Exercício de Algebra Linear (47)

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Alguns exemplos de multiplicação entre seus elementos são (2+I)·I = (2+1)·(0+I) =
2 · 0+ I = 0+ I = I e (3+ I)+ (2+ I) = (3 · 2)+ I = 6+ I = 2+ I e todas as possı́veis
multiplicações entre seus elementos podem ser observadas na seguinte tábua:
· I 1 + I 2 + I 3 + I
I I I I I
1 + I I 1 + I 2 + I 3 + I
2 + I I 2 + I I 2 + I
3 + I I 3 + I 2 + I 1 + I
A2) Dê exemplo de um homomorfismo de anéis f : A −→ B tal que f (1A) , 1B.
Solução: Sejam A = B = �. Então 1A = 1B = 1. Consideremos a função nula
f : � −→ �, f (x) = 0, que é um homomorfismo de A em B. Como f (1) = 0, temos
que f (1A) , 1B.
Observação. Esse tipo de exemplo só é possı́vel quando a função f não for sobreje-
tora.
A3) Considere os anéis A = (�,+, ·) com operações usuais e B = (�,⊕,⊙) onde
x ⊕ y = x + y + 1 e x ⊙ y = x + y + xy.
a) Mostre que f : A −→ B definida por f (x) = x − 1 é um isomorfismo de anéis;
b) Mostre que f : A −→ A definida por f (x) = x − 1 não é um isomorfismo de
anéis.
Solução:
a) Sejam x, y ∈ A. Então:
◦ f (x+y) = x+y−1 e f (x)⊕ f (y) = f (x)+ f (y)+1 = (x−1)+(y−1)+1 = x+y−1.
Logo, f (x + y) = f (x) ⊕ f (y).
◦ f (x · y) = xy− 1 e f (x)⊙ f (y) = f (x)+ f (y)+ f (x) f (y) = (x− 1)+ (y− 1)+
(x−1)(y−1) = x+y−2+ xy− x−y+1 = xy−1. Logo, f (x ·y) = f (x)⊙ f (y).
Portanto, f é um homomorfismo de anéis.
◦ Suponhamos f (x) = f (y). Então, x−1 = y−1⇒ x = y. Logo, f é injetora.
◦ Dado y ∈ B = �, considerando x = y + 1 ∈ A = �, temos: f (x) = x − 1 =
(y + 1) − 1 = y. Logo, f é sobrejetora.
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