente para A ⊂ B.
6. Se A,X ⊂ E, são tais que A∩X = ∅ e A∪X = E, prove que X = {A.
Resolução:
Pelo exercício 3 temos que A ∩ X = ∅ =⇒ A ⊂ {X e A ∪ X = E =⇒
{A ⊂ X. Se A ⊂ {X então {A ⊃ X o que nos leva a concluir que X = A.
7. Se A ⊂ B, então, B∩(A∪C) = (B∩C)∪A para todo conjunto C. Por
outro lado, se existir C de modo que a igualdade acima seja satisfeita,
então A ⊂ B.
Resolução:
Basta notar que A ⊂ B ⇐⇒ A ∩B = A, assim concluímos que
B ∩ (A ∪ C) = (B ∩ A) ∪ (B ∩ C) = A ∪ (B ∩ C) = (B ∩ C) ∪ A.
Por outro lado, se existe C tal que B∩ (A∪C) = (B∩C)∪A, teremos então
que
(B ∩ C) ∪ A = A ∪ (B ∩ C)
= (A ∪B) ∩ (A ∪ C)
e
B ∩ (A ∪ C) = (B ∩ A) ∪ (B ∩ C)
= (A ∩B) ∪ (B ∩ C)
Assim teremos que (A∪B)∩(A∪C) = (A∩B)∪(B∩C). Desse modo, uma das
situações ocorrem: A ⊂ B ou B ⊂ A. Se A ⊂ B então nada há a provar. Se
B ⊂ A, então (A∪B)∩(A∪C) = (A∩B)∪(B∩C) =⇒ A = B∪(B∩C) = B,
ou seja, teríamos que A ⊂ B. Portanto, em ambos os casos teremos A ⊂ B.
4 CAPÍTULO 1. CONJUNTOS E FUNÇÕES
8. Prove que A = B se, e somente se, (A ∩ {B) ∪ ({A ∩B) = ∅.
Resolução:
Vemos facilmente que se A = B, então A ∩ {B = {A ∩ B = ∅. E se
(A ∩ {B) ∪ ({A ∩ B = ∅) temos que A ∩ {B = {A ∩ B = ∅, agora usando o
exercício 3 conseguimos que A ⊂ B e B ⊂ A, portanto, A = B.
9. Prove que (A−B) ∪ (B − A) = (A ∪B)− (A ∩B).
Resolução:
Basta notar que se x ∈ (A− B) ∪ (B − A) então x ∈ A e x 6∈ B ou x ∈ B e
x 6∈ A, ou seja, reagrupando as sentenças temos x ∈ A ou x ∈ B e x 6∈ B e
x 6∈ B, ou seja, x ∈ A∪B e x 6∈ A∩B =⇒ x ∈ (A∪B)− (A∩B), portanto
(A−B)∪(B−A) ⊂ (A∪B)−(A∩B). Por outro lado, se x ∈ (A∪B)−(A∩B)
então x ∈ A ou x ∈ B e x 6∈ A e x 6∈ B. Mais uma vez reorganizando as
sentenças anteriores teremos, x ∈ A e x 6∈ B ou x ∈ B e x 6∈ A, ou seja,
x ∈ (A − B) ∪ (B − A) =⇒ (A − B) ∪ (B − A) ⊂ (A ∪ B) − (A ∩ B),
portanto, (A−B) ∪ (B − A) = (A ∪B)− (A ∩B).
10. Seja A∆B = (A ∪ B) − (A ∩ B). Prove que A∆B = A∆C implica
B = C. Examine a validez de um resultado análogo com ∩,∪ ou × em
vez de ∆.
Resolução:
Temos que (A ∪ B) − (A ∩ B) implica dizer que x ∈ A ou x ∈ B, mas
x 6∈ A ∩B, e como (A ∪B)− (A ∩B) = (A ∪ C)− (A ∩ C), se x ∈ B então
x ∈ C e temos C ⊂ B. Por outro lado, x ∈ (A ∪ C) − (A ∩ C) nos diz que
x ∈ A ou x ∈ C, mas x 6∈ A ∩ C, ou seja, x ∈ C =⇒ x ∈ B, portanto
B ⊂ C. Com essas duas inclusões concluímos que B = C.
Para as operações de união e interseção vemos facilmente com um contra-
exemplo que a igualdade não é válida, ou seja, se tomarmosA = {1, 2, 3}, B =
{1, 2, 3, 4} e C = {1, 2, 3, 4, 5} vemos que A∩B = A∩C mas B 6= C. Analoga-
mente se tivermos A = {1, 2, 3, 5}, B = {1, 2, 3, 4} e C = {1, 2, 3, 4, 5} vemos
que A ∪ B = A ∪ C mas B 6= C. Para o produto cartesiano temos que
A×B = A×C significa que (a, b) = (a, c) para todos a ∈ A, b ∈ B e c ∈ C.
Como dois pares ordenados são iguais se suas respectivas coordenadas são
iguais, temos então que (a, b) = (a, c) =⇒ b = c e portanto, é fácil ver que
B = C.
11. Prove as seguintes afirmações:
a) (A ∪B)× C = (A× C) ∪ (B × C);
b) (A ∩B)× C = (A× C) ∩ (B × C);
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c) (A−B)× C = (A× C)− (B × C);
d) A ⊂ A′, B ⊂ B′ =⇒ A×B ⊂ A′ ×B′.
Resolução:
Cada um dos itens consiste em manipularmos os conectores "e" e "ou" de
modo a mostrarmos as igualdaddes.
a) Se (x, y) ∈ (A ∪ B) × C,então x ∈ A ou x ∈ B e y ∈ C, ou seja,
(x, y) ∈ (A∪B)×C implica que (x, y) ∈ A×C ou (x, y) ∈ B×C, portanto,
(x, y) ∈ (A×C)∪(B×C) e (A∪B)×C ⊂ (A×C)∪(B×C). Por outro lado,
se (x, y) ∈ (A×C)∪ (B×C) significa que x ∈ A e y ∈ C ou x ∈ B e y ∈ C,
ou seja, x ∈ A ou x ∈ B e y ∈ C, nos levando a x ∈ A∪B e y ∈ C. Portanto,
(x, y) ∈ (A ∪B)× C e teremos que (A ∪B)× C ⊃ (A× C) ∪ (B × C), logo
(A ∪B)× C = (A× C) ∪ (B × C).
b) Se (x, y) ∈ (A ∩ B) × C,então x ∈ A e x ∈ B e y ∈ C, ou seja, (x, y) ∈
(A ∩B)×C implica que (x, y) ∈ A×C e (x, y) ∈ B ×C, portanto, (x, y) ∈
(A×C)∩ (B ×C) e (A∩B)×C ⊂ (A×C)∪ (B ×C). Temos também que
se (x, y) ∈ (A× C) ∩ (B × C) significa que x ∈ A e y ∈ C e x ∈ B e y ∈ C,
ou seja, x ∈ A e x ∈ B e y ∈ C, nos levando a x ∈ A∩B e y ∈ C. Portanto,
(x, y) ∈ (A ∩B)× C e teremos que (A ∩B)× C ⊃ (A× C) ∩ (B × C), logo
(A ∩B)× C = (A× C) ∩ (B × C).
c) Analogamente, se (x, y) ∈ (A− B)× C,então x ∈ A e x 6∈ B e y ∈ C, ou
seja, (x, y) ∈ A×C e (x, y) 6∈ B×C, portanto, (x, y) ∈ (A×C)− (B×C) e
(A−B)×C ⊂ (A×C)−(B×C). Por outro lado, se (x, y) ∈ (A×C)−(B×C)
significa que x ∈ A e y ∈ C e x 6∈ B e y ∈ C, nos levando a x ∈ A−B e y ∈ C.
Portanto, (x, y) ∈ (A−B)×C e teremos que (A−B)×C ⊃ (A×C)−(B×C),
logo (A−B)× C = (A×B)− (B × C).
d) Temos que se (x, y) ∈ A × B, como A ⊂ A′, B ⊂ B′, temos então que
x ∈ A =⇒ x ∈ A′ e y ∈ B =⇒ y ∈ B′, em outras palavras, (x, y) ∈ A′×B′,
portanto A×B ⊂ A′ ×B′.
12. Dada a função f : A→ B:
a) Prove que se tem f(X −Y ) ⊃ f(X)− f(Y ), sejam quais forem os
subconjuntos X e Y de A;
b) Mostre que se f for injetiva então f(X − Y ) = f(X)− f(Y ) para
quaisquer X, Y contidos em A.
Resolução:
a) Para quaisquer que sejam X, Y ⊂ A, sejam f(X) = {f(x) ∈ B;x ∈ X}
e f(Y ) = {f(x) ∈ B;x ∈ Y } subconjuntos de B. Se f(x) ∈ f(X) − f(Y ),
então f(x) ∈ f(X) mas f(x) 6∈ f(Y ), ou seja, x ∈ X e x 6∈ Y , portanto,
6 CAPÍTULO 1. CONJUNTOS E FUNÇÕES
x ∈ X − Y . Então, como o conjunto f(X − Y ) = {f(x) ∈ B;x ∈ X − Y },
concluímos que f(X − Y ) ⊃ f(X)− f(Y ).
b) Pelo item anterior garantimos a inclusão f(X−Y ) ⊃ f(X)−f(Y ). Agora
supondo que f(x) ∈ f(X − Y ), isso significa que x ∈ X − Y , ou seja, x ∈ X
e x 6∈ Y . De modo a garantirmos que f(x) ∈ X e f(x) 6∈ Y usaremos a
injetividade de f . De fato, sejam x ∈ X e y ∈ Y tais que f(x) = f(y).
Temos que f(x) ∈ f(X − Y ) implica dizer que x ∈ X e x 6∈ Y , mas como f
é injetiva, f(x) = f(y) =⇒ x = y e x deveria pertencer a Y , gerando um
absurdo. Logo, f(x) ∈ f(X − Y ) =⇒ f(x) ∈ X e f(x) 6∈ f(Y ), ou seja,
f(x) ∈ f(X) − f(Y ) e f(X − Y ) ⊂ f(X) − f(Y ). Assim concluímos que
f(X − Y ) = f(X)− f(Y ) se f for injetiva.
13. Mostre que a função f : A→ B é injetiva se, e somente se, f(A−X) =
f(A)− f(X) para todo X ⊂ A.
Resolução:
Pelo exercício 12, se f é injetiva então f(A−X) = f(A)−f(X) para qualquer
X ⊂ A, basta tomar Y = A.
Agora se é válido que f(A−X) = f(A)−f(X) para qualquer subconjunto X
de A, f(x) ∈ f(A−X) ⊂ f(A)−f(X) nos leva a f(x) ∈ f(A) e f 6∈ f(X), ou
seja, x ∈ A e x 6∈ X =⇒ x ∈ A−X. Se existe um y ∈ X tal que f(x) = f(y)
concluímos pelas afirmações anteriores que f(y) ∈ f(A) e f(y) 6∈ X, ou seja,
y ∈ A−X, oque é um absurdo. Portanto, f é injetiva.
14. Dada a função f : A→ B, prove:
a) f−1(f(X)) ⊃ X para todo X ⊂ A;
b) f é injetiva se, e somente se, f−1(f(X)) = X para todo X ⊂ A.
Resolução:
a) Como f(X) = {f(x) ∈ B;x ∈ A} e f−1(X) = {x ∈ A; f(x) ∈ B},
temos que se para todo x ∈ X existe um único y ∈ B tal que y = f(x) e
x = f−1(y) = f−1(f(x)), então x ∈ X =⇒ y = f(x) ∈ f(X) =⇒ x =
f−1(f(x)) ∈ f−1(f(X)), ou seja, x ∈ X =⇒ x ∈ f−1(f(X)), portanto
f−1(f(X)) ⊃ X.
b) Vamos supor inicialmente que f é injetiva. Pelo item anterior temos que
f−1(f(X)) ⊃ X. Para a inclusão inversa basta notar que f−1(f(X)) = {x ∈
X; f(x) ∈ f(X)} e sendo f injetiva, f(x) = f(y) =⇒ x = y. Então não
existe x′ ∈ A − X tal que f(x′) = f(x), portanto f−1(f(X)) ⊂ X =⇒
f−1(f(X)) = X.
Se f−1(f(X)) = X então não existe y ∈ A − X de modo que f(y) = f(x),
para todo x ∈ X, ou seja, se x 6= y então f(x) 6= f(y). E se x, y ∈ X tal
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que f(x) = f(y), garantimos que x = y, pois, do contrário, teríamos que
f−1(f(X)) 6= X uma vez que faltaria pelo menos um elemento de X em
f−1(f(X)). Portanto, f é injetiva.
15. Dada f : A→ B, prove:
a) para todo Z ⊂ B, tem-se f(f−1(Z)) ⊂ Z;
b) f é sobrejetiva se, e somente se, f(f−1(Z)) = Z para todo Z ⊂ B.
Resolução:
a) Temos que se y ∈ f(f−1(Z)), então existe x ∈ A tal que y = f(x)
e f−1(y) = x, portanto, y = f(f−1(y)) ∈ f(f−1(Z)) =⇒ f−1(y) ∈
f−1(Z) =⇒ y ∈ Z, ou seja, y ∈ f(f−1(Z)) =⇒ y ∈ Z, portanto
f(f−1(Z)) ⊂ Z.
b) Se f é sobrejetiva então para todo y ∈ Z existe x ∈ f−1(Z) tal que y =
f(f−1(x)), ou seja, Z ⊂ f(f−1(Z)), e pelo item a temos que f(f−1(Z)) ⊂ Z,
portanto f(f−1(Z)) = Z. Se f(f−1(Z)) = Z, então é fácil ver que f é
sobrejetiva, uma vez que Imf(f−1(Z)) = Z.
16. Dada a família de conjuntos (Aλ)λ∈L, seja X um conjunto com as
seguintes propriedades:
1ª) para todo λ ∈ L, tem-se X ⊃ Aλ;
2ª) Se Y ⊃ Aλ para todo λ ∈ L, então Y ⊃ X.
Prove que, nestas condições, tem-se X =
⋃
λ∈L
Aλ.
Resolução:
Pela propriedade 1, temos que X ⊃
⋃
λ∈L
Aλ. Para a inclusão inversa basta
tomar a propriedade 2, substituindo Y =
⋃
λ∈L
Aλ.
17. Enuncie e demonstre um resultado análogo ao anterior, caracterizando⋂
λ∈L
Aλ.
Resolução:
Dada a família de conjuntos (Aλ)λ∈L, seja X um conjunto com as seguintes
propriedades:
1ª) para todo λ ∈ L, tem-se X ⊂ Aλ;
2ª) Se Y ⊂ Aλ para todo λ ∈ L, então Y ⊂ X.
8 CAPÍTULO 1. CONJUNTOS E FUNÇÕES
Prove que, nestas condições, tem-se X =
⋂
λ∈L
Aλ.
De fato, a propriedade 1 nos mostra facilmente que X ⊂
⋂
λ∈L
Aλ e a pro-
priedade 2 nos dá X ⊃
⋂
λ∈L
Aλ, para isso basta substituir Y =
⋂
λ∈L
Aλ.
18. Seja f : P (A)→ P (A) uma função tal que X ⊂ Y =⇒ f(Y ) ⊂ f(X)
e f(f(X)) = X. Prove que f(∪Xλ) = ∩f(Xλ) e f(∩Xλ) = ∪f(Xλ).
[Aqui X, Y e cada Xλ são subconjuntos de A].
Resolução:
Vemos facilmente que A = ∪Xλ, com Xλ ⊂ A. Ou seja, pela definição
da função, temos que Xλ ⊂ A =⇒ f(A) ⊂ f(Xλ), para todo λ. Como
f(A) ⊂ f(Xλ) para todo λ, concluímos que ∩f(Xλ) = f(A) = f(∪Xλ).
Por outro lado, temos que ∪f(Xλ) = A, para todo λ, com f(Xλ) ⊂ A. Ou
seja, Xλ ⊃ f(A) = f(∪f(Xλ)) =⇒ ∩Xλ = f(∪f(Xλ)) =⇒ f(∩Xλ) =
f(f(∪f(Xλ))) = ∪f(Xλ).
19. Dadas as famílias (Aλ)λ∈L e (Bµ)µ∈M , forme duas famílias com índices
em L×M considerando os conjuntos
(Aλ ∪Bµ)(λ,µ)∈L×M e (Aλ ∪Bµ)(λ,µ)∈L×M .
Prove que se tem(⋃
λ∈L
Aλ
)
∩
(⋃
µ∈M
Bµ
)
=
⋃
(λ,µ)∈L×M
(Aλ ∩Bµ),
(⋂
λ∈L
Aλ
)
∪
(⋂
µ∈M
Bµ
)
=
⋂
(λ,µ)∈L×M
(Aλ ∪Bµ).
Resolução:
Se existem valores λ ∈ L e µ ∈M tais que x ∈
( ⋃
λ∈L
Aλ
)
∩
( ⋃
µ∈M
Bµ
)
, então
x ∈ Aλ e x ∈ Bµ, ou seja, para algum (λ, µ) ∈ L×M temos que x ∈ (Aλ∩Bµ).
Portanto,
( ⋃
λ∈L
Aλ
)
∩
( ⋃
µ∈M
Bµ
)
⊂ (Aλ ∩ Bµ) ⊂
⋃
(λ,µ)∈L×M
(Aλ ∩ Bµ). Agora
se x ∈
⋃
(λ,µ)∈L×M
(Aλ ∩ Bµ) então existe um par ordenado (λ, µ) ∈ L×M de
modo que x ∈ (Aλ ∩ Bµ). Ou seja, x ∈ Aλ, para algum λ ∈ L, e x ∈ Bµ,
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para algum µ ∈ M , portanto
⋃
(λ,µ)∈L×M
(Aλ ∩ Bµ) ⊂
( ⋃
λ∈L
Aλ
)
∩
( ⋃
µ∈M
Bµ
)
.
Assim concluímos que(⋃
λ∈L
Aλ
)
∩
(⋃
µ∈M
Bµ
)
=
⋃
(λ,µ)∈L×M
(Aλ ∩Bµ)
Para a segunda igualdade o processo é análogo.
20. Seja (Aij)(i,j)∈N×N uma família de conjuntos com índices em N × N.
Prove, ou disprove por contra-exemplo, a igualdade
∞⋃
j=1
(
∞⋂
i=1
Aij
)
=
∞⋂
i=1
(
∞⋃
j=1
Aij
)
.
Resolução:
Tomando Nmn, onde cada Nmn = (f ◦ g)−1(n), com m,n ∈ N, f(m,n) = n e
g : N→ N× N é sobrejetiva. É fácil ver que para cada n ∈ N,
∞⋃
m=1
Nmn = N
e
∞⋂
m=1
Nmn = ∅, ou seja,
∞⋃
m=1
(
∞⋂
n=1
Nmn
)
= ∅ e
∞⋂
n=1
(
∞⋃
m=1
Nmn
)
= N. Portanto,
∞⋃
j=1
(
∞⋂
i=1
Aij
)
6=
∞⋂
i=1
(
∞⋃
j=1
Aij
)
.
21. Dados os conjuntos A, B, C, estabeleça uma bijeção entre F (A×B;C)
e F(A;F(B; C)).